江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

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江苏省高等数学竞赛试题[1]2

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（民办本科）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )limsin x x x x→-=2.2arctan tan x y x e x =+，/y =3.设由y x x y =确定()y y x =，则dydx= 4.2cos y x =，()()n y x = 5.21xx e dx x -=⎰ 6.214arctan 1x x dx x =+⎰7.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 8.(2,)xz f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz==二.（10分）设a 为正常数，使得2ax x e ≤对一切正数x 成立，求常数a 的最小值三.（10分）设()f x 在[]0,1上连续，且11()()f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点()0,1ξ∈，使得0()0f x dx ξ=⎰.四. （12分）过原点()0,0作曲线ln y x =-的切线，求该切线、曲线ln y x =-与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转一周所得的旋转体的体积.五．（12分）已知正方体1111ABCD A BC D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.六、（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

七（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级、民办本科）一.填空（每题5分，共40分）1.22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2. ()2301lim 1xt x e dt x -→-=⎰ 3. ()2lim320x x x ax b →+∞++++=，则,a b =4.()()()2sin 1,0x f x x x e f ''=++=5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz=6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值. 7.交换二次积分的次序()211,x e exdx f x y dy -=⎰⎰ .8.设22:2,02D x x y y x ≤+≤≤≤，则221Ddxdy x y=+⎰⎰二.（8分）设()()2sin 0ln 10ax b x cx f x x x ⎧++≤⎪=⎨+>⎪⎩，试问,,a b c 为何值时，()f x 在0x =处一阶导数连续，但二阶导数不存在.三.（9分）过点()1,5作曲线3:y x Γ=的切线L ，（1）求L 的方程；（2）求Γ与L 所围成平面图形D 的面积；（3）求图形D 的0x ≥部分绕x 轴旋转一周所得立体的体积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的函数，()00f =，()()1f x f x '-≤，求证：()[)1.0,x f x e x ≤-∈+∞ 五（8分）求()12arctan 1xdx x +⎰六（9分）本科三级做：设()()()()()()2222tan ,0,0,0,0,0x y x y x y x yf x y x y -⎧+≠⎪+=⎨⎪=⎩，证明(),f x y 在点()0,0处可微，并求()()0,0,df x y民办本科做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积. 七（9分）本科一级考生做：用拉格朗日乘数法求函数()22,22f x y x xy y =++在区域2224x y +≤上的最大值与最小值. 八（9分）设D 为,,02y x x y π===所围成的平面图形，求()cos Dx y dxdy +⎰⎰.2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科三级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式.2. 0x →时，sin cos x x x -⋅与k cx 为等价无穷小，则c =3.()2tan 2lim sin xx x π→=4. 2222lim 14n nn n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭5. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f =6.()()21x x e x dx x e -=-⎰7. ()1,1arctan ,x z dzy-== .8. 设()()01x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212baf x dx b a =-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+ 三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q 1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数； 2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）设()f x 在(),-∞+∞上有定义，()f x 在0x =处连续，且对一切实数12,x x 有()()()1212f x x f x f x +=+，求证：()f x 在(),-∞+∞上处处连续。

江苏高等数学竞赛历年试题(本一)

2000年江苏省第五届高等数学竞赛试题（本科一级）一、填空（每题3分，共15分） 1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦ .2. 1limln 1x x x xx x →-=-+ . 3.()14451x dx x=+⎰.4.通过直线122123:32;:312321x t x t L y t L y t z t z t =-=+⎧⎧⎪⎪=+=-⎨⎨⎪⎪=-=+⎩⎩的平面方程为 .5.设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫=⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数），则z z xy x y ∂∂+=∂∂ 二、选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121xxy -=+，点0x =是( )A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.设()f x 可导，()()()1sin F x f x x =+，若欲使()F x 在0x =可导，则必有（） A. ()00f '=； B. ()00f =；C. ()()000f f '+=；D ()()000f f '-=3. ()00sin limx y x y x y →→+=- （） A. 等于1； B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在 4.若()()0000,,,x y x y f f xy∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x y ( )A. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续 5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ ( )A. 绝对收敛B. 条件收敛；C. 发散； D 收敛性与α取值有关三（6分）设()f x 有连续导数，()()00,00f f '=≠，求()()2002limx xx f t dtxf t dt→⎰⎰.四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d ydx =.五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上可微，且()0g x '≠，证明存在一点()c a c b <<，使得()()()()()()f a f c f cg c g b g c '-='-. 六（6分）设()f x x =，()sin 0202x x g x x ππ⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，求()()()0x F x f t g x t dt =-⎰.七（6分）已知(),u u x y =由方程()()(),,,,,,0,,0u f x y z t g y z t h z t ===确定，其中,,f g h 都是可微函数，求,u ux y∂∂∂∂. 八（8分）过抛物线2y x =上一点()2,a a 作切线，问a 为何值时所作的切线与抛物线241y x x =-+-所围成的平面图形面积最小. 九（8分）求级数2311111323333n n +++++⋅⋅⋅⋅L L 的和. 十（8分）设()f x 在[],a b 上连续且大于零，利用二重积分证明不等式：()()()21bbaaf x dx dx b a f x ≥-⎰⎰. 十一（8分）已知两个球的半径分别为,()a b a b >，且小球球心在大球球面上，试求小球在大球内的那部分的体积.十二（8分）计算曲面积分()222xy z ds ∑++⎰⎰，其中∑为曲面0)z a =>.2002年江苏省第六届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()tan 0lim0x xkx e e c c x →-=≠，则k = ，c = 2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界C. 若()lim 1x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上无界3. 设由()1yex y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''= .4.arcsin arccos x xdx ⋅=⎰.5. 曲线22222z x y x y y⎧=+⎨+=⎩，在点()1,1,2的切线的参数方程为 . 6.设(),sin xy z f g e y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数，则2z x y ∂=∂∂7. 交换二次积分的次序()2130,xx dx f x y dy -=⎰⎰.8.幂级数111112n n x n∞=+++∑L 的收敛域 .二.（8分）设4tan n n I xdx π=⎰，求证()()()1122121n I n n n <<≥+-.三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b bx aaf x dx f x e dx ==⎰⎰，求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点.四.（8分）求直线1211x y z-==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.五.（9分）设k 为常数，试判断级数()()221ln nkn n n ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六.（9分）设()()()()(),0,0,0,0,0y x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论(),f x y 在()0,0连续性，可偏导性与可微性.七.（9分）设()f u 在0u =可导，()2200,:2,0f D x y tx y =+≤≥，求41lim t Df ydxdy t +→⎰⎰八.（9分）设曲线AB 的方程为()22430x y y x +=-≥，一质点P 在力F u r作用下沿曲线AB 从()0,1A 运动到()0,3B ，力F u r的大小等于P 到定点()2,0M 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F u r对质点P 做得功.2004年江苏省第七届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.0x →时，sin cos cos2x x x x -⋅⋅与kcx 为等价无穷小，则c =2. 21lim arctan x x x x →∞⎛⎫= ⎪⎝⎭3. lim n →∞⎛⎫+=L 4. ()()4ln 1,4f x x x n =->时()()0n f =5.()2sin cos cos sin x x xdx x x +⋅=-⎰6.()112nn nn ∞==+∑ .7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=，则()1ϕ'= . 8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x '在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内二阶可导，()()0f a f b ==，()0baf x dx =⎰，求证:1) (),a b 内至少存在一点ξ使得()()f fξξ'=；2）(),a b 内至少存在一点,,ηηξ≠使得()()f f ηη''=三.（10分）设22:4,D x y x y x +≤≤-，在D 的边界y x =-上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =-，交D 的边界224x y x +=于Q1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2）求D 饶y x =-旋转一周的旋转体的体积.四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q -,在平面212x y z -+=上求一点M ，使PM MQ +最小. 五（10分）求幂级数()()1132n nn n x n ∞=+-∑的收敛域.六（10分）求证：332ππΩ<<，其中222:1x y z Ω++≤.七（10分）设()f x 连续，可导，()11f =，G 为不含原点单连通域，任取,M N G ∈，G 内积分()()212NMydx xdy x f y -+⎰与路径无关.（1）求()f x ；（2）求()()212ydx xdy x f y Γ-+⎰Ñ其中Γ为22331x y +=边界取正向.2006年江苏省第八届高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题5分，共40分）1.()3x f x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦L 2. ()()25001lim 1xtx x e dt x -→-=⎰3. ()1202arctan 1xdx x =+⎰ 4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为 5. 设由y zx ze+=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值. 7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值.8.级数()111n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3. 三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤，求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞.五（12分）设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(2,0,(A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.六（10分）曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，求2221dxdydz x y z Ω++⎰⎰⎰. 七（10分）1）设幂级数21nn n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1nn n a x n∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明.2008年江苏省第九届高等数学竞赛题（本科一级）一．填空题（每题5分，共40分）1.a = ，b = 时，2limarctan 2xax x x bx x p+=--2. a = ，b = 时()ln(1)1xf x ax bx=-++在0x ®时关于x 的无穷小的阶数最高。

江苏数学竞赛初试题目及答案

江苏数学竞赛初试题目及答案【题目一】已知函数\( f(x) = 3x^2 - 2x + 1 \)，求\( f(x) \)在区间[1, 3]上的最大值和最小值。

【答案一】首先，我们可以求出函数\( f(x) \)的导数\( f'(x) = 6x - 2 \)。

令\( f'(x) = 0 \)，解得 \( x = \frac{1}{3} \)。

但这个点不在区间[1, 3]内，因此我们需要检查区间端点的函数值。

计算\( f(1) = 3(1)^2 - 2(1) + 1 = 2 \)，\( f(3) = 3(3)^2 -2(3) + 1 = 22 \)。

因此，\( f(x) \)在区间[1, 3]上的最大值为22，最小值为2。

【题目二】若\( a \)，\( b \)，\( c \)是三角形的三边长，且满足\( a^2 +b^2 = c^2 \)，求证：\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)是无理数。

【答案二】假设\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)是有理数，设\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = k \)，其中\( k \)是有理数。

则有\( a + b + c = k(abc) \)。

由于\( a^2 + b^2 =c^2 \)，我们可以得到\( a^2 + b^2 - c^2 = 0 \)。

将\( a + b + c = k(abc) \)代入，我们可以得到一个关于\( a \)，\( b \)，\( c \)的二次方程，但这个方程没有整数解，因此\( k \)不能是有理数，即\( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \)是无理数。

【题目三】若\( \sin(2\theta) = \frac{3}{5} \)，且\( \theta \)在第一象限，求\( \cos(2\theta) \)的值。

江苏省数学竞赛试题

江苏省数学竞赛试题江苏省的数学竞赛是中国地区性数学竞赛之一，旨在激发学生对数学的兴趣，提高数学素养和解决问题的能力。

竞赛通常包括多个难度级别，适合不同年级的学生参加。

试题内容可能涵盖基础数学知识、逻辑推理、几何学、代数学、概率论和统计学等领域。

试题一：基础数学问题题目：计算下列表达式的值：\[ (x+y)^2 - 3xy \]解答：首先，我们可以使用完全平方公式展开 \( (x+y)^2 \)，得到\( x^2 + 2xy + y^2 \)。

然后，将 \( 3xy \) 从展开式中减去，得到：\[ x^2 + 2xy + y^2 - 3xy = x^2 - xy + y^2 \]试题二：几何问题题目：在一个直角三角形中，如果一个锐角的正弦值为\( \frac{3}{5} \)，求这个角的余弦值。

解答：在直角三角形中，如果一个角的正弦值为 \( \frac{3}{5} \)，我们可以使用勾股定理来找到余弦值。

设这个角为 \( \theta \)，那么有：\[ \sin(\theta) = \frac{3}{5} \]\[ \cos^2(\theta) = 1 - \sin^2(\theta) \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \left(\frac{3}{5}\right)^2} \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{1 - \frac{9}{25}} \]\[ \cos(\theta) = \sqrt{\frac{16}{25}} \]\[ \cos(\theta) = \frac{4}{5} \]试题三：代数问题题目：解方程 \( ax^2 + bx + c = 0 \)，其中 \( a \neq 0 \)。

解答：这是一个标准的二次方程。

我们可以使用求根公式来解这个方程：\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]其中，\( \sqrt{b^2 - 4ac} \) 是判别式，如果判别式大于0，则方程有两个实数解；如果判别式等于0，则方程有一个实数解；如果判别式小于0，则方程没有实数解。

江苏省第一届至第十界高等数学竞赛本科一级真题

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分） 1.函数sin sin y x x =（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nnd x p x dx-=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 102所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y yy x xϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a v为单位向量，b a ϖϖ3+垂直于b a ϖϖ57-，b a ϖϖ4-垂直于b a ϖϖ27-，则向量b a ϖϖ、的夹角为____________。

10. =⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim Λ 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求n n a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使⎰=++b ac x c x 0)cos()(，其中a b >。

2006年江苏省高等数学竞赛试题(本科一、二级)

2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5分，共40分）1.()3x f x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦ 2.()()25001lim 1x tx x e dt x -→-=⎰ 3.()1202arctan 1x dx x =+⎰4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为5.设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件时，()1,0f -为其极大值.7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a =时，曲线积分()()222y x y dx xy edy Γ+++⎰取最大值. 8.级数()11n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积. 四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤，求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x +=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(1A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程.本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.六（10分）曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω，本科一级考生做2221dxdydz x y zΩ++⎰⎰⎰ 本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21n n n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1n n n a x n ∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112n n n n x ∞=+∑的收敛域与和函数。

2010江苏省高校第10届高等数学竞赛试题

2010年江苏省高等数学竞赛试题（本科一级）一.填空（每题4分，共32分）1.()()30sin sin lim sin x x x x →-=2.设函数,f ϕ可导，()()arctan tan y f x x ϕ=+，则y '=3. 2cos y x =，则()n y =4.21x x dx x e+=⎰5. 4211dx x +∞=-⎰6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩的面积为 7.设2,,x f x y f y ⎛⎫- ⎪⎝⎭可微，()()123,22,3,23f f ''==，则()(),2,1x y dz == 8.级数()()1111!2!nn n n n ∞=+--∑的和为二．（10分）设()f x 在[]0,c 上二阶可导，证明：存在()0,c ξ∈，使得()()()()()300212cc c f x dx f f c f ξ''=+-⎰ 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积. 四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1D x y +≤六．（12分）应用高斯公式计算()222ax by cz dS ∑++⎰⎰，（,,a b c 为常数）其中222:2x y y z ∑++=.七.（12分）已知数列{}n a ，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====-()2,3,,n = 记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性. 2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x→-=2.1y x=+/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=⎰ 5.4211dx x +∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x z f x y y=-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz ==8.级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b ba ab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0a f x dx ξ=⎰. 三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

江苏高等数学竞赛试题汇总

六(1０分）曲线绕轴旋转一周生成的曲面与所围成的立体区域记为，
本科一级考生做
本科二级考生做
七(１0分）本科一级考生做1）设幂级数的收敛域为，求证幂级数的收敛域也为 ;2)试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明;若不正确举一反例说明.
本科二级考生做:求幂级数的收敛域与和函数
２006年江苏省高等数学竞赛试题(本科三级、民办本科）
8.级数条件收敛时,常数的取值范围是
二.（１0分)某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶,经2小时到达乙地停止,一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时,求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于公里/小时
三.(10分)曲线的极坐标方程为 ,求该曲线在所对应的点的切线的直角坐标方程,并求切线与轴围成图形的面积.求其极限
三.(8分)设在上具有连续的导数，求证
四.（8分）１)证明曲面
为旋转曲面
2)求旋转曲面所围成立体的体积
五．（10分)函数具有连续的二阶偏导数，算子定义为
1)求；2）利用结论1）以为新的自变量改变方程的形式
六．（8分)求
七．(9分)设的外侧,连续函数
七（9分)本科一级考生做:用拉格朗日乘数法求函数在区域上的最大值与最小值.
八(9分)设为所围成的平面图形，求．
2004年江苏省高等数学竞赛试题(本科二级)
一．填空(每题５分,共4０分)
１．是周期为的奇函数，且在处有定义,当时， ,求当时, 的表达式.
２．
3．
4. 时
５.
６． .
7.设可微，，，
8.级数的和为．
二.（10分）
设在上连续，且 ,求证:存在点，使得．

江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)

江苏省高等数学竞赛本科级试题与评分标准(一)江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准是一项重要的数学技能评估活动。

在本次竞赛中，评分标准起着至关重要的作用。

评分标准不仅决定了考试成绩的计算方式，而且也体现了竞赛评分者对学生数学水平的认知。

本文将详细介绍江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准，以便于竞赛参与者更好地了解竞赛并备战。

试题分析江苏省高等数学竞赛本科级试题旨在考察参赛学生的数学思维能力和素质。

试题难度逐级提高，分别从选择题、填空题、证明题和应用题四个方面进行测试。

选择题和填空题主要考察学生的数学基础知识和解决问题的能力，证明题则更偏重于学生的推理和论证能力。

应用题则结合实际问题进行考察，需要学生将抽象理论与实践相结合，丰富其数学思维。

评分标准江苏省高等数学竞赛本科级评分标准主要分为两个部分：试题得分和满分。

试题得分根据学生对不同难度级别试题的答案正确率进行加权。

满分则是指总分，也就是学生在所有试题中可获得的最大分数。

对于选择题，每个题目的实际得分有三种情况。

如果参赛选手回答正确，则该题得分为该题分值；如果回答错误，则得分为0；未作答则计为0分。

填空题亦是如此。

对于证明题，如果参赛选手证明正确，则该题得分为该题分值，反之则为0分。

对于应用题，情况稍有不同。

应用题的得分计算方式为：学生需要先完成所有题目，获得所有的解题思路和计算方式。

如果该题是否定回答，则该题得分为该题分值的一半；如果回答错误，再回答正确情况下得分的一半；如果回答正确，则该题得分为该题分值。

如果参赛选手未能完成所有题目，则该题记为0分。

本文介绍了江苏省高等数学竞赛本科级试题和评分标准。

试题难度分层，主要考察参赛选手的数学思维能力和素质。

评分标准则以得分和满分为主，通过对不同难度测试题的答对记录和正确率进行加权，最终得出学生成绩。

通过本文，相信参赛学生可以对江苏省高等数学竞赛本科级有更全面的认识，并更加有效地备战竞赛。

高等数学竞赛试题(一)

高等数学竞赛试题（一）一、填空：1．若()⎪⎩⎪⎨⎧≤->-=,x ,a x ,x f x xx01e 0,arctan e 12sin 是()+∞∞-,上的连续函数，则a = －1 。

2．函数x x y 2sin +=在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡ππ,2上的最大值为332+π 。

3．()=+⎰--22d ex x x x26e 2-- 。

4．由曲线⎩⎨⎧==+0122322z y x 绕y 轴旋转一周得到的旋转面在点()230,,处的指向外侧的单位法向量为{}32051,, 。

5．设函数()x,y z z =由方程2e =+----x y z x x y z 所确定，则=z d ()y x x x xy z xy z d d e 1e 1-1+++---- 。

二、选择题：1．设函数f (x )可导，并且()50='x f ，则当0→∆x 时，该函数在点0x 处微分d y 是y ∆的（ A ）（A ）等价无穷小；（B ）同阶但不等价的无穷小；（C ）高阶无穷小；（D ）低阶无穷小。

2．设函数f (x )在点x = a 处可导，则()x f 在点x = a 处不可导的充要条件是（ C ）（A ）f (a ) = 0，且()0='a f ；（B ）f (a )≠0，但()0='a f ；（C ）f (a ) = 0，且()0≠'a f ；（D ）f (a )≠0，且()0≠'a f 。

3．曲线12+-+=x x x y （ B ）（A ）没有渐近线；（B ）有一条水平渐近线和一条斜渐近线；（C ）有一条铅直渐近线；（D ）有两条水平渐近线。

4．设()()x,y x,y f ϕ与均为可微函数，且()0≠'x,y y ϕ。

已知()00,y x 是()x,y f 在约束条件()0=x,y ϕ下的一个极值点，下列选项中的正确者为（ D ）（A ）若()000=',y x f x ，则()000=',y x f y ；（B ）若()000=',y x f x ，则()000≠',y x f y ；（C ）若()000≠',y x f x ，则()000=',y x f y ；（D ）若()000≠',y x f x ，则()000≠',y x f y 。

2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题

费马到成功江苏省高等数学竞赛试题（专科考生）2004~2012年2004~2012年江苏省高等数学竞赛试题（专科考生）目录2012年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 3~7 2010年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 8~11 2008年江苏省高等数学竞赛题（专科）9~15 2006年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 16~20 2004年江苏省高等数学竞赛试题（专科） 21~262012年江苏省高等数学第十一届竞赛试题（专科考生）1．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe=确定，其中f 具有二阶导数，且1≠'f ，则=22d d xy________________.2． 2lim()01x x ax b x →∞--=+，则a = ，b = ；3．定积分11e Inx dx x+⎰=________4．极限：21lim(1)x x x →∞-= ；311lim x x x -→= ；21lim()21xx x x →∞+=-______________.5．通过)5,3,2(-A 且平行于直线⎩⎨⎧=+-+=-+-03230723z y x z y x 的直线方程为_________________6．设)(x y y =由方程组sin (sin cos )ttx e t y e t t ⎧=⎪⎨=-⎪⎩确定,则22d y dx =____________________7．不定积分2ln cos cos xdx x ⎰=________8．若(1)(2)(2008)()(1)(2)(2008)x x x f x x x x ---=+++ ，则'(1)f =__________．9．设函数()x y y =由参数方程()1d e 212ln 112>⎪⎩⎪⎨⎧=+=⎰+t ,u u y ,t x t u 所确定，求9d d 22=x x y 。

江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准

2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。

江苏省高等数学竞赛本科一级历年真题PPT

2 n! 2
（2004） f (x) = x4 ln(1− x), n > 4 时 f (n) (0) =
− n! n−4
（2010） y = cos2 x, 则 y(n) =
( ) （2012） y = ln 1 − x2 ，则 y(n) =
2 n −1
cos
⎛ ⎜⎝
2x
+
nπ
2
⎞ ⎟⎠
(−1)(
0
导数计算
（1991）设
P(x)
=
dn dx n
(1 −
xm )n
，其中 m, n
为正整数，则
(−1)n mnn!
P(1) =
（1996）若 f (x) = x(2x −1)(3x − 2)"(100x − 99) ，则 f ′(0) = −99!
( ) （1994）若 f (x) = x2 − 3x − 2 n cos π x2 ，则 f (n) (2) = 16
1+ x2 + 1− x2 − 2
（1998） lim
x→0
1+ x4 −1
−1 2
其他方法
（1994）已知 f (0) = 0, f ′(0) 存在，求
导数定义
lim[
n→∞
f
(
1 n2
)
+
f
2 (n2
) +"+
f
n ( n2 )]
1 f '(0) 2
（1998） lim | sin(π n2 + n ) |
1
dx
x
3x
2 −2 e2 e
（2002）设由 e− y + x( y − x) = 1+ x 确定 y = y(x) ，则 y′′(0) =

2010年江苏省高等数学竞赛(本科一级)试题及解答Doc1

第十届本科一级竞赛题与评分标准一、填空题（每小题4分，共32分）设函数 3P 可导，y = /(arctanxp(tanx)),M y*^ + 7)设 7 = /(〃一必：) / 可微，/(3,2) = z 4(3,2) = 3,则dz （“） = （2,尸― .8）级数力的和为必1-吟勺 2、！2 • ..•••:、・ • • >> ・二、（10分）设/（X ）在（0,c ］上三阶可导,证明:第w （0,c ）,使得J ；/（x ）" =汽/（。

⑶dx-汐（0）“（切哈V （2分）尸（0） = 0,又由（I ）得尸（c ）亍0,应用罗东京理，浙«0,c ）,使得产（〃）=0, （2分）由于U （“卜/（k4/«”-；（〃。

）”（明，，\则尸（。

）-0, 2 2 《；在他切上应用罗尔定理，Mw （0, 7）c （0,c ）,使得/・伍）=0, （2分）V2) 5〉Jeg , r 占乜= ■4+c'xe ——arctan2--In3. 6)2x+2y-z +2 Hoi x”-x - 2y+2z419 的面积为 16月4)由于尸（x ）=/'（%）-；小卜”-，。

）+。

彳=4/'。

）>",则 2 2 Z LA = /•（《），代入（】）式即得所求之式・（2分）三、（10分）已知正方体彳5c0-4乃。

1。

1的边长为2, £为。

£的中点, 户为侧面正方形BCGa 的中心，（1）试求过点八,&F 的平面与底面 ABCD 所成的二面角的值.（2）试求过点彳卜瓦门的平面截正方体所得到的截面的面积.2）设CO 的中点为G,则四边形48CG 的面积为S1:3, • （2分）四，（12分）已知/BCD 是等腰梯形，BC 〃AD,AB+BC+CD = 8,求AB.BC 的长，使该梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大.解令 BC = x/O = y （0<x<yv8）,则彳8 = ｝，设8EJ.40,则 AE - » BE = 4AB 1 - AE l = :本・, Pkge t of 2解1）建立坐标系如图.则4（2,0,2）,£（0,1,2）,尸&2】）,, 々2分）彳二（-1,2,-1）历=（1,】,-1）, 7 =丽X J7M （1,2,3）,一，*2分）工事（2分）所求截面的面积为布. （2分）P = 2 K BE”・ 4E + 兀 8E1=术 BE)+ x3 13（4分）nx = 2.生:笈(8-力&”)-(8-2^+»)(2%+力 + (8二3+7)(8-力］=0, dy 12令x==2 => = 4,设 P(2,4 b ，喑广亨8-“尸=与津=费卜乳-2）卜。

江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛(本一)

江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛（本一）南京晓庄学院获奖名单
姓名王杏龙周勇
单位南京晓庄学院南京晓庄学院
获奖等级一等奖一等奖
备注
江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛（本三）南京晓庄学院获奖名单
姓名申李周杨中婕杰丽
单位南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院
获奖等级二等奖二等奖二等奖三等奖
备注
1/7

贺韩
婕清
南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院
三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖
钱文慧黄董陈张叶颖源磊伟彤
谢敏寰陆晓蕾吴笑怡
2/7

3/7

4/7

5/7

6/7

7/7

。