江苏省历年高等数学竞赛试题(打印版)

2010年江苏省《高等数学》竞赛试题（本科二级）一 填空题（每题4分，共32分） 1.0sin sin(sin )lim sin x x x x→-=2.2ln(1x y x=+，/y = 3.2cos y x =，()()n y x = 4.21x x e dx x -=⎰ 5.4211dx x+∞=-⎰ 6.圆222222042219x y z x y z x y z +-+=⎧⎪⎨++--+≤⎪⎩的面积为 7.(2,)x z f x y y =-，f 可微，//12(3,2)2,(3,2)3f f ==，则(,)(2,1)x y dz == 8.级数11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑的和为 . 二.（10分）设()f x 在[],a b 上连续，且()()b ba ab f x dx xf x dx =⎰⎰，求证：存在点(),a b ξ∈，使得()0af x dx ξ=⎰.三．（10分）已知正方体1111ABCD A B C D -的边长为2，E 为11D C 的中点，F 为侧面正方形11BCC B 的中点，（1）试求过点1,,A E F 的平面与底面ABCD 所成二面角的值。

（2）试求过点1,,A E F 的平面截正方体所得到的截面的面积.四（12分）已知ABCD 是等腰梯形，//,8BC AD AB BC CD ++=,求,,AB BC AD 的长，使得梯形绕AD 旋转一周所得旋转体的体积最大。

五（12分）求二重积分()22cos sin Dx y dxdy +⎰⎰，其中22:1,0,0D x y x y +≤≥≥六、（12分）求()()21xx y e dx x y dy Γ++++⎰，其中Γ为曲线22201212x x x y xx ⎧≤≤⎨+=≤≤⎩从()0,0O 到()1,1A -.七.（12分）已知数列{}n a 单调增加，123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ()2,3,,n =记1n n x a =，判别级数1n n x ∞=∑的敛散性.2008年江苏省普通高等学校非理科专业一、填空题（每小题5分，共40分）1）___,____a b ==时，2lim arctan .2x ax x x bx x π→∞+=--2）11lim __________.(3)n n k k k →∞==+∑3）设()(1)(2)(100),f x x x x x =---则(100)_______.f '= 4）___,____a b ==时，2()1x f x ax x bx =+++在0x →时关于x 的无穷小的阶数最高.5）2320sin cos _______.x xdx π⋅=⎰6）2221_______.(1)x dx x +∞=+⎰7）设,x z x y =-则(2,1)_________.n n z y ∂=∂8）设D 为,0,1y x x y ===所围区域，则arctan _________.Dydxdy =⎰⎰ 二、（8分） 设数列{}n x为：111,(1,2)n x x n +===，求证：数列{}n x 收敛，并求其极限三、（8分） 设函数()f x 在[,]a b 上连续(0),()0,ba a f x dx >=⎰求证：存在(,),ab ξ∈使得()().af x dx f ξξξ=⎰四、（8分） 将xy 平面上的曲线222()(0)x b y a a b -+=<<绕直线3x b =旋转一周得到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积.五、（8分）设242,(,)(0,0);(,)0,(,)(0,0).x yx yf x y x yx y≠=+⎪=⎩讨论(,)f x y在(0,0)处的连续性、可偏导性、可微性.六、（10分）已知曲面222441x y z+-=与平面0x y z+-=的交线在xy平面上的投影为一椭圆，求此椭圆面积.七、（8分）求2401lim sin().t txtdx y dy t+→⎰⎰八、（10分）求1,Ddxdy这里22:,0.D x y y x+≤≤≤2006年江苏省高等数学竞赛试题（本科一、二级）一.填空（每题5分，共40分）1.()3x f x a =，()()()41limln 12n f f f n n →∞=⎡⎤⎣⎦ 2. ()()25001lim 1x tx x e dt x-→-=⎰3. ()1202arctan 1x dx x =+⎰4.已知点()4,0,0,(0,2,0),(0,0,2)A B C --,O 为坐标原点，则四面体OABC 的内接球面方程为5. 设由y z x ze +=确定(,)z z x y =，则(),0e dz =6.函数()()2,x f x y e ax b y -=+-中常数,a b 满足条件 时，()1,0f -为其极大值.7.设Γ是sin (0)y a x a =>上从点()0,0到(),0π的一段曲线，a = 时，曲线积分()()222y x y dx xy e dy Γ+++⎰取最大值. 8.级数()111n n ∞+=-∑条件收敛时，常数p 的取值范围是 二.（10分）某人由甲地开汽车出发，沿直线行驶，经2小时到达乙地停止，一路畅通，若开车的最大速度为100公里/小时，求证：该汽车在行驶途中加速度的变化率的最小值不大于200-公里/小时3三.（10分）曲线Γ的极坐标方程为1cos 02πρθθ⎛⎫=+≤≤ ⎪⎝⎭，求该曲线在4πθ=所对应的点的切线L 的直角坐标方程，并求切线L 与x 轴围成图形的面积.四（8分）设()f x 在(),-∞+∞上是导数连续的有界函数，()()1f x f x '-≤， 求证：()()1.,f x x ≤∈-∞+∞五（12分）本科一级考生做：设锥面22233(0)z x y z =+≥被平面40x -+=截下的有限部分为∑.（1）求曲面∑的面积；（2）用薄铁片制作∑的模型，(2,0,(A B -为∑上的两点，O 为原点，将∑沿线段OB 剪开并展成平面图形D ，以OA 方向为极坐标轴建立平面极坐标系，写出D 的边界的极坐标方程. 本科二级考生做：设圆柱面221(0)x y z +=≥被柱面222z x x =++截下的有限部分为∑.为计算曲面∑的面积，用薄铁片制作∑的模型，()(1,0,5),(1,0,1),1,0,0A B C --为∑上的三点，将∑沿线段BC 剪开并展成平面图形D ，建立平面在极坐标系，使D 位于x 轴正上方，点A 坐标为()0,5，写出D 的边界的方程，并求D 的面积.六（10分）曲线220x z y ⎧=⎨=⎩绕z 轴旋转一周生成的曲面与1,2z z ==所围成的立体区域记为Ω， 本科一级考生做2221dxdydz x y zΩ++⎰⎰⎰ 本科二级考生做()222x y z dxdydz Ω++⎰⎰⎰七（10分）本科一级考生做1）设幂级数21n n n a x ∞=∑的收敛域为[]1,1-，求证幂级数1n n n a x n ∞=∑的收敛域也为[]1,1-；2）试问命题1）的逆命题是否正确，若正确给出证明；若不正确举一反例说明. 本科二级考生做：求幂级数()2112n n n n x ∞=+∑的收敛域与和函数2004年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题5分，共40分）1. ()f x 是周期为π的奇函数，且在0x =处有定义，当0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()sin cos 2f x x x =-+，求当,2x ππ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦时，()f x 的表达式 . 2. ()2tan 2lim sin x x x π→= 3. 2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭ 4. ()()2ln 1,2f x x x n =->时()()0n f = 5. ()()21x x e x dx x e -=-⎰6.()112n n n n ∞==+∑ . 7.设(),f x y 可微，()()()1,22,1,23,1,24x y f f f ''===，()()(),,2x f x f x x ϕ=， 则()1ϕ'= .8. 设()()010x x f x g x ≤≤⎧==⎨⎩其他，D 为,x y -∞<<+∞-∞<<+∞，则 ()()Df y f x y dxdy +=⎰⎰ .二．（10分）设()f x 在[],a b 上连续，()f x 在(),a b 内可导，(),f a a =，()()2212b a f x dx b a =-⎰,求证： (),a b 内至少存在一点ξ使得()()1f f ξξξ'=-+三.（10分）设22:4,,24D y x y x x y -≤≥≤+≤，在D 的边界y x =上任取点P ,设P 到原点距离为t ，作PQ 垂直于y x =，交D 的边界224y x -=于Q1）试将,P Q 的距离PQ 表示为t 的函数；2）求D 饶y x =旋转一周的旋转体的体积四（10分）已知点(1,0,1),(3,1,2)P Q ,在平面212x y z 上求一点M ，使PM MQ 最小五（10分）求幂级数()()1132n n n n x n ∞=+-∑的收敛域。

六（10分）设(),f x y 可微，()()()1,22,1,22,1,23x y f f f ''===， ()()()(),2,2,2x f f x x f x x ϕ=，求()1ϕ'.七（10分）求二次积分()222021d e d ππρθθθρ-⎰⎰2002年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题5分，共40分）1.()0lim 0x k x e c c x →-=≠，则k = ，c =2. 设()f x 在[)1,+∞上可导，下列结论成立的是A. 若()lim 0x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上有界 B. 若()lim 0x f x →+∞'≠，则()f x 在[)1,+∞上无界 C. 若()lim 1x f x →+∞'=，则()f x 在[)1,+∞上无界 3. 设由()1y e x y x x -+-=+确定()y y x =，则()0y ''= 4.()arcsin arccos x x dx -=⎰5. 曲线22222z x y x y y ⎧=+⎨+=⎩，在点()1,1,2的切线的参数方程为 6.设(),sin x y z f g e y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，f 有二阶连续导数，g 有二阶连续偏导数， 则2z x y∂=∂∂ 7. 交换二次积分的次序()2130,xx dx f x y dy -=⎰⎰ . 8.幂级数11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑的收敛域 二.（8分）设()f x 在[)0,+∞上连续，单调减少，0a b <<， 求证00()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰三.（8分）设()f x 在[],a b 上连续，()()0b bx a a f x dx f x e dx ==⎰⎰，求证: ()f x 在(),a b 内至少存在两个零点.四.（8分）求直线1211x y z -==-绕y 轴旋转一周的旋转曲面方程，求求该曲面与0,2y y ==所包围的立体的体积.五.（9分）设k 为常数，试判断级数()()221ln nk n n n ∞=-∑的敛散性，何时绝对收敛？何时条件收敛？何时发散？六.（9分）设()()()()()arctan ,0,0,0,0,0y x y f x y x y ⎧≠⎪=⎨⎪=⎩讨论(),f x y 在点()0,0处连续性，可偏导性？可微性.七.（9分）设()f u 在0u =可导，()22200,:2f x y z tz =Ω++≤， 求()222501lim t f x y z dxdydz t +→Ω++⎰⎰⎰八.（9分）设曲线AB 的极坐标方程为1cos 22ππρθθ⎛⎫=--≤≤ ⎪⎝⎭，一质点P 在力F 作用下沿曲线AB 从()0,1A -运动到()0,1B ，力F 的大小等于P 到定点()3,4M 的距离，其方向垂直于线段MP ，且与y 轴正向的夹角为锐角，求力F 对质点P 做得功.2000年江苏省高等数学竞赛试题（本科二级）一.填空（每题3分，共15分）. 1.设()f x =()f f x =⎡⎤⎣⎦2. 1lim ln 1x x x x x x →-=-+ 3. 已知()21d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦，则()f x '=4.()14451x dx x =+⎰5..设(),z z x y =由方程,0y z F x x ⎛⎫= ⎪⎝⎭确定（F 为任意可微函数）， 则z z x y x y∂∂+=∂∂ 二选择题（每题3分，共15分）1.对于函数112121x x y -=+，点0x =是（ ）A. 连续点；B. 第一类间断点；C. 第二类间断点；D 可去间断点2.已知函数()y f x =对一切x 满足()()231x xf x x f x e -''+=-⎡⎤⎣⎦，若()000(0)f x x '=≠，则（ ）A. ()0f x 是()f x 的极大值；B. ()()00,x f x 是曲线()y f x =的拐点；C. ()0f x 是()f x 的极小值；D ()0f x 不是()f x 的极值，()()00,x f x 也不是曲线()y f x =的拐点3. lim x ）A. 等于1；B. 等于0；C. 等于1-；D 不存在，但也不是+∞4.若()()0000,,,x y x y ffx y ∂∂∂∂都存在，则(),f x y 在()00,x yA. 极限存在，但不一定连续；B. 极限存在且连续；C. 沿任意方向的方向导数存在； D 极限不一定存在，也不一定连续5.设α为常数，则级数21sin n n n α∞=⎛ ⎝∑ A. 绝对收敛 B. 条件收敛；C. 发散； D 收敛性与α取值有关 三（6分）求111lim 12n n n n n →∞⎛⎫+++ ⎪+++⎝⎭四（6分）已知函数()y y x =由参数方程(1)010y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩确定，求202t d y dx =五（6分）设()(),f x g x 在[],a b 上连续，在(),a b 内可导且对于(),a b 一切x 均有()()()()0f x g x f x g x ''-≠，证明若()f x 在(),a b 内有两个零点，则()g x 至少存在一个介于这两个零点之间的零点。