江苏省高等数学竞赛试题汇总

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高等数学竞赛试题4及答案

高等数学竞赛试题一、填空题（每题4分，共20分）1．设当0→x 时，)1ln()cos 1(2x x +-是比n x x sin ⋅高阶的无穷小，而nx x sin ⋅是比12-x e高阶的无穷小，则正整数n 等于。

（2） 2．设)(sin 42x y =，则)(3x d dy = 。

（)sin()cos(3844x x x ） 3．两平面0218419:1=++-z y x π和0428419:2=++-z y x π之间的距离为。

（1）4．=+⎰-xdx x x 22223cos )sin (ππ 。

（8π） 5． =⨯⋅⋅)(])([b a a b a。

（0）分析： a b a)(⋅与a 共线，而)(b a a⨯⊥，)()(b a a b a⨯⊥⋅∴，⇒0)(])([=⨯⋅⋅b a a b a。

二、（10分）已知2)5(lim 2=+--+∞→c bx ax x x ，求a 、b 。

解：cbx ax x c bx ax x c bx ax x x x +-+-+-=+--+∞→+∞→2222525lim)5(lim ，25)25(lim22=+-+-+-=+∞→cbx ax x c bx x a x ，25,025=⇒=-∴a a ，20)255(2=+=b 。

三、（10分）设)(x f 在),(∞+-∞内可导，且e x f x ='∞→)(lim ，)]1()([lim )(lim --=-+∞→∞→x f x f c x c x x xx ，求c 的值。

解：c xx e cx c x 2)(lim =-+∞→ ，而由拉格朗日中值定理有1)()1()(⋅'=--ξf x f x f e f x f x f x ='=--∴∞→∞→)(lim )]1()([lim ξξ，e e c =⇒2，21=c 。

四、（10分）设)(x f 在),0[∞+上可导，0)0(=f ，且其反函数为)(x g ，若⎰=)(02)(x f x e x dt t g ，求)(x f 。

江苏省高中数学竞赛预赛试题

江苏省⾼中数学竞赛预赛试题江苏省⾼中数学竞赛预赛试题本试卷分第⼀卷（选择题）和第⼆卷（⾮选择题）两部分，共150分，考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题共36分）⼀．选择题：本⼤题共6⼩题，每⼩题6分，共36分。

在每⼩题给出的4个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的. 1．函数y=f (x ) 的图像按a →=(?4，2)平移后，得到的图像的解析式为y=sin(x +4)+2，那么y=f (x ) 的解析式为( )A ． y=sin xB ． y=cos xC ．y=sin x +2D ．y=cos x +4解: y=sin[(x +π4)+π4], 即 y=cos x .故选B ．2．如果⼆次⽅程x 2－px －q=0 (p ，q ∈N*)的正根⼩于3，那么这样的⼆次⽅程有 ( )A ．5个B ．6个C ．7个D ．8个解：由?=p 2+4q >0，－q <0，知⽅程的根⼀正⼀负．设f (x )= x 2－px －q ，则f (3)= 32－3p －q ＞0，即3p +q ＜9.由p ，q ∈N*，所以p=1，q ≤5或p=2，q ≤2. 于是共有7组(p ，q )符合题意．故选C ． 3．设a >b >0，那么a 2+1b (a －b )的最⼩值是（）A ． 2B ． 3C ．4D ． 5解：由a >b >0，可知 02≥4．故选C ．4．设四棱锥P －ABCD 的底⾯不是平⾏四边形，⽤平⾯α去截此四棱锥，使得截⾯四边形是平⾏四边形，则这样的平⾯α( )A ．不存在B ．只有1个C ．恰有4个D ．有⽆数多个解：设四棱锥的两组不相邻的侧⾯的交线为m ，n ，直线m 、n 确定了平⾯β，作与β平⾏的平⾯α与四棱锥侧棱相截，则截得的四边形是平⾏四边形．这样的平⾯α有⽆数多个．故选D ．5．设数列{a n }：a 0=2, a 1=16，a n +2=16 a n +1－63 a n (n ∈N )，则a 2005被64除的余数为( )A ． 0B ．2C ．16D ．48解：数列{ a n }模64周期地为2，16，2，－16，⼜2005被4除余1，故选C ． 6．⼀条⾛廊宽2m 、长8m ，⽤6种颜⾊的1?1m 2的整块地砖来铺设(每块地砖都是单⾊的，每种颜⾊的地砖都⾜够多)，要求相邻的两块地砖颜⾊不同，那么所有的不同拼⾊⽅案种数有( )A ．308B ．30?257C ．30?207D ．30?217 解：铺第⼀列(两块地砖)有30种⽅法；其次铺第⼆列，设第⼀列的两格铺了A 、B 两⾊(如图)，那么，第⼆列的上格不能铺A ⾊，若铺B⾊，则有(6－1)种铺法；若不铺B ⾊，则有(6－2)2种⽅法，于是第⼆列上共有AB21种铺法．同理，若前⼀列铺好，则其后⼀列都有21种铺法. 因此，共有30?217种铺法．故选D ．⼆．填空题：本⼤题共6⼩题，每⼩题6分，共36分.7．设向量→OA 绕点O 逆时针旋转2π得→OB ，且2→OA +→OB =（7，9），则向量→OB= ．解：设→OA =（m ，n ），则→OB =（－n ，m ），所以 2→OA +→OB =（2m －n ，2n +m ）=（7，9），即 ?2m －n=7，m +2n=9．得 ?m=235，n=115．因此，→OA =(235，115），→OB =（－115，235)．故填（－115，235)．8．设⽆穷数列{a n }的各项都是正数，S n 是它的前n 项之和，对于任意正整数n ，a n 与2的等差中项等于S n 与2的等⽐中项，则该数列的通项公式为．解：由题意知a n +22=2S n ，即S n =(a n +2)28．①由①式，a 1+22=2a 1，得a 1=2．⼜由①式得 S n －1=(a n －1+2)28(n ≥2) ②则有 a n =S n －S n －1=(a n +2)28－(a n －1+2)28 (n ≥2)，整理得 (a n +a n －1)(a n －a n －1－4)=0．⼜因为a n >0，a n －1>0，所以a n－a n－1=4(n≥2)，a1=2.因此, 数列{a n}是以2为⾸项，4为公差的等差数列，其通项公式为a n=2+4(n －1)，故填a n=4n－2 (n∈N*)．9．函数y=|cos x|+|cos2x| (x∈R) 的最⼩值是．解：令t=|cos x|∈[0，1]，则y=t+|2t2－1|．22≤t≤1时，y=2t2+t－1=2(t+ 14)2－98，得22≤y≤2．当0≤t<22时，y=－2t2+t+1=－2(t－14)2+98，得22≤y≤98．⼜y可取到22．故填2210．在长⽅体中ABCD－A1B1C1D1中，AB=2，AA1=AD=1，点E、F、G分别是棱AA1、C1D1与BC的中点，那么四⾯体B1－EFG的体积是．解：在D1A1的延长线上取⼀点H，使AH=14，易证，HE∥B1G，HE∥平⾯B1FG．故V B1－EFG=V E－B1FG=V H－B1FG=V G－B1FH．⽽S?B1EF =98，G到平⾯B1FH的距离为1．故填V B1－EFG=38．11．由三个数字1，2，3组成的5位数中，1，2，3都⾄少出现1次，这样的5位数共有个．解：在5位数中，若1只出现1次，有C51(C41+C42+C43)=70个；若1只出现2次，有C52(C31+C32)=60个；若1只出现3次，有C53C21=20个．所以这样的五位数共有150个．故填150．12．已知平⾯上两个点集：M={(x，y)| |x+y+1|≥2(x2+y2)，x，y∈R}，N={(x，y)| |x－a|+|y－1|≤1，x，y∈R}，若M∩N≠?，则a的取值范围为．解：由题意知M是以原点为焦点，直线x+y+1=0为准线的抛物线及其凹⼝内侧的点集，N是以(a，1)为中⼼的正⽅形及其内部的点集(如图)．考察M∩N=?时a的取值范围：令y=1, 代⼊⽅程|x+y+1|=2(x2+y2) 得x2－4x－2=0，解得x=2±6．所以，当a<2－6－1=1－6时M∩N=?．令y=2，代⼊⽅程|x+y+1|=2(x2+y2)得x2－6x－1=0，解得x=3±10．所以，当a>3+10时，M∩M=?．于是，当1－6≤a≤3+10，即a∈[1－6，3+10]时，M∩N≠?．故填[1－6，3+10]．三、解答题：13．已知点M是?ABC的中线AD上的⼀点，直线BM交边AC于点N，且AB 是?NBC的外接圆的切线，设BCBN=λ，试求BMMN（⽤λ表⽰）．(15分)证明：在?BCN中，由Menelaus定理得BM MN ·NAAC·CDDB=1．因为BD=DC，所以BM MN =ACAN．………………………6分由∠ABN=∠ACB，知?ABN ∽?ACB，则ABCDNMAB AN =AC AB =CB BN．所以，AB AN ·AC AB =? ????CB BN 2，即AC AN =BC 2BN2．…………………………………………………12分因此，BM MN =BC 2BN2．⼜BC BN=λ，故BM MN=λ2．………………………………………………………………15分14．求所有使得下列命题成⽴的正整数n (n ≥2)：对于任意实数x 1，x 2，…，x n ，当i=1∑n x i =0时，总有i=1∑nx i x i +1≤0 (其中x n +1=x 1)．(15分)解：当n=2时，由x 1+x 2=0，得x 1x 2+x 2x 1=－2x 12≤0．故n =2时命题成⽴；……3分当n=3时，由x 1+x 2+x 3=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 1=(x 1+x 2+x 3)2－(x 21 +x 22+x 23)2=－(x 21+x 22+x 23)2≤0．故n=3时命题成⽴．……………………………………………………………………………………6分当n=4时，由x 1+x 2+x 3+x 4=0，得x 1x 2+x 2x 3+x 3x 4+x 4x 1=(x 1+x 3)(x 2+x 4)=－(x 2+x 4)2≤0．故n=4时，命题成⽴．………………………………………………………………9分当n ≥5时，令x 1=x 2=1，x 4=－2，x 3=x 5=…=x n =0，则i=1∑n x i =0，但i=1∑nx i x i +1=1>0，故n ≥5时命题不成⽴．综上可知，使命题成⽴的n=2，3，4．……………………………………………15分15．设椭圆的⽅程x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)，线段PQ 是过左焦点F 且不与x 轴垂直的焦点弦，若在左准线上存在点R ，使△PQR 为正三⾓形，求离⼼率e 的取值范围，并⽤e 表⽰直线PQ 的斜率．(24分)解：如图，设线段PQ 中点M ，过点P 、M 、Q 分别作准线的垂线，垂⾜分别为点P ?，M ?，Q ?，则|MM ?|=12(|PP ?|+|QQ ?|)=12(|PF |e+|QF |e )=|PQ |2e．…………………………6分假设存在点R ，则|RM |=32|PQ |，且|MM ?|＜|RM | ，即|PQ |2e ＜32|PQ |，所以， e ＞33．………………………………12分于是，cos ∠RMM ?=|MM ?||RM |=12e ?13e，cot ∠RMM ?=13e 2－1．在图中，|PF| < |QF|，且有k PQ= tan∠QFx= tan∠FMM?=cot∠RMM?=13e2－1．………………………………………………18分当e>33时，过点F作斜率为13e2－1的焦点弦PQ，它的中垂线交左准线于R，由上述过程知，|RM|=32|PQ|．故?PQR为正三⾓形．……………………………………………21分根据对称性，当|FP| > |FQ|时，有k PQ=－13e2－1．所以，椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离⼼率e的范围是(33，1)，且直线PQ的斜率为±13e2－1．…………………………………………………………………………………………24分16．⑴若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正⽅体的体积之和等于2005，求n 的最⼩值，并说明理由；( 12分)⑵若n (n∈N*) 个棱长为正整数的正⽅体的体积之和等于，求n的最⼩值，并说明理由．( 24分)解：⑴因为 2005=1728+125+125+27=123+53+53+33，故n=4存在，n min≤4．………6分103=1000，113=1331，123=1728，133=2169，123<2005<133，则n≠1．若n=2，因103+103<2005，则最⼤⽴⽅体的棱长只能为11或12，2005－113=674，2005－123=277，674与277均不是完全⽴⽅数，故n=2不可能；若n=3，设此三个⽴⽅体中最⼤⼀个的棱长为x，由3x3≥2005＞3×83，知最⼤⽴⽅体的棱长只能为9、10、11或12，⽽2005<3?93， 2005－93－93=547，2005－93－83－83>0，故x≠9．2005－103－103=5，2005－103－93=276，2005－103－83=493，2005－103－73－73>0．故x≠10；2005－113－93<0，2005－113－83=162，2005－113－73=331，2005－113－63－63>0，故x≠11；2005－123－73<0，2005－123－63=61，2005－123－53－53>0，故x≠12．所以n=3不可能．综上所述，n min=4．…………………………………………………………………………12分⑵设n个⽴⽅体的棱长分别是x1，x2，…，x n，则x31+x32+…+x3n=．①由2002≡4(mod 9)，43≡1(mod 9)，得≡42005≡4668?3+1≡(43)668?4≡4(mod 9)．②⼜当x∈N*时，x3≡0，±1(mod 9)，所以x31≡⁄4(mod 9)，x31+x32≡⁄4(mod 9)，x31+x32+x33≡⁄4(mod 9)．③①式模9，并由②、③式可知n≥4．…………………………………………………18分⽽2002=103+103+13+13，则=?(103+103+13+13)=(2002668)3?(103+103+13+13)=(2002668?10)3+(2002668?10)3+(2002668)3+(2002668)3．故n=4为所求的最⼩值．………………………………………………………………24分。

大学生高等数学竞赛试题汇总与答案

令x=1/t,则
原式=
(ln(1t)t)1/(1t)111
2
2(1t)
t2t2
limelimelimee
t0t0t0
（3）
11
sxnnsxnsxsxn
Iexdx()xde()[xe|edx]
n0
000
ss
nnn(n1)n!n!
sxn1
exdxIII
n12n2n0n1
sssss
0
二、（15分）设函数f(x)在(,)上具有二阶导数，并且
''()(2'
t2t)2(t)''()(2'
3
dxdx/dt(22t)
=。。。
上式可以得到一个微分方程，求解即可。
四、（15分）设
n
a0,Sa,证明：
nnk
k1
（1）当1时，级数
a
n
S
nn
1
收敛；
（2）当1且()
sn时，级数
n
a
n
S
nn
1
发散。
解：
（1）
a>0,
n
s单调递增
n
当
n1
a收敛时，
n
aa
nn
一、（25分，每小题5分）
（1）设
n
22
x(1a)(1a)(1a),其中|a|1,求limxn.
n
n
（2）求
x
lim e1
x
1
x
2
x
。
（3）设s0，求
sxn
Iexdxn。
(1,2,)
0
（4）设函数f(t)有二阶连续导数，

江苏省历届高等数学竞赛试卷(1991-2010)

江苏省第一届（1991年）高等数学竞赛本科竞赛试题（有改动）一、填空题（每小题5分，共50分）1.函数sin sin y x x=（其中2x π≤）的反函数为________________________。

2.当0→x 时，34sin sin cos x x x x -+x 与nx 为同阶无穷小，则n =____________。

3.在1x =时有极大值6，在3x =时有极小值2的最低幂次多项式的表达式是 _____________________________________。

4.设(1)()n m nn d x p x dx -=，n m ,是正整数，则(1)p =________________。

5.222[cos()]sin x x xdx ππ-+=⎰_______________________________。

6. 若函数)(t x x =由⎰=--xt dt e t 12所确定的隐函数，则==022t dt xd 。

7.已知微分方程()y y y x x ϕ'=+有特解ln x y x =，则()x ϕ=________________________。

8.直线21x zy =⎧⎨=⎩绕z 轴旋转，得到的旋转面的方程为_______________________________。

9.已知a 为单位向量，b a 3+垂直于b a 57-，b a 4-垂直于b a 27-，则向量b a、的夹角为____________。

10.=⎭⎬⎫⎩⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+∞→nn n n n n 122222212111lim 。

二、（7分）设数列{}n a 满足1,2,21≥+=->+n a a a n n n ，求nn a ∞→lim 。

三、（7分）求c 的值，使⎰=++bac x c x 0)cos()(，其中a b >。

四、（12分）求由曲面222222,,x y cz x y a xy b +=-=±=±和0z =所围区域的体积（其中,,a b c 为正实数）。

高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （ C ）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（ A ）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（ B ）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （ B ）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（ D ）(A) 不连续；(B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a ρρρρρρ+-=+=2,，则以向量a ϖ、b ϖ为边的平行四边形的对角线的长度为（ A ）(A) 11,3； (B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222L xdx ydykx y +=+⎰Ñ（k 为常数），则有1222L xdx ydyx y ++⎰Ñ（ D ）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn xa 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n nnx n a 在0=x 处（ D ）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.解：当||1x <时，221lim lim 0n n n n x x -→∞→∞==，故2()f x ax bx =+；当||1x >时，1()f x x=112111,1,lim ()1,lim (),1(),11,1,1,lim (),lim ()1,1x x x x x f x f x a b a b x f x ax bx x x f x a b f x a b x -+-+→-→-→→⎧<-=-=--=⎪⎪⎪=+-<<⎨⎪⎪>=+=+=⎪⎩0a =，1b =。

十二届江苏省高等数学竞赛本科一级解答

y2 = 1 沿逆时针方向. b2 ∫∫ 2. 求曲面积分 xdydz + xzdzdx,
Σ
其中， Σ : x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0) 取上侧.
x−y x+y dx+ 2 dy . x2 + y 2 x + y2 2′ 2′ 2′
1. 解
L
(b2 x2
a2 b2 (x − y ) a2 b2 (x + y ) dx+ 2 2 dy = 2 2 2 2 + a y )(x + y ) (b x + a2 y 2 )(x2 + y 2 )
L
∂P y 2 − x2 − 2xy ∂Q = = (x, y ) ̸= (0, 0) 时，，由Green 公式知 ∂x ∂y x2 + y 2 ∫ 2π x−y x+y x−y x+y 原式 = dx + 2 dy = dx + 2 dy = dθ = 2π. 2 2 2 2 x + y2 x + y2 L x +y x2 +y 2 =ε2 x + y 0 ∫∫ 2. 解
(x4 + sec2 x − 1)dx
3′ 3′
2. 解设切点为 (a, a2 ), 切线为 y − a2 = 2a(x − a), 将 (2, 3) 代入得 a = 1, 3, 于是切线
为 y = 2x − 1, y = 6x − 9. ∫ 2 ∫ 3 2 2 所求面积为： S = (x − 2x + 1)dx + (x2 − 6x + 9)dx = . 3 1 2 三、（每小题

高等数学竞赛试题含答案

高等数学竞赛试题1．计算{}2222,max 0abb x a ydx edy ⎰⎰，（a>0，b>0）解：原积分=22222222000baax abab y b x a y b x a y a bb xa b dx edy dx edy xe dx dy e dx a+=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰=222222111(1)(1)(1)22a b a b a b e e e ab ab ab-+-=-2. 设幂级数nn n a x∞=∑的系数满足02a =，11n n na a n -=+-，n=1，2，3…，求此幂级数的和函数()s x 。

解：0(),n nn s x a x +∞==∑则1111111'()(1)n n n nn n n n s x na xa xn x +∞+∞+∞----=====+-∑∑∑12()(1)()(1)n n xs x n x s x x +∞+==++=+-∑即2'()()(1)xs x s x x =+-，且(0)2o s a == 解方程1()1xs x ce x =+- 由(0)1s =⇒1()1xs x e x=+- 3. 已知()f x 二阶可导，且()0f x >，[]2''()()'()0f x f x f x -≥，x R ∈ （1）证明 21212()()()2x x f x f x f +≥， 12,x x R ∀∈ （2）若(0)1f =，证明'(0)(),f xf x e x R ≥∈证明：（1）记()ln ()g x f x = 则'()'()()f xg x f x = 22''(')''()0ff f g x f -=> 1212()()()22g x g x x x g ++∴≥ 即 21212()()()2x xf x f x f +≥⑵2222''()'(0)''(')()(0)'(0)ln (0)|2(0)2x g f ff f g x g g x x f x x f fξξ=-=++=++ '(0)f x ≥ 即'(0)()f xf x e≥4．求10(1)limln(1)xx x e x →+-+由洛比塔法则原极限=120(1)ln(1)1lim(1)(1)2xx x x x x e x x →-+++=-+5．设222 0cos()sin t u x t y e udu -⎧=⎪⎨=⎪⎩⎰ ，求22d y dx 解：42sin()2t dy e t t -=⋅⋅ 2sin()2dx t t =-⋅4t dy e dx -∴=- 44232222(')42sin()2sin()t t d y d y t e t edx dx t t t --===--⋅ 6．2 0(1)(1)dxx x α+∞++⎰，（0α≠）解：记原积分为I 则201/(1)(1)dxI t x x x α+∞==++⎰含 20(1)(1)t dt t t αα+∞++⎰ 22 124dx I I x ππ+∞∴==∴=+⎰7.设函数()f x 满足方程，()2()3sin xxe f x e f x x ππ-+-=，x R ∈，求()f x 的极值。

江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）

江苏省高等数学竞赛历年真题（专科）2012年江苏省第十一届高等数学竞赛试题（专科）一．填空（4分*8=32分） 1.=-+-+→561434lim4x x x2. =+++∞→433321limn n n 3. =?→xx tdtt x x 3230sin sin lim4.)1ln(x y -=，则=)(n y5.=?xdx x arctan 26.=211arccosdx xx 7.点)3,1,2(-到直线22311zy x =-+=-的距离为 8.级数∑∞=--21)1(n knn n 为条件收敛，则常数k 的取值范围是二．（6分*2=12分）（1）求))(13(lim 31223∑=∞→+-i n i n n n（2）设)(x f 在0=x 处可导，且,2)0(,1)0(='=f f 求21)1(cos limxx f x --→三．在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，若不存在，请给出证明。

（4分+6分=10分）（1）函数)(x f 在),(δδ-上有定义（0>δ），当0<<-x δ时，)(x f 严格增加，当δ<<="" 0时，)(x="" f="" p="" 严格减少，)(lim="">x f x →存在，且)0(f 是)(x f 的极小值。

（2）函数)(x f 在),(δδ-上一阶可导（0>δ），)0(f 为极值，且))0(,0(f 为曲线)(x f y =的拐点。

四．（10分）求一个次数最低的多项式)(x p ，使得它在1=x 时取得极大值13，在4=x 时取得极小值－14。

五．（12分）过点)0,0(作曲线x e y -=Γ:的切线L ，设D 是以曲线Γ、切线L 及x 轴为边界的无界区域。

（1）求切线L 的方程。

高等数学竞赛试题 (1)

高等数学竞赛试题3答案一、选择题1. 设n n n y z x ≤≤，且0)(lim =-∞→n n n x y ，则n n z ∞→lim （）(A) 存在且等于零; (B) 存在但不一定等于零； (C) 不一定存在； (D) 一定不存在. 2. 设)(x f 是连续函数，)()(x f x F 是的原函数，则（）(A) 当)(x f 为奇函数时,)(x F 必为偶函数； (B) 当)(x f 为偶函数时,)(x F 必为奇函数； (C) 当)(x f 为周期函数时,)(x F 必为周期函数； (D) 当)(x f 为单调增函数时,)(x F 必为单调增函数. 3. 设0>a ，)(x f 在),(a a -内恒有2|)(|0)("x x f x f ≤>且，记⎰-=a adx x f I )(，则有（）(A) 0=I ;(B) 0>I ;(C) 0<I ;(D) 不确定.4. 设)(x f 有连续导数，且0)0(',0)0(≠=f f ，⎰-=x dt t f t x x F 022)()()(，当0→x 时，k x x F 与)('是同阶无穷小，则=k （）(A) 4； (B) 3； (C) 2； (D) 1.5.设⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0,00,),(2222222y x y x y x yx y x f ，则),(y x f 在点)0,0(（）(A) 不连续； (B) 连续但偏导数不存在；(C) 可微； (D) 连续且偏导数存在但不可微.6. 设k j b j i a +-=+=2,，则以向量a 、b为边的平行四边形的对角线的长度为( )(A)11,3；(B) 3, 11； (C) 10,3； (D) 11,2.7. 设21L L 与是包含原点在内的两条同向闭曲线，12L L 在的内部，若已知2222Lxdx ydykx y +=+⎰ （k 为常数），则有1222Lxdx ydyx y ++⎰ （）(A) 等于k ； (B) 等于k -； (C) 大于k ； (D) 不一定等于k ，与L 2的形状有关. 8. 设∑∞=0n nn x a 在1=x 处收敛，则∑∞=-+0)1(1n n nx n a 在0=x 处（）二、设)(1lim)(2212N n x bxax x x f n n n ∈+++=-∞→，试确定a 、b 的值，使与)(lim 1x f x →)(lim 1x f x -→都存在.三、设)()(x f x F 是的一个原函数，且1)0(=F x x f x F 2cos )()(,=，求dx x f ⎰π|)(|.四、设}0,0|),,{(2223>≤≤---∈=Ωa z y x a R z y x ，S 为Ω的边界曲面外侧，计算⎰⎰+++++=Sz y x dzdxy a x dydz ax I 1)(2222五、已知10=x ，13014x x =+，41312+=x x ，…，4131+=+n n x x ，…. 求证：（1）数列}{n x 收敛；（2）}{n x 的极限值a 是方程0144=-+x x 的唯一正根. 六、设),(y x f 在单位圆上有连续的偏导数，且在边界上取值为零，求证：220lim 2(0,0)Df f xy x ydxdy f x y επ→∂∂+∂∂=-+⎰⎰ , 其中D 为圆环域：1222≤+≤y x ε 七、有一圆锥形的塔，底半径为R ，高为)(R h h >，现沿塔身建一登上塔顶的楼梯，要求楼梯曲线在每一点的切线与过该点垂直于xoy 平面的直线的夹角为4π，楼梯入口在点( ,0,0 )R , 试求楼梯曲线的方程.。

(完整版)大学生高等数学竞赛试题汇总及答案,推荐文档

而此图形绕 x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即
令
V (a) 2 a 1 (1 2a) 8 (1 a) 0 ，
5
3
27
得
即
因此
a 5 ,b 3 ,c 1.
42
七、（15
分）已知 un (x)
满足 un (x)
un (x)
xn1e x (n
1,2,)
,且 un (1)
e n
,
求函数项级数
收敛；
（2）当
1且 sn
(n ) 时，级数
n1
an Sn
发散。
解：
（1） an >0, sn 单调递增
当
n1
an
收敛时，
an sn
an s1
，而 an
s1
收敛，所以 an
sn
收敛；
当
n1
an
发散时，
lim
n
sn
所以， an s n1 n
a1 s1
n2
sn sn1
dx x
a1 s1
（1） xesin ydy yesin xdx
L
D
x
( xesin
y
)
y
(
ye sin
x
)dxdy
而 D 关于 x 和 y 是对称的，即知
因此
（2）因
故
由
知
即 xesin ydy yesin ydx 5 2
L
2
五、（10 分）已知 y1 xex e2x ， y2 xex ex ， y3 xex e2x ex 是某
zy 2 y 知 2 zx (x0 , y0 ) x0 ,2 zy (x0 , y0 ) 2 y0 ，即 x0 2, y0 1，又 z(x0 , y0 ) z(2,1) 5 ，于是曲面 2x 2 y z 0 在 (x0 , y0 , z(x0 , y0 )) 处的切平面方程是

大学生高等数学竞赛试题汇总及答案

前三届高数竞赛预赛试题非数学类参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;2009-2010年第一届全国大学生数学竞赛预赛试卷一、填空题每小题5分1．计算=--++⎰⎰y x yx x yy x Dd d 1)1ln()(16/15,其中区域D 由直线1=+y x 与两坐标轴所围成三角形区域.解: 令v x u y x ==+,,则v u y v x -==,,v u v u y x d d d d 1110det d d =⎪⎪⎭⎫⎝⎛-=,⎰-=102d 1u uu 令u t -=1,则21t u -=dt 2d t u -=,42221t t u +-=,)1)(1()1(2t t t u u +-=-,2．设)(x f 是连续函数,且满足⎰--=222d )(3)(x x f x x f , 则=)(x f ____________.解: 令⎰=2d )(x x f A ,则23)(2--=A x x f ,A A x A x A 24)2(28d )23(202-=+-=--=⎰,解得34=A ;因此3103)(2-=x x f ; 3．曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是__________.解: 因平面022=-+z y x 的法向量为)1,2,2(-,而曲面2222-+=y x z 在),(00y x 处的法向量为)1),,(),,((0000-y x z y x z y x ,故)1),,(),,((0000-y x z y x z y x 与)1,2,2(-平行,因此,由xz x =,yz y 2=知0000002),(2,),(2y y x z x y x z y x ====,即1,200==y x ,又5)1,2(),(00==z y x z ,于是曲面022=-+z y x 在)),(,,(0000y x z y x 处的切平面方程是0)5()1(2)2(2=---+-z y x ,即曲面2222-+=y x z 平行平面022=-+z y x 的切平面方程是0122=--+z y x ;4．设函数)(x y y =由方程29ln )(y y f e xe =确定,其中f 具有二阶导数,且1≠'f ,则=22d d x y________________. 解: 方程29ln )(y y f e xe =的两边对x 求导,得因)(29ln y f y xe e =,故y y y f x '=''+)(1,即))(1(1y f x y '-=',因此二、5分求极限xenx x x x ne e e )(lim 20+++→ ,其中n 是给定的正整数. 解 :因故因此三、15分设函数)(x f 连续,⎰=10d )()(t xt f x g ,且A xx f x =→)(lim,A 为常数,求)(x g '并讨论)(x g '在0=x 处的连续性.解 : 由A x x f x =→)(lim和函数)(x f 连续知,0)(lim lim )(lim )0(000===→→→xx f x x f f x x x因⎰=10d )()(t xt f x g ,故0)0(d )0()0(10===⎰f t f g , 因此,当0≠x 时,⎰=xu u f xx g 0d )(1)(,故当0≠x 时,xx f u u f x x g x )(d )(1)(02+-='⎰, 这表明)(x g '在0=x 处连续.四、15分已知平面区域}0,0|),{(ππ≤≤≤≤=y x y x D ,L 为D 的正向边界,试证：1⎰⎰-=---Lx y Lx y x ye y xe x ye y xe d d d d sin sin sin sin ；22sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe .证 :因被积函数的偏导数连续在D 上连续,故由格林公式知 1y x ye y xe x x ye y xe Dx y Lx y d d )()(d d sin sin sin sin ⎰⎰⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡-∂∂-∂∂=---而D 关于x 和y 是对称的,即知因此 2因故由知即 2sin sin 25d d π⎰≥--Ly y x ye y xe五、10分已知x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是某二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,试求此微分方程.解设x x e xe y 21+=,x x e xe y -+=2,x x x e e xe y --+=23是二阶常系数线性非齐次微分方程的三个解,则x x e e y y 212-=--和x e y y -=-13都是二阶常系数线性齐次微分方程的解,因此0=+'+''cy y b y 的特征多项式是0)1)(2(=+-λλ,而0=+'+''cy y b y 的特征多项式是因此二阶常系数线性齐次微分方程为02=-'-''y y y ,由)(2111x f y y y =-'-''和 x x x e xe e y 212++=',x x x e xe e y 2142++='' 知,1112)(y y y x f -'-''=)(2)2(42222x x x x x x x x e xe e e xe e e xe +-++-++= 二阶常系数线性非齐次微分方程为六、10分设抛物线c bx ax y ln 22++=过原点.当10≤≤x 时,0≥y ,又已知该抛物线与x 轴及直线1=x 所围图形的面积为31.试确定c b a ,,,使此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积最小.解因抛物线c bx ax y ln 22++=过原点,故1=c ,于是即而此图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体的体积即令0)1(278)21(3152)(=---+='a a a a V πππ, 得即因此45-=a ,23=b ,1=c .七、15分已知)(x u n 满足),2,1()()(1 =+='-n e x x u x u x n n n, 且neu n =)1(, 求函数项级数∑∞=1)(n n x u 之和.解x n n ne x x u x u 1)()(-+=', 即由一阶线性非齐次微分方程公式知即因此由)1()1(nC e u n e n +==知,0=C , 于是下面求级数的和：令则即由一阶线性非齐次微分方程公式知令0=x ,得C S ==)0(0,因此级数∑∞=1)(n n x u 的和八、10分求-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量.解令2)(t x t f =,则因当10<<x ,(0,)t ∈+∞时,2()2ln 0t f t tx x '=<,故xt t ex t f 1ln22)(-==在(0,)+∞上严格单调减;因此即()d ()1()d n f t t f n f t t ∞+∞+∞=≤≤+∑⎰⎰,又2()n n n f n x ∞∞===∑∑,21ln 1d 1ln1d d d )(01ln222πxt e xt et x t t f t xt t====⎰⎰⎰⎰∞+-∞+-∞+∞+,所以,当-→1x 时, 与∑∞=02n n x 等价的无穷大量是x-121π;2010-2012年第二届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题; 一、25分,每小题5分1设22(1)(1)(1),nn x a a a =+++其中||1,a <求lim .n n x →∞2求21lim 1x x x e x-→∞⎛⎫+ ⎪⎝⎭;3设0s >,求0(1,2,)sx n I e x dx n ∞-==⎰;4设函数()f t 有二阶连续导数,1(,)r g x y f r ⎛⎫== ⎪⎝⎭,求2222g g x y ∂∂+∂∂;5求直线10:0x y l z -=⎧⎨=⎩与直线2213:421x y z l ---==--的距离; 解：122(1)(1)(1)n n x a a a =+++=22(1)(1)(1)(1)/(1)nn x a a a a a =-+++- =222(1)(1)(1)/(1)na a a a -++-==12(1)/(1)n a a +--2 22211ln (1)ln(1)1lim 1lim lim x x x e x x xx xx x x e e e x -++--→∞→∞→∞⎛⎫+== ⎪⎝⎭令x=1/t,则原式=21(ln(1))1/(1)112(1)22lim lim lim t t t t ttt t t eeee +-+---+→→→===30000112021011()()[|](1)!!sx n n sx n sx sx n n sx n n n n n I e x dx x de x e e dx s s n n n n n n e x dx I I I s s s s s ∞∞∞---∞-∞----+==-=--=-=====⎰⎰⎰⎰二、15分设函数()f x 在(,)-∞+∞上具有二阶导数,并且()0,lim ()0,lim ()0,x x f x f x f x αβ→+∞→-∞''''>=>=<且存在一点0x ,使得0()0f x <;证明：方程()0f x =在(,)-∞+∞恰有两个实根;解：二阶导数为正,则一阶导数单增,fx 先减后增,因为fx 有小于0的值,所以只需在两边找两大于0的值;将fx 二阶泰勒展开：因为二阶倒数大于0,所以lim ()x f x →+∞=+∞,lim ()x f x →-∞=-∞证明完成;三、15分设函数()y f x =由参数方程22(1)()x t t t y t ψ⎧=+>-⎨=⎩所确定,其中()t ψ具有二阶导数,曲线()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切,求函数()t ψ; 解：这儿少了一个条件22d ydx=由()y t ψ=与22132t u y e du e-=+⎰在1t =出相切得 3(1)2e ψ=,'2(1)eψ= 22d y dx ='3''()(2(/)(/)//(22)2)2()d dy dx d dy dx dt dx dx d t t t t t ψψ==++-=;;; 上式可以得到一个微分方程,求解即可; 四、15分设10,,nn n k k a S a =>=∑证明：1当1α>时,级数1nn na S α+∞=∑收敛； 2当1α≤且()n s n →∞→∞时,级数1nn na S α+∞=∑发散; 解：1n a >0, n s 单调递增当1n n a ∞=∑收敛时,1n n n a a s s αα<,而1n a s α收敛,所以nna s α收敛；当1n n a ∞=∑发散时,lim n n s →∞=∞所以,11111211n n n s s n s s n n na a a dx dx s s x s x ααααα-∞∞==<+=+∑∑⎰⎰而1111111111lim 11ns n s n s s a a s dx k x s s αααααααα---→∞-=+=+=--⎰,收敛于k; 所以,1nn na s α∞=∑收敛; 2lim n n s →∞=∞所以1n n a ∞=∑发散,所以存在1k ,使得112k n n a a =≥∑于是,111122212k k k n n n n nk a a a s s s α≥≥≥∑∑∑依此类推,可得存在121...k k <<<使得112i i k n k n a s α+≥∑成立,所以112Nk n na N s α≥⋅∑ 当n →∞时,N →∞,所以1nn na s α∞=∑发散五、15分设l 是过原点、方向为(,,)αβγ,其中2221)αβγ++=的直线,均匀椭球2222221x y z a b c ++≤,其中0,c b a <<<密度为1绕l 旋转; 1求其转动惯量；2求其转动惯量关于方向(,,)αβγ的最大值和最小值; 解：1椭球上一点Px,y,z 到直线的距离由轮换对称性, 2a b c >>∴当1γ=时,22max 4()15I abc a b π=+ 当1α=时,22min 4()15I abc b c π=+六、15分设函数()x ϕ具有连续的导数,在围绕原点的任意光滑的简单闭曲线C 上,曲线积分422()cxydx x dyx yϕ++⎰的值为常数; 1设L 为正向闭曲线22(2)1,x y -+=证明422()0;cxydx x dyx y ϕ+=+⎰2求函数()x ϕ；3设C 是围绕原点的光滑简单正向闭曲线,求422()cxydx x dyx y ϕ++⎰;解：（1） L 不绕原点,在L 上取两点A,B,将L 分为两段1L ,2L ,再从A,B 作一曲线3L ,使之包围原点; 则有（2）令42422(),xy x P Q x y x yϕ==++ 由1知0Q P x y∂∂-=∂∂,代入可得上式将两边看做y 的多项式,整理得由此可得解得：2()x x ϕ=-（3）取'L 为424x y ξ+=,方向为顺时针2011-2012年第三届全国大学生数学竞赛预赛试卷参加高等数学竞赛的同学最重要的是好好复习高等数学知识,适当看一些辅导书及相关题目,主要是一些各大高校的试题;一．计算下列各题本题共3小题,每小题各5分,共15分1.求11cos 0sin lim xx x x -→⎛⎫⎪⎝⎭；解：用两个重要极限：2.求111lim ...12n n n n n →∞⎛⎫+++⎪+++⎝⎭；解：用欧拉公式令111...12n x n n n n=++++++ 其中,()1o 表示n →∞时的无穷小量,3已知()2ln 1arctan tt x e y t e ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩,求22d y dx ; 解：222222221211,121121tt t t t t t t t tte dx e dy e dy e e e e dt e dt e dx e e --++==-∴==+++ 二．本题10分求方程()()2410x y dx x y dy +-++-=的通解;解：设24,1P x y Q x y =+-=+-,则0Pdx Qdy +=1,P Q y x ∂∂==∴∂∂0Pdx Qdy +=是一个全微分方程,设dz Pdx Qdy =+ ,P Q y x∂∂=∴∂∂该曲线积分与路径无关三．本题15分设函数fx 在x=0的某邻域内具有二阶连续导数,且()()()'"0,0,0f f f 均不为0,证明：存在唯一一组实数123,,k k k ,使得()()()()1232230lim0h k f h k f h k f h f h→++-=;证明：由极限的存在性：()()()()1230lim 2300h k fh k f h k f h f →++-=⎡⎤⎣⎦即[]()123100k k k f ++-=,又()00f ≠,1231k k k ∴++=①由洛比达法则得由极限的存在性得()()()'''1230lim 22330h k fh k f h k f h →⎡⎤++=⎣⎦即()()'1232300k k k f ++=,又()'00f ≠,123230k k k ∴++=②再次使用洛比达法则得123490k k k ∴++=③由①②③得123,,k k k 是齐次线性方程组1231231231230490k k k k k k k k k ++=⎧⎪++=⎨⎪++=⎩的解设1231111123,,01490k A x k b k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭,则Ax b =, 增广矩阵*111110031230010314900011A ⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪=- ⎪⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,则()(),3R A b R A ==所以,方程Ax b =有唯一解,即存在唯一一组实数123,,k k k 满足题意, 且1233,3,1k k k ==-=;四．本题17分设2221222:1x y z a b c∑++=,其中0a b c >>>,2222:z x y ∑=+,Γ为1∑与2∑的交线,求椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值;解：设Γ上任一点(),,M x y z ,令()222222,,1x y z F x y z a b c=++-,则'''222222,,,x y z x y z F F F a b c ===∴椭球面1∑在Γ上点M 处的法向量为：222,,,x y z t a b c ⎛⎫=∴ ⎪⎝⎭1∑在点M 处的切平面为∏：原点到平面∏的距离为d =,令()222444,,,x y z G x y z a b c =++则1d =现在求()222444,,,x y z G x y z a b c =++在条件2222221x y z a b c++=,222z x y =+下的条件极值,令()()22222222212444222,,1x y z x y z H x y z x y z a b c a b c λλ⎛⎫=+++++-++- ⎪⎝⎭则由拉格朗日乘数法得：'1242'1242'1242222222222222022202220100x y z xx H x a a y y H y b b z z H z c c x y z ab c x y z λλλλλλ⎧=++=⎪⎪⎪=++=⎪⎪⎪=+-=⎨⎪⎪++-=⎪⎪⎪+-=⎪⎩, 解得2222220x b c y z b c =⎧⎪⎨==⎪+⎩或2222220a c x z a c y ⎧==⎪+⎨⎪=⎩, 对应此时的()()442222,,b c G x y z b c b c +=+或()()442222,,a c G x y z a c a c +=+此时的1d =2d =又因为0ab c >>>,则12d d <所以,椭球面1∑在Γ上各点的切平面到原点距离的最大值和最小值分别为：2d =1d =五．本题16分已知S 是空间曲线2231x y z ⎧+=⎨=⎩绕y 轴旋转形成的椭球面的上半部分0z≥取上侧,∏是S 在(),,P x y z 点处的切平面,(),,x y z ρ是原点到切平面∏的距离,,,λμν表示S 的正法向的方向余弦;计算：1(),,SzdS x y z ρ⎰⎰；2()3S z x y z dS λμν++⎰⎰解：1由题意得：椭球面S 的方程为()222310x y z z ++=≥令22231,Fx y z =++-则'''2,6,2x y z F x F y F z ===,切平面∏的法向量为(),3,n x y z =,∏的方程为()()()30x X x y Y y z Z z -+-+-=,原点到切平面∏的距离()222,,x y z ρ==将一型曲面积分转化为二重积分得：记22:1,0,0xz D x z x z +≤≥≥2方法一：λμν===六．本题12分设fx 是在(),-∞+∞内的可微函数,且()()f x mf x <、,其中01m <<,任取实数0a ,定义()1ln ,1,2,...,n n a f a n -==证明：()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛; 证明：()()112ln ln nn n n a a f a f a ----=-由拉格朗日中值定理得：ξ∃介于12,n n a a --之间,使得()()()'112n n n n f a a a a f ξξ---∴-=-,又()()f mf ξξ<、得()()'f m f ξξ<∴级数1101n n m a a ∞-=-∑收敛,∴级数11nn n aa ∞-=-∑收敛,即()11n n n a a ∞-=-∑绝对收敛;七．本题15分是否存在区间[]0,2上的连续可微函数fx,满足()()021f f ==,()()201,1fx f x dx ≤≤⎰、请说明理由;解：假设存在,当[]0,1x ∈时,由拉格朗日中值定理得： 1ξ∃介于0,x 之间,使得()()()'10,f x f f x ξ=+, 同理,当[]1,2x ∈时,由拉格朗日中值定理得：2ξ∃介于x,2之间,使得()()()()'222f x f f x ξ=+-即()()[]()()()[]''121,0,1;12,1,2f x f x x f x f x x ξξ=+∈=+-∈ ()11f x -≤≤、,显然,()()200,0f x f x dx ≥≥⎰()()()()()1221211111133x dx x dx f x dx x dx x dx ≤-+-≤≤++-=⎰⎰⎰⎰⎰()21f x dx ∴≥⎰,又由题意得()()221,1f x dx f x dx ≤∴=⎰⎰即()21f x dx =⎰,()[][]1,0,11,1,2x x f x x x ⎧-∈⎪∴=⎨-∈⎪⎩ ()'1f ∴不存在,又因为fx 是在区间[]0,2上的连续可微函数,即()'1f 存在,矛盾,故,原假设不成立,所以,不存在满足题意的函数fx;。

江苏省第十一届高等数学竞赛题(本一)试卷评分标准

2012年江苏省普通高等学校第十一届高等数学竞赛试题（本科一级）评分标准一、填空题（每小题4分，共32分，把答案写在题中横线上）1、x→2、()()2ln 1,ny x y =−=则 3、820sin d x x π=∫ 4、1∫5、函数 ()()(),,,x x f x y ϕψ皆可微，设()()(),,z f x y x y ϕψ=+则z z x y∂∂−∂∂ =6、()2222,d d d x y z z x y z x y z ΩΩ++≤++=∫∫∫设：则 7、到直线 (213−点，，)13122x y z−+==−的距离为 8、级数()()211k nnn n n ∞=−+−∑为条件收敛，则常数 k二、（每小题6分，共12分）（1）求 ()11231lim n n nn→∞+−+−+−⋅""（2）设在处三阶可导，且)(x f 0=x (0)0,(0)3f f ′′′==，求 30(e 1)()lim .x x f f x x→−−三、（每小题6分，共12分）在下面两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例，并证明满足条件；若不存在，请给出证明.（1）函数()f x 在处可导，但在0x =0x =的某去心邻域内处处不可导.（2）函数()f x 在(),δδ−上一阶可导()0δ>，()0f 为极值，且()()0,0f 为曲线的拐点.()y f x =四、（10分）设函数(,)f x y 在平面区域D 上可微，线段位于PQ D 内，点的坐标分别为,P Q (),P a b ，,求证：在线段上存在点(,Q x y )PQ (),M ,ξη使得()()()()()(),,,,x y .f x y f a b f x a f y b ξηξη′′=+−+−五、（12分）计算曲线积分222222222()d ()d ()d x y z x y z x y z x y Γ+−++−++−∫v z , 其中 2226x y z y Γ++=为与 224x y y +=(0)z ≥ 的交线，从轴正向看去为逆时针方向..z六、（12分）点()()1,2,1,5,2,3A B −−在平面:223x y z Π−−=的两侧，过点,A B 作球面使其在平面ΣΠ上截得的圆Γ最小，（1）求球面的球心坐标与该球面的方程； Σ（2）证明: 直线与平面的交点是圆AB ΠΓ的圆心.七、（10分）求级数()()21112nnnn nn∞=++−∑ 的和.。

江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛(本一)

江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛（本一）南京晓庄学院获奖名单
姓名王杏龙周勇
单位南京晓庄学院南京晓庄学院
获奖等级一等奖一等奖
备注
江苏省普通高等学校第十四届高等数学竞赛（本三）南京晓庄学院获奖名单
姓名申李周杨中婕杰丽
单位南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院
获奖等级二等奖二等奖二等奖三等奖
备注
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贺韩
婕清
南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院南京晓庄学院
三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖三等奖
钱文慧黄董陈张叶颖源磊伟彤
谢敏寰陆晓蕾吴笑怡
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(完整版),江苏省高校历届专科类数学竞赛试题汇总,推荐文档

江苏省高校历届专科类高等数学竞赛试题第五届（2000年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题3分，共15分）1．已知，则．21()d f x dx x ⎡⎤=⎣⎦()f x '=2．．1ln 0lim (tan )xx x +→=3．　．=⎰4．若级数收敛，则的取值为．11(2)66n n nn n a n -∞=-+∑a 5．．[()()]sin aaf x f x xdx -+-=⎰二、选择题（每小题3分，共15分）1．函数的可去间断点为（）．21()(1)x e f x x x -=-A ． B ．C ．D ．无可去间断点0,1x =1x =0x =2．设，则当时，是的（）．21()sin,()sin f x x g x x x==0x →()f x ()g x A ．同阶无穷小但不等价 B ．低阶无穷小C ．高阶无穷小D ．等价无穷小3．设常数，函数在内零点个数为（）．0k >()ln xf x x k e=-+(0,)+∞A ．B ．C ．D ． 32104．设对一切满足，若且，则函数()y f x =x 240y y y '''--=0()0f x >0()0f x '=在点（）．()f x 0x A ．取得极大值B ．取得极大值C ．某个邻域内单调增加D ．某个邻域内单调减少5．过点且与直线垂直的平面方程是（）．(2,0,3)-2470,35210x y z x y z -+-=⎧⎨+-+=⎩A ． B ．16(2)1411(3)0x y z --+++=(2)24(3)0x y z --++=C ．D ．3(2)52(3)0x y z -+-+=16(2)1411(3)0x y z -+++-=三、（8分）设，求常数．2220ln(1)()lim (ln )e x x ax bx dxx x x +∞→+-+=⎰,a b 四、（6分）已知函数由方程组确定，求．()y y x =(1)0,10y x t t te y +-=⎧⎨++=⎩220t d y dx =五、（6分）设在上连续，在内可导，且对于内的一切均有(),()f x g x [,]a b (,)a b (,)a b x ，证明：若在内有两个零点，则介于这两个零点之()()()()0f x g x f x g x ''-≠()f x (,)a b 间，至少有一个零点．()g x 六、（6分）设，其中是实数，且12()sin sin 2sin n f x a x a x a nx =+++ 12,,,n a a a ，试证：|()||sin |f x x ≤12|2|1n a a na +++≤ 七、（6分）过抛物线上一点作切线，问为何值时所作切线与抛物线2y x =2(,)a a a 所围成的图形面积最小？241y x x =-+-八、（6分）当时，的导数与为等价无穷小，0x →220()()()xF x x t f t dt '=-⎰2x 求．(0)f '九、（8分）求级数的收敛域及和函数.21(21)n n n x∞+=+∑十、（8分）将展为的幂级数，并指明收敛域．1()arctan1xf x x+=-x 十一、（6分）求．581x xdx x -+⎰十二、（8分）设可微函数在上有定义，其反函数为，且满足()f x 0x >()g x，试求．3()211()(8)3f xg x dxx x =-⎰()f x 第六届（2002年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．．40ln(1)lim 1cos(1cos )x x x →-=--2．设，则，．0lim(0)x c c +→=≠k =c =3．设在上可导，下列结论中成立的是．()f x [1,)+∞A ．若，则在上有界lim ()0x f x →+∞'=()f x [1,)+∞B ．若，则在上无界lim ()0x f x →+∞'≠()f x [1,)+∞C ．若，则在上无界lim ()1x f x →+∞'=()f x [1,)+∞4．设，则　．2ln(1),arctan x t y t t =+=+22d ydx=5．设由确定，则．()1yex y x x -+-=+()y y x =(0)y ''=6．　．(arcsin arccos )x x dx -=⎰7．．4+∞=⎰8．幂级数的收敛域为．11112n n x n ∞=⎛⎫+++ ⎪⎝⎭∑ 二、（8分）设在上连续且单调减少，，求证：()f x [0,)+∞0a b <<．()()b aa f x dxb f x dx ≤⎰⎰三、（9分）设．()sin f x kx x =+（1）若，求证：在上恰有一个零点；1k ≥()f x (,)-∞+∞（2）若，且在上恰有一个零点，求常数的取值范围．01k <<()f x (,)-∞+∞k 四、（8分）求．2201tan 2x x e dx π⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎰五、（9分）设2224420,:22.x y z x y z x y z k ⎧+++-+=Γ⎨+-=⎩（1）当为何值时为一圆？（2）当时，求的圆心和半径．k Γ6k =Γ六、（8分）求直线绕轴旋转一周的旋转曲面的方程，并求该曲面与1211x y z-==-y 所包围的立体的体积．0,2y y ==七、（9分）求．2222123123lim 2222n n n →∞⎛⎫++++ ⎪⎝⎭ 八、（9分）设为常数，试判别级数的敛散性，何时绝对收敛？何时k 221(1)(ln )nk n n x ∞=-∑条件收敛？何时发散？第七届（2004年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．是周期为的奇函数，当时，，则当()f x π0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()sin cos 2f x x x =-+时，．,2x ππ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭()f x =2．当时，与为等价无穷小，则， 0x →sin cos x x x -kcx k =c =．3．．2tan2lim(sin )xx x π→=4．．2222lim 14n n n n n n n n →∞⎛⎫+++=⎪+++⎝⎭ 5．已知，则当时，．2()ln(1)f x x x =-2n >()(0)n f=6．．2(1)(1)x x e x dx xe +=-⎰7．以直线为对称轴，且半径的圆柱面方程为．x y z ==1R =8．．1(1)2nn nn ∞==+∑二、（10分）设在上连续，在内可导，，()f x [,]a b (,)a b ()f a a =，求证：在内至少有一点，使得．221()()2baf x dx b a =-⎰(,)a b ξ()()1f f ξξξ'=-+三、（10分）设．在的边界上22{(,)|4,,2,4}D x y y x y x x y x y =-≤≥+≥+≤D y x =任取一点，设到原点的距离为，作垂直于，交的边界P P t PQ y x =D 于．224y x -=Q （1）试将的距离表示为的函数；（2）求绕旋转一周的旋转体体,P Q ||PQ t D y x =积．四、（10分）设在上有定义，在处连续，且对一切实数()f x (,)-∞+∞()f x 0x =有，求证：在上处处连续．12,x x 1212()()()f x x f x f x +=+()f x (,)-∞+∞五、（10分）设为常数，方程在上恰有一根，求的取值范围．k 110kx x-+=(0,)+∞k 六、（10分）已知点与，在平面上求一点，使得(1,0,1)P -(3,1,2)Q 212x y z -+=M 最小．||||PM MQ +七、（10分）求幂级数收敛域11(32)n n nn x n ∞=+∑ 第八届（2006年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．．22232323212lim 12n n n n n n →∞⎛⎫+++= ⎪+++⎝⎭2．．23001lim(1)xt x e dt x-→-=⎰3．若，则，　．lim )0x ax b →+∞++=a =b =4．设，则　．2sin ()(1)xf x x x e=++(0)f ''=5．设，则．2ln(1),arctan x t y t =+=221t d ydx =-=6．．1ln[()()]()()x bx a x a x b dx x a x b +++⋅+=++⎰7．为空间的4个定点，与的中点分别为，（为常,,,A B C D AB CD ,E F ||EF a =0a >数），为空间的任一点，则的最小值为．P ()()PA PB PC PD ++A 8．已知点为原点，则四面体的外接球面的方(4,0,0),(0,2,0),(0,0,2),ABC O --OABC 程为．二、（8分）设，试问：为何值时，在2sin ,0()ln(1),0ax b x c x f x x x ⎧++≤=⎨+>⎩,,a b c ()f x处一阶导数连续，但二阶导数不存在．0x =三、（9分）过点作曲线的切线．(1,5)3:y x Γ=L （1）求的方程；（2）求与所围平面图形的面积；L ΓL D （3）求图形的的部分绕轴旋转一周所得立体的体积．D 0x ≥x 四、（8分）设在区间上是导数连续的函数，，()f x [0,)+∞(0)0,|()()|1f f x f x '=-≤求证：．|()|1,[0,)xf x e x ≤-∈+∞五、（8分）求．120arctan (1)xdx x +⎰六、（9分）设圆柱面被柱面截下的（有限）部分221(0)x y z +=≥222z x z =++为．为计算曲面的面积，我们用薄铁片制作的模型，其中∑∑∑为上三点，将沿线段剪开并展成平面图形．建(1,0,5),(1,0,1),(1,0,0)A B C --∑∑BC D 立平面直角坐标系，使位于轴正上方，点的坐标为．试写出的边界的方程，D x A (0,5)D 并求的面积．D 七、（9分）对常数，讨论级数何时绝对收敛？何时条件收敛？p 11(1)n n ∞+=-∑何时发散？八、（9分）求幂级数的收敛域与和函数．212nnn n ∞=∑第九届（2008年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题5分，共40分）1．，时，．a =b =2||limarctan ||2x ax x x bx x π→∞+=--2．．11lim(2)nn k k k →∞==+∑3．设，则．()(1)(2)(100)f x x x x x =--- (100)f '=4．当，时，在时关于的无a =b =2()1xf x ax x bx=+++0x →x 穷小的阶数最高．5．．2221(1)x dx x +∞=+⎰6．点关于平面的对称点的坐标为．(2,1,1)-25x y z -+=7．通过点与直线：的平面方程为．(1,1,1)-,2,2x t y z t ===+8．幂级数的和函数为，收敛域为．1nn nx∞=∑二、（8分）设数列为，求证数列收敛，并求其{}nx 111,(1,2,)n x x n +=== {}n x 极限．三、（8分）设函数在上连续，求证：存在，()f x [,]a b (0),()0baa f x dx >=⎰(,)a b ξ∈使得．()()af x dx f ξξξ=⎰四、（8分）将平面上的曲线绕直线旋转一周得xOy 222()(0)x b y a a b -+=<<3x b =到旋转曲面，求此旋转曲面所围立体的体积．五、（8分）求．200lim sin()tt tx dx +→⎰六、（10分）在平面内作一条直线，使该直线经过另一直线:220x y z ∏+-=Γ与平面的交点，且与垂直，求直线的参数方程．221,:343x y z L x y z -+=⎧⎨+-=⎩∏ΓL Γ七、（8分）判别级数的收敛性（包括绝对收敛、条件收敛、发散）．)11(1)1n n ∞+=--∑八、（10分）求函数的幂级数展开式，并指出其收敛域．222()(1)(12)x f x x x +=-+第十届（2010年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．．30sin sin(sin )lim x x x x →-=2．，则．2arctan()tan x y x e x =+y '=3．设由确定，则．y x x y =()y y x =dy dx=4．，则．2cos y x =()n y =5．．21x x e dx x -=⎰6．．2140arctan()1x x dx x =+⎰7．圆的面积为．2222220,42219x y z x y z x y z +-+=⎧⎨++--+≤⎩8．级数的和为．11(1)!2!n n n n n ∞=+-∑二、（10分）设为正常数，使得对一切正数成立，求常数的最小值．a 2axx e ≤x a三、（10分）设函数在上连续，且，求证：存在()f x [0,1]1100()()f x dx xf x dx =⎰⎰，使得．(0,1)ξ∈()0a f x dx ξ=⎰四、（12分）求反常积分．4211dx x +∞-⎰五、（12分）过原点作曲线的切线，求该切线、曲线与轴所围(0,0)ln y x =-ln y x =-x 的图形绕轴旋转一周所得的旋转体的体积．x 六、（12分）已知正方体的边长为2，为的中点，为侧面正1111ABCD A B C D -E 11D C F 方形的中心．（1）试求过点的平面与底面所成的二面角的值；11BCC B 1,,A E F ABCD （2）试求点到过点的平面的距离．D 1,,AEF 七、（12分）已知数列单调增加，满足{}n a 123111,2,5,,3n n n a a a a a a +-====- ，记，判别级数的敛散性．(2,3,)n = 1n n x a =1n n x ∞=∑第十一届（2012年）专科类高等数学竞赛试题一、填空题（每小题4分，共32分）1．．0x →=2．．333412lim x n n →∞+++= 3．．30230sin lim sin x x t tdt x x →=⎰4．，则．ln(1)y x =-()n y =5．．2arctan x xdx =⎰6．．11arccos x dx x=7．点到直线的距离为．(2,1,3)-13122x y z -+==-8．级数为条件收敛，则常数的取值范围是．2(1)1kn n n n ∞=--∑k 二、（每小题6分，共12分）（1）求．3322131lim ()n i n n n i →∞=⎛⎫- ⎪+⎝⎭∑（2）设在处可导，且，求．()f x 0x =(0)1,(0)2f f '==20(cos 1)1lim x f x x →--三、（第（1）小题4分，第（2）小题6分，共10分）在下列两题中，分别指出满足条件的函数是否存在？若存在，举一例；若不存在，请给出证明．（1）函数在上有定义（），当时，严格增加，当()f x (,)δδ-0δ>0x δ-<<()f x 时，严格减少，存在，且是的极小值．0x δ<<()f x 0lim ()x f x →(0)f ()f x （2）函数在上一阶可导（），为极值，且为曲线()f x (,)δδ-0δ>(0)f (0,(0))f 的拐点．()y f x =四、（10分）求一个次数最低的多项式，使得它在时取极大值，在时()P x 1x =134x =取极小值．14-五、（12分）过原点作曲线的切线，设是以曲线、切线及轴为(0,0):x y e -Γ=L D Γx 边界的无界区域．（1）求切线的方程；（2）求区域的面积；（3）求区域绕轴旋L D D x 转一周所得旋转体的体积．六、（12分）点在平面的两侧，过点作球面(1,2,1),(5,2,3)A B --:223x y z ∏--=,A B 使其在平面上截得的圆最小．∑∏Γ（1）求直线与平面的交点的坐标；AB ∏M （2）若点是圆的圆心，求球面的球心坐标与该球面方程；M Γ∑（3）证明：点确是圆的圆心．M Γ七、（12分）求级数的和．1(1)(1)2nn n n n n ∞=++-∑。

2018年江苏省高等数学竞赛本科二级试题

2018年江苏省高等数学竞赛(本二)试题一、填空题（每小题4分，共20分）1、()1432lim 1234n n n n n n →∞+++= .2、设0a >，则()lim ln 1e ln 1ax x a x →+∞⎛⎫ +-= ⎝⎭ . 3、12ln ()arctan ,(),(())1x f u x y f x u x ϕϕ+===+，则1d d x y x == . 4、()302d 1x x x +∞=+⎰ . 5、已知函数(),F u v 可微，(0,0)1,(0,0)2u v F F ''==，函数(),z f x y =由方程()22223,40F x y z x y z -+-+=确定，满足(1,2)0f =，则(1,2)x f '= .二、解答下列各题（每小题5分，共10分） (1) 求定积分220(cos cos 2)d x x x π+⎰； (2) 求极限()2222lim sin .x y x yx xy y x xy y →∞→∞+-+-+ 三、（10分）已知函数()f x 在0x =处可导，数列{}{},n n x y 满足：()(,0),(0,)0n n x y δδδ∈-∈>，且lim 0,lim 0n n n n x y →∞→∞==，试求： ()()lim .n n n n n n nx f y y f x y x →∞-- 四、（10分）已知22111sin cos ,1001()0,0x x x f x x x x x ⎧⎪⎪--≤<<≤⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩或试判别： (1) ()f x 在区间1,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否连续？若有间断点，判断其类型；(2) ()f x 在区间1,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否存在原函数？若存在，写出一个原函数；若不存在，写出理由；(3) ()f x 在区间1,1⎡⎤-⎢⎥⎣⎦上是否可积？若可积，求出()11d f x x -⎰；若不可积，说明理由.五、（12分）已知函数231sin ,0,(),01,2arctan ,12x x f x a bx cx dx x x x ⎧⎪⎪+<⎪⎪⎪⎪⎪=+++≤≤⎨⎪⎪⎪⎪⎪->⎪⎪⎩在(,)-∞+∞上可导，试求常数,,,d.a b c六、（12分）设{}22(,)|2(),0D x y x y x y y =+≤-≥. (1)试求区域D 的面积；(2) 试求区域D 绕x 轴旋转一周生成的旋转体的体积.七、（14分）已知曲线22:324x y xy Γ++=是xOy 平面上的椭圆. (1)试求椭圆Γ的四个顶点的坐标，并求Γ所围平面图形的面积；(2)试求椭圆Γ上纵坐标最大与最小的点的坐标.八、（12分）已试求二次积分()()12||||331d e sin d .x y x x x y y --+⎰⎰。