表上作业法
表上作业法
运输问题的求解方法——表上作业法产销平衡表与单位运价表表上作业法一、产销平衡表与单位运价表运输问题还可用产销平衡表与单位运价表进行描述。
假设某种物资有m个生产地点Ai（i=1，2，…，m），其产量（供应量）分别为ai（i=1，2，…，m），有n个销地Bj（j=1，2，…，n），其销量（需求量）分别为bj（j=1，2，…，n）。
从Ai到Bj运输单位物资的运价（单价）为Cij。
将这些数据汇总可以得到产销平衡表和单位运价表5.3.1。
表5.3.1 产销平衡表与单位运价表二、表上作业法运输这一类特殊问题可用更加简便的求解方法———表上作业法求解，实质仍是单纯形法，步骤如下：（1）确定初始调运方案，即找出初始基可行解,在产销平衡表上给出m+n-1个数字格。
（2）求非基变量的检验数，即在表上计算空格的检验数，判别是否达到最优解：是否存在负的检验数？如果存在负的检验数，则初始调运方案不是最优方案；如果所有检验数都非负，则初始调运方案已经是最优方案了。
如果已经得到最优调运方案，则停止计算，否则转入下一步。
（3）确定换入变量和换出变量，找出新的调运方案（新的基可行解），即在表上用闭回路法进行调整。
(4）重复（1）～（2），直到求出最优解为止。
（一）确定初始可行基的方法⏹最小元素法从单位运价表中最小的运价开始确定供销关系，然后考虑运价次小的，一直到给出初始基可行解为止。
⏹伏格尔法采用最小元素法可能造成其他处的更多浪费，伏格尔法考虑最小运费与次小运费之间的差额，差额越大，就按次小运费调运。
（二）最优解的判别计算非基变量（空格）的检验数,当所有的检验数时，为最优解。
求空格检验数的方法有：⏹闭回路法以某一空格为起点找一条闭回路，用水平或垂直线向前划，每碰到一数字格转900后，继续前进，直到回到起始空格为止。
闭回路如图5.3.1的（a）、（b）、（c）等所示。
从每一个空格出发一定存在并且可以找到唯一的闭回路。
因为，m+n-1个数字格（基变量）对应的系数向量是一个基，任一空格（非基变量）对应的系数向量是这个基的线性组合。
《表上作业法》
《表上作业法》《表上作业法》是一种求解指派问题的优化算法。
这种算法通过在表格中进行标记和计算，找出最优解或可行解，使得分配问题得到最优质的解决方案。
以下是关于《表上作业法》的详细介绍。
1.背景和目的《表上作业法》是一种针对指派问题的优化算法，旨在寻找最优解或可行解，使得分配问题得到最优质的解决方案。
它是一种常见的数学优化方法，适用于各种类型的分配问题，如任务分配、资源分配和决策制定等。
通过使用《表上作业法》，可以在给定的一组选项中，为每个任务或资源选择最佳的分配方案，以达到最优的效果或目标。
2.方法和步骤《表上作业法》的核心思想是将指派问题转化为表格形式，通过在表格中进行标记和计算，找出最优解或可行解。
《表上作业法》可以在一个给定的任务集合中选择一个任务来完成，使得选择的每个任务的综合评估值最大。
它包括以下步骤：（1）定义问题：首先，要明确指派问题的具体目标、任务集合、每个任务的评估值和约束条件等。
（2）建立表格：根据指派问题的任务集合和评估值，建立一个合适的表格。
表格的行代表各个任务，列代表可用的资源或选择方案。
在表格中，每个单元格表示某个任务在某个资源或选择方案下的评估值。
（3）填表：根据问题的约束条件和每个任务的评估值，填写表格中的各个单元格。
填表过程中要确保表格的可行性，即满足所有约束条件。
（4）寻找最优解：在填好表格后，通过一定的搜索策略，找出使得综合评估值最大的任务分配方案。
（5）输出结果：输出找到的最优解或可行解，分析每个任务被分配的情况以及对应的评估值。
3.应用和优势《表上作业法》适用于各种类型的指派问题，如任务分配、资源分配和决策制定等。
它具有以下优势：（1）直观易懂：《表上作业法》通过表格形式展示问题，使得问题更加直观易懂。
（2）容易实现：《表上作业法》算法流程清晰明了，容易实现，不需要太多的编程技巧。
（3）可扩展性强：《表上作业法》可以扩展到处理大型复杂的问题，可以有效地处理大规模问题。
管理运筹学 第七章 运输问题之表上作业法
最优解的判断与调整
最优解的判断
比较目标函数值，如果当前基础可行解 的目标函数值最优，则该解为最优解。
VS
最优解的调整
如果当前基础可行解不是最优解，需要对 其进行调整。通过比较不同运输路线的运 输费用，对运输量进行优化分配，以降低 总运输费用。
最优解的验证与
要点一
最优解的验证
对求得的最优解进行检验，确保其满足所有约束条件且目 标函数值最优。
01
将智能优化算法（如遗传算法、模拟退火算法等）与表上作业
法相结合，以提高求解效率和精度。
发展混合算法
02
结合多种算法的优势，发展混合算法以处理更复杂的运输问题。
拓展应用范围
03
在保持简单易行的基础上，拓展表上作业法的应用范围，使其
能够处理更多类型的运筹问题。
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果达到最优解，则确定最优解；如果未达到最优解，则确定次优解。
表上作业法的应用范围
总结词
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。
详细描述
表上作业法适用于解决供销平衡的运输问题，即供应量和需求量相等的情况。在这种情况下，可以通过在运输表 格上填入数字来求解最小运输成本。此外，表上作业法还可以用于解决其他类型的线性规划问题，如资源分配问 题、生产计划问题等。
03 表上作业法的求解过程
初始基础可行解的求解
确定初始基础可行解
根据已知的发货地和收货地的供需关系，以及运输能力限制，通 过试算和调整，求得初始的基础可行解。
初始解的检验
检查初始解是否满足非负约束条件，即所有出发地到收货地的运输 量不能为负数。
初始解的调整
如果初始解不满足非负约束条件，需要对运输量进行调整，直到满 足所有约束条件。
表上作业法的退化解
表上作业法的退化解标题：解析表上作业法的退化现象及其应对策略引言：表上作业法作为一种常见的学习方法，曾被广泛应用于学生课外学习和自我管理。
然而，随着社交媒体和便捷技术的普及，越来越多的学生表现出了对表上作业法退化的现象。
本文将从深度和广度的角度，全面评估表上作业法的退化现象，并提出有效的应对策略。
一、表上作业法的退化现象1. 表上作业法概述1.1 表上作业法的基本原理1.2 表上作业法的优点和适用情境2. 表上作业法退化现象的定义与表现2.1 学生对表上作业法的过度依赖2.2 学生对表上作业法的机械应用2.3 学生对表上作业法的误解与误用二、表上作业法退化的原因分析1. 社交媒体的影响1.1 社交媒体对学生学习动力的影响1.2 社交媒体对学生专注力和注意力的削弱2. 便捷技术的冲击2.1 便捷技术对学生时间管理的影响2.2 便捷技术对学习深度和思考能力的影响三、解决表上作业法退化现象的策略1. 培养学生的问题意识和批判思维能力1.1 激发学生对知识的主动思考和提问1.2 培养学生对信息的筛选和评估能力2. 借助辅助工具提升学习效果2.1 利用科技工具辅助学生的时间管理和学习计划2.2 探索创新工具和方法，使学习更有趣和高效结论：表上作业法的退化现象在当今社交媒体和便捷技术的背景下变得更加普遍。
学生对表上作业法的过度依赖、机械应用、误解与误用，主要源于社交媒体和便捷技术对学习动力、注意力、时间管理以及思考能力的消耗和冲击。
为了有效应对这一现象，学生应培养问题意识和批判思维能力，通过提高对知识的主动思考和自主学习，避免只停留在表面应用的层面。
适当借助辅助工具和创新方法，结合科技的力量提升学习效果，可以帮助缓解表上作业法退化带来的问题。
个人观点和理解：在我看来，表上作业法的退化现象不仅仅是学生个体的问题，更是当下教育环境和文化的共同挑战。
学生在接触到大量信息的应注重提升自身的批判思维和问题解决能力，以便能够更加深入地理解和应用所学知识。
表上作业法
第三章 运输问题的解法运输问题是一类特殊的线性规划问题，最早是从物质调运工作中提出的，后来又有许多其它问题也归结到这一类问题中。
正是由于它的特殊结构，我们不是采用线性规划的单纯方法求解，而是根据单纯形方法的基本原理结合运输问题的具体特性须用表上作业的方法求解。
§1 运输问题的数学模型及其特性1.1 运输问题的数学模型设有 个地点（称为产地或发地） 的某种物资调至 个地点（称为销地或收地），各个发点需要调出的物资量分别为个单位，各个收点需要调进的物资量分别为 个单位。
已知每个发点到每个收点的物资每单位运价为 ，现问如何调运，才能使总的运费最小。
我们把它列在一张表上（称为运价表）。
设 表示从产地运往销地的运价（ =1，2，…， ； =1，2，…， ）。
表3-1如果（总发量）（总收量），我们有如下线性规划问题：m mA A A ,,,21 n nB B B ,,,21 ma a a ,,,21 nb b b ,,,21 iA jB ijc ijx iA jB i m jn（3.1）（3.1）式称为产销平衡运输问题的数学模型。
当（总发量）（总收量）时。
即当产大于销（）时，其数学模型为（3.2）当销大于产（）时，其数学模型为（3.3）因为产销不平衡的运输问题可以转化为产销平衡的运输问题。
所以我们先讨论产销平衡的运输问题的求解。
运输问题有个未知量,个约束方程。
例如当≈40,=70时（3.1）式就有2800个未知量，110个方程,若用前面的单纯形法求解，计算工作量是相当大的。
我们必须寻找特殊解法。
1.2 运输问题的特性∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥====∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==≠nj jm i i ba 11∑∑==>nj jm i i ba 11∑∑===mi nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥===≤∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij ∑∑==<nj jm i i ba 11∑∑===m i nj ijij x c z 11min ⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧==≥=≤==∑∑==),,2,1;,2,1(0),,2,1(),,2,1(11n j m i x n j b x m I a x ij j mi ij i nj ij mn n m +m n由于运输问题也是线性规划问题，根据线性规划的一般原理，如果它的最优解存在，一定可以在基可行解中找到。
运筹学。 表上作业法
销地 产地
B1
B2
B3 4+1
B4 3-1 +1 3
产量 7 4 9
A1 A2 A3 3 6
1-1
销量
销地 产地
3
B1 3
6
B2
5
B3
6
B4 产量
调整后的新调运方案如下表：
A1
A2 A3 销量 3 6 6
5
2
1 3
7
4 9
20
5
6
对调整后的调运方案再进行最优性检验
销地 产地
B1
3 (0) 1 (0) 7
的对偶变量为u1，u2，…， um;v1，v2，…，vn
ui v j cij s.t . ui , v j 无 约 束 决策变量 xij 的检验数
ij cij C B B 1 Pij
cij YPij cij ( u1 , , um , v1 , , v n ) Pij cij ( ui v j )
§2 表上作业法
• 表上作业法实质是单纯形法。可归纳为： • (1) 找出初始基可行解。即在(m×n)产销平衡表 上用西北角法或最小元素法或Vogel法给出 m+n-1 个数字，称为数字格。它们就是初始基变量的 取值。 • (2) 求各非基变量的检验数，即在表上计算空格 的检验数，判别是否达到最优解。如已是最优 解，则停止计算，否则转到下一步。 • (3) 确定换入变量和换出变量，找出新的基可行 解。在表上用闭回路法调整。 • (4) 重复(2)，(3)直到得到最优解为止。 1
例3-1 某公司经销甲产品。它下设三个加工
厂。每日的产量分别是：A1为7吨，A2为4吨， A3为9吨。该公司把这些产品分别运往四个销 售点。各销售点每日销量为：B1为3吨，B2为6 吨，B3为5吨，B4为6吨。已知从各工厂到各销 售点的单位产品的运价为表3-3所示。问该公 司应如何调运产品，在满足各销点的需要量的
用表上作业法求解指派问题的方法
用表上作业法求解指派问题的方法指派问题是一类经典的优化问题，其目标是找到最佳的任务分配方案，使得总成本或总利益最小或最大化。
其中，指派问题的目标是将一系列任务分配给一组人员或资源，使得总成本最小化。
表上作业法（Hungarian algorithm）是解决指派问题的一种有效方法。
它的基本思想是利用矩阵的行和列的减法和加法运算，在保证每行每列至多只有一个0的条件下，找到最优的任务分配方案。
具体来说，表上作业法的步骤如下：1. 创建一个n x n的矩阵，其中n表示任务和人员或资源的数量。
矩阵的每个元素表示将某个任务分配给某个人员或资源的成本或利益。
2. 对矩阵进行行减法和列减法，使得每行和每列至少有一个0。
行减法和列减法的目的是找到一个初始解。
3. 在矩阵中找到一个0，标记该0为“*”。
如果该0位于独立的行或列中，则找到最优解，算法结束。
4. 如果该0位于非独立的行或列中，找到与该0同行或同列的其他0，并标记为“*”。
然后，以标记的0为新的起点，重复步骤3和4，直到找到最优解或无法找到更多的0。
5. 如果无法找到更多的0，则进行列减法和行加法，找到一个最小的非标记元素，并将其减去该行的最小非标记元素。
然后，将矩阵中所有的标记元素去除，回到步骤3。
通过重复执行步骤3至步骤5，直到找到最优解为止。
最优解是指在保证每行和每列至多只有一个0的条件下，使得总成本最小化或总利益最大化的任务分配方案。
表上作业法是解决指派问题的一种经典算法，其时间复杂度为O(n^3)，能够快速找到最优解。
因此，它在实际应用中被广泛使用，如任务分配、人员调度、作业调度等领域。
表上作业法添0
表上作业法添0（实用版）目录1.表上作业法的概念2.表上作业法的应用3.表上作业法添 0 的规则4.表上作业法添 0 的实际应用案例5.表上作业法添 0 的优点与局限性正文一、表上作业法的概念表上作业法是一种基于数学表格进行计算和解决问题的方法，它将问题分解成若干个简单的步骤，通过表格的形式进行计算，从而得出最终结果。
这种方法在中小学数学教学中被广泛应用，有助于培养学生的逻辑思维能力和计算能力。
二、表上作业法的应用表上作业法在数学问题求解中有着广泛的应用，例如：解方程、求和、求积、比较大小等。
通过表上作业法，学生可以将复杂的问题分解成简单的步骤，逐步求解，从而降低问题的难度。
三、表上作业法添 0 的规则在表上作业法中，有一种常见的技巧叫做添 0 法。
具体规则如下：1.在乘法表格中，某一行的数字都乘以一个相同的数，可以在该行下方添 0，以保持计算的平衡。
2.在加法表格中，某一列的数字都加上一个相同的数，可以在该列左侧添 0，以保持计算的平衡。
四、表上作业法添 0 的实际应用案例例如，求解以下方程：3x + 2 = 11我们可以使用表上作业法添 0 的方法，将方程转化为：3x + 0 = 11 - 23x = 9然后，将等式两边同时除以 3，得到：x = 3五、表上作业法添 0 的优点与局限性表上作业法添 0 的优点在于，它可以将复杂的问题分解成简单的步骤，降低问题的难度，有助于培养学生的逻辑思维能力和计算能力。
然而，这种方法也有局限性，对于一些复杂的问题，可能需要运用其他更高级的数学方法进行求解。
总之，表上作业法添 0 是一种实用的数学技巧，对于提高学生的计算能力和解决实际问题具有积极的意义。
表上作业法
精品课程《运筹学》
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一、初始基本可行解的确定
根据上面的讨论，要求得运输问 题的初始基本可行解，必须保证找 到 m + n – 1 个不构成闭回路的基 变量。
一般的方法步骤如下：
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(1)在运输问题求解作业数据表中任选一个单 元格 xij ( Ai 行 Bj 列交叉位置上的格),令
mn
考虑 i=1si >j=1dj 的运输问题，得到的数学模 型为
精品课程《运筹学》
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min
mn
f = cij xij
i=1 j=1
n
s.t. xij si i = 1,2,…,m
j=1
m
xij =dj j = 1,2,…,n
i=1
xij≥0(i=1,2,…,m;j=1,2,…,n)
精品课程《运筹学》
(3)若 ai = 0，则划去对应的行（已经把拥有 的量全部运走），若 bj = 0 则划去对应的 列（已经把需要的量全部运来），且每次 只划去一行或一列（即每次要去掉且只去 掉一个约束）；
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(4)当最终的运输量选定时，其所在行、列 同时满足，此时要同时划去一行和一列。 这样，运输平衡表中所有的行与列均被划 去，则得到了一个初始基本可行解。
x32 = 6, x34 = 3, 其余 xij = 0 ;
最优值：
精品课程f《*运=筹3学×》5+10×2+1×3+.8×1+4×6+5×3 = 85
四、产销不平衡问题的处理
在实际中遇到的运输问题常常不是产销
平衡的，而是下列的一般运输问题模型
min
mn
f
土石方调配_表上作业法
土石方调配--表上作业法一、土方调配原理土方调配就是场地平整施工设计得一个重要内容。
土方调配得目得就是在使土方总运输量最小或土方运输成本最小得条件下,确定填挖方区土方得调配方向与数量,从而达到缩短工期与降低成本得目得。
(一)土方调配区得划分,平均运距与土方施工单价得确定1、调配区得划分原则进行土方调配时,首先要划分调配区。
划分调配区应注意下列几点:(1)调配区得划分应该与工程建(构)筑物得平面位置相协调,并考虑它们得开工顺序、工程得分期施工顺序;(2)调配区得大小应该满足土方施工主导机械(铲运机、挖土机等)得技术要求;(3)调配区得范围应该与土方工程量计算用得方格网协调,通常可由若干方格组成一个调配区;(4)当土方运距较大或场地范围内土方不平衡时,可根据附近地形,考虑就近取土或就近弃土,这时一个取土区或弃土区都可作为一个独立得调配区。
2、平均运距得确定调配区得大小与位置确定之后,便可计算各填、挖方调配区之间得平均运距。
当用铲运机或推土机平土时,挖土调配区与填方调配区土方重心之间得距离,通常就就是该填、挖方调配区之间得平均运距。
当填、挖方调配区之伺距离较远,采用汽车、自行式铲运机或其她运土工具沿工地道路或规定线路运土时,其运距应按实际情况进行计算。
3、土方施工单价得确定如果采用汽车或其她专用运土工具运土时,调配区之间得运土单价,可根据预算定额确定。
当采用多种机械施工时,确定土方得施工单价就比较复杂,因为不仅就是单机核算问题,还要考虑运、填配套机械得施工单价,确定一个综合单价。
(二)用“线性规划”方法进行土方调配时得数学模型表就是土方平衡与施工运距(单价)表。
此表格说明了整个场地划分为个挖方区,,…,,其挖方量应为,,…,;有个填方区,,,…,,其填方量相应为,,…,;用表示由挖方区到填方区得土方调配数,由填挖方平衡,即:(1-1-6)若从到得价格系数(平均运距,或单位土方运价、或单位土方施工费用)为,一般地,从到得价格系数为,于就是土方调配问题可以用下列数学模型表达:求一组得值、使目标函数:(1-l-7)为最小值,并满足下列约束条件:(=1,2,…,)(=1,2,…,)据约束条件知道,未知量有X个,而方程数为+个。
表上作业法产销不平衡例题
表上作业法产销不平衡例题表上作业法是一种常见的生产管理方法，用于优化生产线上的工作流程。
然而，在实践中，有时可能会出现产销不平衡的情况，即生产速度超过了销售速度或销售速度超过了生产速度。
这种不平衡可能会导致一系列问题，例如库存积压、资金浪费以及客户满意度下降等。
为了更好地理解产销不平衡，我们来看一个例题。
假设某公司生产某种电子产品，每个月的生产能力为10000台。
然而，由于各种原因，该公司只能以每个月8000台的速度销售产品。
这种情况下，就会出现产销不平衡的问题。
首先，由于生产速度大于销售速度，公司可能会面临库存积压的问题。
如果产品堆积在仓库中无法及时售出，就会占用公司的资金和仓储空间。
这不仅增加了公司的运营成本，还可能导致产品过期损坏或降低产品价值。
其次，产销不平衡还会导致公司的资金浪费。
生产所需的原材料、人力资源和设备投入等都需要大量的资金支持。
但是如果产品无法及时销售，公司的资金就会被绑在未售出的产品中，无法用于其他方面的投资。
这将限制公司的发展和增长。
最重要的是，产销不平衡还可能影响客户满意度。
如果公司无法及时满足客户的需求，客户可能会转向竞争对手或者在产品质量和服务方面提出投诉。
这将对公司的声誉和市场地位造成负面影响。
为了解决产销不平衡的问题，公司可以采取以下措施：1. 市场调研和需求预测：通过深入了解市场需求和趋势，公司可以更准确地预测销售量，并相应调整生产计划。
2. 提高销售渠道和营销策略：通过拓展销售渠道，加强市场推广和品牌宣传，提高产品的知名度和销售量。
3. 优化产能和生产计划：根据销售预测调整生产计划，避免过度生产或者产能不足的情况。
同时，优化生产流程和提高生产效率，以适应市场需求。
4. 采取库存管理措施：通过合理的库存管理，例如采用先进的物流和仓储系统，以及及时清理滞销产品，来减少库存积压和产品过期损坏。
综上所述，产销不平衡是生产管理中常见的问题，但可以通过市场调研、销售策略优化和合理的库存管理等措施来解决。
ch2第二节-表上作业法
由于运输问题系数矩阵的特殊性，如果直接使用线 性规划单纯形法求解计算，则无法利用这些有利条 件。人们在分析运输规划系数矩阵特征的基础上建 立了针对运输问题的表上作业法。 表上作业法: 建立在运输表上的求解运输问题的方法。
一、表上作业法求解思路（单纯形法完全类似）
基本可行解 是否最优解
表3-5中用虚线画出以非基变量 x22 为起始顶点的2 为起始顶点的闭回路 销地 产地 A1 A2 A3 销量
B1
3 [ ] 1
B2
11 [ ] 9
B3
3 4 2 3
B4
10 8
产量 7 4 9
20(产销平衡)
3
7 [ ] 3
[ ]
4 6 6
1
10 [ ] 5
12
练习
销地
产地 B1 B2 B3 B4 产量
A1
6
7
5
3
1
8 4 2
13
7
14
A2
2
5
13
9
12
10 6
27
A3 销量
19
22 13 12 13
19
2.西北角法（或左上角法）
此法是纯粹的人为的规定，没有理论依据和实际背景，但 它易操作，特别适合在计算机上编程计算，因而受欢迎。 方法如下：
3
4 2
3
闭回路及其顶点
在表3-3的决策变量格中，凡是能够排列成下列形式的 xab ,xac ,xdc ,xde ,…,xst ,xsb (3.3) 或 xab ,xcb ,xcd ,xed ,…,xst ,xat (3.4) 其中，a,d,…,s 各不相同；b,c,…,t 各不相同，我们称之为 变量集合的一个闭回路，并将式（3.3）、式（3.4）中的 变量称为这个闭回路的顶点。 例如，x13, x16, x36, x34, x24, x23 ；x23, x53, x55, x45, x41, x21 ； x11, x14, x34, x31等都是闭回路。若把闭回路的各变量格看作节 点，在表中可以画出如下形式 的闭回路：
表上作业法
闭回路：在给出的调运方案的运输表上，从一个空格（非基变量）出发，沿水平或垂直方向前进，只有碰到 代表基变量的数字格才能向左或向右转90°继续前进，直至最终回到初始空格而形成的一条回路。从每一空格出 发，一定可以找到一条且只存在唯一一条闭回路。
常见问题
1、无穷多最优解 产销平衡的运输问题必定存最优解。如果非基变量的，则该问题有无穷多最优解。 2、退化 表格中一般要有(m+n-1)个数字格。但有时，在分配运量时则需要同时划去一行和一列，这时需要补一个0， 以保证有(m+n-1)个数字格。一般可在划去的行和列的任意空格处加一个0即可。
相关关系
表上作业法
用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法
01 定义
03 常见问题 05 举例
目录
02 作业法的步骤 04 相关关系
表上作业法是指用列表的方法求解线性规划问题中运输模型的计算方法。是线性规划一种求解方法，其实质 是单纯形法，故也称运输问题单纯形法。当某些线性规划问题采用图上作业法难以进行直观求解时，就可以将各 元素列成表格，作为初始方案，然后采用检验数来验证这个方案，否则就要采用闭合回路法、位势法等方法进行 调整，直至得到满意的结果。这种列表求解方法就是表上作业法。
（1）运输问题的求解采用表上作业法，即用列表的方法求解线性规划问题中的运输模型的计算方法，实质上 是单纯形法。表上作业法是一种特定形式的单纯形法，它与单纯形法有着完全相同的解题步骤，所不同的只是完 成各步采用的具体形式；
运输问题表上作业法
A1
X11
X12
X13
80 150 65 100 75 250
A2
X21
X22
X23
100
150
200
销量
450
非基变量X12的检验数：
12 =（c12+c23）-（c13+c22）
=70+75-（100+65）=-20，
非基变量X21的检验数：
21 =（c21+c13）-（c11+c23）
=80+100-（90+75）=15。
得到初始调运方案为： x11=100,x13=100,x22=150,x23=100
总运价为： 9* 0 10 100 *100 60* 5 15 100 *100 3087
2西北角法
不是优先考虑具有最小单位运价的供销业 务,而是优先满足运输表中西北角左上角 上空格的供销要求
用西北角法确定初始调运方案
取
中ij最小0者对应的变量为换
入变量；
2、当迭代到运输问题的最优解时,如果 有某非基变量的检验数等于0,则说明该 运输问题有多重最优解；
3当运输问题某部分产地的产量和,与某部分销 地的销量和相等时,在迭代过程中间有可能有某 个格填入一个运量时需同时划去运输表的一行 和一列,这时就出现了退化.为了使表上作业法 的迭代工作能顺利进行下去,退化时应在同时划 去的一行或一列中的某个格中填入0,表示这个 格中的变量是取值为0的基变量,使迭代过程中 基变量个数恰好为m+n-1个.
u 1 v1 c11 90
u u
1 2
v3 v2
c13 c 22
100 65
u 2 v 3 c 23 75
表上作业法添0
表上作业法添0（实用版）目录1.表上作业法的概念和作用2.表上作业法的具体操作方法3.表上作业法在实际问题中的应用4.表上作业法的优点和局限性正文一、表上作业法的概念和作用表上作业法是一种在数学中用于解决线性方程组和线性规划问题的方法。
它通过构建一个表格，将线性方程组中的系数和常数项表示在表格中，然后通过高斯消元法等方法逐步消元，求解出方程组的解。
表上作业法具有简单、直观、易于操作等优点，是解决线性方程组和线性规划问题的重要工具。
二、表上作业法的具体操作方法表上作业法的具体操作方法如下：1.构建表格：首先，将线性方程组中的系数和常数项按照矩阵的形式写在一个表格中，其中行代表方程，列表示未知数。
2.高斯消元：从左到右，从上到下依次消元，将表格中的数字通过加减乘除等运算逐步消元，直到求解出方程组的解。
3.检验解的正确性：将求得的解代入原方程组，检验解是否满足原方程组。
三、表上作业法在实际问题中的应用表上作业法在实际问题中有广泛的应用，例如在经济学中的线性规划问题、在物理学中的牛顿运动定律问题、在计算机科学中的数据处理问题等。
通过表上作业法，可以快速、准确地解决这些问题。
四、表上作业法的优点和局限性表上作业法具有以下优点：1.简单易懂：表上作业法通过构建表格，直观地表示线性方程组和线性规划问题，易于理解和操作。
2.计算简便：表上作业法通过高斯消元法等方法逐步消元，计算过程较为简单。
3.适用范围广泛：表上作业法适用于解决线性方程组和线性规划问题，具有广泛的应用范围。
然而，表上作业法也存在一些局限性：1.解决非线性问题困难：对于非线性方程组和非线性规划问题，表上作业法无法直接解决。
2.计算量大：对于大型线性方程组和线性规划问题，表上作业法的计算量较大，可能需要较长时间。
表上作业法
用户
B1
B2
B3
B4
供应量/t
配送中心
7
A1
54
23
A2
3
1
1(+1)
4
A3
6
3
9
需求量
3
6
5
6
20
v 调整后结果：
用户
配送中心
B1
A1
A2
3
A3
需求量
3
B2
B3
5
6
6
5
B4
供应量 /t
2
7
1
4
3
9
6
20
v 重新构造闭回路，经检验所有空格的检验数都为非负数。所以该 方案为最优方案
补充：几点说明
v（1）若运输问题的某一可行解有多个空格
用伏格尔法给出的初始调运方案见表7-10。 总运费为=5*3+2*10+3*1+1*8+6*4+3*5=85元。
表7-10 最终运量安排结果
用户 配送中心
B1
B2
B3
A1
5
A2
3
A3
6
需求量
3
6
5
B4 供应量/t
2
7
1
4
3
9
6
3) 最优解的检验和判断
判断初始调运方案是否最优还需进行解的最优性检验。 对解的最优性检验可采用两种方法，闭回路法和位势法，这 里介绍闭回路法。
二、车辆调度的原则
2．具体原则
(1) 宁打乱少数计划，不打乱多数计划； (2) 宁打乱局部计划，不打乱整体计划； (3) 宁打乱次要环节，不打乱主要环节； (4) 宁打乱当日计划，不打乱以后计划； (5) 宁打乱可缓运物资运输计划，不打乱急需物 资运输计划； (6) 宁打乱整批货物运输计划，不打乱配装货物 运输计划； (7) 宁使企业内部工作受影响，不使客户受影响。
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20
第五次
A1
A2
A3
销量
列⑤
罚 数
B1 B2 B3 B4
4
12 12 4 4 11
82
10
32 9
8 14 5
11 8 6
80 104 102 16404
2
产量 ⑤行罚数
1046 0 1020 0 2802 48
实用文档
21
例1用伏格尔法得到的初始基可行解
B1 B2 B3 B4 产量
A1
第二节 运输问题的表上作业法
由上节介绍运输问题的数学模型 及其约束方程组的系数矩阵结构的特 殊性，本节将由此给出运输问题的比 单纯形法更为简便的求解方法—表 上作业法。
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单纯形法与表上作业法的关系：
（1）找出初始基可行解
表上给出m+n-1个数字格
（2）求各非基变量的检验数
计算表中空格检验数
（3）判断是否最优解
9
2
7 64
10
3 60 5
2
1
24
B4
10 8
35
63
3
产量 ②行罚数
对差额最大处，采用最小运费调运。
罚数（即差额）=次小运价-最小运价
实用文档
11
伏格尔法思路
罚数（即差额）的解释：
差额大，则不按最小运费调运，运费 增加大。
差额小，则不按最小运费调运，运费 增加不大。
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12
结合例1说明这种方法。
第一次
4-4=0 B1 B2 B3 B4 产量 ①行罚数
A1
实用文档
22
练习
第一次
A1 A2 A3
销量 ①列
罚 数
实用文档
B1 B 2 B3
3
11
3
1
9
2
7 64
10
3 60 5
251
23
B4
10 8 5
6
3
产量 ①行罚数
70 41 39 1 20
优先安排销地
B2 ，否则运
价会更高
第二次
A1 A2 A3
销量
②列 罚 数
实用文档
B1 B 2 B3
3
11
3
1
判断方法相同
实用文档
2
？是
最优解
停止
否
换基:
（4）确定换入变量和换出变量找出新 的基可行解。
表上调整（闭回路调整）
（5）重复（2）、（3）直至求出最优
解。
（运输问题必有最优解）
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3
举例说明表上作业法
某部门三个工厂生产同一产品的产量,四个销 售点的销量及单位运价如下表：
B1 B 2 B3 B 4 产量
4 12 12 4 4 11 16
A2
82
10
3 2 9 10
A3
8 14 5
11 用8最小6 元2素2法
求出的目标函
销量 8 14 12 数z1=424648
目标一函般数说值来z， 伏1格2 尔4法得4 出1的1 初8始2
解的质量2 最好9 ，1常4 用5来作8 为6运输2问44
题最优解的近似解。
A1
3 11 4 3 3 10 7
A2 3 1
9
1
2
考虑
8
4
A3
7 6 4 运1价0 差3 5 9
销量 3 6 5 6 2 0
最z小0 元3 素1法6 缺4 点 ：4 会3 出1 现2 顾3 此 失1 0彼3 5
8 6
（运费差额问题）
实用文档
10
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
【2】伏格尔法思路：
3 11
3 10 7
1
9
2 84
7
4 10
59
3 6 5 6 20ຫໍສະໝຸດ 8最小元素法练习A1 A2 A3
销量
实用文档
B1
3
31
7
30
B2
11
9
64 60
B3 43 12
10
54 0
B 4 产量
3 10 73 0 8 410
3 5 930 630 2 0
9
初始调运方案
B 1 B 2 B 3 B 4 产量
11 8 6
80 104 12 164
2
12
产量 ③行罚数
16 0 120 1 2802 48
实用文档
19
下次不考虑该列 第四次
A1
A2
A3
销量
列④
罚 数
B1 B2 B3 B4
4
12 12 4
11
82
10
3
9
8 14 5
11 8 6
80 104 102 164
12
产量 ④行罚数
146 7 120 6 2802 48
4
12
4 11 16
0
A2
2
10
3 9 10
A3
8
5
11
6 22
销量 8 14 12 14 48
实用文档
13
第一次
3-2=1 B1 B2 B3 B4 产量 ①行罚数
A1
4
12
4 11 16
0
A2
2
10
3
9 10
1
A3
8
5
11
6 22
销量 8 14 12 14 48
实用文档
14
第一次
A1 A2 A3
A3
8 14 5 11 8 6 22
销量 8 14 12 14 48
z 0 8 2 1 5 4 1 4 0 2 3 6 1 8 1 6 246
实用文档
7
练习
某部门三个工厂生产同一产品的产量,四个销 售点的销量及单位运价如下表：
A1 A2 A3
销量
实用文档
B 1 B 2 B 3 B 4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 1020
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
销量
80
140
1210
0
1460
48
实用文档
6
最小元素法得到的初始调运方案
B1 B 2 B3 B 4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 16
A2 8 2 10 2 3 9 10
数
实用文档
16
第一次
下次不考虑该列
A1 A2 A3
销量 列①
罚 数
实用文档
B1 B2 B3 B4
4
12
4
11
2
10
3
9
8 14 5
11
6
8 104 12 14
2 5 13
17
产量 ①行罚数
16 0 10 1 282 1 48
优先安排销地
B2 ，否则运
价会更高
第下二次次不考虑该行
A1 A2 A3
销量 列②
罚 数
实用文档
B1 B2 B3 B4
4
12
4
11
2
10
3
9
8 14 5
11 8 6
8 104 12 164
2
13
18
产量 ②行罚数
16 0 10 1 2082 2 48
优先安排销地
B4 ，否则运
价会更高
下次不考虑该列 第三次
A1
A2
A3
销量
列③
罚 数
B1 B2 B3 B4
4
12
4
11
82
10
3
9
8 14 5
销量
B1 B2 B3 B4
4
12
4
11
2
10
3
9
8
5
11
6
8 14 12 14
产量 ①行罚数
16 0 10 1 22 1 48
实用文档
15
第一次
A1 A2 A3
销量
B1 B2 B3 B4
4
12
4
11
2
10
3
9
8
5
11
6
8 14 12 14
产量 ①行罚数
16 0 10 1 22 1 48
列①
罚2
5
13
A1
4 12
4 11 16
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11 6 22
销量 8 14 12 14 48
实用文档
4
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
【1】最小元素法思路：
就近供应，从单价中最小运价 确定供应量，逐步次小，直至得
到m+n-1个数字格。
实用文档
5
最小元素法举例
B1 B 2 B3 B 4 产量