人教版九年级数学下册相似三角形同步练习(含答案)

合集下载

人教版九年级下册数学 27.2相似三角形同步练习(含解析)

27.2相似三角形同步练习一．选择题1．如图，△ABC∽△DCA，∠B＝33°，∠D＝117°，则∠BAD的度数是（）A．150°B．147°C．135°D．120°2．两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，那么这两个三角形的面积的比是（）A．2：3B．4：9C．16：36D．16：93．下列条件中，不能判断△ABC与△DEF相似的是（）A．∠A＝∠D，∠B＝∠F B．且∠B＝∠DC．D．且∠A＝∠D4．如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，下列条件中能判断△ABC∽△AED 的是（）①∠AED＝∠B；②∠ADE＝∠C；③＝；④＝．A．①②B．①②③C．①②④D．①②③④5．如图，在平行四边形ABCD中，点E在边DC上，DE：EC＝5：2，连接AE交BD于点F，则△DEF的面积与△BAF的面积之比为（）A．5：7B．10：4C．25：4D．25：496．已知点E、F分别在△ABC的AB、AC边上，则下列判断正确的是（）A．若△AEF与△ABC相似，则EF∥BCB．若AE×BE＝AF×FC，则△AEF与△ABC相似C．若，则△AEF与△ABC相似D．若AF•BE＝AE•FC，则△AEF与△ABC相似7．如图，在△ABC，D是BC上一点，BD：CD＝1：2，E是AD上一点，DE：AE＝1：2，连接CE，CE的延长线交AB于F，则AF：AB为（）A．1：2B．2：3C．4：3D．4：78．如图，在▱ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则△DEF与四边形EFCO的面积比为（）A．1：4B．1：5C．1：6D．1：79．如图，AD∥BC，∠D＝90°，AD＝3，BC＝4，DC＝6，若在边DC上有点P，使△P AD 与△PBC相似，则这样的点P有（）A．1 个B．2 个C．3 个D．4 个10．如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于F，连接DF，若BF＝，BC ＝3，则DF＝（）A．4B．3C．2D．二．填空题11．已知△ABC∽△A′B′C′，且AB＝3cm，A′B′＝5cm，则相似比为．12．如图，△ABC中，CA＝CB，点E在BC边上，点D在AC边上，连接AE、DE，若AB ＝AE，2∠AEB+∠ADE＝180°，BE＝8，CD＝，则CE＝．13．如图，在△ABC中，若DE∥BC，EF∥CD，AE＝2EC，则AF：FD：DB＝．14．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA＝1：25，则的值是．15．如图，在矩形ABCD中，AD＝2，AB＝4，E、F分别是AB、CD边上的动点，EF⊥AC，则AF+CE的最小值为．三．解答题16．如图，点P是菱形ABCD的对角线AC上一点，连接DP并延长，交AB于点F，交CB 的延长线于点E．求证：（1）△APB≌△APD；（2）PD2＝PE•PF．17．如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，DE、BC的延长线相交于点F，且EF•DF＝CF•BF．求证：△CAB∽△DAE．18．如图，AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∠BAF＝∠DAG．（1）求证：△ABC∽△ADE；（2）若DE＝3，，求BC的长．参考答案一．选择题1．解：∵△ABC∽△DCA，∴∠BAC＝∠D＝117°，∠DAC＝∠B＝33°，∴∠BAD＝∠BAC+∠DAC＝150°，故选：A．2．解：∵两个相似三角形对应角平分线的比为4：3，∴它们的相似比为4：3，∴它们的面积比为16：9．故选：D．3．解：A、∠A＝∠D，∠B＝∠F，可以得出△ABC∽△DFE，故此选项不合题意；B、＝且∠B＝∠D，不是两边成比例且夹角相等，故此选项符合题意；C、＝＝，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；D、＝且∠A＝∠D，可以得出△ABC∽△DEF，故此选项不合题意；故选：B．4．解：∵∠A＝∠A，∴∠AED＝∠B或∠ADE＝∠C时，△ABC∽△AED．∵＝，∴＝∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△AED，故①②③可以判断三角形相似，故选：B．5．解：设DE＝5k，EC＝2k，则CD＝7k，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB＝CD＝7k，DE∥AB，∴△DEF∽△BAF，∴＝＝＝，故选：D．6．解：选项A错误，∵△AEF与△ABC相似，可能是∠AEF＝∠C，推不出EF∥BC．选项B错误，由AE×BE＝AF×FC，推不出△AEF与△ABC相似．选项C错误，由，推不出△AEF与△ABC相似．选项D正确．理由：∵AF•BE＝AE•FC，∴＝，∴EF∥BC，∴△AEF∽△ABC．故选：D．7．解：过D作DH∥AB交CF于H，如图，∵DH∥BF，∴＝，∵BD：CD＝1：2，∴CD：BC＝2：3，∴BF＝DH，∵DH∥AF，∴＝＝2，∴AF＝2DH，∴AF：BF＝2DH：DH＝4：3，∴AF：AB＝4：7．故选：D．8．解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴BO＝DO，AB∥CD，∵E为OD的中点，∴DE＝EO＝DO，∴BO＝2EO，BE＝3DE，∵DF∥AB，∴△DFE∽△BAE，∴＝（）2＝，设S△DEF＝x，则S△BEA＝9x，∵BO＝2OE，∴S△AOB＝6x＝S△DOC，∴四边形EFCO的面积＝5x，∴△DEF与四边形EFCO的面积比＝1：5，故选：B．9．解：∵AB⊥BC，∴∠B＝90°．∵AD∥BC∴∠A＝180°﹣∠B＝90°，∴∠P AD＝∠PBC＝90°．设DP的长为x，则CP长为6﹣x．若AB边上存在P点，使△P AD与△PBC相似，那么分两种情况：①若△APD∽△BPC，则DP：CP＝AD：BC，即x：（6﹣x）＝3：4，解得：x＝②若△APD∽△BPC，则DP：PC＝AD：BC，即x：4＝3：（6﹣x），整理得：x2﹣6x+12＝0，∵△＜0，这种情形不存在，∴满足条件的点P的个数是1个，故选：A．10．解：如图，连接BD，∵∠AEF＝∠BEA，∠AFE＝∠BAE＝90°，∴△AEF∽△BEA，∴＝，∵AE＝ED，∴＝，又∵∠FED＝∠DEB，∴△FED∽△DEB，∴∠EFD＝∠EDB，∵∠EFD+∠DFC＝90°，∠EDB+∠ODC＝90°，∴∠DFC＝∠ODC，∵在矩形ABCD中，OC＝AC，OD＝BD，AC＝BD，∴OD＝OC，∴∠OCD＝∠ODC，∴∠DFC＝∠OCD，∴DF＝DC，在Rt△BCF中，FC＝＝＝2，∵AD∥BC，∴△AEF∽△CBF，∴＝＝，∴AF＝FC＝，∴AB＝＝＝3，∴DF＝3，故选：B．二．填空题11．解：由题意得，＝，∵△ABC∽△A′B′C′，∴△ABC与△A′B′C′的相似比为＝，故答案为：．12．解：如图，过点A作AM⊥BE于E，过点D作DN⊥EC于N，∵CA＝CB，AB＝AE，∴∠B＝∠CAB，∠B＝∠AEB，∴∠B＝∠CAB＝∠AEB，∵∠B+∠BAC+∠C＝180°，∠B+∠AEB+∠BAE＝180°，∴∠C＝∠BAE，∴2∠AEB+∠C＝180°，又∵2∠AEB+∠ADE＝180°，∴∠C＝∠ADE，又∵∠ADE＝∠C+∠DEC，∴∠C＝∠DEC，∴DE＝DC＝，∵AB＝AE，AM⊥BE，DE＝CC，DN⊥EC，∴BM＝ME＝BE＝4，EN＝NC＝EC，AM∥DN，∴△CDN∽△CAM，∴，∴，∴EC＝12，EC＝﹣5（不合题意舍去），故答案为：12．13．解：∵EF∥CD，AE＝2EC，∴＝＝2，∵DE∥BC，∴＝＝2，设DF＝m，则AF＝2m，AD＝3m，DB＝m，∴AF：DF：DB＝2m：m：m＝4：2：3．故答案为：4：2：3．14．解：∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，∴＝（）2＝，∴＝，∵DE∥AC，∴△BDE∽△BAC，∴＝，∴＝，故答案为：．15．解：如图所示：设DF＝x，则FC＝4﹣x；过点C作CG∥EF，且CG＝EF，连接FG，当点A、F、G三点共线时，AF+FG的最值小；∵CG∥EF，且CG＝EF，∴四边形CEFG是平行四边形；∴EC∥FG，EC＝FG，又∵点A、F、G三点共线，∴AF∥EC，又∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥DC，∠D＝90°，∴四边形AECF是平行四边形，∴OA＝OC，OE＝OF，又∵EF⊥AC，AF＝CF＝4﹣x，在Rt△ADF中，由勾股定理得：AD2+DF2＝AF2，又∵AD＝2，DF＝x，则FC＝4﹣x，∴22+x2＝（4﹣x）2，解得：x＝，∴AF＝，在Rt△ADC中，由勾股定理得：AD2+DC2＝AC2，∴AC＝，∴AO＝，又∵OF∥CG，∴△AOF∽△ACG，∴＝，∴AG＝5，又∵AG＝AF+FG，FG＝EC，∴AF+EC＝5，故答案为5．三．解答题16．证明：（1）∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，∠BAC＝∠DAC，在△ABP和△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（SAS）；（2）∵△ABP≌△ADP，∴PB＝PD，∠ADP＝∠ABP，∵AD∥BC，∴∠ADP＝∠E，∴∠E＝∠ABP，又∵∠FPB＝∠EPB，∴△EPB∽△BPF，∴，∴PB2＝PE•PF，∴PD2＝PE•PF．17．证明：∵EF•DF＝CF•BF．∴，∵∠EFC＝∠BFD，∴△EFC∽△BFD，∴∠CEF＝∠B，∴∠B＝∠AED，∵∠CAB＝∠DAE，∴△CAB∽△DAE．18．（1）证明：∵AF，AG分别是△ABC和△ADE的高，∴AF⊥BC，AG⊥DE，∴∠AFB＝90°，∠AGD＝90°，∴∠BAF+∠B＝90°，∠DAG+∠ADG＝90°，∵∠BAF＝∠DAG，∴∠B＝∠ADG，又∵∠EAD＝∠BAC，∴△ABC∽△ADE；（2）解：∵△ADE∽△ABC，∴，∵，BC＝3，∴，∴BC＝．。

人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试含答案

人教版九年级数学下册第二十七章《相似——相似三角形》同步测试题一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．82．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm 3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．76．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：27．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△ABF∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．48．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2 9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为_________．（填出一个正确的即可）12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为_________ cm．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=_________．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为_________．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=_________cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为_________cm2．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是_________（写出所有正确结论的序号）．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有_________条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=_________时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是_________．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=_________．（用含n的式子表示）20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是_________．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．22．（2013•湛江）如图，已知AB是⊙O的直径，P为⊙O外一点，且OP∥BC，∠P=∠BAC．（1）求证：PA为⊙O的切线；（2）若OB=5，OP=，求AC的长．23．（2013•宜宾）如图，AB是⊙O的直径，∠B=∠CAD．（1）求证：AC是⊙O的切线；（2）若点E是的中点，连接AE交BC于点F，当BD=5，CD=4时，求AF的值．24．（2013•襄阳）如图，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径．∠ACB的平分线交⊙O 于点D，过点D作⊙O的切线PD交CA的延长线于点P，过点A作AE⊥CD于点E，过点B作BF⊥CD于点F．（1）求证：DP∥AB；（2）若AC=6，BC=8，求线段PD的长．25．（2013•绍兴）在△ABC中，∠CAB=90°，AD⊥BC于点D，点E为AB的中点，EC与AD交于点G，点F在BC上．（1）如图1，AC：AB=1：2，EF⊥CB，求证：EF=CD．（2）如图2，AC：AB=1：，EF⊥CE，求EF：EG的值．26．（2013•汕头）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，弦BD=BA，AB=12，BC=5，BE⊥DC交DC的延长线于点E．（1）求证：∠BCA=∠BAD；（2）求DE的长；（3）求证：BE是⊙O的切线．27．（2013•朝阳）如图，直线AB与⊙O相切于点A，直径DC的延长线交AB于点B，AB=8，OB=10（1）求⊙O的半径．（2）点E在⊙O上，连接AE，AC，EC，并且AE=AC，判断直线EC与AB有怎样的位置关系？并证明你的结论．（3）求弦EC的长．28．（2013•成都）如图，点B在线段AC上，点D，E在AC同侧，∠A=∠C=90°，BD⊥BE，AD=BC．（1）求证：AC=AD+CE；（2）若AD=3，CE=5，点P为线段AB上的动点，连接DP，作PQ⊥DP，交直线BE于点Q；（i）当点P与A，B两点不重合时，求的值；（ii）当点P从A点运动到AC的中点时，求线段DQ的中点所经过的路径（线段）长．（直接写出结果，不必写出解答过程）参考答案与解析一．选择题（共10小题）1．（2013•自贡）如图，在平行四边形ABCD中，AB=6，AD=9，∠BAD的平分线交BC于E，交DC的延长线于F，BG⊥AE于G，BG=，则△EFC的周长为（）A．11 B．10 C．9D．8考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．分析：判断出△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，DF的长度，继而得到EC的长度，在Rt△BGE中求出GE，继而得到AE，求出△ABE的周长，根据相似三角形的周长之比等于相似比，可得出△EFC的周长．解答：解：∵在▱ABCD中，AB=CD=6，AD=BC=9，∠BAD的平分线交BC于点E，∴∠BAF=∠DAF，∵AB∥DF，AD∥BC，∴∠BAF=∠F=∠DAF，∠BAE=∠AEB，∴AB=BE=6，AD=DF=9，∴△ADF是等腰三角形，△ABE是等腰三角形，∵AD∥BC，∴△EFC是等腰三角形，且FC=CE，∴EC=FC=9﹣6=3，在△ABG中，BG⊥AE，AB=6，BG=4，∴AG==2，∴AE=2AG=4，∴△ABE的周长等于16，又∵△CEF∽△BEA，相似比为1：2，∴△CEF的周长为8．故选D．点评：本题主要考查了勾股定理、相似三角形、等腰三角形的性质，注意掌握相似三角形的周长之比等于相似比，此题难度较大．2．（2013•重庆）如图，在平行四边形ABCD中，点E在AD上，连接CE并延长与BA的延长线交于点F，若AE=2ED，CD=3cm，则AF的长为（）A．5cm B．6cm C．7cm D．8cm考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：由边形ABCD是平行四边形，可得AB∥CD，即可证得△AFE∽△DEC，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴△AFE∽△DEC，∴AE：DE=AF：CD，∵AE=2ED，CD=3cm，∴AF=2CD=6cm．故选B．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用．3．（2013•孝感）如图，在△ABC中，AB=AC=a，BC=b（a＞b）．在△ABC内依次作∠CBD=∠A，∠DCE=∠CBD，∠EDF=∠DCE．则EF等于（）A．B．C．D．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：依次判定△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，根据相似三角形的对应边成比例的知识，可得出EF的长度．解答：解：∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，又∵∠CBD=∠A，∴△ABC∽△BDC，同理可得：△ABC∽△BDC∽△CDE∽△DFE，∴=，=，=，=，∵AB=AC，∴CD=CE，解得：CD=CE=，DE=，EF=．故选C．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，本题中相似三角形比较容易找到，难点在于根据对应边成比例求解线段的长度，注意仔细对应，不要出错．4．（2013•咸宁）如图，正方形ABCD是一块绿化带，其中阴影部分EOFB，GHMN都是正方形的花圃．已知自由飞翔的小鸟，将随机落在这块绿化带上，则小鸟在花圃上的概率为（）A．B．C．D．考点：相似三角形的应用；正方形的性质；几何概率．专题：压轴题．分析：求得阴影部分的面积与正方形ABCD的面积的比即可求得小鸟在花圃上的概率；解答：解：设正方形的ABCD的边长为a，则BF=BC=，AN=NM=MC=a，∴阴影部分的面积为（）2+（a）2=a2，∴小鸟在花圃上的概率为=故选C．点评：本题考查了正方形的性质及几何概率，关键是表示出大正方形的边长，从而表示出两个阴影正方形的边长，最后表示出面积．5．（2013•绥化）如图，点A，B，C，D为⊙O上的四个点，AC平分∠BAD，AC交BD于点E，CE=4，CD=6，则AE的长为（）A．4B．5C．6D．7考点：圆周角定理；圆心角、弧、弦的关系；相似三角形的判定与性质．分析：根据圆周角定理∠CAD=∠CDB，继而证明△ACD∽△DCE，设AE=x，则AC=x+4，利用对应边成比例，可求出x的值．解答：解：设AE=x，则AC=x+4，∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠CAD，∵∠CDB=∠BAC（圆周角定理），∴∠CAD=∠CDB，∴△ACD∽△DCE，∴=，即=，解得：x=5．故选B．点评：本题考查了圆周角定理、相似三角形的判定与性质，解答本题的关键是得出∠CAD=∠CDB，证明△ACD∽△DCE．6．（2013•内江）如图，在▱ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，且AE、BD交于点F，S△DEF：S△ABF=4：25，则DE：EC=（）A．2：5 B．2：3 C．3：5 D．3：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：先根据平行四边形的性质及相似三角形的判定定理得出△DEF∽△BAF，再根据S△DEF：S△ABF=4：25即可得出其相似比，由相似三角形的性质即可求出DE：AB 的值，由AB=CD即可得出结论．解答：解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，∴∠EAB=∠DEF，∠AFB=∠DFE，∴△DEF∽△BAF，∵S△DEF：S△ABF=4：25，∴DE：AB=2：5，∵AB=CD，∴DE：EC=2：3．故选B．点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质及平行四边形的性质，熟知相似三角形边长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方是解答此题的关键．7．（2013•黑龙江）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD=90°，∠ABC=45°，AD=CD，CE平分∠ACB交AB于点E，在BC上截取BF=AE，连接AF交CE于点G，连接DG交AC于点H，过点A作AN⊥BC，垂足为N，AN交CE于点M．则下列结论；①CM=AF；②CE⊥AF；③△AB F∽△DAH；④GD平分∠AGC，其中正确的个数是（）A．1B．2C．3D．4考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质；直角梯形．专题：压轴题．分析：如解答图所示：结论①正确：证明△ACM≌△ABF即可；结论②正确：由△ACM≌△ABF得∠2=∠4，进而得∠4+∠6=90°，即CE⊥AF；结论③正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等；结论④正确：证法一：利用四点共圆；证法二：利用三角形全等．解答：解：（1）结论①正确．理由如下：∵∠1=∠2，∠1+∠CMN=90°，∠2+∠6=90°，∴∠6=∠CMN，又∵∠5=∠CMN，∴∠5=∠6，∴AM=AE=BF．易知ADCN为正方形，△ABC为等腰直角三角形，∴AB=AC．在△ACM与△ABF中，，∴△ACM≌△ABF（SAS），∴CM=AF；（2）结论②正确．理由如下：∵△ACM≌△ABF，∴∠2=∠4，∵∠2+∠6=90°，∴∠4+∠6=90°，∴CE⊥AF；（3）结论③正确．理由如下：证法一：∵CE⊥AF，∴∠ADC+∠AGC=180°，∴A、D、C、G四点共圆，∴∠7=∠2，∵∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；证法二：∵CE⊥AF，∠1=∠2，∴△ACF为等腰三角形，AC=CF，点G为AF中点．在Rt△ANF中，点G为斜边AF中点，∴NG=AG，∴∠MNG=∠3，∴∠DAG=∠CNG．在△ADG与△NCG中，，∴△ADG≌△NCG（SAS），∴∠7=∠1，又∵∠1=∠2=∠4，∴∠7=∠4，又∵∠DAH=∠B=45°，∴△ABF∽△DAH；（4）结论④正确．理由如下：证法一：∵A、D、C、G四点共圆，∴∠DGC=∠DAC=45°，∠DGA=∠DCA=45°，∴∠DGC=∠DGA，即GD平分∠AGC．证法二：∵AM=AE，CE⊥AF，∴∠3=∠4，又∠2=∠4，∴∠3=∠2则∠CGN=180°﹣∠1﹣90°﹣∠MNG=180°﹣∠1﹣90°﹣∠3=90°﹣∠1﹣∠2=45°．∵△ADG≌△NCG，∴∠DGA=∠CGN=45°=∠AGC，∴GD平分∠AGC．综上所述，正确的结论是：①②③④，共4个．故选D．点评：本题是几何综合题，考查了相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、正方形、等腰直角三角形、直角梯形、等腰三角形等知识点，有一定的难度．解答中四点共圆的证法，仅供同学们参考．8．（2013•恩施州）如图所示，在平行四边形ABCD中，AC与BD相交于点O，E为OD 的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF：FC=（）A．1：4 B．1：3 C．2：3 D．1：2考点：相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质．分析：首先证明△DFE∽△BAE，然后利用对应变成比例，E为OD的中点，求出DF：AB 的值，又知AB=DC，即可得出DF：FC的值．解答：解：在平行四边形ABCD中，AB∥DC，则△DFE∽△BAE，∴=，∵O为对角线的交点，∴DO=BO，又∵E为OD的中点，∴DE=DB，则DE：EB=1：3，∴DF：AB=1：3，∵DC=AB，∴DF：DC=1：3，∴DF：FC=1：2．故选D．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，难度适中，解答本题的关键是根据平行证明△DFE∽△BAE，然后根据对应边成比例求值．9．（2013•德阳）如图，在⊙O上有定点C和动点P，位于直径AB的异侧，过点C作CP 的垂线，与PB的延长线交于点Q，已知：⊙O半径为，tan∠ABC=，则CQ的最大值是（）A．5B．C．D．考点：圆周角定理；圆内接四边形的性质；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，再根据正切的定义得到tan∠ABC==，然后根据圆周角定理得到∠A=∠P，则可证得△ACB∽△PCQ，利用相似比得CQ=•PC=PC，PC为直径时，PC最长，此时CQ最长，然后把PC=5代入计算即可．解答：解：∵AB为⊙O的直径，∴AB=5，∠ACB=90°，∵tan∠ABC=，∴=，∵CP⊥CQ，∴∠PCQ=90°，而∠A=∠P，∴△ACB∽△PCQ，∴=，∴CQ=•PC=PC，当PC最大时，CQ最大，即PC为⊙O的直径时，CQ最大，此时CQ=×5=．故选D．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了三角形相似的判定与性质．10．（2012•岳阳）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是（）A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤考点：切线的性质；切线长定理；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接OE，由AD，DC，BC都为圆的切线，根据切线的性质得到三个角为直角，且利用切线长定理得到DE=DA，CE=CB，由CD=DE+EC，等量代换可得出CD=AD+BC，选项②正确；由AD=ED，OD为公共边，利用HL可得出直角三角形ADO与直角三角形EDO全等，可得出∠AOD=∠EOD，同理得到∠EOC=∠BOC，而这四个角之和为平角，可得出∠DOC为直角，选项⑤正确；由∠DOC与∠DEO都为直角，再由一对公共角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似，可得出三角形DEO与三角形DOC相似，由相似得比例可得出OD2=DE•CD，选项①正确；又ABCD为直角梯形，利用梯形的面积计算后得到梯形ABCD的面积为AB（AD+BC），将AD+BC化为CD，可得出梯形面积为AB•CD，选项④错误，而OD不一定等于OC，选项③错误，即可得到正确的选项．解答：解：连接OE，如图所示：∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC，∴CD=DE+EC=AD+BC，选项②正确；在Rt△ADO和Rt△EDO中，，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL），∴∠AOD=∠EOD，同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC，又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°，选项⑤正确；∴∠DOC=∠DEO=90°，又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC，∴=，即OD2=DC•DE，选项①正确；而S梯形ABCD=AB•（AD+BC）=AB•CD，选项④错误；由OD不一定等于OC，选项③错误，则正确的选项有①②⑤．故选A点评：此题考查了切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，以及梯形面积的求法，利用了转化的数学思想，熟练掌握定理及性质是解本题的关键．二．填空题（共10小题）11．（2013•昭通）如图，AB是⊙O的直径，弦BC=4cm，F是弦BC的中点，∠ABC=60°．若动点E以1cm/s的速度从A点出发在AB上沿着A→B→A运动，设运动时间为t（s）（0≤t ＜16），连接EF，当△BEF是直角三角形时，t（s）的值为4s．（填出一个正确的即可）考点：圆周角定理；垂径定理；相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；开放型．分析：根据圆周角定理得到∠C=90°，由于∠ABC=60°，BC=4cm，根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=8cm，而F是弦BC的中点，所以当EF∥AC时，△BEF 是直角三角形，此时E为AB的中点，易得t=4s；当从A点出发运动到B点名，再运动到O点时，此时t=12s；也可以过F点作AB的垂线，点E点运动到垂足时，△BEF 是直角三角形．解答：解：∵AB是⊙O的直径，∴∠C=90°，而∠ABC=60°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，∵F是弦BC的中点，∴当EF∥AC时，△BEF是直角三角形，此时E为AB的中点，即AE=AO=4cm，∴t==4（s）．故答案为4s．点评：本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．也考查了圆周角定理的推论以及含30度的直角三角形三边的关系．12．（2013•南通）如图，在▱ABCD中，AB=6cm，AD=9cm，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE，垂足为G，BG=4cm，则EF+CF的长为5cm．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；平行四边形的性质．专题：压轴题．分析：首先，由于AE平分∠BAD，那么∠BAE=∠DAE，由AD∥BC，可得内错角∠DAE=∠BEA，等量代换后可证得AB=BE，即△ABE是等腰三角形，根据等腰三角形“三线合一”的性质得出AE=2AG，而在Rt△ABG中，由勾股定理可求得AG的值，即可求得AE的长；然后，利用平行线分线段成比例的性质分别得出EF，FC的长，即可得出答案．解答：解：∵AE平分∠BAD，∴∠DAE=∠BAE；又∵AD∥BC，∴∠BEA=∠DAE=∠BAE，∴AB=BE=6cm，∴EC=9﹣6=3（cm），∵BG⊥AE，垂足为G，∴AE=2AG．在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=6cm，BG=4cm，∴AG==2（cm），∴AE=2AG=4cm；∵EC∥AD，∴====，∴=，=，解得：EF=2（cm），FC=3（cm），∴EF+CF的长为5cm．故答案为：5．点评：本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识的掌握程度和灵活运用能力，同时也体现了对数学中的数形结合思想的考查，难度适中．13．（2013•菏泽）如图所示，在△ABC中，BC=6，E、F分别是AB、AC的中点，动点P 在射线EF上，BP交CE于D，∠CBP的平分线交CE于Q，当CQ=CE时，EP+BP=12．考点：相似三角形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；三角形中位线定理．专题：压轴题．分析：延长BQ交射线EF于M，根据三角形的中位线平行于第三边可得EF∥BC，根据两直线平行，内错角相等可得∠M=∠CBM，再根据角平分线的定义可得∠PBM=∠CBM，从而得到∠M=∠PBM，根据等角对等边可得BP=PM，求出EP+BP=EM，再根据CQ=CE求出EQ=2CQ，然后根据△MEQ和△BCQ相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．解答：解：如图，延长BQ交射线EF于M，∵E、F分别是AB、AC的中点，∴EF∥BC，∴∠M=∠CBM，∵BQ是∠CBP的平分线，∴∠PBM=∠CBM，∴∠M=∠PBM，∴BP=PM，∴EP+BP=EP+PM=EM，∵CQ=CE，∴EQ=2CQ，由EF∥BC得，△MEQ∽△BCQ，∴==2，∴EM=2BC=2×6=12，即EP+BP=12．故答案为：12．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，平行线的性质，延长BQ构造出相似三角形，求出EP+BP=EM并得到相似三角形是解题的关键，也是本题的难点．14．（2013•巴中）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落在离网4米的位置上，则球拍击球的高度h为 1.5米．考点：相似三角形的应用．分析：根据球网和击球时球拍的垂直线段平行即DE∥BC可知，△ADE∽△ACB，根据其相似比即可求解．解答：解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，即=，则=，∴h=1.5m．故答案为：1.5米．点评：本题考查了相似三角形在测量高度时的应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．15．（2012•自贡）正方形ABCD的边长为1cm，M、N分别是BC、CD上两个动点，且始终保持AM⊥MN，当BM=cm时，四边形ABCN的面积最大，最大面积为cm2．考点：相似三角形的判定与性质；二次函数的最值；正方形的性质．专题：压轴题．分析：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，当AM⊥MN时，利用互余关系可证△ABM∽△MCN，利用相似比求CN，根据梯形的面积公式表示四边形ABCN的面积，用二次函数的性质求面积的最大值．解答：解：设BM=xcm，则MC=1﹣xcm，∵∠AMN=90°，∴∠AMB+∠NMC=90°，∠NMC+∠MNC=90°，∴∠AMB=∠MNC，又∵∠B=∠C∴△ABM∽△MCN，则，即，解得CN==x（1﹣x），∴S四边形ABCN=×1×[1+x（1﹣x）]=﹣x2+x+，∵﹣＜0，∴当x=﹣=cm时，S四边形ABCN最大，最大值是﹣×（）2+×+=cm2．故答案是：，．点评：本题考查了二次函数的性质的运用．关键是根据已知条件判断相似三角形，利用相似比求函数关系式．16．（2012•宜宾）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是②③④（写出所有正确结论的序号）．考点：切线的性质；圆周角定理；三角形的外接圆与外心；相似三角形的判定与性质．专题：计算题；压轴题．分析：连接BD，由GD为圆O的切线，根据弦切角等于夹弧所对的圆周角得到∠GDP=∠ABD，再由AB为圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到∠ACB为直角，由CE垂直于AB，得到∠AFP为直角，再由一对公共角，得到三角形APF与三角形ABD相似，根据相似三角形的对应角相等可得出∠APF等于∠ABD，根据等量代换及对顶角相等可得出∠GPD=∠GDP，利用等角对等边可得出GP=GD，选项②正确；由直径AB垂直于弦CE，利用垂径定理得到A为的中点，得到两条弧相等，再由C为的中点，得到两条弧相等，等量代换得到三条弧相等，根据等弧所对的圆周角相等可得出∠CAP=∠ACP，利用等角对等边可得出AP=CP，又AB为直径得到∠ACQ为直角，利用等角的余角相等可得出∠PCQ=∠PQC，得出CP=PQ，即P为直角三角形ACQ斜边上的中点，即为直角三角形ACQ的外心，选项③正确；利用等弧所对的圆周角相等得到一对角相等，再由一对公共角相等，得到三角形ACQ 与三角形ABC相似，根据相似得比例得到AC2=CQ•CB，连接CD，同理可得出三角形ACP与三角形ACD相似，根据相似三角形对应边成比例可得出AC2=AP•AD，等量代换可得出AP•AD=CQ•CB，选项④正确．解答：解：∠BAD与∠ABC不一定相等，选项①错误；连接BD，如图所示：∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD，又AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°，∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°，∴∠ADB=∠AFP，又∠PAF=∠BAD，∴△APF∽△ABD，∴∠ABD=∠APF，又∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD，∴GP=GD，选项②正确；∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即=，又C为的中点，∴=，∴=，∴∠CAP=∠ACP，∴AP=CP，又AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°，∴∠PCQ=∠PQC，∴PC=PQ，∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点，∴P为Rt△ACQ的外心，选项③正确；连接CD，如图所示：∵=，∴∠B=∠CAD，又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA，∴=，即AC2=CQ•CB，∵=，∴∠ACP=∠ADC，又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC，∴=，即AC2=AP•AD，∴AP•AD=CQ•CB，选项④正确，则正确的选项序号有②③④．故答案为：②③④点评：此题考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定与性质，以及三角形的外接圆与圆心，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．17．（2012•泉州）在△ABC中，P是AB上的动点（P异于A、B），过点P的直线截△ABC，使截得的三角形与△ABC相似，我们不妨称这种直线为过点P的△ABC的相似线，简记为P（l x）（x为自然数）．（1）如图①，∠A=90°，∠B=∠C，当BP=2PA时，P（l1）、P（l2）都是过点P的△ABC 的相似线（其中l1⊥BC，l2∥AC），此外，还有1条；（2）如图②，∠C=90°，∠B=30°，当=或或时，P（l x）截得的三角形面积为△ABC面积的．考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题．分析：（1）过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC，l3是第3条相似线；（2）按照相似线的定义，找出所有符合条件的相似线．总共有4条，注意不要遗漏．解答：解：（1）存在另外 1 条相似线．如图1所示，过点P作l3∥BC交AC于Q，则△APQ∽△ABC；故答案为：1；（2）设P（l x）截得的三角形面积为S，S=S△ABC，则相似比为1：2．如图2所示，共有4条相似线：①第1条l1，此时P为斜边AB中点，l1∥AC，∴=；②第2条l2，此时P为斜边AB中点，l2∥BC，∴=；③第3条l3，此时BP与BC为对应边，且=，∴==；④第4条l4，此时AP与AC为对应边，且=，∴==，∴=．故答案为：或或．点评：本题引入“相似线”的新定义，考查相似三角形的判定与性质和解直角三角形的运算；难点在于找出所有的相似线，不要遗漏．18．（2012•嘉兴）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交CD、CA于点E、F，与过点A且垂直于AB的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是①③．考点：相似三角形的判定与性质；勾股定理；等腰直角三角形．专题：压轴题．分析：首先根据题意易证得△AFG∽△CFB，根据相似三角形的对应边成比例与BA=BC，继而证得正确；由点D是AB的中点，易证得BC=2BD，由等角的余角相等，可得∠DBE=∠BCD，即可得AG=AB，继而可得FG=BF；即可得AF=AC，又由等腰直角三角形的性质，可得AC=AB，即可求得AF=AB；则可得S△ABC=6S△BDF．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC，AG⊥AB，∴AG∥BC，∴△AFG∽△CFB，∴，∵BA=BC，∴，故①正确；∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°，∴∠DBE=∠BCD，∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB，∵tan∠BCD==，∴在Rt△ABG中，tan∠DBE==，∵=，∴FG=FB，∵GE≠BF，∴点F不是GE的中点．故②错误；∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2，∴AF=AC，∵AC=AB，∴AF=AB，故③正确；∵BD=AB，AF=AC，∴S△ABC=6S△BDF，故④错误．故答案为：①③．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质以及三角函数等知识．此题难度适中，解题的关键是证得△AFG∽△CFB，注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．19．（2012•泸州）如图，n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，△B1C1M1的面积为S1，△B2C2M2的面积为S2，…△B n C n M n的面积为S n，则S n=．（用含n的式子表示）考点：相似三角形的判定与性质．专题：压轴题；规律型．分析：由n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，即可求得△B1C1M n的面积，又由B n C n∥B1C1，即可得△B n C n M n∽△B1C1M n，然后利用相似三角形的面积比等于相似比的平方，求得答案．解答：解：∵n个边长为1的相邻正方形的一边均在同一直线上，点M1，M2，M3，…M n分别为边B1B2，B2B3，B3B4，…，B n B n+1的中点，∴S1=×B1C1×B1M1=×1×=，S△B1C1M2=×B1C1×B1M2=×1×=，S△B1C1M3=×B1C1×B1M3=×1×=，S△B1C1M4=×B1C1×B1M4=×1×=，S△B1C1Mn=×B1C1×B1M n=×1×=，∵B n C n∥B1C1，∴△B n C n M n∽△B1C1M n，∴S△BnCnMn：S△B1C1Mn=（）2=（）2，即S n：=，∴S n=．故答案为：．点评：此题考查了相似三角形的判定与性质、正方形的性质以及直角三角形面积的公式．此题难度较大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．20．（2013•荆州）如图，△ABC是斜边AB的长为3的等腰直角三角形，在△ABC内作第1个内接正方形A1B1D1E1（D1、E1在AB上，A1、B1分别在AC、BC上），再在△A1B1C 内接同样的方法作第2个内接正方形A2B2D2E2，…如此下去，操作n次，则第n个小正方形A n B n D n E n的边长是．考点：相似三角形的判定与性质；等腰直角三角形．专题：规律型．分析：求出第一个、第二个、第三个内接正方形的边长，总结规律可得出第n个小正方形A nB n D n E n的边长．解答：解：∵∠A=∠B=45°，∴AE1=A1E=A1B1=B1D1=D1B，∴第一个内接正方形的边长=AB=1；同理可得：第二个内接正方形的边长=A1B1=AB=；第三个内接正方形的边长=A2B2=AB=；故可推出第n个小正方形A n B n D n E n的边长=AB=．故答案为：．点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质，解答本题的关键是求出前几个内接正方形的边长，得出一般规律．三．解答题（共8小题）21．（2013•珠海）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点P为AC边上的一点，将线段AP绕点A顺时针方向旋转（点P对应点P′），当AP旋转至AP′⊥AB时，点B、P、P′恰好在同一直线上，此时作P′E⊥AC于点E．（1）求证：∠CBP=∠ABP；（2）求证：AE=CP；（3）当，BP′=5时，求线段AB的长．考点：全等三角形的判定与性质；角平分线的性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．专题：几何综合题；压轴题．分析：（1）根据旋转的性质可得AP=AP′，根据等边对等角的性质可得∠APP′=∠AP′P，再根据等角的余角相等证明即可；（2）过点P作PD⊥AB于D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得CP=DP，然后求出∠PAD=∠AP′E，利用“角角边”证明△APD和△P′AE全等，根据全等三角形对应边相等可得AE=DP，从而得证；（3）设CP=3k，PE=2k，表示出AE=CP=3k，AP′=AP=5k，然后利用勾股定理列式求出P′E=4k，再求出△ABP′和△EPP′相似，根据相似三角形对应边成比例列式求出P′A=AB，然后在Rt△ABP′中，利用勾股定理列式求解即可．解答：（1）证明：∵AP′是AP旋转得到，∴AP=AP′，∴∠APP′=∠AP′P，∵∠C=90°，AP′⊥AB，∴∠CBP+∠BPC=90°，∠ABP+∠AP′P=90°，又∵∠BPC=∠APP′（对顶角相等），∴∠CBP=∠ABP；（2）证明：如图，过点P作PD⊥AB于D，∵∠CBP=∠ABP，∠C=90°，∴CP=DP，∵P′E⊥AC，。

【九年级】九年级数学下27.2相似三角形(一)同步练习(人教版有答案和解释)

【九年级】九年级数学下27.2相似三角形(一)同步练习（人教版有答案和解释）27.2相似三角形同步练习(一)一、单选题（本大题共15个子题，每个子题得3分，共计45分）1、如图，在中，已知于点，则图中相似三角形共有().a、对b.对c、对d.对2.如图所示，如果直线已知，且直线和，，分别与点，，，，，，，，，相交，则的值为（）3、如图，已知，，则().4.同时，身高1.6米的小华在阳光下的影子长度为0.8米。

如果一棵树的阴影长度是4.8米，那么树的高度是（）a.米b、仪表c.米d、仪表5、下列四组线段中，不成构成比例线段的是().A.b.Cd.6.如果是这样，可以得到比例公式（）a.Bc.D7、在运动会上，裁判员测得小明与小华跳远成绩分别是米，厘米，则线段与的比值是（）.A.b.Cd.8.如果三个顶点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘以，新点依次连接，则得到的三角形与原始三角形之间的位置关系为（）a.原三角形向轴的负方向平移一个单位即为所得三角形b、关于原点对称c.关于轴对称d、关于轴对称9、如图，在中，，若，则（）A.b.Cd.10.如果一个直角三角形的两边分别是和，而另一个类似的直角三角形的边分别是和，那么（）a.有无数个b、超过，但有限c.可以有个d、只有一个11、与是位似图形，且与的位似比是，已知的面积是，则的面积是（）A.d.12.如图所示，为了测量学校旗杆的高度，晓东使用长度为的竹竿作为测量工具移动竹竿，使竹竿顶部和旗杆顶部的阴影落在地面上的同一点上。

此时，竹竿距离此点较远，旗杆高度为（）下在墙上形成的影子如图所示．若，则这个三角尺的周长与它在墙上形成的影子的周长的比是（）14.如果和的值为（）a.D15、如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（）D二、填空题（本大题共有5小题，每小题5分，共25分）16.假设两个相似多边形的相似比为，它们对应边的比率等于____________________;，面积比等于__17、测量旗杆高度的方法都是依据___________的原理而设计的.引理：平行于三角形一边并与另两边相交的直线。

人教版数学九年级下册数学：27.2.1 相似三角形的判定同步练习(附答案)

27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例1．如图所示，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE ACC.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AD AB ＝AE EC ＝DE BC2．两个三角形相似，且相似比k ＝1，则这两个三角形．3．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，AD ＝6，DB ＝3，AE ＝4，则EC 的长为( )A ．1B ．2C ．3D ．44．如图，直线l 1∥l 2∥l 3，直线AC 交l 1，l 2，l 3于点A ，B ，C ，直线DF 交l 1，l 2，l 3于点D ，E ，F ，已知AB AC ＝13，则EFDE＝．5．如图，在▱ABCD 中，EF ∥AB 交AD 于点E ，交BD 于点F ，DE ∶EA ＝3∶4，EF ＝3，则CD 的长为( )A ．4B ．7C ．3D ．126．如图，点E ，F 分别在△ABC 的边AB ，AC 上，且EF ∥BC ，点M 在边BC 上，AM 与EF 交于点D ，则图中相似三角形共有( )A ．4对B ．3对C ．2对D ．1对7．在△ABC 中，AB ＝6，AC ＝9，点P 是直线AB 上一点，且AP ＝2，过点P 作BC 边的平行线，交直线AC 于点M ，则MC 的长为．8．如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB 于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是()A.ABAE＝AGADB.DFCF＝DGADC.FGAC＝EGBDD.AEBE＝CFDF9．如图，AG∶GD＝4∶1，BD∶DC＝2∶3，则AE∶EC的值是()A．3∶2B．4∶3C．6∶5D．8∶510．如图，练习本中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，同一条直线上的三个点A，B，C都在横格线上，若线段AB＝4 cm，则线段BC＝cm.11．如图，在△ABC中，点D，E分别为AB，AC的中点，连接DE，线段BE，CD相交于点O，若OD＝2，则OC＝.12．如图，在▱ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，在BA的延长线上取一点E，连接OE交AD于点F，若CD＝5，BC＝8，AE＝2，则AF＝．13．中国高铁近年来用震惊世界的速度不断发展，已成为当代中国一张耀眼的“国家名片”，修建高铁时常常要逢山开道、遇水搭桥，如图，某高铁在修建时需打通一直线隧道MN(M、N为山的两侧)，工程人员为了计算M、N两点之间的直线距离，选择作MN的平行线BC，并测得AM＝900米， AB＝30米，BC＝45米，求直线隧道MN的长．14．如图，延长正方形ABCD的一边CB至点E，ED与AB相交于点F，过点F作FG∥BE 交AE于点G，求证：GF＝FB.15．如图，AD∥EG∥BC，EG分别交AB，DB，AC于点E，F，G，已知AD＝6，BC＝10，AE＝3，AB＝5，求EG，FG的长．第2课时相似三角形的判定定理1，21．将一个三角形的各边长都缩小12后，得到的三角形与原三角形( )A ．一定相似B ．一定不相似C ．不一定相似D ．无法确定2．若△ABC 各边分别为AB ＝10 cm ，BC ＝8 cm ，AC ＝6 cm ，△DEF 的两边为DE ＝5 cm ，EF ＝4 cm ，则当DF ＝ cm 时，△ABC ∽△DEF. 3．试判断图中的两个三角形是否相似，并说明理由．4．网格图中每个方格都是边长为1的正方形．若A ，B ，C ，D ，E ，F 都是格点，试说明△ABC ∽△DEF.5．能判定△ABC ∽△A ′B ′C ′的条件是( )A.AB A ′B ′＝ACA ′C ′B.AB AC ＝A ′B ′A ′C ′且∠A ＝∠A ′ C.AB BC ＝A ′B ′A ′C ′且∠B ＝∠C ′ D.AB A ′B ′＝ACA ′C ′且∠B ＝∠B ′6．如图，已知△ABC，则下列4个三角形中，与△ABC相似的是()7．如图，AB与CD相交于点O，OA＝3，OB＝5，OD＝6，当OC＝时，△AOC∽△BOD.8．如图，点C，D在线段AB上，∠A＝∠B，AE＝3，AD＝2，BC＝3，BF＝4.5，DE＝5，求CF的长．9．在△ABC中，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝时，以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似．10．如图，在方格纸中，△ABC和△EPD的顶点均在格点上，要使△ABC∽△EPD，则点P所在的格点为()A．P 1B．P2C．P3D．P411．如图，在△ABC中，点P在AB上，下列四个条件：①AP∶AC＝AC∶AB；②AC2＝AP·AB；③AB·CP＝AP·CB.其中能满足△APC和△ACB相似的条件有()A．1个 B．2个C．3个D．0个12．如图，已知∠DAB＝∠CAE，请补充一个条件：，使△ABC∽△ADE.13．如图，AB∥DE，AC∥DF，BC∥EF，求证：△DEF∽△ABC.14．如图，在△ABC中，AB＝AC，D为CB延长线上一点，E为BC延长线上一点，且满足AB2＝DB·CE.求证：△ADB∽△EAC.15．如图，正方形ABCD中，P是BC上的点，且BP＝3PC，Q是CD的中点，求证：△ADQ ∽△QCP.16．如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 cm/s，点E运动的速度为2 cm/s.如果两点同时运动，那么当以点A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是．第3课时相似三角形的判定定理31．下列各组图形中有可能不相似的是()A．各有一个角是45°的两个等腰三角形B．各有一个角是60°的两个等腰三角形C．各有一个角是105°的两个等腰三角形D．两个等腰直角三角形2．已知△ABC中，∠A＝40°，∠B＝75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.3．如图，锐角三角形ABC的边AB，AC上的高线EC，BF相交于点D，请写出图中的两对相似三角形．(用相似符号连接) 4．如图，点B，D，C，F在一条直线上，且AB∥EF，AC∥DE，求证：△ABC∽△EFD.5．如图，∠1＝∠2，∠C ＝∠D.求证：△ABC ∽△AED.6．在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠C ＝∠C ′＝90°，AC ＝12，AB ＝15，A ′C ′＝8，则当A ′B ′＝时，△ABC ∽△A ′B ′C ′.7．一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别为8 cm 和15 cm ，另一个直角三角形的一条直角边长和斜边长分别是6 cm 和454 cm ，这两个直角三角形 (填“是”或“不是”)相似三角形．8．一个直角三角形的两边长分别为3和6，另一个直角三角形的两边长分别为2和4，那么这两个直角三角形 (填“一定”“不一定”或“一定不”)相似．9．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在AB ，AC 边上，DE ∥BC ，且∠DCE ＝∠B.那么下列判断中，错误的是( )A ．△ADE ∽△ABCB ．△ADE ∽△ACDC ．△DEC ∽△CDBD ．△ADE ∽△DCB10．如图，在△ABC 中，点D 是边AB 上的一点，∠ADC ＝∠ACB ，AD ＝2，BD ＝6，则边AC 的长为( )A ．2B ．4C ．6D ．811．《九章算术》是我国古代数学名著，书中有下列问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”其意思为：“今有直角三角形，勾(短直角边)长为5步，股(长直角边)长为12步，问该直角三角形能容纳的正方形边长最大是多少步？”该问题的答案是步．12．如图，已知∠ACB＝∠ABD＝90°，AB＝6，AC＝2，求AD的长为多少时，图中两直角三角形相似？13．如图，在▱ABCD中，过点A作AE⊥DC，垂足为E，连接BE，F为BE上一点，且∠AFE＝∠D.求证：△ABF∽△BEC.14．如图，矩形ABCD中，AB＝20，BC＝10，点P为AB边上一动点，DP交AC于点Q.(1)求证：△APQ∽△CDQ；(2)P点从A点出发沿AB边以每秒1个单位长度的速度向B点移动，移动时间为t秒．当t为何值时，DP⊥AC?15．如图，在△ABC中，AD，BF分别是BC，AC边上的高，过点D作AB的垂线交AB于点E，交BF于点G，交AC的延长线于点H，求证：DE2＝EG·EH.参考答案：27．2.1 相似三角形的判定第1课时平行线分线段成比例1．A2．全等．3．B4． 2．5．B6．B7． 6或12．8．D9．D10．12.11．4.12．169．13．解：∵BC ∥MN ，∴△ABC ∽△AMN.∴AB AM ＝BC MN ，即30900＝45MN .∴MN ＝1 350.答：直线隧道MN 的长为1 350米．14．证明：∵GF ∥AD ，∴GF AD ＝EFED .又FB ∥DC ，∴FB DC ＝EFED .又AD ＝DC ，∴GF AD ＝FBAD .∴GF ＝FB.15．解：∵在△ABC 中，EG ∥BC ，∴△AEG ∽△ABC ，∴EG BC ＝AEAB .∵BC ＝10，AE ＝3，AB ＝5，∴EG 10＝35，∴EG ＝6. ∵在△BAD 中，EF ∥AD ，∴△BEF ∽△BAD ，∴EF AD ＝BE AB. ∵AD ＝6，AE ＝3，AB ＝5，∴EF 6＝5－35.∴EF ＝125. ∴FG ＝EG －EF ＝185.第2课时相似三角形的判定定理1，21．A2．3.3．解：相似．理由如下：在Rt △ABC 中，BC ＝AB 2－AC 2＝32－2.42＝1.8，在Rt △DEF 中，DF ＝DE 2－EF 2＝62－3.62＝4.8，∴AB DE ＝BC EF ＝AC DF ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.4．证明：∵AC ＝2，BC ＝12＋32＝10，AB ＝4，DF ＝22＋22＝22，EF ＝22＋62＝210，ED ＝8，∴AC DF ＝BC EF ＝AB DE ＝12. ∴△ABC ∽△DEF.5．B6．C7． 1858．解：∵AE BF ＝34.5＝23，AD BC ＝23，∴AE BF ＝AD BC.又∵∠A ＝∠B ，∴△AED ∽△BFC.∴AD BC ＝DE CF .∴23＝5CF. ∴CF ＝152. 9． 125或53． 10．C11．B12． AD AB ＝AE AC 13．证明：∵AB ∥DE ，∴△ODE ∽△OAB.∴DE AB ＝OE OB. ∵BC ∥EF ，∴△OEF ∽△OBC.∴EF BC ＝OE OB ＝OF OC. ∵AC ∥DF ，∴△ODF ∽△OAC.∴DF AC ＝OF OC. ∴DE AB ＝EF BC ＝DF AC. ∴△DEF ∽△ABC.14．证明：∵AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∴∠ABD ＝∠ACE.∵AB 2＝DB ·CE ，∴AB CE ＝DB AB . 又AB ＝AC ，∴AB CE ＝DB AC. ∴△ADB ∽△EAC.15．证明：设正方形的边长为4a ，则AD ＝CD ＝BC ＝4a.∵Q 是CD 的中点，BP ＝3PC ，∴DQ ＝CQ ＝2a ，PC ＝a.∴DQ PC ＝AD CQ ＝21. 又∵∠D ＝∠C ＝90°，∴△ADQ ∽△QCP.16．3__s 或4.8__s ．第3课时相似三角形的判定定理31．A2． △EFD ，△HGK .3．答案不唯一，如△BDE ∽△CDF ，△ABF ∽△ACE 等．4．证明：∵AB ∥EF ，AC ∥DE ，∴∠B ＝∠F ，∠ACB ＝∠EDF.∴△ABC ∽△EFD.5．证明：∵∠1＝∠2，∴∠1＋∠CAD ＝∠2＋∠CAD ，即∠BAC ＝∠EAD.又∵∠C ＝∠D ，∴△ABC ∽△AED.6．10.7．是．8．不一定．9．D10．B11．6017． 12．解：①若△ABC ∽△ADB ，则AB AD ＝AC AB.∴AD ＝3； ②若△ABC ∽△DAB ，则AB AD ＝BC AB.∴AD ＝3 2.综上所述，当AD ＝3或32时，两直角三角形相似．13．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ∥BC ，AD ＝BC.∴∠D ＋∠C ＝180°，∠ABF ＝∠BEC.又∵∠AFB ＋∠AFE ＝180°，且∠AFE ＝∠D ， ∴∠C ＝∠AFB.又∵∠ABF ＝∠BEC ，∴△ABF ∽△BEC.14．解：(1)证明：∵四边形ABCD 是矩形， ∴AB ∥CD.∴△APQ ∽△CDQ.(2)当DP ⊥AC 时，∠QCD ＋∠QDC ＝90°.∵∠ADQ ＋∠QDC ＝90°，∴∠DCA ＝∠ADP. 又∵∠ADC ＝∠DAP ＝90°，∴△ADC ∽△PAD.∴AD PA ＝DC AD .∴10PA ＝2010，解得PA ＝5. ∴t ＝5.15．证明：∵AD ，BF 分别是BC ，AC 边上的高， ∴∠ADB ＝∠BED ＝90°.∴∠EBD ＋∠EDB ＝∠EDB ＋∠ADE.∴∠EBD ＝∠EDA.∴△AED ∽△DEB.∴AE DE ＝DE BE，即DE 2＝AE ·BE. 又∵∠HFG ＝90°，∠BGE ＝∠HGF ，∴∠EBG ＝∠H.∵∠BEG ＝∠HEA ＝90°，∴△BEG ∽△HEA.∴EG AE ＝BE EH，即EG ·EH ＝AE ·BE. ∴DE 2＝EG ·EH.。

九年级数学下册第二十七章相似27.2相似三角形27.2.1相似三角形的判定同步练习新版新人教版

相似三角形的判定一、基础题目1．如图，△ADE ∽△ACB ，∠AED ＝∠B ，那么下列比例式成立的是( ) A.AD AC ＝AE AB ＝DE BC B.AD AB ＝AE AC C.AD AE ＝AC AB ＝DE BC D.AE EC ＝DE BC2．如图，在△ABC 中，点D ，E 分别在边AB ，AC 上，DE ∥BC ，若BD ＝2AD ，则( ) A.AD AB ＝12 B.AE EC ＝12 C.AD EC ＝12 D.DE BC ＝123．如图，已知直线a ∥b ∥c ，直线m 交直线a ，b ，c 于点A ，B ，C ，直线n 交直线a ，b ，c 于点D ，E ，F ，若AB BC ＝12，则DEEF＝( ) A.13 B.12 C.23D ．1第1题图第2题图第3题图4．如果△ABC ∽△A′B′C′，△ABC 与△A′B′C′的相似比为2，那么△A′B′C′与△ABC 的相似比为．5．如图，AB ∥CD ∥EF ，AF 与BE 相交于点G ，且AG ＝2，GD ＝1，DF ＝5，那么BCCE 的值等于．6．如图，AB 、CD 相交于点O ，OC ＝2，OD ＝3，AC ∥BD.EF 是△ODB 的中位线，且EF ＝2，则AC 的长为． 7．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，且AD ＝2，DB ＝3，则DEBC＝．第5题图第6题图第7题图 8．如图，EG ∥BC ，GF ∥CD ，AE ＝3，EB ＝2，AF ＝6，求AD 的值．二、训练题目9．如图，△ABC 中，DE ∥BC ，EF ∥AB ，则图中相似三角形的对数是( ) A ．1对 B ．2对 C ．3对 D ．4对10.如图，在▱ABCD 中，点E 是边AD 的中点，EC 交对角线BD 于点F ，则EF ∶FC 等于( ) A ．3∶2 B ．3∶1 C ．1∶1 D ．1∶211．如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,3,2AD BD ==,则ADE ∆和ABC ∆的相似比是；若6DE =，则BC =第9题图第10题图第11题图12．一个三角形的三边长分别为8 cm,6 cm,12 cm,另一个与它相似的三角形的最短边为3 cm ，则其余两边长为______________.13.如图,在ABC ∆中,DE ∥BC ,DE 分别与,AB AC 相交于D E 、，若4AD =,2DB =,求:DE BC 的值。

人教版九年级数学下册：相似练习题(含答案详解)

九年级下册数学（人教版）相似三角形练习题学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________分卷I一、选择题(共33小题,每小题分,共0分)1.“相似的图形”是()A．形状相同的图形B．大小不相同的图形C．能够重合的图形D．大小相同的图形2.下列图形中一定相似的是()A．所有矩形B．所有等腰三角形C．所有等边三角形D．所有菱形3.下列两个图形一定相似的是()A．两个矩形B．两个等腰三角形C．两个五边形D．两个正方形4.用一个4倍放大镜照△ABC，下列说法错误的是()A．△ABC放大后，∠B是原来的4倍B．△ABC放大后，边AB是原来的4倍C．△ABC放大后，周长是原来的4倍D．△ABC放大后，面积是原来的16倍5.如果x∶(x＋y)＝3∶5，那么x∶y等于()A ．B ．C ．D ．6.已知＝＝＝，则a＋c＋e＝6，则b＋d＋f等于()A． 12 B． 9 C． 6 D． 47.在比例尺是1∶500的图纸上，测得一块长方形的土地长5厘米，宽4厘米，这块地的实际面积是()A． 20平方米B． 500平方米C． 5 000平方米D． 500 000平方米8.两个多边形相似的条件是()A．对应角相等B．对应边成比例C．对应角相等或对应边成比例D．对应角相等且对应边成比例9.一个多边形的边长分别为2,3,4,5,6，另一个多边形和这个多边形相似，且最短边长为6，则最长边长为()A． 18 B． 12C． 24 D． 3010.如图，矩形ABCD∽矩形ADFE，AE＝1，AB＝4，则AD等于()A． 2 B． 2.4C． 2.5 D． 311.如图，若l1∥l2∥l3，则下列各式错误的是()A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝12.如图，AB∥CD，AD与BC相交于点O，若AO＝2，DO＝4，BO＝3，则BC的长为()A． 6 B． 9C． 12 D． 1513.如图，已知AD为△ABC的角平分线，DE∥AB交AC于E ，如果＝，那么等于()A ．B ．C ．D ．14.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为()A ．B ．C ．D ．15.若△ABC～△DEF，相似比为3∶2，则对应高的比为()A． 3∶2 B． 3∶5C． 9∶4 D． 4∶916.如果两个相似三角形对应边之比是1∶4，那么它们的对应中线之比是()A． 1∶2 B． 1∶4C． 1∶8 D． 1∶1617.如图，在直角坐标系xOy中，A(－4,0)，B(0,2)，连接AB并延长到C，连接CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为()A． (1，) B． (，)C． (，2) D． (，2)18.若△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，则它们的周长比为()A． 1∶4 B． 1∶2C． 2∶1 D． 1∶19.将一个三角形改成与它相似的三角形，如果面积扩大为原来的9倍，那么周长扩大为原来的()A． 9倍B． 3倍C． 81倍D． 18倍20.△ABC与△DEF的相似比为1∶3，则△ABC和△DEF的面积比为()A． 1∶B ．∶1C． 9∶1 D． 1∶921.已知△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4.若BC＝1，则EF的长为()A． 1 B． 2C． 3 D． 422.两个相似三角形，他们的周长分别是36和12.周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，则周长较大的三角形的面积是()A． 52 B． 54C． 56 D． 5823.两相似三角形的最短边分别是5 cm和3 cm，它们的面积之差为32 cm2，那么小三角形的面积为()A． 10 cm2 B． 14 cm2C． 16 cm2 D． 18 cm224.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，点F为BC边上一点，连接AF交DE于点G，则下列结论中一定正确的是()A ．＝B ．＝C ．＝D ．＝25.“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中的“井深几何”问题，它的题意可以由图获得，则井深为()A． 1.25尺B． 57.5尺C． 6.25尺D． 56.5尺26.如图：边长为12的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1＋S2的值为()A． 60B． 64C． 68D． 7227.志远要在报纸上刊登广告，一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，他要把该版面的边长都扩大为原来的3倍，在每平方厘米版面广告费相同的情况下，他该付广告费()A． 540元B． 1 080元C． 1 620元D． 1 800元28.为测量操场上旗杆的高度，小丽同学想到了物理学中平面镜成像的原理，她拿出随身携带的镜子和卷尺，先将镜子放在脚下的地面上，然后后退，直到她站直身子刚好能从镜子里看到旗杆的顶端E，标记好脚掌中心位置为B，测得脚掌中心位置B到镜面中心C的距离是50 cm，镜面中心C距离旗杆底部D的距离为4 m，如图所示．已知小丽同学的身高是1.54 m，眼睛位置A距离小丽头顶的距离是4 cm，则旗杆DE的高度等于()A． 10 m B． 12 m C． 12.4 m D． 12.32 m29.如图，身高为1.5米的某学生想测量一棵大树的高度，她沿着树影BA由B向A走去当走到C 点时，她的影子顶端正好与树的影子顶端重合，测得BC＝3米，CA＝1米，则树的高度为()A． 3米B． 4米C． 4.5米D． 6米30.如图，△OAB与△OCD是以点O为位似中心的位似图形，相似比为1∶2，∠OCD＝90°，CO ＝CD，若B(1,0)，则点C的坐标为()A． (1，－2) B． (－2,1)C． (，) D． (1，－1)31.如图，在平面直角坐标系中，有两点A(6,4)、B(6,0)，以原点O 为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，则点C的坐标为()A． (3,3) B． (3,2)C． (2,3) D． (2,2)32.如图所示是△ABC位似图形的几种画法，其中正确的是个数是()A． 1 B． 2C． 3 D． 433.如图，△A′B′C′是△ABC以点O为位似中心经过位似变换得到的，若△A′B′C′的面积与△ABC 的面积比是4∶9，则OB′∶OB为()A． 2∶3 B． 3∶2C． 4∶5D． 4∶9分卷II二、填空题(共15小题,每小题分,共0分)34.在比例尺为1∶40 000的地图上，某条道路的长为7 cm，则该道路的实际长度是__________ km.35.如图，E、F分别是平行四边形ABCD的边AD、BC的中点，若四边形AEFB与四边形ABCD 相似，AB＝4，则AD的长度为__________．36.一个三角形的三边之比为3∶4∶5，另一个三角形的最短边长为8，另外两边长为__________，__________时，这两个三角形相似．37.如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝16 cm，AC＝12 cm，点P从点B出发，沿BC以2 cm/s 的速度向点C移动，点Q从点C出发，以1 cm/s的速度向点A移动，若点P、Q分别从点B、C 同时出发，设运动时间为t s，当t＝__________时，△CPQ与△CBA相似．38.在△ABC在，AB＝6，AC＝5，点D在边AB上，且AD＝2，点E在边AC上，当AE＝__________时，以A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似．39.如果两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，那么它们的周长比是________．40.已知Rt△ABC∽Rt△A1B1C1且相似比为3∶4，若Rt△ABC的最长边长为12 cm，则Rt△A1B1C1最长边的中线长为__________ cm.41.已知△ABC∽△DEF，且S △ABC＝4，S△DEF＝25，则＝________.42.如果一个三角形的三边长为5、12、13，与其相似的三角形的最长的边为39，那么较大的三角形的周长为__________，面积为__________．43.一个等腰直角三角形和一个正方形如图摆放，被分割成了5个部分. ①，②，③这三块的面积比依次为1∶4∶41，那么④，⑤这两块的面积比是____________．44.已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，则△ABC与△DEF的面积之比为__________．45.在△ABC中，MN∥BC分别交AB，AC于点M，N；若AM＝1，MB＝2，BC＝3，则MN的长为__________．46.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC上的点，若DE∥BC，＝，则＝__________.47.如图，路灯距离地面8米，身高1.6米的小明站在距离灯的底部(点O)20米的A处，则小明的影子AM长为____________米．48.如图所示，一条河的两岸有一段是平行的，河宽36米，在河的南岸边每隔几米有一棵树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边24米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则每两棵树间的间隔__________米．三、解答题(共16小题,每小题分,共0分)49.已知：a∶b＝3∶2，b∶c＝∶0.3，求a∶b∶c.50.已知：＝＝，x－y＋z＝6，求：代数式3x－2y＋z的值．51.如图，已知AD∥BE∥CF，它们依次交直线l 1、l2于点A、B、C和点D、E、F，＝，AC＝14；(1)求AB、BC的长；(2)如果AD＝7，CF＝14，求BE的长．52.如图，已知△ABC中，点D、E分别在边AB和AC上，DE∥BC，点F是DE延长线上的点，＝，连接FC，若＝，求的值．53.如图，O为△ABC内一点，点D，E，F分别为OA，OB，OC的中点，求证：△DEF∽△ABC.54.如图所示，不共面的三条直线交于O点，在O点的同侧上分别取点A和A′，B和B′，C和C′，使得＝＝，求证：△ABC∽△A′B′C′.55.如图，在正方形ABCD中，E为边AD的中点，点F在边CD上，且CF＝3FD，△ABE与△DEF相似吗？为什么？56.已知如图，D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6.求证：△ADE∽△ACB.57.如图所示，正方形ABCD的顶点A在等腰直角三角形DEF的斜边EF上，EF与BC相交于点G，连接CF.(1)求证：△DAE≌△DCF；(2)求证：△ABG∽△CFG.58.如图所示，△ABC是等边三角形，点D、E分别在BC、AC上，且CE＝BD，BE、AD相交于点F.求证：(1)△ABD≌△BCE；(2)△AEF∽△ABE.59.等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，已知斜边AB＝12 cm.(1)求△A′B′C′斜边A′B′的长；(2)求△A′B′C′斜边A′B′上的高．60.求证：相似三角形对应角平分线的比等于相似比．已知：如图1，已知△ABC∽△A1B1C1，顶点A、B、C分别与A1、B1、C1对应，△ABC和△A1B1C1的相似比为k，AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线．求证：＝k.61.如图，直角三角形ABC到直角三角形DEF是一个相似变换，AC与DF的长度之比是3∶2.(1)DE与AB的长度之比是多少？(2)已知直角三角形ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2，求直角三角形DEF的周长与面积．62.如图，已知：D，E分别是△ABC的AB，AC边上的点，且△ABC∽△ADE，AD∶DB＝1∶3，DE＝2，求BC的长．63.已知直线l1∥l2∥l3，等腰直角△ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，若∠ACB＝90°，l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，求：(1)线段AB的长；(2)的值．64.如图，已知△ABC中，点D在边BC上，∠DAB＝∠B，点E在边AC上，满足AE·CD＝AD·CE.(1)求证：DE∥AB；(2)如果点F是DE延长线上一点，且BD是DF和AB的比例中项，连接AF.求证：DF＝AF.答案解析1.【答案】A【解析】相似图形是形状相同的图形，大小可以相同，也可以不同，故选A.2.【答案】C【解析】A.所有矩形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；B．所有等腰三角形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误；C．所有等边三角形，图形的形状相同，但大小不一定相同，符合相似性的定义，故正确；D．所有菱形，属于形状不唯一确定的图形，不一定相似，故错误．故选C.3.【答案】D【解析】A.两个矩形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；B．两个等腰三角形顶角不一定相等，故不符合题意；C．两个五边形，对应角相等，对应边不一定成比例，故不符合题意；D．两个正方形，形状相同，大小不一定相同，符合相似性定义，故符合题意．故选D.4.【答案】A【解析】∵放大前后的三角形相似，∴放大后三角形的内角度数不变，面积为原来的4倍，周长和边长均为原来的2倍，则A错误，符合题意．故选A.5.【答案】D【解析】∵x∶(x＋y)＝3∶5，∴5x＝3x＋3y，2x＝3y，∴x∶y＝3∶2＝，故选D.6.【答案】B【解析】由＝＝＝，得a＝b，c＝d，e＝f，则b＋d＋f＝6，即(b＋d＋f)＝6，∴b＋d＋f＝6×＝9，故选B.7.【答案】B【解析】∵比例尺是1∶500，长方形的土地长5厘米，宽4厘米，∴实际长为5÷＝2 500厘米＝25米，宽为4÷＝2 000厘米＝20米，∴实际面积为25×20＝500平方米，故选B.8.【答案】D【解析】∵对应角相等且对应边成比例的多边形相似，∴D符合定义，故选D.9.【答案】A【解析】设这个多边形的最长边是x，则＝，解得x＝18.故选A.10.【答案】A【解析】∵矩形ABCD∽矩形ADFE，∴＝，∵AE＝1，AB＝4，∴＝，解得AD＝2.故选A.11.【答案】D【解析】∵l1∥l2∥l3，∴＝，＝，∴＝故选D.12.【答案】B【解析】∵AB∥CD，∴＝；∵AO＝2，DO＝4，BO＝3，∴＝，解得CO＝6，∴BC＝BO＋CO＝3＋6＝9.故选B.13.【答案】B【解析】∵DE∥AB，∴＝＝，∵AD为△ABC的角平分线，∴＝＝；故选B.14.【答案】A【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为，∴△ABC与△DEF对应中线的比为，故选A.15.【答案】A【解析】∵△ABC～△DEF，相似比为3∶2，∴对应高的比为3∶2.故选A.16.【答案】B【解析】∵两个相似三角形对应边之比是1∶4，又∵相似三角形的对应高、中线、角平分线的比等于相似比，∴它们的对应中线之比为1∶4.故选B.17.【答案】B【解析】∵A(－4,0)，B(0,2)，∴OA＝4，OB＝2，∵△COB∽△CAO，∴＝＝＝＝，∴CO＝2CB，AC＝2CO，∴AC＝4CB，∴＝，过点C作CD⊥y轴于点D，∵AO⊥y轴，∴AO∥CD，∴△AOB∽△CDB，∴＝＝＝，∴CD＝AO＝，BD＝OB＝，∴OD＝OB＋BD＝2＋＝，∴点C的坐标为.故选B.18.【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC与△DEF的相似比为1∶2，∴它们的周长比为1∶2.故选B.19.【答案】B【解析】∵两个相似三角形的面积比为1∶9，∴这两个相似三角形的相似比为1∶3，∴这两个相似三角形的周长比为1∶3，∴周长扩大为原来的3倍，故选B.20.【答案】D【解析】∵相似△ABC与△DEF的相似比为1∶3，∴△ABC与△DEF的面积比为1∶9.故选D.21.【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，S△ABC∶S△DEF＝1∶4，∴BC∶EF＝1∶2，∵BC＝1，∴EF＝2，故选B.22.【答案】B【解析】∵两相似三角形的周长分别是36和12∴相似比为3∶1，∵周长较大的三角形的最大边为15，周长较小的三角形的最小边为3，∴周长较大的三角形的最小边为9，周长较小的三角形的最大边为5，∴周长较大的三角形的第三条边为12，∴两个三角形均为直角三角形，∴周长较大的三角形的面积＝×9×12＝54，故选B.23.【答案】D【解析】根据题意，两个三角形的相似比是5∶3，面积比就是25∶9，大小面积相差16份，所以每份的面积是32÷16＝2( cm2)，所以小三角形的面积为2×9＝18( cm2)．故选D.24.【答案】C【解析】A.∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝，故A错误；B.∵DE∥BC，∴＝，故B错误；C.∵DE∥BC，∴＝，故C正确；D.∵DE∥BC，∴△AGE∽△AFC，∴＝，故D错误；故选C.25.【答案】B【解析】依题意有△ABF∽△ADE，∴AB∶AD＝BF∶DE，即5∶AD＝0.4∶5，解得AD＝62.5，BD＝AD－AB＝62.5－5＝57.5尺．故选B.26.【答案】C【解析】如图，设正方形S2的边长为x，根据等腰直角三角形的性质知，AC＝x，x＝CD，∴AC＝2CD，CD＝4，∴EC2＝42＋42，即EC＝4，∴S2的面积为EC2＝32，∵S1的边长为6，S1的面积为6×6＝36，∴S1＋S2＝32＋36＝68.故选C27.【答案】C【解析】∵一块10 cm×5 cm的长方形版面要付广告费180元，∴每平方厘米的广告费为180÷50＝元，∴把该版面的边长都扩大为原来的3倍后的广告费为30×15×＝1 620元故选C.28.【答案】B【解析】由题意可得AB＝1.5 m，BC＝0.4 m，DC＝4 m，△ABC∽△EDC，则＝，即＝，解得DE＝12，故选B.29.【答案】D【解析】如图，由题意得，△ACD∽△ABE，∴＝，即＝，解得BE＝6，即树的高度为6米．故选D.30.【答案】D【解析】∵∠OAB＝∠OCD＝90°，AO＝AB，CO＝CD，等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，点B的坐标为(1,0)，∴BO＝1，则AO＝AB＝，∴A(，)，∵等腰Rt△OAB与等腰Rt△OCD是位似图形，O为位似中心，相似比为1∶2，∴点C的坐标为(1，－1)．故选D.31.【答案】B【解析】∵点A(6,4)，以原点O为位似中心，相似比为，在第一象限内把线段AB缩小到线段CD，∴点C的坐标为(6×，4×)，即(3,2)，故选B.32.【答案】D【解析】由位似图形的画法可得：4个图形都是△ABC的位似图形．故选D.33.【答案】A【解析】由位似变换的性质可知，A′B′∥AB，A′C′∥AC，∴△A′B′C′∽△ABC.∵△A′B′C′与△ABC的面积的比4∶9，∴△A′B′C′与△ABC的相似比为2∶3，∴＝，故选A.34.【答案】2.8【解析】设这条道路的实际长度为x，则＝，解得x＝280 000 cm＝2.8 km.∴这条道路的实际长度为2.8 km.35.【答案】4【解析】设AE＝x，则AD＝2x，∵四边形ABCD与矩四边形ABFE是相似的，∴＝，∴AB2＝2x2，∴AB＝x＝4，∴x＝2，∴AD＝4.36.【答案】【解析】∵如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似，∴当另一个三角形的三边的比为3∶4∶5时，这两个三角形相似，∵另一个三角形的最短边长为8，∴另外两边长为，.37.【答案】4.8或【解析】CP和CB是对应边时，△CPQ∽△CBA，所以＝，即＝，解得t＝4.8；CP和CA是对应边时，△CPQ∽△CAB，所以＝，即＝，解得t＝.综上所述，当t＝4.8或时，△CPQ与△CBA相似．38.【答案】或【解析】当＝时，∵∠A＝∠A，∴△AED∽△ABC，此时AE＝＝＝；当＝时，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，此时AE＝＝＝.39.【答案】4∶9【解析】∵两个相似三角形对应角平分线的比是4∶9，∴它们的相似比为4∶9，∴它们的周长比为4∶9.40.【答案】8【解析】设Rt△A1B1C1最长边为x cm，∵Rt△ABC∽Rt△A1B1C1且相似比为3∶4，∴12∶x＝3∶4，解得x＝16，则Rt△A1B1C1最长边的中线长为8 cm，41.【答案】【解析】∵△ABC∽△DEF，且S△ABC＝4，S△DEF＝25，∴＝＝.42.【答案】90270【解析】设较大三角形的其他两边长为a，b.∵由相似三角形的对应边比相等，∴＝＝，解得a＝15，b＝36，则较大三角形的周长为90，面积为270.故较大三角形的周长为90，面积为270.43.【答案】9∶14【解析】由题意，得①、②、④都是等腰直角三角形，∵①，②这两块的面积比依次为1∶4，∴设①的直角边为x，∴②的直角边为2x，设正方形的边长为y，∵①，③这两块的面积比依次为1∶41，∴①∶(①＋③)＝1∶42，即x2∶3xy＝1∶42，∴y＝7x，∴④的面积为6x·6x÷2＝18x2，⑤的面积为4x·7x＝28x2，∴④，⑤这两块的面积比是18x2∶28x2＝9∶14.44.【答案】9∶4【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为2，∴△ABC与△DEF的相似比是3∶2，∴△ABC与△DEF的面积之比为9∶4.45.【答案】1【解析】∵MN∥BC，∴△AMN∽△ABC，∴＝，即＝，∴MN＝1，故答案为1.46.【答案】【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝.故答案为.47.【答案】5【解析】根据题意，易得△MBA∽△MCO，根据相似三角形的性质可知，＝，即＝，解得AM＝5 m．则小明的影长为5米．48.【答案】5【解析】如图，过点P作PE⊥DC，交AB于点F，设每两棵树间的间隔x m，根据题意可得：∵AB∥CD∴△ABP∽△DPC，∴＝，∴＝，解得x＝5.49.【答案】解∵b∶c＝∶0.3，∴b∶c＝(×4)∶(0.3×4)＝2∶1.2；∵a∶b＝3∶2，∴a∶b∶c＝3∶2∶1.2＝(3×5)∶(2×5)∶(1.2×5)＝15∶10∶6.【解析】首先根据b∶c＝∶0.3，可得b∶c＝2∶1.2；然后根据a∶b＝3∶2，求出a∶b∶c的值是多少即可．50.【答案】解设＝＝＝k，可得x＝2k，y＝3k，z＝4k，把x＝2k，y＝3k，z＝4k代入x－y＋z＝6，可得2k－3k＋4k＝6，解得k＝2，所以x＝4，y＝6，z＝8，把x＝4，y＝6，z＝8代入3x－2y＋z＝12－12＋8＝8.【解析】根据比例的性质，可用设＝＝＝k，进而解答即可．51.【答案】解(1)∵AD∥BE∥CF，∴＝＝，∴＝，∵AC＝14，∴AB＝4，∴BC＝14－4＝10；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，如图所示：又∵AD∥BE∥CF，AD＝7，∴AD＝HE＝GF＝7，∵CF＝14，∴CG＝14－7＝7，∵BE∥CF，∴＝＝，∴BH＝2，∴BE＝2＋7＝9.【解析】(1)由平行线分线段成比例定理和比例的性质得出＝，即可求出AB的长，得出BC的长；(2)过点A作AG∥DF交BE于点H，交CF于点G，得出AD＝HE＝GF＝7，由平行线分线段成比例定理得出比例式求出BH，即可得出结果．52.【答案】解∵DE∥BC，∴＝，又∵＝，∴＝，∴AB∥CF，∴＝，∵＝，∴＝＝2，∴＝2.【解析】由平行线分线段成比例定理和已知条件得出＝，证出AB∥CF，再由平行线分线段成比例定理和比例的性质即可得出结果．53.【答案】证明∵D、E、F分别是OA、OB、OC的中点，∴DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，即＝＝，∴ABC∽△DEF.【解析】先根据三角形中位线性质得到DE＝AB，EF＝BC，DF＝AC，则可利用三组对应边的比相等的两个三角形相似得到结论．54.【答案】证明如图，∵＝，∴A′B′∥AB，∴＝.同理A′C′∥AC，B′C′∥BC，∴＝＝，∴＝＝.∴△ABC∽△A′B′C′.【解析】利“平行线截线段成比例”推知△ABC与△A′B′C′的对应边相互平行，则△ABC∽△A′B′C′.55.【答案】解△ABE与△DEF相似．理由如下：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，设AB＝AD＝CD＝4a，∵E为边AD的中点，CF＝3FD，∴AE＝DE＝2a，DF＝a，∴＝＝2，＝＝2，∴＝，而∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF.【解析】先根据正方形的性质，得∠A＝∠D＝90°，AB＝AD＝CD，设AB＝AD＝CD＝4a，利用E为边AD的中点，CF＝3FD，得到AE＝DE＝2a，DF＝a，则可计算出＝，加上∠A＝∠D，于是根据相似三角形的判定方法即可得到△ABE∽△DEF.56.【答案】证明∵AD＝3，AB＝8，AE＝4，AC＝6，∴＝＝，又∵∠DAE＝∠CAB，∴△ADE∽△ACB.【解析】首先根据已知得出AD∶AC＝AE∶AB，又因为∠DAE＝∠CAB，进而得出△ADE∽△ACB.57.【答案】证明(1)∵四边形ABCD为正方形，△EDF为等腰直角三角形，∴∠ADC＝∠EDF＝90°，AD＝CD，DE＝DF，∴∠ADE＋∠ADF＝∠ADF＋∠CDF，∴∠ADE＝∠CDF，在△ADE和△CDF中，∴△ADE≌△CDF；(2)延长BA到M，交ED于点M，∵△ADE≌△CDF，∴∠EAD＝∠FCD，即∠EAM＋∠MAD＝∠BCD＋∠BCF，∵∠MAD＝∠BCD＝90°，∴∠EAM＝∠BCF，∵∠EAM＝∠BAG，∴∠BAG＝∠BCF，∵∠AGB＝∠CGF，∴△ABG∽△CFG.【解析】(1)由正方形ABCD与等腰直角三角形DEF，得到两对边相等，一对直角相等，利用SAS 即可得证；(2)由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到∠BAG＝∠BCF，再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证．58.【答案】证明(1)∵△ABC是等边三角形，∴AB＝BC，∠ABD＝∠C＝∠BAC＝60°，在△ABD和△BCE中，∴△ABD≌△BCE(SAS)；(2)∵△ABD≌△BCE，∴∠BAD＝∠CBE，∴∠EAF＝∠ABE，∵∠AEF＝∠BEA，∴△AEF∽△ABE.【解析】(1)由△ABC是等边三角形，根据等边三角形的性质可得：AB＝BC，∠ABD＝∠C＝60°，继而根据SAS即可证得△ABD≌△BCE；(2)由△ABD≌△BCE，可证得∠BAD＝∠CBE，进一步得到∠EAF＝∠ABE，然后根据有两角对应相等的三角形相似，即可得△AEF∽△ABE.59.【答案】解(1)∵等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，∴AB∶A′B′＝3∶1，∵Rt△ABC的斜边AB＝12 cm，∴△A′B′C′斜边A′B′＝4 cm；(2)∵△A′B′C′是等腰直角三角形，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝△A′B′C′斜边A′B′上的中线，∴△A′B′C′斜边A′B′上的高＝2 cm.【解析】(1)由等腰Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，相似比为3∶1，根据相似比的定义，可得AB∶A′B′＝3∶1，继而求得答案；(2)由△A′B′C′是等腰直角三角形，利用三线合一的性质，可得△A′B′C′斜边A′B′上的高即是斜边A′B′上的中线，继而求得答案．60.【答案】解∵△ABC∽△A1B1C1，∴∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，∵AD、A1D1分别是△ABC和△A1B1C1的角平分线，∴∠BAD＝∠B1A1D1，又∠B＝∠B1，∴△BAD∽△B1A1D1，∴＝＝k.【解析】根据相似三角形的性质定理得到∠B＝∠B1，∠BAC＝∠B1A1C1，根据相似三角形的判定定理证明△BAD∽△B1A1D1，根据相似三角形的性质定理得到答案．61.【答案】解(1)由相似变换可得DE∶AB＝DF∶AC＝2∶3；(2)∵AC∶DF＝3∶2，∴△DEF的周长∶△ABC的周长＝2∶3，S△DEF∶S△ABC＝4∶9，∵直角三角形ABC的周长是12 cm，面积是6 cm2∴△DEF的周长为8 cm，S △DEF＝cm2.【解析】根据相似三角形的对应边的比等于相似比，周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方解题即可．62.【答案】解∵AD∶DB＝1∶3，∴AD∶AB＝1∶4，∵△ABC∽△ADE，∴AD∶AB＝DE∶BC，∵DE＝2，∴BC＝8.【解析】先根据AD∶DB＝1∶3，变形得到AD∶AB的值，再根据相似三角形对应边成比例求解即可．63.【答案】解(1)过A作AN⊥直线l3于N，过B作BM⊥l3于M，则∠BMC＝∠ANC＝∠BCA＝90°，∴∠BCM＋∠MBC＝90°，∠BCM＋∠ACN＝90°，∴∠MBC＝∠ACN，在△BMC和△CNA中∴△BMC≌△CNA，∴BM＝CN，AN＝CM，∵l1，l2的距离为1，l2，l3的距离为3，∴BM＝CN＝3，CM＝AN＝1＋3＝4，在Rt△BMC中，由勾股定理，得BC＝AC＝＝5，在Rt△ACB中，由勾股定理，得AB＝＝5；(2)∵直线l2∥直线l3，∴∠DBC＝∠BCM，∵∠BCD＝∠BMC＝90°，∴△BCD∽△CMB，∴＝，∴＝，∴BD＝，∵AB＝5，∴＝＝.【解析】64.【答案】证明(1)∵AE·CD＝AD·CE，∴＝，∵∠DAB＝∠B，∴AD＝BD，∴＝，∴DE∥AB；(2)∵BD是DF和AB的比例中项，∴BD2＝DF·AB，∵AD＝BD，∴AD2＝DF·AB，∴＝＝1，∵DE∥AB，∴∠ADF＝∠BAD，∴△ADF∽△DBA，∴＝，∴DF＝AF.【解析】。

人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习1 含答案

27.2.1相似三角形的判定（1）1、已知D 、E 分别是ΔABC 的边AB 、AC 上的点，请你添加一个条件，使ΔABC 与ΔAED 相似. (只需添加一个你认为适当的条件即可).2、如图，已知DE ∥BC ，EF ∥AB ，则下列比例式中错误的是（）A AC AE AB AD = B FB EA CF CE =C BD AD BC DE = D CBCF AB EF =3、如图，E 是平行四边形ABCD 的边BC 的延长线上的一点，连结AE 交CD 于F ，则图中共有相似三角形（） A 1对 B 2对 C 3对 D 4对4、如图，在大小为4×4的正方形网格中，是相似三角形的是（）① ② ③ ④A.①和②B.②和③C.①和③D.②和④.5、如图，在正方形网格上有6个斜三角形：①ΔABC ，②ΔBCD ，③ΔBDE ，④ΔBFG ，⑤ΔFGH ，⑥ΔEFK.其中②～⑥中，与三角形①相似的是（）(A)②③④ (B)③④⑤ (C)④⑤⑥ (D)②③⑥6、在方格纸中，每个小格的顶点叫做格点.以格点连线为边的三角形叫做格点三角形.如图，请你在4×4的方格纸中，画一个格点三角形A 1B 1C 1，使ΔA 1B 1C 1与格点三角形AB C 相似(相似比不为1).7、如图，ΔABC 与ΔADB 中，∠ABC=∠ADB=90°，AC=5cm ，AB=4cm ，如果图中的两个直角三角形相似，求AD 的长.8、一个钢筋三角架三边长分别为20cm ，50cm ，60cm ，现要再做一个与其相似的钢筋三角架，而只有长为30cm 和50cm 的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根截下两段(允许有余料)作为另两边，写出所有不同的截法？答案1、D E ∥BC2、C3、C4、C5、B6、略7、AD=516cm 8、两种截法（1）新截三角形的三边分别是10cm,25cm,30c m （2）新截三角形的三边分别是12cm,30cm,36cm。

人教版九年级数学下册--27.2.2 相似三角形应用举例同步练习 --(附解析答案)

27.2.2 相似三角形应用举例
1. 如图，在正方形网格中，若使△ABC∽△PBD，则点P应在（）
A．P1处 B．P2处 C．P3处 D．P4处
2. （2013柳州）小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的影
长BA为15米（如图），同时在A处树立一根高2米的标杆，测得标杆的影长AC为3米，则楼高为（）
A．10米 B．12米
C．15米 D．22.5米
3. （2013北京）如图，为估算某河的宽度，在河对岸选定一个目标点
A，在近岸取点B，C，D，使得AB⊥BC，CD⊥BC，点E在BC上，并且点A，E，D在同一条直线上．若测得BE=20 m，CE=10 m，CD=20 m，则河的宽度AB等于（）
A．60 m B．40 m C．30 m D．20 m
4. 如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6 cm，AC＝12 cm，动点D从A点出发到B点止，动点
E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1 c m/秒，点E运动的速度为2 cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是多长？
参考答案 1．C 2．A 3．B
4．解：设当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是x 秒， ①若△ADE ∽△ABC ，则
AD AE AB AC =
，∴122612
x x
-=，解得x ＝3； ②若△ADE ∽△ACB ，则
AD AE AC AB =，∴122126
x x
-=
，解得x ＝4.8． ∴当以点A 、D 、E 为顶点的三角形与△ABC 相似时，运动的时间是3秒或4.8秒．。

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习(含答案)

九年级数学第二十七章《相似三角形的性质》同步练习（含答案）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．如果△ABC ∽△DEF ，A 、B 分别对应D 、E ，且AB ：DE =1：2，那么下列等式一定成立的是 A ．BC ：DE =1：2B ．△ABC 的面积：△DEF 的面积=1：2 C ．∠A 的度数：∠D 的度数=1：2D ．△ABC 的周长：△DEF 的周长=1：2 【答案】D2．如图，AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，且AB =1，CD =3，那么EF 的长是A ．13B ．23 C ．34D ．45【答案】C【解析】∵AB 、CD 、EF 都与BD 垂直，∴AB ∥CD ∥EF ， ∴△DEF ∽△DAB ，△BEF ∽△BCD ，∴EF DF AB DB =，EF BF CD BD =，∴EF EF DF BFAB CD DB BD+=+=1． ∵AB =1，CD =3，∴13EF EF +=1，∴EF =34．故选C ．3．已知：如图，在ABCD中，AE：EB=1：2，则FE：FC=A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．3：2 【答案】B【解析】在ABCD中，AB=CD，AB∥CD，∵BE=2AE，∴BE=23AB=23CD，∵AB∥CD，∴EFFC=BEDC=23，故选B．4．已知：如图，E是ABCD的边AD上的一点，且32AEDE=，CE交BD于点F，BF=15cm，则DF的长为A．10cm B．5cmC．6cm D．9cm【答案】C【解析】∵四边形ABCD是平行四边形，点E在边AD上，∴DE∥BC，且AD=BC，∴∠DEF=∠BCF；∠EDF=∠CBF，∴△EDF∽△CBF，∴BC BF ED DF=，∵32AEDE=，∴设AE=3k，DE=2k，则AD=BC=5k，52BC BFED DF==，∵BF=15cm，∴DF=25BF═6cm．故选C．5．已知△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，则△DEF与△ABC的面积之比为A．9：1 B．1：9C．3：1 D．1：3【答案】B【解析】∵△ABC∽△DEF，△ABC的周长为3，△DEF的周长为1，∴△ABC与△DEF的相似比为3，∴△DEF与△ABC的相似比为1：3，∴△DEF与△ABC的面积之比为1：9，故选B．6．如图，△ABC∽△AB'C'，∠A=35°，∠B=72°，则∠AC'B'的度数为A．63°B．72°C．73°D．83°【答案】C【解析】∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=35°，∠B=72°，∴∠C=180°–35°–72°=73°，∵△ABC∽△AB'C'，∴∠AC′B′=∠C=73°，故选C．7．如图，△ABC中，E为AB中点，AB=6，AC=4.5，∠ADE=∠B，则CD=A．32B．1C．12D．23【答案】C【解析】∵E为AB中点，∴AE=12AB，∵∠ADE=∠B，∠A=∠A，∴△ADE∽△ABC，∴AE ADAC AB，∴12AB2=AD•AC，∴AD=4，∴CD=AC–AD=0.5，故选C．二、填空题：请将答案填在题中横线上．8．两个三角形相似，相似比是12，如果小三角形的面积是9，那么大三角形的面积是__________．【答案】36【解析】∵两个三角形相似，相似比是12，∴两个三角形的面积比是14，∵小三角形的面积是9，∴大三角形的面积是36，故答案为：36．9．矩形ABCD中，AB=6，BC=8．点P在矩形ABCD的内部，点E在边BC上，满足△PBE∽△DBC，若△APD是等腰三角形，则PE的长为__________．【答案】65或310．如图，在△ABC纸板中，AC=4，BC=2，AB=5，P是AC上一点，过点P沿直线剪下一个与△ABC相似的小三角形纸板，如果有4种不同的剪法，那么AP长的取值范围是__________．【答案】3≤AP<4【解析】如图所示，过P作PD∥AB交BC于D或PE∥BC交AB于E，则△PCD∽△ACB或△APE∽△ACB，此时0<AP<4；如图所示，过P作∠APF=∠B交AB于F，则△APF∽△ABC，此时0<AP≤4；如图所示，过P作∠CPG=∠CBA交BC于G，则△CPG∽△CBA，此时，△CPG∽△CBA，当点G与点B重合时，CB2=CP×CA，即22=CP×4，∴CP=1，AP=3，∴此时，3≤AP<4；综上所述，AP长的取值范围是3≤AP<4．故答案为：3≤AP<4．11．如图，点A、B、C、D的坐标分别是（1，7）、（1，1）、（4，1）、（6，1），且△CDE与△ABC相似，则点E的坐标是__________．【答案】（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．【解析】在△ABC中，∠ABC=90°，AB=6，BC=3，AB：BC=2．①当点E的坐标为（6，0）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；②当点E的坐标为（6，5）时，∠CDE=90°，CD=2，DE=4，则AB：BC=DE：CD，△EDC∽△ABC；③当点E的坐标为（6，2）时，∠ECD=90°，CD=2，DE=1，则AB：BC=CD：DE，△CDE∽△ABC；同理，当点E的坐标为（4，2）、（4，5）、（4，0），故答案为：（6，0），（6，5），（6，2），（4，2）、（4，5）、（4，0）．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．12．求证：相似三角形面积的比等于相似比的平方．（请根据题意画出图形，写出已知，求证并证明）【解析】已知：如图，已知△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应，△ABC 和△A 1B 1C 1的相似比为k ．求证：111ABC A B C S S △△=k 2；证明：作AD ⊥BC 于D ，A 1D 1⊥B 1C 1于D 1，∵△ABC ∽△A 1B 1C 1，顶点A 、B 、C 分别与A 1、B 1、C 1对应， ∴∠B =∠B 1，∵AD 、A 1D 1分别是△ABC ，△A 1B 1C 1的高线， ∴∠BDA =∠B 1D 1A 1，∴△ABD ∽△A 1B 1D 1，∴11AD A D =11ABA B =k ， ∴111ABC A B C S S △△=11111212BC AD B C A D ⋅⋅⋅⋅=k 2．13．如图所示，Rt △ABC ∽Rt △DFE ，CM 、EN 分别是斜边AB 、DF 上的中线，已知AC =9cm ，CB =12cm ，DE =3cm ．（1）求CM 和EN 的长；（2）你发现CMEN的值与相似比有什么关系？得到什么结论？【解析】（1）在Rt △ABC 中，AB =22AC CB +=22912+=15，∵CM 是斜边AB 的中线， ∴CM =12AB=7.5， ∵Rt △ABC ∽Rt △DFE ， ∴DE DF AC AB =，即319315DF==， ∴DF =5，∵EN 为斜边DF 上的中线，∴EN =12DF =2.5；（2）∵7.532.51CM EN ==，相似比为9331AC DE ==，∴相似三角形对应中线的比等于相似比．14．如图，点C 、D 在线段AB 上，△PCD 是等边三角形，且△ACP ∽△PDB ．（1）求∠APB 的大小．（2）说明线段AC 、CD 、BD 之间的数量关系．15．从三角形（不是等腰三角形）一个顶点引出一条射线与对边相交，顶点与交点之间的线段把这个三角形分割成两个小三角形，如果分得的两个小三角形中一个为等腰三角形，另一个与原三角形相似，我们把这条线段叫做这个三角形的完美分割线．（1）如图1，在△ABC 中，∠A =48°，CD 是△ABC 的完美分割线，且AD =CD ，则∠ACB =__________°．（2）如图2，在△ABC 中，AC =2，BC 2，CD 是△ABC 的完美分割线，且△ACD 是以CD 为底边的等腰三角形，求完美分割线CD的长．【解析】（1）当AD=CD时，如图，∠ACD=∠A=48°，∵△BDC∽△BCA，∴∠BCD=∠A=48°，∴∠ACB=∠ACD+∠BCD=96°．（2）由已知得AC=AD=2，∵△BCD∽△BAC，∴BCBA=BDBC，设BD=x2）2=x（x+2），∵x＞0，∴x3–1，∵△BCD∽△BAC，∴CD BDAC BC=32，∴CD 312-×62．故答案为：96．。

人教版九年级数学下册第二十七章相似 27.2 相似三角形同步练习(含答案)

人教版九年级数学下册第二十七章相似27.2 相似三角形同步练习一、选择题1、能判定与相似的条件是（）A. B.，且C.且D.，且2、如图，下列条件中不能判定的是（）A. B.C. D.3、.如图，点D在△ABC的边AC上，要判断△ADB与△ABC相似，添加一个条件，不正确的是（）A.∠ABD=∠CB.∠ADB=∠ABCC.D.4、如图1，在三角形纸片ABC中，∠A=78°，AB=4，AC=6．将△ABC沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与原三角形相似的有（）A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④5、如图，△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，则下列条件中，不一定能使△AED∽△ABC的是（）A．∠2=∠B B．∠1=∠C C．D．6、如图，△ABC中，BD是∠ABC的平分线，DE∥AB交BC于E，EC=6，BE=4，则AB长为（）A． 6 B． 8 C．D．7、如图，DE是△ABC的中位线，已知△ABC的面积为8，则△ADE的面积为（）．A． 2 B． 4 C． 6 D． 88、如图所示，在河的一岸边选定一个目标A，再在河的另一岸边选定B和C，使AB⊥BC，然后选定E，使EC⊥BC，用视线确定BC和AE相交于D，此时测得BD=120米，CD=60米，为了估计河的宽度AB，还需要测量的线段是（）A.CEB.DEC.CE或DED.无法确定9、已知：如图，∠ADE＝∠ACD＝∠ABC，图中相似三角形共有（）A.1对B.2对C.3对D.4对10、某班同学要测量学校升国旗的旗杆高度，在同一时刻，量得某同学的身高是1.5米，影长是1米，且旗杆的影长为8米，则旗杆的高度是（）A.12米 B．11米 C．10米 D．9米11、．如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE：S△COA=1：25，则的值为（）A． B． C． D．12、如图，在钝角三角形ABC中，AB＝6cm，AC＝12cm，动点D从A点出发到B点止，动点E从C点出发到A点止．点D运动的速度为1cm/秒，点E运动的速度为2cm/秒．如果两点同时运动，那么当以点A、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，运动的时间是( )A. 4.5秒B.3秒C. 3秒或4.8秒D.4.5秒或4.8秒二、填空题13、如图，是的中位线，的面积为，则四边形的面积为．14、如图，已知零件的外径为25，现用一个交叉卡钳（两条尺长AC和BD相等，OC=OD）量零件的内孔直径AB．若OC∶OA=1∶2，量得CD＝10，则零件的厚度．15、如图，AC与BD交于点E，AB∥CD∥EF，AB=10，CD=15，则EF的长为16、已知△ABC∽△A′B′C′，且，△ABC的周长比△A′B′C′的周长少8cm，则△A′B′C′的周长为 cm 。

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28-2相似三角形》同步培优提升训练题(附答案)

2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2相似三角形》同步培优提升训练题（附答案）一．选择题1．如图，在△ABC中，点P在边AB上，则在下列四个条件中：①∠ACP＝∠B；②∠APC ＝∠ACB；③AC2＝AP•AB；④AB•CP＝AP•CB，不能判定△APC与△ACB相似的是（）A．①B．②C．③D．④2．如图，在△ABC中，点D在AB边上，若BC＝3，BD＝2，且∠BCD＝∠A，则线段AD 的长为（）A．2B．C．3D．3．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，下列结论中错误的是（）A．∠ACD＝∠B B．CD2＝AD•BDC．AC•BC＝AB•CD D．BC2＝AD•AB4．如图，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，交DC的延长线于点F，BG⊥AE于点G，若BG＝8，则△CEF的周长为（）A．16B．17C．24D．255．如图，在一斜边长30cm的直角三角形木板（即Rt△ACB）中截取一个正方形CDEF，点D在边BC上，点E在斜边AB上，点F在边AC上，若AF：AC＝1：3，则这块木板截取正方形CDEF后，剩余部分的面积为（）A．200cm2B．170cm2C．150cm2D．100cm26．如图：在△ABC中，点D为BC边上的一点，且AD＝AB＝5，AD⊥AB于点A，过点D 作DE⊥AD，DE交AC于点E，若DE＝2，则△ADC的面积为（）A．B．4C．D．7．在平面直角坐标系中，等边△AOB如图放置，点A的坐标为（1，0），每一次将△AOB 绕着点O逆时针方向旋转60°，同时每边扩大为原来的2倍，第一次旋转后得到△A1OB1，第二次旋转后得到△A2OB2，…，以此类推，则点A2021的坐标为（）A．（﹣22020，﹣×22020）B．（22021，﹣×22021）C．（22020，﹣×22020）D．（﹣22021，﹣×22021）二．填空题8．在△ABC中，D为AB边上一点，且∠BCD＝∠A，已知BC＝2，AB＝3，则AD＝．9．如图，在△ABC中，AB＝15，AC＝18，D为AB上一点，且AD＝AB，在AC边上取一点E，便以A，D，E为顶点的三角形与△ABC相似，则AE等于．10．如图，线段AB＝9，AC⊥AB于点A，BD⊥AB于点B，AC＝2，BD＝4，点P为线段AB上一动点，且以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，则AP 的长为．11．如图，在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，点E在边CB上，CE＝2EB，点D 在边AB上，CD⊥AE，垂足为F，则AD的长为．12．如图，在平面直角坐标系中，有一个Rt△OAB，∠ABO＝90°，∠AOB＝30°，直角边OB在y轴正半轴上，点A在第一象限，且OA＝1，将Rt△OBA绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍（即OA1＝2OA），得到Rt△OA1B1，同理，将Rt△OA1B1绕原点O逆时针旋转30°，同时把各边长扩大为原来的2倍，得到Rt△OA2B2，…，依此规律，得到Rt△OA2021B2021，则点B2021的纵坐标为．三．解答题13．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD为BC边上的中线，DE⊥AB于点E．（1）求证：△AED∽△ADC；（2）若AB＝13，BC＝10，求线段DE的长．14．如图，在矩形ABCD中，AB＝6，AD＝12，点E在AD边上，且AE＝8，EF⊥BE交CD于F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）求EF的长．15．如图，AB∥CD，AC与BD交于点E，且∠ACB＝90°，AB＝6，BC＝6，CE＝3．（1）求CD的长；（2）求证：△CDE∽△BDC．16．如图：在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．求证：BD•CD＝BE•CF．17．如图，已知正方形ABCD的边长为4，点E在AD上（不与点A，D重合），EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，设AE的长为x，DF的长为y，求y与x之间的函数表达式，并求函数y 的最大值．18．如图，在正方形ABCD中，点E在AD上，EF⊥BE交CD于点F．（1）求证：△ABE∽△DEF；（2）连接BF，若△ABE∽△EBF，试确定点E的位置并说明理由．19．如图，已知正方形ABCD中，BE平分∠DBC且交CD边于点E，将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，并延长BE交DF于点G．（1）求证：△BDG∽△DEG；（2）若EG•BG＝4，求BE的长．20．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD是中线，P是AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F、求证：BP2＝PE•PF．21．如图，CD是Rt△ABC斜边AB上的高，E为BC的中点，ED的延长线交CA于F．求证：AC•CF＝BC•DF．22．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝20cm，BC＝15cm，现有动点P从点A出发，沿AC 向点C方向运动，动点Q从点C出发，沿线段CB向点B方向运动，如果点P的速度是4cm/s，点Q的速度是2cm/s，它们同时出发，当有一点到达所在线段的端点时，就停止运动．设运动时间为t秒．求：（1）当t＝3时，这时，P，Q两点之间的距离是多少．（2）当t为多少时，PQ的长度等于4？（3）当t为多少时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似？23．如图，平面直角坐标系中，四边形OABC为矩形，点A，B的坐标分别为（4，0），（4，3），动点M，N分别从O，B同时出发．以每秒1个单位的速度运动．其中，点M沿OA 向终点A运动，点N沿BC向终点C运动．过点M作MP⊥OA，交AC于P，连接NP，已知动点运动了x秒．（1）P点的坐标为（，）（用含x的代数式表示）；（2）试求△NPC面积S的表达式，并求出面积S的最大值及相应的x值；（3）设四边形OMPC的面积为S1，四边形ABNP的面积为S2，请你就x的取值范围讨论S1与S2的大小关系并说明理由；（4）当x为何值时，△NPC是一个等腰三角形？参考答案一．选择题1．解：①、当∠ACP＝∠B，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴①不符合题意；②、当∠APC＝∠ACB，∵∠A＝∠A，∴△APC∽△ACB，∴②不符合题意；③、当AC2＝AP•AB，即AC：AB＝AP：AC，∵∠A＝∠A∴△APC∽△ACB，∴③不符合题意；④、∵当AB•CP＝AP•CB，即PC：BC＝AP：AB，而∠P AC＝∠CAB，∴不能判断△APC和△ACB相似，∴④符合题意；故选：D．2．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，∵BC＝3，BD＝2，∴＝，∴BA＝，∴AD＝BA﹣BD＝﹣2＝．故选：B．3．解：∵∠ACB＝90°，∴∠ACD+∠BCD＝90°，∵CD⊥AB，∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠ACD＝∠B，A正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴CD2＝AD•BD，B正确，不符合题意；由三角形的面积公式得，•AC•BC＝AB•CD，∴AC•BC＝AB•CD，C正确，不符合题意；∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴BC2＝BD•AB，D错误，符合题意；故选：D．4．解：∵在▱ABCD中，CD＝AB＝10，BC＝AD＝15，∠BAD的平分线交BC于点E，∴AB∥DC，∠BAF＝∠DAF，∴∠BAF＝∠F，∴∠DAF＝∠F，∴DF＝AD＝15，同理BE＝AB＝10，∴CF＝DF﹣CD＝15﹣10＝5；∴在△ABG中，BG⊥AE，AB＝10，BG＝8，在Rt△ABG中，AG＝＝＝6，∴AE＝2AG＝12，∴△ABE的周长等于10+10+12＝32，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CF，∴△CEF∽△BEA，相似比为5：10＝1：2，∴△CEF的周长为16．故选：A．5．解：设AF＝x，则AC＝3x，∵四边形CDEF为正方形，∴EF＝CF＝2x，EF∥BC，∵EF∥BC，∴△AEF∽△ABC，∴＝＝，∴BC＝6x，在Rt△ABC中，AB＝＝3x，∴3x＝30，解得x＝2，∴AC＝6，BC＝12，∴剩余部分的面积＝×6×12﹣（4）2＝100（cm2）．故选：D．6．解：作CF⊥AD交AD的延长线于点F，∵AD＝AB＝5，AD⊥AB，∴∠B＝∠ADB＝45°，∵∠ADB＝∠CDF，CF⊥AD，∴∠CDF＝45°，∠CFD＝90°，∴∠DCF＝∠CDF＝45°，∴CF＝DF，∵AD⊥DE，AF⊥FC，∴DE∥FC，∴△ADE∽△AFC，∴，∵AD＝5，DE＝2，DF＝CF，∴，∴，解得，CF＝，∴△ADC的面积是：＝＝，故选：D．7．解：由已知可得：第一次旋转后，A1在第一象限，OA1＝2，第二次旋转后，A2在第二象限，OA2＝22，第三次旋转后，A3在x轴负半轴，OA3＝23，第四次旋转后，A4在第三象限，OA4＝24，第五次旋转后，A5在第四象限，OA5＝25，第六次旋转后，A6在x轴正半轴，OA6＝26，.....．如此循环，每旋转6次，A的对应点又回到x轴正半轴，而2021＝6×336+5，∴A2021在第四象限，且OA2021＝22021，示意图如下：OH＝OA2021＝22020，A2021H＝OH＝×22020，∴A2021（22020，﹣×22020），故选：C．二．填空题8．解：∵∠BCD＝∠A，∠B＝∠B，∴△DCB∽△CAB，∴，∴＝，∴BD＝，∴AD＝AB﹣BD＝，故答案为：．9．解：∵△ABC∽△ADE或△ABC∽△AED，∴＝或＝，∵AD＝AB，AB＝15，∴AD＝10，∵AC＝18，∴＝或＝，解得：AE＝12或．故答案为：12或．10．解：设AP＝x．∵以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似，①当时，，解得x＝3．②当时，，解得x＝1或8，∴当以A、C、P为顶点的三角形与以B、D、P为顶点的三角形相似时，AP的长为1或3或8，故答案为1或3或8．11．解：过D作DH⊥AC于H，∵在等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝15，∴AC＝BC＝15，∴∠CAD＝45°，∴AH＝DH，∴CH＝15﹣DH，∵CF⊥AE，∴∠DHA＝∠DF A＝90°，∴∠HAF＝∠HDF，∴△ACE∽△DHC，∴＝，∵CE＝2EB，∴CE＝10，∴＝，∴DH＝9，∴AD＝9，故答案为：9．12．解：在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，OA＝1，∴OB＝OA•cos∠AOB＝，由题意得，OB1＝2OB＝×2，OB2＝2OB1＝×22，……OB n＝2OB1＝×2n＝×2n﹣1，∵2021÷12＝168……5，∴点B2021的纵坐标为：﹣×22020×cos30°＝﹣×22020×＝﹣3×22019，故答案为：﹣3×22019．三．解答题13．（1）证明：∵AB＝AC，AD为BC边上的中线，∴∠BAD＝∠CAD，AD⊥BC，∵AD⊥BC，DE⊥AB，∴∠AED＝∠ADC＝90°，∴△AED∽△ADC．（2）解：∵AD为BC边上的中线，∴BD＝DC＝BC＝5，∵在Rt△ADB中∴AD＝＝12，由（1）得△AED∽△ADC，∴＝，∴＝，∴DE＝．14．（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠D＝∠A＝90°，∵EF⊥BE，∴∠FEB＝90°，∴∠DEF+∠AEB＝90°，∠DEF+∠DFE＝90°，∴∠DFE＝∠AEB，∴△ABE∽△DEF．（2）在Rt△AEB中，BE＝＝10，∵AD＝12，AE＝8，∴DE＝4，∵△ABE∽△DEF，∴＝∴＝，∴EF＝．15．（1）解：∵∠ACB＝90°AB＝6，BC＝6，∴AC＝＝12；∴AE＝AC﹣CE＝9，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE；∴，∴CD＝＝＝2，（2）证明：∵∠ACB＝90°，CE＝3，BC＝6，∴BE＝＝3，∵AB∥CD，∴△CDE∽△ABE，∴，∴DE＝，∴BD＝4，∵，，∴，∵∠D＝∠D，∴△CDE∽△BDC．16．证明：∵△ABC中，AB＝AC，∴∠B＝∠C．∵∠B+∠BDE+∠DEB＝180°，∠BDE+∠EDF+∠FDC＝180°，∠EDF＝∠B，∴∠FDC＝∠DEB，∴△BDE∽△CFD，∴＝，即BD•CD＝BE•CF．17．证明：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°，∴∠ABE+∠AEB＝90°，∵EF⊥BC，∴∠AEB+∠DEF＝90°，∴∠ABE＝∠DEF，又∵∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）∵△ABE∽△DEF，∴，∴，∴y＝﹣（x﹣2）2+1，∴当x＝2时，y有最大值为1．18．（1）证明∵四边形ABCD是正方形，∴∠A＝∠D＝90°．∴∠AEB+∠ABE＝90°．∵EF⊥BE，∴∠AEB+∠DEF＝90°．∴∠ABE＝∠DEF．在△ABE和△DEF中，∠ABE＝∠DEF，∠A＝∠D，∴△ABE∽△DEF；（2）解：点E为AD的中点时，△ABE∽△EBF，理由如下：∵△ABE∽△DEF，∴．∵△ABE∽△EBF，∴．∴．∴DE＝AE．∴点E为AD的中点．19．（1）证明：∵将△BCE绕点C顺时针旋转到△DCF的位置，∴△BCE≌△DCF，∴∠FDC＝∠EBC，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC，∴∠FDC＝∠EBD，∵∠DGE＝∠DGE，∴△BDG∽△DEG．（2）解：∵△BCE≌△DCF，∴∠F＝∠BEC，∠EBC＝∠FDC，∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCB＝90°，∠DBC＝∠BDC＝45°，∵BE平分∠DBC，∴∠DBE＝∠EBC＝22.5°＝∠FDC，∴∠BEC＝67.5°＝∠DEG，∴∠DGE＝180°﹣22.5°﹣67.5°＝90°，即BG⊥DF，∵∠BDF＝45°+22.5°＝67.5°，∠F＝90°﹣22.5°＝67.5°，∴∠BDF＝∠F，∴BD＝BF，∴DF＝2DG，∵△BDG∽△DEG，BG×EG＝4，∴＝，∴BG×EG＝DG×DG＝4，∴DG2＝4，∴DG＝2，∴BE＝DF＝2DG＝4．20．证明：连接PC，∵AB＝AC，AD是中线，∴AD是△ABC的对称轴．∴PC＝PB，∠PCE＝∠ABP．∵CF∥AB，∴∠PFC＝∠ABP（两直线平行，内错角相等），∴∠PCE＝∠PFC．又∵∠CPE＝∠EPC，∴△EPC∽△CPF．∴（相似三角形的对应边成比例）．∴PC2＝PE•PF．∵PC＝BP∴BP2＝PE•PF．21．证明：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠DAC+∠B＝∠B+∠DCB＝90°，∴∠DAC＝∠DCB，且∠ACD＝∠CDB，∴△ADC∽△CDB，∴＝，∵E为BC中点，∴DE＝CE，∴∠EDC＝∠DCE＝∠DAC，∴∠FDC＝∠F AD，且∠F＝∠F，∴△FDC∽△F AD，∴＝，∴＝，∴AC•CF＝BC•DF．22．解：由运动知，AP＝4tcm，CQ＝2tcm，∵AC＝20cm，∴CP＝（20﹣4t）cm，∵点P在AC上运动，∴4t≤20，∴t≤5，∵点Q在BC运动，∴2t≤15，∴t≤7.5，∴0≤t≤5，（1）当t＝3时，CP＝8cm，CQ＝6cm，在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ＝＝10（cm）；（2）在Rt△PCQ中，根据勾股定理得，PQ2＝CP2+CQ2，∵PQ＝4，∴（4）2＝（20﹣4t）2+（2t）2，解得，t＝2或t＝6（舍去），即当t为2时，PQ的长度等于4；（3）∵以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似，且∠C＝∠C＝90°，∴①△CPQ∽△CAB，∴，∴，∴t＝3，②△CPQ∽△CBA，∴，∴，∴t＝，即当t为3或时，以点C，P，Q为顶点的三角形与ABC相似．23．解：（1）由题意可知，C（0，3），M（x，0），N（4﹣x，3），∴点P坐标为（2）设△NPC的面积为S，在△NPC中，NC＝4﹣x，NC边上的高为，其中，0≤x≤4，∴S＝（4﹣x）×＝﹣（x﹣2）2+，∴S的最大值为，此时x＝2（3）由图形知，S1＝S2＝S△ABC﹣S△PCN＝；当0＜x＜2时，S1＜S2；当x＝2时，S1＝S2；当2＜x＜4时，S1＞S2；（4）延长MP交CB于Q，则有PQ⊥BC．①若NP＝CP，∵PQ⊥BC，∴NQ＝CQ＝x．∴3x＝4，∴x＝．②若CP＝CN，则，CN＝4﹣x，PQ＝x，CP＝x，4﹣x＝x∴x＝．③若CN＝NP，则CN＝4﹣x．∵PQ＝x，NQ＝4﹣2x，在Rt△PNQ中，PN2＝NQ2+PQ2∴（4﹣x）2＝（4﹣2x）2+（x）2，∴x＝．综上所述，x＝，或x＝，或x＝．。

人教版九年级数学下册27.2 相似三角形同步练习2(含答案)

27.2.2相似三角形的判定（2）1、在△ABC 中，AB=8，AC=6，点D 在AC 上，且AD=2，若要在AB 上找一点E ，使△ADE 与原三角形相似，那么AE= .2、如图，在△ABC 中，点D 在AB 上，请再添一个适当的条件，使△ADC ∽△AC B ，那么可添加的条件是3、如图，DE 与BC 不平行，当ACAB = 时， ΔABC 与ΔADE 相似.4、如图，ΔABC 中，BC=a . (1)若AD 1=31AB ，AE 1=31AC ，则D 1E 1= ； (2)若D 1D 2=31D 1B ，E 1E 2=31E 1C ，则D 2E 2= ； (3)若D 2D 3=31D 2B ，E 2E 3=31E 2C ，则D 3E 3= ； ……(4)若D n -1D n =31D n -1B ，E n -1E n =31E n -1C ，则D n E n = . 5、如图，在平行四边形ABCD 中，AB=8cm ，AD=4cm ，E 为AD 的中点，在AB 上取一点F ，使△CBF ∽△CDE ，则AF= ______cm.6、已知：如图，在正方形AB CD 中，P 是BC 上的点，且BP=3PC ，Q 是CD 的中点.ΔADQ 与ΔQCP 是否相似？为什么？7、如图，点C 、D 在线段AB 上，且ΔPCD 是等边三角形.(1)当AC ，CD ，DB 满足怎样的关系时，ΔACP ∽ΔPDB ； (2)当ΔPDB ∽ΔACP 时，试求∠APB 的度数.A F8、如图，四边形ABCD 、CDEF 、EFGH 都是正方形.(1)⊿ACF 与⊿A CG 相似吗？说说你的理由.(2)求∠1+∠2的度数.答案：1、 38或232、AC AD =AB AC3、AD AE4、（1）3a(2) 95a (3)2719a 5、1cm 6、相似.证明略7、(1)CD 2=AC DB (2)∠APB=1200 8、（1）相似.理由略（2）45°。

人教版九年级数学下册《第27章相似》同步测试(含答案)

九年级数学第27章《相似》同步测试一、选择题：1、已知△ABC与△A1B1C1相似，且相似比为1：3，则△ABC与△A1B1C1的面积比为（）A．1：1 B．1：3 C．1：6 D．1：92、如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC=∠ACB，AD=2，BD=6，则边AC的长为（）A．2 B．4 C．6 D．83、两个相似三角形的对应边的比是2∶3,周长之和是20,那么这两个三角形的周长分别为()A. 8和12B. 9和11C. 7和13D. 8和154、已知：如图，△ABC的面积为12，点D、E分别是边AB、AC的中点，则四边形BCED的面积为( )A．9 B．4 C．6 D．4.85、位似图形的位似中心可以在( )A．原图形外B．原图形内C．原图形上D．以上三种可能都有6、已知△ABC∽△A1B1C1，且∠A＝60°，∠B＝95°，则∠C1的度数为( )A．60° B．95° C.25° D．15°7、如图，在△ABC中，DE∥BC，DE分别与AB，AC相交于点D，E，若AD=4，DB=2，则DE：BC的值为（）A．B．C．D．8、要制作两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形的三边长分别为5cm，6cm和9cm，另一个三角形的最短边长为2.5cm，则它的最长边为（）A．3cm B．4cm C．4.5cm D．5cm9、如图，在矩形ABCD中，E是边AB的中点，连接DE交对角线AC于点F，若AB=4，AD=3，则CF的长为．A．10/3 B．4.5 C．3.6 D．810、《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，成书于约一千五百年前，其中有首歌谣：今有竿不知其长，量得影长一丈五尺，立一标杆，长一尺五寸，影长五寸，问竿长几何？意即：有一根竹竿不知道有多长，量出它在太阳下的影子长一丈五尺，同时立一根一尺五寸的小标杆，它的影长五寸（提示：1丈=10尺，1尺=10寸），则竹竿的长为（）A．五丈 B．四丈五尺 C．一丈 D．五尺11、如图，点A在线段BD上，在BD的同侧作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE，CD与BE、AE 分别交于点P，M．对于下列结论：①△BAE∽△CAD；②MP•MD=MA•ME；③2CB2=CP•CM．其中正确的是（）A ．①②③B ．①C ．①②D ．②③12、如图，在平行四边形ABCD 中，点E 在边DC 上，DE ：EC=3：1，连接AE 交BD 于点F ，则△DEF 的面积与△BAF 的面积之比为（）A ．3：4B ．9：16C ．9：1D ．3：1二、填空题： 13、两三角形的相似比是2：3，则其面积之比是 .14、.若a 4＝b 5＝c 6，且a －b ＋c ＝10，则a ＋b －c 的值为 . 15、学校门口的栏杆如图所示，栏杆从水平位置BD 绕O 点旋转到AC 位置，已知AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为B ，D ，AO=4m ，AB=1.6m ，CO=1m ，则栏杆C 端应下降的垂直距离CD 为 .16、已知a 5＝b 3＝c 4，则a ＋2b ＋c 2a ＋b ＋2c＝____. 17、在比例尺为1:6 000 000 的海南地图上，量得海口与三亚的距离约为3.7 厘米，则海口与三亚的实际距离约为千米．18、如图，正方形ABCD 中，E ，F 分别在边AD ，CD 上，AF ，BE 相交于点G ，若AE=3ED ，DF=CF ，则AG:GF 的值是 .19、已知△ABC∽△DEF，相似比为2，且△ABC的面积为16，则△DEF的面积为 .20、如图，四边形ABCD中，AD∥BC，∠ABC=90°，AB=5，BC=10，连接AC、BD，以BD为直径的圆交AC于点E．若DE=3，则AD的长为 .21、在△ABC中，点D、E分别为边AB、AC的中点，则△ADE与△ABC的面积之比为 .22、如图，平行于BC的直线DE把△ABC分成面积相等的两部分，则BD:AD的值为 .三、解答题：23、已知矩形ABCD中,AD=3,AB=1.若EF把矩形分成两个小的矩形,如图所示,其中矩形ABEF 与矩形ABCD相似.求AF∶AD的值.24、如图．利用标杆BE测量建筑物的高度．已知标杆BE高1.2m，测得AB=1.6m．BC=12.4m．则建筑物CD的高是多大？25、如图所示，在正方形ABCD中，G为CD边中点，连接AG并延长交BC边的延长线于E点，对角线BD交AG于F点．已知FG=2，则线段AE的长度为多大？26、已知：如图，正方形ABCD中，P是边BC上一点，BE⊥AP，DF⊥AP，垂足分别是点E、F．（1）求证：EF=AE﹣BE；（2）联结BF，如果=．求证：EF=EP．27、如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，连接DE．过点A作AF⊥DE，垂足为F，⊙O 经过点C、D、F，与AD相交于点G．（1）求证：△AFG∽△DFC；（2）若正方形ABCD的边长为4，AE=1，求⊙O的半径．参考答案一、选择题：1、D2、B3、A4、A5、D6、C7、A8、C9、A10、B11、A12、B二、填空题：13、4∶914、615、0.4m16、5/717、22218、6：519、420、2√521、1:422、(√2-1):1三、解答题：23、1∶924、10.5m25、1226、证明：（1）∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠BAD=90°，∵BE⊥AP，DF⊥AP，∴∠BEA=∠AFD=90°，∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，∴∠1=∠3，在△ABE和△DAF中，∴△ABE≌△DAF，∴BE=AF，∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE；（2）如图，∵=，而AF=BE，∴=，∴=，∴Rt△BEF∽Rt△DFA，∴∠4=∠3，而∠1=∠3，∴∠4=∠1，∵∠5=∠1，∴∠4=∠5，即BE平分∠FBP，而BE⊥EP，∴EF=EP．27、（1）证明：在正方形ABCD中，∠ADC=90°，∴∠CDF+∠ADF=90°，∵AF⊥DE，∴∠AFD=90°，∴∠DAF+∠ADF=90°，∴∠DAF=∠CDF，∵四边形GFCD是⊙O的内接四边形，∴∠FCD+∠DGF=180°，∵∠FGA+∠DGF=180°，∴∠FGA=∠FCD，∴△AFG∽△DFC．（2）解：如图，连接CG．∵∠EAD=∠AFD=90°，∠EDA=∠ADF，∴△EDA∽△ADF，∴=，即=，∵△AFG∽△DFC，∴=，∴=，在正方形ABCD中，DA=DC，∴AG=EA=1，DG=DA﹣AG=4﹣1=3，∴CG==5，∵∠CDG=90°，∴CG是⊙O的直径，∴⊙O的半径为．。

人教版数学九年级下册数学：第27章相似专题练习(附答案)

专题1 相似三角形的基本模型模型1 A 字型及其变形(1)如图1，公共角所对的边平行(DE ∥BC)，则△ADE ∽△ABC ；(2)如图2，公共角的对边不平行，且有另一组角相等(∠AED ＝∠ABC 或∠ADE ＝∠ACB)，则△AED ∽△ABC.【例1】如图，在△ABC 中，AB ＝5，D ，E 分别是边AC 和AB 上的点，且∠ADE ＝∠B ，DE ＝2，求AD ·BC 的值．解：∵∠ADE ＝∠B ，∠EAD ＝∠CAB ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴DE BC ＝AD AB. ∴AD ·BC ＝DE ·AB. 又∵DE ＝2，AB ＝5， ∴AD ·BC ＝2×5＝10.1．如图，在△ABC 中，DE ∥BC ，DF ∥AC ，AE ＝3，AC ＝5，BC ＝10，则BF 的长为 .2．如图，在锐角△ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F，∠EAF＝∠GAC.求证：△ADE∽△ABC.模型2 X字型及其变形(1)如图1，对顶角的对边平行(AB∥CD)，则△ABO∽△DCO；(2)如图2，对顶角的对边不平行，且有另一对角相等(∠B＝∠D或∠A＝∠C)，则△ABO∽△CDO.【例2】如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，对角线AC与BD相交于点O.求证：△ABO∽△CDO.证明：∵AB∥CD，∴∠OAB＝∠OCD，∠OBA＝∠ODC.∴△ABO∽△CDO.【补充设问】△AOD与△BOC相似吗？试说明理由．解：△AOD 与△BOC 不相似．理由如下：∵∠AOD ＝∠COB ，要使△AOD 与△BOC 相似， ∴当满足DO CO ＝AO BO 或DO BO ＝AOCO时，即DO ·BO ＝AO ·CO 或DO ·CO ＝AO ·BO 时，△AOD 与△BOC 相似．由已证可知△ABO ∽△CDO ，∴AO CO ＝BO DO，即AO ·DO ＝BO ·CO ，不满足证明△AOD 与△BOC 相似的条件． ∴△AOD 与△BOC 不相似．【变式】如图，在四边形ABDC 中，若AB 不平行于CD ，∠ABC ＝∠ADC ，则图中的相似三角形有△COD ∽△AOB ，△AOC ∽△BOD ．3．如图，在正方形ABCD 中，G 为CD 边中点，连接AG 并延长交BC 边的延长线于点E ，对角线BD 交AG 于点F ，已知FG ＝2，则线段AE 的长度为( )A ．6B ．8C ．10D ．124．将一副三角尺如图所示叠放在一起，则BEEC的值是．5．如图，已知∠ADE ＝∠ACB ，BD ＝8，CE ＝4，CF ＝2，求DF 的长．模型3 子母型若两个三角形有一个公共角和一条公共边，且有另一对角相等，则这两个三角形相似．如图，若∠ACD ＝∠B ，则△ACD ∽△ABC ，从而可得结论：AC 2＝AD ·AB.【例3】如图，P 是△ABC 的边AB 上的一点．(1)如果∠ACP ＝∠B ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？(2)如果AP AC ＝AC AB ，△ACP 与△ABC 是否相似？为什么？如果AC CP ＝BCAC呢？解：(1)△ACP ∽△ABC.理由如下： ∵∠ACP ＝∠ABC ， ∠PAC ＝∠CAB ， ∴△ACP ∽△ABC.(2)AP AC ＝ACAB 时，△ACP ∽△ABC.理由如下：∵∠PAC ＝∠CAB ，且AP AC ＝ACAB ，∴△ACP ∽△ABC.由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似． ∵AC 与CP 的夹角为∠ACP ，BC 与AC 的夹角为∠ACB ，而∠ACP 与∠ACB 不相等，∴由AC CP ＝BCAC不能得到△ACP 与△ABC 相似．6．如图，在△ABC 中，AD 是中线，BC ＝8，∠B ＝∠DAC ，则线段AC 的长为( )A ．4B ．4 2C ．6D ．4 37．如图，在△ABC 中，D 为AB 边上一点，且∠BCD ＝∠A ，若BC ＝22，AB ＝3，则BD 的长为．模型4 双垂直型直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似．如图，Rt △ABC 中，CD 为斜边AB 上的高，则有△ACD ∽△ABC ∽△CBD ，从而可得结论：CD 2＝BD ·AD ，BC 2＝BD ·AB ，AC 2＝AD ·AB.【例4】如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD ⊥BC ，垂足为D. (1)请指出图中所有的相似三角形；(2)你能得出AD2＝BD·DC吗？解：(1)△BAD∽△BCA∽△ACD.(2)能得出AD2＝BD·DC.理由如下：∵∠BAC＝90°，∴∠BAD＋∠DAC＝90°.∵AD⊥BC，∴∠DAC＋∠ACD＝90°，∠BDA＝∠ADC＝90°.∴∠BAD＝∠ACD.又∵∠BDA＝∠ADC，∴△BAD∽△ACD.∴ADCD＝BDAD，即AD2＝BD·DC.8．如图，在Rt△ABC中，CD⊥AB，D为垂足，且AD＝3，AC＝35，则斜边AB的长为() A．3 6B．15C．9 5D．3＋3 59．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是斜边AB上的高，AD＝9，BD＝4，那么CD＝，AC＝．模型5 一线三等角型(1)如图1，AB⊥BC，CD⊥BC，AP⊥PD，垂足分别为B，C，P，且三个垂足在同一直线上，则有△ABP∽△PCD(此图又叫作“三垂图”)．(2)如图2，∠B＝∠APD＝∠C，且B，P，C在同一直线上，则①△ABP∽△PCD；②连接AD，当点P为BC的中点时，△ABP∽△PCD∽△APD.【例5】如图，在正方形ABCD中，E为边AD上的点，点F在边CD上，且CF＝3FD，∠BEF ＝90°.(1)求证：△ABE∽△DEF；(2)若AB＝4，延长EF交BC的延长线于点G，求BG的长．解：(1)证明：∵四边形ABCD为正方形，∴∠A＝∠D＝90°.∴∠ABE＋∠AEB＝90°.又∵∠BEF＝90°，∴∠AEB＋∠DEF＝90°.∴∠ABE＝∠DEF.∴△ABE∽△DEF.(2)∵AB＝BC＝CD＝AD＝4，CF＝3FD，∴DF ＝1，CF ＝3. ∵△ABE ∽△DEF ， ∴AE DF ＝AB DE ，即4－DE 1＝4DE . ∴DE ＝2.又∵ED ∥CG ，∴△EDF ∽△GCF. ∴ED GC ＝DFCF.∴GC ＝6. ∴BG ＝BC ＋CG ＝10.10．如图，在等腰△ABC 中，点E ，F ，O 分别是腰AB ，AC 及底BC 边上任意一点，且∠EOF ＝∠B ＝∠C.求证：OE ·FC ＝FO ·OB.1．如图，在矩形ABCD 中，作DF ⊥AC ，垂足为F ，延长DF 交AB 于点E ，在图中一定和△DFC 相似的三角形有个．2．如图，已知△ABC，△DCE，△FEG，△HGI是4个全等的等腰三角形，底边BC，CE，EG，GI在同一条直线上，且AB＝2，BC＝1，连接AI，交FG于点Q，则QI＝.3．【分类讨论思想】如图，在△ABC中，AC＝6，AB＝4，点D，A在直线BC同侧，且∠ACD ＝∠ABC，CD＝2，点E是线段BC延长线上的动点．若△DCE和△ABC相似，则线段CE的长为.4．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E在边BC上移动(点E不与点B，C重合)，满足∠DEF＝∠B，且点D，F分别在边AB，AC上．(1)求证：△BDE∽△CEF；(2)当点E移动到BC的中点时，求证：FE平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定类型1 利用相似三角形求线段长1．如图，在△ABC 中，AB ＝6，点D 是AB 的中点，过点D 作DE ∥BC ，交AC 于点E ，点M 在DE 上，且ME ＝13DM.当AM ⊥BM 时，则BC 的长为 .2．如图，已知菱形BEDF 内接于△ABC ，点E ，D ，F 分别在AB ，AC 和BC 上．若AB ＝15 cm ，BC ＝12 cm ，则菱形的边长为 cm.3．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D ，E 分别在边BC ，AB 上，且∠ADE ＝∠B.如果DE ∶AD ＝2∶5，BD ＝3，那么AC ＝ .4．如图，在Rt △ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝3，BC ＝4，在Rt △MPN 中，∠MPN ＝90°，点P 在AC 上，PM 交AB 于点E ，PN 交BC 于点F ，当PE ＝2PF 时，AP ＝ .5．如图，在△ABC 中，点D 是BA 边延长线上一点，过点D 作DE ∥BC ，交CA 的延长线于点E ，点F 是DE 延长线上一点，连接AF. (1)如果AD AB ＝23，DE ＝6，求边BC 的长；(2)如果∠FAE ＝∠B ，FA ＝6，FE ＝4，求DF 的长．类型2 利用相似三角形求角度6．如图，A ，B ，C ，P 四点均在边长为1的小正方形网格格点上，则∠BAC 的度数是 .7．如图，在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，D 为CB 延长线上一点，E 为BC 延长线上一点，且AB 2＝BD ·CE.若∠BAC ＝40°，则∠DAE ＝ . 类型3 利用相似三角形求比值8．如图，AB ∥DC ，AC 与BD 交于点E ，EF ∥DC 交BC 于点F ，CE ＝5，CF ＝4，AE ＝BC ，则DCAB 等于( )A.23B.14C.13D.359．如图，D ，E 分别是△ABC 的边AB ，BC 上的点，且DE ∥AC ，AE ，CD 相交于点O.若S △DOE ∶S △COA ＝1∶25，则S △BDE 与S △CDE 的比是( )A ．1∶3B ．1∶4C ．1∶5D ．1∶2510．如图，在矩形ABCD 中，对角线AC ，BD 交于点O ，过点A 作EA ⊥CA 交DB 的延长线于点E.若AB ＝3，BC ＝4，则AOAE的值为 .类型4 利用相似三角形证明等积式与比例式11．如图，在△ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 上的点，且BD ＝2AD ，CE ＝2AE.求证： (1)△ADE ∽△ABC ； (2)DF ·BF ＝EF ·CF.12．如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD ⊥AB 于点D ，E 为AC 的中点，ED ，CB 的延长线交于点F.求证：DF CF ＝BCAC.类型5 利用相似求点的坐标13．如图，在平面直角坐标系xOy 中，A(－4，0)，B(0，2)，连接AB 并延长到点C ，连接CO.若△COB ∽△CAO ，则点C 的坐标为( )A ．(1，52)B ．(43，83)C ．(5，25)D ．(3，23)14．如图，已知直线y ＝－12x ＋2与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，在x 轴上有一点C ，使B ，O ，C 三点构成的三角形与△AOB 相似，则点C 的坐标为专题3 圆与相似1．如图，⊙O 是△ABC 的外接圆，已知AD 平分∠BAC 交⊙O 于点D ，交BC 边于点E ，AD ＝5，BD ＝2，则DE 的长为( )A.35B.425 C.225 D.452．如图，已知⊙O 是等腰Rt △ABC 的外接圆，D 是AC ︵上一点，BD 交AC 于点E.若BC ＝4，AD ＝45，则AE 的长是( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．1.23．如图，⊙O 的两弦AB ，CD 交于点P ，连接AC ，BD ，得S △ACP ∶S △DBP ＝16∶9，则AC ∶BD ＝．4．如图，已知AB 是⊙O 的直径，C 是⊙O 上一点，∠ACB 的平分线交⊙O 于点D ，作PD ∥AB ，交CA 的延长线于点P ，连接AD ，BD.求证： (1)PD 是⊙O 的切线； (2)△PAD ∽△DBC.5．如图，以△ABC的边AC为直径的⊙O交AB边于点M，交BC边于点N，连接AN，过点C 的切线交AB的延长线于点P，∠BCP＝∠BAN.求证：(1)△ABC为等腰三角形；(2)AM·CP＝AN·CB.6．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BE平分∠ABC交AC于点E，作ED⊥EB交AB于点D，⊙O是△BED的外接圆．(1)求证：AC是⊙O的切线；(2)已知⊙O的半径为2.5，BE＝4，求BC，AD的长．参考答案：专题1 相似三角形的基本模型1． 4.2．证明：∵AF ⊥DE ，AG ⊥BC ，∴∠AFE ＝∠AGC ＝90°. ∵∠EAF ＝∠GAC ， ∴∠AEF ＝∠ACG. 又∵∠DAE ＝∠BAC ， ∴△ADE ∽△ABC.3．D4．35．解：∵∠ADE ＝∠ACB ，∴180°－∠ADE ＝180°－∠ACB ，即∠BDF ＝∠ECF. 又∵∠BFD ＝∠EFC ， ∴△BDF ∽△ECF. ∴BD EC ＝DF CF ，即84＝DF 2. ∴DF ＝4. 6．B7．83． 8．B910．证明：∵∠EOC ＝∠EOF ＋∠FOC ，∠EOC ＝∠B ＋∠BEO ，∠EOF ＝∠B ， ∴∠FOC ＝∠OEB. 又∵∠B ＝∠C ， ∴△BOE ∽△CFO. ∴OE OF ＝OB FC，即OE ·FC ＝FO ·OB.1． 5 ． 2．43. 3．43或3. 4．解：(1)证明：∵AB ＝AC ， ∴∠B ＝∠C.∵∠BDE ＝180°－∠B －∠DEB ，∠CEF ＝180°－∠DEF －∠DEB ，且∠DEF ＝∠B ， ∴∠BDE ＝∠CEF. ∴△BDE ∽△CEF.(2)∵△BDE ∽△CEF ，∴BE CF ＝DEEF.∵点E 是BC 的中点，∴BE ＝CE. ∴CE CF ＝DE EF .∴CE DE ＝CF EF. ∵∠DEF ＝∠B ＝∠C ，∴△DEF ∽△ECF. ∴∠DFE ＝∠CFE ，即FE 平分∠DFC.专题2 相似三角形的性质与判定1．8. 2．203.3．152.4．3.5．解：(1)∵DE ∥BC ， ∴△ADE ∽△ABC. ∴AD AB ＝DE BC .∴23＝6BC . ∴BC ＝9.(2)∵∠FAE ＝∠B ，∠B ＝∠D ， ∴∠FAE ＝∠D. 又∵∠F ＝∠F ， ∴△FAE ∽△FDA. ∴FE FA ＝FA DF.∴DF ＝FA2FE ＝9.6．135°. 7．110°. 8．B 9．B 10．724.11．证明：(1)∵BD ＝2AD ，CE ＝2AE ，∴AB ＝3AD ，AC ＝3AE. ∴AD AB ＝AE AC ＝13. ∵∠A ＝∠A ， ∴△ADE ∽△ABC. (2)∵AD AB ＝AE AC ＝13，∴DE ∥BC. ∴△DEF ∽△CBF. ∴DF CF ＝EF BF. ∴DF ·BF ＝EF ·CF.12．证明：∵∠ACB ＝90°，CD ⊥AB ，∴∠A ＋∠ACD ＝∠ACD ＋∠BCD ，∠ACB ＝∠BDC ＝90°. ∴∠A ＝∠BCD. ∴△ABC ∽△CBD.∴BC BD ＝AC CD ，即BC AC ＝BD CD. 又∵E 为AC 的中点，∴AE ＝CE ＝ED.∴∠A ＝∠EDA.∵∠EDA ＝∠BDF ，∴∠FCD ＝∠BDF.又∵∠F 为公共角，∴△FDB ∽△FCD.∴DF CF ＝BD CD. ∴DF CF ＝BC AC. 13．B14． (－4，0)或(4，0)或(－1，0)或(1，0)．专题3 圆与相似1．D2．C3．4∶3．4．证明：(1)连接OD.∵∠DCA ＝∠DCB ，∴AD ︵＝BD ︵.∴OD ⊥AB.∵AB ∥PD ，∴OD ⊥PD.∵点D 在⊙O 上，OD 为⊙O 的半径，∴PD 是⊙O 的切线．(2)∵∠PAD ＋∠CAD ＝180°，∠DBC ＋∠CAD ＝180°，∴∠PAD ＝∠DBC.由(1)可得：∠PDA ＝∠BCD ＝45°，∴△PAD ∽△DBC.5．证明：(1)∵AC 为⊙O 的直径，∴∠ANC ＝90°.∵PC 是⊙O 的切线，∴∠BCP ＝∠CAN.∵∠BCP ＝∠BAN ，∴∠BAN ＝∠CAN.又∵AN ⊥BC ，∴AB ＝AC.∴△ABC 为等腰三角形．(2)连接MN ∵△ABC 为等腰三角形，AB ＝AC ，∴∠ABC ＝∠ACB.∵∠PBC ＋∠ABC ＝∠AMN ＋∠ACN ＝180°，∴∠PBC ＝∠AMN.由(1)知∠BCP ＝∠BAN ，∴△BPC ∽△MNA.∴CB AM ＝CP AN，即AM ·CP ＝AN ·CB. 6．解：(1)证明：连接OE ，∵OB ＝OE ，∴∠OBE ＝∠OEB.∵BE 平分∠ABC ，∠OBE ＝∠EBC.∴∠OEB ＝∠EBC.∴OE ∥BC.又∵∠C ＝90°，∴∠OEA ＝90°，即AC ⊥OE.又∵OE 是⊙O 的半径，∴AC 是⊙O 的切线．(2)在△BCE 与△BED 中，∵∠C ＝∠BED ＝90°，∠EBC ＝∠DBE ，∴△BCE ∽△BED.∴BE BD ＝BC BE ，即BC ＝BE 2BD. ∵BE ＝4，BD 是⊙O 的直径，即BD ＝5，∴BC ＝165. 又∵OE ∥BC ，∴AO AB ＝OE BC .∵AO ＝AD ＋2.5，AB ＝AD ＋5，∴AD ＋2.5AD ＋5＝2.5165. 解得AD ＝457.。

人教版九年级下册数学《相似三角形》练习题及答案

27.2 相似三角形一、选择题1..下列语句正确的是( )A.△ABC 和△A′B′C′中,∠B=∠B′=90°,∠A=30°,∠C′=60°, 则⊿ABC 和⊿A′B′C′不相似;B.在⊿ABC 和⊿A′B′C′中,AB=5,BC=7,AC=8,A′C′=16,B′C′=14,A′B ′=10,则⊿ABC ∽⊿A′B′C′;C.两个全等三角形不一定相似;D.所有的菱形都相似2.根据图中尺寸（AB ∥A 1B 1）,那么物象长（A 1B 1的长）与物长（AB 的长）之间函数关系的图像大致是（）3.如图，在正三角形ABC 中，D 、E 分别在AC 、AB 上，且AC AD ＝31，AE ＝BE ，则有（）（A ）△AED ∽△BED （B ）△AED ∽△CBD（C ）△AED ∽△ABD （D ）△BAD ∽△BCD( 3题 ) (4题)4．已知：如图，∠ADE ＝∠ACD ＝∠ABC ，图中相似三角形共有（）（A ）1对（B ）2对（C ）3对（D ）4对5.三角形三边之比为3:5:7,与它相似的三角形的最长边为21cm,则其余两边之和为( )A.32cmB.24cmC.18cmD.16cm6. 已知⊿ABC ∽⊿A ′B ′C ′，且BC ：B ′C ′= AC ：A ′C ′，若AC=3，A ′C ′=1.8，则△A ′B ′C ′与△ABC 的相似比是（）。

A. 2:3B. 3:2C. 5:3D. 3:57.可以判定∆ABC ∽'''C B A ∆，的条件是（）A 、∠A=∠'C =∠'B B 、''''C A B A AC AB =，且∠A=∠'C C 、''''C A AC B A AB =且∠A=∠'B D 、以上条件都不对8. 已知一次函数y=2x+2与x 轴y 轴交于A 、B 两点，另一直线y=kx+3交x 轴正半轴于E 、交y 轴于F 点，如⊿AOB 与E 、F 、O 三点组成的三角形相似，那么k 值为（）A 1.5B 6C 1.5或6D 以上都不对二、填空题9. 已知一个三角形三边长是6cm ，7.5cm ，9cm ，另一个三角形的三边是8cm ，10cm ，12cm ，则这两个三角形（填相似或不相似）10. 在1:25000000的中国政区图上，量得福州到北京的距离为6cm ，则福州到北京的实际距离为 km 。