单摆
单摆知识点总结
单摆知识点总结一、单摆的原理1. 单摆的定义单摆是由一根长度可忽略不计的质量不计而不论的细线或轻棒和一个质量块组成的。
摆线的一端固定，另一端悬挂有质量块，使得质量块可以在重力的作用下做来回摆动。
2. 单摆的力学原理在单摆运动中，质量块会受到重力的作用而下垂，同时由于细线或轻棒的约束，质量块只能做简谐运动。
单摆的运动可以用牛顿第二定律和力的平衡原理来描述。
3. 单摆的简谐运动简谐运动是指物体在受力作用下做周期性的来回振动。
在单摆运动中，质量块受到重力的作用而下垂，同时由于细线或轻棒的约束，质量块只能做简谐运动。
单摆的简谐运动满足振幅较小的条件下的简谐运动规律。
二、单摆的运动规律1. 单摆的周期单摆的周期受摆长和重力加速度的影响。
根据物理学理论，单摆的周期与摆长成正比，与重力加速度的平方根成反比。
2. 单摆的频率单摆的频率是指在单位时间内单摆做的来回摆动次数。
根据单摆的运动规律，单摆的频率与周期成反比。
3. 单摆的能量转换在单摆运动中，质量块在做简谐振动的过程中，动能和势能会不断地相互转换。
当质量块处于最高点时，只有势能，没有动能；当质量块处于最低点时，只有动能，没有势能。
三、单摆的影响因素1. 摆长摆长是指摆线的长度，它对单摆的周期和频率有很大的影响。
根据单摆的运动规律，摆长越长，单摆的周期越长，频率越低。
2. 重力加速度重力加速度是指地球对物体的引力加速度，它对单摆的周期和频率同样有很大的影响。
重力加速度越大，单摆的周期越短，频率越高。
3. 摆角摆角是指质量块在最低点偏离竖直线的角度。
在小角度条件下，单摆的周期和频率与摆角无关；但在大角度条件下，单摆的周期和频率会受到摆角的影响。
四、单摆的应用1. 科学教学单摆是一种简单的物理实验工具，常被用于物理实验课或物理研究中。
通过单摆的实验，可以直观地观察和研究单摆的运动规律，加深学生对物理学的理解。
2. 时间测量在过去，单摆曾被用作时间测量的工具。
由于单摆的周期与摆长成正比，可以通过测量单摆的周期来计算时间。
第十一章单摆
o
o’
圆弧摆
②等效重力加速度
不论悬点如何运动或还是受别的作用力，等效重力加速度的取 值总是单摆不振动时，摆线的拉力与摆球质量的比值(g=T/m)。 例. 如图，一小球用长为L的细线系于与水平面成α角的光滑斜面 内，小球呈平衡状态。若使细线偏离平衡位置，其偏角小于5o， 然后将小球由静止释放，则小球到达最低点所需的时间为多少？
2．共振：做受迫振动的物体，它的固有频率与驱动力的 频率越接近，其振幅就越大，当二者 相等 时，振幅 达到最大，这就是共振现象．共振曲线如图 7 所示．
本 课 栏 目 开 关
图7
课堂探究·突破考点
第1课时
考点二 考点解读
单摆的回复力与周期
本 课 栏 目 开 关
1．受力特征：重力和细线的拉力 (1)回复力：摆球重力沿切线方向上的分力， mg F＝－ mgsin θ＝－ x＝－ kx，负号表示回复力 F l 与位移 x 的方向相反． (2)向心力：细线的拉力和重力沿细线方向的分力的 合力充当向心力，F 向＝ F－ mgcos θ.
第1课时
图5
(3)回复力：小球所受重力沿 切线 方向的分力， mg 即：F＝G2＝Gsin θ＝ l x，F的方向与位移x的方向 相反． (4)周期公式：T＝2π l g.
基础再现·深度思考
第1课时
(5)单摆的等时性：单摆的振动周期取决于摆长 l 和重力 加速度 g，与振幅和振子 (小球)质量都没有关系． 注意 单摆振动时，线的张力与重力沿摆线方向的分力 的合力提供单摆做圆周运动的向心力．重力沿速度方 mg 向的分力提供回复力， 最大回复力大小为 A， 在平衡 l 位置时回复力为零，但合外力等于向心力，不等于零．
o
α
L T 2 g sin
高中单摆实验知识点
高中单摆实验知识点
单摆实验是物理实验中常见的一种实验，主要用于研究物体在重力作用下的简谐振动。
以下是关于高中单摆实验的知识点：
1. 单摆的定义：单摆是由一根不可伸缩的轻细绳或杆和一个质点组成的系统，质点可以在绳的一端或杆的顶端摆动。
2. 单摆的摆动规律：单摆在重力作用下发生简谐振动，其周期与摆长（即绳或杆的长度）成正比，与重力加速度的平方根成反比。
摆动的幅度与开始摆动时的角度有关。
3. 摆长和周期之间的关系：根据单摆的摆动规律，摆长越长，周期越大；摆长越短，周期越小。
这个关系可以用公式T=2π√(L/g)来表示，其中T表示周期，L表示摆长，g表示重力加速度。
4. 单摆的共振现象：当外力作用频率接近单摆的固有频率时，单摆会发生共振现象，振幅会显著增大。
共振现象在实际应用中需要进行控制和调节。
5. 单摆的实验操作：进行单摆实验时，需要先测量摆长，然后通过改变摆动的角度、重力加速度，或者使用不同的质点，观察变化后的摆动情况，记录相关数据并进行分析。
6. 单摆的应用：单摆实验的结果可以应用于钟摆的设计、钟表的精确度矫正，以及其他需要利用简谐振动的物理学和工程学领域。
以上是关于高中单摆实验的一些知识点介绍，希望对你有所帮助！。
高中物理选择性必修一第4节 单摆
第4节单摆核心素养物理观念科学思维科学探究1.知道单摆的概念，了解单摆运动的特点。
2.知道单摆周期与摆长、重力加速度的关系。
会利用单摆周期公式测定重力加速度。
通过实验探究单摆的周期与摆长的关系。
知识点一单摆、单摆的回复力1.单摆(1)用细线悬挂着小球在竖直平面内摆动，如果细线的质量与小球相比可以忽略，球的直径与线长度相比也可以忽略，空气等对小球的阻力与它受到的重力及绳的拉力相比可以忽略，这样的装置就叫作单摆。
(2)单摆是实际摆的理想化模型。
我们总要尽量选择质量大、体积小的球和尽量细的线。
2.单摆的回复力(1)单摆的回复力是由重力沿圆弧切线方向的分力F＝mg sin θ提供的，如图所示。
(2)在最大偏角很小的条件下，sin θ≈xl，其中x为摆球偏离平衡位置O点的位移。
单摆的回复力F＝－mgl x，令k＝mgl，则F＝－kx。
(3)在偏角很小的情况下，摆球所受的回复力与它偏离平衡位置的位移成正比，方向总是指向平衡位置，因此单摆做简谐运动。
[思考判断](1)单摆运动的回复力是重力和摆线拉力的合力。
(×)(2)单摆运动的回复力是重力沿圆弧切线方向的一个分力。
(√)(3)单摆经过平衡位置时受到的合力为零。
(×)(4)单摆是一个理想化的模型。
(√)回复力和向心力都是按效果命名的，一定要清楚它们的来源。
回复力是沿振动方向上的合力，而不是物体受到的合力。
在选项图所示的装置中，可视为单摆的是提示 A知识点二单摆的周期[观图助学]如图所示：(1)单摆振动的周期和振幅无关——单摆的等时性把悬挂在同一高度的两个相同的单摆的摆球拉到不同高度同时释放，使其做简谐运动。
现象：摆球完成一次全振动所用时间相同。
(2)单摆的周期与摆球质量无关摆长相同，将质量不同的摆球拉到同一高度同时释放，使其做简谐运动。
现象：两摆球振动是同步的。
(3)单摆振动的周期和摆长有关摆长不同，将质量相同的摆球拉到同一高度同时释放使其做简谐运动。
单摆
三、单摆的振动图像
正弦或余弦图像
2.单摆的回复力
a、平衡位置：最低点O b、回复力来源： 重力沿切线方向的分力G2
O'
T O
mg sin
mg cos
法向： 切向：
（向心力）
（回复力）
方向：沿切线指向平衡位置
mgBiblioteka 结论在偏角很小的情况下，摆球所受 的回复力与它偏离平衡位置的位 移成正比，方向总是指向平衡位 置，因此单摆做简谐运动
单摆振动的周期与哪些因素有关呢？
结论
单摆振动周期与小球质量，振 幅无关，与摆长有关；摆长越长， 周期越长。
（多组数据代入，取平均值）
单摆周期公式的理解:
1、单摆周期与摆长和重力加速度有
关，与振幅和质量无关。
2、摆长、重力加速度都一定时，周期 和频率也一定，通常称为单摆的固 有周期和固有频率。
12.4
单摆
常见的在竖直平面内摆动的物体
一．单摆概念
１、单摆：细线一端固定在悬点， 另一端系一个小球，如果细线的 质量与小球相比可以忽略；球的 直径与线的长度相比也可以忽略， 这样的装置就叫做单摆。 ２、摆长：悬点到摆球重心 的距离叫做摆长。 说明：实际应用的单摆小球大小不可忽略，
摆长 L＝摆线长度＋小球半径 单摆是对现实摆的抽象，是一种理想化的物理模型
想一想：下列装置能否看作单摆？ 并说明理由
细 绳 橡 皮 筋 铁 链 细粗 绳棍 挂上 在
长 细 线
钢 球
细 绳
1
ᄼ
2
3
4
5
铁球 6
二．单摆的摆动
问题：单摆振动是简谐运动吗？
如何验证？
方法一：从单摆的振动图象(x-t图像)判断
单摆课件ppt
单摆的能量转换
总结词
单摆在摆动过程中实现动能和势能的 相互转换。
详细描述
单摆在摆动过程中，当摆球上升时， 重力做负功，使得势能增加；当摆球 下降时，重力做正功，使得动能增加 。整个过程中，动能和势能相互转换 ，总能量保持不变。
03
单摆的应用
测量地球的重力加速度
总结词
通过测量单摆的周期和摆长，可以推算出地球的重力加速度。
单摆的运动是一种简谐振动，即它的运动轨迹是一个正弦或余弦曲线。单摆的周期性是指它的运动具有周期性， 即它会重复相同的运动轨迹。单摆的对称性是指它的运动轨迹关于细线对称，即质点在最高点和最低点的位置关 于细线对称。
02
单摆的力学原理
单摆的受力分析
总结词
单摆在摆动过程中受到重力和细 线的拉力作用。
详细描述
2. 在测量摆长时，应确保测量尺与摆线垂直，避免误差。
实验步骤和注意事项
01
3. 在测量单摆周期时，应确保秒 表处于停止状态，以便准确计时 。
02
4. 在改变摆长时，应保持其他实 验条件不变，以探究单摆周期与 摆长的关系。
05
单摆的习题和解析
基础习题
基础习题1
一个单摆的摆长为0.25米，在偏角小 于5度的情况下，求单摆的振动周期 。
详细描述
利用单摆的周期公式和地球的重力加速度公式，结合摆长和周期的测量，可以计算出地球的重力加速 度。这种方法在物理学实验中经常被用来验证单摆的周期公式。
测量地球的自转周期
总结词
通过测量单摆的振动周期，可以推算出 地球的自转周期。
VS
详细描述
由于地球自转的影响，不同地理位置的摆 长会有所不同，导致单摆的周期也会有所 不同。通过测量不同地理位置的单摆周期 ，可以推算出地球的自转周期。这种方法 在地球科学研究中被广泛应用。
单摆知识点公式总结
单摆知识点公式总结一、单摆的基本知识点1. 单摆的定义单摆是由一个质点（称为挂点）和一根长度可忽略的细绳（或轻质横杆）组成的物体。
质点可以是实心球、铁球、小木块或其他形状的物体。
2. 单摆的运动规律单摆在无外力作用下，可以做匀速圆周运动。
当摆动幅度较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
3. 单摆的周期单摆的周期T与摆长L及重力加速度g有关，满足以下公式：T = 2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度（约等于9.8m/s^2），π为圆周率。
4. 单摆的频率单摆的频率f与周期T成反比关系，满足以下公式：f = 1/T5. 单摆的振幅单摆的振幅是指摆动过程中的最大角度。
当振幅较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
6. 单摆的能量转化单摆在振动过程中，动能和势能不断地进行转化。
当摆动到最高点或最低点时，动能为零，势能最大。
而在摆动过程中，动能最大时，势能为零。
单摆的总能量守恒。
7. 单摆的受力分析单摆在做简谐振动时，受到重力和张力的作用。
重力作用在摆绳上，向下，张力作用在质点上，与重力方向相反。
二、相关公式1. 单摆的周期公式T = 2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度。
2. 单摆的频率公式f = 1/T其中，f为频率，T为周期。
3. 单摆的摆长计算公式在实际应用中，有时需要根据给定的周期或频率来计算摆长。
可以通过以上公式，将周期T或频率f代入，求解摆长L的值。
4. 单摆的振幅与周期的关系当振幅较小时，单摆的周期与摆长的平方根成正比。
这一关系可以通过实验或推导得到。
5. 单摆的能量转化公式在单摆的摆动过程中，动能和势能不断地进行转化。
可以通过动能和势能的公式进行计算，以研究能量转化的规律。
6. 单摆的受力分析公式单摆在简谐振动时，受到重力和张力的作用。
可以通过受力分析和牛顿定律，得到单摆的运动规律和力学性质。
三、单摆的应用1. 单摆的实验通过搭建单摆实验装置，可以观察和研究单摆的运动规律和特性，了解单摆的周期、频率、摆长等参数。
第2节 单摆
第2节 单 摆[重点诠释] 1．单摆的特点(1)单摆的理想化特点：单摆是一个理想化模型。
实际摆在满足以下条件时可看成是单摆。
①摆线的形变量与摆线长度相比小得多，摆线的质量与摆球质量相比小得多，可把摆线看成是不可伸长且没有质量的。
②摆球的大小与摆线长度相比小得多，可把摆球看成是质点。
(2)单摆的运动特点：①摆线以悬点为圆心做变速圆周运动，因此在运动过程中只要速度v ≠0，沿半径方向都受向心力。
②摆线同时以平衡位置为中心做往复运动，因此在运动过程中只要不在平衡位置，沿轨迹的切线方向都受回复力。
2．单摆的动力学特征(1)任意位置：如图所示，G 2＝G cos θ，F －G 2的作用就是提供摆球绕O ′做变速圆周运动的向心力；G 1＝G sin θ的作用是提供摆球以O 为中心做往复运动的回复力。
(2)平衡位置：摆球经过平衡位置时，G 2＝G ，G 1＝0，此时F 应大于G ，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力F 回＝0，与G 1＝0相符。
(3)单摆做简谐运动的推证：在θ很小时，sin θ≈tan θ＝x l， G 1＝G sin θ＝mg lx ， G 1的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力F 回＝G 1＝－mg lx ＝－kx 。
因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动。
(摆角一般不超过5°)1．关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )A ．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B ．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C ．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D ．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向[重点诠释]1．摆长l(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应是从悬点到摆球球心的长度：即l ＝l ′＋d 2，l ′为摆线长，d 为摆球直径。
(2)等效摆长：图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长。
11.4 单摆
第四节 单摆自主学目标1.知道什么是单摆，知道单摆做简谐运动的条件.2.知道单摆的回复力来源.3.掌握单摆的周期公式，理解周期的影响因素，并能应用公式进行有关计算. 知识点归纳 一、单摆1.单摆模型：悬挂小球的细线的伸缩和质量可以忽略，细线又比球的① 大得多，这样的装置叫做单摆.单摆是实际摆的理想化模型.2.回复力的提供：摆球的重力沿② 方向的分力.3.回复力的特点：在摆角很小时，单摆所受的回复力与偏离平衡位置的位移成③ ，方向指向④ .4.运动规律：单摆在摆角很小时做⑤ ，其图象遵循⑥ 函数规律. 二、单摆的周期1.探究单摆的振幅、位置、摆长、摆球质量对周期的影响 （1）探究方法：⑦ . （2）实验结论①单摆振动的周期与摆球的质量⑧ . ②振幅较小时周期与振幅⑨ 。
③摆长越长，周期⑩ ，摆长越短，周期○11 . 2.周期公式（1）公式：T=○12 . （2）应用①计时器。
调节○13 ，可以调节钟表的快慢. ②测重力加速度：由 T ＝2πg l得○14 .可见，只要测出单摆的○15 和○16 ，就可以测出当地的重力加速度. 提示： ①直径 ②切线 ③正比 ④平衡位置 ⑤简谐运动 ⑥正弦 ⑦控制变量法 ⑧无关 ⑨无关 ⑩越大 ○11越小○12gl π2 ○13摆长 ○14224Tl π ○15摆长 ○16周期重难点解析一、对单摆模型的理解 单摆是一种理想化模型：①摆线的质量不计，没有伸缩性的细线；②摆球的直径比摆线长度要小得多； ③忽略空气阻力的影响.二、单摆在摆角很小时做简谐运动 1.摆球的受力G 1=Gsin θ的作用提供摆球以O点为中心做往复运动的回复力，G 2=Gcos θ,F-Gcos θ的作用提供摆球以O ’为圆心做圆周运动的向心力.2.单摆的简谐运动在θ很小时（<5o）,sin θ≈θ=lx,G 1=Gsin θ=x lmg,G 1方向与摆球位移方向相反，所以回复力F 回=G 1=-x lmg=-kx ，即回复力与位移方向始终相反，大小成正比，满足物体做简谐运动的条件。
单摆 课件
(4)改变摆长，重做几次实验。 (5)数据处理 ①平均值法：每改变一次摆长，将相应的 l 和 T，代入公式 g＝4Tπ22l中求出 g 值，最后求出 g 的平均值。 设计如下所示实验表格
②图象法
由单摆的周期公式 T＝2π gl 可得 l＝4gπ2T2，因此以摆长 l 为纵轴，以 T2 为横轴作出 l－T2 图象，是一条过原点的直线，如 图所示，求出斜率 k，即可求出 g 值。g＝4π2k，k＝Tl2＝ΔΔTl2。
②等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、 减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在 自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球的质量的比值。
2．应用 摆钟是单摆做简谐运动的一个典型应用，其快慢是由摆钟的 周期决定的，分析时注意： (1)计时原理：摆钟的计时是以钟摆完成一定数量的全振动， 从而带动秒针、分针、时针转动实现的，因此钟摆振动的周期变 化就反映了摆钟的快慢，如钟摆振动周期变大，则摆钟将变慢， 摆钟时针转动一圈的时间变长。
(2)平衡位置 摆球经过平衡位置时，G2＝G，G1＝0，此时 F 应大于 G，F －G 的作用是提供向心力；因在平衡位置，回复力 F 回＝0，与 G1＝0 相符。 (3)单摆的简谐运动 在 θ 很小时，sinθ≈tanθ＝xl ， G1＝Gsinθ＝mlgx， G1 的方向与摆球位移方向相反，所以有回复力
例 1 关于单摆，下列说法中正确的是( ) A．单摆振动的回复力是重力的分力 mgsinα，其中α是摆线 与竖直方向之间的夹角 B．单摆的回复力是重力和摆线拉力的合力 C．单摆的摆球在平衡位置时(最低点)的加速度为零 D．单摆的振动周期在振幅很小的条件下跟振幅无关
解析：此题考查回复力来源问题以及单摆的加速度与回复力 的关系。单摆运动的轨迹是一段圆弧，在摆动的过程中，摆球受 重力 G 和摆线的拉力 FT 两个力的作用，这两个力的合力不但要 提供回复力，还要提供向心力。摆线的拉力 FT 总与运动方向垂 直，不能提供回复力。重力的方向竖直向下，不可能全部用于提 供回复力，所以，提供回复力的是重力沿圆弧方向的分力 mgsinα，A 正确；通常情况下单中所受阻力作用。 实验中为满足上述条件，我们尽量选择质量大，体积小的球 和尽量细的弹性小的线。
高中物理单摆知识点总结
高中物理单摆知识点总结
高中物理单摆知识点总结如下:
1. 单摆概述：单摆是由一个轻细的摆针和一个重球组成的简单机械系统，摆针在重力和弹性力作用下，绕摆针轴做圆周运动。
2. 单摆周期：单摆的运动周期与摆针长度、摆球重量和摆动角度有关，周期公式为 T=2π√(L/g)。
3. 单摆摆角：单摆摆动时，摆针偏离平衡位置的夹角称为摆角，摆角大小取决于摆球重量和摆动角度。
4. 单摆运动规律：单摆的运动规律是摆针速度随摆动角度增大而减小，随摆动时间延长而增大。
5. 单摆的利用：单摆可以被用于测量重力加速度、测量摆球质量、测量微小角度等。
6. 单摆的弹性：单摆的弹性是指摆针在运动过程中受到的空气阻力和摩擦阻力等。
7. 单摆的振动：单摆的振动是指摆针在平衡位置附近来回振动的现象，振动频率与摆球重量、摆针长度和振动角度有关。
8. 单摆的强化训练：为了提高单摆的测量精度，可以进行单摆强化训练，如调整摆球重量、改善测量环境等。
3 第3节 单 摆
第3节 单 摆1.理解单摆做简谐运动的条件和振动特点．2.知道影响单摆周期的因素，掌握单摆的周期公式，并能用来进行有关计算．(重点＋难点)3.学会用单摆测重力加速度．(重点)一、单摆的运动1．单摆：把一根细线上端固定，下端拴一个小球，线的质量和球的大小可以忽略不计，这种装置叫做单摆． 2．单摆的运动特点(1)摆球以悬点为圆心，在竖直平面内做变速圆周运动． (2)摆球同时以最低点O 为平衡位置做往复运动． 3．单摆的回复力：如图所示，摆球受重力mg 和绳子拉力F ′两个力作用，将重力按切线方向和径向正交分解，则绳子的拉力F ′与重力的径向分量的合力提供了摆球做圆周运动所需的向心力，而重力的切向分力F 提供了摆球振动所需的回复力F ＝mg sin θ，它总是指向平衡位置．在最大摆角小于5° 时，sin θ≈θ≈x l ，F 的方向可认为与位移x 平行，但方向与位移方向相反，所以回复力可表示为F ＝－mgl x .令k ＝mgl，则F ＝－kx .1．(1)制作单摆的细线弹性越大越好．( ) (2)制作单摆的摆球越大越好．( ) (3)单摆的回复力等于摆球所受合力．( ) 提示：(1)× (2)× (3)× 二、单摆的周期1．影响单摆周期因素的实验探究 (1)探究方法：控制变量法． (2)实验结论①单摆周期与摆球质量无关． ②单摆周期与振幅无关．③单摆的摆长越长，周期越长；摆长越短，周期越短． 2．周期公式及应用(1)周期公式是荷兰物理学家惠更斯首先提出的．(2)单摆的等时性：单摆做简谐运动时，其周期与振幅无关． (3)公式：T ＝2πlg．即T 与摆长l 的二次方根成正比，与重力加速度g 的二次方根成反比． (4)应用 ①计时器(摆钟)a ．原理：单摆的等时性．b ．校准：调节摆长可调节钟表的快慢． ②测重力加速度 由T ＝2πl g 得，g ＝4π2lT2，即只要测出单摆的摆长和周期，就可以求出当地的重力加速度．2．(1)摆球的质量越大，周期越大．( ) (2)单摆的振幅越小，周期越小．( ) (3)单摆的摆长越长，周期越大．( ) 提示：(1)× (2)× (3)√单摆的简谐运动1．单摆做简谐运动的条件判断单摆是否做简谐运动，可分析摆球的受力情况，看回复力是否符合F ＝－kx 的特点，如图．(1)在任意位置P ，有向线段OP →为此时的位移x ，重力G 沿圆弧切线方向的分力G 1＝G sin θ提供摆球以O 点为中心做往复运动的回复力．(2)在摆角很小时，sin θ≈θ＝x l ，G 1＝G sin θ＝mgl x ，G 1方向与摆球位移方向相反，所以回复力表示为F 回＝－G 1＝－mgx l .令k ＝mgl ，则F 回＝－kx .因此，在摆角θ很小时，单摆做简谐运动．(摆角一般不超过5°)2．单摆做简谐运动的规律：单摆做简谐运动的位移随时间变化的图象是一条正弦(或余弦)曲线．回复力、加速度、速度、动能、势能都随时间做周期性变化，其变化规律与弹簧振子相同．例如当摆球到达最低点(平衡位置)时，位移、回复力、水平加速度都等于零，而速度、动能都最大，而到达最高点(最大位移处)时，位移、回复力都最大，速度、动能都等于零．(1)单摆振动的回复力为摆球重力沿圆弧切线方向的分力，回复力不是摆球所受的合外力．(2)摆球经过平衡位置时，回复力为零，沿圆弧切线方向的加速度为零，但合外力和向心加速度都不等于零．(3)单摆的摆动不一定都是简谐运动，只有单摆做小角度(摆角小于5°)摆动时才认为是简谐运动．一单摆做小角度摆动，其振动图象如图所示，以下说法正确的是( )A ．t 1时刻摆球速度最大，摆球的回复力最大B ．t 2时刻摆球速度为零，悬线对它的拉力最小C ．t 3时刻摆球速度为零，摆球的回复力最小D ．t 4时刻摆球速度最大，悬线对它的拉力最大[解析] t 1、t 3时刻，摆球位移最大，速度为零，由F ＝－mgl x 知，回复力最大，故A 、C 错误；t 2、t 4时刻，摆球通过平衡位置，速度最大，线的拉力最大，故B 错误，D 正确． [答案] D关于单摆的回复力的三点提醒(1)单摆振动中的回复力不是它受到的合力，而是重力沿圆弧切线方向的一个分力．单摆振动过程中，有向心力，这是与弹簧振子不同之处．(2)在最大位移处时，因速度为零，所以向心力为零，故此时合力也就是回复力．(3)在平衡位置处时，由于速度不为零，故向心力也不为零，即此时回复力为零，但合力不为零.1.关于单摆摆球在运动过程中的受力，下列结论正确的是( )A ．摆球受重力、摆线的张力、回复力、向心力作用B ．摆球受的回复力最大时，向心力为零；回复力为零时，向心力最大C ．摆球受的回复力最大时，摆线中的张力大小比摆球的重力大D ．摆球受的向心力最大时，摆球的加速度方向沿摆球的运动方向解析：选B.摆球受重力和绳的拉力两个力作用，A 错误；回复力最大时速度为零，所以向心力为零，回复力为零时速度最大，向心力最大，B 正确；回复力最大时，张力等于重力沿半径方向的分力，比重力小，C 错误；向心力最大时速度最大，摆球在最低点，此时加速度等于向心加速度，与运动方向垂直，D 错误．对单摆周期公式的理解由公式T ＝2πlg知，某单摆做简谐运动(摆角小于5°)的周期与其摆长l 和当地重力加速度g 有关，而与振幅和摆球的质量无关，故又叫单摆的固有周期． 1．摆长(1)实际的单摆摆球不可能是质点，所以摆长应为从悬点到摆球球心的长度，即l ＝l 线＋d2，l线为摆线长，d 为摆球的直径．(2)等效摆长在实际问题中，有些摆的构造与单摆不完全相同，我们可以将其等效为单摆，其等效摆长为摆球圆弧运动的圆心到摆球重心的距离．①如图所示，摆球可视为质点，各段绳长均为l ，甲、乙图中摆球做垂直纸面的小角度摆动，丙图中球在纸面内做小角度摆动，O ′为垂直纸面的钉子，而且OO ′＝l3，求各摆的周期．甲：等效摆长l ′＝l sin α，T 甲＝2πl sin αg.乙：等效摆长l ′＝l sin α＋l ，T 乙＝2πl （sin α＋1）g.丙：摆线摆到竖直位置时，圆心就由O 变O ′，摆球振动时，半个周期摆长为l ，另半个周期摆长为⎝⎛⎭⎫l －l 3，即为23l ，则单摆丙的周期为T 丙＝πlg＋π 2l /3g. ②如图丁所示，小球在光滑的半径较大的圆周上做小幅度(θ很小)的圆周运动时，可等效为单摆，小球在A 、B 间做简谐运动，周期T ＝2πR g. 2．重力加速度g(1)若单摆系统只处在重力场中且处于静止状态，g 由单摆所处的空间位置决定，即g ＝GM R 2，式中R 为物体到地心的距离，M 为地球的质量，g 随所在位置的高度的变化而变化．另外，在不同星球上M 和R 也是变化的，所以g 也不同，g ＝9.8 m/s 2只是在地球表面附近时的取值． (2)等效重力加速度：若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时，摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：此场景中的等效重力加速度g ′＝g sin α.球静止在O 时，F ＝mg sin α，等效加速度g ′＝Fm＝g sin α.(1)单摆周期公式是在单摆做简谐运动的前提下成立的．(2)在各种变形摆中，要认真分析“等效摆长”和“等效重力加速度”，灵活运用周期公式，切忌生搬硬套．有一单摆，其摆长l ＝1.02 m ，摆球的质量m ＝0.10 kg ，已知单摆做简谐运动，单摆振动30次用的时间t ＝60.8 s ，试求： (1)当地的重力加速度；(2)如果将这个摆改为秒摆，摆长应怎样改变，改变多少？ [思路点拨] 本题主要考查对单摆周期公式T ＝2πlg 的理解与变形式的应用．首先要清楚，单摆的周期与摆球的质量无关，同时要明白，秒摆的周期是2 s 而不是1 s. [解析] (1)当单摆做简谐运动时，其周期公式 T ＝t n ＝60.830s ＝2.027 s ，所以g ＝4π2l T 2＝4×3.142×1.022.0272m/s 2＝9.79 m/s 2.(2)秒摆的周期是2 s ，设其摆长为l 0，由于在同一地点重力加速度是不变的，根据单摆的摆动规律有：T T 0＝l l 0，故有：l 0＝T 20l T 2＝22×1.022.0272 m ＝0.993 m. 其摆长要缩短Δl ＝l －l 0＝1.02 m －0.993 m ＝0.027 m. [答案] (1)9.79 m/s 2 (2)摆长缩短 0.027 m2.如图所示是两个单摆的振动图象．(1)甲、乙两个摆的摆长之比是多少？(2)以向右的方向作为摆球偏离平衡位置的位移的正方向，从t ＝0时起，乙第一次到达右方最大位移处时，甲振动到了什么位置？向什么方向运动？解析：(1)由题图可以看出，单摆甲的周期是单摆乙的周期的12，即T 甲∶T 乙＝1∶2，又由单摆的周期与摆长的关系可知，l 甲∶l 乙＝1∶4.(2)由题图可以看出，当乙第一次到达右方最大位移处时，t ＝2 s ，振动到14周期，甲振动到12周期，位移为0，位于平衡位置，此时甲向左运动．答案：(1)1∶4 (2)甲振动到12周期，位于平衡位置，此时甲向左运动用单摆测重力加速度1．实验原理：单摆在摆角很小(不超过5°)时，其摆动可以看作简谐运动，其振动周期为T ＝2πl g ，其中l 为摆长，g 为当地重力加速度，由此可得g ＝4π2lT2.据此，只要测出摆长l 和周期T ，就可计算出当地重力加速度g 的数值．2．实验器材：铁架台及铁夹、金属小球(最好上面有一个通过球心的小孔)、秒表、细线(1 m 左右)、刻度尺(最小刻度为mm)、游标卡尺． 3．实验步骤(1)让细线穿过球上的小孔，在细线的一端打一个稍大一些的线结，制成一个单摆． (2)将小铁夹固定在铁架台上端，铁架台放在实验桌边，使铁夹伸出桌面之外，然后把单摆上端固定在铁夹上，使摆球自由下垂．(3)用刻度尺和游标卡尺测量单摆的摆长(摆线静止时从悬点到球心间的距离)．(4)把此单摆从平衡位置拉开一个角度，并使这个角不大于5°，再释放小球，当摆球摆动稳定以后，过最低位置时，用秒表开始计时，测量单摆全振动30次(或50次)的时间，求出一次全振动的时间，即单摆的振动周期．(5)改变摆长，反复测量三次，将算出对应的周期T 及测得的摆长l 代入公式g ＝4π2lT 2，然后求g 的平均值． 4．数据处理(1)平均值法：每改变一次摆长，将相应的l 和T 代入公式g ＝4π2lT 2中求出g 值，最后求出g 的平均值．设计如表所示实验表格实验 次数摆长 l (m) 周期 T (s) 加速度 g (m/s 2) g 的平均值1 g ＝g 1＋g 2＋g 332 3(2)图象法：由T ＝2πl g 得T 2＝4π2gl 作出T 2－l 图象，即以T 2为纵轴，以l 为横轴．其斜率k ＝4π2g，由图象的斜率即可求出重力加速度g .(1)实验时，摆线长度要远大于摆球直径，且摆线无明显伸缩性，另外摆球要选取密度大且质量分布均匀的钢球． (2)单摆摆球应在竖直平面内摆动，且摆角应小于5°.(3)测摆长l 时，应为悬点到球重心的距离，球质量分布均匀时等于摆线长加上小球半径． (4)应从摆球经过平衡位置时开始计时，以摆球从同一方向通过平衡位置时计数． (5)适当增加全振动的测量次数，以减小测量周期的误差，一般30～50次即可．在做“用单摆测定重力加速度”的实验时，用摆长l 和周期T 计算重力加速度的公式是g ＝________．若已知摆球直径为2.00 cm ，让刻度尺的零点对准摆线的悬点，摆线竖直下垂，如图所示，则单摆摆长是________ m ．若测定了40次全振动的时间为75.2 s ，单摆摆动周期是________． 为了提高测量精度，需多次改变l 值，并测得相应的T 值．现将测得的六组数据标示在以l 为横坐标，以T 2为纵坐标的坐标系上，即图中用“·”表示的点，则：(1)单摆做简谐运动应满足的条件是_____________________________________________． (2)试根据图中给出的数据点作出T 2和l 的关系图线，根据图线可求出g ＝________m/s 2.(结果取两位有效数字)[解题探究] (1)怎样确定摆长？摆长等于摆线的长度吗？ (2)用图象法处理实验数据时应注意哪些问题？ [解析] 由T ＝2πl g ，可知g ＝4π2lT2.由图可知：摆长l ＝(88.50－1.00) cm ＝87.50 cm ＝0.875 0 m ．T ＝t40＝1.88 s. (1)单摆做简谐运动的条件是摆角小于5°.(2)把在一条直线上的点连在一起，误差较大的点平均分布在直线的两侧，则直线斜率k ＝ΔT 2Δl .由g ＝4π2Δl ΔT 2＝4π2k ，可得g ＝9.8 m/s 2(9.9 m/s 2也正确)． [答案] 见解析图象法求重力加速度(1)图象法处理数据既直观又方便，同时也能最大限度地减小偶然误差对实验结果造成的影响．(2)由于l －T 的图象不是直线，不便于进行数据处理，所以采用l －T 2的图象，目的是将曲线转换为直线，便于利用直线的斜率计算重力加速度.3.某实验小组在利用单摆测定当地重力加速度的实验中：(1)用游标卡尺测定摆球的直径，测量结果如图所示，则该摆球的直径为________cm.(2)小组成员在实验过程中有如下说法，其中正确的是________(填选项前的字母)． A ．把单摆从平衡位置拉开30°的摆角，并在释放摆球的同时开始计时B ．测量摆球通过最低点100次的时间t ，则单摆周期为t100C ．用悬线的长度加摆球的直径作为摆长，代入单摆周期公式计算得到的重力加速度值偏大D ．选择密度较小的摆球，测得的重力加速度值误差较小解析：(1)游标卡尺读数＝主尺读数＋游标尺读数＝0.9 cm ＋7×0.01 cm ＝0.97 cm.(2)要使摆球做简谐运动，摆角应小于5°，应选择密度较大的摆球，阻力的影响较小，测得重力加速度的误差较小，A 、D 错；摆球通过最低点100次，完成50次全振动，周期是t50，B错；摆长应是l ＋D2，若用悬线的长度加直径，则测出的重力加速度值偏大，C 对．答案：(1)0.97 (2)C思想方法——等效法处理单摆问题1．等效摆长图(a)中甲、乙在垂直纸面方向摆起来效果是相同的，所以甲摆的摆长为l ·sin α，这就是等效摆长，其周期T ＝2πl sin αg. 图(b)中，乙在垂直纸面方向摆动时，与甲摆等效；乙在纸面内小角度摆动时，与丙等效．2．等效重力加速度(1)若单摆在光滑斜面上摆动，如图：则等效重力加速度g ′＝g ·sin α，其周期为T ＝2πLg sin α.(2)若单摆系统处在非平衡状态(如加速、减速、完全失重状态)，则一般情况下，g 值等于摆球相对静止在自己的平衡位置时摆线所受的张力与摆球质量的比值．例如：图(c)场景中的等效重力加速度g ′＝g sin α，球相对静止在O 时，F T ＝mg sin α，等效加速度g ′＝F Tm ＝g sin α.3．模型的等效：如图所示，光滑的半球壳半径为R ，O 点为最低点，小球在O 点附近的来回运动等效于单摆的简谐运动．球壳对球的支持力与摆线的拉力等效，其等效摆长为半球壳的半径R ，故其周期公式为：T ＝2πRg. 一个单摆挂在电梯内，发现单摆的周期增大为原来的2倍，可见电梯在做加速运动，加速度a ( )A ．方向向上，大小为g2B ．方向向上，大小为3g4C ．方向向下，大小为g4D ．方向向下，大小为3g4[解析] 电梯静止时，单摆周期为T 1＝2πl g①摆长未变，而周期变化，说明电梯做加速度不为零的运动，若在这段时间内，周期稳定，则做匀变速直线运动，此时电梯中的单摆周期为T 2＝2π l g ′② 而由题意T 2＝2T 1③由①②③式可解得g ′＝g4.即等效重力加速度为g4.假设摆球在平衡位置相对电梯静止时，摆线对小球的拉力为F ＝mg4.由牛顿第二定律得：mg －14mg ＝maa ＝34g ，方向竖直向下． 故只有D 正确． [答案] D如图所示，MN 为半径较大的光滑圆弧的一部分，把小球A 放在MN 的圆心处，再把另一个小球B 放在MN 上离最低点C 很近的B 处，今使两小球同时释放，则( ) A ．球A 先到达C 点 B ．球B 先到达C 点 C ．两球同时到达C 点D ．无法确定哪个球先到达C 点解析：选A.球A 做自由落体运动，到达C 点的时间为T A ＝2h g ＝ 2R g. 当BC 所对的圆心角小于5°时，球B 在圆弧的支持力F N 和重力G 的作用下做简谐运动(与单摆类似)，它的振动周期为T ＝2πlg＝2πR g. 球B 离最低点C 很近，因此球B 运动到C 点所需的时间是T B ＝T 4＝π2Rg，故 T A <T B ，显然球A 先到达C 点．[随堂检测]1．将秒摆(周期为2 s)的周期变为4 s ，下面哪些措施是正确的( ) A ．只将摆球质量变为原来的14B ．只将振幅变为原来的2倍C ．只将摆长变为原来的4倍D ．只将摆长变为原来的16倍 解析：选C.由T ＝2πlg可知，单摆的周期与摆球的质量和振幅均无关，A 、B 均错误；对秒摆，T 0＝2πl 0g＝2 s ，对周期为4 s 的单摆，T ＝2πlg＝4 s ，l ＝4l 0，故C 正确，D 错误． 2．在用单摆测定重力加速度时，某同学用同一套实验装置，用同样的步骤进行实验，但所测得的重力加速度总是偏大，其原因可能是( ) A ．测量摆长时没有把小球半径算进去 B ．摆球的质量测得不准确 C ．摆角小，使周期变小D ．应当测振动30次的时间求其周期，结果把29次当作30次计算周期 解析：选D.由单摆周期公式T ＝2πl g 可知，重力加速度：g ＝4π2lT2.单摆的摆长应等于摆线的长度加上摆球的半径，如测量摆长时没有把小球半径算进去，摆长测量值l 偏小，由g ＝4π2lT 2可知，重力加速度的测量值偏小，故A 错误；由g ＝4π2lT 2可知，重力加速度与摆球质量无关，摆球质量测量不准不影响重力加速度的测量值，故B 错误；单摆的周期与偏角无关，偏角对测量g 没有影响，故C 错误；应当测振动30次的时间求其周期，结果把29次当作30次计算周期时，算出的周期T 偏小，由g ＝4π2lT2可知，重力加速度的测量值偏大，故D 正确．3.将一个摆长为l 的单摆放在一个光滑的、倾角为α的斜面上，其摆角为θ，如图所示，下列说法正确的是( )A ．摆球做简谐运动的回复力为F ＝mg sin θsin αB ．摆球做简谐运动的回复力为F ＝mg sin θC ．摆球做简谐运动的周期为2πlg sin θD ．摆球在运动过程中，经过平衡位置时，线的拉力为F ′＝mg sin α解析：选A.摆球做简谐运动的回复力由重力沿斜面的下滑分力沿圆弧的切向分力来提供，则回复力为F ＝mg ·sin θsin α，故选项A 正确，B 错误；摆球做简谐运动的等效重力加速度为g sin α，所以其周期为T ＝2πlg sin α，故选项C 错误；设摆球在平衡位置时速度为v ，由动能定理得mg sin α(l －l cos θ)＝12mv 2，由牛顿第二定律得F ′－mg sin α＝m v 2l ，由以上两式可得线的拉力为F ′＝3mg ·sin α－2mg sin αcos θ，故选项D 错误．4．有一单摆，当它的摆长增加2 m 时，周期变为原来的2倍．求它原来的周期是多少？(g ＝10 m/s 2)解析：设该单摆原来的摆长为l 0，振动周期为T 0；则摆长增加2 m 后，摆长变为l ＝(l 0＋2) m ，周期变为T ＝2T 0.由单摆周期公式，有T 0＝2πl 0g2T 0＝2πl 0＋2g联立上述两式，可得l 0＝23 mT 0＝1.64 s. 答案：1.64 s[课时作业]一、单项选择题1．当摆角很小时(小于5°)，单摆的振动是简谐运动，此时单摆振动的回复力是( ) A ．摆球重力与摆线拉力的合力 B ．摆线拉力沿圆弧切线方向的分力C ．摆球重力、摆线拉力及摆球所受向心力的合力D ．摆球重力沿圆弧切线方向的分力解析：选D.单摆做简谐运动的回复力由重力沿切线方向的分力提供，D 正确． 2．把在北京调准的摆钟，由北京移到赤道上时，摆钟的振动( )A ．变慢了，要使它恢复准确，应增加摆长B ．变慢了，要使它恢复准确，应缩短摆长C ．变快了，要使它恢复准确，应增加摆长D ．变快了，要使它恢复准确，应缩短摆长解析：选B.把标准摆钟从北京移到赤道上，重力加速度g 变小，则周期T ＝2πlg >T 0，摆钟显示的时间小于实际时间，因此变慢了．要使它恢复准确，应缩短摆长，B 正确． 3．用单摆测定重力加速度，依据的原理是( ) A ．由g ＝4π2lT 2 看出，T 一定时，g 与l 成正比B ．由g ＝4π2lT2 看出，l 一定时，g 与T 2成反比C ．由于单摆的振动周期T 和摆长l 可用实验测定，利用g ＝4π2lT 2 可算出当地的重力加速度D ．同一地区单摆的周期不变，不同地区的重力加速度与周期的平方成反比解析：选C.同一地区的重力加速度g 为定值．利用该实验测重力加速度最主要的是要测准摆长(从悬点到球心的距离)和周期．4.如图所示，一摆长为l 的单摆，在悬点的正下方的P 处有一钉子，P 与悬点相距l －l ′，则这个摆做小幅度摆动时的周期为( ) A ．2πlg B ．2πl ′g C ．π⎝⎛⎭⎫l g＋l ′g D ．2πl ＋l ′2g解析：选C.摆线碰到钉子前，周期T 1＝2πlg，碰到钉子后，周期为T 2＝2πl ′g ，所以摆的周期T ＝12T 1＋12T 2＝π⎝⎛⎭⎫lg＋l ′g ，C 对． 5．如图所示的几个相同单摆在不同条件下，关于它们的周期关系，其中判断正确的是( )A ．T 1>T 2>T 3>T 4B ．T 1<T 2＝T 3<T 4C ．T 1>T 2＝T 3>T 4D ．T 1<T 2<T 3<T 4解析：选C.图甲中，当摆球偏离平衡位置时，重力沿斜面的分力(mg sin θ)等效为重力，即单摆等效的重力加速度g 1＝g sin θ；图乙中两个带电小球的斥力总与运动方向垂直，不影响回复力；图丙为标准单摆；图丁摆球处于超重状态，等效重力增大，故等效重力加速度增大，g 4＝g ＋a .由单摆振动的周期公式T ＝2πlg，故T 1>T 2＝T 3>T 4，选项C 正确．6．在科学研究中，科学家常将未知现象同已知现象进行比较，找出其共同点，进一步推测未知现象的特性和规律．法国物理学家库仑在研究异种电荷的吸引力问题时，曾将扭秤的振动周期与电荷间距离的关系类比单摆的振动周期与摆球到地心距离的关系．已知单摆摆长为l ，引力常量为G ，地球质量为M ，摆球到地心的距离为r ，则单摆振动周期T 与距离r 的关系式为( ) A ．T ＝2πr GMlB ．T ＝2πr l GMC ．T ＝2πrGMlD ．T ＝2πlr GM解析：选B.考虑单摆的周期公式与万有引力定律．根据单摆周期公式T ＝2πlg和GM ＝gr 2可得T ＝2πlGM r 2＝2πr lGM，故选项B 正确． 二、多项选择题7．在下列情况下，能使单摆周期变大的是( ) A ．将摆球质量减半，而摆长不变 B ．将单摆由地面移到高山 C ．将单摆从赤道移到两极D ．保持摆线长度不变，换一较大半径的摆球 解析：选BD.根据单摆周期公式T ＝2πlg知，影响单摆周期的因素为摆长l 和重力加速度g .当摆球质量减半时摆长未变，周期不变；当将单摆由地面移到高山时g 值变小，T 变大；当将单摆从赤道移到两极时g 值变大，T 变小；当摆线长度不变，摆球半径增大时，摆长l 增大，T 变大．8.如图所示，用绝缘细线悬吊着带正电的小球在匀强磁场中做简谐运动，则( )A．当小球每次通过平衡位置时，动能相同B．当小球每次通过平衡位置时，速度大小相同C．当小球每次通过平衡位置时，丝线拉力相同D．撤去磁场后，小球摆动周期变大解析：选AB.洛伦兹力总是与速度方向垂直，因此不参与提供回复力，所以对周期及动能无影响，A、B正确，D错误；小球每次通过平衡位置时，洛伦兹力大小不变，而其方向由速度和磁场方向共同决定，所以丝线拉力不总是相同，C错误．9．如图为甲、乙两单摆的振动图象，则()A．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝2∶1B．若甲、乙两单摆在同一地点摆动，则甲、乙两单摆的摆长之比l甲∶l乙＝4∶1C．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝4∶1D．若甲、乙两摆摆长相同，且在不同的星球上摆动，则甲、乙两摆所在星球的重力加速度之比g甲∶g乙＝1∶4解析：选BD.由题中图象可知T甲∶T乙＝2∶1，若两单摆在同一地点，则两摆摆长之比l甲∶l乙＝4∶1，若两摆摆长相等，则所在星球的重力加速度之比为g甲∶g乙＝1∶4.10．如图所示为同一地点的两单摆甲、乙的振动图象，下列说法中正确的是()A．甲、乙两单摆的摆长相等B．甲单摆的振幅比乙的大C．甲单摆的机械能比乙的大D．在t＝0.5 s时有正向最大加速度的是乙单摆解析：选ABD.振幅可从题图上看出，甲单摆振幅大，两单摆周期相等，则摆长相等，因两摆球质量关系不明确，故无法比较机械能．t＝0.5 s时乙单摆摆球在负的最大位移处，故有正向最大加速度．三、非选择题11.用单摆测定重力加速度的实验装置如图所示．(1)组装单摆时，应在下列器材中选用________(选填选项前的字母)．A．长度为1 m左右的细线B．长度为30 cm左右的细线C．直径为1.8 cm的塑料球D．直径为1.8 cm的铁球(2)测出悬点O到小球球心的距离(摆长)L及单摆完成n次全振动所用的时间t，则重力加速度g＝________(用L、n、t表示)．(3)下表是某同学记录的3组实验数据，并做了部分计算处理．组次12 3摆长L/cm80.0090.00100.0050次全振动时间t/s90.095.5100.5振动周期T/s 1.80 1.91重力加速度g/(m·s－2)9.749.73请计算出第3组实验中的T＝______s，g＝______m/s2.(4)用多组实验数据作出T2－L图象，也可以求出重力加速度g.已知三位同学作出的T2－L图线的示意图如图中的a、b、c所示，其中a和b平行，b和c都过原点，图线b对应的g值最接近当地重力加速度的值．则相对于图线b，下列分析正确的是________(选填选项前的字母)．A．出现图线a的原因可能是误将悬点到小球下端的距离记为摆长LB．出现图线c的原因可能是误将49次全振动记为50次C．图线c对应的g值小于图线b对应的g值。
高中物理 11.4单摆详解
高中物理 | 11.4单摆详解一根不可伸长的细线下面悬挂一个小球就构成了单摆。
悬点到球心的距离叫做摆长。
单摆是一种理想化模型。
单摆的振动可看作简谐运动的条件是:最大摆角α<5°。
理想化的条件1. 单摆的摆长L远大于小球的直径d。
2. 细线一端栓一个小球，另一端固定在悬点。
3. 单摆摆球质量M远大于摆线质量m。
4. 小球可视为质点。
5. 摆线柔软且伸长量很小。
单摆的性质1 单摆受到重力和拉力。
2 单摆静止不动时，摆球所受重力和拉力平衡。
3 单摆被拉离平衡位置释放时，摆球所受重力和选线的拉力不在平衡。
4重力沿运动方向的分力是摆球机械振动的回复力。
悬线拉力与重力沿摆线方向的分力的合力提供小球做圆周运动的向心力。
单摆的振动图像单摆的周期摆角θ很小时，单摆做的是简谐运动，单摆的周期与神秘因素有关呢?实验法：控制变量法摆球质量相同，振幅相同，观察周期T与摆长L的关系摆球质量相同，摆长L相同，观察周期T与振幅的关系摆长L相同，振幅相同，观察周期T与摆球质量的关系实验结论在同一个地方，单摆周期T与摆球质量和摆动的幅度无关，仅与摆长l有关系，且摆长越长，周期越大。
实验表明单摆周期还与单摆所在处的重力加速度有关。
g越小T越大。
单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅，摆球的质量无关。
单摆的周期公式：小结1. 单摆：理想化的物理模型，在细线的一端栓上一个小球，另一端固定在悬点上，如果先的伸缩和质量可以忽略不计，摆线长比小球直径大的多，这样的装置叫单摆。
2. 单摆做简谐的条件：在摆角很小的情况小（θ＜10°），单摆所受回复力跟位移成正比且方向相反，单摆做简谐运动。
3. 单摆的周期公式：单摆做简谐运动的周期跟摆长的平方根成正比，跟重力加速度的平方根成反比，跟振幅，摆球的质量无关。
单摆的周期公式：习题演练1. 如图所示为同一地点的两单摆甲，乙的振动图像，下列说法正确的是（）A 甲乙两单摆的摆长相等B 甲单摆的振幅比乙的大C 甲单摆的机械能比乙的大D 在t=0.05s时有正向最大加速度的是甲单摆2. 为了使单摆做简谐运动的周期变长，可以使（）A 单摆的振幅适当增大B 单摆的摆长适当加长C 单摆从山下移到山上D 单摆从北京移到南极1. AB从如中可得两者的周期相同，为2s，而且在同一地点，所以A对；甲振幅10cm，乙振幅为7cm；由于摆球的质量位置，机械能无法判断；在t=0.5s 时，乙处于负向最大位移处，由于加速度方向和位移方向相反，所以此时有最大正向加速度。
单摆
知识回顾
什么是简谐运动？其回复力特点？如何证 明一个运动是否是简谐运动？
物体做机械振动，受到的回复力大小与位移 大小成正比，方向与位移方向相反。
F kx
一、单摆概念
1、组成：细线和小球 2、 理想化模型 （1）细线的质量与小球的质量相比可以
忽略； （2）球的直径与细线长度相比可以忽略； （3） 忽略细线的伸缩； （4）忽略空气阻力 。
θl
X
P
O
在偏角很小的情况下，单摆做简谐运动。
三、单摆做简谐运动周期
简谐运动周期公式
T 2 m
k
对于弹簧振子：
k为弹簧的劲度系数， m为小球的质量
对于单摆：
k=mg/l ，m为摆球的质量
单摆的周期公式： T 2 l
g
摆长l为摆动圆弧的圆心 到球心的距离
四、单摆周期公式的应用
1、计时器 1656年惠更斯首先将摆引入时钟成为摆钟。
解：此单摆的周期： 重力加速度的影响因素
T 120s 1s 120
1、跟纬度有关 g赤<g极地
由单摆周期公式：
T 2 l
g
2、跟高度有关 h越高，g越小
g
4 2l
T2
4 3.142 0.248 12
9.79（m s2）
二、单摆的受力
摆球在最低点受力分析
v2 Fn=F-mg= m l
l
F
当小球静止时，有mg=F ， 此位置叫平衡位置
v
G
摆球在最高点受力分析
按重力的作用效果分解G
使绳拉紧
G2=F
使小球回到平衡位置 G1 = mgsinθ
θ
高中物理单摆知识点总结
高中物理单摆知识点总结高中物理单摆是一种简单的振动系统，由一个质点和一个不可伸长的轻细线组成。
常见的单摆有简单单摆和复式单摆。
简单单摆的运动规律可以通过重力作用下的谐振运动来描述。
其知识点总结如下：1. 单摆的周期：简单单摆的周期T与摆长L和重力加速度g有关，T=2π√(L/g)。
2. 单摆的频率：频率f是周期的倒数，f=1/T。
3. 单摆的角频率：角频率ω是频率的2π倍，ω=2πf。
4. 单摆的振幅：振幅是单摆摆动时，离开平衡位置的最大角度。
5. 单摆的回复力：单摆摆动时，线的张力产生一个与摆线垂直向心力，称为回复力，使得摆回到平衡位置。
6. 单摆的简谐振动条件：单摆的摆动范围小，满足小角度近似时，单摆的运动是简谐振动。
7. 单摆的能量转化：单摆在摆动过程中，势能和动能之间不断转化，总能量守恒。
8. 大摆角单摆的周期：当摆角较大时，单摆的周期会有所变化，可以用第一类椭圆积分或级数展开来计算。
复式单摆由多个简单单摆组成，每个简单单摆都通过一个共同的固定点连接起来。
复式单摆的知识点总结如下：1. 复式单摆的周期：复式单摆的周期与每个摆的摆长和重力加速度有关。
2. 复式单摆的运动规律：每个摆都按照简单单摆的运动规律进行振动，但是由于相互之间的干扰，振动周期会有所变化。
3. 复式单摆的共振现象：当某个摆的频率与其他摆的频率接近时，会出现共振现象，振动幅度增大。
4. 复式单摆的能量转化：复式单摆的每个摆都有势能和动能之间的能量转化，总能量守恒。
以上是高中物理单摆的主要知识点总结。
单摆是物理中的经典振动系统，掌握这些知识点可以帮助理解振动现象和解决相关问题。
单摆知识
单摆知识
1、单摆的条件
(1)摆线质量不计，摆线不可伸长。
(2)摆球直径甚小于摆线长度。
2、单摆的回复力
单摆在振动过程中，受到两个力作用：重力mg、摆线的张力T。
在这两个力的合力作用下，使单摆的速度大小和方向不断变化，并沿着一条曲线运动。
把重力mg分解成两个力F=mgsinα，F′=mgcosα。
如图5-11所示。
其中T与F′的合力方向与速度方向垂直，不改变速度的大小，仅改变速度的方向。
另一个分力F才是使单摆振动的回复力。
可见，单摆振动中的回复力只是重力沿圆弧切线方向的一个分力，显然，单摆的回复力不是它所受到的合外力、在小振幅的条件下(α＜
因此，在小振幅条件下，单摆的回复力与摆球对平衡位置的位移大小成正比。
3、周期公式
式中l是悬点至摆球重心间的距离，并非只是摆线的长度，g是当地的重力加速度。
由周期公式可知，在小振幅条件下，单摆的振动周期跟振幅、摆球质量等都无关。
4、周期的变化
根据单摆的周期公式可知，影响单摆的振动周期有两个因素：
(1)摆长l——摆球重心位置发生变化、悬点位置不固定或温度变化时使金属摆线的长度发生变化等，都会使摆长变化，从而使得单摆的振动周期发生变化。
(2)重力加速度g——在地球上不同纬度的地方，或同一纬度的不同高处，或把单摆放在其他天体上(如月球上)等情况时，由于g值的变化，都会使单摆的
周期发生变化。
什么是单摆
在伽利略发现了单摆的等时性后，另 一个叫惠更斯的荷兰科学家又做了进一步 的研究，确定了单摆振动的周期与摆长的 平方根成正比的关系：
T L
惠更斯于1656年发明了世界上第一个 用摆的摆动来计时的时钟。
摆钟
三、单摆振动性质的探究
单摆振动是简谐运动吗？ 如何验证？ 简谐运动的回复力特征: 回复力的大小与位移的大小成正比，回 复力的方向与位移的方向相反，F= -kx 从单摆的受力特征判断
l T 2 g sin
θ
例5、如图所示，求在以加速度a匀加速上 升的升降机内单摆的周期（摆长为l）。
l T 2 ga
a
a 例6、如图所示，若单摆处于沿水平方向 作匀加速直线运动的系统内，单摆的摆 长为l，系统水平向右的加速度为a，摆球 的质量为m，求这一单摆的周期。 l T 2 2 2 a g 例7、如图所示，长为l 的绝缘细线下端 系一带电量为+q、质量为m的小球，整 个装置处于场强为E方向竖直向下的匀 E 0时，求它的摆 强电场中，在摆角小于10 动周期。 l l 若其他条件不变，只 T 2 T 2 是将电场变为水平方 Eq 2 Eq 2 g ( ) g 向，则周期多大？ m
材料鉴赏： 1862年，18岁的伽利略离开神学
院进入比萨大学学习医学，他的心中充满着奇 妙的幻想和对自然科学的无穷疑问，一次他在 比萨大学忘掉了向上帝祈祷，双眼注视着天花 板上悬垂下来摇摆不定的挂灯，右手按着左手 的脉搏，口中默默地数着数字，在一般人熟视 无睹的现象中，他却第一个明白了挂灯每摆动 一次的时间是相等的，这就是单摆摆动的等时 性规律。后来他利用这个原理制成了一个“脉 动器”，又叫“脉搏计”，使其摆动的快慢跟 正常人脉搏跳动的快慢相一致，从而帮助判断 病人患病的情况，这就是“摆”的最初应用。
单摆实验原理
单摆实验原理引言：单摆实验是物理学实验中非常常见的实验之一，它通过观察和测量单摆的运动，探究和验证物理学中的一些基本原理。
本文将介绍单摆实验的原理及相关的概念，以及在实验中如何进行观测和测量。
一、单摆的定义在物理学中，单摆通常由一根轻质线和一个质量较小的物体组成。
这个物体被固定在线的一端，并允许在重力下摆动。
由于重力的作用，物体将沿着一条弧线进行周期性摆动。
而单摆实验则是通过研究这种摆动来研究物体的运动规律。
二、单摆的运动规律1. 单摆的周期单摆的周期是指物体从一个极点（最大摆幅位置）摆到另一个极点所需的时间。
对于小振幅的单摆，其周期可以通过以下公式计算：T=2π√(L/g)其中，T为周期，L为摆长，g为重力加速度。
根据该公式，我们可以推断出摆长越大，周期越长。
2. 单摆的摆幅单摆的摆幅是指物体摆动时，离开平衡位置的最大位移。
对于小摆幅的单摆，其摆幅与力的大小成正比。
简言之，力越大，摆幅越大。
3. 单摆的衰减在实际的单摆实验中，我们会观察到摆动幅度会逐渐减小，最终停下来。
这是由于单摆的摆动会消耗一部分能量，导致摆动逐渐减弱。
摆动消耗能量的原因主要有空气阻力以及线和物体的摩擦。
三、单摆实验的步骤进行单摆实验的步骤如下：1. 准备工作：选取一根轻质线，并在一端固定一个质量较小的物体。
2. 确定摆长：调整摆长，使得单摆的摆动尽量小。
3. 测量周期：测量物体从一个极点到另一个极点所需的时间，以得到单摆的周期。
4. 重复实验：通过多次实验，取平均值，以提高准确性。
5. 记录结果：将实验数据记录下来，包括摆长和周期。
6. 分析数据：使用上述公式，计算出摆长和周期之间的关系，并进一步分析其他因素对摆动的影响。
四、单摆实验的应用单摆实验在物理学研究中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 重力测量：利用单摆实验可以测量地球上某个地方的重力加速度，从而帮助研究地球的重力场。
2. 时间测量：通过测量单摆的周期，可以精确测量时间，特别是在没有其他精确时间测量设备的情况下。
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惠更斯曾经详尽地研究过单摆的运动， 确定了计算单摆的周期公式。
实验原理
当单摆摆动的角度小于5度时，可证明其振
动周期T满足下式： T 2
L g
，则
g
4 T
2L
2
。
若测出周期T、单摆长度L，利用上式可计算出当
地的重力加速度g。
思考与 问答？
1.摆长是指哪 两点间距离？如何 测量？
摆长是指摆球的质心到悬点的长度。用游标卡尺测定摆 球的直径d，再用米尺测量摆线长度l，则摆长L=l+d/2。
实验仪器
单摆，多功能微秒计， 秒表，游标卡尺，米尺， 钢பைடு நூலகம்，量角器，光电门， 摆锤。
仪器介绍
1 单摆
仪器介绍
2 多功能微秒计
仪器介绍
3 光电门
仪器介绍
如何使用多功能微 妙计测量单摆周期
选修3-4 第十一章 第四节
单摆
问题一
同学们见过这样的时钟么？
简谐运动
如果质点的位移与时间的关系遵从正弦函数 的规律，即它的振动图像（x-t图像）是一条正 弦曲线，这样的振动叫做简谐振动。
单摆的概念
如果悬挂小球的细线的伸缩和质 量可以忽略，线长又比球的直径大得 多，这样的装置就叫做单摆。
惠更斯
n = 2T + 1
思考与 问答？
2.为什么测 量单摆周期要测 几十次，而不测 一次？
因为测一次周期的误差大，用累计放大法（累积法）测 量多次周期可减小误差。
仪器介绍
游标卡尺的使用方法
单摆在太空中会如何运动？
实验步骤
用给定摆长测定重力加速度
1 选取适当的摆长，测出摆长； 2 测出连续摆动30次的总时间t； 3 求出重力加速度。
作业
作业一 如何研究单摆周期与摆球质量的关系？ 作业二 如何研究单摆周期与摆长的关系？
实验要求
1 以小组为单位最终形成一个实验报告； 2 每组选择1名代表汇报实验过程及结果； 3 交流实验心得与体会。
实验报告 小组展示
思考与 问答？
3.为什么计 时应以摆球通过 平衡位置开始计 算？
平衡位置的速度最大，可较准确的确定计时起始点，减 少误差。
单摆的应用
测量当地的重力加速度；
计时器 -- 利用单摆的周期只与当地的 重加速度和摆长有关，通过 改变摆长来达到想要的周期。