第四章数组和稀疏矩阵

Loc(a[i])=Loc(a[0])+i*L（ i=0,1,2,…,n-1）
19
4.1 数组
二维数组元素的地址
对于二维数组a[m][n]，我们可以理解为a是一维数组，它有 m个元素，行0，行1，…，行m-1，而每一行又由n个元素组成。 若α是数组a的基地址，也就是其元素a[0][0]的地址。则第1 行的第1个元素的地址为α+1n，第2行的第1个元素的地址为α +2n。因为在第i行的第一个元素之前，有i行，每行有n个元 素，所以第i行的第一个元素a[i][0]的地址是α+i n，那么a[i][j] 的地址就是α+i n+j。 因此二维数组中元素a[i][j]的地址为： α+ i n + j
基本算法
设计训练 (13-16周)
编程训练
(6-9周)
设计训练
(3-5周)
新疆大学精品课程——数据结构
第一章 绪论 第三章 栈和队列
第二章 线性表
第四章 矩阵
10
新疆大学精品课程——数据结构
1
理解数组中元素在内存中的表示
2
理解数组元素寻址公式含义
第四章 教学 目标
3
掌握特殊矩阵压缩存储方法 掌握稀疏矩阵压缩存储方法及其 转置和相乘运算的实现
20
4.1 数组
二维数组元素的地址
如果基地址用Loc(a[0][0])表示，每个元素占k个存储单元， 则行优先顺序有
loc(a[i][j])=loc(a[0][0])+(i*n+j)*k (0i<m; 0j<n) 则列优先顺序有： loc(a[i][j])=loc(a[0][0])+(j*m+i)*k
a00 a01 a10 a11 a12 a21 a22 a23 …… an-1,0 …… an-1,n-1
k 0 1 2 3 4
a10 a11 a12 0 …………… 0
a21 a22 a23 0 ……… 0
……………………………
0 0 0 … an-2,n-3 an-2,n-2 0… … an-1,n-2 an-2,n-1 an-1n-1
检索
新疆大学精品课程——数据结构教学安排
第八章 排序
第七章 检索 第五章 树和二叉树 8学时 6学时
6学时
第六章 图
10学时
第四章 矩阵 第三章 栈和队列 4学时
4学时
第一章 绪论
4学时
第二章 线性表
6学时
新疆大学精品课程——数据结构实验安排
C程序
矩阵存储 排序检索 图的基本 算法程序 设计训练 (10-12周) 二叉树 线性结 构程序 基本编 程训练 (1-2周)
n(n+1)/2-1 n(n+1)/2
29
4.2 稀疏矩阵
三对角矩阵
如果矩阵中的所有的非零元素都集中在以主对角线为中心
的带状区域则称为对角矩阵，即除了主对角线和主对角线相邻 两侧的若干条对角线上的元素之外，其余元素皆为零。如常见 的三对角矩阵。
30
4.2 稀疏矩阵
三对角矩阵 a00 a01 0 0 …………… 0
2
新疆大学精品课程——数据结构教学目标
提 高 问 题 分 析 能 力 提 高 程 序 调 试 能 力 提 高 程 序 书 写 能 力
训 练 编 程 能 力
3 3
新疆大学精品课程——数据结构参考书
新疆大学精品课程——数据结构学习方法
经典算法将会 成为你今后程 序设计的基石！ 正确理解基本概念 是学习知识的基础
21
4.1 数组
三维数组元素的地址
对于三维数组a[m][n][ p]，可以看成m个大小为np的二 维数组，由a[i][0][0]的地址及二维数组的寻址公式，可求得到 三维数组元素a[i][j][k]寻址公式为： α + i n p + j p + k
22
4.1 数组
数组的特点 对同一数组的任何一个元素，由下标求存储地址的 运算时间是一样的，也就是说对任何一个数组元素的 访问过程是平等的，这是随机存取结构一个优点。 为了在内存中给数组开辟足够的存储单元，数组的 维数和大小必须事先给出。
a00 a10 a11 …
,,,,,
k 0 1 2 3 4
……
an-1,0 …… an-1,n-1
n(n+1)/2-1
27
4.2 稀疏矩阵
三角矩阵
以主对角线划分，三角矩阵有上三角和下三角两种。
上三角矩阵是它的下三角（不包括主对角线）中的元素均为 常数或零。下三角矩阵正好相反，它的主对角线上方均为常数 或零。三角矩阵中的重复元素c可共享一个存储空间，其余的元 素正好有n(n+1)/2个，因此，三角矩阵可压缩存储到一维数组sa [n(n+1)/2+1]中。其中c存放在向量的最后一个分量中。
3n-3
31
4.2 稀疏矩阵
稀疏矩阵
设矩阵A[m][n]中有s个非零元素，若s远远小于矩阵元素的
总数(即s<<m×n)，则称A为稀疏矩阵。
稀疏矩阵的三元组表表示
在存储稀疏矩阵时，为了节省存储单元，很自然地想到 使用压缩存储方法。但由于非零元素的分布一般是没有规律
的，因此在存储非零元素的同时，还必须同时记下它所在的
注重经典 算法学习
理解基 本概念
加强程序 设计训练
新疆大学精品课程——数据结构教学内容
第一章 绪论 第三章 栈和队列
第二章 线性表 第四章 矩阵
6 6
新疆大学精品课程——数据结构教学重点
算法分 析思想 线性 结构 数据结构 教学重点 树与 二叉树 图 排序
理解数据、逻辑结构、存 理解检索、检索表、平 理解线性结构特点 掌握图的基本概念 理解树与二叉树的概念 理解排序、排序稳定性 储结构等概念 均检索长度等概念 等概念
0
0 0 2 0
3
0 0 0 0
0
0 0 0 0
0
0 0 0 0 33
4.2 稀疏矩阵
稀疏矩阵举例
0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 9 1 0 6 0 0 0 2 0 9 0 0 0 3 2 0 3 0 0 4 0 0 0 0 0 5 8 0 0 0 0
5 6
0 0
0 0
2 0
0 0
0 0
0 0
性序列为：
a00,a10,…,am-1,0,a01,a11,…am-1,1,……,am-1,1, …,an-1,m-1
16
4.1 数组
行优先顺序
一个m行n列的二维数组如下所示： a00 a10 … a01 a11 … … … … a0,n-1 a1,n-1 … am-1,n-1
a00
a01
…… a0,n-1 a10 a11 …… a1,n-1
a00 a01
… ….. a0n-1
a10 a11 …. ……. a1n-1
………………….
an-10 an2 …
5
7
6
9
3
8
8
4
an-1n-1
26
4.2 稀疏矩阵
对称矩阵
为节约存储空间，只存对角线及对角线以 上的元素，或者只存对角线及对角线以下的 元素。不失一般性，假设以行主序存储下三 角（包括对角线）中的元素。 以一维数组sa[n(n+1)/2]作为n阶对称矩 阵A的存储结构，则sa[k]和矩阵元aij之间 存在着一一对应的关系： i(i+1)/2+j 当i≧j j(j+1)/2+i 当i<j
11
4
第四章 数组与稀疏矩阵
4.1 数组
4.2 稀疏矩阵
12
第四章 数组与稀疏矩阵
4.1 数组
4.2 稀疏矩阵
13
4.1 数组
什么是数组？ 数组是下标index 和值value 组成的偶序对的集合。 (index,value)
一维数组： A = {(0,15),(1,24),(2,33),(3,21)}
行和列的位置(i，j)。一个三元组(i，j，aij)唯一确定了矩阵A 的一个非零元素。因此，稀疏矩阵可由表示非零元素的三元 组及其行列数唯一确定。
32
4.2 稀疏矩阵
稀疏矩阵举例
0 0 1 5 0 1 0 6 2 0 9 3 2 0 4 0 0 5 8 0
2
3 4 5 6
0
0 9 0 0
0
0 0 0 0
23
第四章 数组与稀疏矩阵
4.1 数组
4.2 稀疏矩阵
24
4.2 稀疏矩阵
问题引入
在科学与工程计算问题中，矩阵是一种常用的数学对象，
在高级语言编制Hale Waihona Puke Baidu序时，就是将一个矩阵描述为一个二维数组。
矩阵在这种存储表示之下，可以对其元素进行随机存取，各种 矩阵运算也非常简单。但是在矩阵中非零元素呈某种规律分布 或者矩阵中出现大量的零元素的情况下，实际上占用了许多单 元去存储重复的非零元素或零元素，这对高阶矩阵会造成极大
am-1,0 am-1,1 …
……
a0,n-1 a1,n-1 …… am-1,n-1 18
4.1 数组
一维数组元素的地址
知道数组的维数，数组每个元素的地址我们很容易通过数 组的基地址得到。 对于一维数组a[n]，假定每个元素占一个存储单元，α是 数组的基地址。则元素a[0]的地址是α，那么元素a[1]的地址就 是α+1，元素a[2]的地址应该是α+2。 那么任一元素a[i]在内存中的地址是 α+i 如果基地址用Loc(a[0])表示，每个元素占L个存储单元， 则有
的浪费，为了节省存储空间，我们可以对这类矩阵进行压缩存
储：即为多个相同的非零元素只分配一个存储空间；对零元素 不分配空间。
25
4.2 稀疏矩阵
对称矩阵
若n阶矩阵A中的数据元素满足下述性质aij=aji (0≤i，j≤n-
1)则称A为n阶对称矩阵；因aij与aji相等，二者只需分配一个
存储单元。这样，可将n×n个存储单元压缩到n(n+1)/2个单 元。 1 3 3 2 5 6 7 9
…
…
…
…
am-1,n-1
15
am-1,0 am-1,1 …
4.1 数组
基本概念
通常有两种顺序存储方式：
1. 行优先顺序——将数组元素按行排列，第i+1个行向量紧
接在第i个行向量后面。以二维数组为例，其存储线性序列为： a00,a01,…,a0,n-1,a10,a11,…,a1,n-1,……,am-1,0, …,am-1,n-1 2. 列优先顺序——将数组元素按列向量排列，第j+1个列向 量紧接在第j个列向量之后，二维数组按列优先顺序存储的线
am-1,0 am-1,1 …
……
am-1,0 am-1,1
……
am-1,n-1 17
4.1 数组
列优先顺序
一个m行n列的二维数组如下所示： a00 a10 … a01 a11 … … … … a0,n-1 a1,n-1 … am-1,n-1
a00
a10
…… am-1,0 a01
a11
…… am-1,1
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4.2 稀疏矩阵
三角矩阵
k
a00 c
c …….. ….
c c c
a10 a11 c ……..
a00 a10 a11 … …… an-1,0
0 1 2 3
an-10 an-11 an-13 … an-1n-1
k=
i(i+1)/2+j n(n+1)/2
当 i≧ j 当i<j
……
an-1,n-1 c
14
4.1 数组
基本概念
数组是我们最熟悉的数据类型，在早期的高级语言中，数
组是唯一可供使用的数据类型。由于数组中各元素具有统一的 在内存中，数组元素是连续存储的。数组的第一个
类型，并且数组元素的下标一般具有固定的上界和下界，因此 元素的地址称为基地址，也称为数组的起始地址。 ，数组的处理比其它复杂的结构更为简单。 a00 Am×n= a10 a01 a11 … … a0,n-1 a1,n-1
2 3 4 5 6 0 0 9 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 0 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 2 3 0 0 3 5 2 8
34
4.2 稀疏矩阵
稀疏矩阵的三元组表
稀疏矩阵 M就可存储在三元组表 a[t+1][3]中。其中t=8是 0 1 2 3 4 5
行 列 值
稀疏矩阵中非零元素的个数，三元组表中 0 7a[0][0]、 6a[0][1]和 8 0 5 0 0 2 0 8 1 0 0 5 a[0][2] 1 0 分别表示稀疏矩阵的行数、列数和非零元素个数。 6 9 0 0 0
新疆大学精品课程
新疆大学信息科学与工程学院
新疆大学精品课程 ——数据结构教材 新疆大学精品课程
主 副 主 数据结构 编 张振宇 编 刘淑娴 崔青
出版时间 2009年9月
适用对象 本科学生 使用范围 全国发行 主讲教师：张振宇 刘淑娴 崔青 教材特色 深入浅出 课件制作：刘淑娴 崔青 张振宇 郑炅 刘金莲 通俗易懂
熟悉图的应用算法，特别 重点掌握二叉树的遍历、 重点掌握栈、队列的实 掌握算法概念及算法设 重点掌握各类排序方法 重点掌握各类检索方法 是最短路径、最小生成树、 哈夫曼树的应用 现及与程序设计的关系 计的基本要求 关键路径等在后续课程中 应用检索方法解决问题 应用检索方法解决问题 的应用 重点介绍算法分析方法