三角形的外角
三角形的外角的定义和定理
三角形的外角的定义和定理三角形的外角定义和定理三角形是由三条边连接而成的一个平面图形。
在三角形中，我们可以定义和研究三角形的内角和外角。
本文将重点讨论三角形的外角的定义和定理。
首先，让我们先来了解一下三角形的外角的定义。
在任何一个三角形的顶点上，都可以找到一个外角。
对于一个三角形ABC来说，如果我们在顶点A处向外画一条射线，使得射线与边AB和边AC都不重合，则射线与边AB和边AC所围成的角就是顶点A上的外角。
同样的，我们也可以找到顶点B和顶点C上的外角。
三角形的外角总共有3个。
现在，我们将重点介绍三角形外角的定理。
在三角形中，外角和内角之间存在一定的关系。
下面是三角形外角的定理：定理1：三角形的外角之和等于360度。
也就是说，三角形的外角A、B、C的度数之和等于360度。
证明：我们以三角形顶点A为例，来推导外角之和等于360度。
我们将顶点A的外角记为α，顶点B的内角记为β，顶点C的内角记为γ。
根据三角形的性质，可以得出β+γ=180度，可以表示为β=180度-γ。
由定义可知，外角α与内角β之和等于180度，即α+β=180度。
把β的表达式代入上式，得到α+(180度-γ)=180度，整理得α=γ。
同理，我们可以推导出顶点B和顶点C的外角与其对应的内角的关系。
根据上述证明，我们可以知道三角形外角之和是360度，即：α+β+γ=360度。
由此可见，无论是哪个顶点上的外角，其外角之和都等于360度。
定理2：三角形的外角与其对应的内角之间有如下关系：外角等于其对应的内角的补角。
换句话说，顶点的外角加上其对应的内角等于180度。
证明：我们同样以顶点A为例来推导外角与内角的关系。
假设顶点A的外角为α，内角为β。
由定义可知，外角α与内角β之和等于180度，即α+β=180度。
根据三角形的性质，内角β与其对应的外角γ之和等于180度，即β+γ=180度。
我们将α+β的结果代入到β+γ的等式中，得到α+β+γ=180度。
三角形的外角
利用外角和定理求角度
总结词
转化工具，求解角度详细描述 Nhomakorabea三角形的外角和定理是三角形外角的基本性质之一，它指出三角形的外角和等于360°。这个定理可以 用于求解三角形中未知的角度。例如，已知三角形三个内角的度数之和，可以通过减去已知的内角， 再利用外角和定理求出未知的外角的度数。
利用外角平分线定理证明相等
总结词
解题工具，解决问题
详细描述
外角性质可以用于解决一些几何问题，例如求解多边形的内角和、判断多边 形的形状等。例如，可以通过计算一个多边形的所有外角的和，再利用外角 和定理求出多边形的内角的和。
04
例子
求等边三角形的外角
总结词
等边三角形的外角为360°/3=120°
详细描述
等边三角形三边长度相等，每个内角为60°。根据三角形外角的定义，外角等于 不相邻的两个内角的和。因此，等边三角形的外角为180°-60°=120°。
THANK YOU.
三角形外角平分线定理
总结词
一个三角形的一个内角的平分线将对应的 这个内角的外角平分成两个相等的部分。
VS
详细描述
三角形外角平分线定理是三角形外角的一 个重要性质，它指出一个三角形的一个内 角的平分线将对应的这个内角的外角平分 成两个相等的部分。这个定理在解决三角 形的问题时非常有用，因为它可以帮助我 们转化问题，从内角转到外角，从而更容 易地解决问题。
三角形外角的性质
总结词
三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。
详细描述
三角形外角的性质是三角形外角的一个重要性质，它指出三角形的任何一个外角等于和它不相邻的两个内角的 和。这个性质在解决三角形的问题时非常有用，因为它可以帮助我们转化问题，从外角转到内角，从而更容易 地解决问题。
三角形的外角与内角
三角形的外角与内角三角形是几何学中最基本的图形之一。
在三角形中，我们可以通过角度来描述其形状和特性。
其中，外角和内角是我们常常研究和讨论的两个角度。
本文将介绍三角形的外角和内角的概念、性质以及它们之间的关系。
一、三角形的外角1. 外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过延长其中一条边（比如边AB）来得到一个外角。
外角定义为该外角和与之相邻的内角的和。
2. 外角的性质（1）任何一个三角形的外角都小于360度。
这是因为在三角形中，所有的内角的和已经等于180度，如果再加上外角，总和将超过360度，这是不可能的。
（2）三角形的相邻外角互补。
这是因为相邻两个外角加上与之相邻的内角，总和等于180度。
3. 外角与其他角度的关系（1）外角与内角的关系：一个外角等于与之相邻的两个内角的和。
即外角A等于内角B和内角C的和，外角B等于内角A和内角C的和，外角C等于内角A和内角B的和。
（2）外角与对应内角的关系：对于一个三角形的任意一对对应内角和外角来说，它们的度数之和等于180度。
即外角A等于内角C的度数，外角B等于内角A的度数，外角C等于内角B的度数。
二、三角形的内角1. 内角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过三个顶点来确定三个内角，分别为角A、角B、角C。
2. 内角的性质（1）三个内角的和等于180度。
这是因为三个内角加起来就是三角形所有内角的总和，而任何一个三角形的所有内角总和都等于180度。
（2）任意两个内角的和大于第三个内角。
这被称为三角形的内角和定理。
例如，在三角形ABC中，角A + 角B大于角C，角A + 角C 大于角B，角B + 角C大于角A。
三、三角形的外角与内角之间的关系根据前文提到的性质可知，一个三角形的外角与其对应的内角之间存在以下关系：（1）外角等于与之相邻的两个内角的和。
（2）外角与对应内角的度数之和等于180度。
（3）三个内角与三个外角的对应关系：外角等于相应内角的度数。
综上所述，三角形的外角与内角之间有着密切的关系。
三角形的外角课件
30 ° C
程同解法二）
重要发现： ∠BDC= ∠1+ ∠2+ ∠3.
2 B
A 1
D 3 C
当堂练习
1.判断下列命题的对错.
（1）三角形的外角和是指三角形的所有外角的和. （ ）
（2）三角形的外角和等于它的内角和的2倍.
（）
（3）三角形的一个外角等于两个内角的和.
（）
（4）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.（ ）
你还有其他 解法吗？
E A
1
又知∠1&#
所以∠BAE+ ∠CBF+ ∠ACD
=2(∠1+ ∠2+ ∠3)=360 °.
F
3
C
D
方法二：如图，∠BAE+∠1=180 ° ① ，
E
∠CBF +∠2=180 ° ②，
A
∠ACD +∠3=180 ° ③，
1
又知∠1+ ∠2+ ∠3=180 °， ①+ ②+ ③得
答：它的各个内角分别为 50°，50°，80或°80°，80°，20°.
C A 100°
B
C
3.（1）如图，∠BDC是__△__A_D_C__的外角,
A
也是 △ADE 的外角.
D
E
(2)请指出∠BDC, ∠DEA， ∠ECA三者 B
C
的大小关系.
∠BDC> ∠DEA> ∠ECA (3)若∠B=45 °， ∠BAE=36 °,
（5）三角形的一个外角大于任何一个内角.
（）
（6）三角形的一个内角小于任何一个与它不相邻的外角.（ ）
2.下面的推理题把小明难住了.他希望同学们能尽快的帮他解
三角形外角
学思维能力。
对数学应用的拓展
联系实际生活
三角形外角在日常生活中有着广泛的应用， 如建筑设计、道路铺设等，通过了解其应用 ，可以增强数学的应用意识。
拓展解题思路
通过研究三角形外角，可以拓展解题思路， 将复杂问题转化为简单问题，提高数学解题
能力。
对数学研究的展望
深入探究
三角形外角虽然是比较简单的基本概念，但其中蕴含着丰富的数学思想和方法，通过深入 探究，可以领略数学的魅力。
三角形外角
xx年xx月xx日
contents
目录
• 引言 • 三角形外角的性质 • 三角形外角定理 • 三角形外角的进一步讨论 • 利用三角形外角解题的实例 • 研究三角形外角的感悟与思考
01
引言
定义与性质
定义
三角形外角是指三角形外部的角，是三角形中一个内角对应的外角的补角。
性质
三角形外角具有以下性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；三角形的一个外角大 于任何一个与它不相邻的内角；三角形三个外角和为360°。
用于设计
在设计方面，三角形外角定理可以用于设计、 制造各种三角形结构、零件等。
3
用于分析图形
在几何分析中，三角形外角定理可以用于分析 图形、测量角度大小、比较角的大小等。
04
三角形外角的进一步讨论
外角和不等式
外角和大于360°
对于任意三角形，其外角和大于360°，因为三角形的内角和 小于180°，而外角等于另外两个内角的和，所以外角和大于 360°。
重要定理
定理1
三角形内角和定理。三角形内角和等于180°。
定理2
三角形外角定理。三角形任意两个外角的和等于180°。
11.2.2 三角形的外角
11.2.2 三角形的外角
§ R·八年级上册
新课导入
• 如图，把△ABC的一边BC延长，得到∠ACD.像 这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角 是三角形的什么角呢？这就是本节课我们要学习 的内容：三角形的外角.
• 学习目标： 1．能准确地判断一个三角形的外角. 2．能叙述和证明三角形的外角的性质. 3．能利用三角形的外角性质解决实际问题.
1
2 40°
（3）
∠1 = 50° ∠2 = 140°
∠1 = 55° ∠2 = 70°
∠1 = 80° ∠2 = 40°
∠1 = 60° ∠2 = 30°
基础巩固
随堂演练
1.如图，∠1 = __1_1_0_°__.
2.如图，AB∥CD，∠A = 40°，∠D = 45°， 则∠1 = ___8_5_°__.
B
A CD
三角形内角和定理的推论： 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个 内角的和． 推论是由定理直接推出的结论，和定理一 样，推论可以作为进一步推理的依据．
练习1 如图，口答： （1）∠1 = ∠C +∠DAC ； （2）∠2 = ∠3 + ∠4 ．
A
3
B4
12
D
C
练习2 如图，说出图形中∠1 的度数．
推进新课
知识点1 理解三角形的外角的概念
问题1 在△ABC 中，∠A =75°，∠B =40°， ∠C 等于多少度？
A
B
C
问题2 如图，把△ABC 的一边BC 延长，得 到∠ACD．这个角还是三角形的内角吗？
概念：
三角形的一边与另一
A
边的延长线组成的角，叫
三角形外角定理
三角形外角定理三角形外角定理是指一个三角形的外角等于其两个不相邻内角的和。
该定理用于求解三角形内角或外角的关系，为解决三角形相关问题提供了重要的数学工具。
在本文中，我将详细介绍三角形外角定理的概念、证明方法以及应用实例。
一、概念三角形外角即指一个三角形的内角的补角。
为了方便讨论，我们分别用A、B、C表示一个任意三角形的三个内角，而用X、Y、Z表示其对应的外角。
根据三角形内角的性质，我们知道三个内角的和等于180度，即A+B+C=180度。
根据外角的定义，有X=180度-A、Y=180度-B和Z=180度-C。
二、证明方法要证明三角形外角定理，我们可以通过几何推理进行证明。
具体步骤如下：1. 假设存在一个任意三角形ABC，将其一个内角A的补角记作X。
2. 连接点A和点C，构成线段AC。
3. 在线段AC上选取一点D，使得线段BD与线段AC重合。
4. 连接点A和点D，构成线段AD。
5. 通过B点画一条平行于线段AC的直线，与线段AD相交于点E。
6. 观察三角形ABC和三角形ABE。
根据平行线性质，我们可以得出∠A和∠ECD为同位角，它们是对应线段AC的内角，因此它们相等，即∠A=∠ECD。
又根据三角形内角的性质，得出∠A+∠B+∠C=180度，即∠ECD+∠ECA+∠B=180度，整理得∠ECD=∠B。
由此可知∠A=∠B。
同理，我们可以利用同样的方法证明三角形内角A与其对应的外角X相等。
综上所述，我们证明了三角形外角定理的正确性。
三、应用实例三角形外角定理在解决实际问题时具有广泛的应用。
以下举例说明：例1：已知一个三角形的两个角分别是40度和70度，求其第三个角的度数以及对应的外角。
解：根据三角形内角和为180度的性质，我们可以得到第三个角的度数为180度-40度-70度=70度。
根据三角形外角定理，外角X的度数等于对应内角的补角，即X=180度-40度=140度。
例2：已知一个三角形的两个外角的度数分别为120度和150度，求其第三个外角的度数。
专题1.3 三角形的外角【十大题型】(学生版)
专题1.3三角形的外角【十大题型】【十大题型】【题型1三角形的外角】1【题型2三角形的外角性质（比较角的大小）】 (2)【题型3三角形的外角性质（求角）】 (3)【题型4三角形的外角性质（含角平分线）】 (4)【题型5三角形的外角性质（含垂直关系）】 (5)【题型6三角形的外角性质（含三角板）】 (6)【题型7三角形的外角性质（含平行线）】 (7)【题型8三角形的外角性质（折叠问题）】 (8)【题型9三角形的外角性质（内外角平分线模型）】 (9)【题型10三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】 (11)【知识点1三角形的外角】三角形外角的概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．【题型1三角形的外角】【例1】（2022•海沧区期末）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AB，BC上的点，连接AE和DE，则下列是△BDE的外角的是（）A．∠AED B．∠AEC C．∠ADE D．∠BAE【变式1-1】（2022•思明区校级期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，E是BC边上一点，连接AE，OE，则下列角中是△AEO的外角的是（）A．∠AEB B．∠AOD C．∠OEC D．∠EOC【变式1-2】如图，有个三角形，∠1是的外角，∠ADB是的外角．【变式1-3】（2022•江北区校级月考）如图，在∠1、∠2、∠3和∠4这四个角中，属于△ABC外角的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个【知识点2三角形的外角性质】①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．【题型2三角形的外角性质（比较角的大小）】【例2】（2022•通川区期末）如图，∠A、∠1、∠2的大小关系是（）A．∠A＞∠1＞∠2B．∠2＞∠1＞∠A C．∠A＞∠2＞∠1D．∠2＞∠A＞∠1【变式2-1】（2022•临淄区期中）点P是△ABC内任意一点，则∠APC与∠B的大小关系是（）A．∠APC＞∠B B．∠APC＝∠B C．∠APC＜∠B D．不能确定【变式2-2】（2022春•兴隆县期末）如图所示，下列结论正确的是（）A．∠1＞∠B＞∠2B．∠B＞∠2＞∠1C．∠2＞∠1＞∠B D．∠1＞∠2＞∠B【变式2-3】（2022•双流区期末）如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．则下列结论正确的是（）A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2C．∠1＝∠2+∠3D．∠3＝∠A【题型3三角形的外角性质（求角）】【例3】（2022•石阡县模拟）如图，已知△ABC的外角∠CAD＝120°，∠C＝80°，则∠B的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．60°【变式3-1】（2022•梁子湖区期末）三角形中，三个内角的比为1：3：6，它的三个外角的比为（）A．1：3：6B．6：3：1C．9：7：4D．3：5：2【变式3-2】（2022春•光明区期末）某零件的形状如图所示，按照要求∠B＝20°，∠BCD＝110°，∠D＝30°，那么∠A的度数是（）A．50°B．60°C．70°D．80°【变式3-3】（2022春•江阴市期中）小枣一笔画成了如图所示的图形，若∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（）A．100°B．110°C．120°D．130°【例4】（2022•沈阳模拟）如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD平分∠BAC交BC边于点D，若∠C＝26°，则∠ADB的度数是（）A．61°B．64°C．71°D．109°【变式4-1】（2022春•宜兴市校级月考）如图，在△ABC中，在AB上存在一点D，使得∠ACD＝∠B，角平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M，若∠M＝35°，则∠CFE＝．【变式4-2】（2022春•邗江区期中）如图，∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，若∠A＝50°，∠D＝10°，则∠P的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°【变式4-3】（2022•武冈市期末）如图，已知P是三角形ABC内一点，∠BPC＝120°，∠A＝70°，BD是∠ABP的角平分线，CE是∠ACP的角平分线，BD与CE交于点F，则∠BFC等于（）A．100°B．90°C．85°D．95°【例5】（2022•赤峰）如图，点D在BC的延长线上，DE⊥AB于点E，交AC于点F．若∠A＝35°，∠D＝15°，则∠ACB的度数为（）A．65°B．70°C．75°D．85°【变式5-1】（2022春•鄂州校级期中）如图，BD，CE是△ABC的两条高，且交于点O，问：（1）∠1和∠2大小如何？（2）若∠A＝50°，∠ABC＝70°，求∠3和∠4度数．【变式5-2】（2022春•普陀区期末）如图，已知△ABC中，BD、CE分别是边AC、AB上的高，BD与CE交于O点，如果设∠BAC＝n°，那么用含n的代数式表示∠BOC的度数是（）A．45°+n°B．90°﹣n°C．90°+n°D．180°﹣n°【变式5-3】（2022春•腾冲县期末）已知：如图所示，∠ABC＝66°，∠ACB＝54°，BE是AC边上的高，CF 是AB边上的高，H是BE和CF的交点，求：∠ABE，∠ACF和∠BHC的度数．【例6】（2022春•宿城区期末）将一副直角三角板如图放置，∠A＝30°，∠F＝45°．若边AB经过点D，则∠EDB＝°．【变式6-1】（2022•亭湖区校级一模）将一副三角尺按如图所示的方式摆放，则∠α的大小为（）A．105°B．75°C．65°D．55°【变式6-2】（2022•丹东期末）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（）A．105°B．115°C．120°D．135°【变式6-3】（2022•安徽二模）一副三角板如图放置，则∠1+∠2的度数为（）A．30°B．45°C．60°D．75°【例7】（2022•沙湾区模拟）如图，直线a∥b，则∠1＝（）A．100°B．110°C．125°D．135°【变式7-1】（2022春•东西湖区校级月考）如图所示，l1∥l2，则下列式子中值为180°的是（）A．α+β+γB．α+β﹣γC．β+γ﹣αD．α﹣β+γ【变式7-2】（2022•泸州）如图，直线a∥b，直线c分别交a，b于点A，C，点B在直线b上，AB⊥AC，若∠1＝130°，则∠2的度数是（）A．30°B．40°C．50°D．70°【变式7-3】（2022•细河区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝40°，△ABC的外角∠CBD的平分线BE交AC的延长线于点E．（1）求∠CBE的度数；（2）过点D作DF∥BE，交AC的延长线于点F，求∠F的度数．【例8】（2022•东城区校级期末）如图，将一张三角形纸片ABC的一角折叠，使点A落在△ABC外的A'处，折痕为DE．如果∠A＝α，∠CEA′＝β，∠BDA'＝γ，那么下列式子中正确的是（）A．γ＝2α+βB．γ＝α+2βC．γ＝α+βD．γ＝180°﹣α﹣β【变式8-1】（2022•武昌区月考）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，则（）A．∠A＝∠1+∠2B．2∠A＝∠1+∠2C．3∠A＝2∠1+∠2D．3∠A＝2（∠1+∠2）【变式8-2】（2022春•宜兴市校级期末）如图，将△ABC的∠C折叠，使C点在AC边上，折痕为DE，则（）A．∠BDC＝∠DCE+90°B．∠BDC＝2∠DCEC．∠BDC+∠DCE＝180°D．∠BDC＝3∠DCE【变式8-3】（2022春•长安区期末）如图1和图2，在三角形纸片ABC中，点D，E分别在边AC，AB上，沿DE折叠，点A落在点A'的位置．（1）如图1，当点A′落在CD边上时，∠DAE与∠1之间的数量关系为（只填序号），并说明理由；①∠DAE＝∠1②∠DAE＝2∠1③∠1＝2∠DAE（2）如图2，当点A落在△ABC内部时，直接写出∠DAE与∠1，∠2之间的数量关系．【题型9三角形的外角性质（内外角平分线模型）】【例9】（2022春•茌平区期末）．如图，在ABC∠与ABC∠∠，ACB∠的平分线交于点O，D是ACF∆中，ABC平分线的交点，E是ABC∠的度数为()∠=︒，则D∆的两外角平分线的交点，若130BOCA．25︒B．30︒C．40︒D．50︒【变式9-1】（2022•中原区校级期末）如图，BP是△ABC中∠ABC的平分线，CP是∠ACB的外角的平分线，如果∠ABP＝20°，∠ACP＝50°，则∠P＝°．【变式9-2】（2022•郏县期末）如图在△ABC中，BO，CO分别平分∠ABC，∠ACB，交于O，CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E，记∠BAC＝∠1，∠BEC＝∠2，则以下结论①∠1＝2∠2，②∠BOC ＝3∠2，③∠BOC＝90°+∠1，④∠BOC＝90°+∠2正确的是（）A．①②③B．①③④C．①④D．①②④【变式9-3】（2022春•江都区月考）如图①，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如果∠A＝70°，求∠BPC的度数；（2）如图②，作△ABC外角∠MBC，∠NCB的角平分线交于点Q，试探索∠Q，∠A之间的数量关系．（3）如图③，延长线段BP，QC交于点E，在△BQE中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，求∠A的度数．【题型10三角形的外角性质（内外角平分线规律问题）】【例10】（2022春•靖江市月考）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的角平分线交于点O，则∠BOC＝90°+∠A＝×180°+∠A．如图2，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的两条三等分角线分别对应交于O1，O2，则∠BO1C＝×180°+∠A，∠BO2C＝×180°+∠A．C＝（）根据以上阅读理解，你能猜想（n等分时，内部有n﹣1个点）（用n的代数式表示）∠BO n﹣1A．×180°+∠A B．×180°+∠AC．×180°+∠A D．×180°+∠A【变式10-1】（2022•曲靖期末）如图，在△ABC中，∠BAC＝128°，P是△ABC的内角∠ABC的平分线BP1与外角∠ACE的平分线CP1的交点；P2是△BP1C的内角∠P1BC的平分线BP2与外角∠P1CE的平分线CP2的交点；P3是△BP2C的内角∠P2BC的平分线BP3与外角∠P2CE的平分线CP3的交点；依次这样下去，则∠P6的度数为（）A．2°B．4°C．8°D．16°如图1，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的角平分线的交点，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．【迁移拓展】如图2，在△ABC中，点P是内角∠ABC和外角∠ACD的n等分线的交点，即∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，试猜想∠P与∠A之间的数量关系，并证明你的猜想．【应用创新】已知，如图3，AD、BE相交于点C，∠ABC、∠CDE、∠ACE的角平分线交于点P，∠A＝35°，∠E＝25°，则∠BPD＝．（1）如图1，△ABC，点O是∠ABC和∠ACB相邻的外角平分线的交点，若∠A＝40°，请求出∠BOC的度数．【深入探究】（2）如图2，在四边形ABCD中，点O是∠BAC和∠ACD的角平分线的交点，若∠B+∠D＝110°，请求出∠AOC的度数．【类比猜想】（3）如图3，在△ABC中，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB，∠A＝α，则∠BOC＝（用α的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．（4）如果BO，CO分别是△ABC的外角∠DBC，∠ECB的n等分线，它们交于点O，∠CBO＝∠DBC，∠BCO＝∠ECB则∠BOC＝（用n、a的代数式表示，直接写出结果，不需要写出解答过程）．。
三角形的外角和
三角形的外角和三角形是几何学中最基本的图形之一，它由三条线段组成，这三条线段相互连接形成一个封闭的图形。
在研究三角形的性质时，外角是一个重要的概念。
本文将介绍三角形的外角定义及其性质，以及如何求解外角的方法。
一、外角的定义在三角形ABC中，以边BC为一条直线，将它延长到点D，使得C 和D不重合。
那么角ADC称为三角形ABC的外角，记作∠ADC。
二、外角的性质1. 三角形的外角和等于360度对于任意一个三角形ABC，将其三个外角∠ADC、∠ABD、∠BCE连接起来，可以构成一条直线。
根据直线上角的性质，这条直线上的角和等于180度。
同时根据三角形内角和等于180度的性质，三角形ABC的内角和等于180度。
因此，三角形ABC的外角和加上内角和等于360度。
2. 三角形的外角和等于不相邻内角的和通常情况下，会将∠ADC称为∠A的外角，∠ABD称为∠B的外角，∠BCE称为∠C的外角。
根据三角形内角和等于180度的性质，可以得到∠A的内角和等于180度减去∠A的外角，同理可以得到∠B内角和∠C内角的关系。
因此，三角形ABC的外角和等于∠A的内角和加上∠B的内角和加上∠C的内角和。
三、如何求解外角的方法1. 已知三角形的内角，求解外角已知三角形的内角∠A、∠B、∠C，可以通过∠A的内角和等于180度减去∠A的外角，得到∠A的外角的大小。
同理，可以求解出∠B的外角和∠C的外角的大小。
2. 已知三角形的边长，求解外角如果已知三角形的边长AB、AC、BC，可以使用余弦定理或正弦定理求解三个内角的大小，进而通过已知三个内角的和等于180度，求解出三个内角的大小。
再根据已知三个内角的关系，可以求解出对应的外角的大小。
3. 已知三角形的顶点坐标，求解外角如果已知三角形的顶点坐标A(x1, y1)、B(x2, y2)、C(x3, y3)，可以使用向量的方法计算出三边的向量，并利用向量的夹角公式求解出三个内角的夹角。
再根据已知三个内角的关系，可以求解出对应的外角的大小。
七年级数学三角形的外角
B
例1 如图，D是△ABC的BC边上一点， ∠B=∠BAD，∠ADC=80°， ∠ BAC=70°. 求：⑴∠B的度数；⑵ ∠C的度数。 解： ⑴因为∠ADC是△ABD的外角， A 所以 ∠ADC=∠B+∠BAD=80° 70° 又 ∠B=∠BAD 1 =40° 所以∠B=80° 80° 2 C B D ⑵在△ABC中， 因为∠B+∠BAC+∠C=180° 所以∠C= 180°－ ∠B－∠BAC =180°－40°－70° =70°
B.最多有一个直角
C.必有一个角大于60° D.至少有一个角不小于60°
三角形的内角与外角：
相邻内角
外角
C
不相邻内角
∠CBD是△ABC的外角
A B D
是△CBD的内角.
内外角是相对而言的.
内角与外角有什么关系？ (1) 相邻:
C
A
B
D
发现:
ABC与CBD互为邻补角 .
即: ∠CBD(外角)+∠ABC(相邻内角)=180°
解: ∵ ∠3是 ABC 一个外角. A ∴∠3=∠1+∠2 (三角形的一个外角等于和它 不相邻的两个内角的和) 又∵∠1=∠2 .
1 2
.
B
3 . C
∴∠3=2∠1 1 1 ∴∠1=∠2= ∠3= ×110°=55° 2 2
课堂达标
1. 三角形按角分类,可以分为锐角 三角形, 直角三角形,钝角 三角形 2.在 ABC 中, (1)若∠A=50°，∠B=25°，则∠C= 105°. (2)若∠B=∠C=40°，则∠A= 100° , ABC 为 钝角 三角形 (3)若∠A:∠B:∠C=1:2:3,则∠A= 30° ,∠B= 60° ,∠C = 90° . 和它们相邻的外角度数分别是__________________ 150 °,120 °,90 °
三角形的外角定理(一)
三角形的外角定理（一）引言概述：在几何学中，三角形是最基本的图形之一。
而研究三角形的性质和定理有助于我们更好地理解和解决几何问题。
本文将重点介绍三角形的外角定理，并从不同的角度探讨其相关概念。
正文：一、外角的定义与性质：1. 外角的定义：三角形的外角是指不在三角形内部的角，位于两个相邻内角的补角。
2. 外角与内角的关系：外角与其相邻的内角之和等于180°。
3. 外角和其他角度的关系：外角与该三角形的其他内角和两个内角的补角之间有特定的数学关系。
4. 外角和三角形的边的关系：外角与其对边的关系可以用于推导和证明三角形的其他定理。
5. 外角的运用：外角定理在解决几何问题和证明中起着重要的作用，可以帮助我们解决各种与三角形相关的数学问题。
二、外角定理的证明与推导：1. 外角定理的几何证明：通过几何方法来证明外角定理的正确性和有效性。
2. 外角定理的代数推导：通过代数方法来推导外角定理，利用三角函数和三角比值的关系来解释外角定理。
3. 外角定理的应用：探讨外角定理在实际应用中的具体用途，如测量和计算三角形的角度，以及在建筑、工程和导航等领域的应用。
三、外角定理的相关定理和性质：1. 内角定理：内角和外角的关系，以及内角之和与180°的关系。
2. 外角的性质：外角的大小和性质随着三角形形状的变化而变化。
3. 内外角的比较：比较和分析内角和外角的特点和性质，探讨它们在三角形中的作用和关系。
4. 外角的刻画：用数学方式刻画外角的特点和性质，如利用三角形的边长和角度来计算外角的值。
5. 外角定理的扩展：外角定理的推广和扩展，以及相关的数学推论和拓展。
总结：本文重点介绍了三角形的外角定理及其相关概念。
我们深入探讨了外角的定义与性质，证明和推导了外角定理，并介绍了它的应用和相关的定理和性质。
通过学习和理解三角形的外角定理，我们能够更好地解决几何问题，提升数学思维和应用能力。
三角形的外角定理
三角形的三个性质
①三角形的一个外角与它相邻的内角
② 三角形的一个外角等于与它不相邻 的两个内角的和。
③三角形的一个外角大于任何一个与它 不相邻的内角。
编辑ppt
AD
F C
B 编辑E ppt
3.如图所示,∠1=___1_2__0_.°
80 °
1
140 °
4.已知等腰三角形的一个外角为150°,则它的 底角为__3_0__或__7_5_°.
5.如图所示,∠A=50°,∠B=40°,∠C=30°,
则∠BDC=_1_2_0__°___.
A
编辑ppt
B
D C
生活应用
而∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180°
∴ ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°
结论：三角形的外编角辑pp和t 等于360°
练一练 判断题： 1、三角形的外角和是指三角形所有外角的和。（ ） 2、三角形的外角和等于它内角和的2倍。（ ） 3、三角形的一个外角等于两个内角的和。（ ） 4、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和。（ ） 5、三角形的一个外角大于任何一个内角。（ ） 6、三角形的一个内角小于任何一个与它 不相邻的外角。（ ）
∴∠A+ ∠B= ∠ACD
编辑ppt
(等量代换)
方法二：作直线CE//BA
A E
B
C
D
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内
角的和 编辑ppt
针对性训练：
1. 求下列各图中∠1的度数。
30°
1
60°
∠1= 90º
1
120°
35°
1
45°
50°
∠1= 85º ∠1= 95º
三角形的外角性质及其证明
三角形的外角性质及其证明三角形是几何学中最基本的形状之一，它具有丰富的性质和特点。
其中之一就是三角形的外角性质，它在解决几何问题和推导定理时起到了重要的作用。
一、三角形的外角性质在任意一个三角形中，三个外角的和等于360度。
证明：假设三角形ABC的三个内角分别为∠A、∠B和∠C。
我们将三角形的内角延长，分别得到外角∠D、∠E和∠F。
由于外角是与内角相互补充，所以有以下关系：∠D = 180度 - ∠A∠E = 180度 - ∠B∠F = 180度 - ∠C现在我们来证明∠D + ∠E + ∠F = 360度：∠D + ∠E + ∠F= (180度 - ∠A) + (180度 - ∠B) + (180度 - ∠C)= 540度 - (∠A + ∠B + ∠C)由于三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180度，所以：∠D + ∠E + ∠F = 540度 - 180度= 360度因此，三角形ABC的外角∠D、∠E和∠F的和等于360度。
二、外角与内角的关系在三角形中，一个外角等于不相邻的两个内角的和。
证明：仍以三角形ABC为例，我们来证明∠D等于∠A和∠C的和：∠D = 180度 - ∠A （根据外角与内角的关系）∠D = 180度 - (∠A + ∠B + ∠C) （根据三角形内角和为180度）∠D = 180度 - (∠A + ∠C) （∠B + ∠C = 180度 - ∠A）∠D = ∠A + ∠C （整理推导过程）因此，外角∠D等于不相邻的两个内角∠A和∠C的和。
结语：三角形的外角性质是几何学中的重要定理，它的应用范围广泛。
通过对外角性质的研究，我们可以更深入地理解三角形的结构和性质，并应用它们解决实际问题。
三角形的外角定理
三角形的外角定理先看一下外角的定义：多边形的外角就是将其中一条边延长并与另一条边相夹的那个角。
例如图中的∠1、∠2、∠3都是三角形ABC的外角。
可知∠1+∠A=180°。
这两个角叫做邻补角(两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线)，这也是一个重要的等量关系。
三角形外角定理：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
例如∠1=∠B+∠C；∠2=∠A+∠C；∠3=∠A+∠B。
利用邻补角的定义和三角形内角和是180°，容易证明这个定理。
下面用几道例题介绍一下三角形外角定理的一些基本应用，主要是利用外角与不相邻的两个内角的等量关系进行角的转化。
(一)利用外角来传递等量关系例题1：证明∠A+∠B=∠C+∠D这是初中几何里最基础的一个模型之一。
由于∠1是ΔBEA与ΔDEC的外角，我们利用三角形外角定理：∠1=∠A+∠B，∠1=∠C+∠D，所以∠A+∠B=∠C+∠D 当然也可以利用∠AEB=∠DEC(对顶角相等)，然后根据三角形内角和是180°来证明。
(二)把分散的角集中到三角形中例题2：下面是一个五角星，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数。
这几个角比较分散，我们标记出∠1与∠2，可知∠1是ΔCFE的外角，所以根据三角形外角定理∠1=∠C+∠E；同理∠2是ΔDGB的外角，所以∠2=∠B+∠D。
所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠A=180°(三)分割多边形，做出外角例题3：下图是一个凹四边形ABCD，把∠BCD记做∠1。
证明∠1=∠A+∠B+∠D。
一个不规则的凹四边形，我们可以通过辅助线把它分割成三角形。
延长BC交AD与点E，那么根据三角形外角定理∠1=∠BED+∠D；∠BED=∠A+∠B。
所以∠1=∠A+∠B+∠D。
也可以利用四边形ABCD的内角和是360°来证明。
∠1+∠BCD(优角)=360°；∠A+∠B+∠D+∠BCD(优角)=360°；所以∠1=∠A+∠B+∠D。
三角形外角定义
三角形外角定义
三角形一个内角的一边与另一边的反向延长线所夹的角。
亦即“三角形内角的邻补角”。
三角形的每个顶点处都有两个相等的外角，所以每个三角形都有六个外角。
三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角，且三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。
.
三角形的一个外角大于与它不相邻的任一内角.
定理:三角形的一个外角等于不相邻的两个内角和。
定理:三角形的三个内角和为180度。
(三角形内角和定理) 定理:多边形的外角和都等于360度。
拓展:在三角形中，已知其中两个角的度数，根据三角形内角和定理，则能求出第三个角的度数。
三角形的外角平分线定理:三角形的外角平分线外分对边所成的两条线段和相邻两边对应成比例。
三角形的外角定理
引言：在平面几何中，三角形是一个基本的几何形状，而外角定理是三角形的重要性质之一。
外角定理是指，规则三角形的外角等于两个不相邻内角的和。
在本文中，我们将深入探讨三角形的外角定理，并对其应用进行详细解释。
概述：三角形是一个有三个边和三个角的多边形。
根据三角形的定义，三角形的内角之和总是等于180度。
而外角是指在三角形的某一内角的延长线上所形成的角。
三角形的外角定理提供了一种关于三角形内角与外角之间的重要关系。
正文内容：1.描述外角定理及其推导过程外角定理指出，三角形的任意一个外角等于其不相邻内角的和。
这一定理可以通过三角形内角之和等于180度以及相邻内角互补的性质来推导得出。
2.外角定理的几何证明使用平行线和顶角定理，可以证明外角定理。
通过构造外接圆，也可以证明外角定理。
3.外角定理的应用外角定理可以用于计算三角形中的未知角度。
它还可以用于证明两条线段平行或垂直。
外角定理在解决几何问题和证明几何定理时有重要作用。
4.外角定理与内角的关系外角定理说明了三角形内角与外角的关系。
对于任意三角形，三个内角的和等于180度，而三个外角的和也等于180度。
外角定理还可以用于计算三角形内角的度数。
5.外角定理在实际问题中的应用外角定理在建筑、测量和制图等领域中有广泛应用。
它可以用于确定三角形的形状和尺寸，帮助解决实际问题。
总结：外角定理是三角形中一个重要的几何性质，它提供了三角形内角与外角之间的关系。
通过了解和应用外角定理，我们可以更好地理解和解决与三角形相关的几何问题。
无论是在学术还是实际应用中，外角定理都具有重要的作用。
希望通过本文的阐述，读者能对三角形的外角定理有更深入的理解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
A
M
D 还有没其他的 证明3：过点A作直线AM，使AM∥BD． 证明方法？ B C
因为AM∥BD， 所以∠ACB＋∠ACD＝180°, 所以 ∠B＋（∠BAC＋CAＭ）＝180° 可得∠B＋（∠BAC＋CAＭ）＝∠ACB＋ ∠ACD 又因为∠CAM＝∠ACB 所以∠B＋（∠BAC＋CAM）＝ ∠CAM＋∠ACD 得∠B＋∠BAC＝∠ACD． 所以 ∠ACD＝∠A＋∠B． 所以∠ACD>∠A; ∠ACD>∠B．
B
C
D
证明1：∠ACD＝180°－∠ACB ＝180°－（180°－∠A－∠B） ＝∠A＋∠B ． 所以∠ACD>∠A; ∠ACD>∠B．
A
P
1 B C 2
D
证明2：过点C作直线CP，使CP∥BA． 因为CP∥BA， 所以∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等） ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等） 因为∠ACD＝∠1＋∠2 所以 ∠ACD＝∠A＋∠B． 所以∠ACD>∠A; ∠ACD>∠B．
A ∠ACD是△ABC的一个外角．
B
C
D
一个三角形有几个外角？画出△ABC的所 有外角． M G 5 A 6
1 E B N 2 4
3
C D
一个三角形有6个外角．图中△ABC的外角有：∠1， ∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．
F
1
2
三角形的一个外角, 就是三角形一个 内角的邻补角． 即：∠1＋∠2＝180°．
4．求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数． 提示：连接MN、NO、OP、PQ、QM． A Q B M N C D O P E 180°．
5．如图，试计算∠BOC的度数．
A
90º D 15º
O
35º
B
C
提示：作辅助线OD． 因为∠ODC＝∠A＋∠B＝90°＋15°＝105°． 所以∠BOC＝∠C＋∠ODC ＝35°＋105° ＝140°．
如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°的 顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上 的点E重合． （1）三角尺旋转了多少度？ （2）连接CD，试判断△CBD的形状． （3）求∠BDC的度数． A D
C
B
E
答案：（1）三角尺旋转了150°； （2）△CBD是等腰三角形； （3）∠BDC的度数为15°．
练一练
求下列各图中∠1的度数．
1 50° 35°
95°
118° 33°
85°
1
练一练
求下列各图中∠1的度数． D
1
O
45° 50° A
95°
1
35°
40°
B
105°
C
比较∠1 、 ∠2 、 ∠A的大小？
A P
2
D
1
B
∠A<∠1<∠2．
C
例2：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的 三个外角，求：∠1、∠2、∠3的和是多少？
P
C． 58°
D． 63°
A C
Q
B
D
2．如图，AB//CD，AD、BC相交于O点， 若∠BAD＝30°， ∠BOD＝75°，则∠C的 度数是（ ）B A．30°
A O B
B．45°
C．105°
D． 76°
C
D
3．∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 360° ． ＝________ B
A
C
F
D
E
C
D
＝180°－（180°－∠A－∠B） ＝∠A＋∠B ＝72°＋68° ＝ 140°．
知识要点
1．三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和． 2．三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角．
已知：△ABC，∠ACD是它的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A＋∠B; ∠ACD>∠A; A ∠ACD>∠B．
1
3
B
2
C
解法2：因为∠1＝∠ACB＋∠ABC， ∠2＝∠BAC＋ACB， ∠3＝∠BAC＋∠ABC． 所以∠1＋∠2＋∠3＝ ∠ACB＋∠ABC＋ ∠BAC＋ACB＋ ∠BAC＋∠ABC＝ 2（ ∠ACB＋∠ABC ＋ ∠BAC ）＝ 2×180°＝360°．
Q 1
A
P 3
B
2
C
解法3：过A作直线AP，使AP∥BC． 因为AP∥BC， 所以∠3＝ ∠QAP（两直线平行，同位角相等） ∠2＝ ∠BAP（两直线平行，同位角相等） 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAP＋ ∠QAP=360°．
（1）用剪刀分别把∠A、∠B 剪下拼到 ∠ACD上； （2）用量角器分别量出∠A、∠B 、 ∠ACD的度数； 比较∠A+∠B与∠ACD的大小，你有何 A 发现？
B
2 1 C
D
∠ACD ＝ ∠A＋∠B
练一练
如图，△ABC 中，∠A=72º ，∠B＝68º ， 求∠ACD的度数． A
B
解：∠ACD＝180°－∠ACB
A 1 3 B 2 C
A
1 3 B
2
C
解法1： 因为∠1＋∠BAC=180°， ∠2＋ ∠ABC=180°， ∠3＋ ∠ACB=180°． 所以∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC ＋∠ACB=540° 又因为∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180° 所以∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°.外角与它相邻的内角互 补；
2．三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和； 3．三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角； 4．三角形的外角和等于360°．
随堂练习
1．如图，AB//CD，∠A＝30°, ∠P＝28°， 那么∠C等于（ ）C A． 30° B． 28°
下列说法正确吗？
1．三角形的外角和等于它内角和的2 倍．（ √ ） 2．三角形的一个外角等于两个内角的 和．（ × ） 3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和．（ √ ） 4．三角形的一个外角大于任何一个内 角．（ × ） 5．三角形的一个内角小于任何一个与它不 相邻的外角． （ √ ）
每一个三角形都有6个外角；
每一个顶点相对应的外角都有２个；
每个外角与相应的内角是邻补角．
三角形外角的特征
（1）顶点在三角形的一个顶点上． （2）一条边是三角形的一边． （3）另一条边是三角形某条边的延长线．
A
内外角是相对而言
外角 B C D
三角形的外角与它不相邻的内角有什 么关系？怎样来证明？
已知：如图，在△ABC中，AD平分 外角∠EAC，∠B= ∠C． 求证：AD ∥ BC．
E A D
证明：因为∠EAC=∠B+∠C， ∠B＝∠C， C B 所以 ∠EAC＝∠C+∠C＝2∠C． 因为AD平分∠EAC， 所以∠EAD＝∠CAD． 所以∠CAD＝∠C． 所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
新课导入
三角形三个内角的和等于多少度？
180度
学习目标
了解三角形的外角概念和三角形外角的性 质，初步学会数学说理．
教学重难点 重点
三角形的外角及其性质．
难点
运用三角形外角性质进行有关计算时能 准确地表达推理的过程和方法．
知识要点
三角形外角定义
三角形的一边与另一边的延长线所组 成的角, 叫做三角形的外角．