三角形的外角

A
M
D 还有没其他的 证明3：过点A作直线AM，使AM∥BD． 证明方法？ B C
因为AM∥BD， 所以∠ACB＋∠ACD＝180°, 所以 ∠B＋（∠BAC＋CAＭ）＝180° 可得∠B＋（∠BAC＋CAＭ）＝∠ACB＋ ∠ACD 又因为∠CAM＝∠ACB 所以∠B＋（∠BAC＋CAM）＝ ∠CAM＋∠ACD 得∠B＋∠BAC＝∠ACD． 所以 ∠ACD＝∠A＋∠B． 所以∠ACD>∠A; ∠ACD>∠B．
B
C
D
证明1：∠ACD＝180°－∠ACB ＝180°－（180°－∠A－∠B） ＝∠A＋∠B ． 所以∠ACD>∠A; ∠ACD>∠B．
A
P
1 B C 2
D
证明2：过点C作直线CP，使CP∥BA． 因为CP∥BA， 所以∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等） ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等） 因为∠ACD＝∠1＋∠2 所以 ∠ACD＝∠A＋∠B． 所以∠ACD>∠A; ∠ACD>∠B．
A ∠ACD是△ABC的一个外角．
B
C
D
一个三角形有几个外角？画出△ABC的所 有外角． M G 5 A 6
1 E B N 2 4
3
C D
一个三角形有6个外角．图中△ABC的外角有：∠1， ∠2，∠3，∠4，∠5，∠6．
F
1
2
三角形的一个外角, 就是三角形一个 内角的邻补角． 即：∠1＋∠2＝180°．
4．求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度数． 提示：连接MN、NO、OP、PQ、QM． A Q B M N C D O P E 180°．
5．如图，试计算∠BOC的度数．
A
90º D 15º
O
35º
B
C
提示：作辅助线OD． 因为∠ODC＝∠A＋∠B＝90°＋15°＝105°． 所以∠BOC＝∠C＋∠ODC ＝35°＋105° ＝140°．
如图，把一个直角三角尺ACB绕着30°的 顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上 的点E重合． （1）三角尺旋转了多少度？ （2）连接CD，试判断△CBD的形状． （3）求∠BDC的度数． A D
C
B
E
答案：（1）三角尺旋转了150°； （2）△CBD是等腰三角形； （3）∠BDC的度数为15°．
练一练
求下列各图中∠1的度数．
1 50° 35°
95°
118° 33°
85°
1
练一练
求下列各图中∠1的度数． D
1
O
45° 50° A
95°
1
35°
40°
B
105°
C
比较∠1 、 ∠2 、 ∠A的大小？
A P
2
D
1
B
∠A<∠1<∠2．
C
例2：如图，∠1，∠2，∠3是△ABC的 三个外角，求：∠1、∠2、∠3的和是多少？
P
C． 58°
D． 63°
A C
Q
B
D
2．如图，AB//CD，AD、BC相交于O点， 若∠BAD＝30°， ∠BOD＝75°，则∠C的 度数是（ ）B A．30°
A O B
B．45°
C．105°
D． 76°
C
D
3．∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F 360° ． ＝________ B
A
C
F
D
E
C
D
＝180°－（180°－∠A－∠B） ＝∠A＋∠B ＝72°＋68° ＝ 140°．
知识要点
1．三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角的和． 2．三角形的一个外角大于任何一个 与它不相邻的内角．
已知：△ABC，∠ACD是它的一个外角． 求证：∠ACD＝∠A＋∠B; ∠ACD>∠A; A ∠ACD>∠B．
1
3
B
2
C
解法2：因为∠1＝∠ACB＋∠ABC， ∠2＝∠BAC＋ACB， ∠3＝∠BAC＋∠ABC． 所以∠1＋∠2＋∠3＝ ∠ACB＋∠ABC＋ ∠BAC＋ACB＋ ∠BAC＋∠ABC＝ 2（ ∠ACB＋∠ABC ＋ ∠BAC ）＝ 2×180°＝360°．
Q 1
A
P 3
B
2
C
解法3：过A作直线AP，使AP∥BC． 因为AP∥BC， 所以∠3＝ ∠QAP（两直线平行，同位角相等） ∠2＝ ∠BAP（两直线平行，同位角相等） 所以 ∠1＋ ∠2＋ ∠3＝ ∠1＋ ∠BAP＋ ∠QAP=360°．
（1）用剪刀分别把∠A、∠B 剪下拼到 ∠ACD上； （2）用量角器分别量出∠A、∠B 、 ∠ACD的度数； 比较∠A+∠B与∠ACD的大小，你有何 A 发现？
B
2 1 C
D
∠ACD ＝ ∠A＋∠B
练一练
如图，△ABC 中，∠A=72º ，∠B＝68º ， 求∠ACD的度数． A
B
解：∠ACD＝180°－∠ACB
A 1 3 B 2 C
A
1 3 B
2
C
解法1： 因为∠1＋∠BAC=180°， ∠2＋ ∠ABC=180°， ∠3＋ ∠ACB=180°． 所以∠1＋ ∠2＋ ∠3＋ ∠BAC＋ ∠ABC ＋∠ACB=540° 又因为∠BAC＋ ∠ABC＋∠ACB=180° 所以∠1＋ ∠2＋ ∠3＝360°.外角与它相邻的内角互 补；
2．三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角的和； 3．三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角； 4．三角形的外角和等于360°．
随堂练习
1．如图，AB//CD，∠A＝30°, ∠P＝28°， 那么∠C等于（ ）C A． 30° B． 28°
下列说法正确吗？
1．三角形的外角和等于它内角和的2 倍．（ √ ） 2．三角形的一个外角等于两个内角的 和．（ × ） 3．三角形的一个外角等于与它不相邻的两 个内角的和．（ √ ） 4．三角形的一个外角大于任何一个内 角．（ × ） 5．三角形的一个内角小于任何一个与它不 相邻的外角． （ √ ）
每一个三角形都有6个外角；
每一个顶点相对应的外角都有２个；
每个外角与相应的内角是邻补角．
三角形外角的特征
（1）顶点在三角形的一个顶点上． （2）一条边是三角形的一边． （3）另一条边是三角形某条边的延长线．
A
内外角是相对而言
外角 B C D
三角形的外角与它不相邻的内角有什 么关系？怎样来证明？
已知：如图，在△ABC中，AD平分 外角∠EAC，∠B= ∠C． 求证：AD ∥ BC．
E A D
证明：因为∠EAC=∠B+∠C， ∠B＝∠C， C B 所以 ∠EAC＝∠C+∠C＝2∠C． 因为AD平分∠EAC， 所以∠EAD＝∠CAD． 所以∠CAD＝∠C． 所以AD∥BC（内错角相等，两直线平行）．
新课导入
三角形三个内角的和等于多少度？
180度
学习目标
了解三角形的外角概念和三角形外角的性 质，初步学会数学说理．
教学重难点 重点
三角形的外角及其性质．
难点
运用三角形外角性质进行有关计算时能 准确地表达推理的过程和方法．
知识要点
三角形外角定义
三角形的一边与另一边的延长线所组 成的角, 叫做三角形的外角．