三角形外交性质及外角和
三角形的外角与内角
三角形的外角与内角三角形是几何学中最基本的图形之一。
在三角形中，我们可以通过角度来描述其形状和特性。
其中，外角和内角是我们常常研究和讨论的两个角度。
本文将介绍三角形的外角和内角的概念、性质以及它们之间的关系。
一、三角形的外角1. 外角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过延长其中一条边（比如边AB）来得到一个外角。
外角定义为该外角和与之相邻的内角的和。
2. 外角的性质（1）任何一个三角形的外角都小于360度。
这是因为在三角形中，所有的内角的和已经等于180度，如果再加上外角，总和将超过360度，这是不可能的。
（2）三角形的相邻外角互补。
这是因为相邻两个外角加上与之相邻的内角，总和等于180度。
3. 外角与其他角度的关系（1）外角与内角的关系：一个外角等于与之相邻的两个内角的和。
即外角A等于内角B和内角C的和，外角B等于内角A和内角C的和，外角C等于内角A和内角B的和。
（2）外角与对应内角的关系：对于一个三角形的任意一对对应内角和外角来说，它们的度数之和等于180度。
即外角A等于内角C的度数，外角B等于内角A的度数，外角C等于内角B的度数。
二、三角形的内角1. 内角的定义在任意三角形ABC中，我们可以通过三个顶点来确定三个内角，分别为角A、角B、角C。
2. 内角的性质（1）三个内角的和等于180度。
这是因为三个内角加起来就是三角形所有内角的总和，而任何一个三角形的所有内角总和都等于180度。
（2）任意两个内角的和大于第三个内角。
这被称为三角形的内角和定理。
例如，在三角形ABC中，角A + 角B大于角C，角A + 角C 大于角B，角B + 角C大于角A。
三、三角形的外角与内角之间的关系根据前文提到的性质可知，一个三角形的外角与其对应的内角之间存在以下关系：（1）外角等于与之相邻的两个内角的和。
（2）外角与对应内角的度数之和等于180度。
（3）三个内角与三个外角的对应关系：外角等于相应内角的度数。
综上所述，三角形的外角与内角之间有着密切的关系。
三角形的内角和与外角和的关系总结
三角形的内角和与外角和的关系总结三角形是几何学中一个重要的概念，它由三条线段组成，其中每两条线段的交点被称为顶点。
三角形的内角和与外角和是研究三角形性质时经常遇到的问题，本文将对其进行总结和探讨。
1. 三角形的内角和三角形的内角和是指三个内角的度数之和。
对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个内角的度数之和始终为180度。
这一性质被称为"三角形的内角和定理"，是几何学中的基本定理之一。
数学的证明过程较为复杂，这里不做详述，但可以通过实际测量和计算来验证。
2. 三角形的外角和三角形的外角和是指三个外角的度数之和。
外角是指一个三角形内部的一条边延伸出去，与另外两条边的非共边构成的角。
对于任意三角形，无论其大小和形状如何，三个外角的度数之和始终为360度。
这一性质也是几何学中的基本定理之一。
3. 内角和与外角和的关系内角和与外角和有着重要的关系。
根据三角形的内角和定理和外角和的定义，可以得出如下结论：内角和 + 外角和 = 180度 + 360度 = 540度这意味着三角形内角和与外角和的和始终为固定值的540度。
这也被称为"三角形内外角和关系定理"。
通过数学的证明，可以得到这个结论。
4. 应用举例通过内角和与外角和的关系，我们可以解决一些与三角形性质相关的问题。
例如，已知一个三角形的一个内角和一个外角，可以通过计算得到其他两个内角的度数，或者已知两个内角，可以通过计算得到第三个内角的度数。
此外，可以利用内角和与外角和的关系来验证三角形的正确性。
如果测得一个三角形的内角和不等于180度或者外角和不等于360度，那么这个图形就不是一个三角形。
总之，三角形的内角和与外角和的关系是几何学中重要的定理之一。
它们揭示了三角形内外角度数之间的联系，对于解决三角形性质相关的问题具有重要作用。
在实际应用中，我们可以根据这些定理进行计算和验证，进一步深入理解和应用三角形的性质。
三角形性质和判定定理
三角形性质和判定定理三角形是平面几何中最基本的图形之一，具有丰富的性质和判定定理。
本文将对三角形的性质和判定定理进行论述，探究其数学本质和应用。
1. 三角形的定义三角形是由三条线段组成的闭合图形，其中每条线段都是连接两个非共线点的直线段。
三角形可分为等边三角形、等腰三角形、直角三角形等各种类型。
2. 三角形的性质2.1 三角形的内角和定理三角形的内角和等于180度。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，可以得出以下等式：A + B + C = 180度。
2.2 三角形的外角性质三角形的外角等于其余两个内角的和。
如果外角为θ，则有：θ = A + B 或θ = B + C 或θ = A + C。
2.3 三角形的边长关系三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。
设三角形的三个边分别为a、b、c，则有以下不等式成立：a + b > c，a + c > b，b+ c > a；a - b < c，a - c < b，b - c < a。
三角形的内角与其对边之间存在一定的关系。
设三角形的三个内角分别为A、B、C，对边分别为a、b、c，则有以下关系成立：a/sinA = b/sinB = c/sinC。
3. 三角形的判定定理3.1 三边长度判定定理如果三角形的三边长度分别为a、b、c，满足a + b > c，a + c > b，b +c > a，则可以构成一个三角形。
3.2 两边夹角与第三边关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角为θ，则可以根据余弦定理判断第三边的长度。
余弦定理表达式为：c^2 = a^2 + b^2 -2abcosθ。
3.3 两边夹角与第三边夹角关系判定定理如果已知三角形的两边长度分别为a、b，夹角分别为A、B，则可以根据正弦定理判断第三边夹角的大小。
正弦定理表达式为：sinC/a = sinA/b = sinB/c。
三角形的外角和它的性质
布置作业
教科书习题 11.2第6、8题．
概念： 三角形的一边与另一边的 延长线组成的角，叫做三角形 的外角．
B
A CD
探索与证明三角形的外角的性质
A
B
CD
特征: (1). 顶点在三角形的一个顶点上. (2). 一条边是三角形的一边. (3). 另一条边是三角形某条边的延长线. 实际上三角形的一个外角, 就是三角形一个内角的邻补角。
动手试一试： 画图并思考:画一个△ABC，你能画出它的所 有外角吗？请动手试一试．同时，想一想 △ABC的外角一共有几个？
(2)、三角形的外角和等于它内角和 的2倍。（ ） (3)、三角形的一个外角等于两个内 角的和。（ ）
(4)、三角形的一个外角等于与它不 相邻的两个内角的和。（ ）
(5)、三角形的一个外角大于任何一 个内角。（ ）
(6)、三角形的一个内角小于任何一 个与它不相邻的外角。（ ）
课堂练习
40o
练习 如图，D是△ABC 的BC 边上一点，∠ B =
课堂练习
练习3 如图，说出图形中∠ 1 和∠2 的度数：
80°
60°
2 1
（1）
2
1 30°
40°
（2）
1
2 40°
（3）
运用三角形的外角的性质
例 如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD 是△ABC 的
三个外角，它们的和是ห้องสมุดไป่ตู้少？
E
A
1
B2 F
3
CD
判断题： （1）、三角形的外角和是指三角形 所有外角的和。（ ）
归纳：
探索与证明三角形的外角的性质
三角形内角和与外角和
图 1§9.1.2三角形的内角和与外角的性质（1）一、 学习目标【知识目标】1、使学生在操作活动中，探索三角形的内角和以及三角形的外角的两条性质。
2、利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形的内角和。
3、使学生能熟练地利用三角形内角和以及外角的两条性质进行有关计算。
【能力目标】通过学生动手操作和交流合作，培养学生动手动脑能力以及合作学习的精神。
【思维目标】进一步培养学生的几何语言表达能力，逻辑推理过程的严密思维。
二、 学习重点：三角形内角和定理；三、 学习难点：三角形内角和定理与外角性质的推理的过程以及几何语言的准确表达。
四、 学习过程：◆正面思考 主动学习【自学目标】：1、通过动手操作，探索三角形的外角的两条性质以及三角形的外角和。
2.利用平行线性质来证明三角形的外角的第一个性质以及三角形的外角和。
【自学过程】：学生自学教材76-78页，并完成填空后互评。
1、如图1中∠CBD 是三角形的一个外角，内角 与它相邻，内角 、 与它不相邻。
2、 做一做： 1、在一张白纸上画出如图所示的三角形，动手把一个三角形的两个角剪下拼在第三个角的顶点处，用量角器量出BCD ∠的度数，可得到______=∠+∠+∠ACB B A 。
⑴把∠B 、∠A 剪下拼在一起，放到∠C 处，看看会出现什么结果，与你的同伴交流一下，结果是否一样？⑵ 剪下A ∠，按图（2）拼在一起，从而还可得到________=∠+∠+∠ACB B A图2⑶把B ∠和C ∠剪下按图（3）拼在一起，用量角器量一量MAN ∠的度数，会得到什么结果。
与你的同伴交流一下，结果是否一样。
◆反面质疑 交流辩论1、思考：如果我们不用剪拼办法，可不可以用推理论证的方法来说明上面的结论的正确性呢？已知ABC ∆，说明180=∠+∠+∠C B A ，你有几种方法？I H G E F D B C A5题 （提示：让学生参考课本77页内容并结合图（1）、图（2）、图（3）探索出以下问题的结论，并提醒学生做辅助线是几何证明过程中常用到的方法。
掌握三角形的外角和内角性质解决初中数学中的三角形题
掌握三角形的外角和内角性质解决初中数学中的三角形题三角形是初中数学中的重要内容，研究和掌握三角形的性质对解决三角形题目至关重要。
其中，三角形的外角和内角性质是解决三角形题目的基础。
本文将介绍三角形外角和内角的性质，并利用这些性质解决中学数学中的一些典型三角形题目。
首先，让我们来了解三角形的内角性质。
对于任意一个三角形ABC，其内角A、B和C满足以下性质：性质一：三角形的内角和等于180°。
即∠A+∠B+∠C=180°。
性质二：等腰三角形的底角是等于两底边的对角。
性质三：直角三角形的两个锐角互余。
即∠A+∠B=90°。
性质四：全等三角形的对应角相等。
掌握了这些三角形内角的性质，我们就可以利用这些性质解决一些与内角相关的数学题目。
其次，我们来了解三角形的外角性质。
对于一个三角形ABC，我们可以延长三角形的三条边，构成三个外角。
三角形ABC的外角D、E和F满足以下性质：性质一：三角形的外角和等于360°。
即∠D+∠E+∠F=360°。
性质二：三角形的外角等于其对应内角的补角。
即∠D=180°-∠A，∠E=180°-∠B，∠F=180°-∠C。
性质三：三角形的一个外角等于另外两个内角之和。
即∠A=∠D+∠E，∠B=∠E+∠F，∠C=∠F+∠D。
应用三角形外角的性质，我们可以解决一些与外角相关的数学题目。
接下来，让我们通过一些例题来进一步说明如何应用三角形的外角和内角性质解决数学题目。
例题一：如图，已知三角形ABC中，∠B=75°，AC为边BC的平分线，求∠A和∠C的度数。
解：根据性质三，∠A+∠B=90°，∠C+∠B=90°。
因为AC为边BC 的平分线，所以∠C=∠B=75°。
将∠C的度数代入∠C+∠B=90°，可得∠A=90°-75°=15°。
三角形的内角和与外角和
三角形的外角和
• 与三角形的每个内角相邻的外角分别有两 个，这两个外角是对顶角。 • 从与每个内角相邻的两个外角中分别取一 个相加，得到的和称为三角形的外角和。
• 三角形的外角和等于360˚.
作业
• 课本78、79页的做一做和练习。 • 学习检测65—66页。 • 教材1例题和变式训练。
三角形的内角和
• 三角形的内角和等于180˚
同学们，你 会证明么
• 直角三角形的两个锐角互余
三角形的外角及外角和
• 三角形的外交与内角有什么关系？ A
不相邻内角
B
1
外角
相邻内角
C
外角 + 相邻的内角 =180˚
三角形外角性质
1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的 和。 2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内 角。
三角形的内角与外角
三角形的内角与外角三角形是几何学中最基本的形状之一，由三条边和三个内角组成。
本文将讨论三角形的内角与外角的特性和性质。
一、三角形内角的定义与性质三角形的内角是指三角形内部的角，共有三个内角，分别记作∠A、∠B、∠C。
根据几何学的基本原理，三角形的内角和为180度，即∠A + ∠B + ∠C = 180°。
1. 三角形的内角之间的关系由于三角形的内角和为180度，所以三角形内角之间存在一定的关系。
根据三角形的性质，如下所示：- 如果一个内角是直角（90°），则另外两个内角的和也是90°。
这种三角形被称为直角三角形。
- 如果一个内角大于90°，则另外两个内角的和小于90°。
这种三角形被称为钝角三角形。
- 如果一个内角小于90°，则另外两个内角的和大于90°。
这种三角形被称为锐角三角形。
2. 等腰三角形的内角性质等腰三角形是指具有两条边相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边上的两个角）一定相等，而顶角（顶点的角）一定小于两个底角。
3. 等边三角形的内角性质等边三角形是指具有三条边相等的三角形。
在等边三角形中，三个内角均相等，每个角都是60°。
二、三角形的外角的定义与性质三角形的外角是指从三角形的一个内角延长线上取得的角，它与相对的内角之间有一定的关系。
1. 外角和内角之间的关系在任意三角形中，一个外角等于其非相邻内角的和。
例如，在三角形ABC中，设一个外角为∠DAB，相对的内角为∠C，则有∠DAB = ∠C + ∠D。
2. 外角的性质外角与三角形的三个内角之间还有一些其他的性质。
如下所示：- 一个三角形的三个外角之和等于360°。
- 任意一个三角形的外角大于任意一个内角。
也就是说，对于三角形ABC来说，∠DAB > ∠A, ∠EBC > ∠B, ∠FCA > ∠C。
三、内角与外角的应用在实际应用中，三角形的内角与外角的性质有着广泛的应用。
三角形的内角和与外角的性质
9.1.2三角形的内角和与外角的性质合格：能说出来三角形的内角和等于
思考：直角三角形的两个锐角关系？
应用：如图，在△ABC中，∠A=90°，∠ACD=∠B，说明：CD垂直于AB.
的大小能确定吗？
1.直角三角形的一个锐角的度数是72°，那么另一个锐角的度数是（）
A.9°
B.18°
C.27°
D.36°
2.如果三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角和为180°，那么这个外角的度数为（）
A.30°
B.60°
C.90°
D.120°
3.如图在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A,BD是AC边上的高，求∠DBC的度数。
4.如图，点D、B、C在同一条直线上，∠A=60°，∠C=50°，
∠D=25°,求∠1的度数
1.在△ABC中，如果∠BAC、∠ABC、∠ACB相邻的外角之和比为4:2:3，那么∠BAC的度数为（）
A.20°
B.40°
C.70°
D.80°
2.如图，CE平分∠ACD，F为CA延长线一点，FG∥CE交AB于点G，∠ACD=100°，∠AGF=20°，求∠B的度数。
三角形的外角与内角性质
三角形的外角与内角性质三角形是一种非常基础的几何形状，它具有许多独特的性质和特点。
其中，内角和外角是我们研究三角形的重要性质之一。
在本文中，我们将探讨三角形的内角与外角之间的关系，并分析它们的性质。
1. 三角形的内角性质三角形内角的性质是我们研究三角形的基础，它涉及到三角形内部的角度关系。
根据三角形的定义，它具有三个内角，我们用α、β、γ表示。
（1）内角和等于180度任意一个三角形的三个内角之和等于180度，即α + β + γ = 180°。
这一性质被称为三角形内角和定理，它是三角形的基本性质之一。
（2）直角三角形的内角直角三角形是一种具有一个90度内角的特殊三角形。
在直角三角形中，另外两个内角的和为90度，即α + β = 90°。
（3）等腰三角形的内角等腰三角形是一种具有两个边长相等的三角形。
在等腰三角形中，两个底角（底边上的内角）相等，即α = β。
以上是三角形内角的一些基本性质，这些性质可以帮助我们计算和研究三角形的各种问题。
2. 三角形的外角性质除了内角，三角形还拥有外角这一特殊性质。
我们定义三角形的外角为：组成三角形的一条边的延长线与其他两条边之间的角度。
（1）外角和等于360度任意一个三角形的三个外角之和等于360度。
这一性质是外角和定理，与内角和定理类似，它也是三角形的基本性质之一。
（2）外角与内角的关系三角形的外角与其对应的内角之间存在着关系。
具体来说，三角形的一个外角等于它对应的两个内角之和。
即，一个外角等于两个对立内角的和。
这一性质被称为外角等于内角和定理。
例如，在三角形ABC中，依次标记它的三个内角为α、β、γ，对应的外角为α'、β'、γ'。
根据外角等于内角和定理，我们有α' = β + γ，β' = α + γ，γ' = α + β。
这一性质在解决三角形问题时非常有用。
通过研究三角形的内角和外角性质，我们可以更全面地了解三角形的特点与性质。
三角形的内角和与外角
三角形的内角和与外角三角形是初中数学中一个重要的几何概念，它具有许多特性和性质。
其中，三角形的内角和与外角是一个常见而重要的问题。
在本文中，我将详细介绍三角形的内角和与外角的概念、性质和应用。
一、三角形的内角和三角形的内角和是指三角形内部的三个角的度数之和。
根据数学原理，任意一个多边形的内角和等于180°乘以该多边形的边数减去2。
因此，三角形的内角和等于180°。
我们可以通过一个简单的例子来说明这个性质。
假设我们有一个三角形ABC，其中∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°。
我们可以计算出三角形的内角和为180°，即60°+70°+50°=180°。
这个例子证明了三角形的内角和等于180°。
三角形的内角和的性质有许多应用。
例如，我们可以通过已知的内角和来计算未知角的度数。
假设我们知道一个三角形的两个角的度数，我们可以通过计算三角形的内角和减去已知角的度数，来求得未知角的度数。
二、三角形的外角三角形的外角是指三角形内部的一个角与其相邻的两个内角的补角之和。
根据数学原理，三角形的外角等于360°减去三角形的内角和。
因此，三角形的外角和等于360°。
我们可以通过一个例子来说明三角形的外角的概念。
假设我们有一个三角形ABC，其中∠A=60°，∠B=70°，∠C=50°。
我们可以计算出三角形的内角和为180°，然后通过360°减去180°，得到三角形的外角和为180°。
这个例子证明了三角形的外角和等于180°。
三角形的外角的性质也有许多应用。
例如，我们可以通过已知的外角和来计算未知角的度数。
假设我们知道一个三角形的两个内角的度数，我们可以通过计算三角形的外角和减去已知角的度数，来求得未知角的度数。
三角形的外角和是多少
三角形的外角和是多少目录1. 定义三角形的外角1.1 外角的性质1.1.1 大小1.1.2 关系1.2 外角和的计算1.2.1 公式推导1.2.2 例题解析1.2.3 计算技巧定义三角形的外角三角形的外角是指一个三角形内部角的补角。
对于任意一个三角形ABC，如果在三角形的一条边上取一点D，使得角ADC是三角形ABC的内角，那么角ADC的补角就是三角形ABC的外角。
外角的顶点在三角形的一个顶点上，而另外两个顶点在三角形的两条边上。
外角的性质外角的大小与其对应内角大小相等。
例如，如果在三角形ABC中角A是外角，那么角A的大小等于角B加上角C的大小。
这是因为外角和内角的补角性质。
外角和的计算外角和的计算可以通过公式推导来实现。
根据外角和内角的补角性质，可以得出三角形的外角和等于360度。
即三角形的三个外角和等于一个圆的360度。
因此，对于任意一个三角形，其外角和都等于360度。
公式推导假设三角形ABC中，角A是外角，对应的内角为角D。
根据补角性质可知，角A+角D=180度。
同理，其他两个外角与对应的内角之和也为180度。
所以三角形的外角和等于360度。
例题解析已知三角形ABC中，角A的度数为50度，求三角形ABC的外角和。
解：根据外角和为360度的公式，可得三角形ABC的外角和为360度。
计算技巧在计算外角和时，首先确定三角形的三个内角度数，然后利用外角和内角的补角性质，可以快速求得三角形的外角和。
外角和通常用于解题或证明三角形的性质时，具有重要的作用。
如何求解三角形的外角和
如何求解三角形的外角和三角形的外角和是指三角形的三个外角的和。
要求解三角形的外角和，我们可以利用三角形的内角和性质以及外角和内角互补的关系来进行计算。
首先，回顾一下三角形的内角和性质。
对于任意一个三角形，其内角和等于180度。
即三角形的三个内角的和等于180度。
这个性质对于所有的三角形都成立。
其次，我们知道三角形的外角和与内角和是有关系的。
三角形的每个外角都与相对的内角互补，即外角和内角的和等于180度。
这意味着，对于任意一个三角形，该三角形的三个外角的和等于180度。
根据以上性质，我们可以得出求解三角形的外角和的方法：1. 首先，确定三角形的三个内角的度数。
这可以通过给定的三个角度值来得到，或者通过已知的三条边长利用三角函数求出每个内角的度数。
2. 然后，计算三角形每个内角与其相对的外角的互补值。
由于互补角的两个角度和为180度，我们可以用180度减去内角的度数得到外角的度数。
3. 最后，将三个外角的度数相加，得到三角形的外角和。
即将每个外角的度数相加，得到的结果就是三角形的外角和。
举个例子来说明上述求解方法：假设给定一个三角形ABC，已知角A的度数为40度，角B的度数为60度。
我们要计算三角形ABC的外角和。
根据步骤1，已知角度值为40度和60度。
根据步骤2，角A与其相对的外角是角C，互补值为180度减去40度，即140度。
角B与其相对的外角是角A，互补值为180度减去60度，即120度。
根据步骤3，将三个外角的度数相加：140度 + 120度 + 60度 = 320度。
因此，三角形ABC的外角和为320度。
综上所述，要求解三角形的外角和，我们可以利用三角形的内角和性质以及外角和内角互补的关系来进行计算。
只需确定三个内角的度数，计算每个内角与其相对的外角的互补值，最后将三个外角的度数相加即可得到三角形的外角和。
三角形的外角及其性质
教师姓名黄兰单位名称填写时间2021年8月12日学科数学年级/册八年级〔上〕教材版本人教版课题名称第十一章《三角形的外角及其性质》难点名称理解并掌握三角形的外角的概念，能够在能够复杂图形中找出外角，并能利用三角形的外角性质解决实际问题。
难点分析从知识角度分析为什么难掌握三角形外角的概念和性质，具有一定的难度。
从学生角度分析为什么难探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，体会实验---猜测---证明得出结论的科学探究方法，感受从特殊到一般的研究方式。
难点教学方法1.学生通过复习三角形的内角和定理，引发学生对问题的讨论、交流、迁移，从而归纳、证明出三角形的一个外角和一个外角的关系。
2.通过合作研究，引导学生能运用三角形外角的性质进行简单的说理计算，初步尝试几何推理的过程。
教学环节教学过程导入一、复习引入，创设情境：1．什么是三角形的内角？三角形的内角和定理是什么？2.如图，在△ABC中，∠A=70°, ∠B=60°, 那么∠ACB= ，∠ACD= .知识讲解〔难点突破〕二、观察归纳，探究新知〔一〕探索三角形外角的概念：周末李明打算去看望生病的好友张强，他从家A处出发，打算去附近的C处超市，给李明买礼物，然后再折回到B处张强家，∠BAC=40°,∠ABC=70°,李明从C处要转多少度才能直达B处？利用三角形的内角和为180°，来求∠BCD，你会吗？由三角形的内角和得：∠A+∠ABC+∠BCA=180°∠BCA=180°-∠A+∠ABC=70°根据平角性质得：∠BCD=180°-∠BCA=110°思考：像∠BCD这样的角有什么特征吗？请你猜测它的性质。
1.看一看〔观察特征〕∠BCD的特征：①∠BCD的顶点是在三角形的一个顶点上；②一边BC是三角形的一条边；③另一边CD是三角形中一条边的延长线。
中考考点三角形的内角和外角和角平分线等性质
中考考点三角形的内角和外角和角平分线等性质中考考点：三角形的内角和、外角和、角平分线等性质三角形是初中数学中的重要概念之一，而其中与三角形的内角和、外角和、角平分线等性质相关的知识点往往是考试中经常出现的考点。
本文将围绕这几个知识点展开，为大家详细介绍相关定义和性质，以帮助大家更好地掌握这一部分内容。
一、三角形的内角和首先我们来认识一下三角形的内角和。
将一个三角形的三个内角相加，得到的和被称为该三角形的内角和。
对于任意一个三角形ABC来说，它的内角和可以表示为∠A+∠B+∠C，其中∠A、∠B、∠C分别代表三角形ABC的三个内角。
根据三角形的性质可知，三角形内角和等于180°，即∠A+∠B+∠C=180°。
这是因为三角形的两边之和必须大于第三边，所以三角形的内角和不能大于180°。
而当三角形是一条直线时，即三个角相加为180°时，我们称之为退化三角形。
二、三角形的外角和接下来我们来了解三角形的外角和。
对于三角形ABC来说，将其一个内角的补角与另外两个内角相加，所得的和被称为该三角形的外角和。
以∠A为例，∠A的补角为180°-∠A，而三角形的外角和可以表示为(180°-∠A)+∠B+∠C。
同样根据三角形的性质，我们可以得出外角和等于360°的结论，即(180°-∠A)+∠B+∠C=360°，这是因为补角与原角的和为180°，而三角形的外角和就是三个外角的总和，所以等于360°。
三、角平分线角平分线是指从一个角的顶点出发，将这个角平分成两个相等的角的线段。
在三角形中，角平分线还有一个重要性质，即角平分线和对边上的两个角相等。
以三角形ABC为例，角平分线从顶点A出发，将∠BAC分成两个相等的角∠BAD和∠CAD。
这时可以得出∠BAD=∠CAD的结论。
角平分线还有一个有趣的性质，即三角形的内心、外心和重心都位于三角形的角平分线的交点上。
三角形的三个外角和
三角形的三个外角和
目录：
1. 三角形三个外角和的定义
1.1 外角和与内角和的关系
1.1.1 外角和等于180度
1.1.2 内角和加外角和等于180度
1.2 三角形外角和的性质
2. 三角形外角和的计算方法
2.1 一般三角形外角和计算
2.1.1 根据已知内角求解
2.1.2 根据其他已知角度求解
2.2 直角三角形外角和计算
2.2.1 直角三角形外角和等于90度
2.2.2 外角和与直角边的关系
3. 三角形外角和在几何问题中的应用
3.1 判断三角形类型
3.1.1 基于外角和特性判断三角形类型
3.1.2 通过外角和判断三角形锐角、直角、钝角
3.2 应用于角平分线、垂直平分线问题
3.2.1 外角和在角平分线求角度中的应用
3.2.2 外角和在垂直平分线求角度中的应用
3.3 利用外角和求解夹角问题
3.3.1 外角和与夹角关系的应用
3.3.2 通过外角和解决夹角大小关系
三角形的外角和是三角形任意一个角的外角与其他两个内角的和，通过对外角和的定义、性质、计算方法以及在几何问题中的应用进行详细的讲解，可以帮助读者更好地理解和掌握这一概念。
完整版三角形的内角和与外角和关系基础知识讲解
三角形的内角和与外角和关系(基础)知识讲解【学习目标】1理解三角形内角和定理的证明方法；2•掌握三角形内角和定理及三角形的外角性质；3•能够运用三角形内角和定理及三角形的外角性质进行相关的计算，证明问题【要点梳理】要点一、三角形的内角和1. 三角形内角和定理：三角形的内角和为180° •2. 结论：直角三角形的两个锐角互余.要点诠释：应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题：①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数；②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数；③求一个三角形中各角之间的关系.要点二、三角形的外角1 •定义：三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角•如图，/ ACD是△ ABC的一个外角.L L)要点诠释：(1)外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上；②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线.(2 )三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角.所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角.2. 性质：(1)三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.(2)三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角.要点诠释：三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理、证明经常使用的理论依据•另外，在证明角的不等关系时也常想到外角的性质.3. 三角形的外角和：三角形的外角和等于360° .要点诠释：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180° ,可推出三角形的三个外角和是360°.【典型例题】类型一、三角形的内角和1 .证明：三角形的内角和为180° .【答案与解析】解：已知：如图，已知△ ABC求证：/ A+Z B+Z C= 180° .••• AB // CD （已作），••• /仁/A （两直线平行，内错角相等）/ B=/ 2 （两直线平行，同位角相等） 又•••/ ACB+/ 1 + / 2=180°（平角定义）， •••/ ACB+/ A+/ B=180。
【一等奖教案】 三角形的外角
三角形的外角
教学目标：
1、总体目标：学习三角形的外角性质及外角和定理，结合实例，在实际背景
中理解图形的性质，运用三角形的外角性质和外角和定理，经历探索图形的过程。
2、知识目标：掌握三角形的外角性质和外角和定理及其说理。
通过足球中的数学问题的解析，会运用三角形外角性质和外角和定理解题和简单说理
3、能力目标：让学生经历观察、思考、猜想、归纳、推理的活动过程；通过
分析问题、解决问题、证实结论，从而通晓数学知识的发生与形成过程。
通过合作研究三角形的内、外角之间的关系及钉子板上的五角星游戏，以提高学生的合作意识和沟通、表达能力。
4、创新性目标：在体验一题多变、一题多解的过程中发散思维，提高空间想象
能力。
5、情感态度与价值观：通过课前序曲《生命之杯》及短片《小罗的射门集锦》
欣赏，增强学生对学习本课的兴趣；同时让学生体验数学课堂中的激情气氛。
运用三角形内外角知识与足球比赛之间的联系，让学生体验生活中团队协作、力争上游、奋勇拼搏的精神。
教学重点：三角形外角性质及外角和定理的探索。
教学难点：灵活应用三角形的外角性质解决问题。
学法选择：合作学习法、归纳总结法
教学准备：ppt课件、三角尺、钉子板。
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• （方法2）证明：∵∠1=∠ABC+∠ACB，∠2 =∠BAC+ ∠ACB，∠3=∠BAC+ ∠ABC（三角 形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和) • ∴∠1＋ ∠2+∠3=∠ABC+∠ACB+∠BAC+ ∠ACB+∠BAC+ ∠ABC(等式的性质） • 即：∠1＋∠2+∠3=2（ ∠ABC+∠ACB+∠BAC） • ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180°（三角 形内角和等于180°） • ∴∠1＋∠2+∠3=360°（等量代换）
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六、作业设计 1、将一副常规的三角尺按如图方式放置，则图 中∠AOB的度数为（ A ）
A． 75° B． 95° D． 120°
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C． 105°
2、如图，△ABC中，∠A、∠B、∠C的外角分 别记为α、β、γ，若α：β：γ=3：4：5，则∠A ：∠B：∠C=（ ）A
A． 3：2：1 C． 3：4：5
答：三角形的一个外角与它相邻的内角是互补的.
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• 问题3、探索三角形的一个外角与它不相邻的两个内 角之间的关系 • （1）下图中若∠ A ＝70º∠ B=60º , 你能求出 ∠ACD吗?∠ACD与 ∠A, ∠B有什么关系?
• • • • 答：能求出 ∵∠ A ＝70º∠ B=60º （已知） 即：∠ A+∠ B=130º （等式的性质） ∵∠ACB=180°—70°—60°=50°(三 角形内角和是180º ） • 即：∠ACD=180°—50°=130°（三角 形的一个外角与它相邻的内角是互补的） • ∴∠ACD=∠A+∠B（等量代换） • 即：三角形一外角与它不相邻的两个内角 和是相等的
• 答：外角有：∠MCA、∠NCB、 ∠GBC、∠FBA、∠EAB、 ∠DAC • 共有三对 • 从位置关系：∠MCA与∠NCB 、∠GBC与∠FBA、∠EAB与 ∠DAC分别是对顶角. • 从数量关系：∠MCA=∠NCB、 ∠GBC=∠FBA、∠EAB=∠DAC
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问题3、在上图中指出其中任一个外角的相 邻内角和不相邻内角.
• 答：例如，与∠DAC相邻内角是∠CAB，与∠DAC 不相邻内角是∠ACB、∠ABC
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二、探索新知，解决问题
• 问题1、观察上图，三角形的一个外角和它相邻的内 角的和是多少？
答：三角形的一个外角和它相邻的内角的和是180°. （邻补角的定义）
问题2、观察上图，三角形的一个外角与它相邻 的内角是什么关系？
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四、反思总结，情意发展
• 问题1：本节课你学习了什么? • 问题2：本节课你有哪些收获? • 问题3：通过今天的学习，你想进一步探究的问题是 什么?
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五、课堂小结，巩固知识
• 1．本节主要学习三角形的外角的性质及外角和． • 2．注意的问题： • （1）三角形的外角是由三角形一边的反向延长线与 另一边所组成的角． • （2）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角 的和． • （3）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个 内角． • （4）三角形的外角和等于360°
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三角形的外角性质：
• 1、三角形的一个外角等于与它不相邻的 两个内角之和.
• 2、三角形的一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角.
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问题4、三角形的外角和等于多少？ （1）三角形的一个外角和它相邻的内角的 和是多少？有几对这样的角？
答：三角形的一个外 角和它相邻的内角的 和是180°. 有6对这样的角.
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6、如下图所示，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋∠F＝ ？ .
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• 解：∵∠1是△BAN的一外角（已知） • ∴∠1= ∠A＋∠B（三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角之和） • 同理： ∠2= ∠C＋∠D，∠3= ∠E＋∠F • ∵ ∠1、∠2、∠3是△PMN的三外角（ 已知） • ∴ ∠1+∠2+∠3 =360°（三角形的外角 和是360°） • 即：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＋ ∠F=∠1+∠2+∠3 =360°（等式的性质）
B． D．
1：2：3 5：4：3
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3、如图所示，∠A=28°，∠BFC=92°， ∠B=∠C，求∠BDC的度数.
∠BDC=60°
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• 七、评价与反思 • 本节主要介绍三角形外角的性质及其外角和，是一 节探究课． • 本节的知识内容很突出，就是要让学生了解三角形 的外角性质，所以在教学过程中，教师可以放手让 学生探索，利用多种方法进行研究．同时要关注学 生的合作交流，开阔学生的思路，让学生在经历整 个探索过程的同时，体会数学的严谨性，培养学生 的逻辑思维和解决问题的能力． • 在教学设计上，关注学生自主学习、合作交流的过 程，让学生体会数学知识应用的灵活性，感受数学 基础的重要，在获得数学活动经验的同时，提高学 生探究、发现和创新的能力．
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（2）想一想：三角形的一个任何外角与它不相邻的 两个内角是否都有这种关系?
答：任何三角形的一个外角与它不相邻的两个内角都 有这种关系. （3）证明你的猜想：∠ ACD = ∠A + ∠B
证明：∵∠ ACB+∠A + ∠B=180°（三角形内角和等于 180°） 即：180°—∠ ACB =∠A + ∠B 又∵∠ ACD+∠ ACB=180°（三角形的一个外角和它相 邻的内角的和是180°） 即：180°—∠ ACB =∠ ACD ∴∠ ACD= ∠A + ∠B（等式的性质）
筠连县第三中学 唐世举
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一、复习旧知，提出问题
• 问题1、口述三角形的内角、外角定义和三角 形的内角和.
答：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角. 三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做 三角形的外角. 三角形的内角和等于180º .
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问题2、在下图指出△ＡＢＣ的所有外角，它 的外角共有几对呢? 它们分别是什么关系？
结论：三角形的外角和是 360°.
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三、巩固训练，熟练技能
• 1、如图所示,∠CAB的外角等于120°,∠B等于 40°,则∠C 的度数是多少？.
解：∵∠CAD=∠B+∠C（三角形 的一个外角等于与它不相邻的两 个内角之和） 又∵∠CAD=120°， ∠B=40°（已知） ∴∠C=∠CAD—∠B=120°— 40° =80°.（等式的性质）
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（2）求证：∠1＋∠2 ＋∠3 ＝360°
(方法1）证明：∵∠1＋∠BAC=180°，∠2 ＋∠ABC=180°∠3+∠ACB=180°(三角形 的一个外角和它相邻的内角的和是180°) ∴∠BAC ＋∠ABC+∠ACB+ ∠1＋∠2+∠3 =540°(等式的性质) ∵∠BAC ＋∠ABC+∠ACB=180°（三角 形内角和等于180°） ∴∠1＋∠2+∠3=360°（等式的性质）
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2、如下图，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD ，∠ADC＝８0°,∠BAC=70°. 求：（1）∠B的度数； （2）∠C的度数.
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• 解：（1）∵∠ADC＝∠B+∠BAD（三角形的一个外角等 于与它不相邻的两个内角之和） • 又∵∠B＝∠BAD（已知） • ∴∠ADC＝2∠B（等量代换） • ∵∠ADC＝８0°（已知） • ∴∠B＝40°（等式的性质) • (2)由（1）知：∠B＝40° • ∵∠BAC+∠B+∠C=1８0°（三角形内角和等于180° ） • ∠BAC=70°（已知） • ∴∠C=1８0°—∠BAC—∠B（等式的性质） • ∠C=1８0°—70°—40°（等量代换） • 即：∠C=70°
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3、如图，AB∥CD ,∠A=40°,∠D=45°，求 ∠1和∠2.
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解：∵AB∥CD(已知） ∴∠A=∠1（两直线平行，内错角相等） 又∵∠A=40°（已知） ∴∠1=40°（等量代换） ∵∠D+∠1=∠2（三角形的一个外角等于与它不相 邻的两个内角之和） ∠D=45°（已知） ∴∠2=40°+45°（等量代换） 即:∠2=85°
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• 4、求下列各图中∠1的度数.
图
图
图
解：图中 ∠1=180°—60°—30°=90° ， 图 中 ∠1=120°—40°=80°， 图 中∠1=45°+50° =95°
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5、把图中∠1、 ∠2、 ∠3按由大到小的顺序排列.
解：∵∠1是△BDE的一外 角（已知） ∴∠1>∠2（三角形的 一个外角大于与它不相邻的 任何一个内角） 同理可得：∠2>∠3 综上所述∠1>∠2>∠3