高三数学一轮复习直线与圆的位置关系学案

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高考数学总复习直线与圆的位置关系学案

高考数学总复习直线与圆的位置关系学案一、课前热身：已知圆O：，直线（1）若直线L与圆O相切，求直线L方程；（2）若直线L与圆O相交于A、B两点，且，求直线L方程；二、课堂探究探究一1、若直线L与圆O相交于A、B两点，且，求斜率K；变式1：若为钝角（锐角），求K 范围、探究二2、若直线L与圆O相交于A、B两点（直线L不经过圆心O），求面积的最大值，并求此时的直线方程。

变式2：若直线过定点,与圆O相交于A、B两点（直线L不经过圆心O），求面积的最大值，并求此时的直线方程。

拓展：若直线过定点,与圆O相交于A、B两点，（1）当在何范围时，面积的最大值为，此时直线满足何条件（2）当在何范围时，面积的最大值为，此时直线满足何条件三、课堂小结：通过学习，我们在处理直线与圆的位置关系问题时，通常采用哪些方法？四、课后作业：1、已知圆O：，直线，（1）若圆O上有且只有一个点到直线 L的距离为1，求K的值、（2）若圆O上有且只有两个点到直线 L的距离为1，求K的范围（3）若圆O上有且只有三个点到直线 L的距离为1，求K的范围（4）若圆O上有且只有四个点到直线 L的距离为1，求K的范围2、直线y＝kx＋3与圆(x－2)2＋(y－3)2＝4相交于M、N两点，若|MN|≥2，则k的取值范围是、3、若直线与曲线恰有一个公共点，求K的范围4、设P为直线x＋y-4＝0上的动点，过点P作圆O：的两条切线，切点分别为A，B，则四边形PAOB的面积的最小值为________、5、求函数的最大值是、6、已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0、问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由、。

高三数学一轮复习优质学案：§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d 和圆半径r 的大小关系． ________⇔相交；________⇔相切；________⇔相离． (2)代数法：――→判别式Δ＝b 2－4ac⎩⎪⎨⎪⎧>0⇔ ；＝0⇔ ；<0⇔ .2．圆与圆的位置关系设圆O 1：(x －a 1)2＋(y －b 1)2＝r 21(r 1>0)，圆O 2：(x －a 2)2＋(y －b 2)2＝r 22(r 2>0)．『知识拓展』1．圆的切线方程常用结论(1)过圆x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2.(2)过圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程为(x 0－a )(x －a )＋(y 0－b )(y －b )＝r 2.(3)过圆x 2＋y 2＝r 2外一点M (x 0，y 0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x 0x ＋y 0y ＝r 2. 2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆的位置关系与公切线的条数：①内含：0条；②内切：1条；③相交：2条；④外切：3条；⑤外离：4条．(2)当两圆相交时，两圆方程(x 2，y 2项系数相同)相减便可得公共弦所在直线的方程．『思考辨析』判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．( )(2)如果两圆的圆心距小于两圆的半径之和，则两圆相交．( )(3)从两圆的方程中消掉二次项后得到的二元一次方程是两圆的公共弦所在的直线方程．( )(4)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )(5)过圆O ：x 2＋y 2＝r 2外一点P (x 0，y 0)作圆的两条切线，切点分别为A ，B ，则O ，P ，A ，B 四点共圆且直线AB 的方程是x 0x ＋y 0y ＝r 2.( )1．(教材改编)圆(x －1)2＋(y ＋2)2＝6与直线2x ＋y －5＝0的位置关系是( ) A ．相切 B ．相交但直线不过圆心 C ．相交过圆心D ．相离2．(2016·全国甲卷)圆x 2＋y 2－2x －8y ＋13＝0的圆心到直线ax ＋y －1＝0的距离为1，则a 等于( )A ．－43B ．－34C. 3 D ．23．(2016·西安模拟)若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )A ．『－3，－1』B ．『－1,3』C ．『－3,1』D ．(－∞，－3』∪『1，＋∞)4．(2016·黑龙江大庆实验中学检测)已知圆C 1：(x －2)2＋(y －3)2＝1，圆C 2：(x －3)2＋(y －4)2＝9，M ，N 分别是圆C 1，C 2上的动点，P 为x 轴上的动点，则|PM |＋|PN |的最小值为( ) A ．6－2 2B ．52－4C.17－1D.175．已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为________．题型一直线与圆的位置关系的判断例1(1)已知点M(a，b)在圆O：x2＋y2＝1外，则直线ax＋by＝1与圆O的位置关系是() A．相切B．相交C．相离D．不确定(2)(2016·江西吉安月考)圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为()A．相离B．相切C．相交D．以上都有可能思维升华判断直线与圆的位置关系的常见方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．上述方法中最常用的是几何法，点与圆的位置关系法适用于动直线问题．已知方程x2＋xtan θ－1sin θ＝0有两个不等实根a和b，那么过点A(a，a2)，B(b，b2)的直线与圆x2＋y2＝1的位置关系是________．题型二圆与圆的位置关系例2(1)(2016·山东)已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a＞0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离(2)(2017·重庆调研)如果圆C：x2＋y2－2ax－2ay＋2a2－4＝0与圆O：x2＋y2＝4总相交，那么实数a的取值范围是______________________．思维升华判断圆与圆的位置关系时，一般用几何法，其步骤是(1)确定两圆的圆心坐标和半径长；(2)利用平面内两点间的距离公式求出圆心距d，求r1＋r2，|r1－r2|；(3)比较d，r1＋r2，|r1－r2|的大小，写出结论．已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.(1)m取何值时两圆外切；(2)m取何值时两圆内切；(3)求m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．题型三直线与圆的综合问题命题点1 求弦长问题例3 (2016·全国丙卷)已知直线l ：mx ＋y ＋3m －3＝0与圆x 2＋y 2＝12交于A ，B 两点，过A ，B 分别做l 的垂线与x 轴交于C ，D 两点，若|AB |＝23，则|CD |＝________. 命题点2 直线与圆相交求参数范围例4 (2015·课标全国Ⅰ)已知过点A (0,1)且斜率为k 的直线l 与圆C ：(x －2)2＋(y －3)2＝1交于M ，N 两点． (1)求k 的取值范围；(2)若OM →·ON →＝12，其中O 为坐标原点，求|MN |.命题点3 直线与圆相切的问题例5 已知圆C ：(x －1)2＋(y ＋2)2＝10，求满足下列条件的圆的切线方程． (1)与直线l 1：x ＋y －4＝0平行； (2)与直线l 2：x －2y ＋4＝0垂直； (3)过切点A (4，－1)．思维升华直线与圆综合问题的常见类型及解题策略(1)处理直线与圆的弦长问题时多用几何法，即弦长的一半、弦心距、半径构成直角三角形． (2)圆的切线问题的处理要抓住圆心到直线的距离等于半径，从而建立关系解决问题．(1)(2015·课标全国Ⅱ)过三点A (1,3)，B (4,2)，C (1，－7)的圆交y 轴于M 、N 两点，则|MN |等于( ) A ．2 6 B ．8 C ．4 6D ．10(2)若直线x cos θ＋y sin θ－1＝0与圆(x －1)2＋(y －sin θ)2＝116相切，且θ为锐角，则该直线的斜率是( ) A ．－33 B ．－ 3 C.33D. 37．高考中与圆交汇问题的求解考点分析与圆有关的最值问题及直线与圆相结合的题目是近年来高考高频小考点．与圆有关的最值问题主要表现在求几何图形的长度、面积的最值，求点到直线的距离的最值，求相关参数的最值等方面．解决此类问题的主要思路是利用圆的几何性质将问题转化；直线与圆的综合问题主要包括弦长问题，切线问题及组成图形面积问题，解决方法主要依据圆的几何性质．一、与圆有关的最值问题典例1 (1)(2015·湖南)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|P A →＋PB →＋PC →|的最大值为( )A ．6B ．7C ．8D ．9(2)过点(2，0)引直线l 与曲线y ＝1－x 2相交于A 、B 两点，O 为坐标原点，当△AOB 的面积取最大值时，直线l 的斜率等于( ) A.33 B ．－33 C ．±33D ．－ 3 二、直线与圆的综合问题典例2 (1)(2015·重庆)已知直线l ：x ＋ay －1＝0(a ∈R )是圆C ：x 2＋y 2－4x －2y ＋1＝0的对称轴，过点A (－4，a )作圆C 的一条切线，切点为B ，则|AB |等于( ) A ．2 B ．4 2 C ．6 D ．210(2)在平面直角坐标系中，A ，B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线2x ＋y －4＝0相切，则圆C 面积的最小值为( ) A.45π B.34π C ．(6－25)πD.54π 提醒：完成作业第九章 §9.4答案精析基础知识自主学习知识梳理1．(1)d <r d ＝r d >r (2)相交相切相离2．d >r 1＋r 2 无解 d ＝r 1＋r 2 一组实数解 |r 1－r 2|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解思考辨析(1)× (2)× (3)× (4)√ (5)√ 考点自测1．B 2.A 3.C 4.B 5.94题型分类深度剖析例1 (1)B (2)C 跟踪训练1 相切例2 (1)B (2)(－22，0)∪(0,22)跟踪训练2 解两圆的标准方程分别为(x －1)2＋(y －3)2＝11，(x －5)2＋(y －6)2＝61－m ，圆心分别为M (1,3)，N (5,6)，半径分别为11和61－m .(1)当两圆外切时， (5－1)2＋(6－3)2＝11＋61－m ，解得m ＝25＋1011.(2)当两圆内切时，因为定圆的半径11小于两圆圆心间距离5，故只有61－m －11＝5，解得m ＝25－1011.(3)两圆的公共弦所在直线方程为(x 2＋y 2－2x －6y －1)－(x 2＋y 2－10x －12y ＋45)＝0，即4x ＋3y －23＝0，所以公共弦长为2(11)2－(|4×1＋3×3－23|42＋32)2 ＝27.例3 4解析设AB 的中点为M ，由题意知，圆的半径R ＝23，|AB |＝23，所以|OM |＝3，解得m ＝－33，由⎩⎪⎨⎪⎧ x －3y ＋6＝0，x 2＋y 2＝12解得A (－3，3)，B (0，23)，则AC 的直线方程为y －3＝－3(x ＋3)，BD 的直线方程为y －23＝－3x ，令y ＝0，解得C (－2,0)，D (2,0)，所以|CD |＝4. 例4 解 (1)由题设，可知直线l 的方程为y ＝kx ＋1，因为l 与C 交于两点，所以|2k －3＋1|1＋k2<1. 解得4－73<k <4＋73. 所以k 的取值范围为⎝⎛⎭⎪⎫4－73，4＋73.(2)设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)．将y ＝kx ＋1代入方程(x －2)2＋(y －3)2＝1，整理得(1＋k 2)x 2－4(1＋k )x ＋7＝0.所以x 1＋x 2＝4(1＋k )1＋k 2，x 1x 2＝71＋k 2.OM →·ON →＝x 1x 2＋y 1y 2＝(1＋k 2)x 1x 2＋k (x 1＋x 2)＋1＝4k (1＋k )1＋k 2＋8.由题设可得4k (1＋k )1＋k 2＋8＝12，解得k ＝1，所以l 的方程为y ＝x ＋1.故圆心C 在l 上，所以|MN |＝2.例5 解 (1)设切线方程为x ＋y ＋b ＝0，则|1－2＋b |2＝10，∴b ＝1±25，∴切线方程为x ＋y ＋1±25＝0.(2)设切线方程为2x ＋y ＋m ＝0，则|2－2＋m |5＝10，∴m ＝±52，∴切线方程为2x ＋y ±52＝0.(3)∵k AC ＝－2＋11－4＝13，∴过切点A (4，－1)的切线斜率为－3，∴过切点A (4，－1)的切线方程为y ＋1＝－3(x －4)，即3x ＋y －11＝0.跟踪训练3 (1)C (2)A高频小考点典例1 (1)B (2)B 『(1)∵A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上，且AB ⊥BC ，∴AC 为圆的直径，故P A →＋PC →＝2PO →＝(－4,0)，设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈『－1,1』，PB →＝(x －2，y )，∴P A →＋PB →＋PC →＝(x －6，y )．故|P A →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴当x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.(2)∵S △AOB ＝12|OA ||OB |sin ∠AOB ＝12sin ∠AOB ≤12.当∠AOB ＝π2时， △AOB 面积最大．此时O 到AB 的距离d ＝22. 设AB 方程为y ＝k (x －2)(k <0)，即kx－y－2k＝0.由d＝|2k|k2＋1＝22得k＝－33.(也可k＝－tan∠OPH＝－3 3)．』典例2(1)C(2)A『(1)由于直线x＋ay－1＝0是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴，∴圆心C(2,1)在直线x＋ay－1＝0上，∴2＋a－1＝0，∴a＝－1，∴A(－4，－1)．∴|AC|2＝36＋4＝40.又r＝2，∴|AB|2＝40－4＝36.∴|AB|＝6.(2)∵∠AOB＝90°，∴点O在圆C上．设直线2x＋y－4＝0与圆C相切于点D，则点C与点O间的距离等于它到直线2x＋y－4＝0的距离，∴点C在以O为焦点，以直线2x＋y－4＝0为准线的抛物线上，∴当且仅当O，C，D共线时，圆的直径最小为|OD|.又|OD|＝|2×0＋0－4|5＝45，∴圆C的最小半径为25，∴圆C面积的最小值为π(25)2＝45π.』。

江苏高考数学一轮复习《直线与圆的位置关系》教程学案

第45课直线与圆的位置关系(2)1. 能利用直线与圆的方程及其相关性质，解决直线与圆的简单综合问题.2. 掌握处理直线与圆的综合性问题的基本方法.3. 领悟并基本掌握“等价转化”“数形结合”等数学思想方法，会选择并掌握合理简捷的运算途径.1. 阅读：必修2第115～117页.2. 解悟：①进一步熟悉直线方程与圆的方程及其相互关系；②过圆上一点作圆的切线，有几条？能否写出圆的切线方程？若是过圆外一点呢？③研究直线与圆的位置关系，一般有哪些方法？④定点、定值问题有哪些基本方法？3. 践习：在教材空白处，完成必修2第128页复习题第12、14题，第129页复习题第26题.基础诊断1. 由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线长的最小值为7 .解析：由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，当直线上的点到圆心的距离最小，即圆心到直线的距离最小时，切线长也最小.因为圆心到直线的距离为|3＋1|2＝22，所以切线长最小为（22）2－1＝7.2. 过点(－1，－2)的直线l 被圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0截得的弦长为2，则直线l 的斜率为 1或177Ｗ.解析：将圆的方程化为标准方程得(x －1)2＋(y －1)2＝1，所以圆心为(1，1)，半径为r ＝1.又因为弦长为2，所以圆心到直线l 的距离d ＝1－⎝⎛⎭⎫222＝22.因为直线l 的斜率存在，设为k ，所以直线l ：y ＋2＝k(x ＋1)，即kx －y ＋k －2＝0，所以|2k －3|k 2＋1＝22，解得k ＝1或k ＝177，故直线l 的斜率为1或177.3. 已知圆O ：x 2＋y 2＝5，直线l ：x cos θ＋y sin θ＝1⎝⎛⎭⎫0<θ<π2，设圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为k ，则实数k ＝ 4 Ｗ.解析：因为圆O ：x 2＋y 2＝5，所以圆心O(0，0)，半径r ＝ 5.因为圆心O 到直线l 的距离d ＝1cos 2θ＋sin 2θ＝1<5，且r －d ＝5－1>1，所以圆O 上到直线l 的距离等于1的点的个数为4，即k ＝4.4. 已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A(－2，0)，B(3，a)，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是 (－∞，－524)∪(524，＋∞) . 解析：由题意知过点A 的圆的切线方程的斜率存在，则设切线方程为y ＝k(x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，则圆心到切线的距离d ＝|3k|k 2＋1＝1，解得k ＝±24，所以过点A 的圆的切线方程为y ＝±24(x ＋2).当x ＝3时，y ＝±524，所以所求的a 的取值范围为(－∞，－524)∪(524，＋∞). 范例导航考向❶ 直线与圆相交的弦的问题例1 已知圆C ：(x －1)2＋y 2＝9内有一点P(2，2)，过点P 作直线l 交圆C 于A ，B 两点.(1) 当直线l 经过圆心C 时，求直线l 的方程； (2) 当弦AB 被点P 平分时，求直线l 的方程； (3) 当直线l 的倾斜角为45°时，求弦AB 的长.解析：(1) 因为圆C ：(x －1)2＋y 2＝9的圆心为C(1，0)，直线l 经过两点P ，C ，所以直线l 的斜率为k ＝2－02－1＝2，所以直线l 的方程为y ＝2(x －1)，即2x －y －2＝0.(2) 当弦AB 被点P 平分时，l ⊥PC ，所以直线l 的方程为y －2＝－12(x －2)，即x ＋2y－6＝0.(3) 当直线l 的倾斜角为45°时，斜率为1，直线l 的方程为y －2＝x －2，即x －y ＝0，则圆心C(1，0)到直线l 的距离为12.又圆的半径为3，所以弦AB ＝34.已知圆x 2＋y 2＝8内一点P(－1，2)，过点P 的直线l 的倾斜角为α，直线l 交圆于A ，B 两点.(1) 若α＝3π4，则AB ＝30 ；(2) 若弦AB 被点P 平分时，则直线l 的方程为 x －2y ＋5＝0 Ｗ.解析：(1) 因为α＝3π4，所以k AB ＝－1，所以直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)，即x ＋y－1＝0，所以圆心O(0，0)到AB 的距离d ＝|0＋0－1|2＝22，则AB ＝28－12＝30. 解析：(2) 因为弦AB 被点P 平分，所以OP ⊥AB.又因为k OP ＝－2，所以k AB ＝12，所以直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.考向❷ 定点、定值问题例2 如图，在平面直角坐标系xOy 中，已知点A(－3，4)，B(9，0)，C ，D 分别为线段OA ，OB 上的动点，且满足AC ＝BD.(1) 若AC ＝4，求直线CD 的方程；(2) 求证：△OCD 的外接圆恒过定点.(异于原点O)解析：(1) 因为A(－3，4)，所以OA ＝（－3）2＋42＝5.因为AC ＝4，所以OC ＝1，所以C ⎝⎛⎭⎫－35，45. 由BD ＝4，得D(5，0)，所以直线CD 的斜率为0－455－⎝⎛⎭⎫－35＝－17，所以直线CD 的方程为y ＝－17(x －5)，即x ＋7y －5＝0.(2) 设C(－3m ，4m)(0<m ≤1)，则OC ＝5m ，则AC ＝OA －OC ＝5－5m.因为AC ＝BD ，所以OD ＝OB －BD ＝5m ＋4，所以点D 的坐标为(5m ＋4，0).又设△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2＋Dx ＋Ey ＋F ＝0，则有⎩⎪⎨⎪⎧F ＝0，9m 2＋16m 2－3mD ＋4mE ＋F ＝0，（5m ＋4）2＋（5m ＋4）D ＋F ＝0，解得D ＝－(5m ＋4)，F ＝0，E ＝－10m －3，所以△OCD 的外接圆的方程为x 2＋y 2－(5m ＋4)x －(10m ＋3)y ＝0，整理得x 2＋y 2－4x －3y －5m(x ＋2y)＝0.令⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－4x －3y ＝0，x ＋2y ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝0，y ＝0(舍)或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝－1，所以△OCD 的外接圆恒过定点(2，－1).已知以点C ⎝⎛⎭⎫t ，2t (t ∈R ，t ≠0)为圆心的圆与x 轴交于点O ，A ，与y 轴交于点O ，B ，其中O 为原点.(1) 求证：△OAB 的面积为定值；(2) 设直线y ＝－2x ＋4与圆C 交于点M ，N ，若OM ＝ON ，求圆C 的方程. 解析：(1) 由题意知圆C 的方程为(x －t )2＋⎝⎛⎭⎫y －2t 2＝t 2＋4t2，化简得x 2－2tx ＋y 2－4ty ＝0.当y ＝0时，x ＝0或2t ，则A (2t ，0)；当x ＝0时，y ＝0或4t ，则B ⎝⎛⎭⎫0，4t ，所以S △OAB ＝12OA ·OB ＝12×|2t |×⎪⎪⎪⎪4t ＝4，所以△OAB 的面积为定值. (2) 因为OM ＝ON ，CM ＝CN ，所以OC 垂直平分MN . 因为k MN ＝－2，所以k OC ＝12，所以k OC ＝12＝2t t ＝2t2，所以t ＝±2.当t ＝2时，圆心C (2，1)，半径r ＝OC ＝5，此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝55<5，所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4相交于两点；当t ＝－2时，圆心C (－2，－1)，半径r ＝OC ＝5，此时点C 到直线y ＝－2x ＋4的距离d ＝95＝955>5，所以圆C 与直线y ＝－2x ＋4不相交，所以t ＝－2不符题意. 综上，圆C 的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝ 5. 考向❸ 隐圆问题例3 如图，已知圆C ：x 2＋y 2＝9，点A(－5，0)，直线l ：3x －4y ＝0.(1) 求与圆C 相切，且与直线l 垂直的直线方程；(2) 在直线OA 上(O 为坐标原点)，是否存在定点B(不同于点A)，满足：对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数.若存在，求出所有满足条件的点B 的坐标；若不存在，请说明理由.解析：(1) 由题意可设所求直线方程为4x ＋3y －b ＝0. 因为直线与圆相切，所以|－b|42＋32＝3，得b ＝±15，所以所求直线方程为4x ＋3y ＋15＝0或4x ＋3y －15＝0. (2) 方法一：假设存在这样的点B(t ，0). 当点P 为圆C 与x 轴的左交点(－3，0)时， PB PA ＝|t ＋3|2；当点P 为圆C 与x 轴的右交点(3，0)时， PB PA ＝|t －3|8. 依题意，|t ＋3|2＝|t －3|8，解得t ＝－5(舍去)或t ＝－95.下面证明点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PBPA 为一常数. 设P(x ，y)，则y 2＝9－x 2，所以PB 2PA 2＝⎝⎛⎭⎫x ＋952＋y 2（x ＋5）2＋y 2＝x 2＋185x ＋9－x 2＋8125x 2＋10x ＋25＋9－x 2＝1825（5x ＋17）2（5x ＋17）＝925，所以PB PA ＝35为常数.方法二：假设存在这样的点B(t ，0)，使得PBPA 为常数λ，则PB 2＝λ2PA 2，设P(x ，y)，所以(x －t)2＋y 2＝λ2[(x ＋5)2＋y 2]，将y 2＝9－x 2代入，得x 2－2xt ＋t 2＋9－x 2＝λ2(x 2＋10x ＋25＋9－x 2)，即2(5λ2＋t)x ＋34λ2－t 2－9＝0对x ∈[－3，3]恒成立，所以⎩⎪⎨⎪⎧5λ2＋t ＝0，34λ2－t 2－9＝0，解得⎩⎨⎧λ＝35，t ＝－95或⎩⎪⎨⎪⎧λ＝1，t ＝－5(舍去)，故存在点B ⎝⎛⎭⎫－95，0对于圆C 上任意一点P ，都有PB PA ＝35.如图，在平面直角坐标系xOy 中，点A(0，3)，直线l ：y ＝2x －4.设圆C 的半径为1，圆心在l 上.(1) 若圆心C 也在直线y ＝x －1上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程； (2) 若圆C 上存在点M ，使得MA ＝2MO ，求圆心C 的横坐标a 的取值范围.解析：(1) 由题意知，圆心C 是直线y ＝2x －4和y ＝x －1的交点，解得点C(3，2)，于是切线的斜率必存在.设过点A(0，3)的圆C 的切线方程为y ＝kx ＋3. 由题意得|3k ＋1|k 2＋1＝1，解得k ＝0或k ＝－34，故所求切线方程为y ＝3或3x ＋4y －12＝0.(2) 因为圆心在直线y ＝2x －4上，所以设圆心C(a ，2a －4)，所以圆C 的方程为(x －a)2＋[y －2(a －2)]2＝1. 设点M(x ，y)，因为MA ＝2MO ，所以x 2＋（y －3）2＝2x 2＋y 2，化简得x 2＋y 2＋2y －3＝0，即x 2＋(y ＋1)2＝4，所以点M 在以D(0，－1)为圆心，2为半径的圆上. 由题意得点M(x ，y)也在圆C 上，所以圆C 与圆D 有公共点，则2－1≤CD ≤2＋1，即1≤a 2＋（2a －3）2≤3. 整理，得－8≤5a 2－12a ≤0. 由5a 2－12a ＋8≥0，得a ∈R ；由5a 2－12a ≤0，得0≤a ≤125，所以点C 的横坐标a 的取值范围为⎣⎡⎦⎤0，125. 自测反馈1. 过点(2，3)且与圆(x －3)2＋y 2＝1相切的直线方程为 x ＝2或4x ＋3y －17＝0 Ｗ. 解析：当切线的斜率不存在时，切线的方程为x ＝2，满足题意；当切线的斜率存在时，设切线的斜率为k ，则切线的方程为y －3＝k(x －2)，即kx －y ＋3－2k ＝0，由圆心(3，0)到切线的距离等于半径得|k ＋3|k 2＋1＝1，所以k ＝－43，切线方程为4x ＋3y －17＝0.综上，所求切线方程为x ＝2或4x ＋3y －17＝0.2. 若直线l ：y ＝kx ＋1被圆C ：x 2＋y 2－2x －3＝0截得的弦最短，则实数k ＝ 1 .解析：由题意得圆C ：(x －1)2＋y 2＝4，因为直线l 过点M(0，1)，且被圆C 截得的弦最短，所以直线l 与直线CM 垂直，又k CM ＝－1，所以k ＝1.3. 在平面直角坐标系xOy 中，若直线ax ＋y －2＝0与圆心为C 的圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A ，B 两点，且△ABC 为直角三角形，则实数a 的值是－1 .解析：圆(x －1)2＋(y －a)2＝16的圆心坐标为C(1，a)，半径r ＝4，直线ax ＋y －2＝0与圆(x －1)2＋(y －a)2＝16相交于A 、B 两点，且△ABC 为等腰直角三角形，则圆心C 到直线ax ＋y －2＝0的距离为22，所以d ＝|a ＋a －2|a 2＋1＝22，解得a ＝－1.4. 在平面直角坐标系xOy 中，A(－12，0)，B(0，6)，点P 在圆O ：x 2＋y 2＝50上.若PA →·PB →≤20，则点P 横坐标的取值范围是 [－52，1] .解析：设点P 坐标为(x ，y)，则PA →＝(－12－x ，－y)，PB →＝(－x ，6－y)，则PA →·PB →＝x 2＋y 2＋12x －6y ≤20.又因为x 2＋y 2＝50，所以PA →·PB →－20＝x 2＋y 2＋12x －6y －20＝50＋12x －6y －20≤0，即2x －y ＋5≤0，则点P 表示的轨迹在直线2x －y ＋5＝0的上方.又因为点P 在圆x 2＋y 2＝50上，由图易知，点P 的横坐标的取值范围是[x C ，x D ].由题意得x C ＝－52，联立⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋5＝0，x 2＋y 2＝50，消去y 得x 2＋4x －5＝0，解得x 1＝－5，x 2＝1，即x D ＝1，所以点P 的横坐标的取值范围是[－52，1].1. 研究直线与圆的问题时，一般采用两种方法：一是利用几何特征转化为代数问题求解；二是利用方程组求解，前者是常用方法.2. 题中所给某些条件中往往隐含着重要的几何关系或几何性质，要注意挖掘和运用.3. 你还有哪些体悟，写下来：。

【高三】2021届高考数学第一轮导学案复习：直线与圆的位置关系

【高三】2021届高考数学第一轮导学案复习：直线与圆的位置关系高三数学理科复习34----直线与圆的位置关系【高考要求】：能根据给定的线和圆的方程判断线和圆、圆和圆的位置关系，能求出圆的切线方程、公弦方程和弦长（b）【学习目标】：掌握直线与圆，圆与圆的位置关系的几何图形及其判断方法，能用直线与圆的方程解决一些简单的问题[知识回顾和自学查询]（一）问题1.直线和圆之间的位置关系是什么？圆圈之间的位置关系是什么？2、如何判断直线与圆，圆与圆的位置关系？3.如何求与圆相交的直线的弦长？（二）练习1.已知圆和直线时，它们与圆相交。

如果有另一个圆，那么这两个圆是外接的；当时，两个圆圈被刻上；当时，两个圆圈相交2、若圆⊙：，⊙：，则以为切点的⊙的切线方程为：⊙的切线方程为3.被圆切割的直线的弦长为4、过点m（2，4）向圆引切线，则切线方程为5.如果圆与圆相交，实数的取值范围为【例题精讲】1.在这一点上画一条直线。

当直线的斜率是什么值时，它与圆有一个公共点2、直线经过点，其斜率为，与圆相交，交点分别为（1）若，求的值；（2）如果是，请找到的值范围；（3）若为坐标原点），求3.给定圆，点坐标为（2，-1），切线穿过点，切点为（1），以求直线方程（2）求过点的圆的切线长4.已知实数满足方程（1）求的最大值和最小值；（2）求最大值和最小值（3）求的最大值和最小值【纠正反馈】1、若半径为1的动圆与圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是2.如果直线和曲线之间只有一个公共点，则3、圆在点处的切线方程是4.如果点是圆弦的中点，则直线方程为5、若直线与圆有两个不同的交点，则实数的取值范围是[迁移应用程序]1、在圆内，过点最长的弦所在直线方程为2.圆心在直线上且通过点与直线相切的圆的方程为3、过原点的直线与圆相切，若切点在第三象限，则该直线的方程为4.圆和直线之间的位置关系是什么5、已知两圆和相交与两点，则直线的方程为6.让圆上关于直线的点的对称点仍然在圆上，与直线相交的弦长为，求出圆的方程。

高三数学一轮复习学案8.5 直线与圆、圆与圆的位置关系

8.5 直线与圆、圆与圆的位置关系考试要求理解直线和圆及圆和圆的位置关系，会判断直线与圆、圆和圆的位置关系，并能解决直线与圆的有关综合问题。

知识要点:1.直线与圆的位置关系:将直线方程代入圆的方程得到一元二次方程，设它的判别式为Δ，圆心C 到直线l 的距离为d,则直线与圆的位置关系满足以下关系：相切d=r Δ＝0; 相交d<r Δ>0; 相离d>r Δ<02.圆与圆的位置关系:设两圆的半径分别为R 和r ，圆心距为d ，则两圆的位置关系满足以下关系：外离d>R ＋r ；外切d ＝R ＋r ；相交R －r<d<R ＋r ；内切d ＝R －r ；内含d<R －r基础练习1．方程表示圆，则的取值范围是（）A. B. C. D. 2．直线与圆在第一象限内有两个不同交点，则的取值范围是（）A.C.3．圆关于直线对称的圆的方程是（）A. B.C. D.4．设M 是圆上的点，则M 点到直线的最短距离是。

5．若曲线与直线有两个交点时，则实数的取值范围是_____.例题精讲例1.过⊙: 2+2=2外一点P(4,2)(1）求过点P 的圆的切线方程；(2）若切点为P 1,P 2，求过切点P 1,P 2的直线方程⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔⇔2222210x y ax ay a a +++++-=a 2a <-203a -<<20a -<<223a -<<y x m =-+221x y +=m 0m <<1m <1m ≤≤m <<222690x y x y +--+=250x y ++=22(7)(1)1x y +++=22(7)(2)1x y +++=22(6)(2)1x y +++=22(6)(2)1x y ++-=22(5)(3)9x y -+-=3420x y +-=1y =(22)x -≤≤(2)4y k x =-+k x y例2.已知2+2+8－6+21=0和直线=m 相交于P,Q 两点，求·的值例3已知直线和圆；（1）时，证明与总相交.（2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长.随堂练习：1.圆2+2-2cos -2b sin -2sin 2=0在轴上截得的弦长为 ( )A. 2B. 2C.D. 42.已知直线+b +c=0(bc 0)与圆2+2=1相切，则三条边长分别为的三角形( )A. 是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在3.设直线过点且与圆相切，则的斜率是（）（A ）（B ）（C ）（D ） 4．圆上到直线的点共有个.x y x y y x →PO →OQ :2830L mx y m ---=22:612200C x y x y +-++=m R ∈L C m L C x y a x θy θa θx a a a 2a a x y a ≠x y c b a ,,l )0,2(-122=+y x l 1±21±33±3±222430x y x y +++-=10x y ++=。

直线与圆的位置关系复习课导学案

《直线与圆的位置关系》复习课学案【学习目标】【学习过程】一、课前梳理夯实基础（一）知识梳理： 1、看图填表：2、切线的定义、性质、判定：定义：直线和圆只有______公共点，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做_____；性质：圆的切线垂直于_______________；判定：经过________________,并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.3、与三角形三边都______的圆，叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心是三角形三条______的交点，叫做三角形的______，三角形的内心到三边的______相等。

（二）基础练习：1、如图，Rt △ABC 中，∠C =90°，AC =3㎝，BC =4㎝，若以C 为圆心，r 为半径作圆.（1）当r =3㎝时，⊙C 与直线AB 的位置关系是；（2）当r = 时，⊙C 与直线AB 相切；当r 时，⊙C 与直线AB 相离；当r 时，⊙C 与直线AB 相交.2、如图，P A 是⊙O 的切线，切点为点A ，PO=4 ,∠APO=30°，则⊙O 的半径为______.3、如图，P 为⊙O 外一点，P A ,PB 是⊙O 的切线，A,B 是切点，AC 是⊙O 的直径，OP 交AB 于D ，根据条件，你能得到哪些结论？4、如图，点I 是△ABC 的内心，∠A =80°，则∠BIC = .5、如图所示，圆外切梯形ABCD 中，AD //BC ，各边依次与⊙O 相切于点E,F ,G ,H ,且AB =7，CD =5，求梯形中位线长.二、变式练习步步为营1、已知： OB=0C,BC 与⊙O 相切于点E ,求证：E 为BC 的中点。

2、如上图，BC 过⊙O 上的E 点,OB=OC ，若E 为BC 的中点，求证：BC 为⊙O 的切线。

3、若BC 是⊙O 的切线，OC 为∠BCN 的角平分线.(1)求证：CN 是⊙O 的切线。

（2）作⊙O 的切线BM,与CN 交于点A ，若∠BOC =1100，求∠BACOB ECO B E CNOBECN M A 第3题图 B A I 第4题图BA CD E FGH O第5题图4、如图，若直线AB 、BC 、AC 与⊙O 分别相切于点D 、E 、F ，①在图（1）中，若AB=9，BC=5，AC=6，则BD= . 若S △ABC =20，则⊙O 的半径为 . ②在图（2）中，若⊙O 的半径为2㎝，∠ABC=60°，则△ABC 的周长是 . ③如图（3），若BC ⊥AC ，BC = 6， AB =10，则⊙O 的半径为．三、综合运用拓展提高如图所示，以四边形ABCD 的一边AB 为直径的⊙O ，与AD ，CD ，BC 分别相切于点A ，点E ，点B ，连结OD ，连结CO 并延长交⊙O 与点M ，过M 作MN ∥OD ，与CB 的延长线交于点N .（1）求证：MN 是⊙O 的切线；（2）若AD =2，BC =8，求⊙O 的半径；（3）求MN 的长.图（2）图（1）图（3）A BCDOM E N备用题库：1．（山东济南）如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，AC 是⊙O 的弦，过O 作OH AC ⊥于点H ．若2OH =，12AB =，BO =求：（1）⊙O 的半径；（2）AC 的值．2.如图所示，⊙M 与x 轴相切于原点，平行于y 轴的直线交圆于P ，Q 两点，P 点在Q 点的下方，若P 点坐标是（2，1），则圆心M 的坐标。

高考数学一轮复习专题直线与圆、圆与圆的位置关系学案新人教版

直线与圆、圆与圆的位置关系一、考纲要求直线与圆、圆与圆的位置关系B二、复习目标1．掌握直线与圆的关系，即相交、相切、相离，并能够利用直线和直线垂直的充要条件和点到直线的距离公式解决圆的切线和弦长等有关问题．2．能根据给定的两个圆的方程判定两圆的位置关系，并能根据两圆的位置关系解决有关问题，初步了解用代数方法处理几何问题的思想．三、重点难点直线与圆相交的弦长问题，直线与圆相切问题．根据两个圆的方程判定两圆的位置关系．四、要点梳理(一) 直线与圆的位置关系1．位置关系有：、、．2．判断方法：(1)代数法：方程组2220()()Ax By C x a y b r ++=⎧⎨-+-=⎩有两组不同的实数解⇔直线与圆；有两组相同的实数解⇔直线与圆；无实数解⇔直线与圆．(一般不用此法) (2)几何法：圆心到直线的距离为d ，圆的半径为r ，满足：_______⇔直线与圆相离；_______⇔直线与圆相切；_______⇔直线与圆相交。

说明：解决直线与圆的关系问题时，一般用几何法不用代数法，要充分发挥圆的平面几何性质的作用(如半径、半弦长、弦心距构成直角三角形,切线长定理、割线定理、弦切角定理等等).(二) 圆与圆的位置关系1．圆与圆的位置关系有：、、、、．2．根据圆的方程，判断两圆位置关系的方法有：（1）代数法：方程组⎩⎨⎧=++++=++++0022********F y E x D y x F y E x D y x 有两组不同的实数解⇔两圆；有两组相同的实数解⇔两圆；无实数解⇔两圆．(一般不用此法)（2）几何法：设两圆圆心分别为1O ，2O 半径分别为12,r r ，12O O d =，则⇔+>21r r d 两圆 ⇔__条公切线；⇔+=21r r d 两圆 ⇔___条公切线；2121r r d r r +<<-⇔两圆______⇔____条公切线；⇔≠-=)(2121r r r r d 两圆 ⇔____条公切线；⇔≠-<≤)(02121r r r r d 两圆 ⇔无公切线（0=d 时为同心圆）．五、基础自测1．已知圆22:4O x y +=，则过点(2,4)P 与圆O 相切的切线方程为．2．若过点(4,0)A 的直线l 与圆22(2)1x y -+=有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________________.3．圆222430x y x y +++-=上到直线10x y ++=的距离为2的点共有____个.4．直线3y kx =+与圆()()22324x y -+-=相交于,M N 两点，若MN ≥k 的取值范围是___________.5．若圆222(3)(5)x y r -++=上有且仅有两个点到直线432x y -=的距离等于1，则半径r 的取值范围为____________________ .6．设集合{}{}2222(,)()(1)1,(,)(1)()9A x y x a y B x y x y a =-++==-+-=，若A B =∅ ，则实数a 的取值范围为___________________.六、典例精讲例1．在平面直角坐标系xoy 中，直线:(4)1l y k x =-+与圆 22:(1)25C x y ++=的位置关系为．变式1：若直线l 被圆 C 所截的弦长为6，则k = ．变式2：过点(4,1)的直线被圆 C 所截的弦长为6，则直线的方程为．变式3：直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为21的两段圆弧？为什么？变式4：若直线l 被圆C 所截的弦长为整数，这样的直线有条；变式5：直线l 与圆C 交于,E G 两点，直线1l ：(1)40x k y +--=与圆C 交于,F H 两点则四边形EFGH 的面积最大值为．例2．如图，在平面直角坐标系xOy 中，点(0,3)A ，直线42:-=x y l ，设圆C 的半径为1，圆心在l 上．(1)若圆心C 也在直线1-=x y 上，过点A 作圆C 的切线，求切线的方程；(2)若圆C 上存在点M ,使MO MA 2=，求圆心C 的横坐标a 的取值范围．变式1：在平面直角坐标系xOy 中，(0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，过A 点向动圆C 引切线,AP AQ ，,P Q 为切点，求AP AQ ⋅ 的最小值．变式2：在平面直角坐标系xOy 中， (0,3)A ，直线:24l y x =-，设圆C 的半径为1，圆心在l 上，若圆C 上存在一点M ，使得223MA MO -=，求圆心C 的横坐标的取值范围．变式3：在平面直角坐标系xOy 中， (0,3)A ，直线:24l y x =-，若过A 任作两条互相垂直的直线12,l l ，使其总与半径为1，圆心在直线l 上的两个定圆1C 与2C 相交，且12,l l 分别被圆12,C C 截得的弦长相等，求圆1C 与2C 的方程．例3．在平面直角坐标系xOy 中，已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：2(4)x -+2(5)y -4=．（1）若直线l 过点(4,0)A ，且被圆1C 截得的弦长为32，求直线l 的方程：（2）设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆1C 和圆2C 相交，且直线1l 被圆1C 截得的弦长与直线2l 被圆2C 截得的弦长相等，试求所有满足条件的点P 的坐标．变式1：已知圆C 1：22(3)(1)4x y ++-=和圆C 2：2(4)x -+2(5)y -1=．设P 为平面上的点，满足：存在过点P 的无穷多对互相垂直的直线1l 和2l ，它们分别与圆C 1和圆C 2相交，且直线1l 被圆C 1截得的弦长与直线2l 被圆C 2截得的弦长之比为2:1，试求所有满足条件的点P 的坐标．变式2：在平面直角坐标系xoy 中，已知圆C 1：22(3)(1)4x y ++-=和圆C 2：2(4)x -+2(5)y -4=．过两圆外一点(,)P a b 引两圆的切线，切点分别为,A B ,满足PA PB =（1）求,a b 满足的关系式；（2）求PA 的最小值．变式3：在平面直角坐标系xoy 中，已知圆1C ：22(3)(1)4x y ++-=和圆2C ：2(4)x -+2(5)y -1=．过两圆外一点(,)P a b 引两圆的切线，切点分别为,A B ，满足2PA PB =，求12PC C ∆的面积的最大值．直线与圆、圆与圆的位置关系课后练习1．已知点),(b a P 在圆222r y x =+的外部，则直线2r by ax =+与圆222r y x =+的位置关系是___________．2．已知圆01010:221=--+y x y x C 和04026:222=-+++y x y x C 相交于A B 、两点，则公共弦AB 的长度为___________．3．过原点且与直线1=x 及圆1)2()1(22=-+-y x 相切的圆的方程为_____________．4．已知点(,)P a b 关于直线l 的对称点为(1,1)'+-P b a ，则圆22:+C x y 620--=x y 关于直线l 对称的圆'C 的方程为_______________________．5．若圆2221:240()C x y ax a a R +++-=∈与2222:210()C x y by b b R +--+=∈圆恰有三条切线，则a b +的最大值为_____________．6．过点1(,1)2P 的直线l 与圆22:(1)4C x y -+=交于,A B 两点，当ACB ∠最小时，直线l 的方程为___________________．7．已知圆M ：22(cos )(sin )1x y θθ++-=，直线l ：y ＝kx ，下面四个命题：①对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 相切；②对任意实数k 与θ，直线l 和圆M 有公共点；③对任意实数θ，必存在实数k ，使得直线l 与和圆M 相切；④对任意实数k ，必存在实数θ，使得直线l 与和圆M 相切．其中真命题的代号是______________．（写出所有真命题的代号）8． (1)已知)4,3(A ，求圆422=+y x 上的点与点A 的最大距离和最小距离；(2)已知圆1)4()3(:22=-+-y x C ，点)1,0(-A ，)1,0(B ，设P 是圆C 上的动点，令22PB PA d +=，求d 的最大值与最小值；(3)已知点),(y x P 是圆4)3()3(22=-+-y x 上任意一点，求点P 到直线062=++y x 的最大距离与最小距离．9．如图，已知圆心坐标为的圆M 与x轴及直线y 分别切于A 、B 两点，另一圆N 与圆M 外切、且与x轴及直线y =分别切于C 、D 两点．（1）求圆M 和圆N 的方程；（2）过点B 作直线MN 的平行线l ，求直线l 被圆N 截得的弦的长度．10．已知⊙22:1O x y +=和点(4,2)M .（1）过点M 向⊙O 引切线l ，求直线l 的方程；（2）求以点M 为圆心，且被直线21y x =-截得的弦长为4的⊙M 的方程；（3）设P 为（2）中⊙M 上任一点，过点P 向⊙O 引切线，切点为Q . 试探究：平面内是否存在一定点R ，使得PQ PR 为定值？若存在，请举出一例，并指出相应的定值；若不存在，请说明理由.。

高考数学理科一轮复习直线圆的位置关系学案有答案

高考数学（理科）一轮复习直线、圆的位置关系学案有答案学案50 直线、圆的位置关系导学目标： 1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.在学习过程中，体会用代数方法处理几何问题的思想．自主梳理 1．直线与圆的位置关系位置关系有三种：________、________、________. 判断直线与圆的位置关系常见的有两种方法： (1)代数法：利用判别式Δ，即直线方程与圆的方程联立方程组消去x或y整理成一元二次方程后，计算判别式Δ (2)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系： d<r⇔________，d＝r⇔________，d>r⇔________. 2．圆的切线方程若圆的方程为x2＋y2＝r2，点P(x0，y0)在圆上，则过P点且与圆x2＋y2＝r2相切的切线方程为____________________________．注：点P必须在圆x2＋y2＝r2上．经过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上点P(x0，y0)的切线方程为________________________． 3．计算直线被圆截得的弦长的常用方法 (1)几何方法运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算． (2)代数方法运用韦达定理及弦长公式|AB|＝1＋k2|xA－xB| ＝＋＋－4xAxB]. 说明：圆的弦长、弦心距的计算常用几何方法． 4．圆与圆的位置关系 (1)圆与圆的位置关系可分为五种：________、________、________、________、________. 判断圆与圆的位置关系常用方法： (几何法)设两圆圆心分别为O1、O2，半径为r1、r2 (r1≠r2)，则|O1O2|>r1＋r2 ________；|O1O2|＝r1＋r2 ______；|r1－r2|<|O1O2|<r1＋r2 ________；|O1O2|＝|r1－r2| ________；0≤|O1O2|<|r1－r2|�鸠�________． (2)已知两圆x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0相交，则与两圆共交点的圆系方程为________________________________________________________________，其中λ为λ≠－1的任意常数，因此圆系不包括第二个圆．当λ＝－1时，为两圆公共弦所在的直线，方程为(D1－D2)x＋(E1－E2)y ＋(F1－F2)＝0. 自我检测 1．(2010•江西)直线y＝kx＋3与圆(x－3)2＋(y－2)2＝4相交于M，N两点，若|MN|≥23，则k的取值范围是( ) A.－34，0 B.－∞，－34∪0，＋∞ C.－33，33 D.－23，0 2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为( ) A．x＋3y－2＝0 B．x＋3y－4＝0 C．x－3y＋4＝0 D．x－3y＋2＝0 3．(2011•宁夏调研)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y ＋1＝0的公切线有且仅有( ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 4．过点(0,1)的直线与x2＋y2＝4相交于A、B两点，则|AB|的最小值为( ) A．2 B．23 C．3 D．25 5．(2011•聊城月考)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( ) A．相切 B．相交但直线不过圆心 C．直线过圆心 D．相离探究点一直线与圆的位置关系例1 已知圆C：x2＋y2＋2x－4y＋3＝0. (1)若圆C的切线在x轴和y轴上的截距相等，求此切线的方程； (2)从圆C外一点P(x1，y1)向该圆引一条切线，切点为M，O为坐标原点，且有|PM|＝|PO|，求使得|PM|取得最小值时点P的坐标．变式迁移1 从圆C：(x－1)2＋(y－1)2＝1外一点P(2,3)向该圆引切线，求切线的方程及过两切点的直线方程．探究点二圆的弦长、中点弦问题例2 (2011•汉沽模拟)已知点P(0,5)及圆C：x2＋y2＋4x－12y＋24＝0. (1)若直线l过点P且被圆C截得的线段长为43，求l的方程； (2)求过P点的圆C的弦的中点的轨迹方程．变式迁移2 已知圆C：x2＋y2－6x－8y＋21＝0和直线kx－y－4k＋3＝0. (1)证明：不论k取何值，直线和圆总有两个不同交点； (2)求当k取什么值时，直线被圆截得的弦最短，并求这条最短弦的长．探究点三圆与圆的位置关系例3 已知圆C1：x2＋y2－2mx＋4y ＋m2－5＝0，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＋m2－3＝0，m为何值时， (1)圆C1与圆C2相外切；(2)圆C1与圆C2内含．变式迁移3 已知⊙A：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0，⊙B：x2＋y2－2ax －2by＋a2－1＝0.当a，b变化时，若⊙B始终平分⊙A的周长，求：(1)⊙B的圆心B的轨迹方程；(2)⊙B的半径最小时圆的方程．探究点四综合应用例4 已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问在圆C上是否存在两点A、B关于直线y＝kx－1对称，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线AB的方程；若不存在，说明理由．变式迁移4 已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1相交于M、N两点． (1)求实数k的取值范围； (2)若O为坐标原点，且OM→•ON→＝12，求k的值． 1．求切线方程时，若知道切点，可直接利用公式；若过圆外一点求切线，一般运用圆心到直线的距离等于半径来求，但注意有两条． 2．解决与弦长有关的问题时，注意运用由半径、弦心距、弦长的一半构成的直角三角形，也可以运用弦长公式．这就是通常所说的“几何法”和“代数法”． 3．判断两圆的位置关系，从圆心距和两圆半径的关系入手． (满分：75分)一、选择题(每小题5分，共25分) 1．直线l：y－1＝k(x－1)和圆x2＋y2－2y＝0的位置关系是( ) A．相离 B．相切或相交 C．相交 D．相切 2．(2011•珠海模拟)直线3x－y＋m＝0与圆x2＋y2－2x －2＝0相切，则实数m等于( ) A.3或－3 B．－3或33 C．－33或3 D．－33或33 3．过原点且倾斜角为60°的直线被圆x2＋y2－4y＝0所截得的弦长为( ) A.3 B．2 C.6 D．23 4．若圆(x－3)2＋(y＋5)2＝r2上有且仅有两个点到直线4x－3y－2＝0的距离为1，则半径r的取值范围是( ) A．(4,6) B．[4,6) C．(4,6] D．[4,6] 5．(2010•全国Ⅰ)已知圆O的半径为1，PA、PB为该圆的两条切线，A、B为两切点，那么PA→•PB→的最小值为( ) A．－4＋2 B．－3＋2 C．－4＋22 D．－3＋22二、填空题(每小题4分，共12分) 6．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a>0)的公共弦的长为23，则a＝________. 7．(2011•三明模拟)已知点A是圆C：x2＋y2＋ax＋4y－5＝0上任意一点，A点关于直线x＋2y－1＝0的对称点也在圆C上，则实数a＝________. 8．(2011•杭州高三调研)设直线3x＋4y－5＝0与圆C1：x2＋y2＝4交于A，B两点，若圆C2的圆心在线段AB上，且圆C2与圆C1相切，切点在圆C1的劣弧上，则圆C2的半径的最大值是________．三、解答题(共38分) 9．(12分)圆x2＋y2＝8内一点P(－1,2)，过点P 的直线l的倾斜角为α，直线l交圆于A、B两点． (1)当α＝3π4时，求AB的长； (2)当弦AB被点P平分时，求直线l的方程．10．(12分)(2011•湛江模拟)自点A(－3,3)发出的光线l射到x轴上，被x轴反射，其反射光线所在直线与圆x2＋y2－4x－4y＋7＝0相切，求光线l所在直线的方程．11．(14分)已知两圆x2＋y2－2x－6y－1＝0和x2＋y2－10x－12y＋m＝0.求： (1)m取何值时两圆外切？ (2)m取何值时两圆内切？(3)m＝45时两圆的公共弦所在直线的方程和公共弦的长．学案50 直线、圆的位置关系自主梳理 1．相切相交相离(1)相交相切相离(2)相交相切相离 2.x0x＋y0y＝r2 (x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2 4.(1)相离外切相交内切内含相离外切相交内切内含(2)(x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1)＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0 自我检测 1．A 2.D 3.B 4.B 5.B 课堂活动区例1 解题导引(1)过点P作圆的切线有三种类型：当P在圆外时，有2条切线；当P在圆上时，有1条切线；当P在圆内时，不存在． (2)利用待定系数法设圆的切线方程时，一定要注意直线方程的存在性，有时要进行恰当分类． (3)切线长的求法：过圆C外一点P作圆C的切线，切点为M，半径为R，则|PM|＝|PC|2－R2. 解(1)将圆C配方得(x＋1)2＋(y－2)2＝2. ①当直线在两坐标轴上的截距为零时，设直线方程为y＝kx，由|k＋2|1＋k2＝2，解得k＝2±6，得y＝(2±6)x. ②当直线在两坐标轴上的截距不为零时，设直线方程为x＋y－a＝0，由|－1＋2－a|2＝2，得|a－1|＝2，即a＝－1，或a＝3. ∴直线方程为x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0. 综上，圆的切线方程为y＝(2＋6)x，或y＝(2－6)x，或x＋y＋1＝0，或x＋y－3＝0. (2)由|PO|＝|PM|，得x21＋y21＝(x1＋1)2＋(y1－2)2－2，整理得2x1－4y1＋3＝0. 即点P在直线l：2x－4y＋3＝0上．当|PM|取最小值时，即OP取得最小值，直线OP⊥l，∴直线OP的方程为2x＋y＝0. 解方程组2x＋y＝0，2x－4y＋3＝0，得点P的坐标为－310，35. 变式迁移1 解设圆切线方程为y－3＝k(x－2)，即kx－y＋3－2k＝0，∴1＝|k＋2－2k|k2＋1，∴k＝34，另一条斜率不存在，方程为x＝2. ∴切线方程为x＝2和3x－4y ＋6＝0. 圆心C为(1,1)，∴kPC＝3－12－1＝2，∴过两切点的直线斜率为－12，又x＝2与圆交于(2,1)，∴过切点的直线为x＋2y－4＝0. 例2 解题导引(1)有关圆的弦长的求法：已知直线的斜率为k，直线与圆C相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，点C到l的距离为d，圆的半径为r. 方法一代数法：弦长|AB|＝1＋k2|x2－x1| ＝1＋＋－4x1x2；方法二几何法：弦长|AB|＝2r2－d2. (2)有关弦的中点问题：圆心与弦的中点连线和已知直线垂直，利用这条性质可确定某些等量关系．解(1)方法一如图所示，|AB|＝43，取AB的中点D，连接CD，则CD⊥AB，连接AC、BC，则|AD|＝23，|AC|＝4，在Rt△ACD中，可得|CD|＝2. 当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即kx－y＋5＝0. 由点C到直线AB的距离公式，得|－2k－6＋5|k2＋－＝2，解得k＝34. 当k＝34时，直线l的方程为3x－4y＋20＝0. 又直线l的斜率不存在时，也满足题意，此时方程为x＝0. ∴所求直线的方程为3x－4y＋20＝0或x＝0. 方法二当直线l的斜率存在时，设所求直线的斜率为k，则直线的方程为y－5＝kx，即y＝kx＋5. 联立直线与圆的方程y＝kx＋5，x2＋y2＋4x－12y＋24＝0，消去y，得(1＋k2)x2＋(4－2k)x－11＝0.① 设方程①的两根为x1，x2，由根与系数的关系，得x1＋x2＝2k－41＋k2，x1x2＝－111＋k2.② 由弦长公式，得1＋k2|x1－x2| ＝＋＋－4x1x2]＝43. 将②式代入，解得k＝34，此时直线方程为3x－4y＋20＝0. 又k不存在时也满足题意，此时直线方程为x＝0. ∴所求直线的方程为x＝0或3x－4y＋20＝0. (2)设过P点的圆C的弦的中点为D(x，y)，则CD⊥PD，即CD→•PD→＝0， (x＋2，y－6)•(x，y－5)＝0，化简得所求轨迹方程为x2＋y2＋2x－11y＋30＝0. 变式迁移2 (1)证明由kx－y－4k＋3＝0，得(x－4)k－y＋3＝0. ∴直线kx－y－4k＋3＝0过定点P(4,3)．由x2＋y2－6x－8y＋21＝0，即(x－3)2＋(y－4)2＝4，又(4－3)2＋(3－4)2＝2<4. ∴直线和圆总有两个不同的交点． (2)解kPC＝3－44－3＝－1. 可以证明与PC垂直的直线被圆所截得的弦AB最短，因此过P点斜率为1的直线即为所求，其方程为y－3＝x－4，即x－y－1＝0.|PC|＝|3－4－1|2＝2，∴|AB|＝2|AC|2－|PC|2＝22. 例3 解题导引圆和圆的位置关系，从交点个数也就是方程组解的个数来判断，有时得不到确切的结论，通常还是从圆心距d与两圆半径和、差的关系入手．解对于圆C1与圆C2的方程，经配方后 C1：(x－m)2＋(y＋2)2＝9； C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝4. (1)如果C1与C2外切，则有＋＋－2－＝3＋2. (m＋1)2＋(m＋2)2＝25. m2＋3m－10＝0，解得m ＝－5或m＝2. (2)如果C1与C2内含，则有＋＋＋－2. (m＋1)2＋(m＋2)2<1，m2＋3m＋2<0，得－2<m<－1，∴当m ＝－5或m＝2时，圆C1与圆C2外切；当－2<m<－1时，圆C1与圆C2内含．变式迁移3 解(1)两圆方程相减得公共弦方程 2(a＋1)x＋2(b＋1)y－a2－1＝0.① 依题意，公共弦应为⊙A的直径，将(－1，－1)代入①得a2＋2a＋2b＋5＝0.② 设圆B的圆心为(x，y)，∵x＝ay＝b，∴其轨迹方程为x2＋2x＋2y＋5＝0. (2)⊙B方程可化为(x－a)2＋(y－b)2＝1＋b2. 由②得b＝－12[(a＋1)2＋4]≤－2，∴b2≥4，b2＋1≥5.当a＝－1，b＝－2时，⊙B半径最小，∴⊙B 方程为(x＋1)2＋(y＋2)2＝5. 例4 解题导引这是一道探索存在性问题，应先假设存在圆上两点关于直线对称，由垂径定理可知圆心应在直线上，以AB为直径的圆经过原点O，应联想直径所对的圆周角为直角利用斜率或向量来解决．因此能否将问题合理地转换是解题的关键．解圆C的方程可化为(x－1)2＋(y＋2)2＝9，圆心为C(1，－2)．假设在圆C上存在两点A、B，则圆心C(1，－2)在直线y＝kx－1上，即k＝－1. 于是可知，kAB＝1. 设lAB：y＝x＋b，代入圆C的方程，整理得2x2＋2(b＋1)x＋b2＋4b－4＝0，Δ＝4(b＋1)2－8(b2＋4b－4)>0，b2＋6b－9<0，解得－3－32<b<－3＋32. 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－b－1，x1x2＝12b2＋2b－2. 由OA⊥OB，知x1x2＋y1y2＝0，也就是x1x2＋(x1＋b)(x2＋b)＝0，∴2x1x2＋b(x1＋x2)＋b2＝0，∴b2＋4b－4－b2－b＋b2＝0，化简得b2＋3b－4＝0，解得b＝－4或b＝1，均满足Δ>0. 即直线AB的方程为x－y－4＝0，或x－y＋1＝0. 变式迁移4 解(1)方法一∵直线l过点A(0,1)且斜率为k，∴直线l的方程为y＝kx＋1. 将其代入圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝1，得(1＋k2)x2－4(1＋k)x＋7＝0.① 由题意：Δ＝[－4(1＋k)]2－4×(1＋k2)×7>0，得4－73<k<4＋73. 方法二同方法一得直线方程为y＝kx＋1，即kx－y＋1＝0. 又圆心到直线距离d＝|2k－3＋1|k2＋1＝|2k－2|k2＋1，∴d＝|2k－2|k2＋1<1，解得4－73<k<4＋73. (2)设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则由①得x1＋x2＝4＋4k1＋k2x1x2＝71＋k2，∴OM→•ON→＝x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋k(x1＋x2)＋1 ＝4k＋＋k2＋8＝12⇒k＝1(经检验符合题意)，∴k＝1. 课后练习区 1．C 2.C 3.D 4.A 5.D 6．1 7.－10 8.1 9．解(1)当α＝3π4时，kAB＝－1，直线AB的方程为y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.(3分) 故圆心(0,0)到AB的距离d＝|0＋0－1|2＝22，从而弦长|AB|＝2 8－12＝30.(6分) (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝－2，y1＋y2＝4.由x21＋y21＝8，x22＋y22＝8，两式相减得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即－2(x1－x2)＋4(y1－y2)＝0，∴kAB＝y1－y2x1－x2＝12.(10分) ∴直线l的方程为y－2＝12(x＋1)，即x －2y＋5＝0.(12分) 10. 解已知圆C：x2＋y2－4x－4y＋7＝0关于x轴对称的圆为C1：(x－2)2＋(y＋2)2＝1，其圆心C1的坐标为(2，－2)，半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切．(4分) 设l的方程为y－3＝k(x＋3)，则 |5k＋2＋3|12＋k2＝1，(8分) 即12k2＋25k＋12＝0.∴k1＝－43，k2＝－34. 则l的方程为4x＋3y＋3＝0或3x＋4y－3＝0. (12分) 11．解两圆的标准方程分别为 (x－1)2＋(y－3)2＝11，(x－5)2＋(y－6)2＝61－m，圆心分别为M(1,3)，N(5,6)，半径分别为11和61－m. (1)当两圆外切时，－＋－＝11＋61－m. 解得m＝25＋1011.(4分) (2)当两圆内切时，因定圆的半径11小于两圆圆心间距离，故只有61－m－11＝5. 解得m＝25－1011.(8分) (3)两圆的公共弦所在直线的方程为 (x2＋y2－2x－6y－1)－(x2＋y2－10x－12y ＋45)＝0，即4x＋3y－23＝0.(12分) 由圆的半径、弦长、弦心距间的关系，不难求得公共弦的长为－|4＋3×3－23|42＋322＝27.(14分)。

2025年高考数学一轮复习-直线与圆、圆与圆的位置关系【导学案】

第4课时-直线与圆、圆与圆的位置关系【课标解读】【课程标准】1.能根据给定直线、圆的方程,判断直线与圆、圆与圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题.【核心素养】数学抽象、数学运算、逻辑推理.【命题说明】考向考法直线与圆、圆与圆的位置关系是高考的热点内容之一,其中直线与圆相切及直线与圆相交是重点考查的内容,多以选择题或填空题的形式出现.预测预计2025年高考直线与圆、圆的位置关系仍会出题,一般在选择题或填空题中出现.【必备知识·逐点夯实】知识梳理·归纳1.直线与圆的位置关系(圆心到直线的距离为d,圆的半径为r)位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ<0Δ=0Δ>0几何观点d>r d=r d<r微点拨判断直线与圆的位置关系,常用几何法而不用代数法.微思考当某直线所过定点A在圆上时,该直线与圆有何位置关系?提示:直线与圆相交或相切.2.圆与圆的位置关系设圆O1:(x-a1)2+(y-b1)2=12(r1>0),圆O2:(x-a2)2+(y-b2)2=22(r2>0).位置关系方法公切线条数几何法:圆心距d与r1,r2的关系代数法:联立两圆方程组成方程组的解的情况外离d>r1+r2无解4外切d=r1+r2一组实数解3相交|r1-r2|<d<r1+r2两组不同的实数解2内切d=|r1-r2|(r1≠r2)一组实数解1内含0≤d<|r1-r2|(r1≠r2)无解03.直线被圆截得的弦长(1)几何法:弦心距d、半径r和弦长|AB|的一半构成直角三角形,弦长|AB|=2 2- 2.(2)代数法:设直线y=kx+m与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0相交于点M,N,代入,消去y,得关于x的一元二次方程,则|MN|=1+ 2·( + )2-4 .常用结论1.圆的切线方程常用结论(1)过圆x2+y2=r2(r>0)上一点P(x0,y0)的圆的切线方程为x0x+y0y=r2.(2)过圆x2+y2=r2外一点M(x0,y0)作圆的两条切线,则两切点所在直线方程为x0x+y0y=r2.2.当两圆外切时,两圆有一条内公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线;当两圆内切时,两圆有一条外公切线,该公切线垂直于两圆圆心的连线.3.两圆相交时公共弦的性质圆C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0(12+ 12-4F1>0)与圆C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0(22+ 22-4F2>0)相交时:(1)将两圆方程直接作差,消去x2,y2得到两圆公共弦所在直线方程;(2)两圆圆心的连线垂直平分公共弦;(3)x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ∈R,λ≠-1)表示过两圆交点的圆系方程(不包括C2).基础诊断·自测类型辨析改编易错高考题号12,3541.(思考辨析)(正确的打“√”,错误的打“×”)(1)若直线与圆有公共点,则直线与圆相交或相切.(√)提示:(1)直线与圆有一个公共点,则直线与圆相切,有两个公共点,则直线与圆相交,故(1)正确;(2)若两圆没有公共点,则两圆一定外离.(×)提示:(2)两圆没有公共点,则两圆外离或内含,故(2)错误;(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点,反之也成立.(×)提示:(3)若两圆外切,则两圆有且只有一个公共点;若两圆有且只有一个公共点,则两圆外切或内切,故(3)错误;(4)若两圆有公共点,则|r1-r2|≤d≤r1+r2.(√)提示:(4)若两圆有公共点,则两圆外切或相交或内切,所以|r1-r2|≤d≤r1+r2,故(4)正确.2.(选择性必修第一册人AP96例5变条件)圆O1:x2+y2-4y+3=0和圆O2:x2+y2-16y=0的位置关系是()A.外离B.相交C.相切D.内含【解析】选D.O1:x2+(y-2)2=1,O2:x2+(y-8)2=64,所以O1(0,2),r1=1,O2(0,8),r2=8, 1 2=(0-0)2+(2-8)2=6,则 1 2=6<r2-r1=7,所以两圆内含.3.(选择性必修第一册人AP93练习T3变条件)直线x-y+3=0被圆(x+2)2+(y-2)2=2截得的弦长等于()A.62B.3C.23D.6【解析】选D.圆心(-2,2)到直线x-y+3=0的距离d=22,圆的半径r=2,解直角三角形得,半弦长为62,所以弦长等于6.4.(2022·天津高考)若直线x-y+m=0(m>0)与圆(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦长为m,则m=__________.【解析】因为圆心C(1,1)到直线x-y+m=0(m>0)的距离d又直线与圆相交所得的弦长为m,所以m=2 2- 2,所以m2=4(3- 22),解得m=2.答案:25.(忽视直线斜率不存在的情形致误)过点P(2,2)的圆C:x2+(y-1)2=2的切线方程为______________________.【解析】由圆C方程知:圆心C(0,1),半径r=2;当过P的直线斜率不存在,即直线方程为x=2时,直线与圆C相切;设过P点且斜率存在的圆C的切线方程为y-2=k(x-2),即kx-y-2k+2=0,则圆心C到直线的距离d=2,即k=-24,所以该切线方程为-24x-y+52=0,即x+22y-52=0;综上所述:所求切线方程为x=2或x+22y-52=0.答案:x=2或x+22y-52=0【核心考点·分类突破】考点一直线与圆的位置关系考情提示直线与圆相切求切线方程以及直线与圆相交求弦长是高考的重点,正确利用圆心到直线的距离与半径之间的关系是解决此类问题的关键.角度1直线与圆的位置关系的判断[例1](1)(一题多法)已知圆C:x2+y2-6x-8y+21=0和直线l:kx-y+3-4k=0的位置关系是()A.相交、相切或相离B.相交或相切C.相交D.相切【解析】选C.圆C:x2+y2-6x-8y+21=0,即(x-3)2+(y-4)2=22,圆心为C(3,4),半径为r=2.方法一直线l:kx-y+3-4k=0,即k(x-4)-y+3=0,所以直线l过定点B(4,3).(4-3)2+(3-4)2=2<4,所以点B(4,3)在圆C内,所以直线l与圆C相交.方法二圆心C(3,4)到直线l:kx-y+3-4k=0的距离为≤2<4,所以直线与圆相交.(2)(多选题)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l:ax+by-r2=0与圆C:x2+y2=r2,点A(a,b),则下列说法正确的是()A.若点A在圆C上,则直线l与圆C相切B.若点A在圆C内,则直线l与圆C相离C.若点A在圆C外,则直线l与圆C相离D.若点A在直线l上,则直线l与圆C相切【解析】选ABD.圆心C(0,0)到直线l的距离d若点A(a,b)在圆C上,则a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故A正确;若点A(a,b)在圆C内,则a2+b2<r2,所以dr,则直线l与圆C相离,故B正确;若点A(a,b)在圆C外,则a2+b2>r2,所以dr,则直线l与圆C相交,故C错误;若点A(a,b)在直线l上,则a2+b2-r2=0,即a2+b2=r2,所以dr,则直线l与圆C相切,故D正确.解题技法判断直线与圆的位置关系的一般方法(1)几何法:圆心到直线的距离与圆半径比较大小,特点是计算量较小;(2)代数法:将直线方程与圆方程联立方程组,通过解的情况判断,适合于判断直线与圆的位置关系.角度2弦长问题[例2](2024·昆明模拟)已知直线y=2x与圆(x-2)2+(y-2)2=1交于A,B两点,则 =()A.55B.255C.355D.455【解析】选B.因为圆的方程为(x-2)2+(y-2)2=1,所以圆心坐标为(2,2),半径r=1,则圆心(2,2)到直线y=2x的距离d=255,所以弦长 =2 2- 2=2=255.解题技法直线和圆相交弦长的两种求法(1)代数法:将直线和圆的方程联立方程组,根据弦长公式求弦长.(2)几何法:若弦心距为d,圆的半径长为r,则弦长l=2 2- 2.根据弦长求直线方程时要注意验证斜率不存在的情况.角度3切线问题[例3]已知点P(2+1,2-2),点M(3,1),圆C:(x-1)2+(y-2)2=4.(1)求过点P的圆C的切线方程;【解析】由题意得圆心C(1,2),半径r=2.(1)因为(2+1-1)2+(2-2-2)2=4,所以点P在圆C上.又k PC-2-所以切线的斜率k=-1 =1.所以过点P的圆C的切线方程是y-(2-2)=x-(2+1),即x-y+1-22=0.(2)求过点M的圆C的切线方程,并求出切线长.【解析】(2)因为(3-1)2+(1-2)2=5>4,所以点M在圆C外部.当过点M的直线斜率不存在时,直线方程为x=3,即x-3=0.又点C(1,2)到直线x-3=0的距离d=3-1=2=r,即此时满足题意,所以直线x=3是圆的切线.当切线的斜率存在时,设切线方程为y-1=k(x-3),即kx-y+1-3k=0,则圆心C到切线的距离dr=2,解得k=34.所以切线方程为y-1=34(x-3),即3x-4y-5=0.综上可得,过点M的圆C的切线方程为x-3=0或3x-4y-5=0.因为|MC|=(3-1)2+(1-2)2=5,所以过点M的圆C的切线长为| |2- 2=5-4=1.解题技法1.过一点求圆的切线方程的两种求法(1)代数法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),与圆的方程组成方程组,消元后得到一个一元二次方程,然后令判别式Δ=0进而求得k.注意斜率不存在的情况.(2)几何法:设切线方程为y-y0=k(x-x0),利用点到直线的距离公式表示出圆心到切线的距离d,然后令d=r,进而求出k.注意斜率不存在的情况.特别地,当点在圆上时,可直接利用圆心与切点的连线的斜率及切线的性质求切线方程.2.过圆外一点P引圆的切线,求切线长时,常利用点P、圆心、切点构成的直角三角形求解.对点训练1.(2024·南京模拟)直线3x+4y+12=0与圆(x-1)2+(y+1)2=9的位置关系是()A.过圆心B.相切C.相离D.相交但不过圆心【解析】选D.由题意知,圆(x-1)2+(y+1)2=9的圆心为(1,-1),半径r=3,则圆心到直线3x+4y+12=0的距离d=115,因为0<d<r,所以直线与圆相交但不过圆心.2.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l交圆x2+y2-6y=0于A,B两点,则弦AB的长为()A.42B.22C.210D.10【解析】选A.过点(-33,0)且倾斜角为π3的直线l的方程为y=3(x+33),即3x-y+1=0,又圆x2+y2-6y=0即x2+(y-3)2=9,所以圆心(0,3),半径r=3,则圆心(0,3)到直线l的距离d=|-3+1|2=1,所以直线被圆截得的弦AB=232-12=42.3.(2024·东城模拟)已知点M(1,3)在圆C:x2+y2=m上,过M作圆C的切线l,则l的倾斜角为()A.30°B.60°C.120°D.150°【解析】选D.由题意得m=1+3=4,当l的斜率不存在时,此时直线方程为x=1,与圆C:x2+y2=4相交,不符合题意;当l的斜率存在时,设切线l的方程为y-3=k(x-1),-3|解得k=-33,因为l的倾斜角为0°≤θ<180°,故l的倾斜角为150°.【加练备选】(2024·宜春模拟)已知圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2).(1)求圆C的方程;【解析】(1)设圆C的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),由圆C经过三点O(0,0),A(1,1),B(4,2),得 =02+ + + =0 20+4 +2 + =0,解得 =-8 =6 =0,所以圆C的方程为x2+y2-8x+6y=0.(2)经过点M(1,-4)的直线l被圆C所截得的弦长为45,求直线l的方程.【解析】(2)由(1)知圆C:(x-4)2+(y+3)2=25,即圆心C(4,-3),半径为5,由直线l被圆C所截得的弦长为45,得圆心C到直线l的距离d=52-(25)2=5,而直线l经过点M(1,-4),显然直线l的斜率存在,设直线l的方程为y+4=k(x-1),即kx-y-4-k=0,于是d=5,得k=2或k=-12,所以直线l的方程为2x-y-6=0或x+2y+7=0.考点二圆与圆的位置关系[例4](1)已知圆E的圆心在y轴上,且与圆x2+y2-2x=0的公共弦所在直线的方程为x-3y=0,则圆E的方程为()A.x2+(y-3)2=2B.x2+(y+3)2=2C.x2+(y-3)2=3D.x2+(y+3)2=3【解析】选C.两圆圆心连线与公共弦垂直,不妨设所求圆心的坐标为(0,a),半径为r.又圆x2+y2-2x=0的圆心为(1,0),半径为1,故 -1×解得a=3.故所求圆心为(0,3).点(1,0)到直线x-3y=0=12,所以x2+y2-2x=0截直线x-3y=0所得弦长为3,圆心(0,3)到直线x-3y=0的距离为32,所以圆截直线x-3y=0所得弦长为=3,解得r=3.故圆心坐标为(0,3),半径为3.得圆E的方程为x2+(y-3)2=3.(2)已知两圆C1:x2+y2-2x+10y-24=0和C2:x2+y2+2x+2y-8=0.①判断两圆公切线的条数;【解析】①两圆的标准方程分别为C1:(x-1)2+(y+5)2=50,C2:(x+1)2+(y+1)2=10,则圆C1的圆心为(1,-5),半径r1=52;圆C2的圆心为(-1,-1),半径r2=10.又|C1C2|=25,r1+r2=52+10,r1-r2=52-10,所以r1-r2<|C1C2|<r1+r2,所以两圆相交,所以两圆有两条公切线.②求公共弦所在的直线方程以及公共弦的长度.【解析】②将两圆方程相减,得公共弦所在直线方程为x-2y+4=0.圆心C1到直线x-2y+4=0的距离d =35,设公共弦长为2l,由勾股定理得r2=d2+l2,得50=45+l2,解得l=5,所以公共弦长2l=25.一题多变[变式1]本例(2)中,若两圆相交于A,B两点,不求交点,则线段C1C2(C1,C2分别为两个圆的圆心)的垂直平分线所在的直线方程为______________.【解析】由圆C1的圆心坐标为(1,-5),圆C2的圆心坐标为(-1,-1),可知 1 2=-5-(-1)1-(-1)=-2,则k AB=12,C1C2的中点坐标为(0,-3),因此线段C1C2的垂直平分线所在的直线方程为y+3=12x,即x-2y-6=0.答案:x-2y-6=0[变式2]本例(2)中的两圆若相交于两点A,B,则经过两点A,B且圆心在直线x+y=0上的圆的方程为______________.【解析】设所求的圆的方程为x2+y2-2x+10y-24+λ(x2+y2+2x+2y-8)=0(λ≠-1),整理可得(1+λ)x2+(1+λ)y2+(2λ-2)x+(2λ+10)y-8λ-24=0,因此圆的圆心坐标为(1- 1+ ,- +51+ ),由于圆心在x+y=0上,则1- 1+ +(- +51+ )=0,解得λ=-2,因此所求的圆的方程为x2+y2+6x-6y+8=0.答案:x2+y2+6x-6y+8=0解题技法圆与圆的位置关系问题的解题策略(1)判断两圆位置关系常用几何法,即用两圆圆心距与两圆半径和及差的绝对值的大小关系判断.(2)两圆相交时,两圆的公共弦所在直线的方程,可由两圆的方程作差消去x2,y2项得到.(3)求两圆公共弦长,常选其中一圆,由弦心距d、半弦长 2、半径r构成直角三角形,利用勾股定理求解.考点三与圆有关的最值、范围问题[例5](2024·沈阳模拟)已知实数x,y满足方程x2+y2-4x+1=0.求:(1) 的取值范围;【解析】(1)由圆的一般方程可得:圆心为(2,0),半径r=3;因为02+02-4×0+1=1>0,所以原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,设 =k,则kx-y=0(x≠0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到kx-y=0(x≠0)的距离d≤3,解得-3≤k≤3,即的取值范围为-3,3.(2)y-x的取值范围;【解析】(2)设y-x=m,则直线x-y+m=0与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,所以圆心(2,0)到x-y+m=0的距离d ≤3,解得-6-2≤m≤6-2,即y-x的取值范围为-6-2,6-2.(3)x2+y2的取值范围.【解析】(3)由(1)知:原点在圆x2+y2-4x+1=0的外部,则可设x2+y2=r2(r>0),则圆x2+y2=r2(r>0)与圆x2+y2-4x+1=0有公共点,因为两圆圆心距d=(0-2)2+(0-0)2=2,所以r-3≤2≤r+3,解得2-3≤r≤2+3,所以7-43≤r2≤7+43,即x2+y2的取值范围为7-43,7+43.解题技法关于圆上点(x,y)有关代数式的最值问题的解法代数式特征求解方法u=y-b x-a转化为过点(a,b)和点(x,y)的直线的斜率的最值t=ax+by转化为动直线的截距的最值(x-a)2+(y-b)2转化为动点(x,y)到定点(a,b)的距离平方的最值对点训练(多选题)(2024·盐城模拟)已知实数x,y满足曲线C的方程x2+y2-2x-2=0,则下列选项正确的是()A.x2+y2的最大值是3+1B. +1 +1的最大值是2+6C.|x-y+3|的最小值是22-3D.过点(0,2)作曲线C的切线,则切线方程为x-2y+2=0【解析】选BD.由圆C:x2+y2-2x-2=0可化为(x-1)2+y2=3,可得圆心(1,0),半径r=3,对于A,由x2+y2表示圆C上的点到定点(0,0)的距离的平方,所以它的最大值为[(1-0)2+02+3]2=4+23,所以A错误;对于B, +1 +1表示圆上的点与点(-1,-1)的斜率,设 +1 +1=k,即y+1=k(x+1),由圆心(1,0)到直线y+1=k(x+1)的距离d≤3,解得2-6≤k≤2+6,所以 +1 +1的最大值为2+6,所以B正确;对于C,由 - +3表示圆上任意一点到直线x-y+3=0的距离的2倍,圆心到直线的距离d =22,所以其最小值为2(22-3)=4-6,所以C错误;对于D,因为点(0,2)满足圆C的方程,即点(0,2)在圆C上,则该点与圆心连线的斜率为k1=-2,根据圆的性质,可得过点(0,2)作圆C的切线的斜率为k=-1 1=22,所以切线方程为y-2=22(x-0),即x-2y+2=0,所以D正确.【加练备选】已知点P(x,y)在圆:x2+(y-1)2=1上运动.试求:(1)(x+3)2+y2的最值;【解析】(1)设圆x2+(y-1)2=1的圆心为A(0,1),半径r=1,点P(x,y)在圆上,所以(x+3)2+y2表示P(x,y)到定点E(-3,0)的距离的平方,因为|AE|=(3)2+12=2,所以|AE|-r≤|PE|≤|AE|+r,即1≤|PE|≤3,所以1≤(x+3)2+y2≤9,即(x+3)2+y2的最大值为9,最小值为1;(2) -1 -2的最值.【解析】(2)点P(x,y)在圆上,则 -1 -2表示圆上的点P与点B(2,1)连线的斜率,根据题意画出图形,当P与C(或D)重合时,直线BC(BD)与圆A相切,设直线BC的解析式为y-1=k(x-2),即kx-y-2k+1=0,所以圆心(0,1)到直线BC的距离d=r,解得k=±33,所以-33≤ -1 -2≤33,所以 -1 -2的最大值为33,最小值为-33.。

（完整版）《高三数学一轮复习课-直线与圆的位置关系优质课比赛教学设计》

（完整版）《高三数学一轮复习课-直线与圆的位置关系优质课比赛教学设计》直线与圆的位置关系(1)课型：高三数学一轮复习课课题：直线与圆的位置关系课时：第一课时教材：苏教版对教材内容的理解分析：１、本节内容在全书及章节的地位：直线与圆的位置关系是高中数学新教材“圆的方程”的综合课．２、本节课的复习内容：本节课的主要内容是直线与圆的位置关系及判定方法，它是高考中的热点内容之一．３、教材的地位与作用：本节课是平面解析几何学的基础知识，它既复习了前面刚学过的直线与圆的方程，又为今后学习直线与圆锥曲线的位置关系奠定基础．它虽然是解析几何中较为简单的内容，但有着广泛的应用，也具有较强的综合性，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力．教学反思：1、通过小组合作学习，组织学生对问题进行讨论，激发学生的求知欲望，使大部分学生在学习过程中始终处于积极思考、探索的状态，真正成为主动学习的主体．2、利用计算机辅助教学，显示了事物从静态到动态的运动过程，培养学生用运动变化这一辩证唯物主义观点分析问题、解决问题的能力．用几何画板可以很好地体现数形结合的思想，使较为复杂的问题明了化．教案的简介：直线与圆的位置关系(1)，高三数学一轮复习课、扬州市优秀公开课，并获一等奖．关键字：位置关系、广义几何法、狭义几何法、代数法．参赛者简介：扬州市特级教师，扬州市学科带头人，扬州市优秀班主任，高邮市中青年专家，高邮市劳动模范等．[教学目标]知识目标:了解代数法和几何法解决直线与圆位置关系的差异，明确几何法在直线与圆的位置关系的判定中的地位，并能应用几何法解决问题．能力目标:让学生在解决问题的过程中体会到数形结合、转化、化归等数学思想，注重培养学生的分析、计算、总结归纳等能力．情感态度价值观目标:培养学生合作交流,善于思考的良好品质,激发学生学习数学的积极性．[重点难点]重点:几何法在直线与圆的位置关系的判定中的应用．难点: 通过对圆上的点到直线的距离变化的分析诠释数形结合的魅力．[教学方法] 启发式、自主探究相结合．[教具资料]三角板、圆规、多媒体课件导入语:大家知道数学来源于生活,又服务于生活.下面有一道生活问题,你能用学过哪方面的知识求解? 问题情境:在一个特定的时间内,以O 为中心的5米范围内(不包括边界)被设为危险区域,某人在O 点的南偏西θ(其中135sin =θ)的方向上,且距O 点13米的A 地,若他向东北方向直行,会进入危险区域吗? （8分钟）一分钟后,提问学生:A,你谈谈思路?(生说时教师写出点坐标,圆方程,直线方程) 你能用数学化的语言刻化一下,如何判定此人是否会进入危险区域?问题数学化：直线07=--y x 与圆C: 2522=+y x 的位置关系为________．直线07=--y x 上是否存在点P 在圆C: 2522=+y x 内? （即OP 〈5有解？也就是OP min 〈5?其本质就是OP min =d ）两种思路都可以解释为 d 与 r 的大小比较问题两类方法：几何法（利用平几直接求解或用d 与r 的关系）、代数法（判别式法、定义法）引出课题:直线与圆的位置关系(1) 提问学生B ：回顾直线与圆的位置关系的定义、判定方法你能选择恰当的方法解决下面问题吗？问题一:（8分钟）已知圆C:(x-1)2+(y+1)2=1,直线l 过点P(-2,-2)，求l 与圆C 有公共点时斜率k 的范围提问学生C ：如何求斜率k 的范围？答：写出圆心和半径、设出直线方程、利用点与直线的距离公式将d 用k 表示、利用d 与r 关系列出关于k 的不等式、求斜率k 的范围注意事项：“有公共点”的含义,“与斜率k 有关的问题求解”,不必考虑斜率不存在之情. (提问学生D)师:(学生思考时)画图(学生回答时)板演法一：平几性质加三角公式求解．（广义几何法）法二：利用d 与r 关系列出关于k 的不等式．（狭义几何法）法三：投影，比较各方法的优劣．（代数法）解题回顾:处理解析几何问题时，若能结合平面几何图形的性质，可使解答简捷明快，本题用“圆心到直线距离与半径比较”来探讨直线和圆的位置关系便是典型体现. 方法总结: (提问学生E) 一、解题步骤：（1）设直线方程并化为一般式（2）求圆心到直线距离（3）比较弦心距与半径的大小二、解题体会：1、几何法比代数法运算量少，简便．代数法比几何法通用，主要用于直线与圆锥曲线位置关系问题，具有运用的广泛性．2、在解决有关圆的问题时,一般不用代数法而用几何法（8分钟）变式1：过点P(-2,-2)作圆C:(x-1)2+(y+1)2=1的切线l ,则切线l 的方程为_____________ 分析：本题是问题一的临界状态，斜率已求，切线易得．02=+y 和0243=--y x (提问学生F)变式2：已知x,y 满足条件 (x-1)2+(y+1)2=1，则代数式22++x y 的取值范围___________430≤≤k 分析：本题是问题一的不同形式的表示，既可以理解为斜率，直接数形结合又可以转化为直线方程的一般式（少一点），从而化归为问题一，当然也可以化为三角函数求解． (提问学生G) 解题回顾:直线与圆的位置关系问题一般有下列几种题型（1）给定两者方程判定位置关系（如问题情境）（2）给定两者位置关系，求解参数范围或切线方程（如问题一及变式一）（3）给定圆的方程，求圆上点表示的目标函数范围（如问题一及变式二）方法总结:完整直线与圆位置关系方面的题目常用d 与r 关系求解直线与圆局部图形位置关系方面的题目常用数形结合求解问题二: （5分钟）求证:直线021)1()2(:=---++m y m x m l 与圆C: 4)2()1(22=++-y x 有两个不同的公共点． (提问学生H)分析：法一 0)12()2(:=-++--y x m y x l 过定点P(1,-1),且定点P 在圆内法二 C(1,-2), r=2 , 22)1()2(|1|m m m d -++-=与2比较大小解题回顾:如果直线过定点,只要先确定定点与圆的位置关系,就能得知直线与圆相应的位置关系.就不必用利用d 与r 关系来判定了.方法总结:观察直线是否过定点,优先考虑直线与圆的可能关系,优化解题过程. (提问学生I) （5分钟）变式1：已知}02|),{(22=-+=y y x y x A ,}1|),{(+-==k kx y y x B , 则B A I 中的元素个数是________1学生思考时,教师画图,并对学生的回答加以说明 (提问学生J)变式2：已知}02|),{(22=-+=y y x y x A ,}11|),{(k x y y x B =--=, 则B A I 中的元素个数是________2 师:你能注意到它们之间的差异吗? 课堂练习：（8分钟）1.过点)4,4(P 作圆0422=-+x y x 的切线,求圆的切线方程. 板演(学生K) 3x －4y ＋4＝0或x ＝4对策:首先考虑斜率不存在之情或先定解的个数,解不足时补上斜率不存在之情变式:圆0422=-+x y x 在点)3,1(P 处的切线方程是______________(提问学生L) 023=+-y x解题回顾：求过定点的圆的切线方程，一定要判定点的位置，若在圆上，可简化过程．若在圆外，一般有两条切线，容易遗漏斜率不存在的那一条.2.(教材P106 e2)如果直线ax ＋by ＝4与圆有两个不同的交点, 则P(a,b)与圆的位置关系是 ____________(填上以下正确结论的序号)(1)P 在圆外 (2)P 在圆上 (3)P 在圆内 (4)不确定 (提问学生M)师同时板演过程改变2中两个不同的交点的条件,同学们能提出类似的结论吗？(提问学生N) 下面这个问题结论是什么?若点P(a,b) 在圆x 2+y 2=1外，则直线ax ＋by ＝1 与 x 2+y 2=1的位置关系是_______(相交) 本节课回顾总结: （3分钟）（1）本节课我们复习了哪些内容你能用流程图表示出来吗? (提问学生O 、P) （2）直线与圆的位置关系的判定方法有哪些？它们各自有什么优点？(提问学生姜杰)答：两类方法：几何法（广义——利用平几直接求解或狭义——用d 与r 的关系）、代数法直接——判别式法或间接的定义法几何法比代数法简洁，代数法比几何法通用（3）今天我们所遇到的情形各自用哪种方法更简便？为什么？各自又有什么注意事项？ (提问学生Q)（4）本节课主要用到了哪些数学思想？用得最多的是哪个？最少的是哪个？（5）点与圆的位置关系与过此点的直线与圆的位置关系有何联系？思考:已知圆M:1)sin ()cos (22=-++θθy x ,直线kx y l =:,下面四个命题 (1)对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 相切 (2)对任意实数k 与θ,直线l 和圆M 有公共点(3)对任意实数θ,必存在实数k ,使得直线l 和圆M 相切 (4) 对任意实数k ,必存在实数θ,使得直线l 和圆M 相切所有真命题的序号是_____________板书设计课题注：从右向左书写注：先中间再右边最后左边。

届高考数学一轮复习直线与圆的位置关系教案

7.6 直线与圆地位置关系●知识梳理直线和圆1.直线和圆位置关系地判定方法一是方程地观点,即把圆地方程和直线地方程联立成方程组,利用判别式Δ来讨论位置关系.①Δ＞0,直线和圆相交. ②Δ=0,直线和圆相切. ③Δ＜0,直线和圆相离.方法二是几何地观点,即把圆心到直线地距离d 和半径R 地大小加以比较. ①d ＜R ,直线和圆相交. ②d =R ,直线和圆相切. ③d ＞R ,直线和圆相离.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆地切线方程.求圆地切线方程主要可分为已知斜率k 或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦地中点问题. ●点击双基1.（2005年北京海淀区期末练习题）设m >0,则直线2（x +y ）+1+m =0与圆x 2+y 2=m 地位置关系为A.相切B.相交C.相切或相离D.相交或相切解析：圆心到直线地距离为d =21m+,圆半径为m . ∵d －r =21m +－m =21（m －2m +1）=21（m －1）2≥0,∴直线与圆地位置关系是相切或相离.答案：C2.圆x 2＋y 2－4x +4y +6=0截直线x －y －5=0所得地弦长等于 A.6 B.225 C.1 D.5 解析：圆心到直线地距离为22,半径为2,弦长为222)22()2(-=6. 答案：A3.（2004年全国卷Ⅲ,4）圆x 2+y 2－4x =0在点P （1,3）处地切线方程为 A.x +3y －2=0 B.x +3y －4=0 C.x －3y +4=0 D.x －3y +2=0 解法一：x 2+y 2－4x =0y =kx －k +3⇒x 2－4x +（kx －k +3）2=0.该二次方程应有两相等实根,即Δ=0,解得k =33. ∴y －3=33（x －1）,即x －3y +2=0. 解法二：∵点（1,3）在圆x 2+y 2－4x =0上, ∴点P 为切点,从而圆心与P 地连线应与切线垂直. 又∵圆心为（2,0）,∴1230--·k =－1. 解得k =33,∴切线方程为x －3y +2=0. 答案：D4.（2004年上海,理8）圆心在直线2x －y －7=0上地圆C 与y 轴交于两点A （0,－4）、B （0,－2）,则圆C 地方程为____________.解析：∵圆C 与y 轴交于A （0,－4）,B （0,－2）, ∴由垂径定理得圆心在y =－3这条直线上. 又已知圆心在直线2x －y －7=0上,y =－3,2x －y －7=0.∴圆心为（2,－3）,半径r =|AC |=22)]4(3[2---+=5. ∴所求圆C 地方程为（x －2）2+（y +3）2=5.答案：（x －2）2+（y +3）2=55.若直线y =x +k 与曲线x =21y -恰有一个公共点,则k 地取值范围是___________. 解析：利用数形结合. 答案：－1＜k ≤1或k =－2●典例剖析【例1】已知圆x 2+y 2+x －6y +m =0和直线x +2y －3=0交于P 、Q 两点,且OP ⊥OQ （O 为坐标原点）,求该圆地圆心坐标及半径.剖析：由于OP ⊥OQ ,所以k OP ·k OQ =－1,问题可解.解：将x =3－2y 代入方程x 2+y 2+x －6y +m =0,得5y 2－20y +12+m =0.设P （x 1,y 1）、Q （x 2,y 2）,则y 1、y 2满足条件y 1+y 2=4,y 1y 2=512m+. ∵OP ⊥OQ ,∴x 1x 2+y 1y 2=0.而x 1=3－2y 1,x 2=3－2y 2,∴x 1x 2=9－6（y 1+y 2）+4y 1y 2. ∴m =3,此时Δ＞0,圆心坐标为（－21,3）,半径r =25. 评述：在解答中,我们采用了对直线与圆地交点“设而不求”地解法技巧,但必须注意这样地交点是否存在,这可由判别式大于零帮助考虑.【例2】求经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37地交点,且圆心在直线x －y －4=0上地圆地方程.剖析：根据已知,可通过解方程组∴联立解得x =2,（x +3）2+y 2=13,x 2+（y +3）2=37由圆心在直线x －y －4=0上,三个独立条件,用待定系数法求出圆地方程；也可根据已知,设所求圆地方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0,再由圆心在直线x －y －4=0上,定出参数λ,得圆方程.解：因为所求地圆经过两圆（x +3）2+y 2=13和x 2+（y +3）2=37地交点,所以设所求圆地方程为（x +3）2+y 2－13+λ［x 2+（y +3）2－37］=0.展开、配方、整理,得（x +λ+13）2+（y +λλ+13）2=λλ++1284+22)1()1(9λλ++. 圆心为（－λ+13,－λλ+13）,代入方程x －y －4=0,得λ=－7. 故所求圆地方程为（x +21）2+（y +27）2= 289.评述：圆C 1：x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1=0,圆C 2：x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2=0,若圆C 1、C 2相交,那么过两圆公共点地圆系方程为（x 2+y 2+D 1x +E 1y +F 1）+λ（x 2+y 2+D 2x +E 2y +F 2）=0（λ∈R 且λ≠－1）.它表示除圆C 2以外地所有经过两圆C 1、C 2公共点地圆.特别提示在过两圆公共点地图象方程中,若λ=－1,可得两圆公共弦所在地直线方程.【例3】已知圆C ：（x －1）2＋（y －2）2＝25,直线l ：（2m +1）x +（m +1）y －7m －4=0（m ∈R ）.（1）证明：不论m 取什么实数,直线l 与圆恒交于两点；（2）求直线被圆C 截得地弦长最小时l 地方程. 剖析：直线过定点,而该定点在圆内,此题便可解得. （1）证明：l 地方程（x +y －4）+m （2x +y －7）=0. 2x +y －7=0, x =3, x +y －4=0,y =1,即l 恒过定点A （3,1）. ∵圆心C （1,2）,｜AC ｜＝5＜5（半径）, ∴点A 在圆C 内,从而直线l 恒与圆C 相交于两点. （2）解：弦长最小时,l ⊥AC ,由k AC ＝－21, ∴l 地方程为2x －y －5=0.评述：若定点A 在圆外,要使直线与圆相交则需要什么条件呢？思考讨论求直线过定点,你还有别地办法吗？●闯关训练夯实基础1.若圆（x －3）2＋（y +5）2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y =2地距离等于1,则半径r 地范围是A.（4,6）B.［4,6）C.（4,6］D.［4,6］解析：数形结合法解. 答案：A2.（2003年春季北京）已知直线ax +by +c =0（ab c ≠0）与圆x 2+y 2=1相切,则三条边长分得圆上两点,∵m ∈R ,∴ 得别为｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜地三角形A.是锐角三角形B.是直角三角形C.是钝角三角形D.不存在解析：由题意得22|00|b a c b a ++⋅+⋅=1,即c 2=a 2+b 2,∴由｜a ｜、｜b ｜、｜c ｜构成地三角形为直角三角形.答案：B3.（2005年春季北京,11）若圆x 2+y 2+mx －41=0与直线y =－1相切,且其圆心在y 轴地左侧,则m 地值为____________.解析：圆方程配方得（x +2m ）2+y 2=412+m ,圆心为（－2m,0）.由条件知－2m<0,即m >0.又圆与直线y =－1相切,则0－（－1）=412+m ,即m 2=3,∴m =3.答案：34.（2004年福建,13）直线x +2y =0被曲线x 2+y 2－6x －2y －15=0所截得地弦长等于____________.解析：由x 2+y 2－6x －2y －15=0,得（x －3）2+（y －1）2=25. 知圆心为（3,1）,r =5.由点（3,1）到直线x +2y =0地距离d =5|23|+=5.可得21弦长为25,弦长为45. 答案：455.自点A （－3,3）发出地光线l 射到x 轴上,被x 轴反射,其反射光线所在地直线与圆x 2＋y 2－4x －4y ＋7＝0相切,求光线l 所在直线地方程.解：圆（x －2）2＋（y －2）2＝1关于x 轴地对称方程是（x －2）2＋（y ＋2）2＝1.设l 方程为y －3＝k （x ＋3）,由于对称圆心（2,－2）到l 距离为圆地半径1,从而可得k 1＝－43,k 2＝－34．故所求l 地方程是3x ＋4y －3＝0或4x ＋3y ＋3＝0. 6.已知M （x 0,y 0）是圆x 2+y 2=r 2（r >0）内异于圆心地一点,则直线x 0x +y 0y =r 2与此圆有何种位置关系?分析：比较圆心到直线地距离与圆半径地大小.解：圆心O （0,0）到直线x 0x +y 0y =r 2地距离为d =20202y x r +.∵P （x 0,y 0）在圆内,∴2020y x +<r .则有d >r ,故直线和圆相离.培养能力7.方程ax 2+ay 2－4（a －1）x +4y =0表示圆,求a 地取值范围,并求出其中半径最小地圆地方程.解：（1）∵a ≠0时,方程为［x －a a )1(2-］2+（y +a 2）2=22)22(4aa a +-, 由于a 2－2a +2＞0恒成立,∴a ≠0且a ∈R 时方程表示圆.（2）r 2=4·2222a a a +-=4［2(a 1－21)2+21］,∴a =2时,r min 2=2.此时圆地方程为（x －1）2+（y －1）2=2.8.（文）求经过点A （－2,－4）,且与直线l ：x +3y －26=0相切于（8,6）地圆地方程.解：设圆为x 2+y 2+Dx +Ey +F =0,依题意有方程组 3D －E =－36, 2D +4E －F =20, 8D +6E +F =－100. D =－11, E =3,F =－30.∴圆地方程为x 2+y 2－11x +3y －30=0.（理）已知点P 是圆x 2+y 2=4上一动点,定点Q （4,0）. （1）求线段PQ 中点地轨迹方程；（2）设∠POQ 地平分线交PQ 于R ,求R 点地轨迹方程.解：（1）设PQ 中点M （x ,y ）,则P （2x －4,2y ）,代入圆地方程得（x －2）2+y 2=1. （2）设R （x ,y ）,由||||RQ PR =||||OQ OP =21, 设P （m ,n ）,则有m =243-x , n =23y ,代入x 2+y 2=4中,得（x －34）2+y 2=916（y ≠0）. 探究创新9.已知点P 到两个定点M （－1,0）、N （1,0）距离地比为2,点N 到直线PM 地距离为1,求直线PN 地方程.解：设点P 地坐标为（x ,y ）,由题设有||||PN PM =2,即22)1(y x ++=2·22)1(y x +-,整理得x 2+y 2－6x +1=0.①∴因为点N 到PM 地距离为1,|MN |=2,所以∠PMN =30°,直线PM 地斜率为±33. 直线PM 地方程为y =±33（x +1）. ②将②代入①整理得x 2－4x +1=0.解得x 1=2+3,x 2=2－3.代入②得点P 地坐标为（2+3,1+3）或（2－3,－1+3）；（2+3,－1－3）或（2－3,1－3）.直线PN 地方程为y =x －1或y =－x +1. ●思悟小结1.直线和圆地位置关系有且仅有三种：相离、相切、相交.判定方法有两个：几何法,比较圆心到直线地距离与圆地半径间地大小；代数法,看直线与圆地方程联立所得方程组地解地个数.2.解决直线与圆地位置关系地有关问题,往往充分利用平面几何中圆地性质使问题简化. ●教师下载中心教学点睛1.有关直线和圆地位置关系,一般要用圆心到直线地距离与半径地大小来确定.2.当直线和圆相切时,求切线方程一般要用圆心到直线地距离等于半径,求切线长一般要用切线、半径及圆外点与圆心连线构成地直角三角形；与圆相交时,弦长地计算也要用弦心距、半径及弦长地一半构成地直角三角形.3.有关圆地问题,注意圆心、半径及平面几何知识地应用.4.在确定点与圆、直线与圆、圆与圆地位置关系时,经常要用到距离,因此,两点间地距离公式、点到直线地距离公式等应熟练掌握,灵活运用.拓展题例【例1】已知圆地方程为x 2+y 2+ax +2y +a 2=0,一定点为A （1,2）,要使过定点A （1,2）作圆地切线有两条,求a 地取值范围.解：将圆地方程配方得（x +2a ）2+（y +1）2=4342a-,圆心C 地坐标为（－2a ,－1）,半径r =4342a -,条件是4－3a 2＞0,过点A （1,2）所作圆地切线有两条,则点A 必在圆外,即22)12()21(+++a ＞4342a -.化简得a 2+a +9＞0.4－3a 2＞0, a 2+a +9＞0,－332＜a ＜332,a ∈R . ∴－332＜a ＜332. 由解之得故a 地取值范围是（－332,332）. 【例2】已知⊙O 方程为x 2+y 2=4,定点A （4,0）,求过点A 且和⊙O 相切地动圆圆心地轨迹.剖析：两圆外切,连心线长等于两圆半径之和,两圆内切,连心线长等于两圆半径之差,由此可得到动圆圆心在运动中所应满足地几何条件,然后将这个几何条件坐标化,即得到它地轨迹方程.解法一：设动圆圆心为P （x ,y ）,因为动圆过定点A ,所以|PA |即动圆半径. 当动圆P 与⊙O 外切时,|PO |=|PA |+2；当动圆P 与⊙O 内切时,|PO |=|PA |－2. 综合这两种情况,得||PO |－|PA ||=2.将此关系式坐标化,得|22y x +－22)4(y x +-|=2.化简可得（x －2）2－32y =1.解法二：由解法一可得动点P 满足几何关系 ||OP |－|PA ||=2,即P 点到两定点O 、A 地距离差地绝对值为定值2,所以P 点轨迹是以O 、A 为焦点,2为实轴长地双曲线,中心在OA 中点（2,0）,实半轴长a =1,半焦距c =2,虚半轴长b =22a c -=3,所以轨迹方程为（x －2）2－32y =1.。

高三数学一轮复习精品学案3：§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系

§9.4 直线与圆、圆与圆的位置关系考纲传真1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系.2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想．知识梳理1．判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离d和圆半径r的大小关系：⇔相交；⇔相切；d>r⇔相离．(2)代数法：联立直线l与圆C的方程，消去y(或x)，得一元二次方程，计算判别式Δ＝b2－4ac，Δ>0⇔，Δ＝0⇔，Δ<0⇔相离．2．圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1>0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2>0).1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)“k＝1”是“直线x－y＋k＝0与圆x2＋y2＝1相交”的必要不充分条件．()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切．()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交．()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程．()2．圆(x＋2)2＋y2＝4与圆(x－2)2＋(y－1)2＝9的位置关系为()A．内切B．相交C．外切D．相离3．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是()A．－2或12B．2或－12C．－2或－12D．2或124．在平面直角坐标系xOy中，直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为__________．5．设直线y＝x＋2a与圆C：x2＋y2－2ay－2＝0相交于A，B两点，若|AB|＝23，则圆C 的面积为________.题型突破考向1 直线与圆的位置关系例1(1)直线l：mx－y＋1－m＝0与圆C：x2＋(y－1)2＝5的位置关系是()A．相交B．相切C．相离D．不确定(2)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为__________．规律方法1.(1)利用圆心到直线的距离可判断直线与圆的位置关系，也可利用直线的方程与圆的方程联立后得到的一元二次方程的判别式来判断直线与圆的位置关系；(2)注意灵活运用圆的几何性质，联系圆的几何特征，数形结合，简化运算．如“切线与过切点的半径垂直”等．2．与弦长有关的问题常用几何法，即利用弦心距、半径和弦长的一半构成直角三角形进行求解．变式训练1(1)过点(3,1)作圆(x－1)2＋y2＝r2的切线有且只有一条，则该切线的方程为() A．2x＋y－5＝0B．2x＋y－7＝0C．x－2y－5＝0D．x－2y－7＝0(2)已知直线l：x－3y＋6＝0与圆x2＋y2＝12交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，D两点，则|CD|＝__________.考向2 圆与圆的位置关系例2已知圆M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直线x＋y＝0所得线段的长度是22，则圆M与圆N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置关系是()A．内切B．相交C．外切D．相离规律方法1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系．2.若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．3.若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦．变式训练2若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A，B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．考向3 直线与圆的综合问题例3如图，在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4)．(1)设圆N与x轴相切，与圆M外切，且圆心N在直线x＝6上，求圆N的标准方程；(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B，C两点，且BC＝OA，求直线l的方程．规律方法1.(1)设出圆N的圆心N(6，y0)，由条件圆M与圆N外切，求得圆心与半径，从而确定圆的标准方程．(2)依据平行直线，设出直线l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解．2．求弦长常用的方法：①弦长公式；②半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用勾股定理求解(几何法)．变式训练3在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x－3y＝4相切．(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点M，N关于直线x＋2y＝0对称，且|MN|＝23，求直线MN的方程.思想与方法1．直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几何性质，重视数形结合思想方法的应用．2．计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形计算．(2)代数方法：弦长公式|AB|＝1＋k2|x A－x B|＝(1＋k2)[(x A＋x B)2－4x A x B].易错与防范1．求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质，可以用勾股定理或斜率之积为“－1”列方程来简化运算．2．过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解．——★参考答案★——知识梳理1．(1) d<r d＝r(2) 相交相切2．d >r 1＋r 2 无解 d ＝r 1＋r 2 一组实数解|r 2－r 1|<d <r 1＋r 2 两组不同的实数解 d ＝|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 一组实数解 0≤d <|r 1－r 2|(r 1≠r 2) 无解学情自测1．『答案』 (1)× (2)× (3)× (4)√『解析』依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有(4)正确． 2．『答案』B『解析』两圆圆心分别为(－2,0)，(2,1)，半径分别为2和3，圆心距d ＝42＋1＝17. ∵3－2<d <3＋2，∴两圆相交． 3．『答案』D『解析』由圆x 2＋y 2－2x －2y ＋1＝0，知圆心(1,1)，半径为1，所以|3×1＋4×1－b |32＋42＝1，解得b ＝2或12. 4．『答案』2555『解析』圆心为(2，－1)，半径r ＝2. 圆心到直线的距离d ＝|2＋2×－1－3|1＋4＝355，所以弦长为2r 2－d 2＝222－⎝⎛⎭⎫3552＝2555.』5．『答案』4π『解析』圆C ：x 2＋y 2－2ay －2＝0化为标准方程是C ：x 2＋(y －a )2＝a 2＋2，所以圆心C (0，a )，半径r ＝a 2＋2.|AB |＝23，点C 到直线y ＝x ＋2a 即x －y ＋2a ＝0的距离d ＝|0－a ＋2a |2，由勾股定理得⎝⎛⎭⎫2322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫|0－a ＋2a |22＝a 2＋2，解得a 2＝2，所以r ＝2，所以圆C 的面积为π×22＝4π. 题型突破考向1 直线与圆的位置关系例1 『答案』(1)A (2)x ＋2y －5＝0『解析』(1)法一：∵圆心(0,1)到直线l 的距离d ＝|m |m 2＋1<1< 5. 故直线l 与圆相交．法二：直线l ：mx －y ＋1－m ＝0过定点(1,1)，∵点(1,1)在圆C ：x 2＋(y －1)2＝5的内部，∴直线l 与圆C 相交．(2)∵以原点O 为圆心的圆过点P (1,2)， ∴圆的方程为x 2＋y 2＝5. ∵k OP ＝2，∴切线的斜率k ＝－12.由点斜式可得切线方程为y －2＝－12(x －1)，即x ＋2y －5＝0.变式训练1 『答案』(1)B (2)4『解析』(1)依题意知，点(3,1)在圆(x －1)2＋y 2＝r 2上，且为切点． ∴圆心(1,0)与切点(3,1)连线的斜率为12.因此切线的斜率k ＝－2.故圆的切线方程为y －1＝－2(x －3)，即2x ＋y －7＝0. (2)由圆x 2＋y 2＝12知圆心O (0,0)，半径r ＝2 3. ∴圆心(0,0)到直线x －3y ＋6＝0的距离d ＝61＋3＝3，|AB |＝212－32＝2 3. 过C 作CE ⊥BD 于E . 如图所示，则|CE |＝|AB |＝2 3.∵直线l 的方程为x －3y ＋6＝0， ∴k AB ＝33，则∠BPD ＝30°，从而∠BDP ＝60°. ∴|CD |＝|CE |sin 60°＝|AB |sin 60°＝2332＝4.』考向2 圆与圆的位置关系例2 『答案』B『解析』法一：由⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2－2ay ＝0，x ＋y ＝0得两交点为(0,0)，(－a ，a )．∵圆M 截直线所得线段长度为22， ∴a 2＋(－a )2＝2 2.又a >0，∴a ＝2.∴圆M 的方程为x 2＋y 2－4y ＝0，即x 2＋(y －2)2＝4，圆心M (0,2)，半径r 1＝2.又圆N ：(x －1)2＋(y －1)2＝1，圆心N (1,1)，半径r 2＝1， ∴|MN |＝(0－1)2＋(2－1)2＝ 2.∵r 1－r 2＝1，r 1＋r 2＝3,1<|MN |<3，∴两圆相交．法二：∵x 2＋y 2－2ay ＝0(a >0)⇔x 2＋(y －a )2＝a 2(a >0)， ∴M (0，a )，r 1＝a .∵圆M 截直线x ＋y ＝0所得线段的长度为22， ∴圆心M 到直线x ＋y ＝0的距离d ＝a2＝a 2－2，解得a ＝2. 以下同法一．变式训练2 『答案』4『解析』由题意⊙O 1与⊙O 在A 处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心，∴O 1A ⊥OA .又∵|OA |＝5，|O 1A |＝25， ∴|OO 1|＝5.又A ，B 关于OO 1对称，∴AB 为Rt △OAO 1斜边上高的2倍．又∵12·OA ·O 1A ＝12OO 1·AC ，得AC ＝2.∴AB ＝4.考向3 直线与圆的综合问题例3 解：圆M 的标准方程为(x －6)2＋(y －7)2＝25，所以圆心M (6,7)，半径为5.2分(1)由圆心N 在直线x ＝6上，可设N (6，y 0)．因为圆N 与x 轴相切，与圆M 外切，所以0<y 0<7，圆N 的半径为y 0，从而7－y 0＝5＋y 0，解得y 0＝1.4分因此，圆N 的标准方程为(x －6)2＋(y －1)2＝1.6分 (2)因为直线l ∥OA ，所以直线l 的斜率为4－02－0＝2.设直线l 的方程为y ＝2x ＋m ，即2x －y ＋m ＝0，则圆心M 到直线l 的距离d ＝|2×6－7＋m |5＝|m ＋5|5.因为BC ＝OA ＝22＋42＝25，而MC 2＝d 2＋⎝⎛⎭⎫BC 22，所以25＝(m ＋5)25＋5，解得m ＝5或m ＝－15.故直线l 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －15＝0.15分变式训练3 解：(1)依题意，圆O 的半径r 等于原点O 到直线x －3y ＝4的距离，则r ＝41＋3＝2. 所以圆O 的方程为x 2＋y 2＝4.(2)由题意，可设直线MN 的方程为2x －y ＋m ＝0. 则圆心O 到直线MN 的距离d ＝|m |5. 由垂径分弦定理，得m 25＋(3)2＝22，即m ＝± 5.所以直线MN 的方程为2x －y ＋5＝0或2x －y －5＝0.。

直线与圆、圆与圆的位置关系学案-高三数学一轮复习

问题3.弦长公式推导过程是什么？
例3.已知点P( ＋1,2－ )，点M(3,1)，圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4.
(1)求过点P的圆C的切线方程；
(2)求过点M的圆C的切线方程。
问题4.已知切点怎样求圆的切线方程
问题5.已知过圆外一点怎样求圆的切线方程
考点3：圆与圆的位置关系
例4.分别求当实数k为何值时，两圆C1：x2＋y2＋4x－6y＋12＝0，C2：x2＋y2－2x－14y＋k＝0相交和相切．
3.已知直角坐标平面上的点A（-2,3）和圆C：，一条光线从点A射出经x轴反射后与圆C相切，求反射后的光线方程
4．已知圆x2＋y2－4x＋2y－3＝0和圆外一点M(4，－8)．
(1)过M作圆的割线交圆于A、B两点，若|AB|＝4，求直线AB的方程；
(2)过M作圆的切线，切点为C、D，求切线段长及CD所在直线的方程.
考点1：直线与圆的位置关系
例1.在△ABC中，若asinA＋bsinB－csinC＝0，则圆C：x2＋y2＝1与直线l：ax＋by＋c＝0的位置关系是()
A．相切B．相交
C．相离D．不确定
问题1：如何判断圆与直线的位置关系？
代数法：
几何法：
变式：直线与圆交点个数为（）
A．2B．1
C．0D．不确定
学案内容
B组
5．已知圆C: 及直线 .
（1）求证：对 R，直线与圆C总有两个不同的交点；
（2）求直线与圆C所截得的弦长的最短长度及此时直线的方程．
C组体验高考
6.(2017·全国卷I).已知过点A（0,1）且斜率为k的直线l与圆C：，交于M,N两点。
（1）求k的取值范围；
（2）若 ,其中O为坐标原点，求

高考数学第一轮复习直线与圆的位置关系学案(教师版)

高考数学第一轮复习直线与圆的位置关系学案(教师版)直线与圆的位置关系一、学习目标：优化设计P88考纲解读二、自主学习：1.若直线a某+by=1与圆某2+y2=1相交，则P（a，b）与圆的位置关系为.答案在圆外2.若直线4某-3y-2=0与圆某2+y2-2a某+4y+a2-12=0总有两个不同交点，则a的取值范围是.答案-6＜a＜43.两圆某2+y2-6某+16y-48=0与某2+y2+4某-8y-44=0的公切线条数为.答案24.若直线y=k(某-2)+4与曲线y=1+24某-有两个不同的交点，则k的取值范围是.答案43,1255.(2022·重庆理，15)直线l与圆某2+y2+2某-4y+a=0(a＜3)相交于两点A,B,弦AB的中点为(0,1),则直线l的方程为.答案某-y+1=0【考点梳理】见优化设计P88考点梳理三、合作探究：例1已知圆某2+y2-6m某-2（m-1）y+10m2-2m-24=0（m∈R）.（1）求证：不论m为何值，圆心在同一直线l上；（2）与l平行的直线中，哪些与圆相交、相切、相离；（3）求证：任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.（1）证明配方得：（某-3m）2+［y-(m-1)］2=25，设圆心为（某，y），则-==13mym某，消去m得l：某-3y-3=0，则圆心恒在直线l：某-3y-3=0上.（2）解设与l平行的直线是l1：某-3y+b=0，则圆心到直线l1的距离为d=10)1(33bmm+--=103b+.∵圆的半径为r=5，∴当d＜r，即-510-3＜b＜510-3时，直线与圆相交；当d=r,即b=±510-3时，直线与圆相切；当d＞r，即b＜-510-3或b＞510-3时，直线与圆相离.（3）证明对于任一条平行于l且与圆相交的直线l1：某-3y+b=0，由于圆心到直线l1的距离d=103b+，弦长=222dr-且r和d均为常量.∴任何一条平行于l且与圆相交的直线被各圆截得的弦长相等.例2从点A（-3，3）发出的光线l射到某轴上，被某轴反射，其反射光线所在直线与圆某2+y2-4某-4y+7=0相切，求光线l所在直线的方程.解方法一如图所示，设l与某轴交于点B（b,0)，则kAB=33+-b,根据光的反射定律，反射光线的斜率k反=33+b.∴反射光线所在直线的方程为y=33+b(某-b),即3某-(b+3)y-3b=0.∵已知圆某2+y2-4某-4y+7=0的圆心为C（2,2），半径为1,∴2 )3(932)3(6++-+-bbb=1,解得b1=-43,b2=1.∴kAB=-34或kAB=-43.∴l的方程为4某+3y+3=0或3某+4y-3=0.方法二已知圆C：某2+y2-4某-4y+7=0关于某轴对称的圆为C1：(某-2)2+(y+2)2=1，其圆心C1的坐标为（2，-2），半径为1，由光的反射定律知，入射光线所在直线方程与圆C1相切.设l的方程为y-3=k(某+3),则22155kk++=1,即12k2+25k+12=0.∴k1=-34，k2=-43.则l的方程为4某+3y+3=0或3某+4y-3=0.方法三设入射光线方程为y-3=k(某+3),反射光线所在的直线方程为y=-k某+b,由于二者横截距相等，且后者与已知圆相切.∴=+-+=--1122332kbkkbkk,消去b得11552=++kk.即12k2+25k+12=0,∴k1=-34,k2=-43.则l的方程为4某+3y+3=0或3某+4y-3=0.四、课堂总结：知识方法思想五、检测巩固：1.已知曲线C：某2+y2-4a某+2ay-20+20a=0.（1）证明：不论a取何实数，曲线C必过定点；（2）当a≠2时，证明曲线C是一个圆，且圆心在一条直线上；（3）若曲线C与某轴相切，求a的值.（1）证明曲线C的方程可变形为(某2+y2-20)+(-4某+2y+20)a=0，由=++-=-+020某某某某某某某y某y某,解得-==24y某，点（4，-2）满足C的方程，故曲线C过定点（4，-2）.（2）证明原方程配方得(某-2a)2+(y+a)2=5(a-2)2,∵a≠2时，5(a-2)2＞0,∴C的方程表示圆心是（2a,-a),半径是5|a-2|的圆.设圆心坐标为（某,y），则有-==aya某2,消去a得y=-21某,故圆心必在直线y=-21某上.（3）解由题意得5|a-2|=|a|,解得a=255±.2.若圆某2+y2=1与直线y=k某+2没有公共点，则k的取值范围为.答案(-3,3)3.已知圆C：（某-a）2+(y-2)2=4(a＞0)及直线l:某-y+3=0,当直线l被圆C截得的弦长为23时，则a=.答案2-14.若直线1=+bya某与圆某2+y2=1有公共点，则2211ba+与1的大小关系是.答案221ba+≥15.能够使得圆某2+y2-2某+4y+1=0上恰有两个点到直线2某+y+c=0距离等于1的c的取值范围为.答案（-35，-5）∪（5，35）6.过点A（11，2）作圆某2+y2+2某-4y-164=0的弦，其中弦长为整数的共有条.答案327.设直线a某-y+3=0与圆（某-1）2+(y-2)2=4相交于A、B两点，且弦AB的长为23，则a=.答案08.将圆某2+y2=1沿某轴正向平移1个单位后得到圆C，则圆C的方程是；若过点（3，0）的直线l和圆C相切，则直线l的斜率是.答案（某-1）2+y2=133或-33六、学习反思：。