中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型
8字模型与飞镖模型
8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．【模型实例】观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD CBAE EBCDA图③21O ABE图④G F 12AB E（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDC BAEE312图⑤P OQA BF C D图⑥21EDCFOBA【练习】1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；图图①OOEEDDCCBBAA（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．图②OEDCBA2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．HGFEDCBA模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．ADC图①4321AD 图②4321AD（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 【模型实例】如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．MAB2143MBA练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .E 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA模型3 边的“8”字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论AC+BD>AD+BC．B CA【模型实例】如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD；(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.B模型4 边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.B【模型实例】如图，点O 为三角形内部一点．求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC ；(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.BB【练习】观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由．(1)如图①，△ABC 中，P 为边BC 一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．(2)如图②，将(1)中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．(3)图③将(2)中的点P 变为两个点1P 、2P ，请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.P 2P 1BCCB CB P三角形的折角模型一、三角形的折角模型：三角形某角折叠后在三角形内所产生的角度等量关系 条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形内二、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关系 条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形外三、三角形某角折叠后在三角形外所产生的角度等量关系 条件：ABC ∆沿DE 折叠使A ∠在三角形外1．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 和AC 上的点，将△ABC 纸片沿DE 折叠，点A 落到点F 的位置．如果DF ∥BC ，∠B ＝60°，∠CEF ＝40°，则∠F ＝ ．2．如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AB 、AC 上一点，将△ABC 沿DE 折叠，使点A 落在边BC 上．若∠A ＝55°，则∠1+∠2+∠3+∠4＝ 度．3．（1）如图①，把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 内部点A ′的位置．试写出∠A 与∠1+∠2之间的关系，并说明理由；（2）如果把△ABC 纸片沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCED 外部点A ′的位置，如图②所示．此时∠A 与∠1、∠2之间存在什么样的关系？直接写出 ．（3）如果把四边形ABCD 沿EF 折叠，使点A 、D 分别落在四边形BCFE 内部点A ′、D ′的位置，如图③所示．直接写出∠A ′、∠D ′、∠1与∠2之间的关系 ．三角形的角平分线模型一、三条内角角平分线的交点与两个顶点连线的夹角=21900剩余角 条件：BP 、CP 是任意△ABC 中∠B 、∠C 的角平分线结论：二、外角平分线所成夹角=21剩余角 条件：B D 是∠A BC 的角平分线,CD 是△A BC 的外角平分线结论：三、两个角的外角平分线的交点与这两个角的顶点连线的夹角=21900剩余角 条件：已知△ABC 的∠B 和∠C 的外角平分线交于D结论： 【练习】1．如图,在三角形A BC 中,∠A=42°,∠ABC 和∠ACB 的三等分线分别交于D 、E, 求∠BDC 的度数2．如图，在△ABC 中，∠A ＝α，∠ABC 的平分线与∠ACD 的平分线交于点A 1，得∠A 1，∠A 1BC 的平分线与∠A 1CD 的平分线交于点A 2，得∠A 2，…，∠A 2013BC 的平分线与∠A 2013CD 的平分线交于点A 2014，得∠A 2014CD ，则∠A 2014＝ ．4．如图，BP 、CP 是任意△ABC 中∠B 、∠C 的角平分线，可知∠BPC ＝90°+∠A ，把图中的△ABC 变成图中的四边形ABCD ，BP ，CP 仍然是∠B ，∠C 的平分线，猜想∠BPC 与∠A 、∠D 的数量关系是 ．平行倒角【模型实战】阅读材料：如图1，若//AB CD ，则B D BED ∠+∠=∠．理由：如图，过点E 作//EF AB ，则B BEF ∠=∠．因为//AB CD ， 所以//EF CD ，所以D DEF ∠=∠，所以BED BEF DEFB D =+=+∠∠∠∠∠．交流：（1）若将点E 移至图2所示的位置，//AB CD ，此时B 、D ∠、E ∠之间有什么关系？请说明理由．探究：（2）在图3中，//AB CD ，E G +∠∠、B F D ++∠∠∠又有何关系？应用：（3）在图4中，若//AB CD ，又得到什么结论？请直接写出该结论．由简单图形到复杂图形的演变1．已知：如左图，线段AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、CB ，如右图，在左图的条件下，∠DAB 和∠BCD 的平分线AP 和CP 相交于点P ，并且与CD 、AB 分别相交于M 、N ．试解答下列问题：（1）在左图中，请直接写出∠A 、∠B 、∠C 、∠D 之间的数量关系： ； （2）在右图中，若∠D ＝50°，∠B ＝40°，试求∠P 的度数；（写出解答过程）（3）如果右图中∠D 和∠B 为任意角，其他条件不变，试写出∠P 与∠D 、∠B 之间数量关系．（直接写出结论）2．（2019春•常熟市月考）将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在A′处的位置．（1）如果A′落在四边形BCDE的内部（如图1），∠A′与∠1+∠2之间存在怎样的数量关系？并说明理由．（2）如果A′落在四边形BCDE的外部（如图2），这时∠A′与∠1、∠2之间又存在怎样的数量关系？并说明理由．3．如图，∠AOB＝90°，点C、D分别在射线OA、OB上，CE是∠ACD的平分线，CE的反向延长线与∠CDO的平分线交于点F．（1）当∠OCD＝50°（图1），试求∠F．（2）当C、D在射线OA、OB上任意移动时（不与点O重合）（图2），∠F的大小是否变化？若变化，请说明理由；若不变化，求出∠F．4．（2019春•姑苏区期中）如图，在四边形ABCD中，∠A＝90°，∠C＝60°．（1）如图1，若∠ADC和∠ABC的平分线交于点O，求∠BOD的度数；（2）如图2，若∠ABC的平分线与四边形ABCD的外角∠EDC的平分线交于点P，求∠BPD的度数；（3）如图3，若DG、BH分别是四边形ABCD的外角∠CDE、∠CBF的平分线，判断DG与BH是否平行，并说明理由．5．（2019春•常熟市期中）在△ABC中，点D为边BC上一点，请回答下列问题：（1）如图1，若∠DAC＝∠B，△ABC的角平分线CE交AD于点F．试说明∠AEF＝∠AFE；（2）在（1）的条件下，如图2，△ABC的外角∠ACQ的角平分线CP交BA的延长线于点P，∠P与∠CFD有怎样的数量关系？为什么？（3）如图3，点P在BA的延长线上，PD交AC于点F，且∠CFD＝∠B，PE平分∠BPD，过点C作CE⊥PE，垂足为E，交PD于点G，试说明CE平分∠ACB．6．如图，四边形ABCD的内角∠BAD、∠CDA的角平分线交于点E，∠ABC、∠BCD的角平分线交于点F．（1）若∠F＝70°，则∠ABC+∠BCD＝°；∠E＝°；（2）探索∠E与∠F有怎样的数量关系，并说明理由；（3）给四边形ABCD添加一个条件，使得∠E＝∠F，所添加的条件为．。
初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型
。
A B
E
C D
图1
A
B
F C
E
D
图2
典例精选
1.(1)如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
(2)如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=
.
2.如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
。
A
E
B
O
D C 图1
E A
B
O
C
图2 D
F G
H
E D
C B
A 图③
模型2 角的飞镖模型
（3）图③将（2）中的点P变为P1、P2，请比较四边形BP1P2C的周长与△ABC的周长的大小，并 说明理由。
A
B
CB
P
图1
A
P CB
图2
A
P1 P2 C
图3
（2）AB+BC+CD+AD<2AC+2BD
A O
B
D C
模型4 边的飞镖模型
如图所示有结论：AB+AC>BD+CD。
A
BO C
模型实例
如图，点O为三角形内部一点。
A
求证：（1）2（AO+BO+CO）>AB+BC+AC；
（2）AB+BC+AC>AO+BO+CO
O
B
C
典例精选
1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。
8字模型与飞镖模型
模型分析
模型分析
（1）因为这个图形像数字8，所以我们往 往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导 角度时用到．
模型实例
观察下列图形，计算角度： （1）如图①，∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝________；
A
A
B
E
B F
C
D
图①
E 图②
A
E B
1O 2
C
D
图③
解法一：利用角的8字模型．如图③，连接 CD． ∵∠BOC是△BOE的外角， ∴∠B＋∠E＝∠BOC． ∵∠BOC是△COD的外角， ∴∠1＋∠2＝∠BOC． ∴∠B＋∠E＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B＋∠ACE＋∠ADB＋∠E ＝∠A＋∠ACE＋∠ADB＋∠1＋∠2 ＝∠A＋∠ACD＋∠ADC＝180°．
E
D ①
A
B
F E
C
D 图②
A
B
O
F
123
P
Q
E 图⑤
C D
（2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型． ∵∠AOP是△AOB的外角， ∴∠A＋∠B＝∠AOP． ∵∠AOP是△OPQ的外角， ∴∠1＋∠3＝∠AOP． ∴∠A＋∠B＝∠1＋∠3．①（角的8字模型）， 同理可证：∠C＋∠D＝∠1＋∠2．② ，
模型实例
如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与 CM交于M，探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．
A 1 D
3M B
4
2
C
练习：
1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
.
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=
中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型
相似之处
两种模型都是几何分析的重要工具,能帮助学生更 好地理解和解决中考几何题。
应用范围
8字模型更侧重于分析三角形和四边形的相关特性, 而飞镖模型主要用于探讨角度和距离关系。
基本结构
8字模型由两个相交的圆弧组成,而飞镖模型由两条 垂直交叉的线段构成,呈现不同的几何形状。
解题技巧
两种模型都需要熟练掌握绘制方法和核心特点,并 灵活应用于几何问题的分析解决中。
借助AR/VR技术,学生可以在虚拟环 境中更直观地操纵和理解8字模型 与飞镖模型,激发创新思维。
智能辅助
结合人工智能技术,未来将有智能 化几何助手,即时分析学生操作并 给出针对性指导,提高解题效率。
8字模型与飞镖模型的综合评价
全面视角
8字模型和飞镖模型可以从多个角 度对几何问题进行全面分析,为解 决问题提供丰富视角。
灵活应用模型
在解决几何题时,善用8字模型分析 图形的性质和关系,有助于找到高 效的解题思路。
飞镖模型
飞镖模型是中考几何必备的另一种重要知识点。它以飞镖形状为基 础,展现了一些特殊的几何关系,在解决涉及角度、距离等题目时很 有帮助。掌握飞镖模型的特点和应用技巧对于提高中考成绩同样重 要。
飞镖模型的定义
几何证明
飞镖模型的垂直、对角等特点,能为几何证明题提 供直观的几何依据,帮助学生理解和解决这类题目 。
距离计算
飞镖模型可用于计算几何图形中的距离,如点到线 的距离、线段长度等,为解决相关问题提供依据。
中考应用
飞镖模型在中考几何试题中经常出现,掌握它的应 用能够有效提高考试成绩,是中考必备的几何知识 。
2 灵活运用
根据几何问题的实际需求,灵活选择或组合使用8 字模型和飞镖模型,提高分析和解题的效率。
几何经典模型：8字模型与飞镖模型
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=
.
D
105°
A
C
115°
BA
D
2
1 105°
C
115° 4 3
B
【答案】220° 提示：如图所示，连接 BD. ∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C， ∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º
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模型 1：角的 8 字模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
A
D
O
B
C
模型分析
证法一：
∵∠AOB 是△ AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△ BOC 的外角，
解法二：
模型 2：角的飞镖模型
如图所示，有结论：∠D＝∠A＋∠B＋∠C．
A D B
B C
A 12
D 34 图①
A
D
1 CB 2
图②
3 4C
模型分析
解法一：如图①，作射线 AD． ∵∠3 是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B＋∠1，∵∠4 是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C＋∠2 ∴∠BDC＝∠3＋∠4，∴∠BDC＝∠B＋∠1＋∠2＋∠C，∴∠BDC＝∠BAC＋∠B＋∠C 解法二：如图②，连接 BC． ∵∠2＋∠4＋∠D＝180°，∴∠D＝180°－（∠2＋∠4） ∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A＝180°，∴∠A＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D＝∠A＋∠1＋∠3. （1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型．
专题11 三角形常见模型(热考模型)(解析版)
专题11三角形常见模型（热考模型）模型一：飞镖模型模型二：8字模型模型三：角平分线模型模型四：裁剪模型模型五：翻折模型【典例分析】【模型一：飞镖模型】【典例1】探究与发现：如图（1）所示的图形，像我们常见的学习用品一圆规，我们，不妨把这样图形叫做“规形图（1）观察“规形图（1）”，试探究∠BDC与∠A、∠B、∠C之间的数量关系，并说明理由；（2）请你直接利用以上结论，解决以下问题：①如图（2），把一块三角尺XYZ放置在△AC上使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A＝40°，则∠ABX+∠ACX＝°．②如图（3），DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE＝40°，∠DBE＝130°，求∠DCE的度数．【解答】解：（1）如图（1），∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C，理由是：过点A、D作射线AF，∵∠FDC＝∠DAC+∠C，∠BDF＝∠B+∠BAD，∴∠FDC+∠BDF＝∠DAC+∠BAD+∠C+∠B，即∠BDC＝∠BAC+∠B+∠C；（2）①如图（2），∵∠X＝90°，由（1）知：∠A+∠ABX+∠ACX＝∠X＝90°，∵∠A＝40°，∴∠ABX+∠ACX＝50°，故答案为：50；②如图（3），∵∠A＝40°，∠DBE＝130°，∴∠ADE+∠AEB＝130°﹣40°＝90°，∵DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，∴∠ADC＝∠ADB，∠AEC＝∠AEB，∴∠ADC+∠AEC＝＝45°，∴∠DCE＝∠A+∠ADC+∠AEC＝40°+45°＝85°．【变式1-1】（2020春•沙坪坝区校级期中）如图，△ABC中，∠A＝30°，D为CB延长线上的一点，DE⊥AB于点E，∠D＝40°，则∠C为（）A．20°B．15°C．30°D．25°【答案】A【解答】解：∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∵∠D＝40°，∴∠ABD＝180°﹣∠D﹣∠DEB＝50°，∵∠ABD＝∠A+∠C，∠A＝30°，∴∠C＝∠ABD﹣∠A＝50°﹣30°＝20°．故选：A．【变式1-2】（2017•东昌府区一模）如图，∠BDC＝98°，∠C＝38°，∠A＝37°，∠B的度数是（）A．33°B．23°C．27°D．37°【答案】B【解答】解：如图，延长CD交AB于E，∵∠C＝38°，∠A＝37°，∴∠1＝∠C+∠A＝38°+37°＝75°，∵∠BDC＝98°，∴∠B＝∠BDC﹣∠1＝98°﹣75°＝23°．故选：B．【变式1-3】（2021春•工业园区校级月考）如图，点C是∠BAD内一点，连CB、CD，∠A＝80°，∠B＝10°，∠D＝40°，则∠BCD的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．150°【答案】C【解答】解：延长BC交AD于E，∵∠BED是△ABE的一个外角，∠A＝80°，∠B＝10°，∴∠BED＝∠A+∠B＝90°，∵∠BCD是△CDE的一个外角∴∠BCD＝∠BED+∠D＝130°，故选：C．【变式1-4】（2021•碑林区校级二模）如图，BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD 的平分线，BE与CF交于G，如果∠BDC＝140°，∠BGC＝110°，则∠A ＝．【答案】80°【解答】解：连接BC，∵∠BDC＝140°，∴∠DBC+∠DCB＝180°﹣140°＝40°，∵∠BGC＝110°，∴∠GBC+∠GCB＝180°﹣110°＝70°，∴∠GBD+∠GCD＝70°﹣40°＝30°，∵BE是∠ABD的平分线，CF是∠ACD的平分线，∴∠ABG+∠ACG＝∠GBD+∠GCD＝30°，在△ABC中，∠A＝180°﹣40°﹣30°﹣30°＝80°．故答案为：80°．【模型二：8字模型】【典例2】图1，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；（3）图2中，当∠D＝50度，∠B＝40度时，求∠P的度数．（4）图2中∠D和∠B为任意角时，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系．（直接写出结果，不必证明）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B，故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）①线段AB、CD相交于点O，形成“8字形”；②线段AN、CM相交于点O，形成“8字形”；③线段AB、CP相交于点N，形成“8字形”；④线段AB、CM相交于点O，形成“8字形”；⑤线段AP、CD相交于点M，形成“8字形”；⑥线段AN、CD相交于点O，形成“8字形”；故“8字形”共有6个，故答案为：6；（3）∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP，①∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P，②∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）关系：2∠P＝∠D+∠B．∠D+∠1＝∠P+∠3①∠B+∠4＝∠P+∠2②①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分线AP和CP相交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4∴2∠P＝∠D+∠B．【变式2-1】（2020•柯桥区模拟）如图所示，∠α的度数是（）A．10°B．20°C．30°D．40°【答案】A【解答】解：∵∠A+∠B+∠AOB＝∠C+∠D+∠COD，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D∴30°+20°＝40°+α，∴α＝10°故选：A．【变式2-2】如图，BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，若∠A＝45°，∠P＝40°，则∠C的度数为（）A．30°B．35°C．40°D．45°【答案】B【解答】解：∵∠A+∠ADG+∠AGD＝180°，∠ABC+∠C+∠BGC＝180°，∴∠A+∠ADG+∠AGD＝∠ABC+∠C+∠BGC．又∵∠AGD＝∠BGC，∴∠A+∠ADG＝∠C+∠GBC．∴∠A﹣∠C＝∠GBC﹣∠ADG．同理可得，∠A+∠ADE＝∠P+∠PBE．∴∠A﹣∠P＝∠PBE﹣∠ADE．∵BP平分∠ABC交CD于点F，DP平分∠ADC交AB于点E，∴∠GBC＝2∠PBE，∠ADG＝2∠ADE．∴∠A﹣∠C＝2（∠A﹣∠P）．∴∠A+∠C＝2∠P．又∵∠A＝45°，∠P＝40°，∴∠C＝35°．故选：B【变式2-3】已知，如图，线段AD、CB相交于点O，连结AB、CD，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P．试问∠P与∠D、∠B之间存在着怎样的数量关系，请说明理由．【答案】2∠P＝∠B+∠D．【解答】解：2∠P＝∠B+∠D，理由如下：如图，在△AOB和△COD中，∵∠AOB＝∠COD，∴∠OAB+∠B＝∠OCD+∠D，在△AEP和△CED中，∵∠AEP＝∠CED，∴∠1+∠P＝∠2+∠D，∵AP、CP分别是∠DAB和∠BCD的角平分线，∴∠OAB＝2∠1，∠OCD＝2∠2，∴2∠P﹣∠B＝2∠D﹣∠D，整理得，2∠P＝∠B+∠D．【变式2-4】在学习并掌握了平行线的性质和判定内容后，数学老师安排了自主探究内容一利用平行线有关知识探究并证明：三角形的内角和等于180°．小颖通过探究发现：可以将三角形的三个内角之和转化为一个平角来解决，也就是可以过三角形的一个顶点作其对边的平行线来证明．请将下面（1）中的证明补充完整：（1）已知：如图1，三角形ABC，求证：∠BAC+∠B+∠C＝180°，证明：过点A作EF∥BC．（2）如图2，线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图2这样的图形称之为“8字形”．请利用小颖探究的结论直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（3）在图2的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N，得到图3，请判断∠P与∠D、∠B之间存在的数量关系，并说明理由．【答案】（1）证明见解析；（2）∠A+∠D＝∠C+∠B，证明见解析；（3）2∠P＝∠D+∠B，证明见解析．【解答】（1）证明：过A作EF∥BC，∴∠EAB＝∠B，∠FAC＝∠C，又∠EAB+∠BAC+∠FAC＝180°，∴∠B+∠C+∠BAC＝180°；（2）解：根据（1）得∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠COB＝180°，又∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；故答案为：∠A+∠D＝∠C+∠B；（3）解：2∠P＝∠D+∠B．根据（2）∠D+∠DAP＝∠P+∠DCP①，∠P AB+∠P＝∠B+∠PCB②，∵∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，∴①﹣②得：∠D﹣∠P＝∠P﹣∠B，∴2∠P＝∠D+∠B．【典例3】如图，五角星的五个角之和，即：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝（）A．180°B．90°C．270°D．240°【答案】A【解答】解：连接CD，设BD与CE交于点O，由∠BOE＝∠COD得：∠B+∠E＝∠OCD+∠ODC，在△ACD中，∠A+∠ACD+∠ADC＝180°，即∠A+∠ACE+∠OCD+∠ODC+∠ADB＝180°，∴∠A+∠ACE+∠B+∠E+ADB＝180°，即五角星的五个内角之和为180°．故选：A．【变式3-1】如图所示，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝度．【答案】360．【解答】解：∵∠B+∠C＝∠1，∠A+∠F＝∠2，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝∠1+∠2+∠E+∠D＝360°．故答案为：360．【变式3-2】如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为【答案】见试题解答内容【解答】解：如图，∵∠1＝∠2+∠F＝∠B+∠E+∠F，∠1+∠A+∠C+∠D＝360°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360°．【模型三：角平分线模型】【典例4】在△ABC中，∠A＝40°：（1）如图（1）BO、CO是△ABC的内角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（2）如图（2）BO、CO是△ABC的外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（3）如图（3）BO、CO分别是△ABC的一内角和一外角角平分线，且相交于点O，求∠BOC；（4）根据上述三问的结果，当∠A＝n时，分别可以得出∠BOC与∠A有怎样的数量关系（只需写出结论）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠BOC＝180°﹣∠OBC﹣∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣2∠OBC﹣2∠OCB，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABC＝2∠OBC，∠ACB＝2∠OCB，∴2∠BOC＝360°﹣（∠ABC+∠ACB），∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∴2∠BOC＝180°+∠A，∴∠BOC＝90°+∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝110°；（2）∠OBC＝（∠A+∠ACB），∠OCB＝（∠A+∠ABC），∠BOC＝180°﹣∠0BC﹣∠OCB，＝180°﹣（∠A+∠ACB）﹣（∠A+∠ABC），＝180°﹣∠A﹣（∠A+∠ABC+∠ACB），结论∠BOC＝90°﹣∠A．∠BOC＝90°﹣∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝70°．（3）∵∠OCD＝∠BOC+∠OBC，∠ACD＝∠ABC+∠A，而BO平分∠ABC，CO平分∠ACD，∴∠ACD＝2∠OCD，∠ABC＝2∠OBC，∴2∠BOC+2∠OBC＝∠ABC+∠A，∴2∠BOC＝∠A，即∠BOC＝∠A．当∠A＝40°，∠BOC＝20°；（4）∠BOC＝90°+n；∠BOC＝90°﹣n；∠BOC＝n．【变式4-1】（1）如图1，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，求证：∠P＝90°+∠A；（2）如图2，在△ABC中，BP平分∠ABC，CP平分外角∠ACE，猜想∠P 和∠A有何数量关系，并证明你的结论．【答案】（1）证明过程见解答；（2）∠P＝A．【解答】（1）证明：∵A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACB，∴∠PCB＝ACB，∠PBC＝ABC，∴∠P＝180°﹣（∠PCB+∠PBC）＝180°﹣（∠ACB+∠ABC）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+A；（2）猜想：证明：∵∠ACE＝∠A+∠ABC，∴∠A＝∠ACE﹣∠ABC，∵∠PCE＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCE﹣∠PBC，又∵BP平分∠ABC，CP平分∠ACE，∴，∴∠P＝ACE﹣ABC＝（∠ACE﹣∠ABC）＝A．【变式4-2】在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线相交于点P．（1）如图①，若∠BPC＝α，则∠A＝；（用α的代数式表示，请直接写出结论）（2）如图②，作△ABC外角∠MBC、∠NCB的角平分线交于点Q，试探究∠Q与∠BPC之间的数量关系，并说明理由．【答案】（1）2α﹣180°；（2）∠BPC+∠Q＝180°，证明见解析．【解答】（1）解：如图①∵BP，CP分别平分∠ABC与∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCB＝ACB，∵∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）∴∠BPC＝180°（∠ABC+∠ACB）∴∠BPC＝180°（180°﹣∠A），∴∠BPC＝90°∠A，∵∠BPC＝α，∴∠A＝2α﹣180°．故答案为2α﹣180°．（2）∠BPC+∠Q＝180°．证明：如图②∵BQ，CQ分别平分∠MBC，∠NCB，∴∠QBC＝∠CBM，∠BCQ＝∠BCN，∴∠QBC+∠QCB＝（∠CBM+∠BCN）∴∠QBC+∠QCB＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝（180°+∠A）∴∠QBC+∠QCB＝90°∠A，∴∠Q＝180°﹣（90°∠A）＝90°∠A，∵∠BPC＝90°∠A，∴∠BPC+∠Q＝180°．【模型四：裁剪模型】【典例5】如图，将一个三角形剪去一个角后，∠1+∠2＝240°，则∠A等于（）A．45°B．60°C．75°D．80°【答案】B【解答】解：∵∠1+∠2＝240°，∴∠B+∠C＝360°﹣（∠1+∠2）＝120°，∴∠A＝180°﹣（∠B+∠C）＝60°，故选：B．【变式5-1】如图，一个直角三角形纸片，剪去直角后，得到一个四边形，则∠1+∠2＝（）°．A．90B．135C．180D．270【答案】D【解答】解：∠1+∠2＝360°﹣（180°﹣90°）＝270°，故选：D．【变式5-2】如图，△ABC为直角三角形，∠C＝90°，若沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2等于（）A．90°B．135°C．150°D．270°【答案】D【解答】解：∠CDE＝180°﹣∠1，∠CED＝180°﹣∠2，在△CDE中，∠CDE+∠CED+∠C＝180°，所以，180°﹣∠1+180°﹣∠2+90°＝180°，所以，∠1+∠2＝270°．故选：D．【变式5-3】如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC中，∠C＝50°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，故答案为：230°．【模型五：翻折模型】【典例6】我们在小学已经学习了“三角形内角和等于180°”．在三角形纸片中，点D，E分别在边AC，BC上，将∠C沿DE折叠，点C落在点C'的位置．（1）如图1，当点C落在边BC上时，若∠ADC'＝58°，则∠C＝，可以发现∠ADC'与∠C的数量关系是；（2）如图2，当点C落在△ABC内部时，且∠BEC'＝42°，∠ADC'＝20°，求∠C的度数；（3）如图3，当点C落在△ABC外部时，若设∠BEC'的度数为x，∠ADC'的度数为y，请求出∠C与x，y之间的数量关系．【答案】（1）29°，∠ADC'＝2∠C；（2）31°；（3）∠C＝x﹣y．【解答】解：（1）∵∠ADC′＝58°，∴∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝122°，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝61°，∠DEC＝∠DEC′＝×180°＝90°，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝29°，∴∠ADC'与∠C的数量关系：∠ADC'＝2∠C．故答案为：29°，∠ADC'＝2∠C；（2）∵∠BEC′＝42°，∠ADC′＝20°，∴∠CEC′＝180°﹣∠BEC′＝138°，∠CDC′＝180°﹣∠ADC′＝160°，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE＝∠CDC′＝80°，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝69°，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝31°，∴∠C的度数为31°；（3）如图：∵∠BEC′＝x，∠ADC′＝y，∴∠CEC′＝180°﹣x，∠1＝180°+∠ADC′＝180°+y，由折叠得：∠CDE＝∠C′DE＝∠1＝90°+y，∠DEC＝∠DEC′＝∠CEC′＝90°﹣x，∴∠C＝180°﹣∠EDC﹣∠DEC＝180°﹣（90°+y）﹣（90°﹣x）＝x﹣y，∴∠C与x，y之间的数量关系：∠C＝x﹣y．【变式6-1】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在边AC上点E处，若∠B＝65°，则∠ADE的大小为（）A．40°B．50°C．65°D．75°【答案】A【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝65°，∴∠A＝90°﹣65°＝25°，根据折叠可得∠CED＝∠B＝65°，∴∠ADE＝65°﹣25°＝40°，故选：A．【变式6-2】如图，将△ABC沿着平行于BC的直线DE折叠，点A落在点A'处，若∠B＝44°，则∠A'DB的度数是（）A．108°B．104°C．96°D．92°【答案】D【解答】解：∵△ABC沿着平行于BC的直线折叠，点A落到点A′，∴∠ADE＝∠B＝44°，∴∠A′DE＝∠ADE＝44°，∴∠A′DB＝180°﹣44°﹣44°＝92°，故选：D．【变式6-3】如图，将△ABC一角折叠，若∠1+∠2＝80°，则∠B+∠C＝（）A．40°B．100°C．140°D．160°【答案】C【解答】解：连接AA′．∵∠1＝∠3+∠4，∠2＝∠5+∠6，∴∠1+∠2＝∠3+∠4+∠5+∠6＝∠EAD+∠EA′D，∵∠EAD＝∠EA′D，∴∠1+∠2＝2∠EAD＝160°，∴∠EAD＝40°，∴∠B+∠C＝180°﹣40°＝140°，故选：C．【夯实基础】1．如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，CF平分∠ACB，∠BFC＝125°，则∠A的度数为（）A．60°B．80°C．70°D．45°【答案】C【解答】解：在△FBC中，∠BFC＝125°．∴∠FBC+∠FCB＝180°﹣∠BFC＝55°．∵BF平分∠ABC，CF平分∠ACB．∴∠ABC＝2∠FBC，∠ACB＝2∠FCB．∴∠ABC+∠ACB＝2（∠FBC+∠FCB）＝110°．∴在△ABC中，∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝70°．故选：C．2．如图，点B是△ADC的边AD的延长线上一点，DE平分∠CDB，若∠C＝50°，∠BDE＝60°，则∠A的度数等于（）A．70°B．100°C．110°D．120°【答案】A【解答】解：∵DE平分∠CDB，∴∠CDE＝∠BDE，∵∠BDE＝60°，∴∠CDE＝60°，∴∠ADC＝180°﹣∠BDE﹣∠CDE＝180°﹣60°﹣60°＝60°，∵∠C＝50°，∴∠A＝180°﹣∠C﹣∠ADC＝180°﹣50°﹣60°＝70°，故选：A．3．如图，在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点D，∠A＝40°，则∠BDC的度数是（）A．110°B．120°C．130°D．140°第6题图【答案】A【解答】解：在△ABC中，∵∠A＝40°，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点D，∴∠DBC＝∠ABC，∠DCB＝∠ACB，∴∠DBC+∠DCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×140°＝70°，在△DBC中，∵∠DBC+∠DCB+∠BDC＝180°，∴∠BDC＝180°﹣（∠DBC+∠DCB）＝180°﹣70°＝110°．故选：A．4．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC 边上的点E处．若∠A＝24°，则∠EDC等于（）A．69°B．67°C．66°D．42°【答案】A【解答】解：在△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，∴∠B＝90°﹣∠A＝66°．由折叠的性质可得：∠BCD＝∠ACB＝45°，∴∠BDC＝∠EDC＝180°﹣∠BCD﹣∠B＝69°．故选：A．5．如图，△ABC中，∠ACB＝90°，沿CD折叠△CBD，使点B恰好落在AC 边上的点E处．若∠A＝22°，则∠EDA等于（）A．46°B．56°C．36°D．77°【答案】A【解答】解：△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝22°，∴∠B＝90°﹣∠A＝68°，由折叠的性质可得：∠CED＝∠B＝68°，∴∠EDA＝∠CED﹣∠A＝46°，故选：A．6．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，点A落在四边形DEBC内部A'，当∠A＝30°时，∠1+∠2＝（）A．30°B．40°C．50°D．60°【答案】D【解答】解：在△ADE中，∠A＝30°，∠ADE+∠AED＝180°﹣∠A＝180°﹣30°＝150°，由折叠可知：∠A'DE＝∠ADE，∠A'ED＝∠AED，∴∠1+∠2＝360°﹣∠A'DE﹣∠ADE﹣∠A'ED﹣∠AED＝360°﹣2（∠ADE+∠AED）＝360°﹣2×150°＝60°．故选：D．7．在直角△ABC中，∠C＝90°，沿图中虚线剪去∠C，则∠1+∠2＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝90°，∵∠1+∠2+∠A+∠B＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣90°＝270°．故答案是：270°．8．如图，在△ABC中，∠C＝40°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵△ABC中，∠C＝40°，∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝140°，∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，∴∠1+∠2＝360°﹣140°＝220°，故答案为：220°．9．有一张直角三角形纸片，记作△ABC，其中∠B＝90°．按如图方式剪去它的一个角（虚线部分），在剩下的四边形ADEC中，若∠1＝165°，则∠2的度数为°．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠B＝90°，∴∠BDE+∠BED＝180°﹣∠B＝90°，又∵∠BDE+∠2＝180°，∠BED+∠1＝180°，∴∠1+∠2＝360°﹣（∠BDE+∠BED）＝270°．∵∠1＝165°，∴∠2＝105°．故答案为：105．10．将纸片△ABC沿DE折叠使点A落在点A'处，若∠1＝80°，∠2＝28°，则∠A的度数为．【答案】26°．【解答】解：如图，由折叠的性质可知∠A'＝∠A，∵∠1＝∠A+∠AFD，∠AFD＝∠2+∠A'，∴2∠A+∠2＝∠1，∵∠1＝80°，∠2＝28°，∴∠A＝26°，故答案为：26°．11．如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A′处，且BA′平分∠ABC，CA′平分∠ACB，若∠BA′C＝115°，则∠1+∠2的度数为．【答案】100°．【解答】解：如图，连接AA'，∵A'B平分∠ABC，A'C平分∠ACB，∴∠A'BC＝∠ABC，∠A'CB＝∠ACB，∵∠BA'C＝115°，∴∠A'BC+∠A'CB＝180°﹣115°＝65°，∴∠ABC+∠ACB＝130°，∴∠BAC＝180°﹣130°＝50°，∵沿DE折叠，∴∠DAA'＝∠DA'A，∠EAA'＝∠EA'A，∵∠1＝∠DAA'+∠DA'A＝2∠DAA'，∠2＝∠EAA'+∠EA'A＝2∠EAA'，∴∠1+∠2＝2∠DAA'+2∠EAA'＝2∠BAC＝2×50°＝100°，故答案为：100°．12．如图所示，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数．【答案】见试题解答内容【解答】解：由图可知：∵∠2是三角形的外角，∴∠2＝∠A+∠1，同理∠1也是三角形的外角，∴∠1＝∠E+∠C，在△BDF中，∠B+∠D+∠2＝180°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．13．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AD、CB，我们把形如图1的图形称之为“8字形”．试解答下列问题：（1）在图1中，请直接写出∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系：；（2）如图2，在图1的条件下，∠DAB和∠BCD的平分线AP和CP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于M、N．请直接利用（1）中的结论，完成下列各题：①仔细观察，在图2中“8字形”的个数：个；②若∠D＝40°，∠B＝50°，试求∠P的度数；③若∠D和∠B为任意角，其他条件不变，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请写出推理过程；若不存在，请说明理由；④若∠D和∠B为任意角，∠DAB＝3∠2，∠DCB＝3∠4，试问∠P与∠D、∠B之间是否存在一定的数量关系？若存在，请直接写出结论；若不存在，请说明理由．【答案】（1）∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①6；②45°；③∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P．【解答】解：（1）∵∠A+∠D＝180°﹣∠AOD，∠B+∠C＝180°﹣∠COB，且∠AOD＝∠COB，∴∠A+∠D＝∠B+∠C；故答案为∠A+∠D＝∠B+∠C；（2）①以M为交点的有1个，为△AMD和△CMP，以O为交点的有4个，为△AOD和△BOC，△AOD和△CON，△AOM和△BOC，△AOM和△CON，以N为交点的有1个，为△ANP和△BNC，故答案为6个；②∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P，∴∠P＝＝45°；③：∠B+∠D＝2∠P，理由如下：∵AP平分∠DAB，CP平分∠BCD，∴2∠1＝∠OAD，2∠3＝∠OCB，由（1）中的结论得：∠1+∠D＝∠3+∠P，2∠1+∠D＝2∠3+∠B，整理得：∠B+∠D＝2∠P；④2∠B+∠D＝3∠P，理由如下：由（1）中结论得：∠2+∠P＝∠4+∠B，3∠2+∠D＝3∠4+∠B，整理得：2∠B+∠D＝3∠P．14．“8字”的性质及应用：（1）如图①，AD、BC相交于点O，得到一个“8字”ABCD，求证：∠A+∠B＝∠C+∠D．（2）图②中共有多少个“8字”？（3）如图②，∠ABC和∠ADC的平分线相交于点E，利用（1）中的结论证明∠E＝（∠A+∠C）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠A+∠B+∠AOB＝180°，∠C+∠D+∠COD＝180°，又∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D；（2）图②中有：ABCD、BECD、ABED，BFDC、BFDH、ABHD6个“8字”；（3）∵BE平分∠ABC，DE平分∠ADC，∴∠ABE＝∠CBE＝ABC，∠CDE＝∠ADE＝∠ADC，∵∠A+∠ABE＝∠E+∠ADE，∠C+∠CDE＝∠E+∠CBE，∴∠E＝（∠A+∠C）．15．（1）如图1，在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，过点O作EF∥BC分别交AB，AC于点E，F．直接写出线段EF与BE，CF之间的数量关系：．（2）如图2，若△ABC中∠ABC的平分线BO与三角形外角平分线CO交于点O，过O点作OE∥BC交AB于点E，交AC于点F．则EF与BE，CF之间的数量关系又如何？说明你的理由．【答案】（1）EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF．【解答】解：（1）∵BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，∴∠ABO＝∠OBC，∠ACO＝∠OCB，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∠FOC＝∠OCB，∴∠EBO＝∠EOB，∠FOC＝∠FCO，∴EB＝EO，FC＝FO，∵EF＝EO+FO，∴EF＝EB+FC，故答案为：EF＝EB+FC；（2）EF＝BE﹣CF，理由是：∵BO平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBC，∵EF∥BC，∴∠EOB＝∠OBC，∴∠EBO＝∠EOB，∴EB＝EO，同理可得：FO＝CF，∵EF＝EO﹣FO，∴EF＝BE﹣CF【能力提升】16．如图，在△ABC中，∠A＝α，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1，则∠A1＝．∠A1BC的平分线与∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2，…，∠A2009BC的平分线与∠A2009CD的平分线交于点A2010，得∠A2010，则∠A2010＝．【答案】见试题解答内容【解答】解：∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，∠ACD＝2∠A1CD，∠ABC＝2∠A1BC，∴2∠A1CD＝∠A+2∠A1BC，即∠A1CD＝∠A+∠A1BC，∴∠A1＝＝，由此可得∠A2010＝．故答案为：，．17．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，则我们把形如这样的图形称为“8字型”．（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D．利用以上结论解决下列问题：（2）如图2所示，∠1＝130°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数为．（3）如图3，若∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，且与CD，AB分别相交于点M，N．①若∠B＝100°，∠C＝120°，求∠P的度数．②若角平分线中角的关系改成“∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB”，试直接写出∠P与∠B，∠C之间存在的数量关系，并证明理由．【答案】（1）证明见解析过程；（2）260°；（3）①110°，②4∠P＝∠B+3∠C，理由见解析过程．【解答】解：（1）证明：在图1中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D ＝180°﹣∠BOD，∵∠AOC＝∠BOD，∴∠A+∠C＝∠B+∠D；（2）如图2所示，∵∠DME＝∠A+∠E，∠3＝∠DME+∠D，∴∠A+∠E+∠D＝∠3，∵∠2＝∠3+∠F，∠1＝130°，∴∠3+∠F＝∠2＝∠1＝130°，∴∠A+∠E+∠D+∠F＝130°，∵∠B+∠C＝∠1＝130°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝260°．故答案为：260°．（3）①以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴2∠P+∠BAP+∠CDP＝∠B+∠C+∠CAP+∠BDP，∵AP、DP分别平分∠CAB和∠BDC，∴∠BAP＝∠CAP，∠CDP＝∠BDP，∴2∠P＝∠B+∠C，∵∠B＝100°，∠C＝120°，∴∠P＝（∠B+∠C）＝（100°+120°）＝110°；②3∠P＝∠B+2∠C，其理由是：∵∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠BAP＝∠CAB，∠BDP＝∠CDB，以M为交点“8字型”中，有∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，以N为交点“8字型”中，有∠P+∠BAP＝∠B+∠BDP∴∠C﹣∠P＝∠CDP﹣∠CAP＝（∠CDB﹣∠CAB），∠P﹣∠B＝∠BDP﹣∠BAP＝（∠CDB﹣∠CAB）．∴3（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴4∠P＝∠B+3∠C．18．如图①，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O．（1）若∠A＝40°，则∠BOC＝．若∠A＝60°，则∠BOC ＝．若∠BOC＝3∠A，则∠BOC＝．（2）如图②，在△A′B′C′中的外角平分线相交于点O′，∠A＝40°，则∠B′O′C′＝（3）上面（1）、（2）两题中的∠BOC与∠B′O′C′有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B′O′C′是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？（4）如图③，△A″B″C″的内角∠ACB的外角平分线与∠ABC的内角平分线相交于点O″，∠BOC与∠B″O″C″有怎样的数量关系？若∠A＝∠A′＝n°，∠BOC与∠B″O″C″是否有这样的关系？这个结论你是怎样得到的？【答案】（1）110°，60°，108°；（2）70°；（3）∠BOC+∠B′O′C′＝180°；（4）∠BOC﹣∠B″O″C″＝90°．【解答】解：（1）∵∠A＝40°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝×140°＝70°，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝110°，∵∠A＝60°，∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣60°＝120°，∵∠ABC、∠ACB的平分线相交于点O，∴∠1+∠2＝∠ABC+∠ACB＝×120°＝60°，∴∠BOC＝180°﹣120°＝60°；∵设∠A＝x°，则∠1+∠2＝（∠ABC+∠ACB）＝×（180°﹣x°）＝90°﹣x°，∴∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（90°﹣x°）＝90°+x°，∵∠BOC＝3∠A，∴3x＝90+x，x＝36，即∠BCO＝3x°＝108°；故答案为：110°，60°，108°；（2）如图2，∵∠A′＝40°，∴∠A′B′C′+∠A′C′B′＝180°﹣40°＝140°，∴∠MB′C′+NC′B′＝360°﹣140°＝220°，∵B′O′、C′O′分别平分∠MB′C′，∠NC′B′，∴∠1＝∠MB′C′，∠2＝∠NC′B′，∴∠1+∠2＝110°，∴∠B′O′C′＝180°﹣110°＝70°，故答案为：70°；（3）图1和图2的∠BOC+∠B′O′′＝180°（当∠A＝∠A′时）；图1中∠BOC＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，图2中∠B′O′′＝180°﹣（∠1+∠2）＝180°﹣（∠MB′C′+∠NC′B′）＝180°﹣[360°﹣（∠A′B′C′+∠A′C′B′）]＝（180°﹣∠A′）＝90°﹣∠A′，∵∠A＝∠A′＝n°，∴∠BOC+∠B′O′C′＝180°（4）∵∠A″C″M＝2∠2＝∠A″+∠A″B″C″，∠2＝∠O″+∠1，∵C″D″平分∠A″C″M，B″O″平分∠A″B″C″∴∠A″C″M＝2∠2，∠A″B″C″＝2∠1，∴∠A″＝2∠O″＝n°，∴∠B″O″C″＝∠A″，∵∠BOC＝90°+∠A，∠A＝∠A′＝n°∴∠BOC﹣∠B″O″C″＝90°．19．已知△ABC中，∠A＝x°（1）如图1，若∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，则用x表示∠BOC ＝°（2）如图2，若∠ABC和∠ACB的三等分线相交于点O1、O2，则用x表示∠BO1C＝°（3）如图3，若∠ABC和∠ACB的n等分线相交于点O1、O2、…、O n﹣1，则用x表示∠BO1C＝°【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵∠ABC和∠ACB的角平分线相交于点O，∴2∠OBC＝∠ABC，2∠OCB＝∠ACB，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∴∠A+2∠OBC+2∠OCB＝180°，∴∠OBC+∠OCB＝90°﹣∠A，∵∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝90°+∠A，∵∠A＝x°，∴∠BOC＝（90+x）°；。
中考数学必会几何模型：8字模型与飞镖模型
8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA模型分析 证法一：∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二：∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ．∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E ＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ． ∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE312图⑤P O QA BFC D图⑥21EDCFOBA（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ．∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③ 由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°． 解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；图图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE ，∠EAD=∠B+∠D ，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝180°解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2， ∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360° 解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．ADC图①4321AD 4321AD模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2 ∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C 解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .DE【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC．CAD模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
模型“8字”模型与“飞镖”模型必知结论
模型“8字”模型与“飞镖”模型必知结论推荐阅读【01】直角三角形中45°处理的40种方法【02】一题可破万题山之一道好题的多解多变归一【03】一题多解，玩转中考压轴题【04】培优拔高 | 初中最值问题的19大类型【05】为什么要一题多解？为什么要一题多变？【06】神仙试题 | 一道二次函数，经典二十问！【07】多解 | 勾股定理的16种典型证明方法【08】最值之将军饮马、将军遛马、将军过河【09】名师之作：几何最值问题大一统【10】初中数学必会之模型解题法【11】初中数学常见几何模型全解析【12】经典几何模型之“阿式圆”【13】以一道真题谈变式教学的归一思想【14】一题多变/一题多问/一题多解/一一聚多有些图形有名字，比如三角形有些图形没有名字，比如xxx有些图形可以有名字这类图形普遍具有如下特性：基本、常见、定条件这便是模型~在平行与三角形之后，了解下与三角形相关的两大模型：8字与飞镖．01“8”字模型模型：如图，线段AD、BC相交于点O，连接AB、CD，则有：∠A+∠B=∠C+∠D．思路1：三角形内角和定理∵∠A+∠B+∠AOB=180°，∠C+∠D+∠COD=180°，且∠AOB=∠COD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．思路2：三角形外角定理∵∠A+∠B=∠BOD，∠C+∠D=∠BOD，∴∠A+∠B=∠C+∠D．02“飞镖”模型模型：如图，在凹四边形ABOC中，则有：∠A+∠B+∠C=∠BOC．思路1：三角形内角和定理如图，连接BC，则∠1+∠2+∠BOC=180°，又∠A+∠4+∠1+∠3+∠2=180°，∴∠A+∠4+∠3=∠BOC，即∠A+∠B+∠C=∠BOC．思路2：三角形外角定理连接AO并延长，则根据三角形外角定理可得：∠1+∠B=∠3，∠2+∠C=∠4，∴∠1+∠2+∠B+∠C=∠3+∠4，∴∠A+∠B+∠C=∠BOC．思路3：三角形外角定理延长BO，与AC边交于点D，则∠A+∠B=∠1，又∵∠1+∠C=∠BOC，∴∠A+∠B+∠C=∠BOC．思路4：四边形内角和凹四边形内角和为360°．∴∠A+∠B+∠C=∠BOC．03两大模型综合应用问题：求五角星的“内角和”．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=________．思路1：飞镖+三角形∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠COD+∠B+∠E=∠BOE+∠B+∠E=180°．思路2：8字+三角形连接CD，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=∠A+∠ACO+∠ADO+∠OCD+∠ODC=∠A+∠ACD+∠ADC=180°．思路3：三角形内角和如图，∠A+∠1+∠2=180°，∠B、∠C、∠D、∠E同理，用5个三角形的内角和减去两个五边形外角和，即为∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的结果．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×180°-2×360°=180°．思路4：三角形外角定理∠A+∠1等于五边形的一个内角，∠B、∠C、∠D、∠E同理，5个角之和与五边形外角和等于五边形的内角和．∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+360°=540°，可得：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°．思路5：三角形外角和定理类似于旋转的思路看三角形外角和，五角星相当于旋转了两周，即“外角和”为2×360°，所以∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=5×180°-2×360°=180°．（5个平角-2圈）为何是两圈？动手画一画，尽可能让棱角磨平，再感受感受~五角星问题还是过于简单，并不能充分体现“8字”与“飞镖”价值，类比探究一下七角星的“内角和”．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G的值．思路1：两个飞镖+三角形思路2：两个8字+三角形思路3：8字+飞镖+三角形思路4：三个三角形+飞镖思路5：三个三角形+8字思路6：外角7×180°-3×360°=180°（7个平角-3圈）类似五角星，七角星旋转了三周，故结果为7个平角之和减去3个周角之和．显然法1-法3优于法4和法5，模型的意义在于解剖复杂的几何图形，将复杂图形看成由一些简单基本的图形构成，了解了常见模型的结论，在解题时就有了更多的工具，将复杂问题拆解为简单问题．思考是否有像五角星、七角星这样一笔画成的六角星？考虑六角星时首先考虑五角星如何画，一个正五角星等价于作一个正五边形，等价于将圆五等分，尺规作图可以实现．参考有一点数学话题：尺规作图接着选点相连，隔一点相连即可得五角星，至于六角星，考虑2和3都是6的因数，故无法一笔得出．类似不难发现，所谓七角星其实可以有两种，八角形却只有一种，九……你懂我在说什么对吧~文章来源：有一点数学、作者：刘岳；如存在文章/图片/音视频使用不当的情况，或来源标注有异议等，请联系编辑微信：ABC-shuxue第一时间处理。
几何经典模型：8字模型与飞镖模型
＝360°．（四边形内角和为 360°）
练习：
1．（1）如图①，求：∠CAD＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝
；
E A
A
E
B
O
B
O
C
C
D
图①
D 图②
解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD， ∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：
（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝
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模型 1：角的 8 字模型 如图所示，AC、BD 相交于点 O，连接 AD、BC．
结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．
A
D
O
B
C
模型分析
证法一：
∵∠AOB 是△ AOD 的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB 是△ BOC 的外角，
∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º
2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D=.Dຫໍສະໝຸດ 105°AC
115°
BA
D
2
1 105°
C
115° 4 3
∵∠4 是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM，∵∠AMC＝∠3＋∠4
∴∠AMC＝∠1＋∠ADM＋∠CDM＋∠2，∴∠AMC＝∠1＋∠2＋∠ADC．（角的飞镖模型）
∵AM、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB，∴ 1 BAD ， 2 BCD ，
8字模型与飞镖模型
初中几何典型解题模型
说明：购买《初中数学典型题思路分析》书赠送数套电子版学习资料，“初中几何典型解题模型”是新增的诸多赠送资料之一。
中考看数学，数学看几何.在中考科目中，数学最能体现差距；在数学中，几何是拉开数学的重中之重。
《初中几何典型解题模型》希望帮助同学们解决“几何”这一痛点难点.学习几何，如果采用题海战术，忽视技巧和方法总结，往往事倍功半，收效甚微.本书在分析海量中考几何试题的基础上，总结解题方法与技巧，整理出中考中最高频的12类共31个几何模型，为每个模型打造“模型分析+典型例题+练习巩固”三部分内容：
模型分析——认识经典模型、识别模型，给出经典模型对应的结论，提供解析与证明.
典型例题——精选经典例题，匹配经典模型，利用模型进行实战应用
巩固练习——依托题库大数据，经典模型高度匹配练习，每一道练习都是经典题，是典型例题的黄金搭档.
本书定位于成绩中等及偏上学生，在高度、深度和难度上都接近中考，帮助同学们解决中考常见难点，有效提高做题效率。
第一章8字模型与飞标模型【模型1：角的8字模型】
【模型分析】
【典型例题】
【答案解析】
【巩固练习1】
【巩固练习2】。
中考必考几何模型(1)
中考必考几何模型(1)第一章 8字模型与飞镖模型模型1 角的“8”字模型如图所示，AB 、CD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：∠A +∠D =∠B +∠C 。
模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E = ；（2）如图②，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = 。
热搜精练 1．（1）如图①，求∠CAD +∠B +∠C +∠D +∠E = ； （2）如图②，求∠CAD +∠B +∠ACE +∠D +∠E = 。
2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F +∠G +∠H = 。
模型2 角的飞镖模型 如图所示，有结论：图12图EABCDEFD CBAOO图12图EABC DEDCBAHG EF DCBAOD CBA∠D =∠A +∠B +∠C 。
模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M 。
探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系。
热搜精练1．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D +∠E +∠F = ；2．如图，求∠A +∠B +∠C +∠D = 。
模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC 。
结论：AC +BD >AD +BC 。
DCBAMDCBAO135EFDC BA105OO120D CBA模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
求证：（1）AB +BC +CD +AD >AC +BD ；（2）AB +BC +CD +AD <2AC +2BD .模型4 边的飞镖模型 如图所示有结论： AB +AC >BD +CD 。
模型实例如图，点O 为三角形内部一点。
求证：（1）2（AO +BO +CO ）>AB +BC +AC ；（2）AB +BC +AC >AO +BO +CO .热搜精练ODCBAODCBAOCB AOCBA1．如图，在△ABC 中，D 、E 在BC 边上，且BD =CE 。
中考数学模型：飞镖模型与8字型模型讲课教案
中考数学模型：飞镖模型与8字型模型8字模型与飞镖模型8字型与飞镖型是中考几何模型中常见的两种结构，熟悉这两种结构对于我们快速解题有着极其重要的帮助。
模型1：角的8字模型如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC．结论：∠A＋∠D＝∠B＋∠C．ADOCB模型分析证法一：∵∠AOB是△AOD的外角，∴∠A＋∠D＝∠AOB．∵∠AOB是△BOC的外角，∴∠B＋∠C＝∠AOB．∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．证法二：∵∠A＋∠D＋∠AOD＝180°，∴∠A＋∠D＝180°－∠AOD．∵∠B＋∠C＋∠BOC＝180°，∴∠B＋∠C＝180°－∠BOC．又∵∠AOD＝∠BOC，∴∠A＋∠D＝∠B＋∠C．（1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型．（2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到． 模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FDCBAEBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A ＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE图⑤图⑥CF（2）解法一：如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ．∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；图图①OOE ED DCC BBA A解：如图，∵∠1=∠B+∠D，∠2=∠C+∠CAD，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°．故答案为：180°解法二：（2）如图②，求：∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD＋∠B＋∠ACE＋∠D＋∠E＝180°解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C图①图②模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4 ∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°. 练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .E【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC．BCAD模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
三角形中角度计算相关的模型(飞镖模型、8字模型、角分线模型)
三角形中与角度计算相关的模型两个定理：一、平面内，三角形的三个内角和为180°。
二、平面内，三角形的一个外角等于其不相邻的两个外角和。
由上述两个定理可导出本文如下说要讲述的相关模型：8字模型、飞镖模型、两内角角平分线模型、两外角角平分线模型、内外角角平分线模型、共顶点的角平分线与高线夹角模型。
下面一一推导证明。
条件：AD、BC相交于点O。
结论：∠A+∠B=∠C+∠D。
(上面两角之和等于下面两角之和)证明：在∠ABO中，由内角和定理：∠A+∠B+∠BOA=180°在∠CDO中，∠C+∠D+∠COD=180°，∠∠A+∠B+∠BOA=180°=∠C+∠D+∠COD，由对顶角相等：∠BOA=∠COD故有∠A+∠B=∠C+∠D应用：如下左图所示，五角星中，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=180°条件：四边形ABDC如上左图所示。
结论：∠D=∠A+∠B+∠C。
(凹四边形凹外角等于三个内角和)证明：如上右图，连接AD并延长到E，则：∠BDC=∠BDE+∠CDE=(∠B+∠1)+(∠2+∠C)=∠B+∠BAC+∠C。
本质为两个三角形外角和定理证明。
应用：如下左图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=260°(下右图中两个飞镖)。
条件：△ABC 中，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
结论：A I ∠+︒=∠2190 证明： ∵BI 是∠ABC 平分线，∴ABC ∠=∠212 ∵CI 是∠ACB 平分线，∴ACB ∠=∠213由A →B →I →C →A 的飞镖模型可知： ∠I =∠A +∠2+∠3=∠A +ABC ∠21+ACB ∠21=∠A +)180(21A ∠-︒=A ∠+︒2190. 应用：如上图，BI 、CI 分别是∠ABC 和∠ACB 的角平分线，且相交于点I 。
(1) 若∠A =60° ，则∠I =120° (2) 若∠I =110°，则∠A =40° (3) 若∠A =α，则∠I =α2190+︒。
中考数学重点几何模型：8字型、飞镖模型和三垂直全等模型 讲义(无答案)
微专题：8字模型与飞镖模型模型一：角的八字模型典型例题：观察图形，计算角度：（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=.（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .作业训练：1.（1）如图①，∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E= .（2）如图②，∠CA+D ∠B+∠ACE+∠D+∠E= .如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC.结论：∠A+∠D=∠B+∠C模型二：角的飞镖模型典型例题：1.如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系.作业训练：1.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .2. 如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .微专题：三垂直全等模型如图所示，有结论：∠D=∠A+∠B+∠C模型：三垂直全等模型模型拓展：典型例题：例1：如图，AB ⊥BC ，CD ⊥BC ，AE ⊥DE ，AE=DE.求证：AB+CD=BC.例2:如图，∠ACB=90°，AC=BC ，BE ⊥CE ，AD=2.5cm ，BE=0.8cm ，则DE 的长为多少？ 如图，∠D=∠BCA=∠E=90°，BC=AC.结论：Rt △BCD ≌Rt △CAE.作业训练：1.如图，正方形ABCD，BE=CF.求证（1）AE=BF；（2）AE⊥BF.2.如图，直线l上有三个正方形ca,,，若a、c的面积分别是5和11，则b的面积是.b3.如图①，已知在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点P为BC上一动点（BP<CP），分别过B、C作BE⊥AP于E、CF⊥AP于F.（1）求证：EF=CF-BE；（2）如图②，若P为BC延长线上一点，其他条件不变，则线段BE、CF、EF是否存在某种确定的数量关系？画图并直接写出你的结论.4.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=2，BC=3，设∠BCD=α，以D为旋转中心，将腰DC绕点D逆时针旋转90°至DE.（1）当α=45°时，求△EAD的面积；（2）当α=30°时，求△EAD的面积；（3）当0°<α<90°，猜想△EAD的面积与α大小有无关系.若有关，写出△EAD的面积S与α的关系式；若无关，请证明你的结论.5.如图，向△ABC的外侧作正方形ABDE、正方形ACFG，过A作AH⊥BC于H，AH的方向延长线于EG交于点P.求证：BC=2AP.。
初中数学常见模型之8字模型与飞镖模型
8字模型与飞镖模型
模型1：角的“8”字模型
如图所示，AB、CD相交于点O，连接AD、BC。 结论：∠A+∠D=∠B+∠C
A
D
O
B
C
模型分析：8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到
模型实例：
观察下列图形，计算角度：
（1）如图①，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E=
；
（2）如图②，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=
；
2．如图②，求∠A+∠B+∠C+∠D =
。
A
E
135O
C
B
图① D
F
D
105O A
C 120O
B
图②
模型3 边的“8”字模型
A
如图所示，AC、BD相交于点O，连接AD、BC。
B
结论：AC+BD>AD+BC。
D O
C
典例精选
如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O。 求证：（1）AB+BC+CD+AD>AC+BD；
。
A B
E
C D
图1
A
B
F C
E
D
图2
典例精选
1.(1)如图①，求∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=
.
(2)如图②，求∠CAD+∠B+∠ACE+∠D+∠E=
.
2.如图③，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=
模型02 飞镖、8字模型(解析版)-中考数学解题大招复习讲义
模型介绍模型一：飞镖模型（1）角的飞镖模型结论：CB A BDC ∠+∠+∠=∠解答：①方法一：延长BD 交AC 于点E 得证②方法二：延长CD 交AB 于点F 得证③方法三：延长AD 到在其延长方向上任取一点为点G 得证总结：利用三角形外角的性质证明（2）边的飞镖模型结论：CDBD AC AB +>+解答：延长BD 交AC 于点E +三角形三边关系+同号不等式大的放左边，小的放在右边得证模型二：8在模型（1）角的8字模型结论：DC B A ∠+∠=∠+∠解答：①方法一：三角形内角和得证②方法二：三角形外角BOD ∠的性质得证总结：①利用三角形内角和等于180证明推出②利用三角形外角的性质证明大招飞镖模型和8字模型（2）边的8字模型结论：BCAD CD AB +<+解答：三角形三边关系+同号不等式得证总结：①三角形两边之和大于第三边例题精讲考点一：飞镖模型【例1】．如图，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，则∠BOC=_______解：延长BO ，交AC 于点D ，∵∠BOC ＝∠C +∠ODC ，∠ODC ＝∠A +∠B ，∠A ＝70°，∠B ＝40°，∠C ＝20°，∴∠BOC ＝∠C +∠A +∠B＝20°+70°+40°＝130°．变式训练【变式1-1】．如图，∠ABD 、∠ACD 的角平分线交于点P ，若∠A ＝55°，∠D ＝15°，则∠P 的度数为（）A．15°B．20°C．25°D．30°解：如图，延长PC交BD于E，∵∠ABD，∠ACD的角平分线交于点P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由三角形的内角和定理得，∠A+∠1＝∠P+∠3①，在△PBE中，∠5＝∠2+∠P，在△DCE中，∠5＝∠4﹣∠D，∴∠2+∠P＝∠4﹣∠D②，①﹣②得，∠A﹣∠P＝∠P+∠D，∴∠P＝（∠A﹣∠D），∵∠A＝55°，∠D＝15°，∴∠P＝（55°﹣15°）＝20°．故选：B．【变式1-2】．在△ABC中，∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∠ABC+∠ACB＝100°，则∠BIC的度数为（）A．80°B．50°C．100°D．130°解（1）∵∠ABC与∠ACB的平分线交于点I，∴∠BCI＝∠ACB，∠CBI＝∠ABC，∴∠BIC＝180°﹣∠BCI﹣∠CBI＝180°﹣100°＝130°；故选：D．【变式1-3】．如图，已知∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数．解：如图，根据三角形的外角性质，∠1＝∠A+∠C，∠2＝∠B+∠D，∵∠BOF＝120°，∴∠3＝180°﹣120°＝60°，根据三角形内角和定理，∠E+∠1＝180°﹣60°＝120°，∠F+∠2＝180°﹣60°＝120°，所以，∠1+∠2+∠E+∠F＝120°+120°＝240°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．【变式1-4】．如图所示，已知P是△ABC内一点，试说明PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．证明：在△ABP中：AP+BP＞AB．同理：BP+PC＞BC，AP+PC＞AC．以上三式分别相加得到：2（PA+PB+PC）＞AB+BC+AC，即PA+PB+PC＞（AB+BC+AC）．考点二：8字模型【例2】．如图，∠1＝60°，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝解：由三角形外角的性质得：∠3＝∠A+∠E，∠2＝∠F+∠D，∵∠1+∠2+∠3＝180°，∠1＝60°，∴∠2+∠3＝120°，即：∠A+∠E+∠F+∠D＝120°，∵∠B+∠C＝120°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．变式训练【变式2-1】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：在△ACE中：∠A+∠C+∠E＝180°，在△BDF中：∠B+∠D+∠F＝180°，则：∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-2】．如图，A，B，C，D，E，F是平面上的6个点，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F 的度数是360度．解：延长FE交AB于M，设FE交CD于N，∵∠CNE＝∠D+∠DEF，∠FMB＝∠F+∠A，又∵∠C+∠B+∠CNE+∠FMB＝360°，∴∠C+∠B+∠D+∠DEF+∠F+∠A＝360°，即∠A+∠B+∠C+∠D+∠DEF+∠F＝360°，故答案为：360．【变式2-3】．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠C+∠D，又∵∠1+∠2+∠E+∠F＝360°∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．故答案为：360．实战演练【变式2-4】．一副三角板如图摆放，其中一块三角板的直角边EF 落在另一块三角板的斜边AC 上，边BC 与DF 交于点O ，则∠BOD 的度数是105°．解：△COF 中，∵∠CFO ＝45°，∠FCO ＝30°，∴∠COF ＝180°﹣∠CFO ﹣∠FCO ＝180°﹣45°﹣30°＝105°，∵∠COF ＝∠BOD ，∴∠BOD＝105°，故答案为：105°．1．如图，已知AB ⊥BD ，AC ⊥，∠A ＝35°，则∠D 的度数为（）A ．35°B ．45°C ．55°D ．65°解：因为∠AEB 与∠DEC 是一组对顶角，所以∠AEB ＝∠DEC ．在△ABO 中AB ⊥BD ，∠A ＝35°，所以∠AEB ＝65°．在△DCO 中AC ⊥CD ，∠DEC ＝65°，所以∠D ＝35°．故选：A ．2．如图，∠A +∠B +∠C +∠D +∠E 的度数为（）A．120°B．150°C．180°D．200°解：如图可知：∵∠4是三角形的外角，∴∠4＝∠A+∠2，同理∠2也是三角形的外角，∴∠2＝∠E+∠C，在△BDG中，∵∠B+∠D+∠4＝180°，∴∠B+∠E+∠A+∠D+∠C＝180°．故选：C．3．如图，在△ABC中，M，N分别是边AB，BC上的点，将△BMN沿MN折叠；使点B落在点B'处，若∠B＝35°，∠BNM＝28°，则∠AMB'的度数为（）A．30°B．37°C．54°D．63°解：∵△BMN沿MN折叠，使点B落在点B'处，∴△BMN≌△B'MN，∴∠BMN＝∠B'MN，∵∠B＝35°，∠BNM＝28°，∴∠BMN＝180°﹣35°﹣28°＝117°，∠AMN＝35°+28°＝63°，∴∠AMB'＝∠B'MN﹣∠AMN＝117°﹣63°＝54°，故选：C．4．如图，将分别含有30°、45°角的一副三角板重叠，使直角顶点重合，若两直角重叠形成的角为65°，则图中角α的度数为140°．解：如图，∵∠B＝30°，∠DCB＝65°，∴∠DFB＝∠B+∠DCB＝30°+65°＝95°，∴∠α＝∠D+∠DFB＝45°+95°＝140°，故答案为：140°．5.已知如图，BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∠BAC＝α，∠BPC＝β，则∠BQC＝（α+β）．（用α，β表示）解：连接BC，∵BQ平分∠ABP，CQ平分∠ACP，∴∠3＝ABP，∠4＝ACP，∵∠1+∠2＝180°﹣β，2（∠3+∠4）+（∠1+∠2）＝180°﹣α，∴∠3+∠4＝（β﹣α），∵∠BQC＝180°﹣（∠1+∠2）﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（180°﹣β）﹣（β﹣α），即：∠BQC＝（α+β）．故答案为：（α+β）．6．如图，则∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540度．解：如图，连接CH，由三角形的内角和定理得，∠A+∠B＝∠1+∠2，由多边形的内角和公式得，∠1+∠2+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝（5﹣2）•180°＝540°，所以，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠H＝540°．故答案为：540．7．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝230°．解：∵∠1＝∠A+∠B，∠2＝∠D+∠E，又∵∠1+∠F＝115°，∠2+∠C＝115°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠＝115°+115°＝230°．故答案为：230°．8．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K的度数为解：连KF，GI，如图，∵7边形ABCDEFK的内角和＝（7﹣2）×180°＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K＝900°﹣（∠1+∠2），即∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠1+∠2）＝900°，∵∠1+∠2＝∠3+∠4，∠5+∠6+∠H＝180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）＝900°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠K+（∠3+∠4）+∠5+∠6+∠H＝900°+180°，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I+∠K＝1080°．故选：C．9．如图是可调躺椅示意图（数据如图），AE与BD的交点为C，且∠A，∠B，∠E保持不变．为了舒适，需调整∠D的大小，使∠EFD＝110°，则图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．解：连接CF，并延长至点M，如图所示．在△ABC中，∠A＝50°，∠B＝60°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠B＝180°﹣50°﹣60°＝70°，∴∠DCE＝∠ACB＝70°．∵∠DFM＝∠DCF+∠D，∠EFM＝∠ECF+∠E，∴∠EFD＝∠DCF+∠ECF+∠D+∠E＝∠DCE+∠D+∠E，即110°＝70°+∠D+30°，∴∠D＝10°，∴20°﹣10°＝10°，∴图中∠D应减少（填“增加”或“减少”）10度．故答案为：减少；10．10．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I的值．解：如图所示，分别延长BC、IH交EF于点M、N，由三角形的外角的性质可知：∠C+∠D＝∠1，∠G+∠H＝∠2，∠4＝∠1+∠B＝∠C+∠D+∠B，∠3＝∠2+∠F＝∠G+∠H+∠F，∴∠3+∠4＝∠5+∠HNM+∠5+∠CMN＝180°+∠5，∵∠5＝∠6＝360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠C+∠D+∠B+∠G+∠H+∠F＝180°+360°﹣∠A﹣∠B﹣∠I，∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H+∠I＝180°+360°＝540°11．如图，已知AB∥DE，∠ABC、∠CED的平分线交于点F．探究∠BFE与∠BCE之间的数量关系，并证明你的结论．解：过点C作直线MN∥AB，∵AB∥DE，MN∥AB，∴MN∥DE，∴∠DEC＝∠ECN，∵AB∥DE，∴∠ABC＝∠BCN，∴∠BCE＝∠ABC+∠DEC，同理∠BFE＝∠ABF+∠DEF，∵∠ABC、∠CED的平分线交于点F，∴∠ABC＝2∠ABF，∠DEC＝2∠DEF，∴∠BCE＝2∠ABF+2∠DEF＝2∠BFE．12．如图，DP平分∠ADC，PB平分∠ABC，求证：∠P＝（∠A+∠C）证明：如右图所示，∵∠CMP＝∠C+∠CDP＝∠P+∠CBP，∠ANP＝∠P+∠ADP＝∠A+∠ABP，∴∠P+∠CBP+∠P+∠ADP＝∠C+∠CDP+∠A+∠ABP，又∵DP、BP是∠ADC、∠ABC的角平分线，∴∠CDP＝∠ADP，∠CBP＝∠ABP，∴2∠P＝∠C+∠A，∴∠P＝（∠A+∠C）．13．如图，在四边形ABCD中，AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，AM与CM交于M．探究∠AMC与∠B、∠D间的数量关系．解：∠AMC＝180°﹣∠B+∠D，理由如下：∵AM、CM分别平分∠DAB和∠DCB，∴∠BAD＝2∠BAM，∠BCD＝2∠BCM，∵∠BAD+∠B+∠BCD+∠d＝360°，∴∠BAM+∠BCM+∠B+∠D＝180°，∴∠BAM+∠BCM＝180°﹣∠B﹣∠D，∵∠B+∠AMC+∠BAM+∠BCM＝∠B+∠AMC+180°﹣∠B﹣∠D＝360°，∴∠AMC＝360°﹣（180°﹣∠B﹣∠D）﹣∠B＝180°﹣∠B+∠D．14．（1）探究：如图1，求证：∠BOC＝∠A+∠B+∠C．（2）应用：如图2，∠ABC＝100°，∠DEF＝130°，求∠A+∠C+∠D+∠F的度数．解：（1）作射线AO，∵∠3是△ABO的外角，∴∠1+∠B＝∠3，①∵∠4是△AOC的外角，∴∠2+∠C＝∠4，②①+②得，∠1+∠B+∠2+∠C＝∠3+∠4，即∠BOC＝∠A+∠B+∠C；（2）连接AD，同（1）可得，∠F+∠2+∠3＝∠DEF③，∠1+∠4+∠C＝∠ABC④，③+④得，∠F+∠2+∠3+∠1+∠4+∠C＝∠DEF+∠ABC＝130°+100°＝230°，即∠BAF+∠C+∠CDE+∠F＝230°．15．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD，我们把形如图1的图形称之为“8字形“．如图2，∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，并且与CD、AB分别相交于点M、N．试解答下列问题：①仔细观察，在图2中有3个以线段AC为边的“8字形”；②若∠B＝76°，∠C＝80°，试求∠P的度数；③∠C和∠B为任意角时AP、DP分别是∠CAB、∠BDC的三等分线，写出∠P与∠C、∠B之间数量关系，并说明理由．解：①3；故答案为3．②证明：∵∠CAB和∠BDC的平分线AP和DP相交于点P，∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝∠P﹣∠B，即∠P＝（∠C+∠B），∵∠C＝80°，∠B＝76°，∴∠P＝（80°+76°）＝78°；③∠P＝（2∠C+∠B）或∠P＝（∠C+2∠B）．证明：设∠CAB＝3α，∠BDC＝3β，i）如图3，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝2：1，∴∠CAP＝2α，∠BAP＝α，∠BDP＝β，∠CDP＝2β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝2β﹣2α，∠P﹣∠B＝β﹣α，∴∠C﹣∠P＝2∠P﹣2∠B，∴∠P＝（∠C+2∠B），ii）如图4，∠CAP：∠BAP＝∠CDP：∠BDP＝1：2，∴∠CAP＝α，∠BAP＝2α，∠BDP＝2β，∠CDP＝β，∵∠CAP+∠C＝∠CDP+∠P，∠BAP+∠P＝∠BDP+∠B，∴∠C﹣∠P＝β﹣α，∠P﹣∠B＝2β﹣2α，∴2（∠C﹣∠P）＝∠P﹣∠B，∴∠P＝（2∠C+∠B），16．阅读材料，回答下列问题：【材料提出】“八字型”是数学几何的常用模型，通常由一组对顶角所在的两个三角形构成．【探索研究】探索一：如图1，在八字型中，探索∠A、∠B、∠C、∠D之间的数量关系为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，若∠B＝36°，∠D＝14°，求∠P的度数为25°；探索三：如图3，CP、AG分别平分∠BCE、∠FAD，AG反向延长线交CP于点P，则∠P、∠B、∠D之间的数量关系为∠P＝．【模型应用】应用一：如图4，延长BM、CN，交于点A，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线BP，CP相交于点P，则∠A＝α+β﹣180°（用含有α和β的代数式表示），∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）应用二：如图5，在四边形MNCB中，设∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，四边形的内角∠MBC与外角∠NCD的角平分线所在的直线相交于点P，∠P＝．（用含有α和β的代数式表示）【拓展延伸】拓展一：如图6，若设∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，试问∠P与∠C、∠B之间的数量关系为∠P＝．（用x、y表示∠P）拓展二：如图7，AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，猜想∠P与∠B、∠D的关系，直接写出结论2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．解：探索一：如图1，∵∠AOB+∠A+∠B＝∠COD+∠C+∠D＝180°，∠AOB＝∠COD，∴∠A+∠B＝∠C+∠D，故答案为∠A+∠B＝∠C+∠D；探索二：如图2，∵AP、CP分别平分∠BAD、∠BCD，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，由（1）可得：∠1+∠B＝∠3+∠P，∠2+∠P＝∠4+∠D，∴∠B﹣∠P＝∠P﹣∠D，即2∠P＝∠B+∠D，∵∠B＝36°，∠D＝14°，∴∠P＝25°，故答案为25°；探索三：由①∠D+2∠1＝∠B+2∠3，由②2∠B+2∠3＝2∠P+2∠1，①+②得：∠D+2∠B+2∠1+2∠3＝∠B+2∠3+2∠P+2∠1∠D+2∠B＝2∠P+∠B．∴∠P＝．故答案为：∠P＝．应用一：如图4，由题意知延长BM、CN，交于点A，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＞180°，∴∠AMN＝180°﹣α，∠ANM＝180°﹣β，∴∠A＝180°﹣（∠AMN+∠ANM）＝180°﹣（180°﹣α+180°﹣β）＝α+β﹣180°；∵BP、CP分别平分∠ABC、∠ACB，∴∠PBC＝∠ABC，∠PCD＝∠ACD，∵∠PCD＝∠P+∠PBC，∴∠P＝∠PCD﹣∠PBC＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝，故答案为：α+β﹣180°，；应用二：如图5，延长MB、NC，交于点A，设T是CB的延长线上一点，R是BC延长线上一点，∵∠M＝α，∠N＝β，α+β＜180°，∴∠A＝180°﹣α﹣β，∵BP平分∠MBC，CP平分∠NCR，∴BP平分∠ABT，CP平分∠ACB，由应用一得：∠P＝∠A＝，故答案为：；拓展一：如图6，由探索一可得：∠P+∠PAB＝∠B+∠PDB，∠P+∠CDP＝∠C+∠CAP，∠B+∠CDB＝∠C+∠CAB，∵∠C＝x，∠B＝y，∠CAP＝∠CAB，∠CDP＝∠CDB，∴∠CDB﹣∠CAB＝∠C﹣∠B＝x﹣y，∠PAB＝∠CAB，∠PDB＝∠CDB，∴∠P+∠CAB＝∠B+∠CDB，∠P+∠CDB＝∠C+∠CAB，∴2∠P＝∠C+∠B+（∠CDB﹣∠CAB）＝x+y+（x﹣y）＝，∴∠P＝，故答案为：∠P＝；拓展二：如图7，∵AP平分∠BAD，CP平分∠BCD的邻补角∠BCE，∴∠PAD＝∠BAD，∠PCD＝90°+∠BCD，由探索一得：①∠B+∠BAD＝∠D+∠BCD，②∠P+∠PAD＝∠D+∠PCD，②×2，得：③2∠P+∠BAD＝2∠D+180°+∠BCD，③﹣①，得：2∠P﹣∠B＝∠D+180°，∴2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°，故答案为：2∠P﹣∠B﹣∠D＝180°．。
中考必会几何模型：8字模型与飞镖模型
模型实例 如图，点 O 为三角形内部一点． 求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC； (2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.
证明：(1)∵OA+OB>AB①， OB+OC>BC②， OC+OA>AC③ 由①+②+③得： 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC
(2)如图，延长 BO 交 AC 于点 E， ∵AB+AC=AB+AE+EC， AB+AE>BE， ∴AB+AC>BE+EC. ① ∵BE+EC=BO+OE+EC， OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，② 由①②可得： AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型） 同理可得： AB+BC>OA+OC.④ ，BC+AC>OA+OB.⑤ 由③+④+⑤得： 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO). 即 AB+BC+AC>AO+BO+CO. 1．如图，在△ABC 中，D、E 在 BC 边上，且 BD=CE。求证：AB+AC>AD+AE.
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8字模型与飞镖模型模型1：角的8字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ． 结论：∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ．ODC BA模型分析 证法一：∵∠AOB 是△AOD 的外角，∴∠A ＋∠D ＝∠AOB ．∵∠AOB 是△BOC 的外角， ∴∠B ＋∠C ＝∠AOB ．∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． 证法二：∵∠A ＋∠D ＋∠AOD ＝180°，∴∠A ＋∠D ＝180°－∠AOD ．∵∠B ＋∠C ＋∠BOC ＝180°， ∴∠B ＋∠C ＝180°－∠BOC ．又∵∠AOD ＝∠BOC ，∴∠A ＋∠D ＝∠B ＋∠C ． （1）因为这个图形像数字8，所以我们往往把这个模型称为8字模型． （2）8字模型往往在几何综合题目中推导角度时用到．模型实例观察下列图形，计算角度：（1）如图①，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝________；图图①FD C BAE EBCDA图③21O AB图④G F 12AB E解法一：利用角的8字模型．如图③，连接CD ．∵∠BOC 是△BOE 的外角， ∴∠B ＋∠E ＝∠BOC ．∵∠BOC 是△COD 的外角，∴∠1＋∠2＝∠BOC ． ∴∠B ＋∠E ＝∠1＋∠2．（角的8字模型），∴∠A ＋∠B ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠E＝∠A ＋∠ACE ＋∠ADB ＋∠1＋∠2＝∠A ＋∠ACD ＋∠ADC ＝180°．解法二：如图④，利用三角形外角和定理．∵∠1是△FCE 的外角，∴∠1＝∠C ＋∠E ．∵∠2是△GBD 的外角，∴∠2＝∠B ＋∠D ．∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝∠A＋∠1＋∠2＝180°．（2）如图②，∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝________．图②FDCBAE312图⑤P O QA BFC D图⑥21EDCFOBA（2）解法一： 如图⑤，利用角的8字模型．∵∠AOP 是△AOB 的外角，∴∠A ＋∠B ＝∠AOP ． ∵∠AOP 是△OPQ 的外角，∴∠1＋∠3＝∠AOP ．∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠3．①（角的8字模型），同理可证：∠C ＋∠D ＝∠1＋∠2．② ，∠E ＋∠F ＝∠2＋∠3．③由①＋②＋③得：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＝2（∠1＋∠2＋∠3）＝360°．解法二：利用角的8字模型．如图⑥，连接DE ．∵∠AOE 是△AOB 的外角， ∴∠A ＋∠B ＝∠AOE ．∵∠AOE 是△OED 的外角，∴∠1＋∠2＝∠AOE ． ∴∠A ＋∠B ＝∠1＋∠2．（角的8字模型）∴∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F ＝∠1＋∠2＋∠C ＋∠ADC ＋∠FEB ＋∠F＝360°．（四边形内角和为360°） 练习：1．（1）如图①，求：∠CAD ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＝ ；图图①OOEEDDCCBBAA解：如图，∵∠1=∠B+∠D ，∠2=∠C+∠CAD ，∴∠CAD+∠B+∠C+∠D+∠E=∠1+∠2+∠E=180°． 故答案为：180° 解法二：（2）如图②，求：∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E ＝ ．图②OEDCBA解：由三角形的外角性质，知∠BAC=∠E+∠ACE，∠EAD=∠B+∠D，又∵∠BAC+∠CAD+∠EAD=180°，∴∠CAD ＋∠B ＋∠ACE ＋∠D ＋∠E＝180° 解法二：2．如图，求：∠A ＋∠B ＋∠C ＋∠D ＋∠E ＋∠F ＋∠G ＋∠H ＝ ．HGFEDCBA解：∵∠G+∠D=∠3，∠F+∠C=∠4，∠E+∠H=∠2，∴∠G+∠D+∠F+∠C+∠E+∠H=∠3+∠4+∠2，∵∠B+∠2+∠1=180°，∠3+∠5+∠A=180°，∴∠A+∠B+∠2+∠4+∠3=360°， ∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F+∠G+∠H=360°解法二：模型2：角的飞镖模型如图所示，有结论：∠D ＝∠A ＋∠B ＋∠C ．C图①图②模型分析解法一：如图①，作射线AD ．∵∠3是△ABD 的外角，∴∠3＝∠B ＋∠1，∵∠4是△ACD 的外角，∴∠4＝∠C ＋∠2∴∠BDC ＝∠3＋∠4，∴∠BDC ＝∠B ＋∠1＋∠2＋∠C ，∴∠BDC ＝∠BAC ＋∠B ＋∠C解法二：如图②，连接BC ．∵∠2＋∠4＋∠D ＝180°，∴∠D ＝180°－（∠2＋∠4）∵∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠A ＝180°，∴∠A ＋∠1＋∠3＝180°－（∠2＋∠4） ∴∠D ＝∠A ＋∠1＋∠3.（1）因为这个图形像飞镖，所以我们往往把这个模型称为飞镖模型． （2）飞镖模型在几何综合题目中推导角度时使用． 模型实例如图，在四边形ABCD 中，AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，AM 与CM 交于M ，探究∠AMC 与∠B 、∠D 间的数量关系．解答：利用角的飞镖模型如图所示，连接DM 并延长．∵∠3是△AMD 的外角，∴∠3＝∠1＋∠ADM ， ∵∠4是△CMD 的外角，∴∠4＝∠2＋∠CDM ，∵∠AMC ＝∠3＋∠4 ∴∠AMC ＝∠1＋∠ADM ＋∠CDM ＋∠2，∴∠AMC ＝∠1＋∠2＋∠ADC ．（角的飞镖模型）∵AM 、CM 分别平分∠DAB 和∠DCB ，∴12BAD ∠∠=，22BCD∠∠=， ∴22BAD BCDAMC ADC ∠∠∠=++∠，∴()3602B ADC AMC ADC ︒-∠+∠∠=+∠（四边形内角和360°），∴3602B ADCAMC ︒-∠+∠∠=，∴2∠AMC ＋∠B －∠ADC ＝360°.练习：1．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F= .DE【答案】230°提示：∠C+∠E+∠D=∠EOC=115º.（飞镖模型），∠A+∠B+∠F=∠BOF=115º.∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F=115º+115º=230º 2．如图，求∠A+∠B+∠C+∠D= .AA【答案】220°提示：如图所示，连接BD.∠AED=∠A+∠3+∠1，∠BFC=∠2+∠4+∠C ，∠A+∠ABF+∠C+∠CDE=∠A+∠3+∠1+∠2+∠4+∠C=∠AED+∠BFC=220º模型3 边的“8”字模型如图所示，AC 、BD 相交于点O ，连接AD 、BC ．结论AC+BD>AD+BC ．BCA模型分析∵OA+OD>AD ①， OB+OC>BC ②， 由①+②得： OA+OD+OB+OC>BC+AD 即：AC+BD>AD+BC.模型实例如图，四边形ABCD 的对角线AC 、BD 相交于点O 。
求证：(1) AB+BC+CD+AD>AC+BD ；(2) AB+BC+CD+AD <2AC+2BD.B证明：(1)∵AB+BC>AC ①， CD+AD>AC ②， AB+AD>BD ③， BC+CD> BD ④由①+②+③+④得： 2 (AB+BC+CD+AD)>2(AC+BD). 即AB+BC+CD+AD >AC+BD.(2) ∵AD<OA+OD ① ，BC<OB+OC ②， 由①+②得： AD+BC< OA+OD+OB+OC ．∴AD+BC<AC+BD.（边的8字模型）， 同理可证：AB+CD <AC+BD. ∴AB+BC+CD+AD< 2AC+2BD.模型4 边的飞镖模型如图所示有结论：AB+AC> BD+CD.ABA模型分析如图，延长BD交AC于点E。
∵AB+AC=AB+AE+EC，AB+AE>BE，∴AB+A C>BE+EC.①，∵BE+EC=BD+DE+EC， DE+EC> CD，∴BE+EC>BD+CD. ②，由①②可得：AB+AC>BD+CD.模型实例如图，点O为三角形内部一点．求证：(1) 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC；(2) AB+BC+AC>AO+BO+CO.BB证明：(1)∵OA+OB>AB①， OB+OC>BC②， OC+OA>AC③由①+②+③得： 2 (AO+BO+CO)>AB+BC+AC(2)如图，延长BO交AC于点E，∵AB+AC=AB+AE+EC， AB+AE>BE，∴AB+AC>BE+EC. ①∵BE+EC=BO+OE+EC， OE+EC>CO，∴BE+EC>BO+CO，②由①②可得： AB+AC>BO+CO.③（边的飞镖模型）同理可得： AB+BC>OA+OC.④，BC+AC>OA+OB.⑤由③+④+⑤得： 2 (AB+BC+AC)>2 (AO+BO+CO). 即AB+BC+AC>AO+BO+CO.1．如图，在△ABC中，D、E在BC边上，且BD=CE。
求证：AB+AC>AD+AE.B【答案】证法一：如图①，将AC平移至BF，AD延长线与BF相交于点G，连接DF。
由平移可得AC=BF ，∵AC∥BF ，∴∠ACE=∠BFD ，∵BD=CE∴△AEC≌△FDB ，∴DF=AE如图，延长AD交BF于点G，∵AB+BF=AB+BG+GF. ∵AB+BG>AG，∴AB+BF>AG+GF①，∵AG+GF=AD+DG+GF，∵DG+GF>DF，∴AG+GF>AD+DF②，由①②可得：AB+BF>AD+DF.（飞镖模型）∴AB+AC=AB+BF>AD+DF=AD+AE. ∴AB+AC>AD+AE.B证法二：如图②，将AC 平移至DF ，连接BF ，则AC=DF ，∵AC ∥DF ，∴∠ACE=∠FDB.∵BD=CE ，∴△AEC ≌△FBD. ∴BF=AE. ∵OA+OD>AD ①， OB+OF>BF ② 由①+②得：OA+OD+OB+OF>BF+AD. ∴AB+DF>BF+AD.（8字模型） ∴AB+AC=AB+DF>BF+AD=AE+AD. ∴AB+AC>AD+AE.F2．观察图形并探究下列各问题，写出你所观察得到的结论，并说明理由． (1)如图①，△ABC 中，P 为边BC 一点，请比较BP+PC 与AB+AC 的大小，并说明理由．(2)如图②，将(1)中的点P 移至△ABC 内，请比较△BPC 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由．(3)图③将(2)中的点P 变为两个点1P 、2P ，请比较四边形12BPP C 的周长与△ABC 的周长的大小，并说明理由.BB B【答案】（1）如图①，BP+PC<AB+AC.理由：三角形两边之和大于第三边。