高中数学(人教版)无穷小与无穷大课件
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无穷大与无穷小知识课件
解: (1)lxi m 0x20,当x0时,x2是无穷.小量
(2)lx i0m coxs1,当x0时, cosx不是无穷 . 小量
1 (3)lim 0,
x x
当x时, 1是无穷.小量 x
注: 无穷小的判断方法
——求极限——无穷小量是以零为极限的变量
目录
2、无穷大：如果自变量 x 在某个变化过程中，函数f (x)
2 .1(x 0 ), 1(x ), 1(x 1 ),
x
x
x
3 . 在 x 0 时 ， 0 、 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 、 0 . 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1
目录
1 .x 2 ( x ) , x 2 ( x 0 ) , x 2 ( x 1 )
y
x
o xx
故n个1之和1为 不是无穷 . 小 n
2.有限个无穷小的积仍然是无穷小
目录
3.有界变量与无穷小的积仍然是无穷小 有界变量：y=sinu,y=cosu.
目录
例：求 lim x sin 1
x0
x
[分析] 当 x → 0 时, sin(1/x) 在[-1, 1]之间摆动无极限,
又因|s为 in1|1 , sin1是有界. 变量
不能直接求极限. 考虑用无穷大与无穷小关系求极限。
解 因 为 lxi m 3 xx2311000，
当x3时 ,xx231是 无 穷 ,其小 倒量 数 为 . 无 穷
所以 limx2 1 x3 x3
错误写法：
limx21lx im 3(x21)10 x3 x3 lim (x3) 0
x3
利用无穷小与无
穷大的关系求
x24x4 0
x22x1
《高数教学课件》第二节之三3.无穷小无穷大
无穷小的性质(运算法则)
时, 有
性质1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 .
设
当
时 , 有
当
时 , 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
03
例如，
02
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
01
性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
4
时为无穷小量，
6
时为无穷小.
3
成立，
则称函数
定义6. 若
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说明:
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
时 , 函数
(或 )
为
(或 )
则
时的无穷小 .
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第二节 极 限
CONTENTS
5
无穷小与无穷大
2
无穷大
1
第一章
4
无穷小
3
无穷小与无穷大的关系
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
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（一） 无穷小
为无穷小 ;
1.无穷小与无穷大的定义
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
内容小结
无穷小与函数极限的关系
Th7
无穷小与无穷大的关系
Th8
无穷小的性质
定理 7 ( 无穷小与函数极限的关系 )
时, 有
性质1. 有限个无穷小的和还是无穷小 .
证: 考虑两个无穷小的和 .
设
当
时 , 有
当
时 , 有
取
则当
因此
这说明当
时,
为无穷小量 .
类似可证: 有限个无穷小之和仍为无穷小 .
03
例如，
02
说明: 无限个无穷小之和不一定是无穷小 !
01
性质2 . 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 .
4
时为无穷小量，
6
时为无穷小.
3
成立，
则称函数
定义6. 若
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说明:
除 0 以外任何很小的常数都不是无穷小 !
因为
当
时,
显然 C 只能是 0 !
C
C
时 , 函数
(或 )
为
(或 )
则
时的无穷小 .
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第二节 极 限
CONTENTS
5
无穷小与无穷大
2
无穷大
1
第一章
4
无穷小
3
无穷小与无穷大的关系
函数
当
时为无穷小;
函数
时为无穷小;
函数
当
时为无穷小.
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（一） 无穷小
为无穷小 ;
1.无穷小与无穷大的定义
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内容小结
无穷小与函数极限的关系
Th7
无穷小与无穷大的关系
Th8
无穷小的性质
定理 7 ( 无穷小与函数极限的关系 )
1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
《无穷小无穷大》PPT课件
1
cos
x 主
x2 2
.
注明：并不是任意的两个无穷小都可以进行比较的。
例如： x , x sin 1 , 均是无穷小( x→0 ), 但两者是无法比校的。
x
7
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无穷小量的运算：
定 理 ：设同一极限过程中的 u o 1, v o 1 ,
w O(1) , C 为非零常数， 则
10
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例 1. 计算下列极限：
10 lim tan 2x ; x0 sin 5x
20
tan 2x
lim
x0
3x
x3
;
30 lim tan 2x sin x ; x0 1 x 1
40 lim eax ebx , x0 sin ax sin bx
(a b) ;
50 lim tan x sin x ;
注： 当自变量 x 时，它表示函数的极限；
当自变量取正整数时，它表示数列的极限。
定 义: 若 limu 0 , 则称变量 u 为该极限过程中的无穷小量。
简称无穷小。 记作： u o 1
若 v C , 则称 v 为该极限过程中的一有界量，记作：v O(1) .
例如 : lim x 1 0 , 故函数 x 1 是 (当 x 1 时的) 无穷小； x1
为讨论问题的方便，一般地，视自变量的变化状态而选取无穷
的度量尺度（基本无穷小）为：
x x0 ,
1, x
1, n
当 x x0 , x x0 , x x0 时；
当 x , x , x 时；
当 n 时；
3
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无穷小与无穷大及四则运算课件
无穷小与无穷大是高等数学中的重要概念。无穷小指的是当某个变量趋近于某个值时，函数值趋近于0。在四则运算中，有限个无穷小的代数和与乘积仍为无穷小，这意味着我们可以对无穷小进行加法和乘法运算，结果仍为无穷小。同时，有界函数与无穷小的乘积也仍为无穷小。这些性质在求函数极限时非常有用。然而，无穷小的商不一定是无穷小，这取决于两个无穷小趋向于0的速度。为了比较无穷小的阶数，我们引入了高阶无穷小和低阶无穷小的概念。如果两个无穷小在同一变化过程中，一个无穷小比另一个无穷小更快地趋向于0，则称前者为后者的高阶无穷小，反之则为低阶无穷小。这些概念在分析和比较函数极限时具有重要意义。总的来说，无穷小与无穷大的四则运算规则以及无穷小的比较方法，为我们提供了处理复杂函数极限问 Nhomakorabea的有力工具。
07-无穷小与无穷大课件
x3
x3
x
x0 x
M 0 ， 0 ，当 0 x x0 时，恒有 f x M .
定理 在自变量 x 的同一变化过程中
，
如果 f x 是无穷大，
则
f
1
x
是无穷小 ；
如果
f
x
是无穷小，且
f
x
0
，则
f
1
x
是无穷大 .
比如，由 limx 3 0 可得lim 1 .
x3
x3
无穷大
如果函数 f x 当 x x0 (或 x )时,
其绝对值 f x 无限增大，则称函数 f x
为
当 x x0 （或 x ）时的无穷大.
定义 设函数 f x 在 x0 的某一去心邻域内有
定义（或 x 大于某一正数时有定义）. M 0 ，
0（或 X 0 ），当 0 x x0 （或 x X ）时
恒有 f x M ，则称函数 f x 为
x x0 （或 x ）时的无穷大.
(infinity)
注 1.我们也说“函数的极限为无穷大”，并记作
lim f x 或 lim f x , 等等
xx0
x
如果 lim f x 或 lim f x ，则
xx0
x x0
直线 x x0 是函数 y f x 的图形的铅直渐近线.
(vertical asymptote)
2 . lim f x ， lim f x ，
xx0
x
lim f x ，等等
xx0
例 证明lim 1 .
y
x0 x
1
O1
y1 x
x
例 证明lim 1 . x0 x
证明 M 0 ， 要使 1 M ，只要 x 1 ，
高等数学教学课件 第四节 无穷小与无穷大
1
2k
(k0,1,2,3,)
2
y(xk)2k2,
当 k充分 ,y(x 大 k)M 时 . 无界，
(2 )取 x k 2 k 1 (k 0 ,1 ,2 ,3 , )
当 k充分 , x大 k ,时
但 y ( x k ) 2 k s2 i k n 0M . 不是无穷大．
10/15
例 1 证l明 im1 .
x x 0
x x 0
即 对 0 , 0 ,当 0 x x 0时 ,有
f(x ) A (f(x ) A ) 0
故 lim f(x)A . x x0
6/15
意义： （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 (无穷小);
（2）给出了函 f(x数 )在x0 附近的近似表达
式f(x)A, 误差为 (x).
练习题答案
一、1、0；
3、； 二、0 x 1 .
104 2
2、limf(x)C； x x
4、 1 . f(x)
18/15
其中( x)是当 x x0时的无穷小.
证：必要性 设lim f(x)A, 令 (x )f(x )A , x x0 则l有 im (x)0, f(x ) A (x ). x x0 充分性 设 f(x ) A (x ), 其 中 (x)是x当 x0时的,无穷小
5/15
则 li（ m f(x ) A ) lim (x ) 0
的函数值 f ( x)总满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0(或 x )时为无穷大,记作
lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
8/15
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
第四节 无穷小与无穷大
x ?
f ( x ) A ( x ),且 lim ( x ) 0
x ?
证明 以x x0为例证明 .
(1) 必要性
令 ( x ) f ( x ) A 则 f ( x ) A ( x )
lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 f ( x) A
f ( x) A
即
x x0
lim f ( x ) A
意义 利用这一关系,可将一般极限问题转化为特殊 极限问题(无穷小);
Hale Waihona Puke 关 系 ,求 例1 利 用 函 数 极 限 与 无 穷 的 cos x lim x 0 1 sin x
解
2
cos2 x 1 sin2 x 1 sin x 1 sinx 1 sin x 又 lim sin x 0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但 是无界变量未必是无穷大. 反例:参见书上P42,第7题.
1 例2 证 明l i m . x 1 x 1
证 按 定义 要证 : M 0, 0, 使 得 当0 x x0 时
就有 1 M x 1
1 即 x 1 , M
即 ( x) lim ( x ) 0
x x0
(2) 充分性
f ( x) A ( x)
( x ) f ( x ) A
lim ( x ) 0
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 ( x )
实现的 ,所 以 只 需 要 求 与 x0充 分 近 的 x, 其 函 数
f ( x ) A ( x ),且 lim ( x ) 0
x ?
证明 以x x0为例证明 .
(1) 必要性
令 ( x ) f ( x ) A 则 f ( x ) A ( x )
lim f ( x ) A
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 f ( x) A
f ( x) A
即
x x0
lim f ( x ) A
意义 利用这一关系,可将一般极限问题转化为特殊 极限问题(无穷小);
Hale Waihona Puke 关 系 ,求 例1 利 用 函 数 极 限 与 无 穷 的 cos x lim x 0 1 sin x
解
2
cos2 x 1 sin2 x 1 sin x 1 sinx 1 sin x 又 lim sin x 0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但 是无界变量未必是无穷大. 反例:参见书上P42,第7题.
1 例2 证 明l i m . x 1 x 1
证 按 定义 要证 : M 0, 0, 使 得 当0 x x0 时
就有 1 M x 1
1 即 x 1 , M
即 ( x) lim ( x ) 0
x x0
(2) 充分性
f ( x) A ( x)
( x ) f ( x ) A
lim ( x ) 0
x x0
0, 0, 使 得 当 0 x x0 时 就 有 ( x )
实现的 ,所 以 只 需 要 求 与 x0充 分 近 的 x, 其 函 数
无穷小与无穷大课件
第四节 无穷小与无穷大教学目的：1. 使学生理解无穷小的概念及性质；2. 使学生理解无穷大的概念，无穷大与无穷小的关系;3. 掌握无穷小的比较方法.教学过程:一、复习函数极限的定义及性质二、讲解新课1.3 无穷小量和无穷大量一、无穷小量1、 定义,0sin lim 0=→x x .0sin 时的无穷小是当函数→∴x x,01lim =∞→x x .1时的无穷小是当函数∞→∴x x,0)1(lim =-∞→n n n .})1({时的无穷小是当数列∞→-∴n nn注意 （1）无穷小是变量，是量的变化状态，不能与很小的数混淆;（2）零是可以作为无穷小的唯一的数.（3）无穷小必须指明自变量的变化趋势。
例：自变量x 在怎样的变化过程中，下列函数为无穷小。
（1）11-=x y （2）12-=x y （3）x y 2= （4）x y )41(= 2、无穷小与函数极限的关系,)(lim 0A x f x x =→设,)()(A x f x -=α令 ,0)(lim 0=→x x x α则有).()(x A x f α+=∴ 充分性),()(x A x f α+=设,)(0时的无穷小是当其中x x x →α))((lim )(lim 00x A x f x x x x α+=→→则)(lim 0x A x x α→+= 例：当∞→x 时，将函数xx x f 1)(+=写成其极限值与一个无穷小量之和的形式。
3、无穷小的运算性质:是无穷小，时例如n n 1,,∞→.11...11lim 不是无穷小但个=⎪⎭⎫ ⎝⎛+++∞→n n n n n .推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.xx x x x 1arctan ,1sin ,0,2时当例如→都是无穷小 例1、 求下列极限xx x sin lim .1∞→ 解：因为xx 1lim ∞→=0，而1sin ≤x 即sinx 有界, 由无穷小性质 得原式=0 x e x x cos lim .2∞-→ 解：=∞-→x x e lim 0 ,1cos ≤x ∴ 原式=0 二、无穷大绝对值无限增大的变量称为无穷大.特殊情形：正无穷大，负无穷大．))(lim ()(lim )()(00-∞=+∞=∞→→∞→→x f x f x x x x x x 或注意（1）无穷大是变量,不能与很大的数混淆;.)(lim 20认为极限存在）切勿将（∞=→x f x x （3）无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.但不是无穷大是一个无界变量时当例如,1sin 1,0,xx y x =→分析：（1）取k x ),3,2,1,0(221=+=k k ππ,22)(ππ+=k x y k .)(,M x y k k >充分大时当 无界， ),3,2,1,0(21)2( =''='k k x k π取,,δ<''k x k 充分大时当ππk k x y k ''='2sin 2)(但.0M <=不是无穷大。
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x2 lim lim x0 x 0 x 0 x
lim x 0 x 1 3x 3
定义 设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0 （1） 如果 lim 0 那么就说β是比α高阶的无穷小， α是比β低阶的无穷小， 记作 o( )
C 0 那么就说β与α是同阶无穷小； 如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小， 记作 （3） 如果 lim k C 0, k 0 那么就说β是α的k阶无穷小；
第四讲 无穷小与无穷大
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
（一）无穷小的概念
（二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念
（二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
定义 如果函数f(0
lim
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和 仍为该过程中的无穷大. 性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积 仍为该过程中的无穷大.
M 0 , 存在“一个时刻”， 使得在该“时刻以后”
恒有： f ( x ) M 记作：lim f ( x ) 注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ３.不要把无穷大和极限相混淆
定义３ 把定义２中的 f ( x ) M 换成 f ( x ) M ( f ( x ) M ) 就可得到函数f(x)为某过程中的正无穷大
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
定理 在自变量的同一变化过程中，如果f(x)为无穷大， 1 那么 为无穷小；反之，如果f(x)为无穷小， f ( x) 1 为无穷大. 且 f ( x ) 0, 那么 f ( x)
（2） 如果 lim
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
定义1 如果函数f(x)在某过程中绝对值无限增大， 则称函数f(x)为该过程中的无穷大. 定义2 函数f(x)为某过程中的无穷大是指：
推论2 同一过程中的有限个无穷小之积 仍为该过程中的无穷小.
推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念
（二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念
（二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
那么称函数f(x)为该过程中的无穷小.
例
lim sin x 0 sin x 是 x 0 中的无穷小. x 0
lim x 1 0 x
1 x
是 x 中的无穷小.
lim x 2 1 0 x 2 1是 x 1 中的无穷小. x 1
lim x 0 x 0
为同一过程中的无穷小
一、无穷小
（一）无穷小的概念
（二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念
（二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
性质1 同一过程中的有限个无穷小之和 仍为该过程中的无穷小. 性质2 某过程中的有界函数与该过程中的无穷小之积 仍为该过程中的无穷小. 推论1 常量与某过程中的无穷小之积 仍为该过程中的无穷小.
问题 同一过程中的两个无穷小之商是否 仍为该过程中的无穷小？ 例
x2,
x , 3 x 都是 x 0 中的无穷小,
x2 lim lim x0 x 0 x 0 x
lim x 0 x 1 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
问题 同一过程中的两个无穷小之商是否 仍为该过程中的无穷小？ 例
x2,
x , 3 x 都是 x 0 中的无穷小.
x2 lim lim x0 x 0 x 0 x
lim x 0 x 1 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
问题 同一过程中的两个无穷小之商是否 仍为该过程中的无穷小？ 例
x2,
x , 3 x 都是 x 0 中的无穷小.
（负无穷大）的定义 记作： lim f ( x ) () 例1
1 lim x 0 x 1 lim x 0 x
y
1 lim x 0 x
o
x
例2
x
lim e x
lim e x 0
y
x
例3
x 0
lim
1 ex 1 ex
x 是 x 0 中的无穷小.
注
1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆（0除外） 无穷小：（函数的绝对值）无限变小
无穷小与函数极限的关系 定理：函数f(x)在某过程中以A为极限的充要条件是：
函数f(x)可以表示为A与该过程中的无穷小之和. 即：lim f ( x ) A f ( x ) A