1-4无穷小与无穷大精品PPT课件
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1-3无穷小与无穷大
1 1 = lim = x→ 0 x 2 + 3 3
19
例7 求 解
ln (1 + x ) lim x→ 0 x
ln(1 + x) ~ x
ln (1 + x ) x lim = lim =1 x→ 0 x→ 0 x x tan x − si n x lim x→ 0 ln(1 + x 3 )
sin x (1 − co s x ) = lim x→ 0 cos x x 3
x2 − 9 ( Q lim x − 3 = 6 ) x →3 当 x → 0 时, sin x 是关于 x 的 等价 无穷小
sin x = 1 Q lim x →0 x
16
3、无穷小的等价代换
β 定理 设在自变量的同一变化过程中α ~ α ′， ~ β ′，
且
β′ lim α′
x →∞
x+4 2.lim x→1 x − 1
3x 2 − 4 3.(1) lim 3x − 2 ( 2 ) lim 2 x →∞ 4 x − x + 3
( 3) lim ( x 2 − 3x + 2 ) x →∞
12 1 4. lim − 3 x→−2 x + 2 x +8
α = o(β ) ; α →c≠0 c （2）若β ，
为同阶无穷小; 为常数, 为常数,则称 α与β 为同阶无穷小;
β
（ 3 ）若
α → 1,则称α与β 为等价无穷小,记作α 等价无穷小 无穷小, β
．
15
例如: 例如: 当 x → 0时, 3x 2 是比 x 高阶 的无穷小
3x 2 Q lim =0, ∴ 3x 2 = o( x)( x → 0) ) ( x →0 x 当x → 3 时, x 2 − 9 与x − 3 是 同阶无穷小
1-4 无穷小与无穷大
f ( x) A
x x0
lim 0
对自变量的其他变化过程类似可证 .
二、无穷大
（一）无穷大的概念
（二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
定义1 如果函数f(x)在某过程中绝对值无限增大， 则称函数f(x)为该过程中的无穷大. 定义2 函数f(x)为某过程中的无穷大是指：
M 0 , 存在“一个时刻”， 使得在该“时刻以后”
恒有： f ( x ) M 记作：lim f ( x ) 注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值）无限变大
定义３ 把定义２中的 f ( x ) M 换成 f ( x ) M ( f ( x ) M ) 就可得到函数f(x)为某过程中的正无穷大
o
x
0
x 0
lim
注意:
函数为无穷大 , 必定无界 . 但反之不真 !
P38：6
例如, 函数 但 不是无穷大 !
例 . 证明 证: 任给正数 M , 要使 即 的一切 x , 有
1 只要取 , 则对满足 M
所以 说明: 若 为曲线 则直线 x x 0 的铅直渐近线 . 铅直渐近线
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小
二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大的关系
定理 在同一过程中,无穷大的倒数为无穷小; 恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 证 设 lim f ( x ) .
1 ε 0, 对M , δ 0, 使得当0 x x0 δ时 ε 1 即 1 . 恒有 f ( x ) , f ( x) ε 1 当x x0时, 为无穷小. f ( x)
1-4 无穷小与无穷大
f (x) .
2
2
0, 当0
x x0
时
2
g(x)
2
0, 取 min1,2, 当 0 x x0 时
f (x) g(x) f (x) g(x)
lim f ( x) g( x) 0. x x0
2.无穷大与无穷小的关系: 定理2. lim f ( x) lim 1 0;
f (x) lim f ( x) 0 且f ( x) 0 lim 1
f (x)
3.无穷大与无界: 无穷大 无界 (反之,不一定)
例.试证: y x cos x在(, )内无界,但当x 时不是无穷大.
则称f ( x)在x x0时为无穷小.
注 : (1)无穷小与“当 x x0时"密切有关. 如 : f ( x) x 1 x 1时 f ( x)是无穷小
x 0时 f ( x)不是无穷小
f ( x) 1 当x 时为无穷小, 当x 0时不是无穷小 x
(2)不能把无穷小与绝对值很小的数混为一谈. 如 108(很小的数)不是无穷小, 但"0"是无穷小.
2. 无穷小与函数极限的关系
定理1. lim f (x) A f (x) A (x),其中 lim( x) 0.
3..无穷小的运算性质
性质1. 有限个无穷小的和也是无穷小.
证. 设 lim f ( x) 0 lim g( x) 0
x x0
0,
x x0
1 0, 当0 x x0 1时
则称f ( x)当x
x0时为无穷大,
记作
lim
高教社2024高等数学第五版教学课件-1.4 无穷小与无穷大
是无穷小.
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1
因为
→∞
=0
2．无穷大量
定义2
如果函数 = ()的绝对值在自变量的某一变化过
程中无限增大，则称函数 = ()为无穷大量，记作 () = ∞.
例如，因为 = ∞，所以 是 → ∞时的无穷大；因为
→+∞
1
→0
=
1
示()的绝对值无限变大且都是负值，而后者表示()的绝对值无限
变小，趋于零.
3．无穷小与无穷大的关系
定理1
1
在自变量的同一变化过程中，如果()是无穷大，则
是
()
无穷小；反之，如果()是无穷小，且() ≠
例如，当 →
1时， 2
1
0，则
是无穷大.
()
1
− 1是无穷小，而 2 是无穷大.
⑴称一个函数()是无穷小，必须指明自变量的变化趋势，如
3 + 1是当 → −1时的无穷小，但当 → 0时就不是无穷小.
⑵ 不要把一个绝对值很小的非零常数(如10−100 )说成是无穷小，
因为这个数的极限不为0.
⑶ 数“0”可以看成无穷小.（是唯一可作为无穷小的常数）
1
⑷ 无穷小的定义对数列也适用，例如数列{ }，当 → ∞时，就
∞，所以 是
→ 0时的无穷大.
这里，虽然使用了极限的符号 () = ∞，但并不意味着
()有极限. 因为，根据极限的定义，极限值必须是常数. 然而∞不
是常数，它只表示()的绝对值无限变大的一种变化趋势.
注意：⑴ 称一个函数()是无穷大，必须指明自变量的变化趋势，
1
是当
′
′
1-4无穷小与无穷大
3
二、无穷小的性质
定理 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是 当x 时 的两个无穷小, 0, N 1 0, 当 | x | N 1时, 恒有 | | ; 2 N 2 0, 当 | x | N 2时, 恒有 | | . 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 | x | N时, 恒有 | | | | | | , 2 2 0 ( x )
于是
设 f ( x ) A ( x ),
, 其中A是常数, ( x )是当x x0时的无穷小
| f ( x ) A || ( x ) |
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim f ( x ) A. 即 | f ( x ) A | . x x
第四节 无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)
无穷大(infinitely great)
无穷小与无穷大的关系
小结 作业
第一章 函数与极限
1
无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
1. 定义
若f ( x )当x x （或 x )时的极限为0，则称f ( x ) 0
简称 无穷小. 为当x x （或 x )时的 无穷小量, 0
8
三、无穷小与函数极限的关系
定理
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), x x
0
其中( x )是当x x0时的无穷小 .
证
设 xlim x
f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A
0
二、无穷小的性质
定理 在同一过程中, 有限个无穷小的代数和 仍是无穷小. 证 设及是 当x 时 的两个无穷小, 0, N 1 0, 当 | x | N 1时, 恒有 | | ; 2 N 2 0, 当 | x | N 2时, 恒有 | | . 取 N max{ N 1 , N 2 }, 当 | x | N时, 恒有 | | | | | | , 2 2 0 ( x )
于是
设 f ( x ) A ( x ),
, 其中A是常数, ( x )是当x x0时的无穷小
| f ( x ) A || ( x ) |
0, 0,当0 | x x0 | , 恒有
| ( x ) |
lim f ( x ) A. 即 | f ( x ) A | . x x
第四节 无穷小与无穷大
无穷小(infinitely small)
无穷大(infinitely great)
无穷小与无穷大的关系
小结 作业
第一章 函数与极限
1
无穷小与无穷大
一、无穷小的概念
1. 定义
若f ( x )当x x （或 x )时的极限为0，则称f ( x ) 0
简称 无穷小. 为当x x （或 x )时的 无穷小量, 0
8
三、无穷小与函数极限的关系
定理
lim f ( x ) A f ( x ) A ( x ), x x
0
其中( x )是当x x0时的无穷小 .
证
设 xlim x
f ( x ) A, 令 ( x ) f ( x ) A
0
《无穷小无穷大》PPT课件
1
cos
x 主
x2 2
.
注明：并不是任意的两个无穷小都可以进行比较的。
例如： x , x sin 1 , 均是无穷小( x→0 ), 但两者是无法比校的。
x
7
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无穷小量的运算：
定 理 ：设同一极限过程中的 u o 1, v o 1 ,
w O(1) , C 为非零常数， 则
10
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例 1. 计算下列极限：
10 lim tan 2x ; x0 sin 5x
20
tan 2x
lim
x0
3x
x3
;
30 lim tan 2x sin x ; x0 1 x 1
40 lim eax ebx , x0 sin ax sin bx
(a b) ;
50 lim tan x sin x ;
注： 当自变量 x 时，它表示函数的极限；
当自变量取正整数时，它表示数列的极限。
定 义: 若 limu 0 , 则称变量 u 为该极限过程中的无穷小量。
简称无穷小。 记作： u o 1
若 v C , 则称 v 为该极限过程中的一有界量，记作：v O(1) .
例如 : lim x 1 0 , 故函数 x 1 是 (当 x 1 时的) 无穷小； x1
为讨论问题的方便，一般地，视自变量的变化状态而选取无穷
的度量尺度（基本无穷小）为：
x x0 ,
1, x
1, n
当 x x0 , x x0 , x x0 时；
当 x , x , x 时；
当 n 时；
3
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1-5 无穷小与无穷大的性质
x → x0 x → x0
x → x0
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 ） (无穷小 无穷小); 无穷小 （2）给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达
式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).
3、无穷小的运算性质: 、无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
不是无穷大． 不是无穷大．
1 例 证明 lim = ∞. x →1 x − 1
证 ∀ M > 0. 要使 1 > M , x −1
1 1 , 取δ= , 只要 x − 1 < M M
1 1 1 = ∞. 当0 < x − 1 < δ = 时, 就有 > M . ∴ lim x →1 x − 1 M x −1
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 是无穷小， 例如, n → ∞时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小 . n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 设函数u在U 0 ( x 0 , δ 1 )内有界， 内有界，
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
1 y= x −1
定义 : 如果 lim f ( x ) = ∞ , 则直线 x = x 0是函数 y = f ( x )
x → x0
意义 （1）将一般极限问题转化为特殊极限问题 ） (无穷小 无穷小); 无穷小 （2）给出了函数 f ( x ) 在 x 0 附近的近似表达
式 f ( x ) ≈ A, 误差为 α ( x ).
3、无穷小的运算性质: 、无穷小的运算性质
定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是 定理 在同一过程中 有限个无穷小的代数和仍是 无穷小. 无穷小 证 设α及β 是当x → ∞时的两个无穷小 ,
不是无穷大． 不是无穷大．
1 例 证明 lim = ∞. x →1 x − 1
证 ∀ M > 0. 要使 1 > M , x −1
1 1 , 取δ= , 只要 x − 1 < M M
1 1 1 = ∞. 当0 < x − 1 < δ = 时, 就有 > M . ∴ lim x →1 x − 1 M x −1
无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小. 注意 无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小.
1 是无穷小， 例如, n → ∞时, 是无穷小， n 1 但n个 之和为1不是无穷小 . n
定理3 有界函数与无穷小的乘积是无穷小. 定理 有界函数与无穷小的乘积是无穷小 证 设函数u在U 0 ( x 0 , δ 1 )内有界， 内有界，
∴ f ( x ) = A + α( x ).
充分性 设 f ( x ) = A + α( x ),
其中 α( x )是当x → x 0时的无穷小,
则 lim f ( x ) = lim ( A + α( x )) = A + lim α( x ) = A.
1 y= x −1
定义 : 如果 lim f ( x ) = ∞ , 则直线 x = x 0是函数 y = f ( x )
1-4 无穷大与无穷小
第四节
无穷大与无穷小
( Infinitesimal and Infinity )
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷大与无穷小的关系
一、无穷小( Infinitesimal )
1、定义: 若
x
为
时 , 函数
则称函数
例如, lim sin x 0,
x 0
x
时的无穷小 .
函数sin x是当x 0时的无穷小 .
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
y 1 x 1
三、无穷小与无穷ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的关系( Infinite and the Infinitesimal Relations )
定理2 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒
数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: ①. 无穷小与无穷大的定义 ②. 无穷小与函数极限的关系 ③. 无穷小与无穷大的关系
2、几点注意: ①. 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数
其中是无穷小。
二、无穷大( Infinity )
定义2 若任给 M > 0 , 总存在
0 (正数 X ) ,
使得对一切满足不等式 0 x x0 ( x X ) 的 x , 总有
则称函数 记作
当 x x0
( x )
x
时为无穷大,
( lim f ( x ) )
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
无穷大与无穷小
( Infinitesimal and Infinity )
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷大与无穷小的关系
一、无穷小( Infinitesimal )
1、定义: 若
x
为
时 , 函数
则称函数
例如, lim sin x 0,
x 0
x
时的无穷小 .
函数sin x是当x 0时的无穷小 .
1 1 只要 x 1 , 取 , M M
1 1 1 . 当0 x 1 时, 就有 M . lim x 1 x 1 M x 1
y 1 x 1
三、无穷小与无穷ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ的关系( Infinite and the Infinitesimal Relations )
定理2 在自变量的同一变化过程中,无穷大的倒
数为无穷小;恒不为零的无穷小的倒数为无穷大. 意义 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷小 的讨论.
四、小结
无穷小与无穷大是相对于过程而言的.
1、主要内容: ①. 无穷小与无穷大的定义 ②. 无穷小与函数极限的关系 ③. 无穷小与无穷大的关系
2、几点注意: ①. 无穷小（ 大）是变量,不能与很小（大）的数
其中是无穷小。
二、无穷大( Infinity )
定义2 若任给 M > 0 , 总存在
0 (正数 X ) ,
使得对一切满足不等式 0 x x0 ( x X ) 的 x , 总有
则称函数 记作
当 x x0
( x )
x
时为无穷大,
( lim f ( x ) )
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
高等数学1-4-无穷小与无穷大
说明: 除 0 以外任何很小的常数函数都不是无穷小 !
因为 C 当
显然 C 只能是 0 换句话说，0 是无穷小量。 C 时,
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
x x0
lim f ( x) A
f ( x ) A , 其中 为
x x0 时的无穷小量 .
证: lim f ( x) A
1.4 无穷小与无穷大
一、无穷小量 定义1 . 若 则称函数 例如 : 函数 函数 为当 函数
(或x ) 时 , 函数
为当
(或x ) 时的无穷小 .
（以零为极限的变量。） 为当 时为无穷小;
时为无穷小;
为当 时为无穷小.
定义1. 若 则称函数 为
(或
x ) 时 , 函数
(或
x ) 时的无穷小 .
当
但
所以
3. 若
时,
不是无穷大 !
则直线
x x0
为曲线
的铅直渐近线 .
三、无穷小与无穷大的关系
定理2. 在自变量的同一变化过程中, 若 若
1 为无穷大, 则 为无穷小 ; f ( x) 1 为无穷大. 为无穷小, 且 f ( x) 0 , 则 f ( x) (自证)
说明: 据此定理 , 关于无穷大的问题都可转化为 无穷小来讨论.
无穷小的性质
定理1
定理2
有限个无穷小量的代数和仍是无穷 小量。
有界变量与无穷小量的乘积仍是无
穷小量。 推论1 常量与无穷小量的乘积是无穷小量。
推论2 有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。
定理3 极限不为零的函数除无穷小量，所得的
商是无穷小量。
x x0
线性代数1-4 章节无穷小与无穷大
x → x0
的图形的铅直渐近线.
注意： 无穷大是一种特殊的无界变量, 注意： 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷 大. 1 1 1 1
x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 例如, 当x → 0时, y = sin
y = sin x x
(1) 取 x 0 =
1 π 2 kπ + 2
恒有： f ( x) > M 恒有： 记作： 记作：lim f ( x) = ∞ 注 1.必须指明自变量的变化过程 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值） 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ：（函数的绝对值 ３.不要把无穷大和极限相混淆
如果 ϕ ( x ) ≥ ψ ( x ), 而 lim ϕ ( x ) = a , lim ψ ( x ) = b , 那末 a ≥ b .
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
解 ∵ lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5 x→2 x→2 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) 求 lim = lim 2 x→3 x −9 x→3 ( x + 3)( x − 3)
limα( x) = 0, 但α( x) ≠ 0, 称α( x)为零因子。 为零因子。
的图形的铅直渐近线.
注意： 无穷大是一种特殊的无界变量, 注意： 无穷大是一种特殊的无界变量,但是无界变量未必是无穷 大. 1 1 1 1
x x 是一个无界变量 , 但不是无穷大 . 例如, 当x → 0时, y = sin
y = sin x x
(1) 取 x 0 =
1 π 2 kπ + 2
恒有： f ( x) > M 恒有： 记作： 记作：lim f ( x) = ∞ 注 1.必须指明自变量的变化过程 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值） 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ：（函数的绝对值 ３.不要把无穷大和极限相混淆
如果 ϕ ( x ) ≥ ψ ( x ), 而 lim ϕ ( x ) = a , lim ψ ( x ) = b , 那末 a ≥ b .
二、求极限方法举例
x3 − 1 例1 求 lim 2 . x→2 x − 3 x + 5
解 ∵ lim( x 2 − 3 x + 5) = lim x 2 − lim 3 x + lim 5 x→2 x→2 1)( x − 1) lim 2 = lim x →1 x + 2 x − 3 x → 1 ( x + 3)( x − 1)
x+1 1 = . = lim x →1 x + 3 2
(消去零因子法 消去零因子法) 消去零因子法
x2 − 4x + 3 ( x − 3)( x − 1) 求 lim = lim 2 x→3 x −9 x→3 ( x + 3)( x − 3)
limα( x) = 0, 但α( x) ≠ 0, 称α( x)为零因子。 为零因子。
高数 无穷大无穷小(课堂PPT)
§1.4 无穷小量和无穷大量
1.4.1 无穷小量
1.无穷小量的定义
定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量；
当 x x时，xx 是无穷小量； 当 x 时， 1 是无穷小量。
x2
x 2是当 x 0时的无穷小量 .
G
G
就有 1 G .
y 10
x 1
所以 lim 1 .
5
x1 x 1
-4
-2
2
4
-5
-10
x 6
8
2．无穷大量的性质
(1)若limX A，limY ,则lim(X Y)
(2)若limX A 0，limY ,则lim(X Y) (3)若limX ，limY ,则lim(X Y) (4)若limX ，X Y,则limY
解：
lim
x0
x2
arctan
x
lim
x0
x2 x
lim
x
(1 2
x2 )
1
x0
x3
2。
17
（2） lim 1 cos x ； x0 x(1 cos x )
解： lim 1 cosx lim
1 cosx
x0 x(1 cos x ) x0 x(1 cos x )(1 cosx )
1 lim 1 cos x 2 x0 x(1 cos x )
(3)若 X ~X' , Y ~ Y ' ,且 lim X' 存在, Y'
则 lim X lim X'
Y
Y'
在乘除的极限运算中，等价的无穷小因子可以互相代换。 不适用于加减运算
1.4.1 无穷小量
1.无穷小量的定义
定义 1 若lim X 0 ，则称 X 为该极限过程中的
无穷小量，简称无穷小。
例如：当x0 时，sin x 和tanx 是无穷小量；
当 x x时，xx 是无穷小量； 当 x 时， 1 是无穷小量。
x2
x 2是当 x 0时的无穷小量 .
G
G
就有 1 G .
y 10
x 1
所以 lim 1 .
5
x1 x 1
-4
-2
2
4
-5
-10
x 6
8
2．无穷大量的性质
(1)若limX A，limY ,则lim(X Y)
(2)若limX A 0，limY ,则lim(X Y) (3)若limX ，limY ,则lim(X Y) (4)若limX ，X Y,则limY
解：
lim
x0
x2
arctan
x
lim
x0
x2 x
lim
x
(1 2
x2 )
1
x0
x3
2。
17
（2） lim 1 cos x ； x0 x(1 cos x )
解： lim 1 cosx lim
1 cosx
x0 x(1 cos x ) x0 x(1 cos x )(1 cosx )
1 lim 1 cos x 2 x0 x(1 cos x )
(3)若 X ~X' , Y ~ Y ' ,且 lim X' 存在, Y'
则 lim X lim X'
Y
Y'
在乘除的极限运算中，等价的无穷小因子可以互相代换。 不适用于加减运算
无穷小与无穷大及四则运算ppt课件
(2) 有界函数与无穷小的积 仍为无穷小.
1
例3
求极限 lim x sin .
x0
x
解 因为lim x 0, x0
而 sin 1 1, x
由性质（2）lim x 0
x sin
1 x
0.
1
例4
求极限
lim sin x. x x
解
因为 lim 1 0, x x
而sin x 1,
由性质（2） lim 1 sin x 0.
实例1
在日常生活中，经常用樟脑丸来保护收藏 的衣物，但我们发现随着时间推移，樟脑 丸会变得越来越小，最后樟脑丸的质量将 会如何变化？
3
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
实例2
❖ 将单摆离开铅直位置的偏度用角来度量，让单摆 自己摆动，考虑机械摩擦力和空气阻力，在这个 过程中，角的变化趋势如何？
注意！
1 无穷大不是数,而是当 x x0 或x 时极限
为的函数,因此要把无穷大与很大 的数分开.
2 无穷大必须指明自变 量的变化趋向.
3 极限为，但极限仍然不存在。
简言之 ，极限为 无穷 的量叫做无穷大量.
17
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
三、无穷小与无穷大的关系
x 4x 3 2x 3
312
lim( )
x x
x2 x3
lim(4
x
2 x2
3 x3
)
0 0. 4
27
宁波职业技术学院数学教研室
高等数学 Advanced Mathematics
例8 求
1-4无穷小与无穷大
2019年5月10日星期五
蚌埠学院 高等数学
14
x 时，不是无穷大量。
证明：取 xn 2n , yn 0
xn 2n , (n ), yn 0, 不是无穷大.
2019年5月10日星期五
蚌埠学院 高等数学
9
说明：证明函数的极限不存在时，只须找一串点
x1, x2 , xn , 使 f (xn ) 的极限不存在。
100 75 50 25
2 N 0
2
0,
yn
2 N 0
2
M.
所以， y x sin x 在 (0, ) 上是无界的。
2019年5月10日星期五
蚌埠学院 高等数学
11
三、无穷小量与无穷大量的关系
1) lim f (x) 0 且 f (x) 0, lim 1 .
x
蚌埠学院 高等数学
3
2、无穷小量和极限的关系
定理 1 . ( 无穷小与函数极限的关系 )
lim f (x) A
x x0
f (x) A , 其中 为 x x0
时的无穷小量 .
证: lim f (x) A
x x0
0, 0, 当 0 x x0 时,有
第一章
一、无穷小量 二、无穷大量 三、无穷小量与无穷大量的关系 四、小结与思考判断题
2019年5月10日星期五
蚌埠学院 高等数学
1
一、无穷小量
1、定义：如果函数 f (x) 当 x→x0 (或x→∞) 时 的极限为零，那么，称函数 f (x) 为 x→x0 (或x→∞) 时的无穷小。
《无穷小和无穷大》课件
无穷小序列
讨论无穷小序列的定义及其特点。
无穷大序列
介绍无穷大序列的定义和性质。
性质
无穷小性质
探讨无穷小的性质， 比如加法、乘法和 极限运算。
无穷大性质
讨论无穷大的性质， 如无穷大和有界函 数的关系。
无穷小与有 界函数
探讨无穷小和有界 函数之间的关联。
无穷大与趋 向无穷函数
讨论无穷大和趋向 无穷函数之间的关 系。
讨论
1
无穷小的判定
介绍判断一个数是否为无穷小的方法
无穷大的判定
2
和技巧。
讨论判断一个数是否为无穷大的方法
和策略。
3
常用的无穷小和无穷大
列举常见的无穷小和无穷大，并探究
可比无穷大和同阶无穷小
4
它们的应用。
解释可比无穷大和同阶无穷小的概念 及其重要性。
应用
洛必达法则
介绍洛必达法则及其在无穷小 和无穷大中的应用。
泰勒公式
解释泰勒公式及其在无穷小和 无穷大中的作用。
解析几何中的应用
探讨无穷小和无穷大在解析几 何中的实际应用。
总结
定义和性质回顾
回顾无穷小和无穷大的定义及其性质。
应用场景总结
总结无穷小和无穷大在不同领域中的应用场景。
未来深入学习方向
指导听众进一步学习无穷小和无穷大相关领域的知识。
ห้องสมุดไป่ตู้
参考文献
提供相关学术文献和参考资料，供听众进一步学习和研究。
《无穷小和无穷大》PPT 课件
# 无穷小和无穷大 介绍无穷小和无穷大的概念及其重要性。
前言
1 基础研究
2 概念讨论
无穷小和无穷大在研究区间内函数性质中 扮演着重要角色。
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仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小,
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
提问与解答环节
Questions And Answers
谢谢聆听
·学习就是为了达到一定目的而努力去干, 是为一个目标去 战胜各种困难的过程,这个过程会充满压力、痛苦和挫折
例1
记作：lim f ( x) ()
lim 1
y
x x0
lim 1 x x 0 lim 1 x x 0
o
x
例2 lim e x x lim e x 0 x
例3
1
lim e x
x0
1
lim e x 0
x0
y
o
x
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢推论3 某过程中的无穷小的正整数次乘幂 仍为该过程中的无穷小.
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
Learning Is To Achieve A Certain Goal And Work Hard, Is A Process To Overcome Various Difficulties For A Goal
第四讲 无穷小与无穷大
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
➢定义 如果函数f(x)在某过程中的极限为零，
➢定义2 函数f(x)为某过程中的无穷大是指： M 0 , 存在“一个时刻”使，得在该“时刻以后” 恒有： f ( x) M
记作：lim f ( x)
➢注 1.必须指明自变量的变化过程 2.不要把无穷大和一个很大的数相混淆 无穷大：（函数的绝对值）无限变大 ３.不要把无穷大和极限相混淆
➢定义３ 把定义２中的 f (x) M 换成 f ( x) M ( f ( x) M ) 就可得到函数f(x)为某过程中的正无穷大 （负无穷大）的定义
➢定义
设α,β是同一过程中的两个无穷小，且α≠0
（1）
如果
lim
0
那么就说β是比α高阶的无穷小，
α是比β低阶的无穷小， 记作 o( )
（2） 如果 lim C 0 那么就说β与α是同阶无穷小；
如果 lim 1 那么就说β与α是等价无穷小，
记作
（3）
如果
lim
k
C
0, k
0
那么就说β是α的k阶无穷小；
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
无穷小与无穷大
一、无穷小 二、无穷大 三、无穷小与无穷大的关系
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢定义1 如果函数f(x)在某过程中绝对值无限增大， 则称函数f(x)为该过程中的无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
➢性质1 同一过程中的有界函数与无穷大之和 仍为该过程中的无穷大.
➢性质2 某过程中的有限个无穷大的乘积 仍为该过程中的无穷大.
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
二、无穷大
（一）无穷大的概念 （二）无穷大的性质 （三）无穷大的比较
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
同一过程中的两个无穷小之和、差、积 仍为该过程中的无穷小.
➢问题 同一过程中的两个无穷小之商是否
仍为该过程中的无穷小？
例
x2 , x , 3x 都是 x 0 中的无穷小.
lim x2 lim x 0
x x0
x0
lim x 1 x0 3x 3
2.不要把无穷小和一个很小的数相混淆（0除外） 无穷小：（函数的绝对值）无限变小
➢无穷小与函数极限的关系
➢定理：函数f(x)在某过程中以A为极限的充要条件是：
函数f(x)可以表示为A与该过程中的无穷小之和.
即：lim f ( x) A f ( x) A
为同一过程中的无穷小
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
一、无穷小
（一）无穷小的概念 （二）无穷小的性质 （三）无穷小的比较
➢性质1 同一过程中的有限个无穷小之和 仍为该过程中的无穷小.
➢性质2 某过程中的有界函数与该过程中的无穷小之积 仍为该过程中的无穷小.
➢推论1 常量与某过程中的无穷小之积 仍为该过程中的无穷小.
➢推论2 同一过程中的有限个无穷小之积 仍为该过程中的无穷小.
那么称函数f(x)为该过程中的无穷小.
例
limsin x 0 sin x 是 x 0 中的无穷小.
x0
lim 1 0 x x
1 是 x 中的无穷小.
x
limx2 1 0 x2 1是 x 1 中的无穷小.
x 1
lim x 0
x0
x 是 x 0 中的无穷小.
注 1.必须指明自变量的变化过程