无穷小与无穷大和极限的关系

1.无穷小与函数极限的关系:
定理 1 lim f ( x) A f ( x) A ( x), x x0
其中( x)是当 x x0 时的无穷小.
证 必要性 设 lim f ( x) A, 令 ( x) f ( x) A, x x0 则有 lim ( x) 0, f ( x) A ( x). x x0 x是 x x0 时无穷小.
但n个之和为1,不是无穷小.
定理4 有界函数与无穷小量的积仍是无穷小.
证 设函数u在U 0 ( xo ,1 )内有界,
则M
0,1
0, 使得当0
|
x
x0
|
时
1
恒有 | u | M ,
又设 是当 x x0时的无穷小，
0,2 0, 使得当0 | x x0 | 2时 恒有 | | .
M
取 min{1,2 }, 则当0 | x x0 | 时恒有
x x0 ( x)
x x0 ( x)
注意 1.无穷大是变量,不能与很大的数混淆;
2.切勿将lim f (x) 认为极限存在. xx0
3. 无穷大是一种特殊的无界变量,但是 无界变量未必是无穷大.
例如,当x 0时,y 1 sin 1 xx
y 1 sin 1 xx
是一个无界变量,但不是无穷大.
| u || u | | | M ,
M
当x x0时，u 为无穷小.
推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的 乘积是无穷小.
推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.
推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.
例如，当
x
0
时，x sin
1 x
,
x2
arctan
1 x
都是无穷小.
M 0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , M
由于 f ( x) 0,
从而 1 M. f (x)
当x
x0时, f
1 为无穷大. (x)
意义 1.将一般的极限问题转化为特殊的极限问
题(无穷小）；
2.给出了函数f ( x)在 xo附近的近似表达
式 f ( x) A,误差为 ( x).
充分性 设 f ( x) A ( x),
其中 ( x)是当x x0时的无穷小,
则 lim f ( x) lim ( A ( x)) A lim ( x) A.
x x0
x x0
x x0
2. 无穷小与无穷大的关系
定理2 (1)若lim f (x) 0,( f (x) 0),则 x lim 1 . x f (x) (2)若lim f (x) ,则 x lim 1 0. x f (x)
(1)取
xk
1
2kp
p
(k
0,1,2,3,L
)
y( xk)
2kp
p
2
,
2 当k充分大时, y( xk) M . 无界，
(2)取
xk
1
2kp
(k
0,1,2,3,L
)
当k充分大时,xk ,
但 y( xk ) 2kp sin 2kp 0 M . 不是无穷大．
例 证明 lim 1 . x1 x 1
函数 1 是当x 时的无穷小. x
lim
n
(1)n n
0, 数列{(1)n }是当n n
时的无穷小.
注意 1.无穷小是变量,不能与很小的数混淆;
2.零是可以作为无穷小的唯一的数.
2.无穷大
绝对值无限增大的变量称为无穷大.
定义 2 如果对于任意给定的正数 M (不论它多么
小),总存在正数 (或正数 X ),使得对于适合不等
证 M 0. 要使 1 M , x 1
y 1 x1
只要 x 1 1 , 取 1 ,
M
M
当0 x 1 1 时,就有 1 M .lim 1 .
M
x 1
x1 x 1
定义:如果 lim x x0
f ( x) ,则直线x
x0是函数y
f (x)
的图wk.baidu.com的铅直渐近线.
二、无穷小与无穷大和极限的关系
三、 无穷小的运算性质
定理3 同一过程中，有限个无穷小的代数 和仍是无穷小.
证：设及是当x 时的两个无穷小,
当
x
X
时
1
恒
有
; 2
当
x
X
时
2
恒
有
;
2
取 X max{ X1, X2 }, 当 x X时, 恒有
2
2
,
lim( ) 0.
注意：无限个无穷小量的和不一定是无穷小.
例如， n 时，1 是无穷小. n
第四节 无穷小与无穷大
一 无穷小与无穷大的概念 二 无穷小与无穷大和极限的关系 三 无穷小的运算性质
一、无穷小与无穷大的概念
1.无穷小 极限为零的变量称为无穷小.
定义 1 如果对于任意给定的正数 (不论它多么小),
总 存在 正数 ( 或正 数 X ), 使 得对 于适 合不 等式
0 x x0 (或 x X )的一切x ,对应的函数值
式0 x x0 (或 x X )的一切 x,所对应的函
数值 f ( x)都满足不等式 f ( x) M ,
则称函数 f ( x)当 x x0 (或 x )时为无穷小 ,
记作 lim f ( x) (或 lim f ( x) ).
x x0
x
特殊情形：正无穷大，负无穷大．
lim f ( x) (或 lim f ( x) )
f ( x)都满足不等式 f ( x) ,
那末 称函数 f ( x)当 x x0 (或 x )时为无穷小,
记作 lim f ( x) 0 (或 lim f ( x) 0).
x x0
x
例如,
lim sin x 0, 函数sin x是当x 0时的无穷小. x0
lim 1 0, x x
即： 无穷大的倒数为无穷小，非零无穷 小的倒数是无穷大.
证 (2)设 lim f ( x) . x x0
0, 0,使得当0 x x0 时
恒有 f (x) 1 , 即 1 .
f (x)
当x
x0时,
f
1 为无穷小. (x)
注 关于无穷大的讨论,都可归结为关于无穷
小的讨论.
(1) 设 lim f ( x) 0,且 f ( x) 0. x x0