全国100所名校最新高考模拟示范卷(三)(江西数学)

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全国100所名校2020年最新高考模拟示范卷(三)数学理科试题+答案+详解MNJ.Y

全国100所名校最新高考模拟示范卷·数学卷（三）（120分钟 150分）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合{|10}A x x =->，{|lg }B x y x ==，则A B ⋂=（）A ．(1,)+∞B ．(0,1)C ．(0,)+∞D ．[1,)+∞ 2．设复数z 满足31i z i +=-（i 为虚数单位），则z 在复平面内对应的点位于（） A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 3．已知3log 0.3a =， 4.13b -=，32c =，则（） A ．c b a <<B ．c a b <<C a b c <<D ．a c b << 4．已知3sin 24θ=-，则1tan tan θθ+=（） A ．83- B ．43- C ．83 D ．435．已知||||a b ==r r 21a a b +⋅=r r r ，则向量a r ，b r 的夹角θ=（）A ．6πB ．3πC ．23πD ．56π 6．中国古典乐器一般按“八音”分类．“八音”是我国最早按乐器的制造材料来对乐器进行分类的方法，最先见于《周礼·春官·大师》，分为“金、石、土、革、丝、木、匏（p áo ）、竹”八音．其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器，现从“八音”中任取不同的“两音”，则含有打击乐器的概率为（）A ．314B ．1114C ．114D ．27 7．函数()3ln ||x f x x =的大致图象为（）A ．B ．C ．D ．8．已知不同直线l 、m 与不同平面a ，β，且l α⊂，m β⊂，则下列说法中正确的是（）A ．若a β∥，则l m ∥B ．若a β⊥，则l m ⊥C ．若l β⊥，则a β⊥D ．若a β⊥，则m α⊥9．在ABC △中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若cos cos 4c a B b A -=，则2222a b c -=（） A ．32 B ．12 C ．14 D ．1810．已知函数()3sin()f x x ωϕ=+（其中0ω<，0ϕπ<<），其图象向右平移6π个单位长度得()y g x =的图象，若函数()g x 的最小正周期是π，且3122g π⎛⎫= ⎪⎝⎭，则（） A ．12ω=-，23ϕπ= B ．12ω=-，3πϕ= C ．2ω=-，23ϕπ= D ．2ω=-，3πϕ=11．在三棱锥P ABC -中，AB AP ⊥，CB AP ⊥，CB AB ⊥，2AB BC ==，点P 到底面ABC 的距离为1，则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为（）A ．3πB ．9πC ．12πD ．24π 12．已知抛物线2:4(0)C y px p =>的焦点为F ，过焦点的直线与抛物线分别交于A 、B 两点，与y 轴的正半轴交于点S ，与准线l 交于点T ，且||2||FA AS =，则||||FB TS =（） A ．25 B ．2 C ．72D ．3 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡中的横线上．13．若变量,x y 满足约束条件20300x y x y x y -+⎧⎪+≤⎨⎪+⎩……，则32z x y =+的最大值为________．14．已知双曲线22:144y x C -=，P 是双曲线渐近线上第一象限的一点，O为坐标原点，且||OP =，则点P 的坐标是_______．15．甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为45和34；乙笔试、面试通过的概率分别为23和12．若笔试、面试都通过则被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则该次考试甲、乙同时被录取的概率是________，只有一人被录取的概率是__________．16．已知函数[]22()(0)x f x f e kx '=-（e 为自然对数的底数，()f x '为函数()f x 的导函数且(0)0f '≠至少有两个零点，则实数k 的取值范围是__________．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知等差数列{}n a 的公差2d =，且1a ，2a ，4a 成等比数列．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设12n an b ⎛⎫= ⎪⎝⎭，求数列{}n n a b +的前n 项和n S ． 18．在四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 为正方形，AC BD O ⋂=，1AO ⊥平面ABCD ．（1）证明1AO ∥平面11B CD ．（2）若1AB AA =，求二面角1A A B D --的正弦值．19．金秋九月，丹桂飘香，某高校迎来了一大批优秀的学生，新生接待其实也是和社会沟通的一个平台．校团委、学生会从在校学生中随机抽取了160名学生，对是否愿意投入到新生接待工作进行了问卷调查，统计数据如下：（1）根据上表说明，能否有99%的把握认为愿意参加新生接待工作与性别有关．。

2022年江西省九江市高考数学三模试卷(理科)+答案解析(附后)

2022年江西省九江市高考数学三模试卷（理科）1. 已知i为虚数单位，且，则( )A. 1B.C. 2D.2. 已知集合，，则( )A. B. C. D. 03.已知命题p：若，则，命题q：，，则( )A. 为真命题B. 为假命题C. 为真命题D. 为真命题4. 已知，则( )A. B. C. D.5. 已知函数是定义在的奇函数，，且当时，，则( )A. B. C. D. 06. 已知，，，其中e为自然对数的底数，则( )A. B. C. D.7. 函数的部分图像如图所示，对任意实数x，都有，下列说法中正确的是( )①的最小正周期为；②的最小值为；③的图像关于对称；④在上单调递增．A. ①③B. ②③C. ②④D. ③④8. 小明同学本学期5次数学测验中，最高分为90分，最低分为70分，中位数为85分，则这5次数学测验的平均分不可能是( )A. 80分B. 81分C. 84分D. 85分9. 已知正三棱柱的所有棱长均相等，直线与所成的角为，则( )A. B. C. D.10. 双曲线的左、右焦点分别为、，P为圆与该双曲线的一个公共点，则的面积为( )A. B. m C. D. 111. 如图，一个四分之一球形状的玩具储物盒，若放入一个玩具小球，合上盒盖，可放小球的最大半径为r，若是放入一个正方体，合上盒盖，可放正方体的最大棱长为a，则( )A. B. C. D.12. 油纸伞是中国传统工艺品，至今已有1000多年的历史，为宣传和推广这一传统工艺，北京市文化宫开展油纸伞文化艺术节．活动中，某油纸伞撑开后摆放在户外展览场地上，如图所示，该拿伞沿是一个半径为2的圆，圆心到伞柄底端距离为2，当阳光与地面夹角为时，在地面形成了一个椭圆形影子，且伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，若该椭圆的离心率为e，则( )A. B. C. D.13. 已知向量，，，则实数t的值为______.14. 中，三内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，则角______.15. 已知直线与曲线相切，则______.16. 日常生活中，许多现象都服从正态分布．若，记，，小明同学一般情况下都是骑自行车上学，路上花费的时间单位：分钟服从正态分布已知小明骑车上学迟到的概率为某天小明的自行车坏了，他打算步行上学，若步行上学路上花费的时间单位：分钟服从正态分布，要使步行上学迟到的概率不大于，则小明应该至少比平时出门的时间早______分钟．17.已知数列的前n项和为，且满足，求；求数列的前n项和．18. 如图1，矩形PABC中，，，D为PC上一点且现将沿着AD折起，使得，得到的图形如图证明：平面PBD：求二面角的余弦值．19. 已知抛物线C：过点，且P到抛物线C的焦点的距离为求抛物线C的方程；设A，B为抛物线C上两点，且，求点P到直线AB距离的最大值．20. 电子竞技是电子游戏比赛达到“竞技”层面的体育项目，其利用电子设备作为运动器械进行的、人与人之间的智力和体力结合的比拼．电子竞技可以锻炼和提高参与者的思维能力、反应能力、四肢协调能力和意志力，培养团队精神．第19届亚运会将于2022年9月10日至25日在浙江杭州举行，本届亚运会增设电子竞技竞赛项目，比赛采取“双败淘汰制”，以一个4支战队参加的“双败淘汰制”为例，规则如下：首轮比賽：抽签决定4支战队两两对阵，共两场比赛．根据比赛结果每场比赛只有胜、败两种结果，两支获胜战队进入胜者组，另外两支战队进入败者组；第二轮比赛：败者组两支战队进行比赛，并淘汰1支战队该战队获得殿军：胜者组两支战队进行比赛，获胜战队进入总决赛，失败战队进入败者组；第三轮比赛：上一轮比赛中败者组的获胜战队与胜者组的失败战队进行比赛，并淘汰1支战队该战队获得季军；第四轮比赛：剩下的两支战队进行总决赛，获胜战队获得冠军，失败战队获得亚军．现有包括A战队在内的4支战队参加比赛，采用“双败淘汰制”．已知A战队每场比赛获胜的概率为，且各场比赛互不影响．估计A战队获得冠军的概率；某公司是A战队的赞助商之一，赛前提出了两种奖励方案：方案1：获得冠军则奖励24万元，获得亚军或季军则奖励15万元，获得殿军则不奖励；方案2：获得冠军则奖励其中以全胜的战绩获得冠军奖励40万元，否则奖励30万元，其他情况不奖励．请以获奖金额的期望为依据，选择奖励方案，并说明理由．21. 已知函数当时，试比较与0的大小；若恒成立，求a的取值范围．22. 在平面直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，曲线的极坐标方程为求曲线，的直角坐标方程；若曲线上恰有三个点到曲线的距离为，求a的值．23. 设函数若关于x的不等式恒成立，求a的取值范围；在平面直角坐标系xOy中，所围成的区域面积为S，若正数b，c，d满足，求的最小值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：，，故选：根据已知条件，运用复数的运算法则，以及复数模的公式，即可求解．本题主要考查复数的运算法则，以及复数模的公式，属于基础题．2.【答案】A【解析】解：，，故选：求解对数不等式化简A，求解一元二次不等式化简B，再由交集运算得答案．本题考查交集及其运算，是基础题．3.【答案】C【解析】解：命题p：当，时，满足，但，故命题P为假命题，命题q：当时，成立，故命题q为真命题，故为假命题，为真命题，为真命题，为假命题，故选：利用不等式的性质得到P为假命题，利用三角函数的值得到q为真命题，再利用真值表的应用判断即可．本题考查不等式的性质，三角函数的值，真值表的应用，属于基础题．4.【答案】B【解析】解：，，，故选：由题意，利用两角和的余弦公式，计算求得结果．本题主要考查两角和的余弦公式，属于基础题．5.【答案】B【解析】解：依题意，得，故，解得，，故选：根据函数是定义在的奇函数，得到，进而求a的值，代入求即可．本题考查函数的奇偶性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：，，，，，故选：利用对数函数的性质求解．本题考查对数函数的性质，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：由图像可知，，，则，，所以，故①错误；又，则，，所以的最小值为，故②正确；则点为函数图像的对称中心，③正确；由，且，得，所以，当时，，显然在上不单调，故④错误．故选：由函数图像可求A，T，利用周期公式可求，即可判断①；由题意可得，，可得的最小值为，即可判断②；进而可得点为函数图像的对称中心，即可判断③；由，且，得，由题意可求，利用正弦函数的单调性即可判断④．本题考查了由的部分图象确定其解析式以及正弦函数的性质，考查了命题的真假判断与应用，考查了数形结合思想和函数思想的应用，属于中档题．8.【答案】D【解析】解：由题意知：小明在5次数学测验中有3次的成绩为：90，85，70；设另外2次成绩为x，，则，，次数学测验的平均分为，则这5次数学测验的平均分不可能是85分．故选：设除最高分、最低分和中位数的另外2次成绩为x，，由此可得的范围；根据平均数的计算方法可求得平均数的取值范围，由此可得选项．本题考查平均数，考查学生的运算能力，属于中档题．9.【答案】C【解析】解：取AC的中点P，连接，交于点O，连接OP，则O为的中点，所以，所以或其补角即为所求，设正三棱柱的所有棱长均为2，则，，，在中，由余弦定理知，，所以故选：取AC的中点P，连接，交于点O，连接OP，则或其补角即为所求，再在中，利用余弦定理，得解．本题考查异面直线所成的角，利用平移思想，找出异面直线所成的角是解题的关键，考查空间立体感和运算能力，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：由双曲线方程得，，恰为圆的直径，所以得，由双曲线的定义知，，故选：由已知可得，计算可求的面积．本题考查双曲线的几何性质，以及求三角形的面积，属中档题．11.【答案】D【解析】解：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，如图：若小球的最大半径r，有，变形可得，若正方体的最大棱长为a，有，变形可得，则，故选：根据题意，设储物盒所在球的半径为R，小球的最大半径r，正方体的最大棱长为a，分析r与R 和a与R的关系，计算可得答案．本题考查正方体与球的切接问题，注意分析正方体的几何结构，属于基础题．12.【答案】D【解析】解：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，由正弦定理得，解得，则，故选：因伞柄底端正好位于该椭圆的长轴上，由图可知，椭圆的短半轴长，在中，利用正弦定理可求得a，进而求得离心率．本题考查了椭圆离心率的计算，属于中档题．13.【答案】5【解析】解：向量，，，，，，则实数，故答案为：由题意，利用两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，计算求得结果．本题主要考查两个向量垂直的性质，两个向量的数量积公式，两个向量坐标形式的运算法则，属于基础题．14.【答案】【解析】解：中，，由正弦定理得，所以，所以，因为，即，由A为三角形内角得故答案为：由已知结合正弦定理进行化简可求，进而可求本题主要考查了正弦定理，和差角公式在求解三角形中的应用，属于基础题．15.【答案】【解析】解：由，得，设切点为，则，消去a得，，函数在上单调递增，且，，此时故答案为：求出函数的导函数，设出切点坐标，利用切点处的导数值与斜率的关系及切点处的函数值相等列式求解．本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查运算求解能力，是中档题．16.【答案】20【解析】解：由小明骑车上学迟到的概率为知，小明骑车花费分钟才会迟到，若小明步行上学，要使迟到的概率不大于，则步行花费时间应小于分钟，故小明应该至少比平时出门的时间早分钟．故答案为：结合正态分布的对称性，即可求解．本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．17.【答案】解：当时，，，，当时，由，得，两式相减得，即，数列，均为公比为4的等比数列，，；，数列的前n项和：【解析】当时，由，得，两式相减整理得数列，均为公比为4的等比数列，求解即可；，利用裂项相消求和求解即可．本题考查了数列的递推式和裂项相消求和，属于中档题．18.【答案】证明：四边形PABC为矩形，，且，，即；，即；又，，，又，，PD，平面PAD，平面PAD，平面PAD，；，，PD，平面PBD，平面解：过P作，交AD于E，，，，，由知平面PAD，平面ABD，平面平面PAD，又，平面PAD，平面ABD，故以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，，，，，由平面ABD的一个法向量为，设平面PAB的一个法向量为，则，令，，，，，二面角为锐二面角，二面角的余弦值为【解析】由长度关系可求得，知，结合可证得平面PAD，由线面垂直性质可得；结合，由线面垂直的判定可得结论；过P作，交AD于E，可证平面ABD，以D为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，利用向量法可求二面角的余弦值．本题考查线面垂直的证明，以及二面角的余弦值的求法，属中档题．19.【答案】解：根据抛物线的性质可知，又点P在抛物线上，，即，，解得，抛物线C的方程为设，，，，即，设直线AB的方程为，代入，可得，，，，即，直线AB的方程为，直线AB过定点，P点到直线AB距离的最大值为【解析】根据抛物线的性质以及点P在抛物线上列出方程组，求解t，p的值，从而得到抛物线C的方程．设出，，以及直线方程，利用，根据韦达定理求出m，n之间的关系可知直线AB过定点，所以P点到直线AB距离的最大值为本题主要考查了抛物线的定义和性质，考查了直线与抛物线的位置关系，同时考查了直线过定点问题，属于中档题．20.【答案】解：由题意可知，A战队获得冠军有以下3种可能情况：①“胜胜胜”概率为，②“败胜胜胜”概率为，③“胜败胜胜”概率为，则A战队获得冠军的概率为战队获得殿军的情况是败败，故A战队获得殿军的概率为则获得亚军或季军的概率为设方案1中A战队获奖金额为，则其分布列为：24150P若选择方案1，则A战队获奖金额的期望为万元，设方案2中A战队获奖金额为，则其分布列为：40300P若选择方案2则A战队获奖金额的期望为万元，由于数学期望相等，故选择方案1、方案2均可．【解析】本题主要考查分布列及其计算，概率统计的实际应用等知识，属于中等题．由题意首先确定所有可能的事件的概率，然后计算A战队获得冠军的概率即可；分别求得相应方案的均值，然后利用均值的大小进行比较给出结论即可．21.【答案】解：当时，，，故在R上单调递减，又因为，故当时，，当时，，当时，；，，下证当时，，，令要证，只需证，①当时，，由知，，②当时，，易知在上单调递减，在上单调递增，，，使得，当，时，；当时，，在，上单调递增，在上单调递减而，当时，；当时，，在上单调递增，在上单调递减．而，当时，，③当时，，在上单调递增，，综上所述，a的取值范围是【解析】当时，对函数求导，研究其单调性从而进行判断即可；由题意，构造函数再证明，通过讨论x的取值，求得a的范围即可．本题主要考查利用导函数研究函数单调性及最值，考查学生的运算能力，属于难题．22.【答案】解：曲线的极坐标方程为，根据，转换为直角坐标方程为曲线的极坐标方程，根据，转换为直角坐标方程为；由于的图象为花瓣一样；如图所示：当圆心到直线的距离时，正好有三个点；整理得或负值舍去，当圆心为到直线的距离时，正好有三点；整理得或正值舍去，故【解析】直接利用转换关系，在参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间进行转换；利用图象，进一步利用点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．23.【答案】解：，依题意，得，即或，解得或，的取值范围为或；解：由，得，如图，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中心为，四个顶点分别为，，，，其边长为，所以，所以，而b，c，d都为正数，所以当且仅当，时取等号，故的最小值为【解析】根据绝对值不等式的性质可知，可知，解次绝对值不等式，即可求出结果；根据题意作出围成的区域，平面区域由一个正方形及其内部组成，正方形的中边长为，可知，再将，利用基本不等式即可求出结果．本题考查了绝对值不等式的解法以及不等式的最值问题，属于中档题．。

2020届全国100所名校高三理科数学模拟金典试题(三)及参考答案

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１００所名校高考模拟金典卷数学三
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2021年全国100所名校高考数学示范试卷

2021年全国100所名校高考数学示范试卷（三）一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1.已知，则A. B. C. D.【答案】D【解析】解：，所以，故选：D．先根据复数除法的运算法则进行化简，然后根据复数的共轭复数的定义进行求解即可．本题主要考查了复数的运算，以及共轭复数的求解，同时考查了运算求解的能力，属于基础题．2.已知集合，，则A. B.C. D.【答案】B【解析】解：集合，，所以，故A故选：B．先利用一元二次不等式的解法以及一元一次不等式的解法求出集合A，B，再由补集的定义求出，结合交集的定义求解即可．本题考查了集合的运算，主要考查了集合交集与补集的求解，同时考查了一元二次不等式的解法以及一元一次不等式的解法，属于基础题．3.已知非零向量，满足，若与垂直，则与的夹角A. B. C. D.【答案】B【解析】解：与垂直，，，且，，且，．故选：B．根据与垂直即可得出，然后根据即可求出的值，进而求出的大小．本题考查了向量垂直的充要条件，向量数量积的运算，向量夹角的余弦公式，考查了计算能力，属于基础题．4.已知x为锐角，则“”是“”的A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】解：因为x为锐角，且，所以，因为，所以，所以x为锐角，“”能推出“”，“”不能推出“”，所以x为锐角，则“”是“”的充分不必要条件．故选：A．分别解三角不等式与，然后根据充分条件、必要条件的定义进行判定即可．本题主要考查了三角不等式的解法，以及充分条件、必要条件的判定，同时考查了推理能力，属于基础题．5.某大型金字形墙体如图所示，最上层码有2块长方体石块，第2层6块石块，第3层10块石块，以下每层都比其上一层多4块石块已知总层数为奇数，其中中间一层有310块石块，则该建筑的总层数为A. 157B. 153C. 155D. 151【答案】C【解析】解：设从上至下各层的石块数构成数列，由题设知数列是首项为2，公差为4的等差数列，设中间一层的石块数为，则，解得：，该建筑的总层数为，故选：C．设从上至下各层的石块数构成数列，由题设知数列是首项为2，公差为4的等差数列，然后利用其通项公式及题设条件求得中间一层是第几层，即可求得结果．本题主要考查等差数列在实际问题中的应用及等差数列基本量的计算，属于基础题．6.已知倾斜角为的直线l过抛物线：的焦点F，若l与圆：相切，则A. 12B. 10C. 8D. 6【答案】A【解析】解：设倾斜角为的直线过抛物线C：的焦点F，如图，切点为：B，连接，则，直线l的倾斜角为：，所以，，故F所以，可得，故选：A．画出图形，利用圆心到直线的距离等于半径，转化求解F的坐标，求解即可．本题考查抛物线的简单性质以及直线与圆的位置关系的综合应用，考查计算能力，是中档题．7.据水利部消息，受降雨影响，嫩江尼尔基水库9月4日2时入库流量3510立方米每秒，依据水利部全国主要江河洪水编号规定，编号为“嫩江2020年第1号洪水”现有7名消防员志愿者到A，B，C三个社区参加抗洪救灾工作，根据工作实际需要，A社区要分配三名志愿者，B，C两个社区各2名志愿者，则不同的分配方法共有A. 210种B. 240种C. 420种D. 105种【答案】A【解析】解：由题意可得：先从7名消防员志愿者选择3名到A社区，再从剩下的4名志愿者中选出2名到B社区，剩下的2名志愿者中到C社区，根据分步乘法原理可得不同的分配方法共有：种．故选：A．由题意可得：先从7名消防员志愿者选择3名到A社区，再从剩下的4名志愿者中选出2名到B社区，剩下的2名志愿者中到C社区，根据分步乘法原理可得不同的分配方法．本题考查了分步乘法原理与排列组合的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8.已知函数，当时，恒有，则实数m的取值范围是A. B. C. D.【答案】B【解析】解：当时，恒有，恒有，即恒有．构造函数，，在上单调递减，在上单调递增．，，，，，，两边取自然对数得，，令，则，在上单调递增，在上单调递减，当时，，，的取值范围为．故选：B．根据条件可知，当时，恒成立，然后构造函数，得到，再构造函数，求出的最大值，进一步求出m的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性和不等式的解法，考查了函数思想和转化思想，属中档题．二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.射频前端芯片是无线产品中的关键部件，在进入5G时代后，其背后牵动的经济和社会价值尤为重要射频前端芯片包括射频开关、射频低噪声放大器、射频功率放大器、双工器、射频滤波器等芯片，是移动智能终端产品的核心组成部分，我国是全球最大的射频前端芯片市场，但国内企业占比较小，国产化任重而道远如图是年全球射频前端芯片市场规模及预测其中年份后带字母“E”为预测由图可知，下列说法中正确的是某年至某年包含两端年份A. 从2014年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长以上B. 预测从2020年至2023年全球射频前端芯片市场规模的增量在逐年上升C. 从2015年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年较上一年增长率的平均值为D. 预测2019年至2021年全球射频前端芯片市场规模波动比2013年至2015年的波动大【答案】ABD【解析】解：由折线图可知，从2014年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长以上，所以选项A正确；因为根据预测从2020年至2023年全球射频前端芯片市场规模的增量依次为亿美元，亿美元，亿美元，故增量在逐年上升，所以选项B正确；因为，所以从20015年至2019年全球射频前端芯片市场规模每年比上一年增长率的平均值为，所以选项C不正确；从折线图可以看成波动较大，所以选项D正确．故选：ABD．利用题中给出的条形统计图和折线统计图，对四个选项进行逐一分析判断即可．本题是一道统计题，阅读量大，涉及条形统计图和折线统计图，考查学生逻辑推理能力与分析数据能力，属于基础题．10.已知，，且，则A. B.C. D.【答案】AC【解析】解：对于A：，，且，故，当且仅当时，等号成立故A正确；对于B：，由于，故B错误；对于C：当且仅当等号成立，故C正确；对于D：当且仅当时等号成立，故D错误．故选：AC．直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．本题考查的知识要点：基本不等式的基本性质，关系式的变换，主要考察学生的运算能力和转换能力，属于基础题．11.如图，这是函数的部分图象，将的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，则A. 的最小正周期为B.C. 的一条对称轴方程为D. 的单调递增区间为【答案】BCD【解析】解：对于选项A，由图可知，最小正周期，即选项A错误；对于选项B，，，，又点在的图象上，，即，，，，，，即选项B正确；对于选项C，由上可知，，，令，，则，，当时，，即选项C正确；对于选项D，令，，则，，函数的单调递增区间为，，即选项D正确．故选：BCD．由图可得，，，代入点，求得，从而知函数的解析式，由“左加右减”的平移原则求得的解析式后，再结合正弦函数的轴对称和单调性，即可得解．本题考查利用图象求三角函数的解析式，三角函数的图象与性质，函数图象的平移变换等，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．12.在四面体ABCD中，，，二面角的大小为，在侧面诸边及内部有一动点P，满足点P到直线AB的距离等于点P 到平面BCD的距离，则A. 点P到直线AB的距离等于点P到直线BC的距离B. 点P的轨迹为一段圆弧C.D. 点P的轨迹长为【答案】CD【解析】解：过点P作于H，作平面BCD于M，过点M作于N，连接PN，二面角的大小为，，，，，点P的轨迹是一端点为点B，另一端点在AC上的线段，即选项A和B均错误；在中，，，由余弦定理知，，，即选项C正确；在中，由余弦定理知，，当点P在AC上时，，，，，，点P的轨迹长度为，即选项D正确．故选：CD．选项A和B，过点P作于H，作平面BCD于M，过点M作于N，连接PN，易知，从而推出，于是得点P的轨迹为线段；选项C，在中，由余弦定理，可求得AC的长度；选项D，在中，由余弦定理求得的值，当点P在AC上时，由可推出AP和PC的比值，从而得CN和PN的长，最后利用勾股定理求出BP的长，即可．本题考查立体几何的综合应用，包含二面角、点到线和点到面的距离等，考查学生的空间立体感、推理论证能力和运算能力，属于中档题．三、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知函数为奇函数，则实数______ ．【答案】【解析】解：根据题意，函数为奇函数，则，即，变形可得，必有，故答案为：．根据题意，由奇函数的定义可得，即，变形分析可得答案．本题考查函数奇偶性的性质以及应用，注意函数奇偶性的定义，属于基础题．14.在本届秋季运动会中，同学们热情高涨，踊跃报名，有不少同学报了多个项目高三四班有50名学生，报了100米短跑或1500米长跑的有16人，其中报了100米短跑的同学有10名，报了1500米长跑的同学有12名，则该班既报了100米短跑又报了1500米长跑的的学生数占该班学生总数的比例是______ ．【答案】【解析】解：该班既报了100米短跑又报了1500米长跑的的学生数人，占该班学生总数的比例．由题意可得该班既报了100米短跑又报了1500米长跑的的学生数人，进而得出占该班学生总数的比例．本题考查了集合有关知识、频率计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15.九章算术卷五商功中，记载一个问题“今有圆堡瑽，”这里所说的圆堡瑽就是圆柱体形土筑小城堡如图，一圆堡瑽的轴截面是边长为4的正方形ABCD，点E为上底圆周上一个动点与C、D点不重合，三棱锥外接球的表面积为______ ．【答案】【解析】解：圆堡瑽的轴截面是边长为4的正方形ABCD，点E为上底圆周上一个动点与C、D点不重合，取AC的中点为O，则，所以三棱锥的外接球的半径为，所以三棱锥外接球的表面积为．故答案为：．取AC的中点为O，求出外接球的半径，然后求解外接球的表面积即可．本题考查数学文化与交换条件，考查发现问题的能力，是基础题．16.已知双曲线C：的右顶点为A，左、右焦点分别为，，点P是双曲线右支上一点，交左支于点Q，交双曲线的渐近线于点R，M为PQ的中点，若，且，，则双曲线C的标准方程为______ ．【答案】【解析】解：因为，所以，设，所以，解得，所以，所以直线的斜率为，设，，，因为，所以，因为，，联立，解得，用可得，结合可得，从而，所以，所以，因为，所以，，所以双曲线的方程为，故答案为：．因为，所以，设，由此求出点R的坐标，进而求出直线的斜率，设出点M，P，Q的坐标，利用点P，Q在双曲线上建立等式关系，再由已知关系建立等式关系，联立即可求解．本题考查了双曲线的方程，考查了学生的运算转化能力，属于中档题．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.从，，这三个条件中任选一个，补充在下列问题中，并作答．问题：已知数列为等比数列，且_____．若，，求数列的前n项和．【答案】解：若选，设等比数列的公比为q，因为，所以，又，所以，即，解得或，由于，所以，所以，于是，所以．若选，设等比数列的公比为q，因为，，所以，即，即，解得，所以，于是，所以．若选，设等比数列的公比为q，因为，，所以，所以，所以，于是，所以．【解析】若选，由等比数列的通项公式即可求出公比q，从而可得数列的通项，利用分组法求和即可．若选，由等比数列的性质即可求出公比q，从而可得数列的通项，利用分组法求和即可．本题主要考查等比数列及数列的求和，考查运算求解能力，属于中档题．18.在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且．求sin A；若，求面积的最大值．【答案】解：，，，由正弦定理知，，，由余弦定理知，，，．由知，，，，当且仅当时，等号成立，面积，故面积的最大值为．【解析】结合三角形的内角和定理与正弦定理，可推出，再由余弦定理和同角三角函数的平方关系，即可得解；由知，，利用基本不等式可得，再由，得解．本题主要考查解三角形的应用，还涉及基本不等式，利用正弦定理将角化边是解题的突破口，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．19.如图，在正方体中，E为的中点，F为的中点．求证：平面平面；记的重心为G，求直线与平面所成角的正弦值．【答案】证明：取中点M，连接ME、MD，因为E为中点，所以，，又因为，，所以，，所以四边形ADME为平行四边形，所以，又因为，所以，又因为，，，所以平面平面E.解：建立如图所示的空间直角坐标系，不妨设，由已知得各点坐标如下：6，，0，，6，，6，，所以4，，，，0，，设平面的法向量为y，，又因为平面平面，，令，1，所以．故直线与平面所成角的正弦值为．【解析】用两条相交直线分别平行证明两平面平行；用向量数量积求直线与平面成角正弦值．本题考查了直线与平面的位置关系，考查了直线与平面成角的计算问题，属于中档题．20.学生的学习方式是多种多样的，为了应对重大传染疾病所要求的人员的社交距离，也为了提高学生的学习效率，开展多渠道学习形式，市教育局鼓励学生参加网上学习某中学课题组的数学教师为了调查学生在家学习数学的情况，对本校随机选取100名学生进行问卷调查，统计他们学习数学的时间，结果如图所示．若此次学习数学时间X整体近似服从正态分布，用样本来估计总体，设，分别为这100名学生学习数学时间的平均值和标准差，并求得，该校共有1000名学生，试估计该校学生中此次学习数学时间超过87分钟的学生人数结果四舍五人取整数；若从全市学生中利用电脑抽取学籍号的方式有放回地随机抽取3次，每次抽取1人，用频率估计概率，设其中数学学习时间在80分钟及以上的次数为，求随机变量的分布列和均值．参考公式：若随机变量服从正态分布，则，，．【答案】解：，，，，人，估计该校学生中学习数学时间超过87分钟的学生数为159人．从全市学生中有放回地抽取1名学生，该学生学习数学时间在80分钟及以上的概率为，随机变量，，，，，的分布列为：0 1 2 3P．【解析】由，，，求出，由此能估计该校学生中学习数学时间超过87分钟的学生数．从全市学生中有放回地抽取1名学生，该学生学习数学时间在80分钟及以上的概率为，随机变量，由此能求出的分布列和数学期望．本题考查频数、离散型随机变量的分布列、数学期望的求法，考查频率分布直方图、正态分布、二项分布等基础知识，考查运算求解能力、应用意识等核心素养，是中档题．21.已知函数，．判断的单调性；求函数在上的最大值．【答案】解：，则，令，解得：，令，解得：，故在递减，在递增；，则，令，解得：，，令，则，故在上单调递增，故，从而，故，故当时，，当时，，故F，令，则，令，则，故在单调递减，而，故存在，使得，当时，，当时，，故H在递增，在递减，，，故H在上恒成立，当且仅当时“”成立综上：函数在上的最大值是．【解析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；求出函数的导数，根据函数的单调性求出，令，根据函数的单调性求出，求出的最大值即可．本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及函数恒成立问题，考查转化思想，分类讨论思想，是难题．22.在平面直角坐标系xOy中，点B与点关于原点O对称，且A、B及它们关于x轴对称的点都在曲线T上，P是曲线T上不同于上述四点的一动点，且直线AP与BP的斜率之积等于．求曲线T的方程，并说明是什么曲线；设直线l：与曲线T相交于M、N两点，以线段CM，ON为邻边作平行四边形CMEN，其中顶点E在曲线上，求的取值范围．【答案】解：设点P的坐标为，因为直线AP与BP的斜率之积为，且点B与点关于原点O对称，所以，化简得，所以曲线T的方程为，该曲线为一个椭圆除去横坐标为的四点．当时，在椭圆T上，解得，所以，当时，则由，消去y化简得，所以，设M，N，E点的坐标分别为，，，则，，由于点E在椭圆T上，所以，从而，化简得，满足，所以，因为，有，故，综上，所以的取值范围为．【解析】设点P的坐标为，由直线AP与BP的斜率之积为，得，化简得答案．当时，在椭圆T上，解得m，进而可得；当时，设M，N，E点的坐标分别为，，，联立直线l与椭圆的方程，结合韦达定理可得，，由于点E在椭圆T上，解得，进而计算得出答案．本题考查椭圆的方程，直线与椭圆的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．。

全国100所名校最新高考模拟示范卷(二)(江西)[1]

全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(二)数学(理科,江西专用)江西金太阳教育研究所数学研究室编一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求) 1.若复数312a i i++(,a R i ∈为虚数单位)是纯虚数,则实数a 的值为( ).A.2-B.4C.6-D.62.若函数()y f x =的反函数图象过点(2,3),则函数2log (1)y f x =+的图象必过点( ). A.(3,1) B.(2,1) C.(1,3) D.(1,2)3.“2cos 2α=-512,k k Z παπ=+∈”的( ).A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 4.设集合2{|0}M x x ax =-<,2{|20}N x x x =--<,若M N ⊆,则a 的取值范围是( ). A.(1,2)- B.[1,2]- C.[1,0)(0,2]- D.(1,0)(0,2)- 5.设函数()20)f x x=+≥,则其反函数1()fx -的图象( ).6.已知R t A B C ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且C 为直角,则“3c a =+”是“30A =︒”的( ).A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件 7.球面上有三点,其中任意两点间的球面距离等于大圆周长的16,经过这三点的小圆周长为4π,则球的体积为( ).A.B. C.32πD. 8.若抛物线212y x =与圆222(3)x y r +-=相切,则公切线的方程为( ).A.220y x -+=B.220y x ++=C.220y x ±+=D.240y x ±+=9.某建筑工地搭建的脚手架局部类似于222⨯⨯的长方体,一建筑工人从A 沿脚手架到B ,则行走的最近线路有( ).A.80种B.120种C.90种D.180种 10.如图,P 是椭圆222591xy+=上一点,1F 、2F 是椭圆的左、右焦点,且Q 是1PF 的中点,4OQ =,则点P 到该椭圆左准线的距离为( ).A.6B.4C.3D.5211.若lg lg 0(1,1)a b a b +=≠≠,且()x f x a =与()x b g x b -=的图象关于直线1x =对称,则a b +=( ).A.2B.52 C.103D.17412.若向量a 、b 满足||||1a b == ,且()1a a k b ->-恒成立,则实数k 的取值范围是( ). A.(2,2)- B.(0,2) C.(2,0)- D.(1,2)- 二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上) 13.二项式27()axx +的展开式中的x 的系数是280,则a =__________.14.设z y ax =+,变量满足条件021032x y x y x y -≤⎧⎪-+≥⎨⎪+≤⎩或222032x y x y x y -≤⎧⎪--≥⎨⎪+≤⎩,若使z 取得最小值的点(,)x y 有且仅有两个,则a =__________.15.在棱长均相等的正三棱柱111ABC A B C -中,1A B 与平面11A B C 所成的角的正弦值为__________.16.设数列{}n a 满足22(1)n n n a a +=-,且1236a a +=,则lim n n S →∞=__________.三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足(2)cos cos a c B b C -=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知函数2222(,)cos sin1A C f A C =+-,求(,)f A C 的取值范围.C.A.B. D.18.(本小题满分12分)某商家进行促销活动,促销方案是：顾客每消费1000元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为15,若中奖则商家返还顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为ξ元,试分析小王出资50元增加1张奖券是否划算？19.(本小题满分12分)在三棱锥V ABC-中,底面ABC∆是以A B C∠为直角的等腰三角形.又V在底面A B C上的射影H在线段A C上且靠近点C,4A C=,VA=V B和底面A B C所成的角为45︒. (Ⅰ)求点V到底面A B C的距离； (Ⅱ)求二面角V AB C--的大小.20.(本小题满分12分)已知一列非零向量na满足111(,)a x y=,111112(,)(,)(2)n n n n n n na x y x y x y n----==-+≥.(Ⅰ)证明：数列{||}na是等比数列；(Ⅱ)设1,n n na aθ-=〈〉,21n nb nθ=-,12n nS b b b=+++,求nS.21.(本小题满分12分)如图,点F为双曲线C的左焦点,左准线l交x知||||1PQ FQ==,且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.(Ⅰ)求双曲线C的标准方程；(Ⅱ)若过点F的直线m与双曲线C的左、右两支分别交于A、B设FB FAλ=,当[6,)λ∈+∞时,求直线m的斜率k的取值范围.22.(本小题满分14分)已知函数2()2lnf x x x a x=++.(Ⅰ)若4a=-,求函数()f x的极值；(Ⅱ)当1t≥时,不等式(21)2()3f t f t-≥-恒成立,求实数a的取值范围.VBCAH全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(二)数学(理科,江西专用) 参考答案一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C B A B C C B C C D BA二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上) 13.14. 1 15.1416. 4三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(本小题满分12分)在ABC ∆中,角,,A B C 的对边分别为,,a b c ,且满足(2)cos cos a c B b C -=. (Ⅰ)求角B 的大小； (Ⅱ)已知函数2222(,)cos sin1A C f A C =+-,求(,)f A C 的取值范围.解：(Ⅰ)由(2)cos cos a c B b C -=,得(2sin sin )cos sin cos A C B B C -=,即2sin cos sin A B A =. ∵0B π<<,∴3B π=.(Ⅱ)23A C π+=,∴221cos 1cos 12222223(,)cossin 11[cos cos()]A C ACf A C A A π++=+-=+-=--1322226(cos ))A A A π=-=+.∵230A π<<,∴5666A πππ<+<,∴3344(,)f A C -<<.18.(本小题满分12分)某商家进行促销活动,促销方案是：顾客每消费1000元,便可以获得奖券一张,每张奖券中奖的概率为15,若中奖则商家返还顾客现金1000元.小王购买一套价格为2400元的西服,只能得到2张奖券,于是小王补偿50元给一同事购买一件价格为600元的便服,这样小王就得到了3张奖券.设小王这次消费的实际支出为ξ元,试分析小王出资50元增加1张奖券是否划算？解：ξ的可能取值为245-.34645125(2450)()P ξ===,123144855125(1450)()()P C ξ===,223141255125(450)()()P C ξ===,333115125(550)()P C ξ=-==.∴ξ的分布列为644812112512512512524501450450(550)1850E ξ=⨯+⨯+⨯+-⨯=(元). 同理设小王不出资50元增加1张奖券消费的实际支出为1ξ元,16812525125240014004002000E ξ=⨯+⨯+⨯=.1E E ξξ<,故小王出资50元增加1张奖券划算.19.(本小题满分12分)在三棱锥V ABC -中,底面ABC ∆是以A B C ∠为直角的等腰三角形.又V 在底面A B C 上的射影H 在线段A C 上且靠近点C ,4A C =,VA =,V B 和底面A B C 所成的角为45︒. (Ⅰ)求点V 到底面A B C 的距离；(Ⅱ)求二面角V AB C --的大小.解：(Ⅰ)∵V 在底面A B C 上的射影H 在线段A C 上且靠近点C ,∴V H ⊥底面A B C .连BH ,则45VBH ∠=︒.设BH VH h ==,O 为A C 的中点, 则BO AC ⊥,BO O H ⊥.∴在R t A B C ∆中,122O B AC ==.在Rt O BH ∆中,OH =.在Rt VAH ∆中,2222)h ++=,解得h =故点V 到底面A B C(Ⅱ)∵h =∴1OH ==.过H 作H M AB ⊥于M ,连结V M ,则VM H ∠为二面角V AB C --的平面角.∵33442H M B C ==⨯=,∴32tan VM H ∠==,∴二面角V AB C --的大小为3arctan .20.(本小题满分12分)已知一列非零向量n a 满足111(,)a x y = ,111112(,)(,)(2)n n n n n n n a x y x y x y n ----==-+≥ .(Ⅰ)证明：数列{||}n a 是等比数列；(Ⅱ)设1,n n n a a θ-=〈〉,21n n b n θ=-,12n n S b b b =+++ ,求n S . (Ⅰ)证明：ξ2450 1450 450550-P6412548125121251125V BCAH12||||(2)n na a n-==≥,∴1||2||nnaa-=,且1||0a=≠,∴数列{||}na是公比为2的等比数列.(Ⅱ)解：∵2211211111111111222(,)(,)()||n nn n n n n n n n na a x y x y x y x y a----------⋅=⋅-+=+=,∴211111||1222||||||cos,||nn nnn nnaa aaa aa----⋅〈〉==⋅=,∴14,n n na aπθ-=〈〉=,∴42211nnb nππ=⋅-=-.即2(1)(1)222224(1)(1)(1)nn n n n nS n nπππππ++=-+-++-=⋅-=-21.如图,点F为双曲线C的左焦点,左准线l交x轴于点Q,点P是l上一点.已知||||1PQ FQ==,且线段PF的中点M在双曲线C的左支上.(Ⅰ)求双曲线C的标准方程；(Ⅱ)若过点F的直线m与双曲线C的左、右两支分别交于A、B两点,设FB FAλ=,当[6,)λ∈+∞时,求直线m的斜率k的取值范围解：(Ⅰ)设双曲线的方程为22221(0,0)x ya ba b-=>>,则222c a b=+①,2||1acFQ c=-=,∴2b c=②.又1122(,)M c-+在双曲线上,∴222211()()221ca b--=③.由①②③解得,2a b c===,故双曲线的方程为222x y-=.(Ⅱ)(2,0)F-,设11(,)A x y,22(,)B x y,直线m的方程为(2)y k x=+,则由FB FAλ=,得21(2)2x xλ=+-,21y yλ=.由22(2)2y k xx y=+⎧⎨-=⎩,得222(1)420k y ky k--+=.∴21241kky y-+=,221221kky y-=,22222168(1)8(1)0k k k k k∆=--=+>.由21y yλ=,21241kky y-+=,221221kky y-=,消去12,y y,得228(1)112kλλλλ+-==++.∵6λ≥,函数1()2gλλλ=++在[6,)+∞上单调递增.∴2814916662k-≥++=,2149k≥.又直线m与双曲线交于两支, 222(1)420k y ky k--+=的两根同号,∴21k<.∴21491k≤<,解得171k-<≤-或171k<≤.故斜率k的取值范围为1177(1,][,1)-- .22.(本小题满分14分)已知函数2()2lnf x x x a x=++.(Ⅰ)若4a=-,求函数()f x的极值；(Ⅱ)当1t≥时,不等式(21)2()3f t f t-≥-恒成立,求实数a的取值范围.解：(Ⅰ)由题意得,24()24ln()22xf x x x x f x x'=+-⇒=+-.由函数的定义域为0x>,∴()01f x x'>⇒>,()001f x x'<⇒<<.∴函数()f x有极小值(1)3f=.(Ⅱ)∵2()2lnf x x x a x=++,∴2221(21)2()32422ln ln(21)lnttf t f t t t a t a t a--≥-⇒-+≥--=.当1t≥时,221t t≥-,∴221ln0tt-≥.即1t>时,222(1)ln21ttta--≤恒成立.又易证l n(1)x x+≤在1x>-上恒成立,∴2222(1)(1)212121ln ln[1](1)t t tt t tt-----=+≤<-在1t>上恒成立.当1t=时取等号,∴当1t≥时,2221ln(1)ttt-≤-,∴由上知2a≤.故实数a的取值范围是(,2]-∞.。

全国100所名校最新高考模拟示范卷理科数学(三)(教师版)

全国100所名校最新高考模拟示范卷·理科数学（三）一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．12i2i +=-（） A ．11i 2+B ．11i 2--C ．11i 2-+D ．11i 2-1．答案：C 解析：212i (12i)i i 211i 2i 2i 22++⋅-===-+--． 2．已知集合{|1M x x =>或20},{|2}≤x N y y x =+=，则M N =（）A ．{|1x x >或10}≤x -<B ．{|1x x >或20}≤x -<C ．{|1}x x <-D ．{|1x x >或20}≤≤x -2．答案：D解析：{|1M x x =>或0},{|2}x N y y =-≤≥，所以MN ={|1x x >或20}≤≤x -．3．向量12(1,2),(3,4)e e ==，且12(5,6),,R xe ye x y +=∈，则向量(,)a x y =的模为（）A ．3 BC ．4D ．53．答案：B解析：由12(1,2)(3,4)(3,24)(5,6)xe ye x y x y x y +=+=++=，所以35246x y x y +=⎧⎨+=⎩，解得12x y =-⎧⎨=⎩，所以向量(,)a x y =4．“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的（） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．既不充分也不必要条件 D ．充要条件4．答案：A解析：由22x x +>，得220x x +->，即(2)(1)0x x +->，解得2x <-或1x > ，由(2)x x x +>，得20x x +>，解得1x <-或0x >，由于{|2x x <-或1}x >{|1x x <-或0}x >，所以“22x x +>”是“(2)x x x +>”成立的充分不必要条件．解法2：由22x x +>，得222x x x +>+，即(2)2x x x x +>+>，所以“22x x +>”是“(2)x x x +>” 成立的充分不必要条件．5．八卦的形成源于《河图》和《洛书》，它用“”代表阳，用“”代表阴，用这两种符号，组成八种不同形式，每一种形式都命为一卦，分别为乾、坤、震、巽、坎、离、艮、兑，比如乾卦是“”，坤卦是“”，坎卦是“” ．在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是（）A ．37 B ．314C ．38D ．3165．答案：B 解析：易知八卦中至少含有两条“”的有4个，所以在八卦中任选两卦，则这两卦都至少含有两条“”的概率是2428314C C =．6．已知一个圆锥的侧面积是其轴截面面积的4倍，则该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为（） A ．8πB ．32πC ．4π D ．2π6．答案：C解析：不妨设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，高为h ，则1422rh rl π⨯⨯=，所以该圆锥的母线与底面所成角的正弦值为4h l π=． 7．若,,a b c 均为正数，且4714abc==，则（） A ．1112a b c-=B ．1112b c a-=C ．1112c a b-=D ．1112c b a -=7．答案：D解析：设4714abct ===，则1111111224,7,14,2,2714,abcaa bct t t ttt +===∴=⨯=∴=，111111,22a b c c b a∴+=∴-=． 8．将双曲线2214y x -=过第一象限的渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒，得到的直线方程是（） A ．13y x =B ．12y x =C ．3y x =-D ．12y x =-8．答案：A解析：设过第一象限的渐近线的倾斜角为α，则tan 2α=，则将渐近线绕原点O 顺时针方向旋转45︒后的直线的倾斜角为45α-︒，所以旋转后的直线的斜率为tan tan 45211tan(45)1tan tan 45213ααα-︒--︒===+︒+，所以所求直线方程为13y x =． 9．如图，这是函数()y f x =在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭上的大致图象，则()f x 可能是（） A ．()ln sin f x x =B ．()ln(cos )f x x =C ．()sin tan f x x =-D ．()tan(cos )f x x =-9．答案：B解析：对于A 选项，定义域内不包括0x =，另外当0x →时，y →-∞，显然A 选项不可能；对于C 选项，当,22x ππ⎛⎫∈-⎪⎝⎭时，tan x 会取遍[0,)+∞内所有的点，所以函数()sin tan f x x =-会无数次经过x 轴，且值域为[1,1]-，显然C 选项不可能；对于D 选项，(0)tan10f =-≠，显然D 选项不可能，故只能是B 选项有可能． 10．已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，若右边的框图是计算T 的程序框图，则框图中①处和②处可以分别填入（） A ．10?≤i m m i =+ B ．10?1≤i m m i =++ C ．11?≤i m m i =+D ．11?1≤i m m i =++开始1,1,1i m T ===①T T m=⨯②1i i =+输出T 结束是否10．答案：A解析：由已知1247111646T =⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯，根据数列的递推公式1n n a a n +=+，因为T 是数列的前10项的积，故可知要执行循环10次，由于循环变量的初始值为1，每项循环增加1，故中值应为10，即①处应填入10i ≤？又由第1个数是1，第2个数比第1个数大1，即112+=，第3个数比第2个数大2，即224+=，第4个数比第3个数大3，即437+=，第5个数比第4个数大4，即7411+=，……，故②中应填写m m i =+．11．已知曲线1:cos C y x =，若曲线1C 上的各点的横坐标变为原来的(0)ωω>倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移3π个单位长度，得到的曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，则2C 的一条对称轴方程可能为（）A ．56x π=B ．6x π=C ．53x π=D ．23x π=11．答案：A解析：曲线2C 的相邻两个零点的距离为2π，故曲线2C 的周期为π，故2:cos 23C y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭，由2,3x k k Z ππ⎛⎫-=∈ ⎪⎝⎭，得,23k x k Z ππ=+∈，当1k =时，56x π=． 12．下面是某多面体的三视图，图中每个小正方形的边长都为1，则这个多面体的外接球的半径为（）A ．23B ．3C ．863D ．59312．答案：C解析：该多面体为如图所示的四棱锥E ABCD -，其中4,22,25AD DC DE EC ====O 外接于四棱锥E ABCD -等价于球O 外接于三棱柱ABF DCE -，三棱柱的高4h =，设CDE △的外接圆半径为r ，球O 的半径为R ，2222020843cos ,sin 222055CE DE CD CED CED CE DE +-+-∠===∴∠=⨯⨯⨯， 2210223sin 35DC r CED ===∠，所以52r =2250864293h R r ⎛⎫=+=+= ⎪⎝⎭．ABCDEF二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上． 13．12(23)xx dx +=⎰ ．13．答案：136解析：1123200232313(23)32326x x dx x x ⎛⎫+=+=+= ⎪⎝⎭⎰．14．51(3)2x x x ⎛⎫+- ⎪⎝⎭的展开式中的常数项等于．14．答案：40-解析：展开式的常数项为33251(2)40x C x x ⎛⎫⋅⋅⋅-=- ⎪⎝⎭．15．设,x y 满足约束条件360200,0≤≥≥≥x y x y x y --⎧⎪-+⎨⎪⎩，则目标函数23z x y =+的最大值为．15．答案：26解析：作可行域为如图所示的四边形OABC ，其中(2,0),(4,6),(0,2)A B C ，显然23z x y =+在点(4,6)B 处取得最大值，最大值为243626⨯+⨯=．O xyA BC16．如图，已知椭圆22132x y +=的焦点为12,F F ，点P 为椭圆上任意一点，过2F 作12F PF ∠的外角平分线的垂线，垂足为点Q ，过点Q 作y 轴的垂线，垂足为N ，若线段QN 的中点为M ，则点M 的轨迹方程为．16．答案：224133x y +=解析：由条件，2F 关于直线PQ 的对称点2F '在1F P 的延长线上，且1221212F F PF PF PF PF a ''=+=+==所以2112OQ F F '==设(,)M x y ，则(2,)Q x y ，22（一）必考题：共60分． 17．（本小题满分12分）已知数列{}n a 是公差为2的等差数列，n S 为其前n 项和，且满足11(21),12nan n n n S a n a b a ⎛⎫=-=+ ⎪+⎝⎭．（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列{}n b 的前n 项和n T ．17．解析：（1）由1(21)2(1)n a n a n =-+-，解得11a =，所以21n a n =-．……………………6分（2）2[1(21)]2n n n S n +-==，212111212211224na n nn n n S n n b a n -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+=+=+⨯ ⎪ ⎪⎪+-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭． 1111(1)2144(12)211243414n n n n n T n ⎡⎤⎛⎫- ⎪⎢⎥+⎛⎫⎝⎭⎢⎥=++++=+- ⎪⎝⎭⎢⎥-⎢⎥⎣⎦．………………………………12分18．（本小题满分12分）如图，四棱柱1111ABCD A B C D -中，1A D ⊥平面ABCD ，底面ABCD 是边长为1的正方形，12DA =．（1）求证：平面1A BD ⊥平面11AC D ．（2）求二面角11C C D A --的正弦值．BCDA A 1B 1C 1D 118．解析：（1）因为1A D ⊥平面ABCD ，AC ⊂平面ABCD ，所以1AC A D ⊥，因为ABCD 是正方形，所以AC BD ⊥，又因为1A DBD D =，所以AC ⊥平面1A BD ．又因为11AA CC ，所以四边形11AAC C 是平行四边形，所以11//A C AC ，所以11A C ⊥平面1A BD ．又因为11A C ⊂平面11AC D ，所以平面1A BD ⊥平面11AC D ．………………………………6分（2）以点D 为原点，1,,DA DC DA 所在的直线分别为,,x y z 轴建立空间直角坐标系．则1111(0,0,0),(0,1,0),(0,0,2),(1,1,2),(0,1,0),(1,1,2),(0,0,2)D C A C DC DC DA -==-=，设平面1CC D 的法向量为111(,,)m x y z =，则11111020m DC y m DC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令11z =，得(2,0,1)m =，…………………………………………………………………………9分设平面11AC D 的法向量为222(,,)n x y z =，则1212222020n DA z n DC x y z ⎧⋅==⎪⎨⋅=-++=⎪⎩，令21x =，得(1,1,0)n =．所以2cos ,5m n m m m n⋅===⨯⋅，所以二面角11C C D A --的正弦值为5．…………………………………………………………12分1x19．（本小题满分12分）某社区开展“扫黑除恶”宣传活动，为鼓励更多的人积极参与到宣传活动中来，宣传活动现场设置了抽奖环节．在盒中装有9张大小相同的精美卡片，卡片上分别印有“扫黑除恶利国利民”或“普法宣传人人参与”图案．抽奖规则：参加者从盒中抽取卡片两张，若抽到两张分别是“扫黑除恶利国利民”和“普法宣传人人参与”卡即可获奖，否则，均为不获奖．卡片用后放回盒子，下一位参加者继续重复进行．活动开始后，一位参加者问：“盒中有几张‘普法宣传人人参与’卡？”主持人答：“我只知道，从盒中抽取两张都是‘扫黑除恶利国利民’卡的概率是16．” （1）求抽奖者获奖的概率；（2）为了增加抽奖的趣味性，规定每个抽奖者先从装有9张卡片的盒中随机抽出1张不放回，再用剩下的8张卡片按照之前的抽奖规则进行抽奖，现有甲、乙、丙三人依次抽奖，用X 表示获奖的人数，求X 的分布列和数学期望．19．解析：（1）设“扫黑除恶利国利民”卡有n 张，则22916n C C =，得4n =，故“普法宣传人人参与”卡有5张，抽奖者获奖的概率为11542959C C C =．…………………………6分（2）在新规则下，每个抽奖者获奖的概率为111153442288455999C C C C C C ⨯+⨯=，所以53,9X B ⎛⎫⎪⎝⎭～， 3354()(0,1,2,3)99k kk P X k C k -⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以X 的分布列为：所以()393E X =⨯=．………………………………………………………………………………12分 20．（本小题满分12分）已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点到直线11:22l y x =+过点(,0)(0)A a a >的直线2l与C 交于M N 、两点．（1）求抛物线C 的准线方程；（2）设直线OM 的斜率为OM k ，直线ON 的斜率为ON k ，若3OM ON k k ⋅=-，且1l 与2l 的交点在抛物线C 上，求直线2l 的斜率和点A 的坐标． 20．解析：（1）因为抛物线C 的焦点为,02p ⎛⎫⎪⎝⎭，直线122y x =+的一般方程为240x y -+=，=2p =，所以抛物线C 的准线方程为1x =-．………………………………6分（2）联立24240y x x y ⎧=⎨-+=⎩，解得44x y =⎧⎨=⎩．设直线2l 的方程为x ty a =+，将它代入24y x =，得2440y ty a --=．设1122(,),(,)M x y N x y ，则12124,4y y t y y a +==-，所以12121222212121212443()()()OM ON y y y y y y a k k x x ty a ty a y y t at y y a a a⋅====-=-=-+++++，解得43a =，又直线2l 过点(4,4)，所以4443t =+，解得23t =，所以直线2l 的方程为322y x =-，所以直线2l 的斜率为32，点A 的坐标为4,03⎛⎫⎪⎝⎭．………………12分 21．（本小题满分12分）已知函数1()(ln )()R x f x x a x ea -=+-∈．（1）若2a =，求曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程；（2）求证：当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立． 21．解析：（1）当2a =时，11()2ln ,()ln 3x x f x x x x ef x x e --'=+-=-+，所以(1)1,(1)2f f '==，所以曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程为12(1)y x -=-，即210x y --=．………………6分（2）()10f x +<，即1ln 10x x x eax --++<，当1x >时，即11ln x e a x x x-<--，设11()ln x e h x x x x -=--，则111221(1)(1)()0x x x xe e x x e h x x x -----+--'==>，所以()h x 在(1,)+∞上是增函数，而(1)0h =，所以当(1,)x ∈+∞时，11()ln 0x e h x x x x-=-->恒成立，即当(,0)a ∈-∞时，对任意(1,)x ∈+∞，有()10f x +<恒成立．…………………………12分（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所作的第一题计分．22．【选修4—4：坐标系与参数方程】（本小题满分10分）在平面直角坐标系中，以坐标原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l 的参数方程为212x ty =⎧⎪⎨=+⎪⎩（t 为参数），曲线12sin ,:2(1cos )x C y ϕϕ=⎧⎨=+⎩（ϕ为参数）．（1）求直线l 及曲线1C 的极坐标方程；（2）若曲线2:()3R C πθρ=∈与直线l 和曲线1C 分别交于异于原点的,A B 两点，求AB 的值．22．解析：（1）直线l2240y -+=cos 2sin 240θρθ-+=，曲线1C 的标准方程为22(2)4x y +-=，极坐标方程为4sin ρθ=．………………………………5分（2）将3πθ=cos 2sin 240θρθ-+=和4sin ρθ=，得A B ρρ==16A B AB ρρ=-==．…………………………10分 23．【选修4—5：不等式选讲】（本小题满分10分）已知函数()2f x x =-，函数()3g x x m =-++．（1）已知常数2a <，解关于x 的不等式()20f x a +->；（2）若函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，求实数m 的取值范围．23．解析：（1）由()20f x a +->，得22,22x a x a ->-∴->-或22x a -<-，4x a ∴>-或x a <，故不等式的解集为{|x x a <或4}x a >-．………………………………5分（2）因为函数()f x 的图象恒在函数()g x 图象的上方，所以()()f x g x >恒成立，则23m x x <-++恒成立，23(2)(3)5x x x x -++--+=≥，所以m 的取值范围为(,5)-∞．……………………………………………………………………10分。

江西省顶级名校高三下学期理数三模试卷附解析

椭圆相交所得的弦长为，椭圆的离心率为 .
〔1〕求椭圆的标准方程；
〔2〕点是椭圆上位于轴上方的动点，假设直线
和
与直线
分别交于和长度小于
，求
的最大
值. 21.假设方程
〔1〕假设〔2〕假设
有实数根，那么称为函数
.
，求证：
有唯一不动点；
的符号，得出满足要求的 b 的值，从而结合三角形面积公式求出三角形的面积。
18.【解析】【分析】〔1〕因为为的中点，且
，那么
，又因为
，
那么
，故四边形
为平行四边形，因为
，故四边形
为矩形，所
以
，因为平面
平面
，再利用面面垂直的性质定理推出线面垂直，所以
平面
，再利用线面垂直证出面面垂直，从而证出平面
平面
上一点，过点 P 作圆 C 的两条切线，切点分别为 A 和
16.假设函数
〔
且
〕的值域是
，那么实数的取值范围是
________．
三、解答题
17.锐角
，同时满足以下四个条件中的三个：
①
②
③
④
〔1〕请指出这三个条件，并说明理由；
〔2〕求
的面积.
18.在四棱锥
中，底面
为直角梯形，
面
，为的中点，是棱上的点，
的值。
10.【解析】【解答】如下列图：
由对称性可得：为
所以
，
因为
故而由几何性质可得
的中点，且
，所以，即
，
，，
故渐近线方程为
，
应选 B.
【分析】先利用对称得

江西省百所重点中学2021届高三数学模拟考试理

江西省百所重点中学2021届高三数学模拟考试理（扫描版）江西省百所重点中学高三模拟考试数学试卷参考答案(理科)1． C z ＝5－3i 1－i ＋2i ＝4＋3i ，那么||z ＝5. 2． A M ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |x <－3或x >1，N ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x |1<x <2，那么(R M )∪N ＝[－3，2)． 3.B 由题意得第3组的频率为0.2，因此第3组的频数等于100×0.2＝20.4．C ∵S 3＝a 1＋a 2＋a 3＝14，a 1＋8＋a 3＋6＝6a 2，∴7a 2＝28，即a 2＝4，∴a 1·a 3＝a 22＝16.5．A 作出不等式对应的可行域如图，当取点D (m ，2－2m )时，z 取最大值为7m －4，由7m －4≥5得m ≥97，应选A. 6．D 在△APF 中，|PA |＝|PF |，|AF |sin 60°＝4，∴|AF |＝83，又∠PAF ＝∠PFA ＝30°，过P 作PB ⊥AF 于B ，那么|PF |＝|BF |cos 30°＝12|AF |cos 30°＝83. 7．A k ＝2，S ＝4；k ＝3，S ＝11；k ＝4，S ＝26；k ＝5，S ＝57，输出结果，判定框内填“k ＞4”．8．B 假设甲、乙两人只有一人参加时，不同的发言顺序有C 12C 35A 44种；假设甲、乙同时参加时，不同的发言顺序有A 24A 23种．共C 12C 35A 44＋A 24A 23＝552种． 9．C 依照面面平行的性质定理可得AC ∥GD ，EF ∥GD ，∴EF ∥AC ，∵AC ⊥平面AE ，∴EF ⊥平面AE ，故①正确；取DG 的中点O ，连结AO 、EO ，那么AO ∥CG ，EO ∥FG ，∴平面AEO ∥平面CF ，即AE ∥平面CF ，故②正确；连结CO 、FO ，那么CO ⊥平面DEFG ，∴∠CFO 为所求线面角，∵CO ＝FO ＝2，∴∠CFO ＝π4，故③正确；该多面体的体积V ＝V ADO －BEF ＋V ABC －OFG ＝4，故④错误．10．B ∵AP 0＝2, P 0B=1，那么P 1B ＝tan θ＝x ，P 1C ＝2－x ，P 2C ＝P 1C tan θ＝2x －1，P 2D ＝4－2x，P 3D ＝P 2D tan θ＝4tan θ－2，P 3A ＝4－4x ，P 4A ＝4x －4.∵P 4落在A 、P 0之间，∴0＜4x －4＜2，即23＜x ＜1. ∵y ＝S 矩形ABCD －S △P 0BP 1-S △P 1C P 2－S △P 2D P 3－S △P 3AP 4＝6－12x －12(2－x )(2x －1)－12(4－2x )(4x －2)－12(4－4x )(4x－4)＝32－12(34x ＋24x )＝32－(17x ＋12x )≤32－451，当且仅当x ＝25117时等号成立，又当x ＝23时，y ＝83；x ＝1时，y ＝3，应选B.11.55 点(tan 5π4，sin(－π6))可化为点(1，－12)，那么sin θ＝－55， ∴cos(5π2＋θ)＝－sin θ＝55. 12. 213e - 11()(2)21,x x x f x ex ae e ae e a =='=+=+=⇒=-则 13.1 依题意，|OA →|＝|OC →|＝|AB →|＝2，OA →·OC →＝2×2cos ∠AOC ＝1，cos ∠AOC ＝12，∠AOC ＝π3，那么|AC →|＝|OA →|＝|OC →|＝2，∠BAC ＝π3，AB →·AC →＝2×2cos ∠BAC ＝1. 14. 5 由题意可知点P 在双曲线的左支上且b >a ，设PF 的中点为M ，双曲线的右核心为F ′(c ，0)，连结OM 、PF ′(O 为坐标原点)，那么|PF ′|＝2|OM |＝2b 且PF ⊥PF ′，∴PF ＝PF ′－2a ＝2b －2a ，|PF |2＋|PF ′|2＝|FF ′|2，即(2b －2a )2＋(2b )2＝(2c )2，得b ＝2a ，那么该双曲线的离心率e ＝a 2＋4a 2a ＝ 5.15．(1)± 2 ⊙C 1的方程化为ρ＝4cos θ＋4sin θ，化简得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ，由ρ2＝x 2＋y 2，x＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，得x 2＋y 2－4x －4y ＝0，其圆心C 1坐标为(2，2)，半径r 1＝22；圆C 2的参数方程是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1＋a cos θ，y ＝－1＋a sin θ的一般方程是(x ＋1)2＋(y ＋1)2＝a 2，因此C 2的坐标是(－1，－1)，r 2＝|a |，因为两圆外切，因此|a |＋22＝|C 1C 2|＝（2＋1）2＋（2＋1）2＝32，因此a ＝± 2.(2)3 不等式|x ＋1|－|x －2|＜a 的解集为(－∞，2)，说明解的区间端点2是方程|x ＋1|－|x －2|＝a 的一个根，∴有|2＋1|－|2－2|＝a ，解得a ＝3.16．解：(1)在△ABC 中，依照余弦定理a 2＋c 2－b 2＝2ac cos B ，且a 2＋c 2－b 2＝233ac sin B ， ∴2ac cos B ＝233ac sin B ，∴tan B ＝ 3.又∵0＜B ＜π，∴B ＝π3.(6分) (2)∵A ＋B ＋C ＝π，∴C ＝π－A －B ＝2π3－A .由正弦定理，得c sin C ＝b sin B ＝3sin π3＝2， ∴c ＝2sin C ＝2sin (2π3－A )． ∵π6＜A ＜π2，∴π6＜2π3－A ＜π2. ∴12＜sin (2π3－A )＜1.∴c ∈(1，2).(12分) 17．解：(1)∵6S n ＝a 2n ＋3a n ＋2， ①∴6a 1＝a 21＋3a 1＋2，解得a 1＝1或a 1＝2.又6S n －1＝a 2n －1＋3a n －1＋2(n ≥2)， ②由①－②，得6a n ＝(a 2n －a 2n －1)＋3(a n －a n －1)，即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－3)＝0.∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝3(n ≥2)．当a 1＝2时，a 2＝5，a 6＝17，现在a 1，a 2，a 6不成等比数列，∴a 1≠2；∴a n ＝3n －2，b n ＝4n －1.(6分)(2)由(1)得T n ＝1×4n －1＋4×4n －2＋…＋(3n －5)×41＋(3n －2)×40， ③∴4T n ＝1×4n ＋4×4n －1＋7×4n －2＋…＋(3n －2)×41. ④由④－③得3T n ＝4n ＋3×(4n －1＋4n －2＋…＋41)－(3n －2)＝4n ＋12×（1－4n －1）1－4－(3n －2) ＝2×4n －(3n ＋1)－1＝2b n ＋1－a n ＋1－1，∴3T n ＋1＝2b n ＋1－a n ＋1，n ∈N ＋.(12分)18．解：(1)假设该生被录取，那么前四项最多有一项不合格，而且第五项必需合格，记A ＝{前四项均合格，且第五项合格}，B ＝{前四项中仅有一项不合格，且第五项合格}，则P (A )＝(12)4·(1－23)＝148， P (B )＝C 14×12×(1－12)3×(1－23)＝112.又A 、B 互斥，故所求概率为P ＝P (A )＋P (B )＝148＋112＝548. (2)该生参加考试的项数X 能够是2，3，4，5. P (X ＝2)＝12×12＝14，P (X ＝3)＝C 12(1－12)×12×12＝14，P (X ＝4)＝C 13(1－12)×(12)2×12＝316，P (X ＝5)＝1－14－14－316＝516，则X 的散布列为X 2 3 4 5P 14 14 316 516EX ＝2×14＋3×14＋4×316＋5×516＝5716.(12分)19．解：(1)CM 与BN 交于F ，连结EF .由已知可得四边形BCNM 是平行四边形，∴F 是BN 的中点．∵E 是AB 的中点，∴AN ∥EF ，又EF 平面MEC ，AN 平面MEC ，∴AN ∥平面MEC .(5分)(2)连结DE .由于四边形ABCD 是菱形，E 是AB 的中点，可得DE ⊥AB . E (3，0，0), C (0，如图，成立空间直角坐标系D －xyz ，那么D (0，0，0)，2，0)，M (3，－1，377).CE →＝(3，－2，0)，EM →＝(0，－1，377)．设平面MEC 的法向量为n ＝(x ，y ，z )，则⎩⎨⎧CE →·n ＝0，EM →·n ＝0，因此⎩⎪⎨⎪⎧3x －2y ＝0，y －377z ＝0. 令x ＝2，因此n ＝(2，3，213)，又平面CDE 的法向量m ＝(0，0，1)，因此cos 〈m ，n 〉＝m·n |m||n |＝12. 因此二面角M —EC —D 的大小是60°.(12分)20．解：(1)∵CD ＝4105，∴点E (2105，2105)，又∵PQ ＝2105，∴点G (4105，105)，则⎩⎪⎨⎪⎧85a 2＋85b 2＝1，325a 2＋25b 2＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝8，b 2＝2， ∴椭圆方程x 28＋y 22＝1.（4分） (2)设直线MA 、MB 的斜率别离为k 1，k 2，只需证明k 1＋k 2＝0即可，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，那么k 1＝y 1－1x 1－2，k 2＝y 2－1x 2－2，直线l 方程为y ＝12x ＋m ，代入椭圆方程x 28＋y 22＝1消去y ，得x 2＋2mx ＋2m 2－4＝0可得x 1＋x 2＝－2m ，x 1x 2＝2m 2－4.（9分）而k 1＋k 2＝y 1－1x 1－2＋y 2－1x 2－2＝（y 1－1）（x 2－2）＋（y 2－1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝（12x 1＋m －1）（x 2－2）＋（12x 2＋m －1）（x 1－2）（x 1－2）（x 2－2）＝x 1x 2＋（m －2）（x 1＋x 2）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4＋（m －2）（－2m ）－4（m －1）（x 1－2）（x 2－2）＝2m 2－4－2m 2＋4m －4m ＋4（x 1－2）（x 2－2）＝0，（12分） ∴k 1＋k 2＝0，故直线MA 、MB 与x 轴始终围成一个等腰三角形.（13分）21．解：(1)因为f (x )在(1，＋∞)上为减函数，故f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ≤0在(1，＋∞)上恒成立．因此当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )max ≤0.又f ′(x )＝ln x －1（ln x ）2－a ＝－(1ln x )2＋1ln x －a ＝－(1ln x －12)2＋14－a ，故当1ln x ＝12，即x ＝e 2时，f ′(x )max ＝14－a . 因此14－a ≤0，于是a ≥14，故a 的最小值为14.(4分) (2)命题“假设存在x 1，x 2∈[e ，e 2]，使f (x 1)≤f ′(x 2)＋a 成立”等价于 “当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤f ′(x )max ＋a ”．由(1)，当x ∈[e ，e 2]时，有f ′(x )max ＝14－a ，∴f ′(x )max ＋a ＝14. 问题等价于“当x ∈[e ，e 2]时，有f (x )min ≤14”.(6分) 10当a ≥14时，由(1)，f (x )在[e ，e 2]上为减函数，则f (x )min ＝f (e 2)＝e 22－a e 2≤14，故a ≥12－14e 2.(8分) 20当a ＜14时，由于f ′(x )＝－(1ln x －12)2＋14－a 在[e ，e 2]上为增函数，故f ′(x )的值域为[f ′(e)，f ′(e 2)]，即[－a ，14－a ]． ① 假设－a ≥0，即a ≤0，f ′(x )≥0在[e ，e 2]上恒成立，故f (x )在[e ，e 2]上为增函数，于是，f (x )min ＝f (e)＝e －a e ≥e ＞14，不合题意.(10分) ②假设－a ＜0，即0＜a ＜14，由f ′(x )的单调性和值域知，存在唯一x 0∈(e ，e 2)，使f ′(x 0)＝0，且知足：当x ∈(e ，x 0)时，f ′(x )＜0，f (x )为减函数；当x ∈(x 0，e 2)时，f ′(x )＞0，f (x )为增函数.(12分)因此，f (x )min ＝f (x 0)＝x 0ln x 0－ax 0≤14，x 0∈(e ，e 2)．因此，a ≥1ln x 0－14x 0＞1ln e 2－14e ＞12－14＝14，与0＜a ＜14矛盾，不合题意．综上，得a ≥12－14e 2.(14分)。

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全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(三)数学(理科,江西专用)江西金太阳教育研究所数学研究室编一.选择题(本大题12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项符合要求)1.复数2008(1)i -的实部为( ).A.0B.10042C.10042-D.20082 2.已知函数1()4(0,1)x f x a a a -=+>≠的反函数1()y f x -=的图象经过一个定点,则这个定点的坐标为( ).A.(1,4)B.(1,5)C.(5,1)D.(4,1) 3.函数2()12cos 2()f x x x R =-∈是( ).A.最小正周期为π的偶函数B.最小正周期为π的奇函数C.最小正周期为2π的偶函数 D.最小正周期为2π的偶函数4.若||2sin15a =︒,||4cos15b =︒,a 与b 的夹角为30︒,则a b ⋅的值为( ).A.2B.125.若点(,)P x y 在以(3,1),(1,0),(2,0)A B C ---为顶点的ABC ∆的内部运动(不包含边界),则21y x --的取值范围( ).A.12[,1] B.12(,1) C.14[,1] D.14(,1)6.已知椭圆2222:1(0)x y abC a b +=>>,顺次连结椭圆C 的四个顶点,所得四边形的内切圆与长轴的两交点正好是长轴的两个三等分点,则椭圆的离心率e 等于( ).A.3B.4C.5D.77.若实数,x y 满足1|1|ln 0x --=,则y 关于x 的函数的图象大致是( ).8.四面体ABCD 中,已知3AB cm =,215ABC S cm ∆=,212ABD S cm ∆=,面ABC 与面ABD 所成A. B. C. D.的二面角为30︒,则四面体的体积为( ).A.320cmB.3C.3D.330cm 9.已知,,,a b c d R ∈,满足5a b +≥,222221a b c d +++=,则有( ).A.2ab cd -≥B.2ab cd ->C.2ab cd -<D.2ab cd -≤ 10.从由正数组成的集合A 中随机地选出一个数字,且选取数字n 的概率为lg(1)lg n n +-,下面给出四个集合：①{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}；②{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；③13{,4,5,6,7,8,9}；④12{,1,6,7,8,9}.则能当成集合的个数为( ).A.1B.2C.3D.4 11.若方程ln()x ax =(a 为常数,0a ≠),则下列判断正确的是( ).A.当0a <时,没有实根B.当0a e <<时,有一个实根C.当a e =时,有三个实根D.当a e >时,有两个实根 12.用11max(,,,)n a a a ,11min(,,,)n a a a 分别表示11,,,n a a a 中的最大与最小者,有下列结论：①max(,)max(,)max(,,,)a b c d a b c d a c b d +=++++； ②min(,)min(,)min(,a b c d a c +=+,,)a d b c b d +++； ③若max(,)max(,)a b c d <,则,a c b d <<； ④若min(,)min(,)a b c d <,则,a c b d <<.其中正确结论的个数是( ).A.0B.1C.2D.3 二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上) 13.2008(2)x -的展开式中所有奇次项系数的和为__________. 14.函数ln x xy =的单调递减区间为__________.15.在圆225x y x +=内,过点5322(,)有n 条弦的长度成等差数列,最短弦长为数列的首项1a ,最长弦为n a ,若公差1163(,]d ∈,则n 的取值集合为__________.16.给出下列命题：①函数22tan 1tan ()x xf x -=与()tan 2g x x =是同一个函数；②在ABC ∆中,若sin sin A B <,则A B <；③012x x→=；④随机变量2~(2,)N ξσ,若(24)0.3P ξ<<=,则(0)0.5P ξ<=.其中正确命题的序号为__________.(填所有正确命题的序号)三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数()21x f x =-的反函数为1()f x -,4()log (31)g x x =+. (Ⅰ)若1()()f x g x -≤,求x 的取值集合D ；(Ⅱ)设函数112()()()H x g x f x -=-,当x D ∈时,求函数()H x 的值域.18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在ABC ∆中,若222c a b ab =++,求角C 的大小.(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的角C ,函数2sin(2)y x C =+的图象按向量m 平移后,对应的函数为偶函数,求||m 取最小值时的向量m .19.(本小题满分12分)某人居住在城镇的A 处,准备开车到单位B 处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如A C D →→算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为15,路段CD 发生堵车事件的概率为18).(Ⅰ)请你为其选择一条由A 到B 的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生堵车事件的概率最小；(Ⅱ)若记路线A C F B →→→中遇到堵车次数为随机变量ξ,求ξ的数学期望E ξ.20.(本小题满分12分)已知三棱锥P ABC -中,90,12,BAC BC P ∠=︒=在底面ABC 上的射影G 为ABC ∆的重心,且2PG =.(Ⅰ)求PA 与底面ABC 所成的角的大小；(Ⅱ)当二面角P BC A --的大小最小时,求三棱锥P ABC -的体积.ABPCG DMA C DB F E 12110 1415 18 1316 北西21.(本小题满分12分) 已知椭圆2222:1(0)x y abC a b +=>>经过点(2,1)P ,离心率2e =,直线l 与椭圆C 交于,A B 两点(,A B 均异于点P ),且有0PA PB ⋅=. (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)求证：直线l 过定点.22.(本小题满分14分)已知函数32()f x x ax bx c =+++关于点(1,1)成中心对称,且(1)0f '=.(Ⅰ)求函数()f x 的表达式；(Ⅱ)设数列{}n a 满足条件：1(1,2)a ∈,1()n n a f a +=. 求证：12323412()(1)()(1)()(1)1n n n a a a a a a a a a ++--+--++--<.全国100所名校最新高考模拟示范卷卷(三)数学(理科,江西专用) 参考答案江西金太阳教育研究所数学研究室编二.填空题(本大题4个小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上) 13.2008132- 14.[,)e +∞ 15.{4,5,6} 16.②三.解答题(本大题6个小题,共74分,解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分12分)已知函数()21x f x =-的反函数为1()f x -,4()log (31)g x x =+. (Ⅰ)若1()()f x g x -≤,求x 的取值集合D ； (Ⅱ)设函数112()()()H x g x f x -=-,当x D ∈时,求函数()H x 的值域.解：(Ⅰ)()21x f x =-,12()log (1)(1)f x x x -=+>-.又1()()f x g x -≤,∴24log (1)log (31)x x +≤+.∴2(1)311001310x x x x x ⎧+≤+⎪+>⇒≤≤⎨⎪+>⎩,故集合{|01}D x x =≤≤.(Ⅱ)由(Ⅰ),42413121()log (31)log (1)log x x H x x x ++=+-+=.设311x x u ++=,则213x u -+=+为增函数.∵01x ≤≤,∴112x ≤+≤,即12u ≤≤.故函数()H x 的值域为12[0,].18.(本小题满分12分)(Ⅰ)在ABC ∆中,若222c a b ab =++,求角C 的大小.(Ⅱ)对于(Ⅰ)中的角C ,函数2sin(2)y x C =+的图象按向量m 平移后,对应的函数为偶函数,求||m 取最小值时的向量m .解：(Ⅰ)∵222222cos c a b ab C a b ab =+-=++,∴12cos C =-.∵C 为三角形的内角,∴23C π=.(Ⅱ)232sin(2)y x π=+.设(,)m p q =,则按向量m 平移后得,232sin(22)y x p q π=-++.当此函数为偶函数时,有2322()p k k Z πππ-=+∈,∴122()k p k Z ππ=-∈.又||m 最小, ∴12,0p q π==,故12(,0)m π=.19.(本小题满分12分)某人居住在城镇的A 处,准备开车到单位B 处上班,若该地各路段发生堵车事件都是相互独立的,且在同一路段发生堵车事件最多只有一次,发生堵车事件的概率如图(例如 A C D →→算作两个路段：路段AC 发生堵车事件的概率为15,路段CD 发生堵车事件的概率为18). (Ⅰ)请你为其选择一条由A 到B 的最短路线(即此人只选择从西向东和从南向北的路线),使得途中发生堵车事件的概率最小；(Ⅱ)若记路线A C F B →→→中遇到堵车次数为随机变量ξ,求ξ的数学期望E ξ. 解：(Ⅰ)由A 到B 的最短路线有3条,即为：A C DB →→→,AC F B →→→,A E F B →→→. 47264583120()1P A C D B →→→=-⨯⨯=；43560546120()1P A C F B →→→=-⨯⨯=；195752106120()1P A C F B →→→=-⨯⨯=.故路线A C F B →→→发生堵车事件的概率最小.(Ⅱ)路线A C F B →→→中遇到堵车次数ξ可取值为0,1,2,3.43515462(0)P ξ==⨯⨯=；13541543147546546546120(1)P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；11513141112546546546120(2)P ξ==⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯=；1111546120(3)P ξ==⨯⨯=. 故147121372120120120600123E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=.20.(本小题满分12分)已知三棱锥P ABC -中,90,12,BAC BC P ∠=︒=在底面ABC 上的射影G 为ABC ∆的重心,且2PG =.(Ⅰ)求PA 与底面ABC 所成的角的大小；(Ⅱ)当二面角P BC A --的大小最小时,求三棱锥P ABC -的体积.解：(Ⅰ)如图,连AG 并延长交BC 于点D ,依题意知,PAG ∠就是PA 与底面ABC 所成的角,且D 为BC 的中点.∴126AD BC ==,234AG AD ==.在Rt AGP ∆中,12tan PG AGPAG ∠==,∴12arctan PAG ∠=,故PA 与底面ABC 所成的角AP CGDMA C DB F E12 110 14 15 181316 北西12arctan .(Ⅱ)过点G 作GM BC ⊥于M ,连PM ,则PM BC ⊥,∴PMG ∠为二面角P BC A --的平面角.在Rt ABC ∆中,斜边BC 上的高为12AB AC AB AC BC⋅⋅=,∴131236AB ACAB AC GM ⋅⋅=⋅=.在Rt PMG ∆中,22222727227227212tan 1AB ACPG GMAB ACBCPMG +⨯⨯⋅∠==≥===.∴二面角P BC A --的最小值为4π,当且仅当AB AC ==.∴111333224P ABC ABC V S PG -∆=⋅=⨯⨯=.21.(本小题满分12分) 已知椭圆2222:1(0)x y abC a b +=>>经过点(2,1)P ,离心率2e =,直线l 与椭圆C 交于,A B 两点(,A B 均异于点P ),且有0PA PB ⋅=. (Ⅰ)求椭圆C 的方程； (Ⅱ)求证：直线l 过定点. (Ⅰ)解：易知22411ab+=,2cae ==,222a b c =+,∴28a =,22b =,26c =.故方程为22821xy+=.(Ⅱ)证明：设l ：y kx m =+与椭圆C 的方程联立,消去y 得,222(14)8480k x kmx m +++-=. 设1122(,),(,)A x yB x y ,则22212128481414,km m kkx x x x -+++=-=.1122(2,1)(2,1)PA PB x y x y ⋅=--⋅--21212121212(2)(2)(1)(1)(2)(2)(1)(1)(1)x x y y x x kx m kx m k x x =--+--=--++-+-=++22222221248481414(2)()4(1)(1)(2)()4(1)m m kkkm k x x m k km k m --++--+++-=+⋅+--⋅-++-22222212165231216(53)(1)(653)(21)1414140k km m m k km m m k m k m kkk++--+++-+++-+++====,∴(653)(21)0k m k m +++-=.若6530k m ++=,则l ：6363555()k y kx k x +=-=--,∴直线l 过定点6355(,)-.若210k m +-=,则l ：21(2)1y kx k k x =-+=-+,∴直线l 过定点(2,1),即为P 点(舍去).若斜率k 不存在,易知65x =,符合题意. 综上,直线l 过定点6355(,)-.22.(本小题满分14分)已知函数32()f x x ax bx c =+++关于点(1,1)成中心对称,且(1)0f '=.(Ⅰ)求函数()f x 的表达式；(Ⅱ)设数列{}n a 满足条件：1(1,2)a ∈,1()n n a f a +=. 求证：12323412()(1)()(1)()(1)1n n n a a a a a a a a a ++--+--++--<.(Ⅰ)解：由题意,(1)(1)2f x f x ++-=,即()(2)2f x f x +-=,∴323(2)x ax bx c x ++++-2(2)(2)2a x b x c +-+-+=对一切实数x 恒成立.得3,3a b c =-+=,又由(1)0f '=得3b =,0c =.故函数()f x 的表达式为32()33f x x x x =-+.(Ⅱ)证明：321()33n n nn n a f a a a a +==-+,∴32311331(1)n n n n n a a a a a +-=-+-=-.令1n n b a =-,则101b <<,31n n b b +=,13311n n n b b b --===,∴101n n b b +<<<.故12323412()(1)()(1)()(1)n n n a a a a a a a a a ++--+--++--11112111()()1nnk k k k i i k n b b b b b b b b ++==++=-⋅<-=-<<∑∑.。