2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三(下)期中数学试卷(理科)-解析版

2019-2020学年湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校高三（下）期中数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1. 已知复数z 满足(3+4i)z =7+i ，则z 的共轭复数z −的虚部是( )A. iB. 1C. −1D. −i2. 已知全集为R ，集合A ={−2,−1,0，1，2}，B ={x|x−1x+2<0}，则A ∩(∁R B)的子集个数为( ) A. 2B. 3C. 4D. 83. 已知cos(π−α)=−35，则tan(3π2−α)值为( )A. 34 B. 43 C. ±43 D. ±344. 若0<x <y <1，1<b <a ，则下列各式中一定正确的是( )A. a x <b yB. a x >b yC.lnx b<lny aD.lnx b>lny a5. 5400的正约数有( )个A. 48B. 46C. 36D. 386. 记S n 为递增等差数列{a n }的前n 项和，若数列{Sn a n}也为等差数列，则S3a 3等于( )A. 3B. 2C. 32D. 17. 已知在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,3)，C(3,0)，O(0,0)，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R)，|CD ⃗⃗⃗⃗⃗ |=1，|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |的最小值为( ) A. 2√2−1 B. √2−1 C. 3√2−1 D. 2√2+18. 定长为10的线段AB 的两个端点在抛物线y 2=8x 上移动，P 为线段AB 的中点，则P 点到y 轴的最短距离为( ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 59. 设y =f(x)是定义在R 上以1为周期的函数，若g(x)=f(x)+2x 在区间[1,2]上的值域为[−1,5]，则函数g(x)在[−2020,2020]上的值域为( ) A. [−2,6] B. [−4043,4040] C. [−4042,4041] D. [−4043,4041] 10. 若抛物线y 2=12x 与圆x 2+y 2−2ax +a 2−1=0有且只有两个不同的公共点，则实数a 的取值范围为( )A. a <178 B. a =178C. −1<a <1D. −1<a <1或a =17811. 已知实数a ，b ，c ，d 满足|b −lna a|+|c −d +2|=0，则(a −c)2+(b −d)2的最小值为( )A. 4B. 92C. 32√2D. 212. 已知x 0是方程2x 2e 2x +lnx =0的实根，则关于实数x 0的判断全是错误的是( )①x 0<1②x 0≥ln2③2x 0+lnx 0=0④2e x 0+lnx 0=0A. ①②B. ②③C. ①②④D. ①③④二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.已知向量a⃗，b⃗ 不共线，若(λa⃗+b⃗ )//(a⃗−2b⃗ )，则λ=______．14.中国排球超级联赛争冠总决赛采用七场四胜制，即若有一队先胜四场，则此队为总冠军，比赛就此结束．现甲、乙两支球队进行总决赛，因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为12.据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入500万元，以后每场比赛门票收入比上一场增加100万元．则总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率是______．15.2019年1月1日起新的个人所得税法开始实施，依据《中华人民共和国个人所得税法》可知纳税人实际取得工资、薪金(扣除专项、专项附加及依法确定的其他)所得不超过5000元(俗称“起征点”)的部分不征税，超出5000元部分为全月纳税所得额．新的税率表如表：个人所得税专项附加扣除是指个人所得税法规定的子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息、住房租金和赡养老人等六项专项附加扣除．其中赡养老人一项指纳税人赡养60岁(含)以上父母及其他法定赡养人的赡养支出，可按照以下标准扣除：纳税人为独生子女的，按照每月2000元的标准定额扣除；纳税人为非独生子女的，由其与兄弟姐妹分摊每月2000元的扣除额度，每人分摊的额度不能超过每月1000元．某纳税人只有一个姐姐，且两人仅符合规定中的赡养老人的条件，如果他在2020年5月份应缴纳个人所得税款为180元，那么他当月的工资、薪金税后所得是______元．16.在三棱锥S−ABC中，底面△ABC是边长为3的等边三角形，SA=√3，SB=2√3，二面角S−AB−C的大小为60°，则此三棱锥的外接球的表面积为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.已知f(x)=sin2x4−2cos2x4+√3sin x4cos x4，x∈R．(1)求函数y=f(x)的单调减区间；(2)△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知f(B)=−12，b=√3，求△ABC 周长的取值范围．18.如图1，在等边△ABC中，点D、E分别为边AB、AC上的动点且满足DE//BC，记DEBC=λ.将△ADE沿DE翻折到△MDE的位置并使得平面MDE⊥平面DECB，连接MB，MC得到图2，点N为MC的中点．(1)当EN//平面MBD时，求λ的值；(2)试探究：随着λ值的变化，二面角B−MD−E的正切值是否改变，如果是，请说明理由，如果不是，请求出二面角B−MD−E的正切值大小．19.记椭圆C：x2a2+y2b2=1 (a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，过F1的动直线l与椭圆C交于A，B两点，已知△F2AB的周长为8且点P(1,32)在椭圆C上．(1)求椭圆C的标准方程；(2)请问：x轴上是否存在定点M使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，若存在，求出点M 的坐标，若不存在，请说明理由．20.某种大型医疗检查机器生产商，对一次性购买2台机器的客户，推出两种超过质保期后两年内的延保维修优惠方案：方案一：交纳延保金8600元，在延保的两年内可免费维修3次，超过3次后的每次收取维修费a元；方案二：交纳延保金10000元，在延保的两年内可免费维修4次，超过4次后的每次收取维修费1000元．某医院准备一次性购买2台这种机器．现需决策在购买机器时应购买哪种延保方案，100以这台机器维修次数的频率代替台机器维修次数发生的概率．记X表示这2台机器超过质保期后延保的两年内共需维修的次数且P(X=0)=0.01．(1)求实数m，n的值；(2)求X的分布列；(3)以所需延保金及维修费用之和的期望值为决策依据，该医院选择哪种延保方案更合算？21.已知f(x)=m⋅e2x−2x(x+1)⋅e x，其中e为自然对数的底数，且函数f(x)恰有两个极值点x1，x2．(1)求实数m的取值范围；(2)求证：3<x1x2−(x1+x2)<8．22.在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为{x=√2(sinα−cosα)y=√22(sinα+cosα)(α为参数).以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为ρcosθ+ 2ρsinθ+m=0．(1)求曲线C和直线l的直角坐标方程；(2)若曲线C上的点到直线l距离的最大值为4√105，求实数m的值．23.已知函数f(x)=|2x−1|+|x−52|．(1)求不等式f(x)≤192的解集；(2)记函数f(x)的最小值为M，若三个正数a，b，c满足a+b+c=M，求1a +1b+1c的最小值．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵复数z满足(3+4i)z=7+i，∴z=7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=21+3i−28i−4i29−16i2=1−i．∴z−=1+i，则z的共轭复数z−的虚部为1．故选：B．求出z=7+i3+4i =(7+i)(3−4i)(3+4i)(3−4i)=1−i.从而z−=1+i，由此能求出z的共轭复数z−的虚部．本题考查复数的代数形式的乘除运算法则、共轭复数的概率等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】D【解析】解：∵全集为R，集合A={−2,−1,0，1，2}，B={x|x−1x+2<0}={x|−2<x<1}，∴C R B={x|x≤−2或x≥1}，则A∩(∁R B)={−2,1，2}，∴A∩(∁R B)的子集个数为23=8．故选：D．求出集合A，B，进而求出C R B，A∩(∁R B)={−2,1，2}，由此能求出A∩(∁R B)的子集个数．本题考查交集、补集的子集个数的求法，考查交集、补集的运算等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3.【答案】D【解析】解：∵cos(π−α)=−35，∴cosα=35，∴sinα=±√1−cos2α=±45，∴tan(3π2−α)=cotα=cosαsinα=±34．故选：D．由已知利用诱导公式可得cosα=35，利用同角三角函数基本关系式可求sinα的值，利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可求解．本题主要考查了诱导公式，同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．4.【答案】C【解析】解：y=a x(a>1)在R递增，∵0<x<y<1，1<b<a，∴b x<a x<a y，b x<b y<a y，∴a x与b y不能确定大小，故选项AB错误．∵0<x <y <1，1<b <a ， ∴1b >1a>0，lnx <lny <0，∴−lnx >−lny >0，∴−lnx b>−lny a，∴lnx b<lny a，故选项D 错误．故选：C ．直接利用不等式的性质和函数的单调性的应用，即可得到正确选项．本题考查的知识要点：函数的性质的应用，不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力，属于基础题型． 5.【答案】A【解析】解：根据题意，5400=2×2×2×3×3×3×5×5=23×33×52， 其中23的约数有1、2、22、23，共4个； 33的约数有1、3、32、33，共4个； 52的约数有1、5、52，共3个；则5400的正约数有4×4×3=48个； 故选：A ．根据题意，将5400分解可得5400=23×33×52，进而分析23、33、52的约数的数目，由分步计数原理计算可得答案．本题考查排列组合的应用，注意题目问题的转化，属于基础题． 6.【答案】B【解析】解：S n 为递增等差数列{a n }的前n 项和，若数列{Sna n}也为等差数列，∴2S 2a 2=S 1a 1+S 3a 3，∴2(2a 1+d)a 1+d=1+3a 1+3d a 1+2d，整理可得，a 1=d ，则S3a 3=3a 1+3d a 1+2d=6d 3d=2．故选：B ．由已知结合等差数列的性质及等差数列的求和公式和通项公式即可求解．本题主要考查了等差数列的性质及通项公式及求和公式的应用是，属于基础试题． 7.【答案】C【解析】解：在平面直角坐标系中，A(−3,0)，B(0,3)，C(3,0)，O(0,0)，OQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =m OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +(1−m)OB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (m ∈R) 所以：点Q 是直线AB ：x −y +3=0上的点．|OQ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ −OD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |=|DQ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ |，即求点D 到点Q 的距离的最小值． 点D 是以(3,0)为圆心，1为半径的圆上的点．那么点D 到点Q 的最小距离，就可以看成圆C 上的点到直线AB 的最小值， 即圆心到直线AB 的距离减去半径，即为√21=3√2−1．故选：C ．直接利用向量的线性运算的应用和点到直线的距离公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的线性运算的应用，点到直线的距离公式的应用，向量的坐标运算的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题型．8.【答案】B【解析】解：抛物线y2=8x的焦点F(2,0)，准线为x=−2，可得|AF|+|BF|≥|AB|=10，设A，B的横坐标分别为x1，x2，可得|AF|=x1+2，|BF|=x2+2，由P为线段AB的中点，可得x P+2=12(x1+x2+4)=12(|AF|+|BF|)≥12|AB|=5，则x P≥3，当A，F，P三点共线时，取得等号．可得P点到y轴的最短距离为3．故选：B．求得抛物线的焦点和准线方程，设A，B的横坐标分别为x1，x2，运用抛物线的定义和梯形的中位线定理，结合三点共线时取得最值的性质，可得所求最短距离．本题考查抛物线的定义、方程和性质，考查三点共线的最值性质，以及梯形的中位线定理的运用，考查运算能力和推理能力，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：根据题意，g(x)=f(x)+2x在区间[1,2]上的值域为[−1,5]，设g(x0)=−1，g(x1)=5，x0，x1∈[1,2]，则g(x0)=f(x0)+2x0=−1，则g(x1)= f(x1)+2x1=5，又由y=f(x)是定义在R上以1为周期的函数，则g(x0+n)=f(x0+n)+2(x0+n)=f(x0)+2x0+2n=−1+2n，同理g(x1+n)= 5+2n，在区间[−2020,2020]上，g(x)的最小值是−1+(−2021)×2=−4043，最大值为5+ (2018)×2=4041，故函数g(x)在[−2020,2020]上的值域为[−4043,4041]；故选：D．根据题意，由函数g(x)在[1,2]上的值域，设g(x0)=−1，g(x1)=5，x0，x1∈[1,2]，即可得g(x0)=f(x0)+2x0=−1，则g(x1)=f(x1)+2x1=5，结合函数f(x)的周期性可得g(x0+n)=−1+2n以及g(x1+n)=5+2n，据此分析可得答案．本题考查函数的值域计算，涉及函数周期性的性质以及应用，属于综合题．10.【答案】D【解析】解：将圆x2+y2−2ax+a2−1=0化为标准方程为(x−a)2+y2=1，是以(a,0)为圆心，1为半径的圆．如图所示，是抛物线y2=12x与单位圆x2+y2=1构成的图形，当圆心(a,0)在−1和1之间运动，即−1<a<1时，符合题意；另外，当抛物线与圆相切时，由对称性可知，也存在两个不同的交点，联立y2=12x与x2+y2−2ax+a2−1=0，得x2+(12−2a)x+a2−1=0，所以△=(12−2a)2−4(a2−1)=0，解得a=178，综上所述，实数a的取值范围是−1<a<1或a=178，故选：D．先将圆化为标准方程为(x−a)2+y2=1，是以(a,0)为圆心，1为半径的圆，再作出抛物线y2=12x与单位圆x2+y2=1构成的图形，结合图形分析圆心所在的位置可得−1<a<1；联立抛物线与圆的方程，利用判别式△=0可得a=178，故可得解．本题考查圆与抛物线的交点个数问题，考查学生的数形结合能力和运算能力，属于中档题．11.【答案】B【解析】解：由题意，可得b=lnaa ，c−d+2=0，构造函数y=lnxx和y=x+2，故(a−c)2+(b−d)2就是曲线y=f(x)=lnxx上的点到直线x−y+2=0上点的距离的平方，∵f′(x)=1−lnxx2，x>0，易得，当0<x<e时，f′(x)>0，函数单调递增，当x>e时，f′(x)<0，函数单调递减，设与x−y+2=0平行且与曲线y=f(x)相切的直线为x−y+m=0，则f′(x0)=1−lnx0x02=1，∴x0=1，∴切点为(1,0)∴切点与x−y+2=0的距离d=√2，故(a−c)2+(b−d)2的最小值为92．故选：B．由题意，可得b=lnaa ，c−d+2=0，构造函数y=lnxx和y=x+2，则(a−c)2+(b−d)2表示曲线y=f(x)=lnxx上的点到直线x−y+2=0上点的距离的平方，然后利用导数求出切点，再求出(a −c)2+(b −d)2的最小值． 本题主要考查了导数在求解函数最值中的应用，解题时要注意点到直线的距离公式的合理应用． 12.【答案】C【解析】解：设g(x)=2x 2e 2x +lnx ，(x >0)， 则函数g(x)在(0,+∞)上为增函数，由2x 2e 2x +lnx =0得2x 2e 2x =−lnx ，得2xe 2x =−lnx x，设f(x)=xe x ，则f(2x)=2xe 2x ，f(−lnx)=−lnxe −lnx =−lnx x，即方程2xe 2x =−lnx x等价为f(2x)=f(−lnx)∵x 0是方程2x 2e 2x +lnx =0的实根，∴2x 02e 2x 0=−lnx 0，即f(2x 0)=f(−lnx 0)，∵f′(x)=(x +1)e x >0，∴f(x)在(0,+∞)上是增函数，∴2x 0=−lnx 0，即2x 0+lnx 0=0，故③正确，则④不正确，设ℎ(x)=2x +lnx ，则ℎ(x)在(0,+∞)上为增函数，则ℎ(1e )=2e +ln 1e =2e −1<0， ∴x 0>1e ，故①错误，ℎ(12)=2×12+ln 12=1−ln2>0，即x 0<12，∵ln2>ln √e =12，∴x 0≥ln2错误，故②错误， 故错误的有：①②④．故选：C ．根据函数与方程之间的关系，转化为得2xe 2x =−lnx x，构造函数f(x)=xe x ，结合函数f(x)的单调性求出2x 0+lnx 0=0，然后构造函数ℎ(x)=2x +lnx ，结合函数的单调性和根的存在性定理进行判断即可．本题主要考查命题的真假判断，根据条件结合函数与方程的关系进行转化，构造函数，利用函数的单调性建立方程得到(2x 0)=f(−lnx 0)，是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度． 13.【答案】±1【解析】解：∵(λa ⃗ +b ⃗ )//(a ⃗ −2b ⃗ )⇒存在实数k ，使得λa ⃗ +b ⃗ =k(a ⃗ −2b ⃗ )；∴(λ−k)a ⃗ +(1−λk)b ⃗ =0⃗ ； ∵向量a ⃗ ，b ⃗ 不共线，∴λ−k =0且1−λk =0； 故λ=k =±1； 故答案为：±1．利用向量共线的充要条件得到等式，再利用平面向量基本定理，列出方程组求解． 本题考查两向量反向的充要条件及平面向量基本定理．14.【答案】516【解析】解：设总决赛一共进行n 场，∵总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元，∴S n =500n +n(n−1)2×100=4500，整理得n 2+9n −90=0， 解得n =6或n =−15(舍)， ∴总决赛一共举行6场比赛，∴前5场比赛为2：3，第6场比赛领先队胜，∴总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率为：P =C 53(12)3(12)2(12)+C 52(12)2(12)3(12)=516．故答案为：516．由总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元，得到总决赛一共举行6场比赛，从而前5场比赛为2：3，第6场比赛领先队胜，由此能求出总决赛中获得门票总收入恰好为4500万元的概率．本题考查概率的求法，考查n 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题． 15.【答案】9720【解析】解：当工资、薪金为8000元时，缴纳税款3000×3%=90(元)； 当工资、薪金为17000元时，缴纳税款3000×3%+9000×10%=990(元)， 所以他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −8000−1000)×10%=180，解得：x =9900，所以税后所得为9900−180=9720(元)， 故答案为：9720．利用分段函数先判断他的工资、薪金在8000−17000元之间，设工资、薪金为x 元，则3000×3%+(x −8000−1000)×10%=180，解出x 的值即可． 本题主要考查了函数的实际运用，是基础题． 16.【答案】21π【解析】解：由题意得SA 2+AB 2=SB 2，得到SA ⊥AB ，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，得到∠CDM 为S −AB −C 的二面角的平面角，得到∠MDC =60°，设三角形ABC 的外心为O′，则CO′=√3=BO′，DO′=√32， 球心为过M 的ABS 的垂线与过O′的ABC 的垂线的交点，在四边形MDOO′中，OO′=32，所以R 2=OO′2+O′B 2=94+3=214，所以球的表面积为4πR 2=21π． 故答案为：21π．由题意得SA 2+AB 2=SB 2，得到SA ⊥AB ，取AB 中点为D ，SB 中点为M ，可得∠CDM 为S −AB −C 的二面角的平面角，得到∠MDC =60°，设三角形ABC 的外心为O′，则CO′=√3=BO′，DO′=√32，找出球心位置，进一步计算半径以及表面积． 本题考查了几何体的外接球表面积的求法；关键是正确找出球心的位置，通过勾股定理计算半径，求得表面积．17.【答案】解：(1)f(x)=sin 2x 4−2cos 2x 4+√3sin x 4cos x4，x ∈R ．=1−cos x 22−(1+cos x 2)+√32sin x 2 =√32sin x 2−32cos x 2−12 =√3(1sin x −√3cos x )−1=√3sin(x2−π3)−12， 由2kπ+π2≤x2−π3≤2kπ+3π2，(k ∈Z) 可得4kπ+5π3≤x ≤4kπ+11π3，(k ∈Z)所以f(x)的单调减区间为[4kπ+5π3,4kπ+11π3]，(k ∈Z)，(2)由(1)可知：f(x)=√3sin(x2−π3)−12， 因为f(B)=−12，所以√3sin(B2−π3)−12=−12， sin(B2−π3)=0， 因为0<B <π， 所以−π3<B2−π3<π6， 所以B2−π3=0， 所以B =2π3，又b =√3，由余弦定理b 2=a 2+c 2−2accosB 可得，3=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac (a +c)2−3=ac ≤(a+c 2)2，当且仅当a =c 时，等号成立，所以(a +c)2≤4， 即a +c ≤2， 又a +c >b ，所以√3<a +c ≤2，所以△ABC 周长a +b +c 的取值范围为(2√3,2+√3].【解析】(1)f(x)=√3sin(x2−π3)−12，由2kπ+π2≤x2−π3≤2kπ+3π2，(k ∈Z)，解得x的取值范围，即可得出答案．(2)由(1)可知：f(x)=√3sin(x2−π3)−12，因为f(B)=−12，解得B =2π3，又b =√3，由余弦定理可得，3=a 2+c 2+ac =(a +c)2−ac ，即(a +c)2−3=ac ≤(a+c 2)2，当且仅当a =c 时，等号成立，得a +c ≤2，进而得△ABC 周长a +b +c 的取值范围．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．属于中档题． 18.【答案】解：(1)取MB 的中点P ，连接DP ，PN ，∵N 为MC 的中点，P 为MB 的中点，∴PN//BC ，而DE//BC ，∴PN//DE ，则四边形NEDP 为平面四边形， 又∵EN//平面MBD ，EN ⊂平面NEDP ，平面NEDP ∩平面MBD =DP ，∴EN//DP ，即四边形NEDP 为平行四边形， ∴NP//DE 且NP =DE ，即DE =12BC ， ∴λ=12；(2)取DE 的中点O ，∵平面MDE ⊥平面DECB ，且MO ⊥DE ， ∴MO ⊥平面DECB ．如图所示，建立空间直角坐标系O −xyz ，不妨设BC =2． 则M(0,0，√3λ)，D(λ,0，0)，B(1,√3(1−λ),0)， MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(λ,0,−√3λ)，DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ,√3(1−λ),0)， 设平面BMD 的一个法向量为m⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则 {m ⃗⃗⃗ ⋅MD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =λx −√3λz =0m⃗⃗⃗ ⋅DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =(1−λ)x +√3(1−λ)y =0，取z =1，得m ⃗⃗⃗ =(√3,−1,1)．又平面EMD 的一个法向量为n ⃗ =(0,1,0)． ∴cos <m ⃗⃗⃗ ，n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ |⋅|n ⃗⃗ |=−1√5=−√55． 即二面角B −MD −E 的大小与λ无关．又二面角B −MD −E 为钝二面角，则二面角B −MD −E 的余弦值为−√55，正弦值为2√55，正切值为−2．【解析】(1)取MB 的中点P ，连接DP ，PN ，证明四边形NEDP 为平面四边形，再由EN//平面MBD ，可得EN//DP ，即四边形NEDP 为平行四边形，从而得到λ值；(2)取DE 的中点O ，由平面MDE ⊥平面DECB ，且MO ⊥DE ，可得MO ⊥平面DECB ，建立空间直角坐标系O −xyz ，不妨设BC =2，分别求出平面BMD 的一个法向量与平面EMD 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值为定值，可知二面角B −MD −E 的大小与λ无关，进一步求其正切值．本题考查直线与平面平行的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用空间向量求解空间角，是中档题．19.【答案】解：(1)由△F 2AB 的周长为8，得4a =8，即a =2． 由点P(1,32)在椭圆C 上，∴1a 2+94b 2=1，即b =√3． ∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1；(2)由椭圆C 的方程，可得c =1，则F 1 (−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立{y=k(x+1)x24+y23=1，得(3+4k2)x2+8k2x+4k2−12=0．设A(x1,y1)，B(x2,y2)，则x1+x2=−8k23+4k2，x1x2=4k2−123+4k2．设x轴上存在定点M(m,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立，则k MA+k MB=y1x1−m +y2x2−m=0，即y1(x2−m)+y2(x1−m)(x1−m)(x2−m)=0，即y1x2−my1+x1y2−my2=0．∴k[2x1x2+(1−m)(x1+x2)−2m]=0．∴k[8(k2−3)3+4k2−8(1−m)k23+4k2−2m]=0，整理得：k⋅−24−6m3+4k2=0，则m=−4．∴x轴上存在定点M(−4,0)，使得∠F1MA=∠F1MB恒成立．【解析】(1)由三角形周长求得a，把点P的坐标代入椭圆方程求得b值，则椭圆方程可求；(2)由椭圆C的方程，可得F1(−1,0)，当直线l的斜率不存在时，x轴上任何一点M都满足∠F1MA=∠F1MB；当直线l的斜率存在时，设直线方程为y=k(x+1)，联立直线方程与椭圆方程，利用根与系数的关系结合k MA+k MB=y1x1−m +y2x2−m=0求得m值．本题考查椭圆方程的求法，考查直线与椭圆位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．20.【答案】解：(1)由P(X=0)=m100×m100=0.01，得m=10，再由m+10+40+n=100，得n=40；(2)根据题意，随机变量X的所有取值为0，1，2，3，4，5，6．∵以这100台机器维修次数的频率代替一台机器维修次数发生的概率．∴P(X=0)=0.1×0.1=0.01，P(X=1)=2×0.1×0.1=0.02，P(X=2)=0.1×0.1+2×0.1×0.4=0.09，P(X=3)=2×0.1×0.4+2×0.1×0.4=0.16，P(X=4)=0.4×0.4+2×0.1×0.4=0.24，P(X=5)=2×0.4×0.4=0.32，P(X= 6)=0.4×0.4=0.16．n若采用方案一，则随机变量Y的分布列为：1的期望为：10.28+(8600+a)×0.24+(8600+2a)×0.32+(8600+3a)×0.16=8600+1.36a元．若采用方案二，则随机变量Y2的分布列为：随机变量2的期望为：E(Y 2)=10000×0.52+11000×0.32+12000×0.16=10640元． 令8600+1.36a =10640，得a =1500元，①若a <1500，则方案2的费用高，应选择方案一．②若a =1500，则两种方案费用一样多，可以任选一个方案． ③若a >1500，则方案一的费用高，应选择方案二．【解析】(1)由P(X =0)=0.01求得m ，再由和为100求得n 值；(2)X 所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6，分别求出相应的概率，由此能求出X 的分布列；(3)选择延保方案一，求出所需费用Y 1元的分布列和数学期望，选择延保方案二，求出所需费用Y 2元的分布列和数学期望，然后对a 分类讨论可得该医院选择哪种延保方案更合算．本题考查随机变量的分布列与期望，考查计算能力，正确理解题意是关键，是中档题．21.【答案】解：(1)由题意知，f′(x)=2me 2x −2(x 2+3x +1)e x =2e 2x (m −x2+3x+1e x)，令g(x)=x 2+3x+1e x，则g′(x)=(2x+3)e x −(x 2+3x+1)e x(e x )2=−x 2−x+2e x=−(x+2)(x−1)e x，令g′(x)>0，则−2<x <1；令g′(x)<0，则x <−2或x >1，∴函数g(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减， ∵函数f(x)恰有两个极值点， ∴f′(x)有两个不同的变号零点，又当x →−∞时，g(x)→+∞，g(−2)=−e 2,g(1)=5e ，当x →+∞时，g(x)→0， ∴−e 2<m ≤0； (2)证明：g(x)=0，则x =−3±√52，不妨设x 1<x 2，由(1)知，−3−√52≤x 1<−2<x 2≤−3+√52，令ℎ(x)=g(x)−g(−4−x),−2<x ≤−3+√52，则ℎ′(x)=g′(x)+g′(−4−x)=−(x+2)(x−1)e x+−(−2−x)(−5−x)e −4−x，即ℎ′(x)=−(x +2)[(x −1)e −x +(x +5)e x+4]<−(x +2)[(x −1)e x+4+(x +5)e x+4]=−2(x +2)2e x+4<0， ∴y =ℎ(x)在(−2,−3+√52]上单调递减，当x ∈(−2,−3+√52]时，有ℎ(x)<ℎ(−2)=0，即g(x)<g(−4−x)，令x =x 2，则g(x 2)<g(−4−x 2)， 又∵g(x 2)=g(x 1)， ∴g(x 1)<g(−4−x 2)，∵x 1，4−x 2∈(−∞,2)，且y =g(x)在(−∞,2)上单调递减， ∴x 1>−4−x 2，即x 1+x 2>−4， ∴0<x 1x 2<[(−x 1)+(−x 2)2]2<4，由(1)知，me x 1=x 12+3x 1+1,me x 2=x 22+3x 2+1，两式相减得，m(e x 2−e x 1)=x 22−x 12+3x 2−3x 1=(x 2−x 1)(x 2+x 1+3)，∴x 2+x 1+3=m(e x 2−e x 1)x 2−x 1≤0，即x 2+x 1≤−3，∴3<x 1x 2−(x 1+x 2)<8．【解析】(1)求导，并令g(x)=x 2+3x+1e x，利用导数可知函数g(x)在(−∞,−2)单调递减，在(−2,1)单调递增，在(1,+∞)单调递减，结合题意可知−e 2<m ≤0；(2)由(1)可知−3−√52≤x 1<−2<x 2≤−3+√52，构造函数ℎ(x)=g(x)−g(−4−x),−2<x ≤−3+√52，求导后可知y =ℎ(x)在(−2,−3+√52]上单调递减，则可得x 1+x 2>−4，进而得到0<x 1x 2<[(−x 1)+(−x 2)2]2<4，而me x 1=x 12+3x 1+1,me x 2=x 22+3x 2+1，两式相减可得到x 2+x 1≤−3，进而得证．本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查运算求解能力，逻辑推理能力，属于难题．22.【答案】解：(1)曲线C 的参数方程为{x =√2(sinα−cosα)y =√22(sinα+cosα)(α为参数)，两式平方得x 24+y 2=1：直线l 的极坐标方程为ρcosθ+2ρsinθ+m =0，根据{x =ρcosθy =ρsinθx 2+y 2=ρ2整理得：x +2y +m =0．(2)设曲线C 上的任一点的坐标P(2cosθ,sinθ)，所以点P 到直线x +2y +m =0的距离d =|2√2sin(θ+π4)−m|√12+22，①当m >0时，d max =√2+m|√5=4√105解得：m =2√2 ②m <0时，d max =√2−m|5=4√105，解得：m =−6√2．故：m 的值为2√2或−6√2．【解析】(1)直接利用转换关系，对参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间转换求出结果．(2)利用点到直线的距离公式的应用和三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．本题考查的知识要点：参数方程极坐标方程和直角坐标方程之间的转换，点到直线的距离公式的应用，三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．23.【答案】解：(1)f(x)=|2x −1|+|x −52|={−3x +72,x <12x +32,12≤x ≤523x −72,x >52．当x<12时，不等式f(x)≤192化为−3x+72≤192，解得x≥−2，∴−2≤x<12；当12≤x≤52时，不等式f(x)≤192化为x+32≤192，解得x≤8，∴12≤x≤52；当x>52时，不等式f(x)≤192化为3x−72≤192，解得x≤13，∴52<x≤13．∴不等式f(x)≤192的解集为[−2,13]；(2)作出f(x)的图象如图：由图可知，f(x)的最小值为M=2，则a+b+c=2，又a，b，c均为正数，∴1a+1b+1c=12(a+b+ca+a+b+cb+a+b+cc)=12[3+(ba+ab)+(ca+ac)+(cb+bc)]≥12(3+2√ba⋅ab+2√ca⋅ac+2√cb⋅bc)=92．当且仅当a=b=c时上式取等号．∴1a +1b+1c的最小值为92．【解析】(1)写出分段函数解析式，然后分类求解，取并集得答案；(2)画出分段函数图象，求出f(x)的最小值，然后利用基本不等式求最值．本题考查绝对值不等式的解法，考查分类讨论的数学思想方法，训练了利用基本不等式求最值，是中档题．。