线性空间的定义与性质
线性空间与线性变换
线性空间与线性变换
线性空间是线性代数的一个重要概念，扮演着理解线性变换的基础
角色。本文将介绍线性空间的定义、性质以及线性变换的概念和特性。
一、线性空间的定义与性质
线性空间，也被称为向量空间，是指一个集合，其中包含一些向量，满足特定的性质。具体而言，线性空间需要满足以下几个条件：
1. 封闭性：对于线性空间中的任意两个向量，它们的线性组合也属
于该空间。即，如果向量a和向量b属于线性空间V，那么对于任意标量α和β，αa + βb也属于V。
2. 加法封闭性：线性空间中的向量满足加法封闭性，即对于任意的
向量a和b，它们的和a + b也属于该空间。
3. 数乘封闭性：线性空间中的向量满足数乘封闭性，即对于任意的
向量a和标量α，它们的积αa也属于该空间。
4. 满足加法和数乘的运算性质：线性空间中的向量满足加法和数乘
的交换律、结合律和分配律。
线性空间的性质还包括零向量、负向量和线性相关性。零向量表示
线性空间中存在一个使其与任何向量相加得到自身的向量，负向量表
示线性空间中的向量存在一个加法逆元。线性相关性指的是线性空间
中存在一组向量线性组合为零向量的关系。
二、线性变换的定义和性质
线性变换是指在两个线性空间之间的映射，它保持了向量空间中的线性结构。具体而言，线性变换需要满足以下几个条件：
1. 保持加法运算：对于线性变换T，对任意的向量a和b，有T(a +
b) = T(a) + T(b)。
2. 保持数乘运算：对于线性变换T和标量α，有T(αa) = αT(a)。
线性变换的性质还包括零变换、恒等变换和可逆性。零变换表示线性变换将所有向量映射为零向量。恒等变换表示线性变换将每个向量映射为其本身。可逆性表示存在一个逆变换，使得两个线性变换进行复合后得到恒等变换。
线性空间的定义与性质(精)
与数量乘法封闭，易验证 8 条算律成立
C [a, b] 是数域 R 上的线性空间。
→
C [a, b] 是实变函数论研究的对象.
例4 （1）数域P是P上的线性空间； （2）数域C是R上的线性空间； （3）数域R非C上的线性空间.
证明：(2) , C, k R C, k C , 即 C 对向量加法， 数量乘法（数的乘法）封闭. 易验证 8 条算律成立 → 性空间. (3) R, k C k 不一定属于 R (例如： 1, k 1 i , 有
（统称为运算封闭性） ，且满足算律： ① ② ③ ④
＋ ＋ ；
(＋ )＋ ＋( ＋ ) ；
⑤ ⑥ ⑦ ⑧
(ab)α a(bα) ；
1 ；
0 V , V , 0 ；
V , / V , / 0 ；
二. 基本性质
8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个运算、8 条算律为基础推导其它基本性质. 以下6条基本性质：
1. V 中零向量唯一.
算律 3) 证明： 设 0 1，0 2 是 V 中零向量
0 2＝0 2＋0 1＝0 1＋0 2＝0 1 . □
该性质是可以用 0 表示 V 中零向量的理论依据.
向量). 5.
k 0 k 0 或 0 .
§7.1 线性空间的定义与性质
（4）方程 x 在线性空间内有且只有
一个解 x
（5）0 0 （左边0是数，右边0表示零元素）
（6）0 0 （其中0是指零元素）
（7） பைடு நூலகம்
（8）若 0 ，则有 0 或 0 下面仅证明（6）和（8）
第七章 线性空间
线性空间是某一类事物从量方面的一个抽象， 线性变换是反映线性空间中元素间最基本的线性 联系。线性代数就是研究线性空间与线性变换的 理论学科。本章主要是用之前相关的知识去研究 线性空间与线性变换。这章将讨论两个问题： （1）线性空间的概念、基与维数、向量的坐标； （2）线性变换的概念和矩阵表示。
第七章 线性空间
§7.1 线性空间的定义与性质
定义1 设 V 为一个非空集合，R 为实数域， 对在集合 V 和实数域 R 上定义的加法和数 乘两种运算满足下列规则就称为 V （实数域 R 上的）线性空间或向量空间。
首先，对于称为加法和数乘的两种运算各自
满足封闭性，即对任意两个元素 , V 则 V 。又对任一数 V 与任一元素 V ，则 V
其次，对这两种运算满足8条运算规律（设
, , V ,, R ）
①
②
③ 在 V 中存在零元素 0 ，对任何 V ， 都有 0
④ 对任何 V ，都有 的负元素 V
§6-2线性空间的定义和性质(精)
§6-2线性空间的定义和性质
一、定义：设V 是一个非空集合，P 是一个数域
1、 在V 中定义一种加法运算，使对于V 中任意两个元βα,都有V 中唯一的元γ与之对应，称为α与β的和，记作βαγ+=，加法满足：
① α+β=β+α；
② α+（β+γ）=（α+β）+γ；
③ V 中有一个元素θ，使对V 中任一元α，都有α+θ=α（θ叫做零元）； ④ 对于V 中每一个元α，都有V 中元β存在，使α+β=θ（β叫做α的负元）；
2、 在P 中的数与V 中的元之间定义一种数量乘法运算，使P k ∈∀及V ∈∀α都有V 中唯
一的元δ 与之对应，记作αδk =，且满足：
⑤αα=∙1;
⑥()()ααkl l k =;
⑦()αααl k l k +=+;
⑧()βαβαk k k +=+;
满足以上运算的V ，称为数域P 上的线性空间。
例1 ：数域P 上的一元多项式环[]x P ，按通常的多项式加法和数与多项式的乘法，构成一个数域P 上的线性空间。如果只考虑其中次数小于n 的多项式，再添上零多项式也构成数域P 上的一个线性空间，用[]n x P 表示。
例2：元素属于数域P 的n m ⨯矩阵，按矩阵的加法和矩阵与数的乘法，构成数域P 上的一个线性空间，用n m P ⨯表示。
例3： C[a,b]关于函数的加法和数与函数的乘法来说作成实数域R 上的向量空间。
)()()(x af x g x f +
例4： R 为实数域，V 为全体正实数组成的集合，定义V 中两个元素的加法运算⊕为：
V b a ab b a ∈=⊕,,
定义V 中元素与R 中元素的数乘运算“ ”为
线性空间的定义与性质
= akbk = kakb; (8) (k+l)a = ak+l = ak al = ak al = ka l a . 所以, R+对所定义的运算构成线性空间.
例7: n元实有序数组组成的全体 Sn={ x=(x1, x2,···, xn)T| x1, x2,···, xnR }
多项式加法, 数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运 算的封闭性. 实际上
对p(x)=a0+a1x+···+anxn Q[x]n, 0R,
0 p(x)=0(a0+a1x+···+anxn) = 0+0x+···+0xn = 0Q[x]n. 所以Q[x]n对线性运算不封闭. 例4: 正弦函数的集合
S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法Βιβλιοθήκη Baidu成线性空间.
任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +.
若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算), 记作 = .
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间):
线性空间与线性映射的基本理论
线性空间与线性映射的基本理论线性空间是数学中一种重要的结构，广泛应用于线性代数、函数分析等领域。线性映射作为线性空间之间的一种变换方式，对于研究线性空间的性质及其应用有着重要的作用。本文将介绍线性空间与线性映射的基本理论，包括定义、性质以及相关定理的证明。
一、线性空间的定义与性质
线性空间是指一个具有加法运算和数乘运算的集合，且满足一定的公理。设V为一个集合，如果满足以下条件：
1. 加法运算：对于任意的u、v∈V，存在一个元素u+v∈V，使得加法对于V中元素的操作满足交换律、结合律和存在零元素的性质。
2. 数乘运算：对于任意的α∈F（其中F为一个数域）和u∈V，存在一个元素αu∈V，使得数乘对于V中元素的操作满足结合律、分配律和单位元素的性质。
3. 加法单位元：存在一个元素0∈V，使得对于任意的u∈V，有
u+0=u。
4. 相反元素存在：对于任意的u∈V，存在一个元素-v∈V，使得
u+(-v)=0。
5. 数乘单位元：对于任意的u∈V，有1u=u。
若V满足上述条件，则称V为线性空间，V中的元素称为向量。线性空间的定义体现了加法和数乘运算的基本性质。
二、线性映射的定义与性质
线性映射是指将一个线性空间的向量映射到另一个线性空间的映射。设V和W为两个线性空间，f: V→W是一个映射。如果满足以下条件：
1. 直线性：对于任意的u、v∈V和任意的α、β∈F，有
f(αu+βv)=αf(u)+βf(v)。
2. 零元映射：f(0_V)=0_W，即零向量在V中的映射值为0_W。
则称f为从V到W的线性映射。
6.2 线性空间的定义及性质
内容提要 一 线性空间的定义 二 相关的基本性质
一. 线性空间的定义
设集合 V≠ ，F 是数域，称 V 是向量，V 是 F 上的向量 空间，如果
1) , V ＋ V (向量加法)；
2) V, a F a V (数量乘法)
由特殊到一般，由具体到抽象，把具体的代数对象用公理化方法
统一在一个数学模型下，是数学研究的一种基本思想方法.
二. 基本性质
8条算律 ― 基本法律依据（公理），以2个运算、8 条算律为基础推导其它基本性质.
以下6条基本性质：
1. V 中零向量唯一.
证明： 设 01，02 是 V 中零向量 算律3) 02＝02＋01＝01＋02＝01 . □
□
依据该性质可用符号 表示向量 的负向量，即 ( ) 0 ，并
引入减法运算: ( ) → 减法不是一种独立运算.
3. .
证明： 0 ( ( )) ( ) ( ) ( ) .
(3) R, k C k 不一定属于 R (例如： 1, k 1 i , 有
k 1 i R 成立) → R 非 C 上的线性空间.
例5 （1）数域P上一元多项式环P[x]； （2）P[x]n={f(x)｜əf＜n} ∪{0}.
线性空间中的基本定义及性质
线性空间中的基本定义及性质线性空间是现今数学中的一个基础概念。它在向量、矩阵、微积分、拓扑等多个数学分支中都有广泛的应用。本文将简单介绍线性空间的基本定义及其性质。
一、线性空间的基本定义
线性空间是一种包含数个元素的空间，其内部具有向量加法运算和数乘运算。具体来说，设V为一个非空集合，其中的元素称为向量。若V上有两种运算，一种为向量加法运算，用+表示，另一种为数乘运算，用·表示，则称(V, +, ·)为一个线性空间，满足以下条件：
1.加法交换律：对任意u,v∈V，有u+v=v+u；
2.加法结合律：对任意u,v,w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)；
3.存在零向量：存在一个元素0∈V，使得对任意u∈V，有
u+0=u；
4.对任意向量u∈V，存在相反元素：对任意u∈V，存在一个元素-v∈V，使得u+(-v)=0；
5.数乘结合律：对任意α,α∈R，u∈V，有(αα)u=α(αu)；
6.分配律：对任意α∈R，u,v∈V，有α(u+v)=αu+αv，
(α+α)u=αu+αu；
7.标量乘法：对任意u∈V，有1u=u。
在以上定义中，R表示实数集合上的乘法运算。
二、线性空间的性质
线性空间的定义虽然简单，但它带来了许多重要的性质。以下是几个典型的例子：
1. 零向量唯一性：
线性空间中仅存在一个零向量，任何向量加上该零向量等于其本身。
2. 相反元素唯一性：
线性空间中任一向量的相反元素是唯一的。
3. 线性组合性质：
设{u1,u2,...,un}为V中的向量。{a1,a2,...,an}为任意实数，则线性组合a1u1+a2u2+...+anun∈V。其中，每个ai乘以ui叫做向量ui 的系数。
线性空间 知识点总结
线性空间知识点总结
本文将从定义、性质、例子、拓扑结构等多个方面对线性空间进行总结，以帮助读者更全
面地理解这一概念。
一、线性空间的定义
线性空间的定义较为抽象，它可以用来表示向量、矩阵、多项式等各种类型的数学对象。
线性空间是一个非空集合V，配上两个操作：加法和数乘。加法指的是将两个向量或数学
对象相加得到一个新的向量或数学对象，数乘指的是将一个标量与一个向量或数学对象相
乘得到一个新的向量或数学对象。
具体来说，给定一个域F，一个线性空间V满足以下条件：
1. 对于V中的任意两个元素x、y，它们的和x+y也属于V。
2. 对于V中的任意元素x和任意标量c，它们的数乘cx也属于V。
3. 加法满足结合律和交换律。
4. 加法单位元（零向量）存在。
5. 数乘满足分配律。
6. 数乘满足标量乘1等于自身。
换句话说，线性空间V是一个满足上述条件的非空集合，它配备了加法和数乘这两种运算，并且这两种运算满足一定的性质。
二、线性空间的性质
线性空间有许多重要的性质，这些性质不仅体现了线性空间的内在结构，也为线性空间的
进一步研究提供了重要的基础。下面介绍线性空间的一些主要性质：
1. 线性空间中的元素有唯一加法逆元。对于线性空间V中的任意元素x，存在一个唯一的
元素-y，使得x+y=0，其中0表示线性空间V中的零向量。
2. 线性空间中的元素满足交换律和结合律。即对于线性空间V中的任意元素x、y、z，有
x+y=y+x，(x+y)+z=x+(y+z)。
3. 线性空间中的元素满足分配律。即对于线性空间V中的任意元素x、y、z和任意标量c，有c(x+y)=cx+cy，(c+d)x=cx+dx。
线性空间的定义与简单性质
01 = 01 + 02 = 02 . 故零向量是唯一的.
证毕
14 §6.2 线性空间的定义与简单性质
2. 任意向量的负向量是唯一的.
证明 假设 有两个负向量 与 ， 则 + = 0， + = 0 .
那么
= + 0 = + ( + ) =( + )+ = 0 + = .
12 §6.2 线性空间的定义与简单性质
2( ＋ ) ＝ (1＋1)( ＋ ) ＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
∴ ＝ .
证毕
13 §6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1. 零向量是唯一的.
证明 假设 01，02 是线性空间 V 中的两个零 向量. 于是
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则：
1) ；
2) ( ) ( )；
3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
9 §6.2 线性空间的定义与简单性质
例 5 全体数域 P 上的 m n 矩阵组成的集合 V，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数 域 P 上的一个线性空间，用 P m n 表示.
线性空间的概念,维数、基与坐标
0.
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
18
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
⑵ 如果 0 , 则 0 或 0 .
假设 0, 那么 1 1 0 0.
又 1 1 .
0.
同理可得：若 0 则有 0.
统计软202件1/4分/22析与应用
所以P[ x]n构成线性空间 .
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
8
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
例3 n次多项式的全体
Q[ x]n {an xn a1x a0 an , ,a1,a0 R,an 0}
对于通常的多项式加法 和乘数运算不构成向量 空 间. 这是因为
0
N（2 为实数）．
所以 N2 是 M 2 的一个子空间．
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
24
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
§2 维数、基与坐标
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn 中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
(4) 对任何 V ,都有 的负元素 V , 使 0 ;
统计软202件1/4分/22析与应用
线性代数A
4
6.1-6.2 线性空间的概念，维数、基与坐标
线性空间定义及简单性质
1) 加法与数量乘法定义为：a,b R ,k R
a b logba
k oa ak
判断 R＋是否构成实数域 R上的线性空间 .
解：
R,
和运算不封闭，不能构成线性空间。
线性空间定义的其它要求呢，还有不满足的 条例吗，试着找出来！。
几个常见的线性空间
1. 数域P上的n维向量对于两个向量的加法和
证明：假设线性空间V有两个零元素01、02，则有 01＝01＋02＝02．
2、 V，的负元素是唯一的，记为- ．
证明：假设 有两个负元素 β、γ ，则有
0, 0 0 ( ) ( ) ( ) 0
(7) (k l) oa akl akal ak al (k oa) (l oa) ;
(8) k o(a b) k o(ab) (ab)k akbk ak bk
(k oa) (k ob) ;
∴ R＋构成实数域 R上的线性空间．
例 全体正实数R＋，
加法满足下列四条规则： , , V
① （交换律） ② ( ) ( ) （结合律）
③ 在V中有一个元素0，对 V , 有 0
（具有这个性质的元素0称为V的零元素）
④ 对 V , 都有V中的一个元素β，使得
线性空间的定义与简单性质
§6.2 线性空间的定义与简单性质
二、线性空间的简单性质
1、零元素是唯一的. 、零元素是唯一的
有两个零元素0 证：假设线性空间V有两个零元素 1、02，则有 假设线性空间 有两个零元素 01＝01＋02＝02．
2、 α ∈V 的负元素是唯一的，记为- α ． 、 的负元素是唯一的，记为∀
中有一个元素0， (3) 在V中有一个元素 ，对∀α ∈ V , 有 中有一个元素
α +0=α
称为V的零元素） （具有这个性质的元素0称为 的零元素） 具有这个性质的元素 称为 都有V中的一个元素 中的一个元素β (4) 对 ∀α ∈ V , 都有 中的一个元素β，使得 负元素） α + β = 0 （β称为 α 的负元素）
§6.2 线性空间的定义与简单性质
3、 0α = 0, k 0 = 0, ( − 1)α = −α , 、 k (α − β ) = kα − k β 证：
∵
0α + α = (0 + 1)α = α ,
∴ 两边加上 −α 即得 0 α ＝0； ∵
kα = k (α + 0) = kα + k 0
∴ 两边加上 − k β ，即得 k (α − β ) = kα − k β .
线性空间线性空间的定义及性质知识预备集合笼统的说
第一讲线性空间
一、线性空间的定义及性质
[知识预备]
★集合：笼统的说是指一些事物（或者对象）组成的整体。
集合的表示：枚举、表达式
集合的运算：并（），交（）
另外，集合的“和”（＋）：并不是严格意义上集合的运算，因为它限定了集合中元素须有可加性。
★数域：一种数集，对四则运算封闭（除数不为零）。比如有理数域、实数域（R）和复数域（C）。实数域和复数域是工程上较常用的两个数域。
线性空间是线性代数最基本的概念之一，也是学习现代矩阵论的重要基础。
1．线性空间的定义：
设V是一个非空集合，其元素用z
x,
,等表示；K是一个数域，
y
其元素用m
,等表示。如果V满足[如下8条性质，分两类]:
k,
l
（I）在V中定义一个“加法”运算，即当V
x∈
，时，有唯一的和
y
+（封闭性），且加法运算满足下列性质:
x∈
y
V
（1）结合律z
=
+)
(
)
(；
+
y
+
z
x
y
x+
（2）交换律x
+；
=
y
y
x+
（3）零元律存在零元素O，使x
+；
x=
O
（4）负元律 对于任一元素V x ∈，存在一元素V y ∈，使O y x =+，且称y 为x 的负元素，记为)(x -。则有O x x =-+)(。
（II ）在V 中定义一个“数乘”运算，即当K k V x ∈∈,时，有唯一的V kx ∈（封闭性），且数乘运算满足下列性质: （5）数因子分配律 ky kx y x k +=+)(； （6）分配律 lx kx x l k +=+)(； （7）结合律 x kl lx k )()(=； （8）恒等律 x x =1； 则称V 为数域K 上的线性空间。
注意以下几点：
线性空间的定义与性质
( x1,, xn )T 0,,0
不构成线性空间． S n 对运算封闭.
但1 x o, 不满足第五条运算规律.
由于所定义的运算不是线性运算,所以S n不是 线性空间.
二、线性空间的性质
1．零元素是唯一的．
证明 假设 01,02 是线性空间V中的两个零元
那么
1
1
0
0.
又 1 1 .
0.
同理可证：若 0 则有 0.
三、线性空间的子空间
定义2 设 V 是一个线性空间，L是 V的一个非空子 集，如果 L 对于V中所定义的加法和乘数两种运算 也构成一个线性空间，则称 L为 V的子空间．
定理 线性空间 V 的非空子集 L构成子空间的充分 必要条件是：L对于 V 中的线性运算封闭．
(6) a a a a a;
(7) a a aa a a
a a;
(8) (a b) (ab) ab ab
a b a b.
所以 R 对所定义的运算构成线性空间．
例７ n 个有序实数组成的数组的全体
S n x ( x1, x2 ,, xn )T x1, x2 ,, xn R
量空间. 通常的多项式加法、数乘多项式的乘法两种运
算满足线性运算规律． (an xn a1 x a0) (bn xn b1 x b0) (an bn) xn (a1 b1)x (a0 b0) P[ x]n
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a1 + a 2 b1 + b2 0 A+ B 0 0 c + c 1 2 (a1+a2)+(b1+b2)+(c1+c2)=0, 满足 因此, 有A+BW2, 即W2对加法封闭. ka1 kb1 0 对任意的kR, 有 kA , 0 kc1 0
2 0 0 A+ B W1. 0 0 0 即W1对矩阵加法不封闭, 故不构成R23的子空间. 0 0 0 W , 故W 非空. 对任意 解(2): 因 0 0 0 2 2 a1 b1 0 a 2 b2 0 A , B W2 0 0 c1 0 0 c2 a1+b1+c1=0, a2+b2+c2=0, 有
下面验证八条线性运算规律: 对任意a, b, cR+, k, lR, (1) ab = a b = b a = ba ; (2) (ab)c = (a b)c = (a b)c = a(b c) = a(b c) =a(bc) ; (3) 存在零元1R+, 对任意aR+, 有a1=a 1=a; (4) 对任一元素aR+, 存在负元素a-1R+, 有 aa–1= a a–1 =1; (5) 1a = a1 = a ; (6) k(l a) = kal = (al)k = ak l = (k l)a; (7) k(ab) = k(a b) = (a b)k = ak bk = akbk = kakb; (8) (k+l)a = ak+l = ak al = ak al = ka l a . 所以, R+对所定义的运算构成线性空间.
s1(x) = A1sin(x+B1)= (A1)sin(x+B1) S[x],
所以, S[x]是一个线性空间.
例5: 在区间[a, b]上全体实连续函数构成的集合 记为C[a, b], 对函数的加法和数与函数的数量乘法, 构 成实数域上的线性空间. (2) 一个集合, 如果定义的加法和乘数运算不是通 常的实数间的加, 乘运算, 则必需检验是否满足八条线 性运算规律. 例6: 正实数的全体记作R+, 在其中定义加法及乘 数运算为: ab = ab, a = a, (R, a, bR+) 验证R+对上述加法与乘数运算构成(实数域R上的)线 性空间. 证明: 对任意a, bR+, R, ab = abR+, a = aR+, 所以对R+上定义的加法与乘数运算封闭.
对p(x)=a0+a1x+· · · +anxn Q[x]n, 0R, 0 p(x)=0(a0+a1x+· · · +anxn) = 0+0x+· · · +0xn = 0Q[x]n. 所以Q[x]n对线性运算不封闭. 例4: 正弦函数的集合 S[x]={ s(x)=Asin(x+B) | A, BR} 对于通常的函数加法及数乘函数的乘法构成线性空间 . 对s1(x)=A1sin(x+B1), s2(x)=A2sin(x+B2)S[x], R, 由于, s1(x)+s2(x) = A1sin(x+B1)+A2sin(x+B2) = (a1cosx+b1sinx)+(a2cosx+b2sinx) = (a1+a2)cosx+(b1+b2)sinx = Asin(x+B) S[x],
§6.1 线性空间的定义与性质
线性空间是线性代数最基本的概念之一, 也是一 个抽象的概念, 它是向量空间概念的推广. 线性空间是为了解决实际问题而引入的, 它是某 一类事物从量的方面的一个抽象, 即把实际问题看作 向量空间, 进而通过研究向量空间来解决实际问题.
一、线性空间的定义
定义: 设V是一个非空集合, R为实数域. 如果对于 任意两个元素, V, 总有唯一的一个元素 V与之 对应, 称 为与 的和(简称加法运算), 记作 = +. 若对于任一数R与任一元素V, 总有唯一的 元素 V与之对应, 称为数与的积(简称数乘运算 ), 记作 = .
通常的多项式加法, 数乘多项式的乘法两种运算 满足线性运算规律. 实际上 对p(x)=a0+a1x+· · · +anxn, q(x)=b0+b1x+· · · +b n x n P[x]n, R, p(x)+q(x) = (a0+a1x+· · · +anxn)+(b0+b1x+· · · +bnxn ) = (a0+b0)+(a1+b1)x+· · · +(an+bn)xn P[x]n, p(x) = (a0+a1x+· · · +a nx n) =a0+a1x+· · · +anxn P[x]n, 所以P[x]n对线性运算封闭. 例3: 次数等于n 的多项式的全体记作Q[x]n, 即 Q[x]n={ p(x)=a0+a1x+· · · +anxn | a0, a1, · · · , anR, an 0 } 对于通常的多项式加法, 数乘不构成向量空间. 多项式加法, 数乘两种运算对Q[x]n不满足线性运 算的封闭性. 实际上
二、线性空间的性质
1. 零元素是唯一的. 证明: 假设01, 02是线性空间V中的两个零元素. 则对任何V有, + 01 =, + 02 = , 由于01, 02V, 则有 02+01=02, 01+02=01. 所以 01=01+02 =02+01 =02.
2. 负元素是唯一的. 证明: 设的负元素为 与 , 则有 + =0, + =0, 所以 = +0 = +( + ) =( +)+ =( +)+ =0+ = . 因此, 将向量 的负元素记为–. 3. 0 = 0; (–1) = – ; 0 = 0. 证明: 因为 + 0 =1 + 0 = (1+0) = 1 = . 则由零元素的唯一性得: 0 =0 因为 + (–1) =1 + (–1) =[1+(–1)] = 0 =0. 则由负元素的唯一性得: (–1) = – . 0 = [ +(–1)] = +(–) =[+(–)] = 0 = 0. 4. 如果 = 0, 则 = 0 或 = 0. 证明: 如果 0, 那么, 1 1 1 1 ( ) 0 0, 又 ( ) ( ) 1 . 所以, = 0. 故结论成立.
Hale Waihona Puke Baidu
三、线性空间的子空间
定义2: 设V是一个线性空间, L是V的一个非空子 集, 如果L对于V中所定义的加法和数乘两种运算也构 成一个线性空间, 则称L为V的子空间. 定理: 线性空间V的非空子集L构成子空间的充分 必要条件是: L对于V中的线性运算封闭. 证明: 由于L是线性空间V的子空间, 则由定义知, L对于V中的线性运算封闭. 反之, 由于L是线性空间V的非空子集, 则L中的元 素必为V中的元素. 又由于L对于V中的线性运算封闭, 则L中的元素的线性运算就是V中元素在V中的运算, 因此, 八条运算律中(1), (2), (5), (6), (7), (8)显然成立, 故只需验证(3), (4)两条成立, 即零元素0在L中, 且L中 元素的负元素也在L中.
说明2. 向量(线性)空间中的元素称为向量, 但不一 定是有序数组. 说明3. 判别线性空间的方法: 一个集合, 对于定义 的加法和数乘运算不封闭, 或者运算不满足八条性质 的任一条, 则此集合就不能构成线性空间. 线性空间的判定方法: (1) 如果在一个集合上定义的加法和乘数运算是 通常实数间的加, 乘运算, 则只需检验运算的封闭性. 例1: 实数域上的全体mn矩阵, 对矩阵的加法和 数乘运算构成实数域R上的线性空间, 记作Rmn. Rmn 中的向量(元素)是mn矩阵. 例2: 次数不超过n的多项式的全体记作P[x]n, 即 P[x]n ={ p(x)=a0+a1x+· · · +anxn | a0, a1, · · · , a n R } 对通常多项式加法, 数乘构成向量空间.
例7: n元实有序数组组成的全体 Sn={ x=(x1, x2,· · ·, xn)T| x1, x2,· · ·, xnR } 对于通常的有序数组的加法及如下定义的数乘: (x1, x2, · · · , xn)T = (0, 0, · · · , 0)T 不构成线性空间. 显然, Sn对运算封闭. 但1x = 0 x, 故不满足第(5)条运算规律. 即所定义的运算不是线性运算, 所以Sn不是线性空间.
对任意的L, 则0R, 由运算的封闭性知: 0L, 而0 =0, 故0L, 从而(3)成立. 再由(–1)R, 则(–1)L, 且+(–1) = 0, 所以 的 负元素就是(–1), 从而(4)成立. 所以L是线性空间V的子空间. 例8: 线性空间R23的下列子集是否构成R23的子 空间? 为什么? b 0 1 (1) W1 b, c , d R; 0 c d a b 0 a + b + c 0 , a , b , c R ( 2) W2 . 0 0 c 解(1): W1不构成子空间. 因为对 1 0 0 W , A B 0 0 0 1
有
ka1+kb1+kc1= k(a1+b1+c1) = 0, 从而, W2构成R23的子空间.
因此, 有kAW2, 即W2对数乘封闭.
四、小结
线性空间是二维, 三维几何空间及n维向量空间的 推广, 它在理论上具有高度的抽象性和概括性. 线性空间的元素统称为“向量”, 但它可以是通 常的向量, 也可以是矩阵, 多项式, 函数等各种各样的 研究对象. 线 是一个集合; 性 对所定义的加法及数乘运算封闭; 空 间 所定义的加法及数乘符合线性运算.
如果上述的两种运算满足以下八条运算规律, 那 么, 就称V为数域R上的线性空间(或向量空间): 设, , , OV, 1, l, k R, (1) 加法交换律: + = + ; (2) 加法结合律: ( + ) + = +( + ) ; (3) 零元素: 存在OV, 对任一向量 , 有 + O = ; (4) 负元素: 对任一元素V, 存在 V, 有 + =O, 记 = – ; (5) 1 = ; (6) 数乘结合律: k(l ) = (l k) ; (7) 数乘对加法的分配律: k( + )= k +k ; (8) 数量加法对数乘的分配律: (k+l) = k +l . 说明1. 凡满足以上八条运算规律的加法及乘数运 算统称为线性运算.