第二节线性空间的定义与简单性质
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例 3 全体定义在区间 [a,b]上的连续函数组成 的集合V, 对于函数的加法及实数与连续函数的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间. 用 C [a,b] 表示.
例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ]， 按通常 的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上 的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多 项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性 空间，用 P[ x ]n 表示. 但是，数域 P 上的 n 次多 项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式.
2( ＋ ) ＝ (1＋1)( ＋ ) ＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
∴ ＝ .
证毕
二、线性空间的简单性质
1. 零向量是唯一的.
证明 假设 01，02 是线性空间 V 中的两个零 向量. 于是
01 = 01 + 02 = 02 . 故零向量是唯一的.
证毕
2. 任意向量的负向量是唯一的.
证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = .
所以
0 = 0 .
k0 + k = k (0 +) = k
所以
k0 = 0 .ห้องสมุดไป่ตู้
(-1) + = (-1) + 1 =[(-1) + 1] = 0 =0 ,
所以
(-1) = - .
证毕
4. 如果 k =0，那么 k = 0 或者 = 0 .
, , , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的
拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数.
注 ◆ 向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，
即一个数域 P，这是基础域； 一个集合Ｖ； 两个
运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是
加法的运算律，这时称Ｖ对加法做成一个加群，第
例 8 全体数域 P 上的 2 维向量组成的集合V , 定义数与向量的数量乘法如下:
k ⊙ (a, b) = ( ka，0) , 对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量 乘法不构成数域 P 上的线性空间.
事实上 , 当 b≠0 时 1 ⊙ (a, b) = ( 1a，0) = ( a，0) ≠ (a, b) .
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第二节 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的概念
定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任
意两个元素 与 ，在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 = + .
证明 假设 有两个负向量 与 ， 则 + = 0， + = 0 .
那么
= + 0 = + ( + ) =( + )+ = 0 + = .
向量 的负向量记为 - .
证毕
利用负向量，定义减法如下：
- =+(- ).
3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - .
1) ； 2) ( ) ( )；
3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
4) 对于 V 中每一个元素 ，都有 V 中的元素 ，使得
+ = 0 ( 称为 的负元素) .
数量乘法满足下面两条规则：
证明 假设 k 0，于是
从而
k -1( k ) = k -10 = 0 .
(k -1k) = 0，
1 = 0 ，
即
= 0 .
证毕 ▲
5) 1 = ； 6) k( l ) = ( kl ) .
数量乘法与加法满足下面两条规则：
7) ( k + l ) = k + l ; 8) k( + ) = k + k .
在以上规则中，k , l 表示数域 P 中的任意数 ;
, , 等表示集合 V 中任意元素.
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里所谓 向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多. 线性空 间有时也称为向量空间. 一般用小写的希腊字母
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
例 5 全体数域 P 上的 m n 矩阵组成的集合 V，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数 域 P 上的一个线性空间，用 P m n 表示.
例 6 全体实函数，按函数的加法和数与函数 的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间.
例 7 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成 自身上的一个线性空间.
在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 , 叫做数量乘法； 这就是说，对于数域 P 中任一
数 k 与 V 中任一元素 ，在 V 中都有唯一的一个
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则：
五、六条是数量乘法算律， 最后两条是分配律，表 示两种运算之间的联系.
例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量 组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间.
例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向 量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的 一个线性空间.
例 4 数域 P 上一元多项式环 P[ x ]， 按通常 的多项式加法和数与多项式的乘法，构成数域 P 上 的一个线性空间. 如果只考虑其中次数小于 n 的多 项式，再添上零多项式也构成数域 P 上的一个线性 空间，用 P[ x ]n 表示. 但是，数域 P 上的 n 次多 项式集合对同样的运算不构成线性空间，因为两个 n 次多项式的和可能不是 n 次多项式.
2( ＋ ) ＝ (1＋1)( ＋ ) ＝( ＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
∴ ＝ .
证毕
二、线性空间的简单性质
1. 零向量是唯一的.
证明 假设 01，02 是线性空间 V 中的两个零 向量. 于是
01 = 01 + 02 = 02 . 故零向量是唯一的.
证毕
2. 任意向量的负向量是唯一的.
证明 + 0 = 1 + 0 = (1 + 0) = 1 = .
所以
0 = 0 .
k0 + k = k (0 +) = k
所以
k0 = 0 .ห้องสมุดไป่ตู้
(-1) + = (-1) + 1 =[(-1) + 1] = 0 =0 ,
所以
(-1) = - .
证毕
4. 如果 k =0，那么 k = 0 或者 = 0 .
, , , … 表示线性空间 V 中的元素，用小写的
拉丁字母 a, b, c, … 表示数域 P 中的数.
注 ◆ 向量空间的定义可简单记为 “1128 ” ，
即一个数域 P，这是基础域； 一个集合Ｖ； 两个
运算，又叫做线性运算；八条规则，其中前四条是
加法的运算律，这时称Ｖ对加法做成一个加群，第
例 8 全体数域 P 上的 2 维向量组成的集合V , 定义数与向量的数量乘法如下:
k ⊙ (a, b) = ( ka，0) , 对于通常的向量加法及以上定义的数与向量的数量 乘法不构成数域 P 上的线性空间.
事实上 , 当 b≠0 时 1 ⊙ (a, b) = ( 1a，0) = ( a，0) ≠ (a, b) .
高等代数
第六章 线性空间 Linear Space
第二节 线性空间的定义与简单性质
一、线性空间的概念
定义 1 设 V 是一个非空集合 , P 是一个数域 . 在集合 V 的元素之间定义了一种代数运算，叫做 加法； 这就是说，给出了一个法则，对于 V 中任
意两个元素 与 ，在 V 中都有唯一的一个元素 与它们对应，称为 与 的和，记为 = + .
证明 假设 有两个负向量 与 ， 则 + = 0， + = 0 .
那么
= + 0 = + ( + ) =( + )+ = 0 + = .
向量 的负向量记为 - .
证毕
利用负向量，定义减法如下：
- =+(- ).
3. 0 = 0 ; k0 = 0 ; (-1) = - .
1) ； 2) ( ) ( )；
3) 在 V 中有一个元素 0，对于 V 中任一元素
都有
+ 0 =
(具有这个性质的元素 0 称为 V 的零元素) ；
4) 对于 V 中每一个元素 ，都有 V 中的元素 ，使得
+ = 0 ( 称为 的负元素) .
数量乘法满足下面两条规则：
证明 假设 k 0，于是
从而
k -1( k ) = k -10 = 0 .
(k -1k) = 0，
1 = 0 ，
即
= 0 .
证毕 ▲
5) 1 = ； 6) k( l ) = ( kl ) .
数量乘法与加法满足下面两条规则：
7) ( k + l ) = k + l ; 8) k( + ) = k + k .
在以上规则中，k , l 表示数域 P 中的任意数 ;
, , 等表示集合 V 中任意元素.
线性空间的元素也称为向量. 当然，这里所谓 向量比几何中所谓向量的涵义要广泛得多. 线性空 间有时也称为向量空间. 一般用小写的希腊字母
注 ◆ 例 8 中集合 V 满足线性空间定义中的其 他七条公理, 可见第五条虽然比较简单, 但是不可 由其他七条推出.
◆ 在 8 条公理中只有第一条加法满足交换律不 是独立的.
证明 ∵ 2( )＝2 2 ＝(1＋1) ＋(1 ＋1) ＝(1 ＋1 )＋(1 ＋1 )＝(＋ )＋( ＋ )＝ ＋( ＋ )＋ ,
例 5 全体数域 P 上的 m n 矩阵组成的集合 V，按矩阵的加法和数与矩阵的数量乘法，构成数 域 P 上的一个线性空间，用 P m n 表示.
例 6 全体实函数，按函数的加法和数与函数 的数量乘法，构成实数域上的一个线性空间.
例 7 数域 P 按照本身的加法与乘法，即构成 自身上的一个线性空间.
在数域 P 与集合 V 的元素之间还定义了一种运算 , 叫做数量乘法； 这就是说，对于数域 P 中任一
数 k 与 V 中任一元素 ，在 V 中都有唯一的一个
元素 与它们对应，称为 k 与 的数量乘积，记
= k . 如果加法与数量乘法满足下述规则，那
么 V 称为数域 P 上的线性空间.
加法满足下面四条规则：
五、六条是数量乘法算律， 最后两条是分配律，表 示两种运算之间的联系.
例 1 在解析几何中， 平面或空间中一切向量 组成的集合 V, 对于向量的加法及实数与向量的乘 法, 构成实数域上的一个线性空间.
例 2 全体 n 维实向量组成的集合 V, 对于向 量的加法及实数与向量的乘法, 构成实数域上的 一个线性空间.