产销不平衡的运输问题运筹学
产销不平衡的运输问题
4
bj
8 7 14
运输问题
运输问题 讨论
一、概念题（判断）
1、运输问题是一种LP问题，其求解结果有四种情况。 2、在运输问题中，只要给出一组含（m+n-1）个非零的
，且满足
就可以作为一个初始基可行解。
xij
n
m
xij ai , xij bj
j 1
i 1
运输问题
3、按最小元素法（或伏格尔法）给出的初始基可行解，从每一空格出发可 以找出而且仅能找出唯一的闭回路。
4、当所有产地产量和销地销量均为整数值，运输问题的最优解也为整数值。 5、如果运输问题单位运价表的某一行（或某一列）元素分别加上一个常数k，
最优调运方案将不会发生变化。 6、如果…...分别乘上一个常k,…...不会发生变化。
运输问题
感谢下 载
运输问题
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格至少为空，且保证数字 的非负性。
A1
B1
4
B2（12+2）B103 4
B（4-2）产量 6 11 16
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4-25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
运输问题
修改后产大于销平衡问题的数学模型
产销不平衡的运输问题运筹学
销大于产
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象销地的销量为：
m
n
bn1
ai
bj
i 1
j 1
运输问题
这里，松弛变量 xi n+1 可以视为从 产地 A i 运往销地 Bn+1 的运输量，由 于实际并不运送，它们的运费为
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例
设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表
1
2
3
4 产量
A
16
13
22
17
Ex. 2 已知运输问题由表给出，试建立运输模型 .
解: 本题产量为25，销量为29，是销大于产问题
虚设一个产地 A3，由于并没有生产，所以运 价为零，得运输模型.
如果各销地不满足时，单位缺货费为 4，3，7，
则运输模型为
Bj Ai
B1
B2
B3
ai
A1
10
425
3. 运筹学运输问题
ii) 在确定初始方案时，若某一行的产量与某一列的需求
量同时满足，这时也只能划去一行或一列（绝对不能同时 把行、列划去，否则就不满足圈格 =m+n － 1 个的要求，即 基变量的个数永远要保持为m+n－1个）； iii) 在用闭回路法调整时，当闭回路上奇顶点有几个相同
§2.6
运输问题及其解法
引例：某公司经销甲产品，它下设三个加工厂，每日的 产量分别为： A1-40 吨， A2-40 吨， A3-90 吨。该公司把这些
产品分别运往四个销售点，各销售点每日销量为： B1-30 吨
，B2-40吨，B3-60吨，B4-20吨, B5-20吨。已知从各工厂到各 销售点的单位产品的运价为下表所示。问该公司应如何调运 产品，在满足各销售点需求量的前提下，使总运费为最少
8
用闭回路法求出的空格的检验数如下：
销地 运价 产地
B1
B2
B3
B4
B5
产量（万吨）
A1 A2 A3
销量（万吨）
7 5 3 30
30
10 9 6 40
40
8 7 5 60
0 60
6 12 8 20
20 0
4 6 11 20
20
40 40 90
运筹学之4.2不平衡运输问题
B1 7 8 100
B2 6 5 320
B3 8 9 260
供应量 280 270
A1 A2 需求量
销地 产地
B1
B2
B3
供应量
A1
A2
7
8
6
5
8
9
280
270
需求量
100
320
260
销地 产地
B1 7 8 M 100
B2 6 5 M 230
B’2 6 5 0 90
B3 8 9 M 180
销量
b1
Bn
产量
c1 n
a1 a2
c2n
c mn
bn
am
虚拟产地
由于供不应求，则应设想一个虚拟产Am+1， 并让虚拟产地A m+1来供给销地Bj所需物资差额。
虚拟产地A m+1的产量为
a m 1
b
j 1
n
j
i 1
m
ai
由于销地实际上不能从虚拟产地A m+1得到 供应，故其运价是高额的，令
c 11 c 21
c 12 c 22
A2
Am
cm1
cm 2
b2
销量
b1
运筹学产销不平衡报告
第四次读书报告（运输问题中的产销不平衡问题）
一、问题提出：重庆有三家电子厂分别是新普，隆宇和恒华，生产的笔记本电脑将要运向北京，天津，广东，上海四个城市销售，其产量和销售量见下表：（单位：万台） 表：1-1
北京 天津 广东 上海 产量 新普 6 2 6 7 30 隆宇 4 9 5 3 25 恒华 8 8 1 5 21 销量
15
17
22
12
-
问：哪种销售方案将会取得最少的运输费用，费用为多少？
基本假设：针对该运输问题，为了方便计算，可以设新普（A1），隆宇（A2）和恒华（A3）分别销往北京（B1）、天津（B2）、广东（B3）和上海（B4）四个城市销售量为x11、x12、x13、x14、x21、x22、x23、x24、x31、x32、x33、x34。建立以下模型： 表：1-2
B1 B2 B3 B4 产量 A1 6 2 6 7 30 A2 4 9 5 3 25 A3 8 8 1 5 21 销量
15
17
22
12
-
目标（The objective ） 最少费用：
34
333231242322
3121141312114
1
5x x 8x 8x 3x 5x 9x 4x 7x 6x 2x 6x z Min +++++++++++==
∑∑==i j j i j
i x c
约束条件：
供应限制（The supply constrains ）
⎪⎩⎪
⎨⎧≤+++≤+++≤+++21
x x x x 25x x x x 30x x x x 34333231
2423222114131211 指标约束（The damand constrains ）
第三节 产销不平衡的运输问题及其
1 3 2 7 2 4 8 10 4 5 6
T3 4 — 2 3 1 2
T4 3 2 3 2 1 2
B1 3 1 7 2 4 1 1 1 4 2
B2 11 9 4 8 5 8 —
B3 3 2 10 4 2 2 2
B4 10 8 5 6 7 4 6
4 5 2 7
1 8 2 4
1 — 2 6
1 4 2 2 1 3
管理工程学院
16
《运筹学》
17 销地 B1 B2 B3 B4 产地 A1 A2 A3 销量 2 3 4 6
产销表
销地 产地 A1 A2 A3
B1 B2 B3 B4 2 11 10 3 7 8 3 5 1 4 9 2
产 量 7 5 7
单位运价表
管理工程学院
17
《运筹学》
18 销地 B1 B2 B3 B4 B5 产地 A1 A2 A3 销量 2 3 4 6 4
管理工程学院
4
《运筹学》
5
产销表
解：
单位运价表
1
销地 产地 A1 A2 A3
B1 B2 B3 B4
2 11 10 3 7 8 3 5 1 4 9 2
销地 B1 B2 B3 B4 库 产 产地 存 量 A1 7 A2 5 A3 7 销量 2 3 4 6 4
管理工程学院
5
产销不平衡的运输问题
盐城师范学院运筹学期末论文
题目: 产销不平衡的运输问题姓名: 许凯波
二级学院: 数学科学学院
专业: 数学与应用数学
班级: 114 班
学号: 11211434
成绩评定:
产销不平衡的运输问题
在实际生产生活中，会经常碰到把某种东西从某地运到另一个地方，比如：把一批衣服从上海运到盐城，采用哪种运输方式更节约成本？这就是一个最简单运输问题。解决运输问题，找到其最优方案有很大使用价值或者说可以带来很大的经济利益。下面主要看一类运输问题：产销不平衡的运输问题。
所谓产销不平衡的运输问题是指：某种物品有m 个地点生产，n 个地点需要，物品从不同的产地运往不同的需要地运费也不相同，其次该物品的总产量与总的需要量也不正好相等。如何分配才能既满足需要又使成本最少，即最优分配方案。解决该问题主要有以下几步：
1.初始方案的给定
最小元素法：最小元素法的基本思想是就近供应，即从单位运价表中最小
的运价处开始确定供需关系，依次类推，一直到给出全部方案为止。下面将以具体的例子来进一步说明此方法。
2.最优性检验与方案的调整
位势法:首先将最小元素法确定的初始调运方案表有数字格的地方换上单位运价表中对应格的运价；然后在得到的新表格的右面和下面增加一行和一列，并填上一些数字，使表中各个数刚好等于他所在行和列的这些新填数字之和。通常
用
i
u （i =1，2，…）和i
v （j =1,2，…）来代表这些新填的数字。i
u 和i
v 分别称为第i 行和第j 列的位势。任一空格的检验数为：
גij =)(ij
ij ij v u c +-
如果表中出现有负的检验数时，对方案进行调整，用闭合回路法，下面将以具体例子作详细说明。
第7章05-产销不平衡的运输问题
第7章05产销不平衡的运输问题
同学们，大家好，今天我们来学习产销不平衡的运输问题。如果一个运输问题，总产量和总销量不相等，这时候就是产销不平衡的运输问题。下面我们通过例7-3，给大家介绍产销不平衡的运输问题如何解决。
例7-3，有两个产地，三个销地的运输问题，各产地的产量，各销地的销量，以及各产地到各销地的单位产品运费已知，问如何调运，使得总运费最小？
这个问题中，总产量是600，总销量是500，产销不平衡。这个问题很显然可以通过建立线性规划模型进行求解，如下所示，
111213212223111213212223112112221323min 646655300300150st.1502000,1,2;1,2,3
ij z x x x x x x x x x x x x x x x x x x x i j =+++++++≤⎧⎪++≤⎪⎪+=⎪⎨
+=⎪⎪+=⎪≥==⎪⎩在这个模型中，因为总产量大于总销量，
产地的产品可能会有剩余，剩余对于产地的约
束条件为“≤”而非“=”。其它的地方都与产销平衡时一样。
但是，如果要用表上作业法求解这个问题，需要先把它转化为产生平衡的运输问题，写出产销平衡表。
如何写出产销平衡表呢？因为总产量比总销量大100，所以，我们引入一个虚拟销地B 4，销量为100。我们可以把这个虚拟销地看成是一个虚拟仓库，多生产的产品都运到虚拟仓库中，因此不需要运费，即单位运价为0。这时，就化为了下面的产销平衡表，从而可以运用表上作业法进行求解。
为什么这样引入虚拟仓库的做法是对的呢？我们可以简要证明一下。实际上这个产销平衡表对应着下面的线性规划模型。这个模型也可以在前面的线性规划模型的基础上通过引入松弛变量x 14和x 24得到。所以这两个线性规划模型的最优解是一致的，从而，引入虚拟仓库后的运输问题与原运输问题也是一致的。
运筹学 第11讲-运输问题(产销不平衡运输问题)
5
6
7
4
6
2
1
3
解：由表 3-34 中可看出，从 A1 到 B2，每吨物资的直接运费为 11 元，如从 A1 经 A3 运往 B2， 运价为 3+4=7 元，从 A1 经 T2 运往 B2 只需 1+5=6 元，而从 A1 到 B2 运费最少的路径是从 A1 经 A2、B1 到 B2，每吨物资的运费只需 1+1+1=3 元。可见在这个问题中从每个产地到各销地之间 的运输方案是很多的。为了把这个问题仍当作一般的产销平衡的运输问题来处理，我们可以这 样做：
（1） 由于问题中所有产地、中间转运站、销地都可以看作产地，又可以看作销地。因此把整个问题当作有 11 个产地和 11 个销地的扩大了的运输问题；
（2） 对扩大了的运输问题建立运价表。方法是将表 3-34 中不可能的运输方案的运价用任意大的正数 M 代替；
（3） 所有中间转运站的产量等于销量。由于运费最少时不可能出现一批物资来回倒运的现象， 每个转运站的 转运量不超过 20（t）。可以规定 T1，T2，T3，T4 的产量和销量均为 20（t）。由于实际的转运量
n
m
xij ai , xij bj
j 1
i 1
可以在每个约束条件中增加一个松弛变量 xii ， xii 相当于一个虚构的转运站，其意义就是自己运给自己。 （20— xii ）就是每个转运站的实际转运量， xii 的对应运价 Cii=0；
《运筹学》第三章 运输问题
平衡表、运价表合二为一：
销 产 A1 A2 ┇ B1 c11 x11 c21 x21 ┇ cm1 Am 销量 xm1 b1 B2 c12 x12 c22 x22 ┇ cm2 xm2 b1 … … … ┇ x2n ┇ cmn xmn bn am … x1n c2n a2 ┇ … Bn c1n a1 产量
1、求初始方案
例一、某运输资料如下表所示：
单位 销地 运价 产地
B1
B2
B3
B4
产量
A1 A2 A3
销量
3 1 7 3
11 9 4 6
3 2 10 5
10 8 5 6
7 4 9
（1）最小元素法： 基本思想是就近供应，即从运价最小的地方开始供 应（调运），然后次小，直到最后供完为止。 B1
A1 A2
3 2
u2+v1=1 u2+ v3 =2 u3+v2=4 u1+ v4 =10 u1+v3=3 u3+ v4 =5 令： u1＝0
u1=0 u2 =－1 u3 =－5
v1=2 v2 =9 v3 =3 v4 =10
按σij=cij－(ui+vj) 计算检验数，并以σij≥0 检验。
cij
A1 A2 A3 B1 3 1 7 B2 11 9 4 B3 3 2 10 B4 10 8 5 A1 A2 B1 2 1
运筹学(第四版)：第3章 运输问题
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出的初始解是运输问题的基可行解，其理由为：
(2) 这(m+n-1)个基变量对应的系数列向量是线性独立的。 证：若表中确定的第一个基变量为它对应的系数列向量为:
Pi j ei em j
11
1
1
因当给定 xi1 j1 的值后，将划去第i1行或第j1列，即其后的系数 列向量中再不出现ei1或em+j1，因而 Pi1 j1 不可能用解中的其他 向量的线性组合表示。 类似地给出第二个，…，第(m+n-1)个。这(m+n-1)个向量都 不可能用解中的其他向量的线性组合表示。故这(m+n-1)个向 量是线性独立的。
在给出调运方案的计算表上，如表3-
销 地 B1 B2 B3 B4 产
13，从每一空格出发找一条闭回路。 加工厂
量
它是以某空格为起点。用水平或垂直
A1
527
线向前划，当碰到一数字格时可以转
A2
3
14
90°后，继续前进，直到回到起始空
A3
6
39
格为止。闭回路如图3-1的(a),(b),(c)
销量 3 6 5 6
14
2.1 确定初始基可行解
用最小元素法给出初始解时，有可能在产销平衡表上填入 一个数字后，在单位运价表上同时划去一行和一列。这时 就出现退化。关于退化时的处理将在2.4节中讲述。
产销不平衡的运输问题
M
0
M
0
50
30
20
70
30 10 50
210
210
运输问题
➢ 最低要求必须满足，因此把相应的虚设产地运费取M ，而最高要求与最低要 求的差允许按需要安排，因此把相应的虚设产地运费取为 0 。对应 4”的 销量50 是考虑问题本身适当取的数据，根据产销平衡要求确定 D的产量为 50。
运输问题
Ex. 2 已知运输问题由表给出，试建立运输模型 .
有无穷多
B1 最B 优解2 B3 B4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij 0, 此时的解为最优解。
z 8 2 145 12 4 411 29 8 6 244 246 2
ci n+1=0 i= 1,2,…,m。
于是，这个运输问题就转化成了一个 产销平衡的问题。
运输问题
原产大于销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
Biblioteka Baidu
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
产销不平衡的运输问题
季度
1 2 3 4
生产能力 （台）
25 35 30 10
单位成本 （万元）
10.8 11.1 11 11.3
1234
1 10.8 10.95 11.1 11.25
2
11.10 11.25 11.40
3
11.10 11.25
4
11.30
设xij为第i季度生产的用于 第j季度交货的柴油机数。
x11
x12 x22
A1
3 12 3 4 0 8
A2
11 2 5 9 0
5
A3
6 7 1 50 9
销量 4 3 5 6 4
22
22
二、销大于产：n bj
m
ai
j 1
i 1
mn
min z
cij xij
i1 j1
n
xij
ai
(i 1,2,, m)
j1
m
xij
bj
( j 1,2,, n)
i1
xij
A1
c11
…
c1n
0
a1
………………
Am
cm1
…
cmn
0
am
销量 b1
…
bn
bn+1
例3 已知某运输问题的运输表如下,试确定最优 的调运方案。
运筹学 第3章 运输问题
第三章运输问题
在生产实际中，经常需要将某种物资从一些产地运往一些销地，因而存在如何调运使总的运费最小的问题。这类问题一般可用线性规划模型来描述，当然可以用单纯形法求解。但由于其模型结构特殊，学者们提供了更为简便和直观的解法—-表上作业法。此外,有些线性规划问题从实际意义上看，并非运输问题，但其模型结构类似运输问题，也可以化作运输问题进行求解。
第一节运输问题及其数学模型
首先来分析下面的问题。
例3。1农产品经销公司有三个棉花收购站，向三个纺织厂供应棉花。三个收购站A1、A2、A3的供应量分别为50kt、45kt和65kt，三个纺织厂B1、B2、B3的需求量分别为20kt、70kt和70kt。已知各收购站到各纺织厂的单位运价如表3-1所示（单位：千元/kt)，问如何安排运输方案，使得经销公司的总运费最少?
设x ij表示从A i运往B j的棉花数量，则其运输量表如下表所示。
表3—2
由于总供应量等于总需求量，因此，一方面从某收购站运往各纺织厂的总棉花数量等该收购站的供应量，即
x11+x12+x13 = 50
x21+x22+x23 = 45
x31+x32+x33 = 65
另一方面从各收购站运往某纺织厂的总棉花数量等该纺织厂的需要量,即
x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70
因此有该问题的数学模型为
min f= 4x 11+8x 12+5x 13+6x 21+3x 22+6x 23+2x 31+5x 32+7x 33
x 11+x 12+x 13 = 50 x 21+x 22+x 23 = 45 x 31+x 32+x 33 = 65 x 11+x 21+x 31 = 20 x 12+x 22+x 32 = 70 x 13+x 23+x 33 = 70
产销不平衡问题
B1
2 1 3
B2
4 5 2
B3
3 6 4
产量
A1 A2 A3
销量
6 a1 11
a2 7
a3 4
10
4
6
解：当a1=6,a2=7时，a3 b j ( a1 a 2 ) 20 (6 7) 7
故
a1 11, a 2 7, a 3 7, a i 25
a
i 1
m
i
即在运输表格上增加一个虚拟的行。在单位运价 表上，其相应的单位运价也为0。
应用例举
• 有三个产地A1、A2、A3和三个销地B1、B2、B3，各产地到 销地的单位运价见下表。各销地的需求量分别是10、4、6 个单位，由于客观条件的限制和销售需要，产地A1至少要 发出6个单位、最多11个单位的产品； A2必须要发出7个单 位； A3至少要发出4个单位。
产 销
4 a3 7
总销量>总产量
B4
产量
B1
2 2 1 3 3
B2
4 4 2 5 5
B3
3 3 6 4 4
A1
A’1 A2 A3 A’3
销量
M
0 M M 0
6
5 7 4 3
10
4
6
5
25
供 销
管理运筹学 第3章 运输问题
Ⅰ 16 14 19 30
Ⅱ 13 13 20 70
Ⅲ 22 19 23 0
Ⅳ 17 15 _ 10
产量 50 60 50
A B C 最低需求 最高需求
50
70
30
不限
运输 单价
销地
Ⅰ1 Ⅰ2 Ⅱ 16 16 13
Ⅲ 22
Ⅳ1 17
Ⅳ2 17
产量 50
产地
A
B
C D 销量
14
第三章
运输问题
3.1. 运输问题及其数学模型
3.2. 运输问题的表上作业法 3.3. 应用举例
3.1
运输问题及其数学模型
运输问题解决把某种产品从若干产地调运 到若干个销地,在每个产地的供应量与每个 销地的需求量已知,并知道各地之间的调运 单价的前提下,如何确定一个使得总的运输 费用最小的方案.
例1.某公司从两个产地A1,A2将货物运往三个销地B1,B2 B3,各产地的产量及各销地的销量和各产地运往各销 地的每件物品的运费如下表,问如何调运,使得总运输 费用最小?
运费 销地 单价 产地 A1 A2 销量
B1
B2
B3
产量 (件) 200 300
6 6 150
4 5 150
6 5 200
设xij表示从产地Ai调运到Bj的运输量(i=1,2;j=1,2,3)
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
运输问题
解：增加一个虚设的销地运输费用为0
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅱ）若总产量小于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象产地的销量为：
n
m
am1
bj
ai
j 1
i 1
仿照上述类似处理。
运输问题
修改后产大于销平衡问题的数学模型
m n1
min z
cij xij
i 1 j 1
n 1
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n, n 1
i 1
xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n, n 1
运输问题
注决最意策后：变一用量列最x的小ij 表零元示运素由价法最求A后i初到考始B虑调i 的。运物方品案数时量，。
ci n+1=0 i= 1,2,…,m。 于是，这个运输问题就转化成了一个 产销平衡的问题。
运输问题
原产大于销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n
销量
8
0
140
12 14 48
10 0
60
运输问题
例1用伏格尔法得到的初始基可行解
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 12 4 4 11 16
A2 A3
销量
82
10
3 2 9 10
8 14 5 11 用8最小6 元2素2法
求出的目标函
8 14 12 数z1=4246 48
目标函一数般值说来z ，12伏格4 尔4法1得1出8的 2 初始解 2的质9 量1最4 好5， 8常用6 来2作44 为运输问题最优解的近似解。
有无穷多
B1 最B优2解 B3 B4 产量 A1 0 4 2 12 12 4 4 11 16 A2 8 2 2 10 1 3 2 9 10 A3 9 8 14 5 12 11 8 6 22 销量 8 14 12 14 48
ij 0, 此时的解为最优解。
z 8 2 145 12 4 411 29 8 6 244 246 2
运输问题
表上作业法是单纯形法在求解运输问题 的一种简便方法。 单纯形法与表上作业法的关系：
（1）找出初始基可行解 表上给出m+n-1个数字格
（2）求各非基变量的检验数 计算表中空格检验数
（3）判断是否最优解 检验是否所有检验数非负
运输问题
？是
最优解
停止
否
换基：
（4）确定换入变量和换出变量找出新 的基可行解。
运输问题
几点说明：
当检验数为的负的变量超过两个，选择 最小者对应的变量换入； 在最优解的表中，若有检验数=0，则该 运输问题有无穷多最优解； 迭代过程中，若某一格填数时需同时划 去一行和一列，此时出现退化。为保证 m+n-1个非空格，需在上述的行或列中 填入数字0。
运输问题
产销不平衡的运输问题
实际问题中产销往往是不平衡的， 就需要把产销不平衡的问题转化成 产销平衡问题。
运筹学--产销不 平衡运输问题
1 运输问题 2 运输问题的表上作业法 3 运输问题的进一步讨论
产销平衡问题的数学模型
mn
min z
cij xij
i 1 j 1
n
xij ai , i 1,2,, m
j 1
m
xij
b j , j 1,2,, n
i1 xij
0, i 1,2,, m j 1,2,n
B1 B2 Bn Bn1 产量
A x x c11
c12
1 11 12
x x a c1n
0Βιβλιοθήκη Baidu
1n 1n1 1
A x x c21
c22
2 21 22
x x a c2n
0
2n 2n1 2
A x x cm1
cm 2
m m1 m2
b 销量 1 b2
x x a cmn
0
mn mn1 m
bn bn1
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
量、各销地的销量和各产地运往各销地 每件物品的运费如下表所示，问：应如 何调运可使总运输费用最小？
运输问题
解：增加一个虚设的产地运输费用为0
运输问题
举例
产销不平衡运输问题举例
设有A、B、C三个化肥厂供应1、2、3、4四个地 区的农用化肥。假设效果相同，有关数据如下表
运输问题
第一步：确定初始基可行解 ——最小元素法、伏格尔法
最小元素法思路：
从单价中最小运价确定供应量， 逐步次小，直至得到m+n-1个数字格。
运输问题
最小元素法举例
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12 10 4 6 11 166 0
A2 8 2 10 2 3 9 102 0
A3
8 14 5 11 8 6 228 0
产大于销
销大于产
运输问题
一、产销不平衡的运输问题
（Ⅰ）若总产量大于总销量，即
m
n
ai b j
i 1
j 1
令假象销地的销量为：
m
n
bn1
ai
bj
i 1
j 1
运输问题
这里，松弛变量 xi n+1 可以视为从 产地 A i 运往销地 Bn+1 的运输量，由 于实际并不运送，它们的运费为
运输问题
这里，松弛变量 x m+1,j 可以视为从 产地 A m+1 运往销地 B j 的运输量， 由于实际并不运送，它们的运费为 c m+1,j = 0 j = 1,2,…,n。于是，这个 运输问题就转化成了一个产销平衡 的问题。
运输问题
例:某公司从两个产地A1、A2将物品 运往三个销地B1、B2、B3，各产地的产
运输问题
第三步：解的调整
调整位置（2，4）非空，回路角上的格 至少为空，且保证数字的非负性。
A1
B1
4
B2（12+2B ）103 4
B6（41-12）1产6量
A2 8 2 10 2 3 -1 9 10
A3
8 1（4 -25） 11 8（+62）22
销量 8 14 12 14 48
运输问题
调整后的解为：
表上调整（闭回路调整）
（5）重复（2）、（3）直至求出最优
解。
（运输问题必有最优解）
运输问题
举例说明表上作业法
例1、某部门三个工厂生产同一产品的产量、 四个销售点的销量及单位运价如下表：
B1 B2 B3 B4 产量
A1
4 12
4 11 16
A2
2 10
3 9 10
A3
8
5 11 6 22
销量 8 14 12 14 48