筛法求素数真的很快
生成素数的算法
生成素数的算法素数，也称质数，是指只能被1和自身整除的正整数。
在数学中，素数是一种非常重要的数，因为任何一个正整数都可以唯一地分解成若干个素数的积。
因此，生成素数一直是数学研究的一个重要课题，也是计算机科学中的一个基本算法问题。
本文将介绍几种生成素数的算法，包括朴素算法、埃氏筛法、欧拉筛法等。
1. 朴素算法朴素算法，又叫试除法，是一种最简单直接的方法。
它的基本思路是：依次枚举正整数，判断它是否为素数。
若这个数能被除了1和自身外的其他数整除，则不是素数，否则就是素数。
下面是朴素算法的Java代码实现：```public static boolean isPrime(int num) {if (num <= 1)return false;for (int i = 2; i <= Math.sqrt(num); i++) {if (num % i == 0)return false;}return true;}```从代码中可以看出，朴素算法的时间复杂度为O(sqrt(n))，空间复杂度为O(1)。
缺点是效率较低，无法处理大数据量，容易被攻击。
2. 埃氏筛法埃氏筛法是一种非常经典的生成素数的算法，也称为“筛法”。
它的基本思路是：从2开始，每次找出一个素数，并将其倍数全部标记为合数。
这样不断找素数、标记合数，就可以得到所有不大于一个给定整数n的素数。
最终没有被标记的数字就是素数。
```public static int[] sieveOfEratosthenes(int n) {boolean[] isPrime = new boolean[n + 1];Arrays.fill(isPrime, true);for (int i = 2; i * i <= n; i++) {if (isPrime[i]) {for (int j = i * i; j <= n; j += i) {isPrime[j] = false;}}}int count = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (isPrime[i]) {count++;}}int[] primes = new int[count];int idx = 0;for (int i = 2; i <= n; i++) {if (isPrime[i]) {primes[idx++] = i;}}return primes;}```埃氏筛法的时间复杂度为O(nloglogn)，空间复杂度为O(n)。
筛法求素数
筛法求素数一，确定素数。
二，以此数为圆心，作对称轴。
三，逐步减去该圆周长的一半，直至结果为素数。
四，看哪个素数与对称轴之积最大，则是这个素数。
如上面所示： 16与15的差=1，这样，很快就能看出这个素数是1。
五，如果不符合条件，那么必须重新开始。
找到符合条件的数后，再用筛法。
…我的老师——赵老师为了表示大自然对我们的恩泽，便出了一道题给我们做。
我听到了这个消息时，高兴得两只手抓住了头发，感觉头发都快掉光了。
“太棒了！我终于可以摆脱他们啦！”找出来，每天除了吃饭、睡觉，其余的时间我都花在寻找素数和合数上面了。
我把找素数和合数当成游戏一般，玩耍一番。
我去问爸爸妈妈，我从她们那里得知方程就是求未知数的值的，我很惊奇，便去查资料。
方程是一种解决数学问题的等式，是比较重要的数学模型之一。
它既是一种等式，又是一个未知数。
同时也是具有等号左边的值和右边的未知数的等式。
有时候，我感觉很难理解它的含义。
我去翻阅书本，书上写着：“方程就是用一个未知数和一个已知数表示出两个数之间的关系。
例如： X+Y=Y，则X和Y就叫做方程的未知数，X和Y就叫做方程的两个数，而方程里的未知数，等于方程两边的数的总和。
”书上讲的是那么的清晰，我渐渐地明白了方程的意思。
“接下来就是探索素数和合数的奥秘了。
”老师说道。
随着老师这一声令下，同学们又在火热的研究素数和合数的道路上狂奔。
我问同学们，他们问了一些同学，我一点也没想到一道简单的题，可以出现这么多问题。
由于没有经验，我研究了很久，还是没能解决。
老师走过来，亲切地对我说：“你怎么了？这道题目是这样做的，为什么不会呢？”“对啊，你能告诉我吗？”我回答道。
老师不紧不慢地说：“好吧，这样做吧！”说完，老师便教我做这道题。
老师解释道：“这样的做法：素数÷1÷2÷3÷4÷5，同理，合数也是这样算的。
”我恍然大悟，原来做题可以这么简单。
在我们班上，还有一位特殊的数学家——罗嘉东，同学们都尊敬地称呼他为“罗爷”。
数论——素数筛选法与整数的素因子分解
数论——素数筛选法与整数的素因⼦分解筛选法求出n以内的素数，最快的应该是筛选法。
筛选法的思路是：要求10000以内的素数，把1-10000都列出来，1不是素数，划掉；2是素数，所有2的倍数都不是素数，划掉；取出下⼀个幸存的数，划掉它的所有倍数；直到所有素数找完为⽌。
这种做法的空间复杂度是O(n)，时间复杂度O(n/logn)。
1 const int Max = 1000005;2 bool prime[Max]={0};//0表⽰素数，1为⾮素数34 //筛选n以内的素数5 void getPrime(int n)6 {7 int i,j;8 int t;9 for(i = 2; i <= n; i++)10 {11 if(!prime[i])12 {13 for(j = 2; (t=j*i) <= n; j++)14 prime[t] = 1;15 }16 }17 }分解素因⼦唯⼀质因⼦分解定理：任意⼀个合数a仅能以⼀种⽅式，写成如下的乘积形式：a = p1^e1*p2^e2*...*pr^er其中pi为素数，p1<p2<...<pr，且ei为正整数。
例如数6000=2^4*3*5^3。
素因⼦的分解技巧：⾸先a的某两个素因⼦不可能同时⼤于sqrt(a)，这样，先⽤筛选法求出sqrt(a)以内的所有素数，然后⽤a依次去mod这些素数，若能整除，则找到素因⼦，将素因⼦去掉，再继续找。
最后若a>1，则a也是它的素因⼦。
1 const int Max = 100005;2 int isPrime[Max]={0};3 int prime[Max/5],num=0;4 int factors[100],s=0;56 void getPrime(int n)7 {8 int i,j;9 int t;10 for(i = 2; i <= n; i++)11 {12 if(!isPrime[i])13 {14 prime[num++] = i;15 for(j = 2; (t=i*j) <= n; j++)16 isPrime[t] = 1;17 }18 }19 }2021 void decompose(int n, int* factors)22 {23 int te = (int)sqrt(n*1.0);24 for(int i = 0; i<num&&prime[i]<=te; i++)25 {26 if(n%prime[i]==0)27 {28 factors[s++] = prime[i];29 while(n%prime[i]==0)30 n = n/prime[i];31 }32 }33 if(n > 1)34 factors[s++] = n;35 }。
c语言求素数最快方法
c语言求素数最快方法摘要：1.引言2.最快方法：埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）3.算法原理4.C语言实现5.代码解析6.性能测试与优化7.结论正文：**引言**在计算机科学和编程领域，寻找素数是一种常见的任务。
素数是指大于1的自然数中，除了1和它本身以外，不能被其他自然数整除的数。
求解素数问题有助于理解数论、密码学等领域。
本文将介绍求解素数的最快方法——埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）及其C语言实现。
**最快方法：埃拉托斯特尼筛法（Sieve of Eratosthenes）**埃拉托斯特尼筛法是一种基于二维数组的算法，用于找出小于等于上限的素数。
该算法利用了素数的性质：如果一个数是素数，那么它的平方模小于等于上限的数也是素数。
通过不断标记数组中的素数，最终得到小于等于上限的素数。
**算法原理**1.创建一个二维数组，用于存储小于等于上限的数。
2.初始化数组中的所有元素为1，表示都是素数。
3.从2开始，遍历数组，将数组中的所有素数两两相乘，得到的结果大于上限的，将其对应的元素标记为0，表示该数不是素数。
4.重复步骤3，直到数组中的所有元素都被标记或遍历到上限。
**C语言实现**以下是一个简单的C语言实现：```c#include <stdio.h>#include <stdbool.h>void sieve_of_eratosthenes(int limit) {bool *prime = (bool *)malloc((limit + 1) * sizeof(bool));for (int i = 0; i <= limit; i++) {prime[i] = true;}for (int p = 2; p * p <= limit; p++) {if (prime[p]) {for (int i = p * p; i <= limit; i += p) {prime[i] = false;}}}for (int i = 2; i <= limit; i++) {if (prime[i]) {printf("%d ", i);}}free(prime);}int main() {int limit;printf("请输入一个上限：");scanf("%d", &limit);sieve_of_eratosthenes(limit);return 0;}```**代码解析**1.首先，我们需要一个布尔数组来存储小于等于上限的数是否为素数。
筛法求素数真的很快
end.
用我那台烂电脑测筛法求素数的效率都如此之高，所以这个……必须要熟练掌握啊！
var i,j,k,n:longint;
l:array[1..1000000]of boolean;
su:array[1..500000]of longint;
begin
k:=0;
fillchar(l,sizeof(l),true);
求100万以内所有素数用时008求1000万以内所有素数用时11用我那台烂电脑测筛法求素数的效率都如此之高所以这个
筛法求素数真的很快，具体有多快？今天测了一下：
求10万以内所有素数，用时0.01秒之内；
求100万以内所有素数，用时0.08秒；
求1000万以内所有素数，用时1.1秒；
求1亿以内所有素数，用时约13秒。
readln(n);
for i:=2 to trunc(sqrt(n)) do
div i do l[i*j]:=false;
for i:=2 to n do if l[i] then begin
inc(k);
su[k]:=i;
end;
writeln(k);
素数判断最快方法
素数判断最快方法素数是大于1的自然数中,只有1和它本身两个因数的数。
在数学中,素数是一个重要的概念,它们在很多领域中都有广泛的应用。
判断一个数是否为素数是素数计算中的一个常见问题。
下面介绍几种最快的判断素数的方法。
方法一:试除法试除法是判断一个数是否为素数的常用方法之一。
具体步骤如下:1. 将待判断的数除以1到它的最大因数n(n小于等于6),并记录下每次除到的数。
2. 如果每次除到的数都是n,那么该数就是素数;否则,该数不是素数。
这种方法的优点是简单易行,但是效率较低,需要反复进行除法运算。
方法二:筛法筛法是判断一个数是否为素数的另一种常用方法。
具体步骤如下:1. 将待判断的数从1到它的最大因数n(n小于等于6)依次除以每个小于等于它的因数,并记录下每次除到的数。
2. 如果每次除到的数都是n,那么该数就是素数;否则,该数不是素数。
这种方法的优点是速度快,只需要进行因数分解即可,但是需要记住每个小于等于它的因数的情况。
方法三:埃氏筛法埃氏筛法是判断一个数是否为素数的第三种常用方法。
具体步骤如下:1. 将待判断的数从1到n(n小于等于6)依次排列,并将它们划分为素数和合数两部分。
2. 选取一个小于等于n的随机数i,然后将待判断的数i从素数部分中取出,并继续从1到i的平方根范围内选取一个数j,然后将待判断的数j从合数部分中取出。
3. 如果i等于j的平方根,那么该数就是素数;否则,该数不是素数。
埃氏筛法是一种高效的算法,可以进行因数分解,并且适用于较大的数的判断。
但是需要记住每个数的情况,并且选取随机数的时间复杂度较高。
以上是几种常用的判断素数的方法,每种方法都有其优缺点和适用范围,需要根据具体情况选择。
在实际计算中,通常需要根据具体情况综合使用多种方法,以提高判断素数的效率。
素数快速筛法及公式
素数快速筛法及公式素数快速筛法及公式梅生林安徽合肥2012.07.12摘要：在素数的研究中，总结出素数快速筛法及公式，在这个基础上扩展了素数的一些关系、性质。
关键词：素数快速筛法，素数通式，质数筛法公式1.引言素数（Prime Number）是指自然数中那些只能被1和本身整除的数，依次为2、3、5、7、11、13、17、19、23、29…。
前人已证明：素数有无限多个。
一直到现在人们判定、寻找素数的方法，还是古希腊的数学家艾拉托斯芬（Eratosthenes）提出过的筛式方法，简称“艾氏筛法”。
即在任意有限自然数N以内判定素数时，先把N一个不漏的写下来，然后划掉根号N（）内所有素数的倍数，我们就能得到N以内的全部素数。
艾氏筛法判定素数的过程机械，也未能表示素数公式和一些性质。
关于寻找判定表示素数的方法公式，以前众多数学家进行了艰辛探索，也提出了很多关于素数的猜想和问题。
欧拉(Euler)就提出二项式公式n2-n+41能生成一部分素数的数型公式，直到现在，素数研究中仍然还有许多未解问题。
本文通过素数快速筛法及公式，总结出一些素数的新理论，使素数筛法及公式等都将是一次质变，将为素数研究抛砖引玉，也可能为数论增添上新的一页。
2.素数的快速筛法原理及公式当我们用艾氏筛法是要划掉每个合数，只2的倍数就差不多要划掉一半自然数，越往后面合数越多，而留下的素数越少。
我们能不能利用数学原理、公式去掉大部分合数呢？答案是肯定的。
2.1 当我们想去掉第一个素数2的倍数时，我们可能会想到用：2N+1 （N≥1）N为大于等于1的自然数，以下公式同上。
2.2 去掉2、3的倍数时，用2*3的倍数加上同为2、3互质的数：6N±12.3 去掉2、3、5的倍数时，用2*3*5的倍数加上同为2、3、5互质的数：30N±1，30N±7，30N±11，30N±13，2.4 去掉2、3、5、7的倍数时，同上的方法：210N±1，210N±11，210N±13，210N±17，210N±19，210N±23，210N±29，210N±31，210N±37，210N±41，210N±43，210N±47，210N±53，210N±59，210N±61，210N±67，210N±71，210N±73，210N±79，210N±83，210N±89，210N±97，210N±101，210N±103，2.5 去掉2、3、5、7、11的倍数时，同上的方法：2310N±1，2310N±13，2310N±17，2310N±19，……2310N±1139，2310N±1147，2310N±1151，2310N±1153，我们可以一直做下去，就会去掉从前面开始的素数倍数，划掉的合数比例将越来越少。
埃氏筛求素数
埃氏筛求素数埃氏筛是一种用于求解素数的经典算法，它的原理非常巧妙，可以高效地筛选出一定范围内的素数。
本文将介绍埃氏筛的算法原理和实现方法，帮助读者更好地理解和应用这一算法。
我们需要明确什么是素数。
素数是指只能被1和自身整除的自然数，比如2、3、5、7等。
而非素数则是能够被其他数整除的数。
求解素数的问题一直以来都是数论中的重要研究领域，埃氏筛就是其中一种经典方法。
埃氏筛的算法思想很简单，首先我们需要一个布尔数组来标记每个数是否为素数。
假设我们要求解不超过n的素数，那么我们可以创建一个长度为n+1的布尔数组，初始化为True。
然后从2开始，将其所有的倍数都标记为False，因为它们不可能是素数。
接下来，再找到下一个未被标记为False的数，重复上述步骤，直到找不到下一个未被标记的数为止。
最后，所有未被标记的数即为素数。
具体来说，我们可以用如下伪代码表示埃氏筛的实现过程：```def sieve(n):is_prime = [True] * (n+1)is_prime[0] = is_prime[1] = Falsefor i in range(2, int(n**0.5)+1):if is_prime[i]:for j in range(i*i, n+1, i):is_prime[j] = Falseprimes = [i for i in range(n+1) if is_prime[i]]return primes```以上就是埃氏筛的核心算法。
接下来我们来看一个例子，以帮助读者更好地理解：假设我们要求解不超过30的素数，按照埃氏筛的算法流程，首先创建一个长度为31的布尔数组，并将所有元素初始化为True。
然后从2开始，将其所有的倍数标记为False。
接下来找到下一个未被标记为False的数，即3，将其所有的倍数标记为False。
再找到下一个未被标记的数，即5，将其所有的倍数标记为False。
依次类推，直到找不到下一个未被标记的数。
判断素数的方法
判断素数的方法首先，最朴素的方法是试除法。
对于一个给定的数n，我们可以从2开始，依次用2、3、4、5……n-1来除以n，如果能够整除，则n不是素数；如果都不能整除，则n是素数。
这种方法的时间复杂度是O(n)，并不是一个高效的方法，特别是在处理大数时，计算量会非常大。
因此，我们需要更高效的方法来判断素数。
其次，我们可以利用素数的性质来判断。
根据素数的定义，我们知道，如果一个数n不是素数，那么它一定可以被分解成两个因数a和b的乘积，即n=ab。
那么a和b中必定有一个小于等于√n。
因此，我们只需要判断2到√n之间的数是否能够整除n即可。
这种方法的时间复杂度是O(√n)，相比于朴素的试除法，效率有了很大的提高。
除此之外，我们还可以利用素数的性质来进行判断。
根据费马小定理，如果p是一个素数，那么对于任意整数a，a的p次方减去a都能被p整除。
这就是费马小定理的内容。
因此，我们可以利用费马小定理来进行素数的判断。
这种方法在RSA加密算法中有着重要的应用。
另外，还有一种更高效的方法，即埃拉托斯特尼筛法。
这是一种用来查找一定范围内所有素数的算法。
其基本思想是从2开始，将每个素数的各个倍数都标记为合数。
这种方法的时间复杂度是O(nloglogn)，是目前已知最高效的素数筛法。
总之，判断素数是一个数论中的重要问题，也是计算机算法中常见的问题之一。
本文介绍了几种常见的判断素数的方法，包括朴素的试除法、利用素数的性质、费马小定理和埃拉托斯特尼筛法。
希望能够帮助大家更好地理解和掌握素数的性质和判断方法。
同时，也希望大家能够在实际应用中灵活运用这些方法，解决相关问题。
素数判断最快方法
素数判断最快方法素数是指只能被1和自身整除的正整数。
在数学中，素数一直是一个重要的研究对象。
判断一个数是否为素数是数论中的一个经典问题，也是计算机算法中的一个常见任务。
本文将介绍一些常用的判断素数的方法，并重点讨论最快的素数判断方法。
我们来介绍一种最简单的方法——暴力法。
暴力法就是对一个数n，从2开始逐个判断n是否能被2到n-1之间的数整除。
如果找到一个能整除n的数，那么n就不是素数；如果找不到能整除n的数，那么n就是素数。
但是暴力法的缺点是时间复杂度较高，需要遍历较多的数，对于大数来说效率较低。
接下来，我们介绍一种更高效的方法——试除法。
试除法的基本思想是，对于一个数n，判断它是否能被2到√n之间的数整除。
如果找到一个能整除n的数，那么n就不是素数；如果找不到能整除n 的数，那么n就是素数。
试除法的优点在于只需要遍历较少的数，时间复杂度较低。
但是试除法仍然可以进一步优化。
在试除法的基础上，我们介绍一种更快速的方法——埃拉托斯特尼筛法。
埃拉托斯特尼筛法是古希腊数学家埃拉托斯特尼提出的一种筛选素数的方法。
它的基本思想是从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到不能再找到新的素数为止。
这个过程可以通过一个布尔数组来实现，数组中的值为true表示对应的数是素数，为false表示对应的数是合数。
埃拉托斯特尼筛法的优点在于可以一次性地筛选出一定范围内的所有素数，时间复杂度较低。
除了埃拉托斯特尼筛法，还有其他一些更高级的素数判断方法。
例如，费马小定理和米勒-拉宾算法等。
费马小定理是一个基于费马定理的判断素数的方法，它的基本思想是对于一个素数p，对任意整数a，a的p次方与a对p取余的结果相等。
米勒-拉宾算法是一种基于随机化的素数判断算法，它的基本思想是对于一个数n，通过多次随机选择的a值来判断n是否为素数。
这些方法在某些情况下可以比试除法和埃拉托斯特尼筛法更快速地判断素数。
判断一个数是否为素数有多种方法，其中最快的方法是埃拉托斯特尼筛法。
埃氏筛法求素数
埃氏筛法求素数素数一直以来都是数学家们所钟情的主题，古希腊数学家埃及里斯（Eratosthenes）在公元前三世纪就发明了一种基于排除法的算法埃氏筛法，它可以用来有效地求出指定数字范围内的素数。
其基本原理是，从2开始，把2的倍数剔除掉，然后再把3的倍数剔除掉，最后再把4的倍数剔除掉，以此类推，如此循环地排除，剩下来的数字就是指定范围内的素数。
埃氏筛法的实现，一般采用一维布尔数组的形式，其元素的个数为指定数字范围内的数字数目，元素值初始均为真，每次排除一个指定数字的倍数时，即将该数字的倍数设为假，这样可以较简单地实现埃氏筛法，并且排除一个数字的倍数可以利用已排除的数字的倍数的倍数进行排除，即可以多次排除，从而大大地提高求素数的效率。
实际应用中，在求特定数字范围内的素数时，可以利用埃氏筛法进行求解，但是，当数字范围较大时，这种方式会有一定的效率问题，因为必须要对所有数字进行判断。
从历史上看，埃及里斯提出了埃氏筛法以求素数，这种排除法算法虽然比较直接，但还是具有很大的时间效率，所以，后来中国古代数学家张丘建更进一步，提出了更加高效的“秦九韶算法”，而此算法是后来的素数求解算法（如Sieve of Atkin算法和Sieve of Sundaram算法）的基础。
在具体实现上，埃氏筛法的实现可以适用各种编程语言，如C、C++、Java等。
下面给出一段C语言代码，用来实现埃氏筛法：#include <stdio.h>//求1000以内的素数#define N 1000int main( ){int i, j, a[N];//初始化数组for (i = 2; i < N; i++)a[i] = 1;//埃氏筛法for (i = 2; i < N; i++){if (a[i]){for (j = i; j <= N / i; j++) {a[i * j] = 0;}}}//输出素数for (i = 2; i < N; i++){if (a[i])printf(%d i);}printf(return 0;}总之，埃氏筛法是一种有效的素数求解方法，它具有比较高的效率，可以应用于大规模数字范围内的素数求解。
最快的筛法求素数的方法
最快的筛法求素数的方法素数是指只能被1和自身整除的正整数。
求解素数一直是数学领域的一个重要问题，也是计算机科学中常见的算法挑战之一。
本文将介绍一种被称为“埃拉托斯特尼筛法”的算法，它是一种高效的方法来找出一定范围内的素数。
埃拉托斯特尼筛法的基本思想是从2开始，将所有的倍数标记为合数，直到遍历完所有小于等于给定范围的数。
具体步骤如下：1. 创建一个长度为n+1的布尔数组，用来表示从2到n的所有数。
初始时，将数组中的所有元素都设置为true，表示它们都是素数的候选者。
2. 从2开始遍历数组，如果当前数字是素数（即数组中对应位置的值为true），则将其所有的倍数标记为合数（将对应位置的值设置为false）。
3. 继续遍历数组，重复步骤2，直到遍历完所有小于等于给定范围的数。
4. 遍历完数组后，所有值为true的位置对应的数字即为素数。
下面是一个示例，以求解小于等于30的素数为例：创建一个长度为31的布尔数组，初始时所有元素都为true。
从2开始遍历数组，发现2是素数，将其所有的倍数（4、6、8、...）标记为合数。
继续遍历，发现3是素数，将其所有的倍数（6、9、12、...）标记为合数。
继续遍历，发现4不是素数（因为它已经被标记为合数），跳过。
继续遍历，发现5是素数，将其所有的倍数（10、15、20、...）标记为合数。
继续遍历，发现6不是素数，跳过。
继续遍历，发现7是素数，将其所有的倍数（14、21、28、...）标记为合数。
继续遍历，发现8不是素数，跳过。
继续遍历，发现9不是素数，跳过。
继续遍历，发现10不是素数，跳过。
继续遍历，发现11是素数，将其所有的倍数（22、33、44、...）标记为合数。
继续遍历，发现12不是素数，跳过。
继续遍历，发现13是素数，将其所有的倍数（26、39、52、...）标记为合数。
继续遍历，发现14不是素数，跳过。
继续遍历，发现15不是素数，跳过。
继续遍历，发现16不是素数，跳过。
素数的三种判断方法
素数的三种判断方法一、前言素数是指只能被1和它本身整除的正整数，也称为质数。
在数学中有着广泛的应用，例如在密码学、概率论等领域。
因此，判断一个数是否为素数是一个非常重要的问题。
本文将介绍三种判断素数的方法：试除法、埃氏筛法和米勒-拉宾素性检验。
二、试除法试除法是最简单直接的方法，即对于一个正整数n，从2到n-1依次进行试除，如果能被整除，则n不是素数；如果不能被整除，则n是素数。
代码实现：```bool isPrime(int n) {if (n < 2) return false;for (int i = 2; i < n; i++) {if (n % i == 0) return false;}return true;}```三、埃氏筛法埃氏筛法（也称为爱拉托逊斯筛法）是一种较快的判断素数的方法。
其基本思想是先将2到n之间的所有整数标记为素数，然后从2开始，将每个素数的倍数都标记为合数。
最终未被标记为合数的数字即为素数。
代码实现：```bool isPrime(int n) {if (n < 2) return false;bool is_prime[n+1];memset(is_prime, true, sizeof(is_prime));for (int i = 2; i <= sqrt(n); i++) {if (is_prime[i]) {for (int j = i * i; j <= n; j += i) {is_prime[j] = false;}}}return is_prime[n];}```四、米勒-拉宾素性检验米勒-拉宾素性检验是一种基于费马小定理的概率算法，可以用于判断一个数是否为素数。
其基本思想是：对于一个奇数n，如果存在一个整数a，使得$a^{n-1} \not\equiv 1 \pmod{n}$且$a^{\frac{n-1}{2}} \not\equiv -1 \pmod{n}$，则n不是素数。
素数的三种判断方法
素数的三种判断方法引言素数是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
素数在数论中扮演着重要的角色，被广泛应用于密码学、质因数分解、概率算法等领域。
因此，判断一个数是否为素数具有重要的意义。
本文将介绍三种常见的素数判断方法：试除法、埃拉托斯特尼筛法和费马素性检验。
这些方法具有不同的原理和适用范围，对于不同规模的数值可以选择适合的判断方法。
下面将逐一介绍这三种方法。
1. 试除法试除法是最简单、直观的一种素数判断方法，也是最容易理解和实现的方法。
其基本原理是：对于待判断的数n，从2开始，逐一尝试将n除以每个小于n的数d，若存在一个d能整除n，则n不是素数；若不存在，则n是素数。
以下是使用试除法判断一个数是否为素数的伪代码：Input: n (待判断的数)Output: True (是素数) 或 False (不是素数)if n <= 1:return Falsefor d in range(2, int(sqrt(n)) + 1):if n % d == 0:return Falsereturn True使用试除法进行素数判断的时间复杂度为O(sqrt(n))，空间复杂度为O(1)。
试除法对于判断较小的数值非常有效，但对于极大数值的判断则会变得非常耗时，因为需要逐一尝试除以每个可能的因子。
2. 埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法（简称埃氏筛）是一种更高效的素数判断方法，适用于判断较小范围内的数是否为素数。
该方法基于一个重要的数论定理：如果p是素数，那么大于p的p的倍数一定不是素数。
以下是使用埃拉托斯特尼筛法判断一个范围内所有数的素数情况的伪代码：Input: n (待判断范围内的最大数)Output: primes (所有素数的列表)is_prime = [True] * (n+1)is_prime[0] = Falseis_prime[1] = Falsefor p in range(2, int(sqrt(n)) + 1):if is_prime[p]:for multiple in range(p*p, n+1, p):is_prime[multiple] = Falseprimes = [p for p in range(n+1) if is_prime[p]]使用埃拉托斯特尼筛法判断范围内数的素数情况的时间复杂度为O(nlog(log(n)))，空间复杂度为O(n)。
【算法】筛选法统计素数--埃拉托色尼筛
【算法】筛选法统计素数--埃拉托⾊尼筛⽣成素数有很多⽅法，本⽂介绍的算法是⼀种⾼效的筛选算法 ---埃拉托⾊尼筛选法。
⽐如，要产⽣[2,n] 范围内的所有素数，步骤如下：1、构造⼀个2,3,4,5,...n 的候选数序列 A 。
2、不断的去除（筛掉）序列A中的⾮素数。
①去掉2的倍数。
②再去掉3的倍数。
③去掉4的倍数（不需要，因为在第⼀步已经被去掉了）去掉5的倍数。
④去掉6的倍数⑤去掉7 的倍数... ... ⼀直到不能再去除为⽌。
3、经过反复的筛选去除后，序列A就只剩下了[2,n]内的素数例⼦：产⽣[2,25]范围的素数序列代码实现/*使⽤⼀个bool 数组。
数组的下标代表待筛选的数，⽽⽤数组元素的值代表数的存在与否。
如 A[p] = true 表⽰数p 存在，没有被去除。
则p为素数*/void select_prime(int n){if (n < 2) return ;const bool exist = true;const bool not_exist = false;bool*A = new bool[n + 1]; //会浪费数组的第⼀和第⼆个元素空间.因为 0 和 1 既不是素数，也不是合数。
memset(A, exist, sizeof(bool)*(n + 1)); //初始化为existfor (int p = 2; p*p <=n; p++){if (A[p] == exist) //{ //int j = p*p; //while (j <= n) //{ //A[j] = not_exist; //j += p; //} //} //}//⾄此，使得A[p]为true 的p都是素数。
这⾥不再具体操作，取决于你⾃⼰的实现。
如打印，或者转存delete[] A;}整体代码，估计就是for循环那段代码可能不好理解。
我们先分析for内部的代码。
if (A[p] == exist) //如果p是素数{int j = p*p; //则从p*p开始去除while (j <= n){A[j] = not_exist; //标记为去除状态j += p; //递增到下⼀个倍数}}也就是说，对于⼀个数p，会依次去除 p*p , p(p+1) , p(p+2) .... p(p+k) 【p(p+k)<=n】前⾯不是说要去除 p 的所有倍数的吗？那2p ,3p 4p ...p(p-1)怎么不去除呢？他们已经被去除了。
用筛选法求100以内素数
用筛选法求100以内素数素数又称质数，是大于1的自然数中，除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数。
100以内的素数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
素数的概念可以追溯到古希腊时期，当时的数学家们就已经开始研究素数的性质，并发现了一些有趣的结论。
素数的概念在数学中十分重要，它们在计算机科学、密码学、编码理论等领域都有着重要的应用。
要求求出100以内的素数，可以使用筛选法。
筛选法的基本思想是：从2开始，将2的倍数剔除掉，然后再从下一个未被剔除的数开始，将它的倍数剔除掉，依次类推，直到100以内的所有数都被剔除掉，剩下的就是素数。
首先，从2开始，将2的倍数剔除掉，即4、6、8、10、12、14、16、18、20、22、24、26、28、30、32、34、36、38、40、42、44、46、48、50、52、54、56、58、60、62、64、66、68、70、72、74、76、78、80、82、84、86、88、90、92、94、96、98、100，剩下的数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
接下来，从3开始，将3的倍数剔除掉，即6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54、57、60、63、66、69、72、75、78、81、84、87、90、93、96、99，剩下的数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
依次类推，从4开始，将4的倍数剔除掉，即8、12、16、20、24、28、32、36、40、44、48、52、56、60、64、68、72、76、80、84、88、92、96、100，剩下的数有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。
埃氏筛法（素数筛）--目前我学过的找素数最快的方法
埃⽒筛法（素数筛）--⽬前我学过的找素数最快的⽅法
：给定⼀个正整数n(n<=10^6)，问n以内有多少个素数？
做法：做法其实很简单，⾸先将2到n范围内的整数写下来，其中2是最⼩的素数。
将表中所有的2的倍数划去，表中剩下的最⼩的数字就是3，他不能被更⼩的数整除，所以3是素数。
再将表中所有的3的倍数划去……以此类推，如果表中剩余的最⼩的数是m，那么m就是素数。
然后将表中所有m的倍数划去，像这样反复操作，就能依次枚举n以内的素数，这样的时间复杂度是O(nloglogn)。
题解：如果要是按照⼀个⼀个判断是否是素数然后把ans+1，时间复杂度为O(n√n)，对于10^6的数据时间复杂度就是O(10^9)，必定会超时，但此时埃⽒筛法的时间复杂度只有O(nloglogn)。
1 int prime[MAXN];//第i个素数
2 bool is_pri[MAXN+10];//is_pri[i]表⽰i是素数
3 //返回n以内素数的个数
4 int sieve(int n){
5 int p=0;
6 for(int i=0;i<=n;i++)is_pri[i]=true;
7 is_pri[0]=is_pri[1]=false;
8 for(int i=2;i<=n;i++){
9 if(is_pri[i]){
10 prime[++p]=i;
11 for(int j=2*i;j<=n;j+=i)is_pri[j]=false;
12 }
13 }
14 return p;
15 }。
筛法求素数
具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。
<1> 先将1挖掉(因为1不是素数)。
<2> 用2去除它> 用3去除它后面的各数，把3的倍数挖掉。
<4> 分别用5…各数作为除数去除这些数以后的各数。
素数的计算方式
素数的计算方式
素数，也叫质数，是指只能被1和自身整除的正整数，如2、3、5、7、11等。
计算素数的方法有很多种，以下介绍一些常见的方法。
1.试除法：试除法是最简单的一种判断素数的方法，即对于一个数n，只需用从2到√n的所有整数去除一遍n，如果都不能整除，则n为素数。
但是试除法的缺点是当n非常大时，需要判断的数也相应增加，计算量非常大。
2. 埃拉托色尼筛法：埃拉托色尼筛法是一种可以找出一定范围内素数的高效算法。
该算法的基本思想是：从2开始到n，所有的数都标记为素数，然后从2开始，将每个素数的倍数标记为合数，直到所有小于n的素数都被标记。
这样，未被标记的数即为素数。
该算法的时间复杂度为O(nloglogn)，比试除法要快很多。
3. 米勒-拉宾素性检验：米勒-拉宾素性检验是一种概率性的素性测试算法。
该算法的基本思想是利用费马小定理：如果p是素数，那么对于所有的a，a^(p-1) ≡1(mod p)。
该算法的步骤是：先把n-1分解成2^k * q的形式，然后随机选择a(2≤a≤n-2)并计算a^q mod n，如果结果为1或者n-1，则n极有可能是素数，否则继续计算a^2q, a^4q, …, a^(2^(k-1)q)，若其中某一项为n-1，则n也有可能是素数；
若所有计算结果都不是1或n-1，则n一定不是素数。
该算法的时间复杂度为O(k * log^3n)，是一种较快的素性测试算法。
以上是一些常见的计算素数的方法，当然也有更多其他的方法，选择适合的方法取决于具体的应用场景和需求。
寻找素数的算法
寻找素数的算法
素数，指的是只能被1和它本身整除的自然数，例如2、3、5、7等。
寻找素数的算法是数学中非常经典的问题，有多种不同的解法，本篇
文章将介绍其中比较常见的三种算法。
1.试除法
试除法是最常见、最简单的寻找素数的算法。
具体来说，我们需要遍
历从2到这个数的平方根之间所有的数，判断这个数是否能被其中的
这些数整除即可。
若都不能被整除，则该数为素数。
例如，判断5是否为素数的时候，我们需要遍历2，3两个数，判断5是否能被它们整除。
由于5不能被2或3整除，所以5是素数。
2.埃拉托色尼筛法
埃氏筛法本质是筛选法，它先将要寻找素数的范围内的所有数筛选一遍，把所有的合数删除，剩下的即为素数。
具体来说，我们首先把2到N之间的所有整数都列出来。
我们选择最小的数2，把2的倍数全都标记为合数，即划去。
接着我们再选取此
时列表中未被划去的最小的数3，把3的倍数全都标记为合数…… 以此类推，直到小于或等于N的所有的素数全部找出。
3.米勒-拉宾素性检验
米勒-拉宾素性检验是一种在大数素数判定中广泛应用的算法。
这个算法判断一个数是否为素数的概率非常高，因此在实际应用中也广泛使用。
具体来说，该算法基于费马小定理，判断一个数n是否为素数的方法是：先在有限个数的基础上进行检查，如果这些检查都通过，那么n 很有可能是一个素数。
在实际运用中，通常选取不同的n个底数进行检查。
综上所述，试除法和埃拉托色尼筛法适用于小规模的素数判断，米勒-拉宾素性检验适用于大规模的素数判断。
具体应用时，要根据不同的问题具体选择合适的算法。