筛法求素数
素数判断如何判断一个数是否为素数
素数判断如何判断一个数是否为素数素数是指除了1和本身之外没有其他因数的自然数。
在数论中，素数因其独特的性质和重要性而备受关注。
判断一个数是否为素数是数学中的一个基本问题，下面将介绍几种常用的方法来判断一个数是否为素数。
一、试除法试除法是一种简单直接的判断素数的方法。
对于一个待判断的数n，如果n能被不大于根号n的自然数整除，则n不是素数；如果n不能被不大于根号n的自然数整除，则n是素数。
二、埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法是一种高效的筛选素数的方法。
基本思想是从2开始，依次找到每一个素数，然后将能被该素数整除的数标记为非素数。
具体操作为，将2到N的自然数按顺序排列，对于每个素数p，将大于p且能被p整除的数标记为非素数。
遍历完所有素数后，剩下的未被标记的数即为素数。
三、费马小定理费马小定理是一种通过取模运算判断素数的方法。
若p为素数，a是小于p的任意整数，则a的p次幂与a模p的余数相等。
即a^p ≡ a (mod p)。
基于这个定理，可以用快速幂算法来计算a^p的结果，如果与a模p的余数相等，则a为素数。
四、Miller-Rabin素性测试Miller-Rabin素性测试是一种概率算法，用于测试一个数是否为素数。
该算法基于费马小定理的倒推，通过多次的概率测试来判断一个数的素性。
算法的具体原理较为复杂，在此不做详细介绍。
综上所述，判断一个数是否为素数可以使用试除法、埃拉托斯特尼筛法、费马小定理或Miller-Rabin素性测试等方法。
根据具体需求和时间复杂度要求选择合适的算法来判断素数。
素数（超详细！！！）
素数（超详细）整数惟⼀分解定理素数筛法给定n，求出1~n之间所有的质数。
⼀、Eratosthenes筛法（☒此处本应有⼀幅动图，然鹅我并不知道该如何显⽰动图(｡-ω-)-ω-)-ω-)Eratosthenes筛法思想⼆、欧拉筛法（线性筛）埃⽒筛法中以n=30为例，30这个数被筛了3次，分别是：2*15(p=2)3*10(p=3)5*6(p=5)枚举 2~n 中的每⼀个数 i：如果 i 是素数则保存到素数表中;利⽤ i 和素数表中的素数 prime[j] 去筛除 i*prime[j] ，为了确保i*prime[j] 只被素数 prime[j] 筛除过这⼀次，要确保 prime[j] 是i*prime[j] 中最⼩的素还要⼩的素因⼦。
因⼦，即 i 中不能有⽐ prime[j] 还要⼩的素因⼦写法⼀：（仅⽤于判断）写法⼆：（可求出每个数的最⼩质因⼦）素数筛法优化素因数分解只要在判定素数时记录下每个数值的最⼩素因数即可。
⼀道肥肠简单的模板题——【例 1】Prime Distance（信息学奥赛⼀本通 1619）【题⽬描述】给定两个整数 L,R，求闭区间 [L,R] 中相邻两个质数差值最⼩的数对与差值最⼤的数对。
当存在多个时，输出靠前的素数对。
【输⼊】多组数据。
每⾏两个数 L,R。
【输出】详见输出样例。
【输⼊样例】2 1714 17【输出样例】2,3 are closest, 7,11 are most distant.There are no adjacent primes.。
筛法求素数
筛法求素数一，确定素数。
二，以此数为圆心，作对称轴。
三，逐步减去该圆周长的一半，直至结果为素数。
四，看哪个素数与对称轴之积最大，则是这个素数。
如上面所示： 16与15的差=1，这样，很快就能看出这个素数是1。
五，如果不符合条件，那么必须重新开始。
找到符合条件的数后，再用筛法。
…我的老师——赵老师为了表示大自然对我们的恩泽，便出了一道题给我们做。
我听到了这个消息时，高兴得两只手抓住了头发，感觉头发都快掉光了。
“太棒了！我终于可以摆脱他们啦！”找出来，每天除了吃饭、睡觉，其余的时间我都花在寻找素数和合数上面了。
我把找素数和合数当成游戏一般，玩耍一番。
我去问爸爸妈妈，我从她们那里得知方程就是求未知数的值的，我很惊奇，便去查资料。
方程是一种解决数学问题的等式，是比较重要的数学模型之一。
它既是一种等式，又是一个未知数。
同时也是具有等号左边的值和右边的未知数的等式。
有时候，我感觉很难理解它的含义。
我去翻阅书本，书上写着：“方程就是用一个未知数和一个已知数表示出两个数之间的关系。
例如： X+Y=Y，则X和Y就叫做方程的未知数，X和Y就叫做方程的两个数，而方程里的未知数，等于方程两边的数的总和。
”书上讲的是那么的清晰，我渐渐地明白了方程的意思。
“接下来就是探索素数和合数的奥秘了。
”老师说道。
随着老师这一声令下，同学们又在火热的研究素数和合数的道路上狂奔。
我问同学们，他们问了一些同学，我一点也没想到一道简单的题，可以出现这么多问题。
由于没有经验，我研究了很久，还是没能解决。
老师走过来，亲切地对我说：“你怎么了？这道题目是这样做的，为什么不会呢？”“对啊，你能告诉我吗？”我回答道。
老师不紧不慢地说：“好吧，这样做吧！”说完，老师便教我做这道题。
老师解释道：“这样的做法：素数÷1÷2÷3÷4÷5，同理，合数也是这样算的。
”我恍然大悟，原来做题可以这么简单。
在我们班上，还有一位特殊的数学家——罗嘉东，同学们都尊敬地称呼他为“罗爷”。
素数(质数)判断的五种方法
素数（质数）判断的五种方法素数判断是编写程序过程中常见的问题，所以今天我简单梳理一下常用的素数判断方法。
素数的介绍素数定义质数(prime number)又称素数，有无限个。
一个大于1的自然数，除了1和它本身外，不能被其他自然数整除，换句话说就是该数除了1和它本身以外不再有其他的因数;否则称为合数。
根据算术基本定理，每一个比1大的整数，要么本身是一个质数，要么可以写成一系列质数的乘积;而且如果不考虑这些质数在乘积中的顺序，那么写出来的形式是唯一的。
最小的质数是2。
--------360百科第一种：暴力筛选法思路分析根据素数的定义，我们可以简单地想到：若要判断n是不是素数，我们可以直接写一个循环（i从2到n-1，进行n%i运算，即n能不能被i整除，如被整除即不是素数。
若所有的i 都不能整除，n即为素数）。
代码实现booleanisPrime(int n){for(inti=2;i<n;i++){if(n%i==0){returnfalse;break;}}returntrue ;}时间复杂度：O(n)这个时间复杂度乍一看并不乐观，我们就简单优化一下。
booleanisPrime(int n){for( i=2; i<=(int)sqrt(n);i++){if(n%i==0){returnfalse;break;}}returntrue;}时间复杂度：O(sqrt(n))优化原理：素数是因子为1和本身，如果num不是素数，则还有其他因子，其中的因子，假如为a,b.其中必有一个大于sqrt(num) ，一个小于sqrt（num）。
所以必有一个小于或等于其平方根的因数，那么验证素数时就只需要验证到其平方根就可以了。
即一个合数一定含有小于它平方根的质因子。
第二种：素数表筛选法素数表的筛选方法一看就知道素数存储在一个表中，然后在表中查找要判断的数。
找到了就是质数，没找到就不是质数。
思路分析如果一个数不能整除比它小的任何素数，那么这个数就是素数对了，这个方法效率不高，看看就知道思路了。
用筛法求出100以内的全部素数
例6、用筛法求出100以内的全部素数，并按每行五个数显示。
【问题分析】⑴把2到100的自然数放入a[2]到a[100]中（所放入的数与下标号相同）；⑵在数组元素中，以下标为序，按顺序找到未曾找过的最小素数minp,和它的位置p（即下标号）；⑶从p+1开始，把凡是能被minp整除的各元素值从a数组中划去（筛掉），也就是给该元素值置0；⑷让p=p+1，重复执行第②、③步骤，直到minp>Trunc(sqrt(N)) 为止；⑸打印输出a数组中留下来、未被筛掉的各元素值，并按每行五个数显示。
用筛法求素数的过程示意如下（图中用下划线作删去标志）：① 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 ｛置数｝② 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被2整除的数}③ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被3整除的数}……2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15…98 99 100 {筛去被整除的数}Program Exam53;const N=100;type xx=1 .. N; {自定义子界类型xx（类型名）}Var a: array[xx] of boolean; i,j: integer;BeginFillchar(a,sizeof(a),true);a[1] := False;for i:=2 to Trunc(sqrt(N)) doif a[I] thenfor j := 2 to N div I doa[I*j]:= False;t:=0;for i:=2 to N doif a[i] thenBeginwrite(a[ i ]:5); inc(t);if t mod 5=0 then writelnend;End.【例3】输入十个正整数，把这十个数按由大到小的顺序排列（将数据按一定顺序排列称为排序，排序的算法有很多，其中选择排序中的“简单选择排序”是一种较简单的方法）分析：要把十个数按从大到小顺序排列，则排完后，第一个数最大，第二个数次大，……；因此，我们第一步可将第一个数与其后的各个数依次比较，若发现，比它大的，则与之交换，比较结束后，则第一个数已是最大的数。
线性筛法求素数的原理与实现
何为线性筛法，顾名思义，就是在线性时间内（也就是O（n））用筛选的方法把素数找出来的一种算法，没用过线性筛素数法的人可能会奇怪，用遍历取余判定素数不是也是线性时间的吗，没错，但是确切的说线性筛法并不是判定素数的，而是在线性时间内求出一个素数表，需要判定是否是素数的时候只要看该数是否在表内就可以瞬间知道是不是素数。
比如想求10000以内的素数，定义表int a[10000]，进行线性筛选后，a[n]的值就代表n是不是素数，a[n]如果是1，就代表n是素数，a[n]如果是0，就代表n不是素数，这就是查表。
再判定其他的素数也是一样，不用再做任何计算。
而如果用遍历取余，那么每判定一个数都要从头开始再遍历一遍，而线性筛法只在开始一次性运算完，以后只要查表即可，查表通常只需要1条语句。
所以如果你的程序从始至终只需要判定那么几次素数那么用遍历取余即可，但是如果需要多次判定素数，而且这个数还不是很小的话，那么线性筛法就会体现出巨大的优越性来。
线性筛法的核心原理就是一句话：每个合数必有一个最大因子（不包括它本身），用这个因子把合数筛掉，还有另一种说法（每个合数必有一个最小素因子，用这个因子筛掉合数，其实都一样，但是我觉得这种方法不太容易说明，这种方法我会在最后给出简略说明）。
这个很容易证明：这个小学就知道合数一定有因子，既然是几个数，就一定有最大的一个。
最大因子是唯一的，所以合数只会被它自己唯一的因子筛掉一次，把所有合数筛掉后剩下的就全是素数了。
先假设一个数i，一个合数t，i是t最大的因数，t显然可能并不唯一（例如30和45的最大因数都是15）。
那么如何通过i知道t呢，t必然等于i乘以一个比i小的素数。
先来说这个数为什么一定要比i小，这很显然，如果是i乘上一个比它大的素数，那么i显然不能是t最大的因子。
再来说为什么要是素数，因为如果乘上一个合数，我们知道合数一定可以被分解成几个素数相乘的结果，如果乘上的这个合数x=p1*p2*……，那么t = i * x = i * p1 * p2……很显然p1* i也是一个因数，而且大于i。
用MATLAB筛选法求解素数
用MATLAB筛选法求解素数用MATLAB筛选法求解素数1. 引言素数在数论中扮演了重要的角色，它们不仅具有理论上的重要性，还在实际生活中有着广泛的应用。
在本文中，我们将介绍一种使用MATLAB编程语言进行素数筛选的方法。
通过这种方法，我们可以快速有效地找到给定范围内的所有素数，并加深对素数的理解。
2. 素数的定义和性质素数是指只能被1和自身整除的整数。
2、3、5、7、11等都是素数。
素数具有以下性质：- 素数只有两个正因子: 1和自身。
- 素数大于1。
- 除了2以外，其他素数都是奇数。
3. 筛选法基本原理筛选法是一种用于找出一定范围内所有素数的有效方法。
其中最著名的算法是埃拉托色尼筛法（Sieve of Eratosthenes）。
该方法的基本原理如下：- 我们创建一个长度为N的初始素数表，其中所有元素均为1（表示为True）。
- 我们从2开始，将2的所有倍数标记为非素数（表示为False）。
- 再从3开始，将3的所有倍数标记为非素数。
依此类推，直到遍历完范围内的所有数。
- 初始素数表中为True的数即为素数。
- 筛选法的时间复杂度约为O(n log(log n))。
4. MATLAB代码实现下面是使用MATLAB实现筛选法的代码：```matlabfunction primes = sieveOfEratosthenes(n)primes = logical(ones(1, n)); % 创建初始素数表并初始化为1（True）primes(1) = false; % 将1标记为非素数for i = 2:sqrt(n)if primes(i) == trueprimes(i*i:i:n) = false; % 将i的所有倍数标记为非素数endendprimes = find(primes); % 提取所有素数的索引end```5. 代码解释上述代码中，我们定义了一个名为`sieveOfEratosthenes`的函数，它接受一个参数n作为筛选范围，返回一个包含所有素数的向量。
素数的算法原理和应用
素数的算法原理和应用概述素数是指只能被1和自身整除的正整数。
素数在密码学、计算机科学和数学研究等领域具有重要的应用。
本文将介绍素数的算法原理以及在实际应用中的一些常见场景。
素数的判断算法判断一个数是否为素数是素数算法的基础。
常用的素数判定算法有两种：试除法和素数筛法。
试除法试除法是最简单直观的素数判定方法。
对于一个待判断的正整数n，只需从2开始遍历到sqrt(n)（即n的平方根）的整数m，检查是否有任何m能整除n。
若能找到能整除n的m，则n不是素数；否则，n是素数。
试除法的时间复杂度为O(sqrt(n))，适用于判断大部分整数是否是素数。
然而，对于非常大的数，这种方法的效率较低。
素数筛法素数筛法通过筛选法来判断素数。
其中最常用的是埃拉托斯特尼筛法。
首先，生成一个长度为n+1的布尔类型数组，将其初始值都设为true。
然后从2开始遍历到sqrt(n)的整数m，在数组中将2的倍数、3的倍数、4的倍数…全部标记为false。
最后，数组中值为true的索引对应的数就是素数。
素数筛法的时间复杂度为O(nloglogn)，虽然比试除法高效，但由于需要生成一个长度为n+1的数组，对于非常庞大的数，也存在一定的限制。
素数的应用素数在密码学、计算机科学和数学研究等领域有广泛的应用。
以下是一些常见的素数应用场景。
密码学中的应用素数在密码学中起到至关重要的作用，特别是在公钥密码学中。
其中一个常见的应用是RSA加密算法。
在RSA算法中，首先需要生成两个大素数p和q，然后计算它们的乘积n=p*q。
n被用作加密和解密过程中的模数，而p和q用于生成公钥和私钥。
素数的随机性应用素数的随机分布属性使其成为生成随机数的重要组成部分。
例如，质数的随机分布性质被广泛应用在随机数生成算法中，确保生成的随机数能够满足安全性和随机性的要求。
整数因子分解素数在整数因子分解中也有重要应用。
由于素数只能被1和自身整除，因此在将一个大数分解成其因子时，可以使用素数的概念来加快计算过程。
ACM 筛素数总结
【总结】关于求素数的说【两种筛法】（学习小结，请无视）素数大家都很熟了，不多说了，这里只想说一下求素数。
当然先是唯一素因子分解定理：合数a仅能以一种方式，写成如下的乘积形式：a=p1e1p2e2…prer其中pi为素数，p1<p2<…<pr，且ei为正整数对于一个整数n，当其在小于sqrt（n）范围里有一个约数，那么必然在大于sqrt（n)的范围里有对应的另一个Eratosthenes（埃拉托斯特尼筛法）都是到sqrt（n）的范围。
①。
试除法判素数对于大于1的正整数a，如果a具有小于或等于sqrt（a）的素因子，则a为合数，否则a为素数。
因此，可用区间[2,sqrt(a)]内的数去试除a，只要有一个数能整除a ，则a为合数，否则a为素数。
这种判断素复杂度O(sqrt(n)).IsPrime(a)for(i=2;i*i<=a;i++)if(a%i==0)return a为合数return a为素数②。
Sieve Of Eratosthenes（埃拉托斯特尼筛法）可以筛出2~n 范围里的所有素数。
1)将所有候选数2~n放入筛中;2)找出筛中最小数P，P一定为素数。
3)宣布P为素数，并将P的所有倍数从筛中筛去;4)重复2)至3)直到筛空.其实，当P>sqrt(n)时筛中剩下的数就已经都是素数了。
//用数组prime[MAXN]记录是否为素数；//prime[i]为0表示i为素数，否则为合数int prime[MAXN]={0};for(i=2;i*i<=n;i++){if(prime[i]==0){for(j=i+i;j<=n;j+=i)prime[j]=1;}}③。
线性筛法对于Sieve Of Eratosthenes，普通的筛法如果是一个合数，那么会被多次筛掉，比如6,当2作为素数时筛掉一线性筛法保证所有合数只被筛掉一次具体详见《ftfish利用积性函数的优化》，讲到了积性函数（对于正整数n的一个算术函数f(n)，当中f(1)=1且称它为积性函数。
素数题目解答
yes
19
no
20
yes
5
1、筛法求素数
const int N=1e5+10; bool a[N]; int main(){
a[0]=a[1]=1; for(int i=2;i*i<=N;i++){
if(!a[i]){ for(int j=i*i;j<=N;j+=i) a[ j]=1;
} } scanf("%d",&n); for(int i=0;i<n;i++){
输出：
所有小于等于n的素数对。每对素数对输出一行，中间用单个空格隔开。若没
有找到任何素数对，输出empty。 样例输入 100
样例输出 35 57
11 13
17 19
29 31
41 43
59 61
71 73ຫໍສະໝຸດ 2、素数对#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=1e6+10; int a[N]; int main(){
3、判断素数的个数
#include<iostream> #include<cstdio> using namespace std; const int N=1e6+10; int a[N]; int main(){
int n,m,b=0; a[0]=a[1]=1; for(int i=2;i*i<=N;i++){
4、回文素数
#include<bits/stdc++.h> using namespace std; int huiwen(int i){
素数筛法算法及其原理
素数筛法算法及其原理引⾔本⽂介绍部分素数筛法的步骤以及原理，并附带 python 算法的实现本⽂介绍的筛法有：厄拉多塞筛法（Eratosthenes Sieve ）Sundaram 筛法欧拉筛法（Euler Sieve ）分段筛法（Segmented Sieve ）增量筛（Incremental sieve ）Atkin 筛法厄拉多塞筛法（Sieve of Eratosthenes ）1. 厄拉多塞筛法步骤给定⼀个数 n，从 2 开始依次将 √n 以内的素数的倍数标记为合数标记完成后，剩余未被标记的数为素数（从 2 开始）算法原理如下：读取输⼊的数 n ，将 2 ⾄ n 所有整数记录在表中从 2 开始，划去表中所有 2 的倍数由⼩到⼤寻找表中下⼀个未被划去的整数，再划去表中所有该整数的倍数重复第(3)步，直到找到的整数⼤于 √n 为⽌表中所有未被划去的整数均为素数2. 厄拉多塞筛法原理⾸先，先证明这种⽅法能够标记所有 2~n 之间的合数。
由整数的唯⼀分解定理知，任意⼀个⼤于1的正整数都可以被分解成有限个素数的乘积。
因此，任意⼀个合数都可以看做是⼀个素数的倍数的形式。
对于任意⼀个合数 n ，存在 p, q ，使得 n = p·q （不妨设 p 为素数）同时可有 min(p, q) ≤ p ≤ √n ，否则会有 p · q ≥ min(p, q)2 ＞ n ，⽭盾故可知，任意合数都能被不⼤于 √n 的素数 p 标记其次，显然，该标记⽅法并不会错误地将素数标记成合数故该⽅法能且仅能标记所有 2~n 之间的合数，所以剩下未被标记的数就是素数（从 2 开始）3. 厄拉多塞筛法代码from math import sqrtdef sieve_of_eratosthenes(n: int):is_prime = [True for _ in range(n + 1)]for i in range(2, int(sqrt(n)) + 1):if is_prime[i]:for j in range(i * i, n + 1, i):is_prime[j] = False # 筛去j# 返回从2开始未被筛去的整数return [i for i in range(2, n + 1) if is_prime[i]]在筛去素数 p 倍数的过程中，我们是从 p 2 开始，⽽不是从 2·p 开始之前厄拉多塞筛法的原理中提到过，任意合数都能被不⼤于 √n 的素数标记。
埃拉托斯特尼筛法 contan
埃拉托斯特尼筛法 contan埃拉托斯特尼筛法（Eratosthenes Sieve）是一种用于计算素数的方法，称为“素数筛”。
它是由古希腊数学家埃拉托斯特尼发现的，为了在其著作《地心学说》中计算出最大的数字，以解决困难的几何问题。
素数筛是一种非常有效的方法，可用于计算素数。
一、什么是埃拉托斯特尼筛法埃拉托斯特尼筛法是一种计算素数的方法，也叫作“素数筛”。
它是由希腊古代数学家埃拉托斯特尼发明的，用于计算出在他的著作《地心学说》中最大的数字，以解决困难的几何问题。
素数筛法采用了开普勒欧拉内外关系体系，通过删除倍数来找出素数。
二、埃拉托斯特尼筛法的步骤（1）选择一个数字N作为起始数字。
（2）将小于N的所有自然数放入一张表中（progression list），从2开始，至N为止。
（3）开始从第一个数字，也就是2开始计数，该数字是第一个素数，然后将其倍数都放入另一个表中（exclusion list），即删除这些倍数。
（4）接下来又从progression list中选择下一个最小的数字，重复2、3步骤，直到遍历完整个progression list，剩下的素数就是最终结果。
三、埃拉托斯特尼筛法的优势1. 简单有效：埃拉托斯特尼筛法采用了开普勒欧拉体系，减少了内存的消耗，因此可以快速地计算出素数。
2. 可以节省空间：只需要2个表，progression list和exclusion list，前者存放所有小于N的自然数，后者存放被排除的倍数，因此可以有效的节省计算空间。
3. 可以减少时间复杂度：素数筛法只需要遍历一次数组，而不需要计算其他数字，因此可以节省时间复杂度，更快速地计算出素数。
四、在编程中的应用素数筛法被广泛应用于不同的编程领域，如：1. 加密：素数的大数相乘可以构成公钥，而且任何人都很难破解它，因此它在加密上比较安全。
2. 随机数：埃拉托斯特尼筛法可以产生大量不重复的素数，可用于产生伪随机数。
素数的计算方式[001]
![素数的计算方式[001]](https://img.taocdn.com/s3/m/f644e11da4e9856a561252d380eb6294dd8822e7.png)
素数的计算方式素数是指大于1的自然数中，除了1和自身以外，没有其他因数的数。
素数具有很多特殊的性质和应用，是数学研究中的重要领域之一。
素数的计算方式有多种方法。
下面将介绍几种常见的素数计算方法：1.试除法：试除法是判断一个数是否为素数最常用的方法。
对于待判定的数n，我们可以从2开始到√n，依次尝试将n除以这些数，如果存在一个能够整除n，那么n就不是素数。
如果无法整除任何一个数，则n是素数。
这是一种最简单直观的方法，但对于大数可能效率较低。
2.质数表法：质数表是通过预先计算一系列质数，并将它们保存在一个表中。
当需要判断一个数是否为素数时，只需要将该数与表中的质数逐一进行取模运算，如果都无法整除，则该数是素数。
这种方法在判断小范围内的素数时较为高效。
3.埃拉托斯特尼筛法：埃拉托斯特尼筛法是一种筛选法，可以快速得到一定范围内的素数。
具体步骤如下：a)创建一个长度为n的布尔数组，初始化为true，表示所有数都是素数。
b)从2开始，将2的倍数标记为非素数，即将对应位置的布尔值设为false。
c)继续遍历数组，如果某个数为素数，则将其倍数都标记为非素数。
d)直到遍历完毕，数组中剩下的为true的位置即为素数。
这种方法利用了素数的倍数关系，减少了重复的计算，因此在寻找小范围内的素数时效率很高。
4.米勒-拉宾素性测试：米勒-拉宾算法是一种概率算法，用于判断一个数是否为素数。
它基于费马小定理，通过随机选择一系列的底数对待判定数进行幂模运算，根据结果来判断是否为素数。
该方法在实际应用中应用较广，尤其在大数的素性测试中。
以上是几种常见的素数计算方法。
通过这些方式，我们可以快速准确地判断一个数是否为素数。
素数具有许多重要的应用，比如在密码学中的应用、寻找大质数等等。
因此，理解素数和掌握素数计算方法对于数学研究和实际应用都具有重要意义。
希望通过上述介绍，读者能够对素数及其计算方式有更深入的理解，并在数学学习和实际问题中灵活运用。
第七章C语言谭浩强答案
7.1用筛法求100之内的素数。
解：所谓“筛法”指的是“Eratosthenes筛法”。
Eratosthenes是古希腊的著名数学家。
他采用的方法是：在一张纸上写下1～1000之间的全部整数，然后逐个判断它们是否素数，找出一个非素数就把它挖掉，最后剩下的就是素数。
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 2728 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 …具体做法如下：先将1挖掉（因为1不是素数）。
用2去除它后面的各个数，把能被2整除的数（如4，6，8…）挖掉，即把2的倍数挖掉。
用3去除它后面各数，把3的倍数挖掉。
分别用4，5…各数作为除数去除这些数以后的各数。
这个过程一直进行到在除数后面的数已全被挖掉为止。
例如在上表中1～50范围内的素数，要一直进行到除数为47为止。
事实上，这一过程可以简化。
如果需要找1～n数）即可。
例如对1~50，只需进行到将7上面的算法可表示为：挖去1；用刚才被挖去的数的下一个数p去除p后面的各数，把p的倍数挖掉；检查p n=1000，则检查p<31否），如果是，则返回（2）继续执行，否则就结束；纸上剩下的就是素数。
解题的基本思路有了，但要变成计算机的操作，还要作进一步的分析。
如怎样判断一个数是否已被“挖掉”，怎样找出某一个数p的倍数，怎样打印出未被挖掉的数。
可以设一个数组a，a[1]到a[100]的值分别是1，2，3，…100。
然后用上述方法将非素数“挖去”。
如果一个数被认为是非素数，就将它的值变为零，最后将不为零的数组元素输出，就是所求的素数表。
程序如下：#include <math.h>main ( ){int i,j,n,a[101];for (i=1;i<=100;i++)a[i] =i;for (i=2;i<sqrt(100);i++)for (j=i+1;j<=100;j++){if (a[i]!=0 && a[j]!=0)if (a[j]%a[i]==0)a[j]=0; } /*非素数，赋值为0，“挖掉”*/printf(“\n”);for (i=2,n=0;i<=100;i++){ if (a[i]!=0){printf(“%5d”,a[i]);n++; }if (n==10) /*此处if 语句的作用是在输出10个数后换行*/{ printf (“\n”);n=0; }}}运行结果：2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 4347 53 59 61 67 71 73 79 83 89 977.2用选择法对10个整数排序（从小到大）。
python求素数的方法(一)
在Python中，求素数的方法有多种，下面将逐一介绍各种方法及其实现原理。
1. 埃氏筛法埃氏筛法是一种较为常见且高效的求素数方法。
其原理是从2开始，依次将2的倍数标记为非素数，然后找到下一个未被标记的数，将其所有倍数标记为非素数，直到所有的数都被标记。
实现步骤：- 创建一个长度为n+1的布尔型数组prime，初始化所有元素为True- 从2开始遍历数组，如果prime[i]为True，则将i的倍数j标记为False - 遍历完成后，所有prime[i]为True的i就是素数2. 线性筛法线性筛法是对埃氏筛法的优化，通过记录最小质因数来达到去重的目的。
实现步骤：- 创建一个长度为n+1的整型数组prime，用来存储质数- 创建一个长度为n+1的整型数组low，用来存储每个数的最小质因数- 遍历2到n的所有数，如果low[i]为0，则将i加入prime数组- 遍历prime数组，将i的倍数j的最小质因数设为i3. Miller-Rabin算法Miller-Rabin算法是一种概率性算法，用于判断一个数是否为素数。
虽然不是求素数的方法，但可以用来判断一个数是否为素数。
实现步骤：- 将n-1分解为2^s * d的形式，其中d为奇数- 随机选择一个a，将其代入方程a^d % n，若结果为1或n-1，则n可能为素数- 重复k次以上步骤，若都满足条件，则n可能为素数4. 素数判定函数Python的标准库math中提供了素数判定函数isprime，可以用来判断一个数是否为素数。
实现步骤：- 使用(n)判断n是否为素数以上就是几种常见的求素数方法及其实现原理。
每种方法都有其适用的场景和特点，可以根据实际需求选择合适的方法来求解素数问题。
希望本文能够帮助读者更好地理解Python中求素数的方法。
埃氏筛法（素数筛）--目前我学过的找素数最快的方法
埃⽒筛法（素数筛）--⽬前我学过的找素数最快的⽅法
：给定⼀个正整数n(n<=10^6)，问n以内有多少个素数？
做法：做法其实很简单，⾸先将2到n范围内的整数写下来，其中2是最⼩的素数。
将表中所有的2的倍数划去，表中剩下的最⼩的数字就是3，他不能被更⼩的数整除，所以3是素数。
再将表中所有的3的倍数划去……以此类推，如果表中剩余的最⼩的数是m，那么m就是素数。
然后将表中所有m的倍数划去，像这样反复操作，就能依次枚举n以内的素数，这样的时间复杂度是O(nloglogn)。
题解：如果要是按照⼀个⼀个判断是否是素数然后把ans+1，时间复杂度为O(n√n)，对于10^6的数据时间复杂度就是O(10^9)，必定会超时，但此时埃⽒筛法的时间复杂度只有O(nloglogn)。
1 int prime[MAXN];//第i个素数
2 bool is_pri[MAXN+10];//is_pri[i]表⽰i是素数
3 //返回n以内素数的个数
4 int sieve(int n){
5 int p=0;
6 for(int i=0;i<=n;i++)is_pri[i]=true;
7 is_pri[0]=is_pri[1]=false;
8 for(int i=2;i<=n;i++){
9 if(is_pri[i]){
10 prime[++p]=i;
11 for(int j=2*i;j<=n;j+=i)is_pri[j]=false;
12 }
13 }
14 return p;
15 }。
筛法求素数
具体做法是：先把N个自然数按次序排列起来。1不是质数，也不是合数，要划去。第二个数2是质数留下来，而把2后面所有能被2整除的数都划去。2后面第一个没划去的数是3，把3留下，再把3后面所有能被3整除的数都划去。3后面第一个没划去的数是5，把5留下，再把5后面所有能被5整除的数都划去。这样一直做下去，就会把不超过N的全部合数都筛掉，留下的就是不超过N的全部质数。因为希腊人是把数写在涂腊的板上，每要划去一个数，就在上面记以小点，寻求质数的工作完毕后，这许多小点就像一个筛子，所以就把埃拉托斯特尼的方法叫做“埃拉托斯特尼筛”，简称“筛法”。
<1> 先将1挖掉(因为1不是素数)。
<2> 用2去除它> 用3去除它后面的各数，把3的倍数挖掉。
<4> 分别用5…各数作为除数去除这些数以后的各数。
素数表算法
素数表算法一、介绍素数（Prime Number）是指大于1且只能被1和自身整除的正整数。
素数在数论和计算机科学中具有重要的应用价值，如密码学、质因数分解等领域。
素数表是一种将素数按顺序排列并列出的表格。
素数表算法就是用来生成素数表的数学方法和计算机程序。
二、素数的判断方法为了生成素数表，我们首先需要能够判断一个数是否为素数。
以下是常用的素数判断方法：1.试除法：将待判断的数n与2到√n之间的数逐一相除，如果存在能整除n的数，n就不是素数；否则，n是素数。
这种方法简单易懂，但对于大数效率较低。
2.费马检测：费马定理指出，如果一个数n是素数，那么对于任意不为0的整数a，都有a的n次方与a模n同余。
费马检测就是基于这个理论，通过随机取一个数a，对n进行多次的模幂运算，如果有一个结果不满足费马定理，那么n就不是素数。
这种方法适用于大数，但可能会有伪素数的情况。
3.米勒-拉宾检测：米勒-拉宾检测是费马检测的改进版，在费马基础上引入了确定性检测，通过多次的模幂运算来判断一个数是否为素数。
这种方法即适用于大数，又能够排除伪素数的情况。
三、生成素数表的算法生成素数表的算法可以应用上述素数判断方法，通过循环判断每个数是否为素数，并将素数加入素数表中。
以下是一种常用的素数表生成算法：1.埃拉托斯特尼筛法：也称作埃氏筛法，是一种通过排除法生成素数表的算法。
算法的基本思想是首先将2到n之间的所有数列出来，然后在2的倍数、3的倍数、以此类推直到√n的倍数处进行标记，最后留下没有被标记的数，即为素数。
这种算法在时间复杂度上较低，适用于生成较小的素数表。
–步骤：1.初始化一个长度为n的标记数组，将所有元素初始化为true。
2.从2开始，将标记数组中对应的所有倍数位置为false，表示不是素数。
3.当遍历到√n时停止。
4.遍历标记数组，将值为true的位置对应的数字加入素数表。
5.输出素数表。
四、示例代码以下是使用埃拉托斯特尼筛法生成素数表的示例代码（Python）：def generate_prime_table(n):# 初始化标记数组is_prime = [True] * (n + 1)is_prime[0] = is_prime[1] = False# 标记倍数位置为Falsefor i in range(2, int(n**0.5) + 1):if is_prime[i]:for j in range(i*i, n+1, i):is_prime[j] = False# 输出素数表prime_table = [i for i in range(n + 1) if is_prime[i]]return prime_table# 生成100以内的素数表prime_table = generate_prime_table(100)print(prime_table)五、应用和优化素数表算法不仅可以用于生成素数表，还可以解决一些与素数有关的问题，如质因数分解、最大公约数、欧拉函数等。
找素数的两种方法
找素数的两种⽅法⽅法⼀：根据特点直接找质数（prime number）⼜称素数，有⽆限个。
质数定义为在⼤于1的⾃然数中，除了1和它本⾝以外不再有其他因数。
根据这个性质，我们可以构造⼀个两层嵌套循环根据这个判断条件就可以找出1-n之间的素数了。
代码如下：#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int main() {//寻找素数的第⼀种⽅法bool isPrime;for (int i = 2; i < 100; i++) {isPrime = true;for (int j = 2; j < i; j++) {if (i%j == 0) isPrime = false;}if (isPrime) cout << i << " ";}return 0;}⽅法⼆：筛法求素数埃拉托斯特尼筛法，简称埃⽒筛或爱⽒筛，是⼀种由希腊数学家埃拉托斯特尼所提出的⼀种简单检定素数的算法。
要得到⾃然数n以内的全部素数，必须把不⼤于根号n的所有素数的倍数剔除，剩下的就是素数。
利⽤这个⽅法，我们可以建⽴⼀个从2到Math.sqrt(n)的循环，依次删除这些数的倍数。
代码如下：#include<iostream>#include<cmath>using namespace std;int main() {//寻找素数的第⼆种⽅法：埃拉托斯特尼筛⼦法，基本思路：不是挑选出所有素数，⽽是筛掉所有的合数。
int sum = 0, a[100] = { 0 };for (int i = 2; i < sqrt(100.0); i++) {sum = i;if (a[sum] == 0) {while (sum < 100) {sum += i;if (sum < 100) a[sum] = 1;}}}for (int i = 2; i < 100; i++) {if (a[i] == 0) cout << i << " ";}return 0;}。
素数的判断方法
素数的判断方法素数是一种在数学中有重要意义的数，它们只能被1和它本身整除，有很多科学研究都是以素数为基础的，因此，如何正确的判断一个数是否为素数非常重要。
在该文中，我们将介绍几种能够判断一个数是否为素数的算法，以便大家可以以此为基础，进行更深入的研究。
第一种判断素数的方法是“筛选法”。
该方法的简单思想是，从2开始，依次取出每个数，将这些数字放入一个列表中。
接着，从最小的数字开始，移除这个数字的倍数，也就是将该数字的倍数从列表中移除。
依次循环，直至移除到其它数字的2倍，最后，剩下的就是素数。
第二种判断素数的方法是埃氏筛法。
其实，埃氏筛法也是建立在筛选法的基础上的，但是它使用一种更为有效的方法。
它从2开始，将2的倍数（包括2）移除，然后将下一个未被移除的数取出，将它的倍数也移除，依次循环，至除尽所有数字，最后，剩下的数字就是素数。
第三种判断素数的方法是“算术基本定理”。
该定理提出，任何一个大于1的自然数，如果它可以分解为两个整数的乘积，那么这两个整数的乘积肯定可以分解为比乘积小的乘积。
同样，如果一个自然数大于1无法被分解为其它数的乘积，那么这个自然数就是素数。
第四种方法是“Miller-Rabin算法”，也被称为随机素数测试，这是一种概率算法。
它的思想是，通过一个随机过程，来判断一个大数是否为素数。
如果一个数被它判断出是素数，那么它是非常可靠的，但如果一个数被它判断出不是素数，那么还可能是素数，因此，需要对该算法的结果再进行检验。
以上就是素数的判断方法，当然，除了上述介绍的四种方法之外，还有其它方式来判断素数，我们也可以将它们结合起来，以保证结果的准确性。
在实际应用中，我们可以根据需要选择合适的方法，以获得最佳的效果。
总之，素数是数学界重要的概念，因此，如何正确的判断一个数是否为素数十分重要。
本文介绍了几种用于判断素数的算法，即筛选法，埃氏筛法，算术基本定理，Mill-Rabin算法，可以根据实际需要选择一种合适的算法，以便正确的判断一个数是否为素数。
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initial+=2*(step+1)
if initial>half:
return[2]+filter(None,numbers)
begin
sieve[newp]:=false;
newp:=newp+i;//每次取出这个数的倍数
end;
end;
1，C++实现:
#include <iostream>
using namespace std;
void FilterPrime(int n)
{
bool* isPrimes = new bool[n+1];
}
}
}
for(int k=2;k<=n;++k)
{
if(isPrimes[k]==true)
{
cout<<k<<"是素数"<<endl;
}
}
delete [] isPrimes;
}
int main()
{
int num;
cin>>num;
FilterPrime(num);
system("pause");
{
if(Location[i]!=0)
{
cout<<Location[i]<<" ";
++m;
}
if(m%10==0) cout<<endl;
}
cout<<endl<<m<<endl;
return 0;
}
该代码在Visual Studio 2010环境下测试通过。
以上两种算法在小数据下速度几乎相同。
void set(bool IsPrime[])
{
int i,j;
for(i=0;i<=range;++i)
IsPrime[i]=true;
IsPrime[0]=IsPrime[1]=false;
for(i=2;i<=range;++i)
{
if(IsPrime[i])
{
for(j=2*i;j<=range;j+=i)
因为每个非质数都只被删除一次，可想而知，这个程序的速度一定相当快。依据Gries与Misra的文章，线性的时间，也就是与N成正比的时间就足够了（此时要找出2N的质数）。（摘自《C语言名题精选百则（技巧篇）》，冼镜光编著，机械工业出版社，2005年7月第一版第一次印刷）。代码如下：
#include<iostream>
return 0;
}
2，python实现:
def sundaram3(max_n):
numbers=range(3,max_n+1,2)
half=(max_n)//2
initial=4
for step in xrange(3,max_n+1,2):
for i in xrange(initial,half,step):
end=sqrt((double)N)+1;
for(p=2;p!=end;++p)
{
if(Location[p])
{
for(q=p;p*q<=N;++q)
{
if(Location[q])
{
for(int k=p*q;k<=N;k*=p)
Location[k]=0;
}
}
}
}
int m=0;
for(int i=1;i!=N+1;++i)
pascal实现:
maxfactor:=trunc(sqrt(maxp));//筛法求素数
fillchar(sieve,sizeof(sieve),true);
for i:=2 to maxfactor do
if sieve[i] then
begin
newp:=i+i;
while newp<=maxp do
IsPrime[j]=false;
}
}
}
2、
说明：解决这个问题的诀窍是如何安排删除的次序，使得每一个非质数都只被删除一次。中学时学过一个因式分解定理，他说任何一个非质（合）数都可以分解成质数的连乘积。例如，16=4^2，18=2 * 3^2，691488=2^5 * 3^2 * 7^4等。如果把因式分解中最小质数写在最左边，有16=4^2，18=2*9,691488=2^5 * 21609,；换句话说，把合数N写成N=p^k * q，此时q当然是大于p的，因为p是因式分解中最小的质数。由于因式分解的唯一性，任何一个合数N，写成N=p^k * q;的方式也是唯一的。由于q>=p的关系，因此在删除非质数时，如果已知p是质数，可以先删除P^2,p^3,p^4,...，再删除pq,p^2*q,p^3*q,...,（q是比p大而没有被删除的数），一直到pq>N为止。
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29
C语言实现
1、算法一：令A为素数，则A*N（N>1;N为自然数）都不是素数。
#define range 2000
bool IsPrime[range+1];
//set函数确定i是否为素数，结果储存在IsPrime[i]中，此函数在DEV C++中测试通过
for(int i=2;i<=n;++i)
{
isPrimes[i] = true;
}
isPrimes[2] = true;
for(int j=2;j<=n;++j)
{
if(isPrimes[j]==true)
{
for(int m=2;j*m<=n;++m)
{
isPrimes[j*m] = false;
#include<cmath>
using namespace std;
int main()
{
int N; cin>>N;
int *Location=new int[N+1];
for(int i=0;i!=N+1;++i)
Location[i]=i;
Location[1]=0; //筛除部分int p,q,end;
筛法求素数
基本思想
C语言实现
pascal实现:
1C++实现:
2python实现:
基本思想
用筛法求素数的基本思想是：把从1开始的、某一范围内的正整数从小到大顺序排列，1不是素数，首先把它筛掉。剩下的数中选择最小的数是素数，然后去掉它的倍数。依次类推，直到筛子为空时结束。如有：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
21 22 23 24 25 26 27 28 29 30
1不是素数，去掉。剩下的数中2最小 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29
剩下的数中3最小，是素数，去掉3的倍数，如此下去直到所有的数都被筛完，求出的素数为：