我发现了筛法的计算公式

四区段 再增加计算第四个素数 7 的倍数的个数，N ≥ 49 而＜ 121， 即从 49 ∼ 119，在这个区段里我们要分别计算 3，5，7 的倍数，同时又要 减去重复计算的 3、5 的倍数，5、7 的倍数和 3、7 的倍数，这里我们又发 现，还有些奇数同时是 3、5、7 三个数的倍数，如 105=3×5×7，必须再加 上 2×3×5×7 的倍数，否则将多减了。
（注：〔〕号中的数为奇数，等号后面的数为奇数除以 2×3四舍五入取整后所得的值。）
上面得到的值是奇数中素数 3 的倍数的个数 (含 3 在内)，也是奇合数的
个数，而 3 是素数不是合数，必须减去 1。以 ms 代表奇合数个数。
用公式
ms
=
N 2×3
−
(2
−
1)计算得到：
〔9〕=1,〔11〕=1,〔13〕=1，〔15〕=2，〔17〕=2，〔19〕=2，〔21〕=3，
ms
=
N
[(
1 p1p2
+
1 p1p3
−
1 p1p2p3
±
.
.
.
±
p1
p2p3
1 ..
.
pn−1
)+
(−
1 p1
+
1 p1p2
+
1 p1p3
±...±
p1p2p3
1 ..
.
pn−1
)(−
1 pn
)]
−
(n
−
1)
.
.
.
.
.
.
(2)
（2） 式 中 ms 为 1 至 N 数 列 中 奇 合 数 个 数;N 为 任 意 大 的 自 然 数 (p2n ≤ N < p2n+1) ；p1, p2, p3, . . . pn 为 素 数, 其 中:p1 = 2, p2 = 3, p3 = 5, . . . ; n ≥ 2。
−
1 2×3×5
)
+
(3
−
1)
(25 ≤ N < 49)
mp
=
N +1 2
−
N
(
1 2×3
+
1 2×5
+
1 2×7
−
1 2×3×5
−
1 2×3×7
+
1 2×3×5×7
)
+
(4
−
1)
(49 ≤ N < 121)
现在用上面计算素数的公式分别计算三个区段内所有奇数的值，看看 与计算奇合数个数有什么不同:
5
这个公式是：
mp =
N 2
−
N
[(
1 p1p2
+
1 p1p3
−
1 p1p2p3
±
.
.
.
±
p1p2p3
1 ..
.
pn−1
)+
(−
1 p1
+
1 p1p2
+
1 p1p3
±
.
.
.
±
p1
p2p3
1 ..
.
pn−1
)(−
1 pn
)]
+
(n
−
1)
【关键词】：筛法公式、逐项相除、四舍五入、区段、随从数。
【 M R 】 : 11A41
根据随从数的这个规律，总结得出:
定理 1 当〔N 〕= a + 1 (a 为自然数且 ≥ 1 )，而〔N − 2〕=a ，则①
4
N 必定是奇合数，② N 是第（a + 1）个奇合数; ③ 1 ∼ N 数列（含 N ）共 有（a + 1）个奇合数。
现在综合上面三个区段的公式推导出一个完整地用于计算奇合数的 “筛法计算公式”：
〔73〕=16，〔75〕=17，〔77〕=18，〔79〕=18，〔81〕=19，〔83〕=19，
〔85〕=20，〔87〕=21，〔89〕=21，〔91〕=22，〔93〕=23，〔95〕=24,
〔97〕=24,〔99〕=25,〔101〕=25,〔103〕=25,〔105〕=26,〔107〕=26,
〔109〕=26, 〔111〕=27,〔113〕=27,〔115〕=28,〔117〕=29,〔119〕=30。
从第二个素数 3 的平方 9 起，是 3 的整倍数的奇数有：9, 15, 21, 27, ……
从第三个素数 5 的平方 25 起，是 5 的整倍数的奇数有：25, 35,45, 55, ……
从第四个素数 7 的平方 49 起，是 7 的整倍数的奇数有：49, 63, 77, 91, ……
从上面 3，5，7 的整倍数看，我们发现了合数的第一个规律即区段性 的规律。每增加一个区段，就要增加计算一个素数的倍数，我们将增加的 这个素数序号，同时也作为这个区段的区号。下面计算几个区段的奇数来 看看奇合数的规律：
【正文】：
笔者在多年的探索中，发现了有关素数与合数关系的一些规律，根 据这些规律找到了一个可以对埃拉多斯染尼氏（Eratosthenes）筛法进行计 算的公式，即“筛法计算公式”（它包括计算素数和计算奇合数两个公 式），计算素数的公式也可以称为“素数公式”。给素数找出一个通项表达 式，即已知任一素数后边紧跟的那个素数的公式，这是一个缠绕着数学家 的世界难题，时至今日都没有解决。笔者的这个公式能较好地解决任一已 知素数后边紧跟的那个素数的问题。
且从筛眼大的到筛眼小的我们可以编 n 种，筛掉的合数是有规律的(根据筛 眼的大小知道)，而留在筛子里的素数是没有规律的一样。
笔者通过大量事例摸索出三条主要规律：
第一、区段（区域）性的规律。
合数的规律随着区段的增加其规律也在变化，在同一区段内合数的规
律 符号是一( p样2n 的≤ 。N区<段p2n是+1以或前一pn个≤素√数N的<平p方n+到1) 后表一示个。素这数是的合平数方的来最划基分本。的用一 条规律。这个规律两千多年前已经被人们发现。
一、“筛法计算公式”(计算素数的公式)
mp =
N 2
−
N
[(
1 p1p2
+
1 p1p3
−
1 p1p2p3
±
.
.
.
±
p1p2p3
1 ..
.
pn−1
)+
1
(−
1 p1
+
1 p1p2
+
1 p1p3
±
..
.
±
p1p2p3
1 ..
.
pn−1
)(−
1 pn
)]
+
(n
−
1)
.
.
.
.
.
.
(1)
式中 mp 为 1 至 N 数列中素数个数; N 为任意大的自然数 （ p2n ≤ N < p2n+1）; p1, p2, p3, . . . , pn 为素数 , 其中 : p1 = 2 , p2 = 3 , p3 = 5 , p4 = 7, . . . ; n ≥ 2。
五区段以后以此类推，不必一一计算了。
从 2、3、4三个区段计算的结果发现，计算出的值是依照奇合数的个数 递增的（黑体数字）。 当一个奇数 (N ) 是奇合数时其值一定比前面一个奇 数（N − 2）的值多 1, 否则是相等的。尽管三个区段的计算公式不一样，但 是计算出的奇合数个数却是不分区段、序号连贯、依自然数递增的。这是 合数的第三个规律，即随从数的规律。
上面这三条规律是发现、推导“筛法计算公式”的重要基础和依据。 两千多年前埃拉多斯染尼氏（Eratosthenes）根据第一条规律发现了筛法， 而今天笔者根据第二、三条規律找到了筛法的计算公式。
现在就上面三条规律来分析一下合数的规律及其与素数的关系。因为 偶数中只有 2 是素数，其余都是合数，为简便明了、少费笔墨，这里我们 只讨论奇数、奇合数和素数。
则有：奇数 = 奇合数 + 素数
公式是：
N +1 2
=
ms
+
mp
(为方便计算，N 为奇数时加 1，如不加 1，
相除时必须四舍五入取整数。）
代入上面三个区段的公式分别得到如下计算素数的公式：
mp
=
N +1 2
−
N 2×3
+
(2
−
1)
(9 ≤ N < 25)
mp
=
N +1 2
−
N
(
1 2×3
+
1 2×5
组成的极端的无规则性，所作的这种尝试最后都失败了。” 在素数序列上找 不到规律, 那么可否从合数序列上去寻找规律呢？因为素数与合数是相辅相 成、相互依存的。笔者通过摸索发现合数序列是有规律的, 我们可以通过合 数的规律来研究、了解素数及其与合数的关系。合数的有规律与素数的无
规律好比是筛法的筛子，筛眼的大小我们用已知素数来编是有规律的，而
这个区段的公式是：
ms
=
N 2×3
+
N 2×5
+wenku.baidu.com
N 2×7
−
N 2×3×5
−
N 2×3×7
+
N 2×3×5×7
−
(n
−
1)。
计算得：
〔49〕=10，〔51〕=11，〔53〕=11，〔55〕=12，〔57〕=13，〔59〕=13，
〔61〕=13，〔63〕=14，〔65〕=15，〔67〕=15，〔69〕=16，〔71〕=16，
〔23〕=3。
从上面计算的结果明显看出在这个区段内，第一个奇合数是9，第二个 奇合数是15，第三个奇合数是21.
3
三区段 增加计算第三个素数 5 的倍数的个数。N ≥ 25 而＜ 49，即从 25 ∼ 47，在这个区段内不但要计算 3 的倍数，还要计算 5 的倍数。这里我 们发现有些奇数既是 3 的倍数又是 5 的倍数。如 45=3×3×5，如果不把它减 去，计算的结果就会比实际个数多，所以必须减去 2×3×5 的倍数。
〔9〕=4,〔11〕=5,〔13〕=6，〔15〕=6，〔17〕=7，〔19〕=8，〔21〕=8， 〔23〕=9，〔25〕=9,〔27〕=9,〔29〕=10,〔31〕=11,〔33〕=11,〔35〕=11, 〔37〕=12,〔39〕=12,〔41〕=13,〔43〕=14,〔45〕=14,〔47〕=15,〔49〕=15， 〔51〕=15，〔53〕=16，〔55〕=16，〔57〕=16，〔59〕=17，〔61〕=18， 〔63〕=18，〔65〕=18，〔67〕=19，〔69〕=19，〔71〕=20，〔73〕=21， 〔75〕=21，〔77〕=21，〔79〕=22，〔81〕=22，〔83〕=23，〔85〕=23， 〔87〕=23，〔89〕=24，〔91〕=24，〔93〕=24，〔95〕=24，〔97〕=25， 〔99〕=25，〔101〕=26，〔103〕=27，〔105〕=27，〔107〕=28， 〔109〕=29，〔111〕=29，〔113〕=30，〔115〕=30，〔117〕=30， 〔119〕=30。
数，是第几个素数和 1 至 N 数列中共有多少个素数。
这里的 n 为已知素数序号，mp 为未知 (要计算的）素数个数, mp = n, 当求出 mp 值后即应以 n 代表素数序号。
二、“筛法计算公式” 推导的依据和过程
我们知道任何数学公式的发现、推导都离不开该数列自身固有的规
律。“先从少数的事例中摸索出规律来，再从理论上来证明这一规律的一
一区段 因为公式规定 n ≥ 2 , 即必须从二区段起计算, 所以这个区段不
必计算。
二区段 只计算第二个素数 3 的倍数的个数。正整数 N ≥ 9 而＜ 25，即从 9 ∼ 23。在这个区段内用 2×3（乘以２是为了将３的偶数倍数 剔除, 下同）分别除以各个奇数，除不尽时必须四舍五入取整数得到： 〔9〕=2,〔11〕=2,〔13〕=2，〔15〕=3，〔17〕=3，〔19〕=3，〔21〕=4， 〔23〕=4。
这个区段的公式是：
ms
=
N 2×3
+
N 2×5
−
N 2×3×5
−
(3
−
1)
计算时一定要一项一项先除（不能先通分后加减再除），除不尽时必
须而且只能四舍五入取整数，然后加减。这是合数的第二个规律即逐项相
除四舍五入的规律。
用上式计算得到： 〔25〕=4,〔27〕=5,〔29〕=5,〔31〕=5,〔33〕=6,〔35〕=7,〔37〕=7, 〔39〕=8, 〔41〕=8,〔43〕=8,〔45〕=9,〔47〕=9。
合数, 是第几个奇合数和 1 ∼ N 数列中共有多少个奇合数。
计算奇合数的方法找到了，但是，计算素数的方法是如何解决的呢？ 下面我们来分析奇合数与素数的关系，即奇合数个数与素数个数的关系。 我们从整数性质知道：
正整数 = 奇数 + 偶数 = 1 + 素数 + 奇合数 + 偶合数。
奇数中 1 既不是素数也不是合数，而偶数中 2 是唯一的素数。为了方 便计算，我们将 1 和 2 对调统计。
我发现了筛法的计算公式
孟庆馀［江苏连云港］
【摘要】:
笔者在探索中, 发现了有关素数与合数关系的三条主要规律：
１、区段（区域）性的规律。
２、逐项相除四舍五入的规律。
３、随从数的规律。
根据这三条规律推导出一个公式, 它可以计算出任一已知素数后边紧跟 的那个素数和任意大的一个自然数之前共有多少个素数的问题。
√ 计算（1）式应先根据 N 的值（ pn ≤ N < pn+1)）来确定 n 的值，
再根据 n 值确定公式的大小 ( 项数), 最后进行计算。计算时将 N 分别乘以
括号内各项，然后一项一项(2n−1 − 1 次）相除，除不尽时必须四舍五入取
整数，最后进行加减 ,得出的结果是素数个数。根据定理 2 确定是否是素
第二、逐项相除四舍五入的规律。
在两数相除时一定要一项一项相除,除不尽时必须而且只能四舍五入取 整数。这是关键性的一条规律。
2
第三、随从数的规律。（注：“随从数” 也叫后继数，就是紧接在某一个自然数
后面的一个数。例如，1 的随从是 2，2 的随从是 3，3 的随从是 4 等等。）
当我们用“奇合数公式”来计算奇合数时 , 所得出的值是随从数的 , 那么 这个随从数必定是奇合数；如果用“素数公式”来计算素数时，所得出的 值是随从数的，那么这个随从数必定是素数。这是判断性的一条规律。
般性，这是人们认识客观法则的方法之一” 华罗庚《数学归纳法》。那么素数 序列到底有什么规律呢? 笔者的回答是没有任何规律。 U. 杜德利在《基础数 论》中写得清楚：“素数却如此杂乱无章地散布在整数中，甚至原因也可能 说不清楚”。[德]汉斯. 拉德枚彻、[德] 奥托. 托普利茨在合著的《数学欣赏》 中写到： “较自然的方法是试求任一已知素数后边紧跟的那个素数。但是由于素数
√ 计算（２）式应先根据 N 的值 （ pn ≤ N < pn+1), 来确定 n 的值， 再根据 n 值，确定公式的大小，最后进行计算。计算时将 N 分别乘以括号 内各项，然后一项一项(2n−1 − 1 项）相除，除不尽时一定要四舍五入取整
数，最后进行加减。得出的结果是奇合数的个数, 根据定理 1, 确定是否是奇