第3章_弹性地基梁理论解析
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弹性地基梁计算模型PPT课件
2、弹性地基梁的计算方法
不考虑共同作用的计算方法
倒梁法 假定柱下条形根底的基底反力为直线分布 ,将柱下条形根 底假设为以柱脚作为固定铰支座的倒置的连续梁 ,以线性 分布的基底净反力作为荷载 ,用弯矩分配分配法求解内力。
2、弹性地基梁的计算方法
考虑地基与根底相互作用的计算方法(解析法〕 在地基梁的计算中, 通常用 p 表示沿梁单位长度内的地基压力, 称作 地基压力的线集度。 线集度 p 与压强 σ之间有如下关系:
弹性地基梁计算中地基模型的选取主要有以下6种
〔1〕.文克尔地基模型 即假定建筑物根底底面任一点的接触应力数值与在该点的沉 降存在一种比例关系
P(x , y)= k* W ( x ,y )
2、土的反力模型
〔2〕.利夫金模型 (文克尔地基模型的改进 )
即为弥补文克尔地基模型不能扩散应力和变形的缺陷 ,利夫金分析了 各种地基模型下矩形根底反力分布的特性 ,对文克尔模型作出了改进: P( x , y)= k {1+ U e^[-T ( m-a )]}W ( x ,y ) 其中 T 、U用来描述根底范围以外的土体对地基刚度和接触压力分布 形式的影响 ,此模型又称为三参数模型.
位移 y(x) 求出后, 梁任意截面的转角 θ , 弯矩 M, 剪力 Q 可由以下微分方 程求得：
2、弹性地基梁的计算方法
考虑上部结构、地基根底三者共同作用的计算方法(有限元法〕 在这种分析方法中, 先将梁分成 n 个单元, 再将梁和地基接触面也划分成单 元, 根据不同地基模式( 例如文克尔地基, 弹性半空间地基) 可分别计算梁 节点处地基的竖向变形, 形成地基的柔度矩阵, 求逆后得地基的刚度矩阵。 最后, 根据节点处的变形协调条件和平衡条件, 形成体系的总刚度矩阵, 由 高斯消去法求得梁节点的位移, 然后求得基底反力和梁的内力。 梁的刚度矩阵，由位移法可知, 梁单元的节点力和节点位移之间的关系为
弹性地基梁原理
淮海工学院土木工程系 （http://www.hhit.edu.cn/jiangong/index.htm）
Huaihai Institute of Technology
2. 弹性半空间地基模型 适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性
基础。 原理： 弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向
Huaihai Institute of Technology
P=ks k—地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度
(kN／m3)； p—地基上任—点所受的压力强度(kPa)； s— p作用位置上的地基变形(m)。 基床系数k可根据不同地基分别采用现场荷载试验、室
内三轴试验或室内固结试验成果获得。见下表。
地基或塑性区相对较大土层上的柔性基础，采用该方 法比较合适。厚度度不超过梁或板的短边宽度之半的 薄压缩层地基(如薄的破碎岩层)上的柔性基础也适于该 方法。 基本假定：地基上任一点所受的压力强度与该点的地基 沉陷s成正比，关系式如下:
P=ks
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2. 弹性半空间地基模型 适用条件：用于压缩层深度较大的一般土层上的柔性
基础。 原理： 弹性半空间地基模型是将地基视作均匀的、各向
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P=ks k—地基基床系数，表示产生单位变形所需的压力强度
(kN／m3)； p—地基上任—点所受的压力强度(kPa)； s— p作用位置上的地基变形(m)。 基床系数k可根据不同地基分别采用现场荷载试验、室
内三轴试验或室内固结试验成果获得。见下表。
地基或塑性区相对较大土层上的柔性基础，采用该方 法比较合适。厚度度不超过梁或板的短边宽度之半的 薄压缩层地基(如薄的破碎岩层)上的柔性基础也适于该 方法。 基本假定：地基上任一点所受的压力强度与该点的地基 沉陷s成正比，关系式如下:
P=ks
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3、弹性地基梁理论
3.3 梁跨间有荷载时的解
集中力P对其作用点c以右部分的挠度影响，正如在C点增 加一个初参致p时(对C点以右部分而言)所产生的挠度。考虑 到这时的坐标原点应为x=ap， 则P对其作用点C以右部分挠 度影响的附加项为：
或简写为
3.3 梁跨间有荷载时的解
同理，对于集中力偶M作用点D以右的部分，应考虑 以D点为坐标原点增加初参数－M后的挠度影响附加 项．即
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
在弹性地基梁局部变形理论中，除了采用温克尔 假外，还认为梁的变形与地基的变形是协调的，即梁 底面与地基表面始终是相贴的，没有缝隙，地基的沉 陷或隆起与梁的挠度是处处相等的。另外，由于梁与 地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可略去不计。 梁的高跨比一般很小，其变形符合平面假定，因此， 在分析中可直接引用材料力学有关的梁理论的若干结 论。 下面推导弹性地基梁局部变形理论的计算公式。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
当梁跨间无荷载时q(x)＝p＝M＝o， 梁的变形及内力由 梁的端效应引起， 例如，图5—2所示情况。这时梁 的挠度曲线由微分方程式(5—5)对应的齐次方程式求 得
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
设方程式(5—5a)的解为yx＝er(ay) (其中r为常数)， 代人方程式(5—5。)后，得特征方程式
【精品课件】弹性地基梁原理
22
n1 n2
2n nn
P P
2 n
i
j n
简写成： s P
或写成： P k s K1
K 1
柔
度
系
数
可
ij
用
布
氏
公
式
得
到
。
ij
1 E
2
1 ai
Fii
1
rij
ij
r i j ( x i x j ) 2 ( y i y j ) 2i j
s P
K 1 Pks
半无限弹性体空间模型虽然具有能够扩散应力和变形的优点， 但是，它的扩散能力往往超过地基的实际情况。要求地基土 的弹性模量和伯松比值较为准确。
3. 分层地基模型
分层地基模型即是我国 地基基础规范中用以计 算基础最终沉降的分层 总和法(图)。按照分层 总和法，地基最终沉降 量等于压缩层范围内各 计算分层在完全侧限条 件下的压缩量之和。
∑F=0
∑M=0
2. 变形协调条件：ωi=si 表明：基础受力后，基础底面和地基表面保持接触，无
脱开现象。依据这来那个个条件求解基础梁的内力和 变形。
文克勒地基上梁的计算
一、文克勒地基上梁的解析式：
下面分别讨论长梁、半长梁以及有限长梁在文克勒地基上受到 集中力或集中力矩作用时的解答。
短粱(即刚性梁)。对于λ≤π/4的条形基础，可按一般的独立 基础来考虑，即假定基底的反力为直线分布，基础的内力 按倒梁法或静力平衡法分析法来计算。
弹性地基梁理论课件
利用边界积分方程求解弹 性问题，适用于处理无界 问题等。
PART 04
弹性地基梁的实验研究
实验设备和方法
实验设备
包括弹性地基梁、加载装置、位移计 、应变计等。
实验方法
在实验室中，将弹性地基梁放置在加 载装置上，通过位移计和应变计测量 梁的位移和应变，从而得到梁的力学 性能。
实验结果和分析
实验结果
有限差分法的优势
算法简单，易于实现，适用于处理大规模问题等 。
其他数值方法在弹性地基梁问题中的应用
有限体积法
将连续的弹性体离散为有 限个小的体积，通过对每 个体积进行受力分析，得 到整体受力情况。
无网格法
利用节点信息建立弹性体 的数学模型，无需离散化 弹性体，适用于处理动态 问题和非线性问题。
边界元法
实验法
通过实验测试梁的行为和性能，以 验证理论分析和数值模拟的准确性 。
PART 03
弹性地基梁的数值模拟
有限元法在弹性地基梁问题中的应用
有限元法的基本原理
将连续的弹性体离散为有限个小的单元，通过对这些单元进行受 力分析，得到整体受力情况。
弹性地基梁的有限元模型
利用有限元法，可以建立弹性地基梁的模型，考虑梁与地基之间的 相互作用，对梁的变形、应力、应变等进行详细计算。
发展高阶理论
针对实际工程中出现的复杂情况，可以发展高阶理论，以更精确地预测 弹性地基梁的位移和应力散布。
PART 04
弹性地基梁的实验研究
实验设备和方法
实验设备
包括弹性地基梁、加载装置、位移计 、应变计等。
实验方法
在实验室中，将弹性地基梁放置在加 载装置上，通过位移计和应变计测量 梁的位移和应变，从而得到梁的力学 性能。
实验结果和分析
实验结果
有限差分法的优势
算法简单，易于实现，适用于处理大规模问题等 。
其他数值方法在弹性地基梁问题中的应用
有限体积法
将连续的弹性体离散为有 限个小的体积，通过对每 个体积进行受力分析，得 到整体受力情况。
无网格法
利用节点信息建立弹性体 的数学模型，无需离散化 弹性体，适用于处理动态 问题和非线性问题。
边界元法
实验法
通过实验测试梁的行为和性能，以 验证理论分析和数值模拟的准确性 。
PART 03
弹性地基梁的数值模拟
有限元法在弹性地基梁问题中的应用
有限元法的基本原理
将连续的弹性体离散为有限个小的单元，通过对这些单元进行受 力分析，得到整体受力情况。
弹性地基梁的有限元模型
利用有限元法，可以建立弹性地基梁的模型，考虑梁与地基之间的 相互作用，对梁的变形、应力、应变等进行详细计算。
发展高阶理论
针对实际工程中出现的复杂情况，可以发展高阶理论，以更精确地预测 弹性地基梁的位移和应力散布。
第3章 弹性地基梁理论
第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基
当 x x p 时，特解项为零。
b. 集中力偶Mi作用下的特解项
集中力偶作用于地基梁
2 2 m y m 3 ( x - xm ) bk 3 2 m m i 2 ( x - xm ) x ≥ x m bk M m - m i1 ( x - xm ) Qm - m i4 ( x - xm )
微段上荷载引起的挠度附加项为：
yq ∫ x
x
qu
bk
a
4 ( x -u ) du
三角形荷载作用于地基梁
当 xa x xb 时，积分限是 [ xa , x ] ，
y q q M q Q q q 1 ( x - xa ) 2 ( x - xa ) k ( xb - xa ) 2 q 1 1 1 ( x - xa ) xb - xa bk
当
x xm
时，取特解项为零。
分布荷载作用下的特解项
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基
当 x x p 时，特解项为零。
b. 集中力偶Mi作用下的特解项
集中力偶作用于地基梁
2 2 m y m 3 ( x - xm ) bk 3 2 m m i 2 ( x - xm ) x ≥ x m bk M m - m i1 ( x - xm ) Qm - m i4 ( x - xm )
微段上荷载引起的挠度附加项为：
yq ∫ x
x
qu
bk
a
4 ( x -u ) du
三角形荷载作用于地基梁
当 xa x xb 时，积分限是 [ xa , x ] ，
y q q M q Q q q 1 ( x - xa ) 2 ( x - xa ) k ( xb - xa ) 2 q 1 1 1 ( x - xa ) xb - xa bk
当
x xm
时，取特解项为零。
分布荷载作用下的特解项
弹性地基梁理论
地下建筑结构第3章弹性地基梁理论
崔振东副教授IAEG, FICDM, FICCE cuizhendong@
中国矿业大学岩土工程研究所
3.3 按温克尔假定计算短梁z3.3.2 荷载引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（1）集中荷载P 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（2）力矩荷载M 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项
（3）分布荷载q 引起的附加项
如视x 为常数，则d(x-u)=-d u
代入
a. 梁上有一段均布荷载的附加项
,0==du
dq q q
b. 梁上有一段三角形分布荷载的附加项
()3
4334,x x q du dq x u x x q q −Δ−=−−Δ=
c. 梁的全跨布满均布荷载的附加项
布满梁的全跨时，
当均布荷载q
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于x4。
d. 梁的全跨布满三角形荷载的附加项
当三角形荷载
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于
= =
（1）查双曲线三角函数K
=
第三章 弹性地基梁理论new
p=
ks
a)连续的地基梁b)将地基分割成离散的弹簧，在荷载下的变形c)基底压力分布，与沉降曲线有相同的分布形式文克尔地基模型
性。
q bp−=
M −=
q
bp
dx
d
I
E
c
−
=
−
4
4ω
02x
F A kb λ
ω=
2
0F B kb
λθ=−0
4x F M C λ
=
2
x F V D =−
M ω=
kb
M θ=
M= V=−
两方向的弯矩由同向的基础梁承担
地下建筑结构-第03章-弹性地基梁-精品文档
r x 1 r x 2
则 y e ,y e是 ( 9 ) 的二个线性无 , 1 2
(9)的通解为
r x r x y C e C e 1 2
1 2
(ii) = 0, r1= r2( = r) 此时 y1 = erx .
px e pdx e rx y2 y d x e dx 1 2 2rx y e 1
3.6
此即为弹性地基梁的挠 曲微分方程式
2. 对应齐次微分方程的通解
上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非 齐次微分方程，令式中 qx o ，即得对应齐次微分方程：
EI
d4 y dx
4
ky0
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为 寻找四个线性无关的特解，令 y e rx 并代入上式有：
பைடு நூலகம்
图3.3 弹性地基梁的微元分析
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
为建立 y x 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 d x ，考察该段 的平衡有：
Y 0 ,
得： （3-2）
Q ( Q dQ ) kydx q d 0 ( x ) x
dQ 化简得： ky q(x) dx
4
K EI
或
4
K cos isin EI
则 y e ,y e是 ( 9 ) 的二个线性无 , 1 2
(9)的通解为
r x r x y C e C e 1 2
1 2
(ii) = 0, r1= r2( = r) 此时 y1 = erx .
px e pdx e rx y2 y d x e dx 1 2 2rx y e 1
3.6
此即为弹性地基梁的挠 曲微分方程式
2. 对应齐次微分方程的通解
上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非 齐次微分方程，令式中 qx o ，即得对应齐次微分方程：
EI
d4 y dx
4
ky0
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为 寻找四个线性无关的特解，令 y e rx 并代入上式有：
பைடு நூலகம்
图3.3 弹性地基梁的微元分析
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
为建立 y x 应满足的挠曲微分方程，在梁中截取一微段 d x ，考察该段 的平衡有：
Y 0 ,
得： （3-2）
Q ( Q dQ ) kydx q d 0 ( x ) x
dQ 化简得： ky q(x) dx
4
K EI
或
4
K cos isin EI
10-1 弹性地基梁的解析方法
2. 弹性地基梁法
弹性地基梁内力计算：基床系数法和半无限弹性体法。
基床系数法：采用文克勒（Winkler）地基模型，地基由许多互不联系的弹簧所组成，某点的地基沉降仅由该点上作用的压力所产生。通过求解弹性地基梁的挠曲微分方程，可求出基础梁的内力。
半无限弹性体法：假定地基为半无限弹性体，将柱下条形基础看作放在半无限弹性体表面上的梁，而基础梁在荷载作用下，满足一般的挠曲微分方程。应用弹性理论求解基本挠曲微分方程，并引入基础与半无限弹性体满足变形协调的条件及基础的边界条件，求出基础的位移和基底压力，进而求出基础的内力。
半无限弹性体法的求解一般采用有限单元法等数值方法。
，根据微分梁单元力的平衡，则：
∑
Y
＝
M x w EI -=22d d 由材料力学知，梁的挠曲微分方程为：或22
44d d d d x
M x w EI -=根据截面剪力与弯矩的相互关系，即则：x x M d dQ d d 22=q bp x w EI +-=44d d q bkw x w EI =+44
d d 引入文克勒地基模型及地基沉降s 与基础梁的挠曲变形协调条件，可得：。
w s =kw ks p ==代入上式，可得文克勒地基上梁的挠曲微分方程为：当梁上的分布荷载q =0时，梁的挠曲微分方程变为
齐次方程：0d d 44=+bkw x w EI
令，称为梁的柔度指标，其单位为(长度)-1。的倒数值称为特征长度，值愈大，梁对地基的相对刚度愈大。
4
4EI kb =λλλλ1λ104d d 444
=+w x w λ该微分方程的通解为
)sin cos ()sin cos (4321x C x C e x C x C e w x x λλλλλλ+++=-于是，梁的挠曲微分方程可进一步写成如下形式：
荷载结构分析之平面弹性地基梁法
荷载结构分析之平面弹性地基梁法
平面弹性地基梁法是一种常用于荷载结构分析的方法，特别适用于考
虑地基效应的建筑和土木工程。本文将介绍平面弹性地基梁法的基本原理、计算步骤以及一些应用上的注意事项。
平面弹性地基梁法基本原理：
平面弹性地基梁法是一种近似的弯曲理论，假设结构与地基之间是完
全粘结的，结构和地基以及荷载之间的相互作用通过弹性梁模型来描述。
该方法适用于对结构进行静态荷载分析和设计，可以考虑复杂的荷载情况，如集中荷载、均布荷载、变载荷等。
计算步骤：
1.建立结构的几何形状和荷载情况，在结构上标出边界条件、支座和
荷载位置等。
2.将结构分解为多段小梁，根据跨中荷载情况，将梁截面划分为多个
小段。
3.假设地基的表面是刚性的，即结构和地基以及荷载之间的相互作用
通过地基弹簧系统来模拟。
4.采用弯矩影响线法或力影响线法求解每个小段梁的弯矩、切线力和
挠度。
5.根据弯矩、切线力和挠度计算出每个小段梁的内力和变形。
6.根据梁的几何形状和材料性质，计算每个小段梁的应力、应变和位移。
7.将所有小段梁的内力、变形、应力、应变和位移进行合并，得到整个结构的内力、变形、应力、应变和位移。
8.根据所需的设计验算准则，对结构的强度和刚度进行验算，确定结构是否满足设计要求。
应用注意事项：
1.在进行分析计算时，应根据具体问题选择合适的假设和简化模型，以减少计算的复杂性。
2.在对结构进行划分时，应合理选择小段梁的长度和数量，以保证计算的精度。
3.在选择地基的弹性特性时，应结合地基的实际情况和试验数据，进行合理的估计或测定。
4.在进行弯矩影响线法或力影响线法求解时，应注意准确地绘制影响线，以得到准确的结果。
地下建筑结构弹性地基梁
(8)
二阶
y py qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
第16页/共58页
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
故有
r2 + pr + q = 0
(10)
(10)式称为(9)的特征方程, 分三种情形讨论
(i) = p2– 4q > 0, (10)有两个不等实根 r1, r2.
EI
EI
（3.8） （3.9）
是与梁和地基的弹性性质相关的一个综合参数，反映了地基梁与地基
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把
称为特征系数， l 称为换算长度。
第14页/共58页
常系数齐次线性微分方程
第15页/共58页
一般形式
y(n)
p y(n1) 1
pn1 y
pn y 0
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为
寻找四个线性无关的特解，令 y erx 并代入上式有：
4 K
EI
或 4 K cos i sin
EI
由复数开方根公式得：
rk
4
K EI
COS
2k
4
i sin
2k
4
k
0,1,2,3
弹性地基梁计算模型
结论总结
总结工程实例分析的结论，为类似工程提供参考和借 鉴
06
结论与展望
研究结论
弹性地基梁计算模型在工程实践中具 有广泛的应用价值，能够为结构设计 提供重要的理论支持。
弹性地基梁计算模型在考虑多种因素 影响下，能够更准确地模拟实际结构 的受力状态，提高结构的安全性和稳 定性。
通过引入弹性地基梁计算模型，可以 有效解决传统方法难以处理的地基不 均匀沉降、水平位移等问题。
计算过程
运用有限元分析软件进行建模 和计算，模拟桥梁在不同荷载 下的变形和内力分布情况
结果分析
对计算结果进行后处理，分析 桥梁在不同荷载下的变形和内
力分布规律
结果分析和讨论
结果对比
将计算结果与实际监测数据进行对比，验证计算模型 的准确性和可靠性
优化建议
根据计算结果和实际监测数据，提出针对性的优化建 议，提高桥梁的安全性和稳定性
有限差分法是将弹性地基梁 的连续位移场和应力场用离 散的差分方程来表示，然后 通过求解这些差分方程来得 到弹性地基梁的位移和应力 。
边界元法是一种将弹性地基 梁的边界条件转化为边界积 分方程，然后通过求解这些 边界积分方程来得到弹性地 基梁的位移和应力。
弹性地基梁的有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，它将复杂的工程问题离散为有限个简 单的子问题，然后对每个子问题进行求解，最后将所有子问题的解进行 叠加，得到整个工程的近似解。
总结工程实例分析的结论，为类似工程提供参考和借 鉴
06
结论与展望
研究结论
弹性地基梁计算模型在工程实践中具 有广泛的应用价值，能够为结构设计 提供重要的理论支持。
弹性地基梁计算模型在考虑多种因素 影响下，能够更准确地模拟实际结构 的受力状态，提高结构的安全性和稳 定性。
通过引入弹性地基梁计算模型，可以 有效解决传统方法难以处理的地基不 均匀沉降、水平位移等问题。
计算过程
运用有限元分析软件进行建模 和计算，模拟桥梁在不同荷载 下的变形和内力分布情况
结果分析
对计算结果进行后处理，分析 桥梁在不同荷载下的变形和内
力分布规律
结果分析和讨论
结果对比
将计算结果与实际监测数据进行对比，验证计算模型 的准确性和可靠性
优化建议
根据计算结果和实际监测数据，提出针对性的优化建 议，提高桥梁的安全性和稳定性
有限差分法是将弹性地基梁 的连续位移场和应力场用离 散的差分方程来表示，然后 通过求解这些差分方程来得 到弹性地基梁的位移和应力 。
边界元法是一种将弹性地基 梁的边界条件转化为边界积 分方程，然后通过求解这些 边界积分方程来得到弹性地 基梁的位移和应力。
弹性地基梁的有限元分析
有限元分析是一种数值分析方法，它将复杂的工程问题离散为有限个简 单的子问题，然后对每个子问题进行求解，最后将所有子问题的解进行 叠加，得到整个工程的近似解。
弹性地基梁
（3-3）
dQ dx
d 2M dx2
ky qx
（3-4）
1.弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
如果梁的挠度已知，则梁任意截面的转角Q，弯矩M，剪力Q可按材料 力学中的公式来计算，即:
dy
dx
M
EI
d
dx
EI
d2y
dx2
Q dM EI d 3 y
B2
1 2
o
1 4 3EI
Qo
B3
1 2
o
1 4 3EI
Qo
B4
1 2 3EI
Mo
（3.14）
再将式（3.14）代入式（3.12），并注意 4 kb ，则有
4EI
y
yo1
o
1 2
2
Mo
2 2 bk
dx
dx3
由式 3.5 有,
d 2M dx2
EI
d4 dx
y
4
,
EI
d4y dx4
ky
q x
3.5
代入式 3.4 得 3.6
此即为弹性地基梁的挠 曲微分方程式
地下建筑结构-第03章-弹性地基梁
的相对刚度，对地基梁的受力特性和变形有重要影响，通常把
称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
y(n)
p y(n1) 1
pn1 y
pn y 0
(8)
二阶
y py qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
ky
q x
3.5
代入式 3.4 得 3.6
此即为弹性地基梁的挠 曲微分方程式
2. 对应齐次微分方程的通解
上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非
齐次微分方程，令式中
d4y
qx o
，即得对应齐次微分方程：
EI ky 0
dx 4
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
概述
弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初 参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁
算例
Байду номын сангаас
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
称为特征系数， l 称为换算长度。
常系数齐次线性微分方程
一般形式
y(n)
p y(n1) 1
pn1 y
pn y 0
(8)
二阶
y py qy 0
(9)
设想(9)有形式解 y = erx (为什么?)
代入得 (r2 + pr + q ) erx = 0
ky
q x
3.5
代入式 3.4 得 3.6
此即为弹性地基梁的挠 曲微分方程式
2. 对应齐次微分方程的通解
上面推导得弹性地基梁的挠曲微分方程式是一个四阶常系数线性非
齐次微分方程，令式中
d4y
qx o
，即得对应齐次微分方程：
EI ky 0
dx 4
（3.7）
由微分方程理论知，上述方程的通解由四个线性无关的特解组合而成。为
弹性地基梁理论
本讲内容—弹性地基梁理论
概述
弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁的挠度曲线微分方程及其初 参数解 弹性地基梁短梁、长梁及刚性梁
算例
Байду номын сангаас
1. 概述
定义：
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地基上， 各点与地基紧密相贴的梁 。如铁路枕木、钢筋 混凝土条形基础梁，等等。
作用：通过这种梁，将作用在它上面的荷载，
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其中： 1 chaxcosax
2 chaxsinax shax cosax 3 shax sinax 4 chaxsinax shax cosax
微分关系为：
d 1 4 d d 2 2 1 d d 3 2 d d 4 2 3 d
实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 弹性地基梁 自 由 端 已知初参数 A端边界条件 待求初参数
M0=0 Q0=0 MA=0 QA=0
θ0 y0 θ0 y0
M0=-m Q0=-P1 M0=0 y0=0
MA=0 QA=P2 MA=0 yA=0
简 支 端
θ0 Q0 θ0 Q0
M0=m1 y0=0
其中： 4
kb 4 EI
用初参数表示的齐次微分方程的解：
1 2 2 y y01 0 2 M0 3 Q0 4 2 bk bk 2 3 2 2 y0 4 01 M 0 4 Q0 3 bk bk bk bk 1 M y0 3 0 3 4 M 01 Q0 2 2 2 4 2 bk bk Q y0 2 0 2 3 M 0 4 Q01 2 2
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
梁是无穷多次超静定结构。 普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
p 温克尔假设： y k 把地基模拟为刚性 支座上一系列独立 的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
初参数解
初参数法
y B1chaxcosax B2chaxsinax B3 shax cosax B4 shax sinax
a[ B1 (chaxsinax shax cosax) B2 (chaxcosax shax sinax)
B3 ( shax sinax chaxcosax) B4 ( shax cosax chaxsinax)]
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数
M Q
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2
MA=m2 yA=0
固 定 端
θ0=0 y0=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0
第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基
梁的实际情况。但如果地基的上部为较薄的土层， 下部为坚硬岩石，这时将得出比较满意的结果。
半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹 性的半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从 几何上、物理上对地基进行了简化。
缺点
• • • • 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； 弹性地基梁的受力和变形 均质假设没有反映土壤的不均匀性； 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； 数学处理上比较复杂。
弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
化简得： dQ ky q( x ) dx
dM Q dx
Βιβλιοθήκη Baidu2 d M 合并二式得： ky q( x ) 2 dx
Y 0
M
A
0 省略二阶微量化简得：
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d d2y M EI EI 2 dx dx
e ax chax shax, e ax chax shax 利用双曲函数关系：
1 1 ( B1 B2 ), A2 ( B2 B3 ) 2 且令： 2 1 1 A3 ( B1 B2 ), A4 ( B2 B4 ) 2 2 A1
得到另一通解：
y B1chaxcosax B2chaxsinax B3 sha cosax B4 shax sinax
dM d3y Q EI 3 dx dx
代入化简得到挠曲微分方程：
d y EI 4 ky q( x ) dx
4
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q( x ) 0 ，得到对应齐次微分方程：
通解为：
d4y EI 4 ky 0 dx
y e ax A1 cosx A2 sinx e ax A3 cosx A4 sinx
M 2EI 2 ( B1shax sinax B2 shax cosax B3chaxsinax B4 chaxcosax)
Q 2EI 3[ B1(chaxsinax shax cosax) B2 (chaxcosax shax sinax)
B3 (chaxcosax shax sinax) B4 (chaxsinax shax cosax)