第3章 弹性地基梁理论
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3、弹性地基梁理论解析
3.1 概述
●弹性地基梁理论：
弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反 力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的 几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有 关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常 采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地 基梁的理论主要有以下两种。
3.1 概述
一、以温克尔假定为基础的局部变形理论。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x) 的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图5—1所 示。由微段平衡条件得： 根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地基反力 p(x)与该点梁酌挠度成正比，即
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
将公式(5—1)代入微段平衡方程式，并赂去高阶微量后得
由材料力学知，梁的弯矩与其挠度间有微分关系
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
将公式(5—3)代入公式(5—2)， 并利用公式(5—4) 后， 得弹性地基梁的挠度曲线微分方程
式中 α——弹性地基梁的弹性特征值(1／厘米） E——梁材料的弹性模量(公斤／厘米2) I——梁截面惯性矩(厘米4)。
当利用分部积分
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
在概述中我们提到，当地基梁的刚度很大，地基抗力近似 为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
将C1l—C4 代入公式(5—10)，得梁跨间无荷哉时，变位及内力的初参数解为：
弹性地基梁理论课件
假设梁为连续的一维 弹性体，且忽略梁的 轴向变形。
弹性地基梁的研究目的和意义
研究目的
通过分析弹性地基梁的振动特性，为工程实践提供理论根据和设计指点，以提高结构的稳定性和安全 性。
研究意义
弹性地基梁理论有助于揭示地基与梁之间的相互作用机制，预测结构的振动响应，从而优化结构设计 ，减少地震等自然灾害的影响。此外，该理论还为研究其他复杂结构（如高层建筑、大跨度桥梁等） 的地基基础问题提供了基础和借鉴。
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弹性地基梁理论课件
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目 录
• 弹性地基梁理论概述 • 弹性地基梁的力学模型 • 弹性地基梁的数值模拟 • 弹性地基梁的实验研究 • 弹性地基梁的应用案例 • 弹性地基梁的未来研究方向 • 参考文献
PART 01
弹性地基梁理论概述
利用边界积分方程求解弹 性问题，适用于处理无界 问题等。
PART 04
弹性地基梁的实验研究
实验设备和方法
实验设备
包括弹性地基梁、加载装置、位移计 、应变计等。
实验方法
在实验室中，将弹性地基梁放置在加 载装置上，通过位移计和应变计测量 梁的位移和应变，从而得到梁的力学 性能。
实验结果和分析
实验结果
边界条件
束缚梁的位移、转角等物理量， 如在支撑处的位移束缚、固定束 缚等。
初始条件
指定梁的初始状态，如初始应力 、初始位移等。
弹性地基梁的求解方法
解析法
利用数学解析方法求解方程，适 用于简单边界条件和初始条件的
情况。
数值法
采用数值计算方法求解方程，如有 限元法、有限差分法等，适用于复 杂边界条件和初始条件的情况。
弹性地基梁理论
地下建筑结构第3章弹性地基梁理论
崔振东副教授IAEG, FICDM, FICCE cuizhendong@
中国矿业大学岩土工程研究所
3.3 按温克尔假定计算短梁z3.3.2 荷载引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（1）集中荷载P 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项（2）力矩荷载M 引起的附加项
3.3.2 荷载引起的附加项
（3）分布荷载q 引起的附加项
如视x 为常数，则d(x-u)=-d u
代入
a. 梁上有一段均布荷载的附加项
,0==du
dq q q
b. 梁上有一段三角形分布荷载的附加项
()3
4334,x x q du dq x u x x q q −Δ−=−−Δ=
c. 梁的全跨布满均布荷载的附加项
布满梁的全跨时，
当均布荷载q
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于x4。
d. 梁的全跨布满三角形荷载的附加项
当三角形荷载
=0，并且任一截面的坐标距
则x
3
x永远小于或等于
= =
（1）查双曲线三角函数K
=。
第3章 弹性地基梁理论
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
弹性地基梁的挠度曲线微分方程式
考察 微段的平衡有：
化简得： dQ ky q( x ) dx
dM Q dx
2 d M 合并二式得： ky q( x ) 2 dx
Y 0
M
A
0 省略二阶微量化简得：
弹性地基梁的微元分析
根据材料力学有：
dy dx
d d2y M EI EI 2 dx dx
MA=m2 yA=0
固 定 端
θ0=0 y0=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0
M0ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱQ0
M0 Q0
弹 性 固 定 端
y0=0
yA=0
θ0=M0β0 M0 Q0
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数
M Q
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2
弹性地基梁计算理论及算例讲义PPT.ppt
设y1为oa段的挠度表达式y2为ab段的挠度表达式由梁上无分布荷载作用故oa和ab段的挠曲微分方程分别为图35集中力作用于地基梁弹性地基梁挠曲微分方程的特解其中317式316b的解可用初参数作用下的解y1与集中力pi单独作用下引起的附加项叠加即将式318代入式316b并注意式316a有yp319比较式316a和式316b知式319解的形式与式317相同不同之处是将x换为四个初参数应解释为处的突变挠度弯矩剪力故有弹性地基梁挠曲微分方程的特解由a点的变形连续条件和受力情况有bkpibkpimi图36集中力偶作用于地基梁图36集中力偶作用于地基梁由pi作用下特解项的推导
第三章 弹性地基梁理论new
地基模型
• • • • • • • • 地基反力直线分布模型 文克尔地基模型 半空间弹性地基模型 有限深度可压缩性地基模型 层状地基模型 双参数、三参数弹性地基模型 非线弹性及弹塑性模型 Duncan and Chang、剑桥模型及修正、 沈珠江模型、 Drucker and Prager
1 地基反力直线分布模型
浅基础设计方法
常规设计法
上部结构 基础
上部结构
地基
满足了静力平衡条件，忽略了地基、基础和上部 结构三者之间受荷前后的变形连续性。 地基越软弱，与实际情况差别越大。
常规设计法： 满足下列条件时可以采用：
• （1）沉降较小或较均匀 • （2）基础刚度大
§3.1 弹性地基梁的选择、布置与构造 柱下条形基础 • 连续基础 交叉条形基础 筏板基础 • 特点 底面积大 整体刚度大 补偿作用 箱形基础 地基承载力 减小不均匀沉降 箱形基础， 设置地下室的筏形基础
(3 − 18)
式中 b、l—基础的宽度和长度。 由式（3-18）可得到：条形基础的 k0（或修正 值）是与条形基础同宽的方形基础 k0值的2/3。
（4）考虑基础埋置深度的修正 太沙基1955年建议的公式是
d ' k 0 = k 0 (1 + 2 ) b (3 − 19)
前苏联卡里诺维奇建议的公式是
• 有限压缩层地基模型来源于地基计算的分层总 和法，土中位移采用了布辛奈斯克弹性理论解的 积分形式，而在变形计算中考虑了土的成层特 性。
δ ij = ∑
t =1
nc
σ tij hti
Esti
4 分析方法
• 静力平衡条件 ⎧∑ F = 0 ⎪ ⎨ ⎪∑ M = 0 ⎩ • 变形协调条件
弹性地基梁理论
缺点
• 弹性假设没有反映土壤的非弹性性质； • 均质假设没有反映土壤的不均匀性；
• 半无限体的假设没有反映地基的分层特点； • 数学处理上比较复杂。
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弹性地基梁的受力和变形
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面与 地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与梁的 挠度处处相等；
q
q
m i i(x-xm )22 343l 4
Q b 2 0k 2 b 2 y 2 0 k 3 M 0 4 Q 0 1 P i1 ( x - x p )
q q
m i 4(x-xm )2 222l 3
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3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
b qk (11)b qk (x l-2 1 2)
y 04012b 3 M 0 k 22b 2 Q 0 k 32 b2k pi 3 (x-xp)2b 3m k i 2(x-xm )
b2qk4bqk(l1-1)
M b 2 2 0k 3 b 4 y 3 0 k 4 M 0 1 2 Q 0 2 2 P i2 ( x - x p )
局部弹性地基模型
缺点： 没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基梁的实际
情况。但如果地基的上部为较薄的土层，下部为坚硬岩石， 这时将得出比较满意的结果。
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半无限体弹性地基模型
假设
把地基看作一个均质、连续、弹性的 半无限体。
优点
反映了地基的连续整体性，同时从几 何上、物理上对地基进行了简化。
yq
q k(xb -
xa )
弹性地基梁的计算
第3章 弹性地基梁的计算计算基础梁常用的三种假设： (1)地基反力按直线分布的假定； (2)文克尔假定；(3)地基为弹性半无限体(或弹性半无限平面)的假定。
3.1按文克尔假定计算基础梁的基本方程1. 弹性地基梁的挠度曲线微分方程根据文克尔假定，地基反力用下式表达。
Ky =σ (3-1) 式中，σ－任一点的地基反力（kN/m 2）y －相应点的地基沉陷量（m ）K －弹性压缩系数（kN/m 3）梁的角变，位移、弯矩、剪力及荷载的正方向均如图中所示。
推导出基础梁的挠度曲线微分方程。
图3-1从弹性地基梁中取出微段，根据平衡条件∑y =0，得 (dQ Q +)－Q +dx x q )(－dx σ＝0 化简后变为)(x q dx dQ-=σ (3-2) 再根据∑M =0，得M －(M +dM )+(dQ Q +)dx +2)(2)()(22dx dx x q σ-=0 整理并略去二阶微量，则得dx dM Q =(3-3) 由式(3-2)和式(3-3)，知)(22x q dx Md dx dQ -==σ (3-4)若不计剪力对梁挠度的影响，则由材料力学中得dx dy =θdx d EJM θ-== 22dx y d EJ - (3-5)33dx y d EJ dx dM Q -== 将式(3-5)代人式(3-4)，并应用式(3-1)，则得)(44x q Ky dx yd EJ +-= (3-6) 令 α＝44EJ K（3-7） 代入式(3-6)，得)(444444x q K y dx y d αα=+ (3-8)式中α叫做梁的弹性标值。
式(3-8)就是弹性地基梁的挠度曲线微分方程。
为了便于计算，在上式中用变数x α代替变数x ，二者有如下的关系：)()()(x d dy dxx d x d dy dx dy αααα== (3-9) 将上式代入式(3-9)，则得)(44)(44x q K y x d y d αα=+ (3-10)2. 挠度曲线微分方程的齐次解解的一般形式为：x x sh C x x sh C x x ch C x x ch C y ααααααααsin cos sin cos 4321+++= （3-11） 在上式中引用了2x x e e x sh ααα--=， 2xx e e x ch ααα-+=3.2按文克尔假定计算短梁1. 初参数和双曲线三角函数的引用图示一等截面基础梁，设左端有位移0y ，角变0θ、弯矩0M 和剪力0Q ，它们的正方向如图中所示。
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c. 梁全跨布满梯形荷载的特解项
q 1 3 2 ( x - xa ) xb - xa 4 q 1 2 3 ( x - xa ) xb - xa 2
当 x xb 时，积分限是 [ xa , xb ] ，
q 1 yq k ( x x ) ( xb xa )1 ( x xb ) 2 2 ( x xb ) 2 ( x xa ) b a q 1 1 ( x xb ) 1 ( x xa ) q ( xb xa ) 4 ( x xb ) k ( xb xa ) 2 q 1 M ( xb xa ) 3 ( x xb ) 4 ( x xb ) 4 ( x xa ) q 2 2 ( xb xa ) 2 q 1 Qq ( xb xa ) 2 ( x xb ) 3 ( x xb ) 3 ( x xa ) 2 ( xb xa ) 2
由A点的变形连续条件和受力情况有：
y A1 A1 M A1 0, QA1 pi
当 x ≥ x p时， y P Pi
p bk 1 M P - Pi 2 ( x - x p ) 2
4 ( x - x
)
2 2 P Pi 3 ( x - x p ) bk QP - Pi1 ( x - x p )
第3章 弹性地基梁理论
概述 弹性地基梁的计算模型 弹性地基梁挠度曲线微分方程式 及其初参数解 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.1 概述
弹性地基梁，是指搁置在具有一定弹性地 基上，各点与地基紧密相贴的梁，如铁路 枕木、钢筋混凝土条形基础梁等。
弹性地基梁与普通梁的区别
普通梁式静定的或有限次超静定结构；弹性地基
MA=0 θ0=0 y0=0
θA=0 yA=0 θA=0 yA=0
M0 Q0
M0 Q0
弹 性 固 定 端
y0=0
yA=0
θ0=M0β0 M0 Q0
弹性地基梁的挠度曲微分方程的特解
集中荷载作用下的特解项 a. 集中力Pi作用下的特解项
OA和AB段挠曲微分方程分别为：
3.3 弹性地基梁挠度曲线微分 方程式及其初参数解
基本假定
地基梁在外荷载作用下产生变形的过程中，梁底面 与地基表面始终紧密相贴，即地基的沉陷或隆起与 梁的挠度处处相等； 由于梁与地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可 以略去不计，因而，地基反力处处与接触面相垂直； 地基梁的高跨比较小，符合平截面假设，因而可直 接应用材料力学中有关梁的变形及内力计算结论。
微段上荷载引起的挠度附加项为：
yq ∫ x
x
qu
bk
a
4 ( x -u ) du
三角形荷载作用于地基梁
当 xa x xb 时，积分限是 [ xa , x ] ，
y q q M q Q q q 1 ( x - xa ) 2 ( x - xa ) k ( xb - xa ) 2 q 1 1 1 ( x - xa ) xb - xa bk
Q
M
x0 x0
Q0
得到积分常数： B1 y0
1 1 0 3 Q0 2 4 EI 1 1 B3 0 3 Q0 2 4 EI 1 B4 2 M 0 2 EI B2
其中： 4
kb 4EI
用初参数表示的齐次微分方程的解：
1 2 2 y y01 0 2 M0 3 Q0 4 2 bk bk 2 3 2 2 y04 01 M 0 4 Q0 3 bk bk bk bk 1 M y0 3 0 3 4 M 01 Q0 2 2 2 4 2 bk bk Q y0 2 0 2 3 M 04 Q01 2 2
d 4 y1 4 4 y1 0 dx4
d 4 y2 4 4 y2 0 dx'4
集中力作用于地基梁
1 2 2 y1 y01 0 2 - M0 3 - Q0 4 2 bk bk
y2 y1 y P
d 4 y P 4 4 y P 0 dx'4 1 2 2 y p y A11 ( x x p ) A1 2 ( x x p ) M A1 3 ( x x p ) Q A1 4 ( x x p ) 2 bk bk
初参数解
初参数法
y B1chax cos ax B2 chax sinax B3 shax cos ax B4 shax sinax
a[ B1 (chax sinax shax cos ax) B2 (chax cos ax shax sinax)
B3 ( shax sinax chax cos ax) B4 ( shax cos ax chax sinax)]
梁是无穷多次超静定结构。 普通梁的支座通常看做刚性支座，即只考虑梁的 变形；弹性地基梁则必须同时考虑地基的变形。
3.2 弹性地基梁的计算模型
局部弹性地基模型
p 温克尔假设： y k 把地基模拟为刚性 支座上一系列独立 的弹簧。
局部弹性地基模型
缺点：没有反映地基的变形连续性，不能全面的反映地基
dM d3y Q EI 3 dx dx
代入化简得到挠曲微分方程：
d y EI 4 ky q( x ) dx
4
对应齐次微分方程的通解
令挠曲微分方程中 q( x ) 0 ，得到对应齐次微分方程：
通解为：
d4y EI 4 ky 0 dx
y e ax A1 cos x A2 sinx e ax A3 cos x A4 sinx
实际工程中常遇到的支座形式反荷载作用下梁端参数的值 弹性地基梁 自 由 端 已知初参数 A端边界条件 待求初参数
M0=0 Q0=0 MA=0 QA=0
θ0 y0 θ0 y0
M0=-m Q0=-P1 M0=0 y0=0
MA=0 QA=P2 MA=0 yA=0
简 支 端
θ0 Q0 θ0 Q0
M0=m1 y0=0
当三角形荷载布满全跨时，积分限是（0，x）有：
q 1 y q x 2 kbl 2 q 1 1 q kbl M - q q 4 4 3 l Q - q 3 q 2 2 l
B3 (chax cos ax shax sinax) B4 (chax sinax shax cos ax)
把四个积分常数改用四个初参数来表示，根据初参数的物理 意义来寻求简化计算的途径。
用初参数表示积分常数
梁左端边界条件：
y
x0 x0
y0 0 M0
弹性地基梁作用的初参数
xa x xb
（积分限 [ xa , x ]）
x xb
（积分限 [ xa , x b ]）
q yq bk 1 ( x - xb ) - 1 ( x - xa ) - 2 q 4 ( x - x b ) - 4 ( x - x a ) bk M q q 3 ( x - x b ) - 3 ( x - x a ) 2 2 q Qq 2 ( x - xb ) - 2 ( x - xa ) 2
M 2 EI 2 ( B1shax sinax B2 shax cos ax B3chax sinax B 4 chax cos ax)
Q 2 EI 3[ B1 (chax sinax shax cos ax) B2 (chax cos ax shax sinax)
分布荷载作用于地基梁
a. 均布荷载
荷载均布与ab段
q yq bk 1 - 1 ( x - xa ) 2 q bk 4 ( x - xa ) M - q q 2 ( x - x a ) 2 2 q Qq 2 ( x - xa ) 2
其中： 1 chax cos ax
2 chax sinax shax cos ax 3 shax sinax 4 chax sinax shax cos ax
微分关系为：
d1 4 d d 2 21 d d 3 2 d d 4 23 d
当
x xm
时，取特解项为零。
分布荷载作用下的特解项
分布荷载可分解成多个集中力， 按集中力求解特项。
荷载在右边截面x处引起的挠度特解项为：
aqdu dy 2 4 ( x -u ) bk
x截面以左所有荷载引起的挠度特解项为：
x aq y q 4 ( x -u ) du xa bk
当荷载满跨均布时，积分限是（0，x），故有：
q yq bk 1 - 1 2 q bk 4 M - q q 3 2 2 q Qq 2 2
b. 三角形分布荷载
u - xa q u q xb - xa
ax e ax 利用双曲函数关系： chax shax, e chax shax
1 1 A1 ( B1 B2 ), A2 ( B2 B3 ) 2 且令： 2 1 1 A3 ( B1 B2 ), A4 ( B2 B4 ) 2 2
得到另一通解：
y B1chax cos ax B2chax sinax B3 sha cos ax B4 shax sinax