3、弹性地基梁理论

3.1 概述
●弹性地基梁理论：
弹性地基梁是超静定结构，分布于梁上的地基反 力大小及变化规律，与作用于梁上的荷载、梁的 几何形状及尺寸、材料及地基的物理力学性质有 关，单用静力平衡条件是不能求得的，实用上常 采用一定的假定，以资简化。目前，计算弹性地 基梁的理论主要有以下两种。
3.1 概述
一、以温克尔假定为基础的局部变形理论。 认为地基反力的大小仅与该点的地基沉降量成正 比。按照这个假定来计算弹性地基梁，是将地基看成 为无限多个各自孤立的弹簧，地基沉降只发生在梁的 底面范围内（实际上，临近梁四周的地基也发生沉 陷）。另外，地基反力与其沉陷量间的比例系数，是 与地基类别、受压面积大小、加力的大小、加力的方 向与次数有关，并不是常数，很难取得准确值。 所以，一般说来，温克尔假定不能很好的符合实 际情况。但当硬地层上有一层较薄的松软土层，而梁 放在松软土层上时，温克尔假定比较符合实际。
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
将C1l—C4 代入公式(5—10)，得梁跨间无荷哉时，变位及内力的初参数解为：
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
首先讨论集中力P的影响:
梁段上荷载 挠度曲线方程:
显然C点以右的挠度除初参数y。、 Θ。 、M。及Q。的影 响按上式考虑外，还应加上因P的影响产生的附加项△yx。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
当梁跨间无荷载时q(x)＝p＝M＝o， 梁的变形及内力由 梁的端效应引起， 例如，图5—2所示情况。这时梁 的挠度曲线由微分方程式(5—5)对应的齐次方程式求 得
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
设方程式(5—5a)的解为yx＝er(ay) (其中r为常数)， 代人方程式(5—5。)后，得特征方程式
运用相同的方法可导得各段角变位、弯矩及剪 力的附加项。将它们汇总，最后得弹性地基等截 面直梁的变位及内力一般公式为：
3.3 梁跨间有荷载时的解
式中 y。Q。——由边界条件确定的初参数，意义同前， am,ap——集中力偶M及集中力P的作用点坐标；
3.3 梁跨间有荷载时的解
例:
局部梯形荷载，有
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.1 概述
二、把地基假定为半无限弹性体的共同变形理论。
所谓半无限弹性体，是指地基表面为无限平面，梁搁置在 上面，表面以下的地基为均质、各向同性的无线弹性体。地基 的沉降量，用弹性力学方法计算。地基反力，根据梁与地基的 变形协调条件求的。采用这个假定，地基某点的沉降量不仅与 该点的压力有关，与其他点的压力也有关；地基沉陷不仅发生 在梁的底面范围，也发生在临近四周的范围内。同时反映地基 性质的是 用它的弹性模量和泊松比，他们与受压面积的大小和 加力的大小无关。所以这个假定比温克尔假定能更好的反映实 际情况。
它的四个根是两对共轭复数
因此，齐次方程式(5—5a)的四个线性无关的解为，
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
当利用欧拉公式及双曲线函数定义时，即
这四个解可写为
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
这样齐次方程式(5—5a)的通解为
式中C1~C4为积分常数 由梁两端的四个边界条件确定。将通解yx 代入公式(5—3)及(5—4)，并利用公式(5—6)及下列微分关系后得
3.3 梁跨间有荷载时的解
分布荷载q(x)对其以右部分的挠度影响附加项 应分为 两种情况讨论。一是在荷载分布范围EF内，二是在荷载 分布范围以外， 分别在两区段]上积分，求得分布荷载 q(x) 在该二范围内引起的挠度附加项为：
3.3 梁跨间有荷载时的解
因此,梁跨间有荷载的挠曲线方程应为:
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
由于作用在梁上的荷载，组合方式甚 多，计算上应分别对待，在此不作详细讨 论，仅讨论与衬砌计算有关的全跨梯形荷 载情形。
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
因此：
式中
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
在弹性地基梁局部变形理论中，除了采用温克尔 假外，还认为梁的变形与地基的变形是协调的，即梁 底面与地基表面始终是相贴的，没有缝隙，地基的沉 陷或隆起与梁的挠度是处处相等的。另外，由于梁与 地基间的摩擦力对计算结果影响不大，可略去不计。 梁的高跨比一般很小，其变形符合平面假定，因此， 在分析中可直接引用材料力学有关的梁理论的若干结 论。 下面推导弹性地基梁局部变形理论的计算公式。
§2.2.1梁跨间无荷载时的解
不难求得路问无荷载时，梁的变位及内力为
为了使用方便，用梁的起始端的初参数(物理量)替换式中的积分常数 C1l—C4 ,如图5—2所示，取梁左端：X＝o处的挠度y。、角变位Θ。 弯矩M。及剪力Q。为初参数。那么，根据这些条化并注意到：x=0 时、Ф1＝1， Ф2= Ф3= Ф4=0，从公式(5—10)求得
式中
3.5 弹性地基梁解的应用
例1
3.5 弹性地基梁解的应用
3.5 弹性地基梁解的应用
3.5 弹性地基梁解的应用
解得
3.5 弹性地基梁解的应用
解得
3.5 弹性地基梁解的应用
3.5 弹性地基梁解的应用
例2 无限长弹性地基梁，在O点作用集中力P，
求梁的变位及内力公式
3.5 弹性地基梁解的应用
当利用分部积分
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
（F）
3.3 梁跨间有荷载时的解
对于全跨梯形荷载弹性地基等截面直梁
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
在概述中我们提到，当地基梁的刚度很大，地基抗力近似 为直线分布，地基梁的计算可退化为静定问题计算。 为了计算方便，我们将地基梁分为刚性梁、柔性梁（长梁） 和弹性梁（短梁）三种。 定义换算长度：
将公式(5—1)代入微段平衡方程式，并赂去高阶微量后得
由材料力学知，梁的弯矩与其挠度间有微分关系
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
将公式(5—3)代入公式(5—2)， 并利用公式(5—4) 后， 得弹性地基梁的挠度曲线微分方程
式中 α——弹性地基梁的弹性特征值(1／厘米） E——梁材料的弹性模量(公斤／厘米2) I——梁截面惯性矩(厘米4)。 方程式(5—5)是一个四阶常系数非齐次线性常微分式， 下面 将根据荷裁性质及分布范围，讨论它的解。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
为建立挠度曲线微分方程式，在有分布荷裁q(x) 的区段，裁取一微段dx来研究，其受力图如图5—1所 示。由微段平衡条件得： 根据温克尔假定及地基与粱变形协调条件，地基反力 p(x)与该点梁酌挠度成正比，即
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
式中 p(x)——梁单位长度上的地基反力(公斤／厘米)， b——梁的宽度(厘米)， k——比例系数，在地下建筑中称围岩弹性抗力系数 (公斤／厘米3。)，其物理意义为使单位面积地 基沉陷单位深度时所需要的力。各种围岩的弹 性抗力系 数，交附表5—3及附表5—4； y(x)——梁的挠度(厘米)。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
3、弹性地基梁理论
3.1 概述
弹性地基梁： 是指搁置在具有一定弹性的地基上、
各点与地基紧密相贴的梁。 例如：铁路枕木、钢筋混凝土条形基础梁等等。 通过这种梁将作用在它上面的荷载，分不到较大 面积的地基上，即使承载力较低的地基，能承受 较大的荷载，又使梁的变形减小，提高刚度降低 内力。 地下建筑衬砌的计算，与弹性地基梁理论有密切 的关系。
3.1 概述
上述两种理论，各有优缺点，工程上都在使用，但在计 算上局部变形理论更简便些。由于目前对作用在衬砌结构 上的主要荷载——围岩压力还没有完全认识，取值不可能 准确，因此，在衬砌结构计算中，多采用局部变形理论计 算围岩弹性抗力，使计算简化。此外，某些工程问题，如 圆柱水池、穹顶结构，尚可比拟于局部变形理论进行求解。
3.3 梁跨间有荷载时的解
集中力P对其作用点c以右部分的挠度影响，正如在C点增 加一个初参致p时(对C点以右部分而言)所产生的挠度。考虑 到这时的坐标原点应为x=ap， 则P对其作用点C以右部分挠 度影响的附加项为：
或简写为
3.3 梁跨间有荷载时的解
同理，对于集中力偶M作用点D以右的部分，应考虑 以D点为坐标原点增加初参数－M后的挠度影响附加 项．即
λ=αl
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
短梁(又称有限长梁、弹性梁)： l＜λ＜2.75
一般弹性地基梁，按上述方法计算
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
刚性梁：λ ＜1 可认为梁是绝对刚性的，即EI→∞，刚性梁的地基反力呈 直线分布，其变位及内力可由静力平衡条件求得。 也可以把刚性梁视为短梁的特例，直接由短粱导得计算 公式。此时取α →0，作极限运算。因为
3.5 弹性地基梁解的应用
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
设有长为l、宽为b的弹性地基等裁面宣粱，梁上作用有 任意荷裁，其坐标、荷裁及内力的正方向如图5—1所示。
3.2 弹性地基梁的挠度曲线微分 方程式及其参数求解
在以下讨论中，取粱变形前的左端截面中 心为坐标原点，x轴向右为正，y轴向下为正。 分布荷载q(x)及集中荷载p向下为正，集中力 偶荷载M顺时针向为正。弯矩Mx。使梁上边 缘受拉为正，剪力： q(x)使微段反时针转为 正。挠度(沉陷) y(x)向下为正，角变位⊙x反 时针转为正。地基反力p(x)向上为正。
3.4 弹性地基短梁、长梁及刚性梁
则