青岛版九年级青岛版九年级上册3.1 圆的对称性(第3课时)

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青岛版初中数学九年级上册《圆的对称性(3)》教学案1

2
B 1A
2. (2 分)在⊙O 中，弦 AB 的长恰好等于半径，弦 AB 所对的圆心角为
。
3. (3 分)一条弦把圆分成 1：3 两部分，则劣弧所对的圆心角为________。
4. (3 分)如果两个圆心角相等，那么（） A．这两个圆心角所对的弦相等;
等 C．这两个圆心角所对的弦的弦心距相等;
B．这两个圆心角所对的弧相 D．以上说法都不对
3、在
中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有
量相等，那
么它们所对应其余各组量都分别分别相等.
二、自学课本 P72---73 完成下列问题：
1、什么叫做 1°的弧？什么叫做 n°的弧？
2、n°的圆心角与它所对的弧的度数有什么关系?
3、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系是：
4、独立完成例 4，并与课本相对照，思考一般解题思路。例 4、（书写过程）
⌒
⌒
E、F，若∠D=50°，求BE的度数和EF的度数．
_A
_F
_D
_B
_E
_C
TB:小初高题库
四、系ห้องสมุดไป่ตู้总结: 通过本节课的学习,你有哪些收获？还有哪些疑惑？
青岛版初中数学
五、限时作业: 1.(2 分)如图,在⊙O 中,
AC = =
BD ,
⌒ ∠1=30°,则CD的度数是__________。
C D
一、创设问题情境，引入新课圆心角与它所对的弧的度数有什么关系？
二、精讲点拨：
1、1°的弧 n°的弧的意义 2、圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：相等（注意：只是度数相等） 3、例 4、5 解题思路及辅助线的添加方法
三、拓展延伸：
如图，以□ABCD 的顶点 A 为圆心，AB 为半径作圆，分别交 BC、AD 于

九年级数学上册(青岛版)课件：3.1 圆的对称性 (共16张PPT)

《高效课时通》
3.1 圆的对称性
初中数学
《高效课时通》
你知道车轮为什么设计成圆形？设计成三角形、四边形又会怎样？从中你发现了什么？
初中数学
《高效课时通》
圆绕着圆心旋转任何角度后, 都能与自身重合.
圆是中心对称图形,圆心是它的对称中心.
初中数学
《高效课时通》
(1)在两张透明纸片上,分别作半径相等的⊙O和⊙O′. (2)在⊙O和⊙O′中，分别作相等的圆心角
3．圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
初中数学
《高效课时通》
初中数学
谢谢！
墨子，(约前468～前376)名翟，鲁人，一说宋人，战国初期思想家，政治家，教育家，先秦堵子散文代表作家。曾为宋国大夫。早年接受儒家教育，后聚徒讲学，创立与儒家相对立的墨家学派。主张•兼爱”“ 非攻“ 尚贤” “节用 ”，反映了小生产者反对兼并战争，要求改善经济地位和社会地位的愿望，他的认识观点是唯物的。但他一方面批判唯心的宿命论，一方面又提出同样是唯心的“天志”说，认为天有意志，并且相信鬼神。墨于的学说在当时影响很大，与儒家并称为•显学”。《墨子》是先秦墨家著作，现存五十三篇，其中有墨子自作的，有弟子所记的墨子讲学辞和语录，其中也有后期墨家的作品。《墨子》是我国论辩性散文的源头，运用譬喻，类比、举例，推论的论辩方法进行论政，逻辑严密，说理清楚。语言质朴无华，多用口语，在先秦堵子散文中占有重要的地位。公输，名盘，也作•“般”或•“班 ”又称鲁班，山东人，是我国古代传说中的能工巧匠。现在，鲁班被人们尊称为建筑业的鼻祖，其实这远远不够．鲁班不光在建筑业，而且在其他领域也颇有建树。他发明了飞鸢，是人类征服太空的第一人，他发明了云梯(重武器)，钩钜(现在还用) 以及其他攻城武器，是一位伟大的军事科学家，在机械方面，很早被人称为 “机械圣人” ，此外还有许多民用、工艺等方面的成就。鲁班对人类的贡献可以说是前无古人，后无来者，是我国当之无愧的科技发明之父。

2022年九年级数学上册第3章对圆的进一步认识3.1圆的对称性教案新版青岛版

3.1圆的对称性教学目标【知识与能力】(1)理解圆的轴对称性和中心对称性，会画出圆的对称轴，会找圆的对称中心；(2)掌握圆心角、弧和弦之间的关系，并会用它们之间的关系解题．【过程与方法】(1)通过对圆的对称性的理解，培养学生的观察、分析、发现问题和概括问题的能力，促进学生创造性思维水平的发展和提高；(2)通过对圆心角、弧和弦之间的关系的探究，掌握解题的方法和技巧．【情感态度价值观】经过观察、总结和应用等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，体验发现的乐趣．教学重难点【教学重点】对圆心角、弧和弦之间的关系的理解．【教学难点】能灵活运用圆的对称性解决有关实际问题，会用圆心角、弧和弦之间的关系解题．课前准备多媒体课件教学过程一、创设情境，导入新课问：前面我们已探讨过轴对称图形，哪位同学能叙述一下轴对称图形的定义？(如果一个图形沿着某一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴)．问：我们是用什么方法来研究轴对称图形？生：折叠．今天我们继续来探究圆的对称性．问题1：前面我们已经认识了圆，你还记得确定圆的两个元素吗？生：圆心和半径．问题2：你还记得学习圆中的哪些概念吗？忆一忆：1．圆：平面上到____________等于______的所有点组成的图形叫做圆，其中______为圆心，定长为________．2．弧：圆上_____叫做圆弧，简称弧，圆的任意一条____的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做圆的半径．__________称为优弧，_____________称为劣弧．3．___________叫做等圆，_________叫做等弧．4．圆心角：顶点在_____的角叫做圆心角．二、探究交流，获取新知知识点一：圆的对称性1．圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？2．大家交流一下：你是用什么方法来解决这个问题的呢？动手操作：请同学们用自己准备好的圆形纸张折叠：看折痕经不经过圆心？学生讨论得出结论：我们通过折叠的方法得到圆是轴对称图形，经过圆心的一条直线是圆的对称轴，圆的对称轴有无数条．知识点二：垂径定理按下面的步骤做一做：1．在一张纸上任意画一个⊙O ，沿圆周将圆剪下，把这个圆对折，使圆的两半部分重合．2．得到一条折痕CD ．3．在⊙O 上任取一点A ，过点A 作CD 折痕的垂线，得到新的折痕，其中，点M 是两条折痕的交点，即垂足．4．将纸打开，新的折痕与圆交于另一点B ，如上图．师：老师和大家一起动手．(教师叙述步骤，师生共同操作)师：通过第一步，我们可以得到什么？学生齐声：可以知道：圆是轴对称图形，过圆心的直线是它的对称轴．师：很好．在上述的操作过程中，你发现了哪些相等的线段和相等的弧？生：我发现了，AM =BM ，AC BC =，AD BD =．师：为什么呢？生：因为折痕AM 与BM 互相重合，A 点与B 点重合．师：还可以怎么说呢？能不能利用构造等腰三角形得出上面的等量关系？师生共析：如下图示，连接OA 、OB 得到等腰△OAB ，即OA =OB ．因CD ⊥AB ，故△OAM 与△OBM 都是Rt △，又OM 为公共边，所以两个直角三角形全等，则AM =BM ．又⊙O 关于直径CD 对称，所以A 点和B 点关于CD 对称，当圆沿着直径CD 对折时，点A 与点B 重合，AC 与BC 重合，AD 与BD 重合．因此AM =BM ，AC =BC ，AD =BD ．师：在上述操作过程中，你会得出什么结论？生：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．结论：垂径定理：垂直于弦的直径平分弦以及弦所对的两条弧.例1：如教材69页图3-4，以△OAB 的顶点O 为圆心的⊙O 交AB 于点C ，D ，且AC =BD .求证：OA =OB .例2:1400多年前，我国隋唐时期建造的赵州石拱桥的桥拱近似于圆弧形，它的跨度为37.02m ，拱高(弧的中点到弦的距离，也叫弓形的高)为7.23m.求拱桥所在圆的半径(精确到0.1m).知识点三：圆的中心对称性．问：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，还能与原来的图形重合吗？让学生得出结论：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合，我们把圆的这个特性称之为圆的旋转不变性．圆是中心对称图形，对称中心为圆心．知识点四：同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关系做一做：在等圆⊙O 和⊙O '中，分别作相等的圆心角∠AOB 和A O B '''∠(如图3-8)，将两圆重叠，并固定圆心，然后把其中的一个圆旋转一个角度，得OA 与OA '重合．你能发现哪些等量关系吗？说一说你的理由．小红认为''=AB A B ，''=AB A B ，她是这样想的：∵半径OA 重合，'''∠∠=AOB A O B ，∴半径OB 与OB '重合，∵点A 与点A '重合，点B 与点B '重合，∴AB 与A B ''重合，弦AB 与弦A B ''重合，∴AB =A B ''，AB =A B ''．生：小红的想法正确吗？同学们交流自己想法，然后得出结论，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．问：在同圆或等圆中，如果两个圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆心角相等吗？你是怎么想的？学生之间交流，谈谈各自想法，教师点拨．结论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．例3：如书本71页图3-11，AB 与DE 是⊙O 的两条直径，C 是⊙O 上一点，AC ∥DE .求证：(1)弧AD =弧CE ；(2)BE =EC .知识点五：圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系思考：（1）把顶点在圆心的周角等分成360份，每份圆心角的度数是多少？（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，整个园被分成了多少份？每一份的弧是否相等？为什么？师：整个圆1360的叫做1°的弧.1°的圆心角所对的弧是多少度；反之，1°的弧所对的圆心角是多少度.圆心角与它所对的弧有什么关系？生：1°的圆心角所对的弧是1°；1°的弧所对的圆心角是1°.结论：圆心角的度数与它所对弧的度数相等.例4：如书本73页图3-14，OA ，OC 是⊙O 中两条垂直的直径，D 是⊙O 上的一点.连接AD 并延长与OC 的延长线相交于点B ，∠B =25°.求弧AD ，弧CD 的度数.例5：如书本73页图3-15，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长. 三、随堂练习1．日常生活中的许多图案或现象都与圆的对称性有关，试举几例．2．利用一个圆及其若干条弦分别设计出符合下列条件的图案：(1)是轴对称图形但不是中心对称图形；(2)是中心对称图形但不是轴对称图形；(3)既是轴对称图形又是中心对称图形．3．已知，A ，B 是⊙O 上的两点，∠AOB =120°，C 是AB 的中点，试确定四边形OACB 的形状，并说明理由．四、自我小结，获取感悟1．对自己说，你在本节课中学习了哪些知识点？有何收获？2．对同学说，你有哪些学习感悟和温馨提示？3．对老师说，你还有哪些困惑？。

青岛版九年级数学上册《圆的对称性》PPT课件(2篇)

赵州石拱桥
• 1400多年前,我国隋朝建造的赵州石拱桥(如图) 的桥拱是圆弧形,它的跨度(弧所对是弦的长)为 37.02m,拱高(弧的中点到弦的距离,也叫弓形高) 为7.23m,求桥拱的地有一圆弧形拱桥,桥下水面宽为7.2米,拱顶高出水面2.4米.现有一艘宽3米、船舱顶部为长方形并高出水面2米的货船要经过这里,此货船能顺利通过这座拱桥吗？
能不能试着利用构造等腰三角形得出上面的等量关
系？证明：连接OA,OB, 则OA=OB.
C
∵CD⊥AB于M
A
M└
●O
B ∴AM=BM.
∴点A和点B关于CD对称. ∵⊙O关于直径CD对称,
∴当圆沿着直径CD对折时,点A与点B
D
重合, ⌒ AC和B⌒C重合, ⌒ AD和B⌒D重合.
∴ A⌒C = B⌒C,
D
∵⊙O关于直径CD对称,
∴ 重当合圆, ⌒A沿C着和B⌒直C径重合CD, 对⌒ AD折和时B⌒D,点重合A与. 点B ∴A⌒C =B⌒C, A⌒D =B⌒D.
垂径定理
垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧.
题设
结论
｝（1）直径
（2）垂直于弦
｛（3）平分弦（4）平分弦所对的优弧（5）平分弦所对的劣弧
• 圆是轴对称图形吗？
如果是,它的对称轴是什么?你能找到多少条对称轴？你是用什么方法解决上述问题的?
• 圆是轴对称图形.
圆的对称轴是任意一条经过圆心的直线,它有无数条对称轴.
可利用折叠的方法即可解决上述问题. PPT模板：/moban/ PPT背景：/beijing/ PPT下载：/xiazai/ 资料下载：/ziliao/ 试卷下载：/shiti/ PPT论坛：语文课件：/kejian/yuwen/ 英语课件：/kejian/yingyu/ 科学课件：/kejian/kexue/ 化学课件：/kejian/huaxue/

九年级数学上册 3.1 圆的对称性课件青岛青岛级上册数学课件

12/10/2021
第十页，共十八页。
环节(huánjié)三：能力提升：
变式训练三
• 如图所示，以半圆(bànyuán)的一条弦BC（非直径）为对称轴，将
弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD：DB=2：3，且AB=10，则
CB长为 H
4 5 • ____________。
E
同学们讨论一下这个题是如何变式得出来的。
。
。。
你还想求哪些问题请自行解答。
O
A
D
B
C
12/10/2021
第十五页，共十八页。
环节五、课堂(kètáng)检测：
• 当⊙O半径为1CM时，请同学们根据(gēnjù)自主探
究（一）的条件，来解答下列问题：
5、S△AOC=
= 3 cm 2 ，S△AOB
6、弦AB所3对cm 2的4圆心角度数=
3 4
1、折痕AB=______3_c_m。
2、 ∠AOC=______;∠OAC=______6_0°_;∠OAB=_______ 30° 60°
3、△AOC是________等_边_____三角形。
4、四边形OACB是___________。
O
菱形
A
D
B
C
12/10/2021
第十四页，共十八页。
环节(huánjié)五、课堂检测：
同学们讨论一下这个题是如何变式得出来的。
12/10/2021
第九页，共十八页。
环节三：能力(nénglì)提升：变式训练三
• 如图所示，以半圆的一条(yī tiáo)弦BC（非直径）为对称轴，将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若AD：DB=2：3，且AB=10，则CB长为____________。

青岛初中数学九上《3.1圆的对称性》PPT课件 (3)

因为OC⊥AB, 所以AD= BD, A⌒C=B⌒C,
由题设知 AB=37.4 CD=7.2 ,所以AD=18.7，OD=OC-CD=R-7.2，
OA2 AD2 OD2
在直角三角形ODA中，由勾股定理得，
R2 18.72 (R 7.2)2
即
解得，R≈27.9，所以赵州石拱的半径为27.9m。
问题：如图AB是⊙O的一条弦，作直径CD,
使CD⊥AB,垂足为M，将⊙O 沿直径
ＣＤ折叠，（１）线段ＡＭ与ＢＭ有什么
关系？
（２）你发现 ⌒ AC和B⌒C 有什么关系？
C
⌒AD和B⌒D 有什么关系？
A M└
B
●O
辅助线：作圆的两条半径
D
理由是，如图 :
(1)连接OA,OB, 则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中, ∵OA=OB，OM=OM，
直径将圆分成两部分,每一部分都叫
做半圆(如弧ABC).
B
小于半圆的弧叫做劣弧,如记作 A⌒B(用
两个字母).
A
●O
C 大于半圆的弧叫做优弧,如记作 A⌒CB
(用三个字母).
4.1圆的对称性
第一课时
• 学习目标
• 1 理解圆的轴对称性. • 2 掌握垂径定理,并能用它解决实际问题. • 3 学习过程中,领悟转化思想和数形结合思
3、轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。（这条直线叫做对称轴）
圆的相关概念
⌒
圆上任意两点间的部分叫做圆弧,简称弧.
以A,B两点为端点的弧.记作 A⌒B,读作“弧AB”.
连接圆上任意两点间的线段叫做弦(如弦AB).

青岛版九年级数学上册课件3.1 圆的对称性

B
E D
A
C
课堂练习
1．如图1,在⊙O中,AC＝BD,∠AOB＝50º,求
∠COD的度数.
C
A
D
B
O
A
O
B
C
图1
图2
2．如图2,在⊙O中, AB＝ AC ,∠A＝40º，求
∠ABC的度数.
3.如图,在同圆中,若AB＝2CD,则AB与2CD的大小
关系是( B )．
A
C
A．AB＞2CD C． AB＝2CD
∠AOB ,∠A′OB′，连接AB、 A′B′ .
(3)将两张纸片叠在一起,使⊙O与⊙O′重合. (4)固定圆心,将其中一个圆旋转某个角度,使得OA 与OA′重合.你发现了什么?请与同学交流.
B′
O
O
A′
AB
AB
议一议
当OA与O′A′重合时， ∵∠AOB＝∠A′O′B′， ∴OB与O′B′重合.
又∵OA＝O′A′，OB＝O′B′，
1°的圆心角 O
C 1°的弧 D
B n°的弧
A n°的圆心角
圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
典型例题
例1 如图, AB、AC、BC都是⊙O的弦,∠AOC＝ ∠BOC.∠ABC与∠BAC相等吗？为什么？
O
A
B
C
例2 如图,在△ABC中, ∠C＝90°, ∠B＝ 28°,以C为圆心,CA为半径的圆交AB于点D,交BC与点E．求AD、DE的度数.
∴点A与点A′重合，点B与点B′重合.
∴ AB ＝ AB 重合，AB与A′B′重合，即
AB＝ AB ，AB＝A′B′ .
B A
O
B′ A′
O′
∠AOB ＝∠ A′O ′ B ′

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料4.3.1圆的对称性(3) (3)

1.自学课本72页观察与思考，并完成填空
优弧
O
A
劣弧
B

先独立思考解题思路，然后起立组内
步骤一定要规范、条理。
交流，注意辅助线的总结，最后个人整理，
独立完成当堂训练。
（成绩计入小组量化）
目标导向：通过总结，梳理本节课的收获，反思问题，学会分享与共赢。
一路下来，我们学习了很多知识，也有了很多的想法。你能谈谈自己的收获吗？说一说，让大家一起来分享。
3.1圆的对称性（3）
学习目标
1. 认识弧的度数的概念;
2. 了解圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系. 感受不同知识之间的实质性联系．重点：圆的有关定理及解直角三角形的知识的
3.能应用圆的有关定理及解直角三角形的知识解决问题，
综ห้องสมุดไป่ตู้应用．
难点：应用有关知识，感受知识之间的联系．
自学指导（时间：10分钟）

青岛版九年级数学上册课件：3.1圆的对称性(垂直定理)

6、“教学的艺术不在于传授本领，而在于激励、唤醒、鼓舞”。2021年11月下午8时55分21.11.820:55November 8, 2021
• 7、“教师必须懂得什么该讲，什么该留着不讲，不该讲的东西就好比是学生思维的器，马上使学生在思维中出现问题。”“观察是思考和识记之母。”2021年11月8日星期一8时55分12秒20:55:128 November 2021
M
垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧。
A
一个圆的任意两条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。
D O
B N
挑战自我画一画
• 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦 AB,使AB过点M.并且AM=BM.
●M ●O
判断当堂达标填一填
⑴垂直于弦的直线平分弦，并且平分弦所对的弧( ) ⑵弦所对的两弧中点的连线,垂直于弦,并且经过圆心 ( )
C
A
D
B
O
圆中一个重要的结论,三
种语言要相互转化,形成
D
整体,才能运
用自如.
在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧
D
A
B
E
A
O
O
CE
O
A
E
B
B
C
A
C D
O
E
C
D
AE
B
D
O
BA
E
B
C
典例精讲
如图，已知在⊙O中，弦AB的长为8厘米，圆心 A O到AB的距离为3厘米，求⊙O的半径。
题设
结论
｝（1）直径
（2）垂直于弦

秋青岛版九年级上3.1圆的对称性(垂径定理)课件

谢谢观赏
You made my day!
东平县初中数学
我们，还在路上……
C
A M└ ●O
• 你能发现图中有哪些等量关
B 系?与同伴说说你的想法和理
由.
题设
结论
D 由 ① CD是直径可推得 ② CD⊥AB
③AM=BM,
④A⌒C=B⌒C, ⑤A⌒D=B⌒D.
东平县初中数学
• 如图,小明的理由是: • 连接OA,OB,则OA=OB.
在Rt△OAM和Rt△OBM中,
C
∵OA=OB，OM=OM， A M└
有无数条对称轴. 可利用折叠的方法即可解决上述问题.
●O
东平县初中数学
结论
M A
O
C N
东平县初中数学
D
圆是轴对称图形，经过圆心的
每一条直线都是它的对称轴。
B
练习1.判断题
(1)直径是弦 .
(2)过圆心的线段是直径（. ）
(3)半圆是弧 . (4)两个半圆是等弧.
(5)面积不等的两圆不是等圆.
推论
平分弦（不是直径）的直径
M
垂直于弦，并且平分弦所对
的两条弧。
A
一个圆的任意两条直径总是互相平分，C 但是它们不一定互相垂直。因此这里的弦如果是直径，结论就不一定成立。
东平县初中数学
D O
B N
挑战自我画一画
• 如图,M为⊙O内的一点,利用尺规作一条弦 AB,使AB过点M.并且AM=BM.
3.1 圆对称性(1) 垂径定理
东平县初中数学
东平县初中数学
课堂目标
• 1．经历探索圆的对称性及有关性质的过程. • 2．理解圆的对称性及有关性质. • 3．会垂径定理解决有关问题.

青岛版初三3.1圆对称性

3.1圆的对称性【课程标准】熟练掌握垂径定理和圆心角、弧、弦之间的关系定理并会解决相关计算或证明。

【总体目标】【学习过程】一、圆的定义：测评验收：1.已知⊙O 的半径为5，若PO ＝4，则点P 与⊙O 的位置关系是（）A ．点P 在⊙O 内B ．点P 在⊙O 上C. 点P 在⊙O 外 D ．无法判断2.以坐标原点为圆心，以2个单位为半径画⊙O ，下面的点中，在⊙O 上的是（）A ．（1，1）B ．（，）C ．（1，3）D ．（1，）二、圆的对称性: 圆是轴对称图形，又是________________,_________________所在的直线都是它的对称轴，________是它的对称中心.三、垂径定理：_____________的直径平分弦以及弦所对的__________.____________________注意：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧.典例剖析例1. 一条进水管的截面如图所示，已知进水管的半径OB=10，水面宽AB=16，求截面圆心O 到水面的距离.学习目标：会应用垂径定理构造直角三角形进行相关计算。

对称性垂径定理圆心角、弧、弦之间的关系弧的度数变式1：已知进水管的半径OB=5，圆心到截面的距离是4，求AB.变式2：已知进水管中水深是4，水面宽AB=16.求半径.测评验收：进水管半径OB=5，水面宽AB=6，给进水管中注入水，一段时间后，水面宽为8，则水位上升多少？挑战：如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD 交AB 于点P ，AP ＝2，BP ＝6，∠APC ＝30°，则CD 的长。

方法总结：________________ 四、圆心角、弧、弦之间的关系(等对等定理)如图，AB 、CD 是⊙O 的两条弦．（1）如果AB=CD ，则___________ ，___________．（2）如果 AB=CD ，则____________ ，___________．（3）如果∠AOB=∠COD ，则_____________，_____________．（4）如果AB=CD ，OE ⊥AB 于E ，OF ⊥CD 于F ，OE 与OF 相等吗？为什么？4.在______________中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦，弦心距，中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别________.5.弧的度数和_____________相等思考：度数相等的弧是等弧吗?长度相等的弧是等弧吗?什么样的弧才是等弧?测评验收：.下列说法中，正确的是（）A ．圆心角相等,所对的弧相等B ．等弧所对的弦相等C ．圆心角相等，所对的弦相等D ．弦相等所对的圆心角相等学习目标：1.熟练掌握圆心角、弧、弦之间的关系定理， 2.并会利用性质进行相关证明和计算。

青岛九年级上册数学教案3-1圆的对称性第3课时

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第3课时
一、新课导入
通过上一节课的学习，我们知道顶点在圆心的角叫做圆心角．把顶点在圆心的周角等分成360份，每一份圆心角的度数是多少？整个圆被分成了多少份？每一份的弧是否相等？圆心角的度数与它所对弧的度数有什么关系？
二、教学建议
1．圆心角的度数与它所对弧的度数相等
建议：引导学生探究：1°，2°，3°，…，n°的圆心角所对弧的度数分别为1°，2°，3°，…，n°，归纳得出圆心角的度数与它所对弧的度数相等．
2．垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理的综合应用
建议：结合例题让学生明确，圆心角的度数与它所对弧的度数互为因果关系．常结合垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理进行相关的计算或证明．
三、本课小结
1．圆心角的度数与它所对弧的度数相等．
2．圆心角与弧的度数之间的关系和垂径定理，圆心角、弧、弦关系定理相结合进行相关的计算或证明．
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初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料3.1圆的对称性(第3课时)教案

初中数学青岛版九年级上册高效课堂资料3.1 圆的对称性第三课时【教学目标】1.我能认识弧的度数的概念.2.我能了解圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系.3.综合应用圆的有关定理及解直角三角形的知识解决问题，感受不同知识之间的实质性联系．【教学重难点】重点：圆的有关定理及解直角三角形的知识的综合应用．难点：综合应用有关知识，感受知识之间的联系．【教学过程】一、导入环节（2分钟）（一）导入新课，板书课题1.导入语：上节课我们学习了垂径定理和圆的中心对称性，这节课继续学习圆的有关知识.2.教师板书课题. （二）出示学习目标课件展示学习目标，一名学生读学习目标.1. 认识弧的度数的概念，理解圆心角的度数与它所对弧的度数之间的关系.2. 能综合应用圆的有关定理及解直角三角形的知识解决问题，从而感受不同知识之间的实质性联系．过渡语：让我们带着目标、带着问题进入本节课的自主学习环节.课前预习案二、先学环节（15分钟）（一）出示自学指导自学课本72页观察与思考的内容，并完成填空.1. 一条弦把圆分成了两段弧，大于半圆的弧叫，小于半圆的弧叫；2. 圆心角的度数等于 .3. 注意相近概念的联系与区别：弧、弧长、弧的度数和等弧. （二）自学检测反馈过渡语：请同学们结合自学情况，完成下列练习.1.课本74页练习题1；2.如图，AB 是⊙O 的弦，∠A =30°，则AB 的度数为 ;3.如图，在⊙O 中，∠B=37°,劣弧AB 的度数是 .4.⊙O 上的两点A 、B 将圆分成度数比为1：3的两段弧，且点O 到AB 的距离等于1，则⊙O 的半径为 .A5.如图，OA 、OC 是⊙O 中两条垂直的半径，D 是⊙O 上的一点.连接AD 并延长与OC 的延长线相交于点B ，∠B=25°，则AD 的度数为，CD 的度数为 .点拨：等弧是指在同圆或等圆中，能够互相重合的弧叫等弧.灵活据题意作辅助. （三）质疑问难：你在自主学习环节还有哪些疑惑？请记录在学案上，准备交流质疑.课内探究案三、后教环节(15分钟) 第一、生生合作，互相纠错组内交流：将自主学习中的疑难问题进行交流，并纠错,组长掌握组内的情况. 第二、合作探究，展示交流探究下列问题，先独立思考，记录下自己的疑问，为下一步的讨论、展示做好准备.要求：起立讨论、声音洪亮、言简意赅、明确清晰.1.如图，AB 为半圆的直径，点O 是圆心，E 与F 分别是OA 、OB 的中点.过点E 、F 作ME ⊥AB ，NF ⊥AB,分别与半圆交于点M 、N ，垂足为点E 、F.求证：AM=MN=NB2. 如图，在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的31，圆的半径为2cm ，求AB 的长.点拨：利用弦的一半、圆心到弦的距离、半径构造直角三角形求线段的长或线段间长度关系是垂径于弦的直径性质的应用.圆心角定理的应用非常广泛，只要两个圆心角，两条弧，两条弦及两条弦心距中，有一组量相等，那么其余三组量都相等.质疑问难：在前面的环节中你还存在什么疑惑或易错点吗？请记录下来集体解答.我的疑惑：【课堂小结】圆心角的度数与它所对弧的度数相等，求弧的度数转化为求其所对的圆心角的度数.《课内达标题》过渡语：认真独立完成训练题目，书写认真，步骤规范，成绩计入小组量化.1.如图，如果错误！未找到引用源。

九年级数学上册 4.1圆的对称性(第3课时)课件青岛版

可推出
┏
⌒ ⌒A′ D′ B′
②AB=A′B′
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
猜一猜
拓展与深化
驶向胜利的彼岸
❖ 在同圆或等圆中,如果轮换下面五组条件:
❖ ①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距,
你能得出什么结论?与同伴交流你的想法和理由.
A
A
D
D
B
●O
B
●O
●O′
┏
A′ D′ B′
⌒⌒
❖ 如图,在⊙O中,分别作相等的圆心角和∠AOB和∠A′OB′, 将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.
A
A′ B D
A′
D
D′
A DD′
B
●O
B′
●O
B′
●O
你能发现那些等量关系?说一说你的理由.
想一想
圆心角
驶向胜利的彼岸
❖ 圆心角, 弧,弦,弦心距之间的关系定理
❖ 如图,如果在两个等圆⊙O和⊙O′中,分别作相等的圆心角和 ∠AOB和∠A′O′B′,固定圆心,将其中的一个旋转一个角度,使得OA和O′A′重合.
下课了!
• 你做成功一件事,千万不要等待着享受荣誉,应该再做那些需要做的事.
如由条件: ②AB=A′B′
可推出
┏
A′ ′ B′
①∠AOB=∠A′O′B′
③AB=A′B′
④ OD=O′D′
猜一猜
推论
❖ 在同圆或等圆中,如果①两个圆心角,②两条弧,③两条弦,④两条弦心距中,有一组量相等,那么它们所对
应的其余各组量都分别相等.
A
A
D
D
B
●O