第二章 曲线论-Frenet标架(1)

(3.14)
求导得到
x( s ) x( s ) y ( s ) y ( s ) z ( s ) z ( s ) 0, 2 x( s ) x( s ) 2 y ( s ) y ( s ) x( s ) 0, x( s ) x( s ) y ( s ) y ( s ) z ( s ) z ( s ) 0.
1 5
(1,0,2) ，
1 5
(2,0, 1) .பைடு நூலகம்
所以在 (0, 0,1) 点处的曲率 5 ，Frenet 标架为 r (0,0,1) ， (0, 1,0) ， 15 (2,0, 1) ， 15 (1,0,2) . □ 解法 2. 设曲线的弧长参数方程为 x x( s), y y( s), z z( s) ， s ( , ) ，点 (0,0,1) 对应的参数为 s 0 . 则有
( s) .
当然， s 不一定是切线象的弧长参数.
3
(3.3)
例如圆柱螺线的切线象是单位球面上的一个圆.
圆柱螺线
r (t ) (a cos t, a sin t, bt )
( 32 )
( )
r (t ) (a sin t, a cos t, b) (t ) 21 2 (a sin t, a cos t, b)
a b
( 2) ( 2)
( )
(0)
( 32 )
(0)
圆柱螺线的切线象
4
切线象 ( s) 的弧长元素为
ds | ( s) | ds ( s)ds .
所以
(3.4)
即曲率
是切线象的弧长元素与曲线的弧长元素之比.
ds s ， ds
r r (ab sin t, ab cos t, a 2 ) a(b sin t, b cos t , a ) ， | r r | a a 2 b2 .
所以
| r (t ) r (t ) | a (t ) 3 2 2 ， | r (t ) | a b
(3.13) 证明. 设 s s(t ) 为弧长参数， t t ( s) 为其反函数. 则由(2.4)，
s(t ) ds | r (t ) | . dt
故
r (t ) dr ( s(t )) ds(t ) r (t ) | r (t ) | ( s(t )) ( s )(t ), (t ) : ( s(t )) ds dt | r (t ) | . (3.12)
( s)
次 法 线
从 切 平 面
切线
( s) ( s)
法平面
主法线
r ( s)
密切平面
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在一般参数 t 下，曲率 和 Frenet 标架的计算方法.
r (t ) r (t ) r (t ) | r (t ) r (t ) | (t ) ， | r (t ) | ， | r (t ) r (t ) | ， . | r (t ) |3
r (0) ( x(0), y(0), z(0)) (0,0,1) ，
以及
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(1)
x2 ( s ) y 2 ( s ) z 2 ( s ) 1, 2 2 x ( s ) y ( s ) x( s ) 0, s ( , ). 2 2 2 x ( s ) y ( s ) z ( s ) 1,
(3.7)
(s)
( s)
( s)
7
Frenet 标架 Frenet Frame
在正则曲线上 ( s) 0 的点，有一个完全确定的正交标架
r (s); (s), (s), (s) ，称为曲线在该点的 Frenet 标架(见图 2-2). 它的确定
不受曲线的保持定向的参数变换的影响. 注意. 如果在一点 s0 处 ( s0 ) 0 ，则一般来说无法定义在该点的 Frenet 标架. 1. 若 ( s) 0 ，则 C 是直线，可以定义它的 Frenet 标架. 2. 若 s0 是 的孤立零点, 则在 s0 的两侧都有 Frenet 标架. 如果
.
r (t ) r (t ) | r (t ) r (t ) | | r (t ) r (t ) | 3 3 所以 . 代入上式得 | r (t ) r (t ) | . s | r (t ) |
□
11
例 3.1 求圆柱螺线 r (t ) (a cos t, a sin t, bt ), (t ) 的曲率和 Frenet 标 架，其中 a 0 . 解. r(t ) ( a sin t, a cos t, b) ， r(t ) (a cos t, a sin t,0) ， | r(t ) | a 2 b2 ，
( s0 ) ( s0 ) ，则可以将 Frenet 标架延拓到 s0 点.
3. 在其他的情况下将曲线分成若干段来考察.
8
切线、主法线和次法线， 法平面、从切平面和密切平面 切线： (u) r ( s) u ( s) ； 主法线： (u) r ( s) u ( s) ； 次法线： (u) r ( s) u ( s) 法平面： [ X r ( s)] ( s) 0 ； 从切平面： [ X r ( s)] ( s) 0 ； 密切平面： [ X r ( s)] ( s) 0
(3.5)
5
主法向量 Principle Normal Vector
由 | ( s) | 1 可知 ( s) ( s) 0 . 所以曲率向量 ( s ) 是曲线的一个法向量场. 如果在一点 s 处 ( s) 0 ，
1 1 ( s ) | ( s ) | ( s ) ( s) ( s) 称为曲线在该点的主法向量 则向量
13
r(t ) (2cos2t, 2sin 2t, sin t ) .
于是当 t / 2 时，
r (0,0,1), r (0, 1,0), r (2,0, 1) ， | r | 1, r r (1,0,2) ，
(0, 1,0) ，
15
x( s ) x( s ) y ( s ) y ( s ) z( s ) z ( s ) 1, 2 2 2 x ( s ) x ( s ) 2 x ( s ) 2 y ( s ) y ( s ) 2 y ( s) x( s) 0.
(3.17)
令 s 0 ，由(3.15)和(3.16)得 y(0) 0 ；由(1)和(3.17)第 1 式得 z (0) 1 ；再 由(3.17)第 2 式得 x(0) 2 . 所以
□
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维维安尼(Viviani)曲线
一般方程
2 2 2 x y z 1, 2 2 x y x.
z
参数方程
x cos2 t , y cos t sin t , t [0, ] z sin t.
x
y
例
2 2 2 x y z 1, (0, 0,1) 点处的曲率和 2 2 3.2 求维维安尼(Viviani)曲线 在 x y x
(0) r (0) ( x(0), y(0), z(0)) (2,0, 1) .
由此得 r (0) (0,0,1) 处的曲率 (0) | (0) | 5 ，Frenet 标架为：
r (0) (0,0,1) ； (0) (0,1,0) ，
1 (0) (0) (0) 1 5
场. 于是在该点有
( s) ( s) ( s) .
(3.6)
6
次法向量（从法向量，副法向量） Alternative Normal Vector 在 ( s) 0 处，令
( s) ( s) ( s) .
它是曲线的第二个法向量场，称为在该点的次法向量场(副法向量场).
§ 2.3 曲线的曲率(curvature)和 Frenet 标架
设曲线 C 的方程为 r r ( s) ，其中 s 是曲线的弧长参数. 令
( s) r ( s) .
(3.1)
对于给定的 s ，令 是 ( s) 与 ( s s) 之间的夹角，其中 s 0 是 s 的增量.
1 a b
2 2
( a sin t , a cos t , b)
，

r (t ) r (t ) 1 (b sin t, b cos t, a ) 2 2 ， | r (t ) r (t ) | a b
( cos t, sin t,0) .
(3.15)
令 s 0 ，由(1)和上述方程组得到 x(0) z(0) 0 ， y(0) 1 . 通过改变 曲线的正方向，可设 y(0) 1 ，于是
(0) ( x(0), y(0), z(0)) (0,1,0) .
对(3.15)前两式再求导，利用(3.14)得
(3.16)
2
s 0
lim s s 0 s ，
□
lim 0 . 因为 arccos[ (s) (s s)] ，所以 s 0
2
曲率 Curvature
定义： 称函数 ( s) :| ( s) | 为曲线 r r ( s) 在 s (即 r ( s ) )点处的曲 率，称 ( s ) 为该曲线的曲率向量. 把曲线 C 的单位切向量 ( s ) 平移到原点，其端点所描出的曲线称为曲线 的切线象. 其方程就是
s0
lim
s
| ( s) |
.
(3.2)
证明.
d 1 | | lim lim ( s s) ( s) ds s 0 s s 0 s
lim 2 sin 2 | s |
s 0
lim
sin 2
由曲率
的定义， | | 0 ，可知主法向量 | | 满足 . 上式再
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对 t 求导，得
d d ds r s s s s s s2 . dt ds dt
于是
r r ( s ) ( s s2 ) s3 s3 | r r | s3
Frenet 标架.
2 解法 1. 将曲线写成参数方程， r (t ) (cos t,cos t sin t,sin t ) ， t 2k ，其中 k 为整数. 不妨设 t / 2 . (0,0,1) 对应的参数为 t 2
.点
r(t ) (2sin t cos t,cos2 t sin2 t,cos t ) ( sin 2t,cos2t,cos t ) ，
sL
r ( s)
( s)
r (s s)

( s)
(s s) (s)
s0
(s s)
O
1
(s s)
图 2-5
定理 3.1 设 ( s) 是曲线 r r ( s) 的单位切向量场， s 是弧长参数. 用 表示向量 ( s s) 与 ( s) 之间的夹角，则