第一讲 认识一元二次方程 2
认识一元二次方程ppt课件
［领悟提能］
求一元二次方程的项及各项系数时，应先化为一般形式
，注意各项系数包括前面的符号.
∴ 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a，b，c 为常数，a≠0）
一个解 x 的范围为0.6＜x＜0.7.
［答案］ C
2.1 认识一元二次方程
考 ■考点四 根据实际问题列一元二次方程
点
清
（1）审题（理解题目的含义）
单
解
（2）找等量关系（通过已知量、未知量
读
步骤
来找等量关系）
（3）设未知数
（4）列出一元二次方程
单
解
次方程 的值叫做一元二次方程的解，也叫一元二
读
的解
次方程的根
一般步骤：（1）列表，利用未知数的取
估计一元 值分别计算方程 ax 2 +bx+c=0（a≠0）中
二次方程 ax2+bx+c 的值；（2）在表中找出使ax2
的解
+bx+c 的值可能等于 0 的未知数符合要求
的范围；
2.1 认识一元二次方程
2.1 认识一元二次方程
考
点
清
单
解
读
［解题思路］
［答案］ x（x-1）=30
2.1 认识一元二次方程
重 ■题型一 利用一元二次方程的定义求值
难
|m|+1-3x=7 是关于 x 的一元
例1
已知方程（m-1）x
题
型 二次方程，则有 （
）
突
破
A． m=1
B． m=-1
C． m=±1
D． m≠±1
2.1 认识一元二次方程
一元二次方程必须同时满足三个条件：（1）是整
第一讲.一元二次方程的定义及解法
第一讲：一元二次方程的概念和解法一、知识点1:1: 一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是 2 的方程叫做一元二次方程•2：一般形式：ax2 + bx+ c= 0(a、b、c 是已知数，a^0)其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项.3:相关练习：1、下列方程中，是一元二次方程的是( )2A、x =1B、X——-_ =1C、，x -1 x2 = 1D、x‘ x 1 = 0x 2 22、如果(m 3)x2 -mx • 1 = 0是关于x的一元二次方程，则( )A、m - 3 且 m = 0B、m -j 3C、m -j 0D、m - 33、下列方程一定是关于x的一元二次方程的是( )A、3x =4x mB、ax -8=0C、x y =0D、-6xy - y 7 = 04、关于x的方程kx23x2 1是一元二次方程，则k的取值范围是_____________ 。
5、判断下列方程是否为一元二次方程：(1 )、—3x2+2x+y2=0 (2)、xx2-2 ^x-x 2(3)、y2 =0 (4)、2 x1 (2x3 xk6、关于x的方程(k 1)x' kx ^0是一元二次方程，求k的值。
7、__________________________________________ x(2x- 1) — 3x(x- 2)=0 —二次项系数：_____ ; 一次项系数：_______ 常数项： ______ ；2x(x— 1)=3(x + 5) — 4 —_______________二次项系数：_____ ; 一次项系数：_____ 常数项：________ .&关于x的一元二次方程(a-1)x2• a2-仁0的一个根为0,则a的值为( )1A、1B、-1C、-1或 1D、-29、已知关于x的一元二次方程(m-2) x2 + 3x+ m2— 4=0有一个解是0,则 m= 。
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)
A. 3<x<3.23
C. 3.24<x<3.25
B. 3.23<x<3.24
D. 3.25<x<3.26
课堂练习
3. 根据关于x的一元二次方程x2+px+q=0，可列表如下：
则方程x2+px+q=0的正数解满足（
A. 解的整数部分是0，十分位是5
B. 解的整数部分是0，十分位是8
②再次进行排除，取值范围确定在两个连续整数之间;
③对列出能反映未知数和方程的值的表格进行再次筛选;
④最终得出未知数的最小取值范围或具体数据.
典例精析
例 请估算出一元二次方程 x2 - 2x - 1=0的正数根(精确到0.1).
解：(1)列表.依次取x=0，1，2 ，3…
x
0
1
2
3
...
x2 - 2x -1
(2) 底端滑动的距离可能是2m吗？可能是3m吗？为什么？
不可能是 2 ，因为 x = 2 时，方程左边不等于 0.
不可能是 3 ，因为 x = 3 时，方程左边不等于 0.
新知讲解
(3)你能猜出滑动距离 x(m) 的大致范围吗？
x
1
2
3
x2 +12 x - 15
-2
13
30
可以看出：
当x=1时，x2+12x-15<0，当x=2时，x2+12x-15>0，
程(8-2x)(5-2x)=18的解”
归纳总结
一元二次方程解的估算
步骤：
①在未知数x的取值范围内确定范围；
②根据题意的具体情况再次确定大致范围；
北师大版九年级数学上册2.1：认识一元二次方程 教学案
学科讲义·初三数学 上数学课时，必须全神贯注，心无旁骛，专心听讲，一旦走神，就再也融不进数学老师的世界里了1 第二章 一元二次方程第一节 认识一元二次方程学习目标 1.理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2.能够利用一元二次方程的定义求字母的值；用一元二次方程的根求代数式的值。
3.体会方程的模型思想。
（难点）知识点1： 一元二次方程的定义 如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫做一元二次方程。
注意：一元二次方程必须同时满足以下三点：①方程是整式方程。
②它只含有一个未知数。
③未知数的最高次数是2. 同时还要注意在判断时，需将方程化成一般形式。
知识点2： 一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式为02=++c bx ax （a ，b ，c 是已知数，0≠a ）。
其中a ，b ，c 分别叫做二次项系数、一次项系数、常数项。
注意：(1)将一元二次方程化为一般形式时要按二次项、一次项、常数项排列，并一般首项为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx ，则b ＝0；若没有出现常数项，则c ＝0.（3）二次项、二次项系数、一次项、一次项系数，常数项都包括它前面的符号。
（4）要准确找出一个一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项，必须把它先化为一般形式。
知识点解析学科讲义·初三数学 数学老师以4G 的速度讲课，学霸以WiFi 的速度听着，学神以3G 的速度记着，而学渣当场掉线，And you? 2 （5）形如02=++c bx ax 不一定是一元二次方程，当且仅当0≠a 时是一元二次方程。
知识点3：一元二次方程的解（1）使方程左、右两边相等的未知数的值叫做方程的解，如：当2=x 时，0232=+-x x 所以2=x 是0232=+-x x 方程的解。
一元二次方程的解也叫一元二次方程的根。
2022-2023北师大版九年级数学上册教案：2.1 认识一元二次方程
第二章一元二次方程2．1 认识一元二次方程第1课时一元二次方程1．理解一元二次方程及其相关概念，会判断满足一元二次方程的条件．(重点)2．体会方程的模型思想．阅读教材P31～32，完成下列问题：(一)知识探究1．只含有________个未知数，并且都可以化成ax2＋bx＋c＝0(a，b，c为常数，a________)的形式的________方程，这样的方程叫做一元二次方程．2．我们把____________(a，b，c为常数，a≠0)称为一元二次方程的一般形式，其中________，________，________分别为二次项、一次项和常数项，________，________分别称为二次项系数和一次项系数．(二)自学反馈1．下列方程中，是一元二次方程的是( )A．x－y2＝1 B.x2－1＝0C.1x2－1＝0 D.x22－x－13＝02．将方程(2x＋1)x＝(3x－2)x＋2化简整理写成一般形式后，其中a、b、c分别是( ) A.2－3，1， 2 B.2－3，1，－ 2C.3－2，－3， 2D.3－2，1， 2活动1 小组讨论例1判断下列方程是否为一元二次方程：(1)1－x2＝0；(2)2(x2－1)＝3y；(3)2x2－3x－1＝0; (4)1x2－2x＝0；(5)(x＋3)2＝(x－3)2; (6)9x2＝5－4x.解：(1)是；(2)不是；(3)是；(4)不是；(5)不是；(6)是．判断一个方程是不是一元二次方程，首先需要将方程化简，使方程的右边为0，然后观察其是否具备以下三个条件：(1)是整式方程；(2)只含有一个未知数；(3)未知数的最高次数是2.三个条件缺一不可．例2将方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．解：方程(8－2x)(5－2x)＝18化成一元二次方程的一般形式是2x2－13x＋11＝0，其中的二次项系数、一次项系数及常数项分别是2，－13，11.(1)将一元二次方程化成一般形式时，通常要将首项化负为正，化分为整；(2)一元二次方程化为一般形式后，若没有出现一次项bx，则b＝0；若没有出现常数项，则c＝0.活动2 跟踪训练1．下列方程哪些是一元二次方程？(1)7x 2－6x ＝0；(2)2x 2－5xy ＋6y ＝0； (3)2x 2－13x －1＝0；(4)y22＝0；(5)x 2＋2x －3＝1＋x 2.2．将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其中的二次项系数、一次项系数及常数项．(1)5x 2－1＝4x; (2)4x 2＝81；(3)4x(x ＋2)＝25; (4)(3x －2)(x ＋1)＝8x －3.3．已知方程(a －4)x 2－(2a －1)x －a －1＝0. (1)a 取何值时，方程为一元二次方程？ (2)a 取何值时，方程为一元一次方程？4．根据下列问题，列出关于x 的方程，并将其化成一元二次方程的一般形式： (1)4个完全相同的正方形的面积之和是25，求正方形的边长x ； (2)一个长方形的长比宽多2，面积是100，求长方形的长x ；(3)把长为1的木条分成两段，使较短一段的长与全长的积，等于较长一段的长的平方，求较短一段的长x. 活动3 课堂小结1．一元二次方程的概念以及怎样利用概念判断一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式是ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，特别强调a ≠0.【预习导学】 (一)知识探究1．一 ≠0 整式 2.ax 2＋bx ＋c ＝0 ax 2bx c a b (二)自学反馈 1．D 2.C 【合作探究】 活动2 跟踪训练1．(1)、(4)是一元二次方程．2．(1)5x 2－4x －1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是5，－4，－1.(2)4x 2－81＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，0，－81.(3)4x 2＋8x －25＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是4，8，－25.(4)3x 2－7x ＋1＝0，二次项系数、一次项系数及常数项分别是3，－7，1.3．(1)当a －4≠0即a ≠4时，方程为一元二次方程．(2)a －4＝0，且2a －1≠0时，原方程为一元一次方程．即a ＝4时，原方程为一元一次方程．4．(1)根据题意，得4x 2＝25，将其化成一元二次方程的一般形式是4x 2－25＝0.(2)根据题意，得x(x －2)＝100，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－2x －100＝0.(3)根据题意，得x ＝(1－x)2，将其化成一元二次方程的一般形式是x 2－3x ＋1＝0.第2课时 一元二次方程的解1．经历估计一元二次方程解的过程，增进对方程解的认识．2．能根据实际问题建立一元二次方程的数学模型．(难点)阅读教材P33～34，完成下列问题：(一)知识探究1．能使一元二次方程左、右两边都________的未知数的值，叫做一元二次方程的解．2．估计一元二次方程的解，应先确定方程解的大致范围，然后在这一范围内有规律地取一些未知数的值，如果把一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，把另一个值代入方程使得左边的计算结果________右边的计算结果，那么方程的解就在这两个值________．(二)自学反馈幼儿园某教室矩形地面的长为8 m，宽为5 m，现准备在地面正中间铺设一块面积为18 m2的地毯，四周未铺地毯的条形区域的宽度都相同，你能求出这个宽度吗？活动1 小组讨论例如图，一个长为10 m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8 m．如果梯子的顶端下滑1 m，那么梯子的底端滑动多少米？(1)如果设梯子底端滑动x m，那么你能列出怎样的方程？解：根据题意，得72＋(x＋6)2＝102，即x2＋12x－15＝0.(2)x 0 0.5 1 1.5 2 …x2＋12x－15 －15 －8.75 －2 5.25 13 …(3)x … 1.1 1.2 1.3 1.4 …x2＋12x－15 …－0.59 0.84 2.29 3.76 …活动2 跟踪训练1．根据下列表格的对应值可知，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0，a、b、c为常数)一个解x的范围是( )x 3.23 3.24 3.25 3.26ax2＋bx＋c －0.06 －0.02 0.03 0.09A．3＜x＜3.23 B．3.23＜x＜3.24C．3.24＜x＜3.25 D．3.25＜x＜3.262．根据关于x的一元二次方程x2＋px＋q＝0，可列表如下：x 0 0.5 1 1.1 1.2 1.3x2＋px＋q －15 －8.75 －2 －0.59 0.84 2.29则方程x2＋px＋q＝0的正数解满足( )A．解的整数部分是0，十分位是5B．解的整数部分是0，十分位是8C．解的整数部分是1，十分位是1D．解的整数部分是1，十分位是23．为估算方程x2－2x－8＝0的解，填写下表，由此可判断方程x2－2x－8＝0的解为________．x －2 －1 0 1 2 3 4x2－2x－8 0 －5 －8 －9 －8 －5 04.某大学为改善校园环境，计划在一块长80 m，宽60 m的长方形场地建一个长方形网球场，网球场占地面积为3 500 m2.四周为宽度相等的人行走道，如图所示，若设人行走道宽为x m.(1)你能列出相应的方程吗？(2)x可能小于0吗？说说你的理由．(3)x可能大于40吗？可能大于30吗？说说你的理由．(4)你知道人行走道的宽是多少吗？说说你的求解过程．活动3 课堂小结1．一元二次方程的解(根)的概念．2．用估算方法求一元二次方程的近似解的步骤：(1)先确定大致范围；(2)再取值计算，逐步逼近．【预习导学】(一)知识探究1．相等 2.小于大于之间(二)自学反馈x 0 0.5 1 1.5 2 2.5(8－2x)(5－2x) 40 28 18 10 4 0故可知所求的宽为1 m.【合作探究】活动2跟踪训练1．C 2.C 3.－2和44．(1)(80－2x)(60－2x)＝3 500，即x2－70x＋325＝0.(2)x的值不可能小于0，因为人行走道的宽度不可能为负数．(3)x的值不可能大于40，也不可能大于30，因为当x＞30时，网球场的宽60－2x＜0，这是不符合实际的，当然x更不可能大于40.(4)人行走道的宽为5 m，求解过程如下：x 2 3 4 5 6 7 …x2－70x＋325 189 124 61 0 －59 －116 …显然，当x＝5时，x－70x＋325＝0，∴人行走道的宽为5 m．。
《认识一元二次方程》一元二次方程PPT课件(第2课时)
放松而保护视力。
远眺图使用说明
1、远眺距离为1米-2.5米(远眺图电脑版比纸质
版小，距离相应缩短)，每日眺望5次以上，每次
3—15分钟。
2、要思想集中，认真排除干扰，精神专注，高
度标准为使远眺图的中心成为使用者水平视线的
中心点。
3、远眺开始，双眼看整个图表，产生向前深进
的感觉，然后由外向内逐步辨认每一层的绿白线
6.关于x的方程( m+3 )x2+5x+m2-9=0有一个解是0,那么m的值为( C )
A.-3
B.3
C.±3 D.不确定
7.一个三角形的两边长为2和5,第三边的边长是方程( x-2 )( x-6 )=0的根,那么这个三角形
的周长是( B )
A.9
B.13
C.9或13 D.9和13
8.( 原创 )a是方程x2-5x-1=0的根,那么-5a3+26a2+XXXX的值是 XXXX .
解:∵方程有一个根是0,
∴m2-4=0,∴m=±2,
∵m+2≠0,∴m≠-2,∴m=2.
11.有两个正方形,小正方形的边长比大正方形的边长的一半多1 cm,大正方形的面积比小正
方形的面积的2倍还多4 cm2.
( 1 )假设求大正方形的边长,怎样列方程?并将其化为一般形式.
( 2 )假设设大正方形的边长为x cm,x会小于0吗?x会小于4吗?x会大于10吗?
x
ax2+bx+c
A.6<x<6.17 B.6.17<x<6.18
C.6.18<x<6.19 D.6.19<x<6.20
6.17 6.18 6.19 6.20
《认识一元二次方程(2)》教学设计
第二章一元二次方程1．认识一元二次方程（二）一、学生知识状况分析学生的知识技能基础：学生在七年级上学期学习的一元一次方程中，已经学习过方程的解的概念，此后又分别在二元一次方程组、可化为一元一次方程的分式方程中多次学习了关于方程（或方程组）的求解的过程。
因此对本章中的“使一元二次方程的左右两边的值相等的未知数的值即为该一元二次方程的解”的概念不难理解；学生活动经验基础：在相关知识的学习过程中，学生已经初步感受到了方程的模型作用，并积累了一些利用方程解决实际问题的经验，解决了一些实际问题。
同时通过上一节课的学习，学生发现，一元二次方程在生活中也有着广泛的应用，而列方程、解方程和应用方程是一体的。
在学生已有的估算能力的基础上，引导学生在具体的问题情境中，经历估计近似解的过程，寻找方程的解。
同时，在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力。
二、教学任务分析教科书基于学生已有的估算意识和能力以及对方程的解的理解的基础之上，提出了本节课的具体学习任务：经历一元二次方程解的探索过程，增进对方程解的认识，发展估算意识和能力。
但这仅仅是这堂课具体的教学目标，或者说是一个近期目标。
而数学教学的远期目标，应该与具体的课堂教学任务产生实质性联系。
本课内容从属于“方程与不等式”这一数学学习领域，因而务必服务于方程教学的远期目标：“让学生经历由具体问题抽象出方程的过程，体会方程是刻画现实世界中数量关系的一个有效模型，并在解一元二次方程的过程中体会转化的数学思想”，同时也应力图在学习中逐步达成学生的有关情感态度目标。
为此，本节课的教学目标是：1、结合上一节课的实际问题中所建立的一元二次方程模型，激发学生求解的意识。
2、经历探索满足一元二次方程解或近似解的过程，促进学生对方程解的理解，发展学生的估算意识和能力。
3、进一步提高学生分析问题的能力，培养学生大胆尝试的精神，在尝试的过程中体验到学习数学的乐趣，培养学生的合作学习意识，学会在合作学习中相互交流。
认识一元二次方程 北师大版九年级数学上册
课堂练习
1. 下表是某同学求代数式x²－x的值的情况，根据表格可知方 程x²－x＝2的解是( D )
x x2－x
－2 －1 0 1 2 3 …
6
2 0026…
A. x＝－1 C. x＝2
B. x＝0 D. x1＝－1，x2＝2
课堂练习
2. 根据表格，选取一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的一 个近似解取值范围（ C ）
解：设所求的宽度为 x m，根据 题意可列方程：
(8 - 2x) (5 - 2x) =18
新知讲解
x 满足方程（8-2x）（5-2x）=18．
（1）x 可能小于 0 吗？可能大于 4 吗？可能大于 2.5 吗？说说 你的理由.
x 不可能小于 0，因为当x＜0时，不符合题意； 不可能大于4，因为当x＞4时，8-2x＜0，不符合题意； 不可能大于2.5，因为当x＞2.5时，5-2x＜0不符合题意.
2.1 认识一元二次方程
新知导入
1. 什么是一元二次方程？ 只含有一个未知数 x 的整式方程 1 ，并且都可以化成ax²+bx +c ＝0（a,b,c 为常数,a ≠ 0）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.
2. 把一元二次方程3x²+2x=5化成一元二次方程的一般形式， 并说出它的二次项、一次项系数和常数项．
1 ＜ x＜1.5
x²+12x -15=0
新知讲解
你还能进一步
缩小范围吗？ （3）你能猜出滑动距离 x（m）的大致范围吗？
x
x²+12x-15=0
1.1 -0.59
1.2 0.84
1.3 2.29
1.4 3.75
一元二次方程ppt课件
b 称为一次项系数.
c 称为常数项.
注意 ①若a＜0,那么最好在方程的左右两边同乘-1,使二次项系数变为 正整数；②指出一元二次方程的各个系数时,一定要带上前面的符号.
即学即练，趁热打铁
1.下列方程哪些是一元二次方程? 为什么?
(1)8x3 - 5x2 - 4 = 0
最高指数是3
(2)7x2 - 4y + 6= 0
方程中同时出现x、y两个未知数
(3) 2x 1 1 0 3x
(4) y2 0 2
(5) x2 + 2x - 3 = 1 + x2
非整式方程
√
化简后是一元一次方程
2.把下列方程化为一元二次方程的一般形式，并写出它的
二次项系数、一次项系数和常数项：
方程
一般形式
二次项 一次项 常数 系数 系数 项
经化简得x2 - 8x - 20＝0（一般式）.
例3：如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上,梯子的顶端距地面 的垂直距离为8m.如果梯子的顶端下滑1m,那么梯子的底端滑动多 少米？（列出方程即可）
解：由勾股定理可知,滑动前梯子底端
距墙 6 m. 如果设梯子底端滑动x m ,那么滑动后 梯子底端距墙 (x+6) m ;
2.1 认识一元二次方程
学习目标
1.了解一元二次方程的概念;（重点） 2.掌握一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0（a, b, c为常数,a≠0）.
（重点） 3.能根据具体问题的数量关系,建立一元二次方程的模型，培养学
生的数形结合思想. （难点）
导入新课
（一 ）、学前准备： 1、什么叫方程？
3x2= 5x - 1
3x2 - + 2) (x - 1)=6
第一讲 一元二次方程认识及解法
第一讲 一元二次方程的认识及解法一、知识梳理：一元二次方程：只含有一个未知数x ，未知数x 的最高次数为2且系数不为 0的整式方程叫做一元二次方程。
一元二次方程的一般形式：ax 2+bx+c=0（a 、b 、c 为常数，a ≠0），其中ax 2是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项。
注意：1、若一个方程为一元二次方程则其二次项系数一定不为0；2、一元二次方程一般式ax 2+bx+c=0中只要a ≠0，则方程为一元二次方程，与b 、c 值是否为0无关；3、将一元二次方程化为其一般形式后若为:-ax 2-bx-c=0（a>0、b>0、c>0）,则其二次项系数、一次项系数、常数项分别为-a 、-b 、-c ，而不是a 、b 、c ；解法一元二次方程：开平方法；配方法；公式法；因式分解法；（一）一元二次方程的四种解法：分别是（1）直接开方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法（1）直接开平方法：方程)0(2≥=a a x的解为 ，这种解一元二次方程的方法叫直接开平方法。
只要形式能化成的一元二次方程都可以采用直接开平方法来解。
（2）配方法：是通过配方将一元二次方程化成()a =2的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法。
配方法是以222)(2b a b ab a ±=+±为依据。
用配方法解一元二次方程的步骤: • 移项 ：把常数项移到方程的右边• 配方： 依据二次项和一次项配常数项（即方程两边都加上一次项系数的绝对值的一半的平方）• 整理： 将上式写成﹙ ﹚² =a 的形式 • 开方 ：根据平方根意义,方程两边开平方 • 求解 ：解两个一元一次方程 • 定解 ：写出原方程的解. （3）公式法：求根公式 。
ac b 42-叫做一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的根的判别式，通常用“△”来表示，一元二次方程的根的情况与判别式△的关系：当0>∆时，方程有两个不相等的实数根 当0=∆时，方程有两个相等的实数根 当0<∆时，方程没有实数根 （4）因式分解法：因式分解的方法有：用因式分解法解一元二次方程的步骤：一般步骤：①将方程右边化为零；②将方程左边分解为两个一次因式乘积；③令每个因式分别等于零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程注意：1.方程右边化为为零，2.左边通过因式分解化为两个一次因式乘积。
九年级第一次课讲义一元二次方程的定义,直接开平方,配方法
第1次课讲义-一元二次方程的定义、直接开平方、配方法一元二次方程的认识一、一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的方程，叫做一元二次方程．注意：要想判断一个方程是不是一元二次方程，首先要做到熟记一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程；再次需要注意的是要对方程进行简单的化简整理.二、一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是()200ax bx c a ++=≠．其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项．例1.下列方程中，关于x 的一元二次方程有（ ）①20x =；②20ax bx c ++=23-=；④20a a x +-=；⑤()21402m m x x -++=；⑥21113x x +=2=；⑧()2219x x +=-． A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个练习1.1 有下列关于x 的方程：①20ax bx c +=+，②()340x x -=，③230x y +-=，④212x x +=，⑤3380x x +=-，⑥215702x x -+=，⑦()()2251x x x -+=-．其中是一元二次方程的有（ ）个 A ．2B ．3C ．4D ．5在利用一元二次方程的定义求字母的值时，特别要注意0a ≠的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．也就是说我们不仅要使方程的最高次是二次的，同时要保证这个二次项是存在的，即二次项系数0a ≠.例2.已知：方程()||1310m m x mx ---+=是关于x 的一元二次方程，则m 的值为（ ）A ．3m =±B ．3m =C ．3m =或1m =-D ．1m =-练习2.已知关于x 的方程()211230mm x x +-+-=是一元二次方程，则m 的值为（ ） A ．1 B ．﹣1 C ．±1 D ．不能确定在判断一个含有字母参数的方程是什么方程时，一定要严格按照该方程的定义来判断. 例3.方程()()211310m m x m x +++--=；（1）m 取何值时是一元二次方程；（2）m 取何值时是一元一次方程．练习3.1 已知关于x 的方程()2210m m x x ++-=．（1）当m 为何值时是一元一次方程；（2）当m 为何值时是一元二次方程．在利用一元二次方程的一般式判断二次项系数、一次项系数和常数项时，一定要先将已知的一元二次方程化简后再进行判断，同时要注意其前面的符号.例4.一元二次方程2342x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ）A ．3，﹣4，﹣2B ．3，﹣2，﹣4C ．3，2，﹣4D ．3，﹣4，0练习4.1 方程22650x x -=-的二次项系数、一次项系数、常数项分别为（ ） A ．6、2、5 B ．2、﹣6、5 C ．2、﹣6、﹣5 D ．﹣2、6、5练习4.2 关于x 的一元二次方程()()()33215x x a x a -+-+=的一次项系数是（ ）A ．8aB ．8a -C ．2aD ．79a -一元二次方程的解使一元二次方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根．已知一个数是方程的解，只需将这个数代入到方程中得到一个等式即可.例5. 关于x 的一元二次方程()22110a x x a -++=-的一个根是0，则a 的值为（ ） A ．1B ．﹣1C ．1或﹣1D ．12练习5.1 如果2是方程230x x k +=-的一个根，则常数k 的值为（ ）A ．1B ．2C ．﹣1D ．﹣2练习 5.2 我们知道方程2230x x +-=的解是11x =，23x =-，现给出另一个方程()()22322330x x +++-=，它的解是（ ）A ．11x =，23x =B ．11x =，23x =-C ．11x =-，23x =D ．11x =-，23x =-不解方程，可以通过化简，用整体代入求值。
认识一元二次方程教学课件
步骤三
求解根公式：使用求根公式x
03 = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / (2a)
来求解方程。
步骤四
验证解的合理性：对求得的解
04 进行检验，确保其满足原方程。
技巧一
因式分解法：对于某些特殊形 式的一元二次方程，可以通过 因式分解来求解。
05
技巧二
配方法：通过配方将方程转化
06 为完全平方形式，简化求解过
几何
在几何中，一元二次方程 可以用来描述各种形状和 曲线，如抛物线、圆等。
三角函数
在三角函数中，一元二次 方程可以用来求解各种角 度和长度的问题。
一元二次方程在科学中的应用
物理学
在物理学中，一元二次方程可以 用来描述各种物理现象，如振动、
波动等。
化学
在化学中，一元二次方程可以用来 描述化学反应的动力学和平衡常数 等。
一元二次方程可以用来计算各种形状 的体积和面积，如球体、圆柱体、圆 锥体等。
在数据分析中，一元二次方程可以用 来拟合数据，帮助人们更好地理解数 据之间的关系。
预测模型
在经济学、统计学等领域，一元二次 方程可以用来建立预测模型，帮助人 们预测未来的趋势和结果。
数学中的一元二次方程
01
02
03
代数
在代数中，一元二次方程 是基础的知识点之一，是 学习其他代数知识的基础。
忽视判别式条件：在求解过程中， 忽视判别式小于0的情况，导致 得出无实数解的结论。
错误二
参数取值错误：在求解过程中， 对参数a、b、c取值不当，导致
求得的解不符合实际情况。
错误三
解的验证不足：对求得的解没有 进行充分验证，导致出现增根或
假根的情况。
北师大版九年级数学上册《认识一元二次方程》课件
通过上表，你能确定方程2x2 –13x+11=-4的一个解吗？
方程2x2 –13x+11=-7的一个解呢？
一个长为10m的梯子斜靠在墙上， 梯子的顶端到地面的垂直距离为 8m，如果梯子的顶端下滑1m，那 么梯子的底端向右滑动多少米？
1.滑动前，梯子的底端距离墙 6 m 2.滑动过程中，梯子的长度有没有变？ 3.滑动后梯子的顶端距离地面 7 m
x(6-x)= 1/3(10x+6-x)
化成一般形式为: x2 -3x+2=0
根据题意得x的范围是:0 < x ≤ 6
x12 3 456 Nhomakorabeax2 -3x+2
0 0 2 6 12 20
x =1 或 x=2 当x =1 时这个两位数是15
当x =2时这个两位数是24
练习：
解设苗圃的宽为x,则长为(x+2)根据题意得:
程的左边等于0, 则找出值最接近于0且小于0的数，这个 数就是方程精确到十分位的取值。
X的大致范围 是1.1< x <1.2， 因此的整数部分是1,十分位是1
练习：
有一个两位数,个位数字与十位数字之和等于6,而且这两个数字 的积等于这个两位数的 1/3,求这个两位数.
设:这个两位数的十位数字是x,则个位数字是(6-x)
2.1 .2认识一元二次方程
1一元二次方程的定义
经过变形后，只含有一个未知数，并且未知数的次数 是二次，这样的整式方程叫一元二次方程
2一元二次方程的一般形式：
ax2+bx+c=0 (a≠0 ，a，b，c 为常数 )
3方程ax2+bx+c=0的条件：
（1）当a≠0时，是一元二次方程。
认识一元二次方程PPT课件
感悟新知
1 方程x2+x－12＝0的两个根为( ) A．x1＝－2，x2＝6 B．x1＝－6，x2＝2 C．x1＝－3，x2＝4 D．x1＝－4，x2＝3
知3－练
感悟新知
知3－练
2 若关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有 一个根为1，则下列结论正确的是( ) A．a＋b＋c＝1 B．a－b＋c＝0 C．a＋b＋c＝0 D．a－b＋c＝1
答：小青蛙比大青蛙少吃了__2_6__只虫子。
算一算，说一说。
54
61
36
70
2．用小棒摆一摆，算一算。
98
35
摆一摆略。
归纳总结：
计算两位数加、减整十数，先把两位数拆分成整十数和 一位数，再把整十数相加、减，最后和一位数相加。
（讲解源于《典中点》）
一共吃了多少只虫子？
易错辨析（选题源于《典中点》）
知2－讲
一般地，任何一个关于x的一元二次方程，经 过整理，都能化成如下形式：ax²+bx+c=0 (a≠0)这 种形式叫做一元二次方程的一般形式 . 特别提醒： a ≠ 0是方程ax2+bx+c=0 是关于x 的一元二次方程的 前提；反之，如果方程ax2+bx+c=0 是关于x 的一元 二次方程，则必隐含a≠0这一条件.
4．
55
86
18
24
96
65
6
78
作业 请完成《典中点》的“应用提升练”和“思 维拓展练”习题，具体内容见习题课件。
感悟新知
知1－讲
如图，一个长为10 m的梯子斜靠 在墙上，梯子 的顶端A处到地面的距离为8 m. 如果梯子的顶端沿 墙面下滑1 m，那么梯子的底端B在地面上滑动的距 离是多少米？
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第一讲 认识一元二次方程
一、【探索新知】
1．一元二次方程：
只含有一个未知数，未知数的最高次数是2，且系数不为 0，这样的方程叫一元二次方程．
一般形式：ax 2＋bx+c=0 (a≠0）。
注意： 在一元二次方程的一般形式中要特别强调a≠0．因当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程．如
关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时就是一元一次方程了．
2．一元二次方程的解法：
⑴ 直接开平方法：如果方程 (x+m ）2= n (n≥0)，那么就可以用两边开平方来求出方程的解。
(2) 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法．用配方法解一元二次方程：ax 2＋bx+c=0 (a ≠0）的一般步骤是：
① 化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；
② 移项，即使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；
③ 配方，即方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；
④ 化原方程为(x+m ）2=n 的形式；
⑤ 如果n≥0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n ＜0，则原方程无解．
注意：①方程两边绝不能随便约去含有未知数的代数式．如－2(x ＋4)2=3（x ＋4）中，不能随便约去（x ＋4）
②解一元二次方程时一般不使用配方法（除特别要求外）但又必须熟练掌握，解一元二次方程的一般顺序是：开平方法→因式分解法→公式法．
二、【精讲精炼】
例1、填空或选择：（考查一元二次方程的定义）
（1）.一元二次方程)1(2)2)(1(2
-=+-x x x 的一般形式是 ；二次项系数是 ；一次项系数是；常数项是 。
（2）.方程①13122
=-x x ②05222=+-y xy x ③0172=+x ④022=y 中一元二次方程是__ . A. ①和②； B. ②和③ ； C. ③和④；D. ①和③
（3）．要使方程（a-3）x 2+（b+1）x+c=0是关于x 的一元二次方程，则__________.
A ．a ≠0
B ．a ≠3
C ．a ≠1且b ≠-1
D ．a ≠3且b ≠-1且c ≠0
（4）．若（m+1）(2)1
m m x +-+2mx-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值是________．
例2、判断下列括号里的数哪个是方程的解。
（1）)0,2,1(232x x = (2))4,5,5(0252-=-x
例3、若1-=x 是关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 的一个根，求代数式）（c b a +-2008的值。
例4、解方程：
用直接开平方法解一元二次方程：
（1）0252=-x （2） 900)12(16002=-x
（3）32=y （4）
08)12(212=--x ）
用配方法解一元二次方程：
（1）（2009 荆州）0342=+-x x （2）015122=-+x x
（3）、161442=++x x （4）1622=+x x
例5（开放题）关于x 的方程1322-=+x bx ax 一定是一元二次方程吗？若是，写出一个符合条件的a 值。
三、【全能训练】
基础提升
一、填空题:
1.在4(1)(2)5x x -+=,221x y +=,25100x -=,2280x x +=，2340x x -+=,213x x
=+,22=a ，223213x x x +=-，22)12)(3(x x x =-+中，是一元二次方程有_________个
2.把方程9)2)(2()1(3+-+=-x x x x 化成一般式为____________________.二次项系数是_____、一次项系数是_______、常数项是是_________.
3、关于的x 的一元二次方程方程(a-1)x 2+x+a 2-1=0的一个根是0, 则a 的值是___________.
4. 关于x 的方程是(m 2–1)x 2
+(m –1)x –2=0，那么当m 时，方程为一元二次方程；当m 时，方程为一元一次方程.
5.若关于x 的方程0122=-++k x x 的一个根是0，则k=_______________
6.223____(_____)x x x -+=-; 22
26____2(_____)x x x -+=-
7. 一元二次方程20ax bx c ++=若有两根1和－1,那么a b c ++=________,a b c -+=____ 二、按要求解下列方程: 1. 229()525
x -=（直接开平方法） 2. 223)52(=-a （直接开平方法）
3. 22)6()2(x x -=-(直接开平方法)
4. 0362
=+-x x (配方法)
能力体验
一、填空题:
1.已知256y x x =-+,当x=_______时,y=0; 当y=_______时,x=0.
2.当2420a b c -+++=时,则20ax bx c ++=的解为____________________.
3. 方程2230x x --=的解是_______________________
4.当_____m =时, 关于x 的方程2(2)80m m x mx --+=是一元二次方程.
5.如果关于x 的方程（k 2－1）x 2+2kx+1=0中，当k=±1时方程为____________方程．
二、用配方法解下列方程:
1.(1)(3)12x x -+= 2． 01)32(2)32(2
=++-+x x
3．01442=--x x 4.04)12()12(2
2
=+++-a x a x
三、解答题。
1、（2010 昆明）已知a 是方程0120042=+-x x 的一个根，试求12004200322++
-a a a 的值。
2、（挑战中考）一元二次方程02=++c bx ax 的一个根是1，且a,b 满足等式122--+-=
a a
b ，求此一元二次方程。
课后巩固
第一部分：填空题
1、(杭州)已知2是关于x 的方程
的一个解，则2a －1的值为____________．
2、（甘肃省）如果二次三项式k x x 2432+-在实数范围内总能分解成两个一次因式的积，则k 的取值范
围是__________。
3、若x 、y 都是实数，且
127)32(|9|22
2+--+-x x y x x =0，则2x+3y= .
第二部分：选择题 1、(泰州)k 为实数，则关于x 的方程01k x )1k 2(x 2=-+++的根的情况是( )
A ．有两个不相等的实数根
B ．有两个相等的实数根
C ．没有实数根
D ．无法确定
2、(杭州)用配方法将二次三项式5a 4a 2+-变形的结果是( )
A ．1)2a (2+-
B ．1)2a (2++
C ．1)2a (2-+
D ．1)2a (2
--
3、（青海）如果a+c=0，那么方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的情况是( )
A.无实数根
B.两个相等的实根
C.有两个相异的实根
D.只有一个实数根
第三部分：计算题： 1.0825702
=+-x x 2. (1)(3)12x x -+=
0a 2x 232=-
3. x x -=-6)2(2
4. 223)52(=-a
四、解答题
1，若关于x 的方程0132=+--+b a b a x x
是关于x 的一元二次方程，试求代数式a+2b 的值。
,
2、若关于x 的方程(mx)2+(m-x)x=4是一元二次方程，则m 的取值范围是？
3.若方程（m-2）x |m|+x-1=0是关于x 的一元二次方程，则m 的值为。