「精品」高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 第1课时 直线与圆的位置关系训练案 北师大版必修2
高中数学第二章解析几何初步22.3直线与圆、圆与圆的位置关系(2)高一数学
【解】 对圆 C1、C2 的方程，经配方后可得： C1：(x－a)2＋(y－1)2＝16， C2：(x－2a)2＋(y－1)2＝1， ∴圆心 C1(a,1)，r1＝4，C2(2a,1)，r2＝1， ∴|C1C2|＝ a－2a2＋1－12＝a，
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(1)当|C1C2|＝r1＋r2＝5 即 a＝5 时，两圆外切， 当|C1C2|＝r1－r2＝3 即 a＝3 时，两圆内切． (2)当 3＜|C1C2|＜5 即 3＜a＜5 时，两圆相交． (3)当|C1C2|＞5 即 a＞5 时，两圆相离． (4)当|C1C2|＜3 即 0<a＜3 时，两圆内含． 【规律总结】 判断两圆的位置关系通常采用几何法，求出 圆心距 d，比较 d 与 r1＋r2 及|r1－r2|的大小关系，即可得出两圆的 位置关系．
第二章 解析几何初步
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2.3 直线与圆、圆与圆的位置(wèi zhi)关系(2)
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课前基础(jīchǔ)梳理
自主学习 梳理(shūlǐ)知识
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|学 习 目 标| 1．掌握圆与圆的位置关系及判断方法． 2．能根据圆与圆的位置关系解决一些简单问题.
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已知两圆 x2＋y2＝25 和 x2＋y2－4x－2y－20＝0 相交 于 A，B 两点．
(1)求弦 AB 所在直线方程； (2)求弦长|AB|.
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【解】 (1)将两圆方程作差得弦 AB 所在直线方程为 4x＋2y －5＝0.
(2)圆 x2＋y2＝25 的圆心到直线 4x＋2y－5＝0 的距离 d＝ |4－2＋5|22＝ 25.
当两圆内切时|PA|＝|r′－2|＝||x|－2| 即 x－22＋y2＝||x|－2|. 两边平方，得 y2＝4x－4|x|. 当 x＞0 时，y2＝0，即 y＝0(x≠2)． 当 x＜0 时，y2＝8x 无意义． 综上，动圆圆心 P 的轨迹方程为 y2＝8x(x＞0)或 y＝0(x≠0， x≠2)．
高中数学第二章解析几何初步22.3直线与圆、圆与圆的位置关系(2)高一数学
12/13/2021
基础知识达标
即学即练 稳操胜券
知识点一 两圆的位置关系
1．圆 C1：(x＋2)2＋(y－2)2＝1 与圆 C2：(x－2)2＋(y－5)2＝16 的位置关系是( )
A．外离
B．相交
C．内切
D．外切
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解析：C1(－2,2)，C2(2,5)， |C1C2|＝ －2－22＋2－52＝5， r1＋r2＝1＋4＝5＝|C1C2| ∴两圆外切． 答案：D
解：设圆 C 的半径长为 r，则圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2 ＝r2，即 x2＋y2－4x－2y＋5＝r2，
两圆的方程相减得公共弦所在直线的方程为 x＋2y－5＋r2＝ 0，
因为该直线过点(5，－2)，所以 r2＝4， 则圆 C 的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4.
12/13/2021
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【规律总结】 本题考查了直线和圆、圆与圆的位置关系， 此类题目可以结合图形，分析条件之间的内在联系，并结合直线、 圆的几何性质求解．
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求与圆 C1：(x－2)2＋(y＋1)2＝4 相切于点 A(4，－1)，且半径为 1 的圆 C2 的方程．
解：C1(2，－1)，则过 A(4，－1)和 C1(2，－1)的直线方程为 y＝－1，设 C2(a，－1)，由|AC2|＝1，即|a－4|＝1，得 a＝3 或 a ＝5.
的长度是 2 2.则圆 M 与圆 N：(x－1)2＋(y－1)2＝1 的位置关系是
() A．内切
B．相交
C．外切
D．相离
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解析：由题知圆 M：x2＋(y－a)2＝a2，圆心(0，a)到直线 x＋y
高中数学第二章解析几何初步22圆与圆的方程2231直线与圆的位置关系课件北师大版必修2
|素养提升|
直线与圆的三种位置关系以及判断方法 (1)直线与圆相交：当直线和圆相交时，以两个公共点为端点的 线段的长即为弦长，且半弦长、圆的半径以及圆心到直线的距离可 构成直角三角形的三边长． (2)直线与圆相切：当直线和圆相切时，该直线与圆只有一个公 共点，即切点．切点与圆心的距离等于半径，且切点与圆心的连线 与切线垂直，这是求解切线方程的关键． (3)直线与圆相离：当直线和圆相离时，该直线与圆没有公共点， 圆心到直线的距离大于半径，此时直线与圆联立消元后的一元二次 方程无解．
自主学习 基础认识
|新知预习|
直线 Ax＋By＋C＝0 与圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2 的位置关系及判定
位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2
1
0
图形
几何法：设圆心到直线的距
判
离 d＝|Aa＋A2B＋b＋B2C|
d<r
定
代数法：由
方 Ax＋By＋C＝0，
法 x－a2＋y－b2＝r2
Δ>0
消元得到一元二次方程，它
解析：圆 x2＋y2－4x＝0 的圆心为 C(2,0)，半径 r＝2， 设切线斜率为 k， ∵k·kPC＝－1， ∴k·13－－20＝－1，∴k＝ 33，
∴切线方程为 y－ 3＝ 33(x－1)， 即 x－ 3y＋2＝0. 答案：D
4．(2017·安康旬阳一中月考)设圆 x2＋y2－8x－9＝0 的弦 AB 的 中点为 P(5,2)，则直线 AB 的方程为( )
类型三 直线被圆截得的弦长问题 [例 3] 直线 l 经过点 P(5,5)并且与圆 C：x2＋y2＝25 相交截得 的弦长为 4 5，求 l 的方程．
【思路点拨】 当直线 l 的斜率不存在时，l：x＝5 与圆 C 相 切，不满足题意，故直线 l 的斜率存在．设直线 l 的方程为 y－5＝ k(x－5)，根据弦长为 4 5解题．可以使用代数法或几何法．
推荐学习K12高中数学北师大版必修2习题：第二章解析几何初步2.2.3.1
2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第1课时直线与圆的位置关系1.直线x+2y-1=0与圆2x2+2y2-4x-2y+1=0的位置关系是()A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:由题意知,圆心坐标为(1,12),半径r=√32,圆心到直线的距离为d=√55<r,所以直线与圆相交但直线不过圆心,故选C.答案:C2.过原点且倾斜角为60°的直线l被圆x2+y2-4y=0所截得的弦长为()A.√3B.2C.√6D.2√3解析:过原点且倾斜角为60°的直线l的方程是√3x-y=0,圆x2+y2-4y=0的圆心为C(0,2),半径r=2,则C到直线l的距离d=√3+1=1,所以截得的弦长为2√r2-d2=2√3.答案:D3.与圆(x-2)2+y2=1相切且在两坐标轴上截距相等的直线共有()A.2条B.3条C.4条D.6条解析:与圆相切且在两坐标轴上截距相等的直线可分为两类:①截距为0时,可设直线方程为y=kx ,由|2k |√k +1=1,解得k=±√33;②截距不为0时,可设直线方程为x+y=a ,由|2-a |√2=1,解得a=2±√2.因此符合题意的直线共有4条.答案:C4.对任意的实数k ,直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2的位置关系一定是( )A.相离B.相切C.相交但直线不过圆心D.相交且直线过圆心解析:直线y=kx+1过定点(0,1),而02+12<2,所以点(0,1)在圆x 2+y 2=2内部,则直线y=kx+1与圆x 2+y 2=2相交但直线不经过圆心,故选C .答案:C5.设点在圆x 2+y 2+2x+4y-3=0上,且到直线x+y+1=0的距离为√2,这样的点共有( )A.1个B.2个C.3个D.4个解析:圆心为(-1,-2),半径r=2√2,而圆心到直线的距离d=√2=√2,故圆上有3个点满足题意.答案:C6.已知直线x-y+a=0与圆心为C 的圆x 2+y 2+2x-4y-4=0相交于A ,B 两点,且AC ⊥BC ,则实数a 的值为 .解析:由题意,得圆心C 的坐标为(-1,2),半径r=3.因为AC ⊥BC ,所以圆心C 到直线x-y+a=0的距离d=√2=√22r=3√22,即|-3+a|=3,所以a=0或a=6.答案:0或6★7.若直线kx-y+1=0与圆x 2+y 2+2x-my+1=0交于M ,N 两点,且M ,N 关于直线y=-x 对称,则|MN|= .解析:由圆的几何性质可得直线kx-y+1=0与直线y=-x 垂直,且圆心(-1,m 2)在直线y=-x 上,由此可得k=1,m=2,即M ,N 所在直线的方程为x-y+1=0,圆心为(-1,1),圆的半径r=1,则圆心到直线MN 的距离d=√2=√22.故|MN|=2√r 2-d 2=2√12-(√22)2=√2.答案:√28.已知圆C 的方程为x 2+y 2-8x-2y+12=0,求过圆内一点M (3,0)的最长弦和最短弦所在直线的方程,并求这个最长弦和最短弦的长度.解圆C 的方程为(x-4)2+(y-1)2=5,∴圆心C (4,1),半径r=√5.∴最长弦所在直线的斜率k=1-04-3=1,最短弦所在直线的斜率k'=-1.∴最长弦所在的直线方程为y=x-3,最长弦长为2r=2√5;最短弦所在的直线方程为y=-x+3,圆心到最短弦所在直线的距离d=√2=√2,最短弦长为2√(√5)2-(√2)2=2√3.9.已知圆C :x 2+(y-1)2=5,直线l :mx-y+1-m=0.(1)求证:对任意m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同的交点;(2)设l 与圆C 交于A ,B 两点,若|AB|=√17,求l 的倾斜角.(1)证明由已知直线l :y-1=m (x-1),知直线l 恒过定点P (1,1),因为12=1<5,所以P 点在圆C 内,所以直线l 与圆C 总有两个不同的交点.(2)解设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),联立方程组{x 2+(y -1)2=5,mx -y +1-m =0,消去y 得(m 2+1)x 2-2m 2x+m 2-5=0,则x 1,x 2是一元二次方程的两个实根,因为|AB|=√1+m 2|x 1-x 2|,所以√17=√1+m 2·√16m 2+201+m 2,所以m 2=3,m=±√3, 所以l 的倾斜角为π3或2π3.10.已知直线l 过点A (6,1)且与圆C :x 2+y 2-8x+6y+21=0相切.(1)求圆C 的圆心坐标及半径;(2)求直线l 的方程.解(1)∵圆C 的方程可化为(x-4)2+(y+3)2=4, ∴圆心坐标为(4,-3),半径r=2.(2)当直线l 的斜率存在时,设直线l 的方程为y-1=k (x-6),即kx-y-6k+1=0,则圆心到直线l 的距离为d=√k +1=√k +1=2.由此解得k=34,此时直线l 的方程为3x-4y-14=0; 当直线l 的斜率不存在时,方程为x=6,满足题意.故直线l 的方程为3x-4y-14=0或x=6.★11.设半径为5的圆C 满足条件:①截y 轴所得弦长为6;②圆心在第一象限,且圆心到直线l :x+2y=0的距离为6√55.(1)求这个圆的方程;(2)求经过P (-1,0)与圆C 相切的直线方程.解(1)由题意,设圆心C的坐标为(a,b)(a>0,b>0),半径r=5.因为截y轴所得弦长为6,所以a2+9=25,因为a>0,所以a=4.又由圆心C到直线l:x+2y=0的距离为6√55,所以d=√5=6√55,因为b>0,所以b=1,所以圆的方程为(x-4)2+(y-1)2=25.(2)当斜率k存在时,设切线方程为y=k(x+1),因为圆心C到直线y=k(x+1)的距离为√1+k=5.所以k=-125,所以切线方程为12x+5y+12=0.当斜率k不存在时,方程x=-1,也满足题意.综上所述,切线方程为12x+5y+12=0或x=-1.。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与
2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第二课时 圆与圆的位置关系高效测评 北师大版必修2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆O 1：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋3＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4x －2y －3＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交D ．相离解析： 圆O 1：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2，圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝8，∴|O 1O 2|＝－1－22＋－2－12＝32＝r 1＋r 2.答案： B2．圆x 2＋y 2＝1与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在的直线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝12C ．y ＝xD ．x ＝32解析： (x －1)2＋y 2－1－(x 2＋y 2－1)＝0得x ＝12.答案： B3．圆x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)与x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m 的值为( ) A ．1 B ．1或11 C ．11D ．6解析： 圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0可化为 (x ＋3)2＋(y －4)2＝36，∵两圆内切， ∴圆心距d ＝0＋32＋0－42＝5＝|6－m |，解得m ＝1或m ＝11. 答案： B4．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析： 设圆心坐标为(a ，b )，∵半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，结合图形可得b ＝6，又两圆内切，则两圆圆心的距离为半径之差，a 2＋32＝5解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若圆B ：x 2＋y 2＋b ＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则b 的取值范围是________．解析： 圆B 化为x 2＋y 2＝－b ，圆心(0,0)，半径－b ； 圆C 化为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.圆心(3,4)，半径为5. 要使圆B 与圆C 无公共点，则两圆相离或内含． 又两圆心的距离为5，则两圆内含，则5＜|5－－b |，即5－－b ＞5或－b －5＞5， 解之，得b ＜－100. 答案： (－∞，－100)6．已知两圆相交于两点A (1,3)和B (m,1)，且两圆的圆心都在直线x －y ＋c2＝0上，则m ＋c 的值是________．解析： 由条件知，两点A (1,3)和B (m,1)的垂直平分线方程就是直线x －y ＋c2＝0.∴AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，2在直线x －y ＋c 2＝0上，即1＋m 2－2＋c2＝0.得m ＋c ＝3. 答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．实数k 为何值时，圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交、相切、相离？解析： 将两圆的一般方程化为标准方程：C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1， C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k .所以圆C 1的圆心为C 1(－2,3)，半径r 1＝1； 圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2＝50－k (k ＜50)． 从而|C 1C 2|＝－2－12＋3－72＝5，当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切． 当|50－k －1|＝5，即50－k ＝6，k ＝14时，两圆内切．当14＜k ＜34时，则4＜50－k ＜6，即|r 2－r 1|＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交． 当34＜k ＜50时，则50－k ＜4， 即50－k ＋1＜|C 1C 2|时，两圆相离．8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．解析： 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0.②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0， 又∵此直线经过点(5，－2)， ∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2－1＝0，当a 、b 变化时，圆C 2始终平分圆C 1的周长，求圆C 2的面积最小时圆的方程．解析： 将两圆方程相减，得到两圆相交弦所在直线的方程2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0.由于圆C 2始终平分圆C 1的周长，因此点C 1一定在相交弦所在直线上，所以2(1＋a )×(－1)＋2(1＋b )×(－1)－a 2－1＝0. 即b ＝－a 2＋2a ＋52，由圆C 2的方程得r ＝1＋b 2.所以S ＝πr 2＝π(1＋b 2)＝π＋π×a 2＋2a ＋524＝π＋π[a ＋12＋4]24，所以当a ＝－1时，S 取最小值5π，此时b ＝－2. 所以圆C 2的方程是x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0.。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2 圆与圆的方程 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系学案1(
2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2 圆与圆的方程2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系学案1（无答案）北师大版必修2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2016-2017学年高中数学第二章解析几何初步2.2 圆与圆的方程2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系学案1（无答案）北师大版必修2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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直线与圆、圆与圆的位置关系时间：______________ 姓名：___________________________ 【学习目标】⑴ 能根据两个圆的方程，判断两个圆的位置关系 ⑵ 能根据两圆的位置关系，求有关直线或圆的方程 【重点难点】根据两个圆的方程,判断两个圆的位置关系 【知识链接】直线和圆的位置关系:① ____________________________________________________ ② ____________________________________________________ ③ ____________________________________________________ 【学习过程】如图是奥运五环标志，图中各圆有哪些位置关系?已知两圆()2221111:()C x x y y r -+-=，()2222222:()C x x y y r -+-=则圆心分别为111222(,),(,)C x y C x y ，半径分别为12,r r ，圆心距12d C C ==______________，则两圆12,C C 有以下位置关系：位置关系 公共点个数圆心距与半径 图示两圆相离两圆内含两圆相交1、用两圆的方程组成的方程组有一解或无解时能否准确判定两圆的位置关系?若不能准确判定，下一步怎么办？2、能否从“两圆公切线条数”这个角度分析两圆的位置关系？3、当两圆相交时,将两圆的一般方程相减可得方程121212()()()0D D x E E y F F -+-+-=，该方程表示的图形是什么？与两圆有何关系？例1、看课本例7并回答问题:圆心距______________两圆关系______________________ 例2、看课本例8并回答问题：圆心距______________________________________ 半径分别为______________ 两圆关系_____________________ 例3、课后练习题⑴⑵⑶于导学案上.【相关延展】1、两圆222(0)x y m m +=>与2268110x y x y ++--=内切，则m 值（ ）。
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系课件1高一数学课件
其中圆心坐标为
( D， E) 22
半径为
1 2
D2E24F
第八页，共二十三页。
问题：已知直线3x+4y-5=0与x2+y2=1,判 断它们的位置(wèi 关系 zhi) A、用圆心到直线的距离和圆半径 的数量关系(guān xì)，来揭示圆和直线 的位置关系 。 (guān xì)
B、用方程组的解的个数判断(pànduà 直 n)
x2(y1)25.
其圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ， 点C （0，1）到直线 l 的距离
d|3016|5 5 3212 10
所以，直线 l 与圆相交，
有两个 公共点． (liǎnɡ ɡè)
第十五页，共二十三页。
如图，已知直线l： 3xy60和圆心为C的
圆
x2y22y4，0判断直线 l 与圆的位置
线和圆的位置关系
第九页，共二十三页。
例5判断下列直线(zhíxiàn)与圆 （x-1）2+(y-1)2=1的位置关系 （1）x-y-2=0 （2）x+2y-1=0
解：已知圆心(yuánxīn)为C(1，1),半径r=1
（1）点C到直线(zhíxiàn)x-y-2=0的距离为
112
d1
12 (1)2
消去y，得：
x23x20
因为 (yīn wèi)：
(3)2412
=1>0
所以，直线 l 与圆相交，有两个(liǎnɡ ɡè)公共点．
第十四页，共二十三页。
如图，已知直线l： 3xy6和0圆心为C的
圆 x2y22y4，0判断直线 l 与圆的位置关
系；如果相交，求它们交点的坐标．
解法二：圆 x2y22y40可化为
高中数学第二章解析几何初步2.3直线与圆、圆与圆的位置关系第一课时直线与圆的位置关系课件北师大版必修2
答案 D 解析 设圆心为(x0,0)，则由题意知圆心到直线 x＋2y＝0 的距离为 5， 故有 1|2x＋0| 22＝ 5，∴|x0|＝5.又圆心在 y 轴左侧，故 x0＝－5.∴圆的方程为(x ＋5)2＋y2＝5，选 D.
答案
解析
3．若点 P(2，－1)为圆 C：(x－1)2＋y2＝25 的弦 AB 的中点，则直线 AB 的方程为( )
答案
解法二：已知圆的方程可化为(x－2)2＋(y－1)2＝4，即圆心为 C(2,1)，半径
r＝2.
圆心
C(2,1)到直线
mx－y－m－1＝0
的距离
d＝|2m－11＋－mm2－1|＝
|m－2| 1＋m2.
当 d<2 时，即 m>0 或 m<－34时，直线与圆相交，即直线与圆有两个公共点；
当 d＝2 时，即 m＝0 或 m＝－34时，直线与圆相切，即直线与圆只有一个 公共点；
答案
例 2 过点 A(4，－3)作圆(x－3)2＋(y－1)2＝1 的切线，求此切线的方程． [解] 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1，所以点 A 在圆外． ①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为 k，则切线方程为 y＋3＝k(x－ 4)．因为圆心 C(3,1)到切线的距离等于半径 1，所以|3k－1k－2＋3－1 4k|＝1，即|k ＋4|＝ k2＋1，所以 k2＋8k＋16＝k2＋1.解得 k＝－185. 所以切线方程为 y＋3＝－185(x－4)，即 15x＋8y－36＝0.
答案 D
解 析 圆 心 (1 ， － 1) 到 直 线 3x ＋ 4y ＋ 12 ＝ 0 的 距 离 d ＝ |3×1＋43×2＋－421＋12|＝151<r.
答案
高中数学第二章解析几何初步2.2圆与圆的方程2.2.3第一课时直线与圆的位置关系高一数学
1．直线Ax＋By＋C＝0和圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置关 系和判断方法
位置关系
相离
相切
相交
公共点个数
_零___个
_一___个
_两___个
12/13/2021
位置关系
相离 相切 相交
几何法：依据圆心到直线
的距离 |Aa＋Bb＋C|
d＝______A__2_＋__B__2_____与半径
12/13/2021
(5)过两圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和C2：x2＋y2＋D2x＋ E2y ＋ F2 ＝ 0 的 交 点 的 圆 系 方 程 为 (x2 ＋ y2 ＋ D1x ＋ E1y ＋ F1) ＋ λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)，其中不含有圆C2：x2 ＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0. 注意：检验C2是否满足题意，以防漏解．
2
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∴y－x 的最大值为 6－2，最小值为－2－ 6. (2)令 d＝ x2＋y2，它表示原点与点(x，y)的距离， ∴dmax＝2＋ 3，dmin＝2－ 3. ∴x2＋y2 的最大值为(2＋ 3)2＝7＋4 3，最小值为(2－ 3)2＝7 －4 3.
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方法归纳 与圆有关的最值问题，常与圆心、半径、切线有关，可借助 图形的性质，利用数形结合的方法求解． (1)形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为斜率为定值的动直线 的截距的最值问题； (2)形如d2＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为与定点 (a，b)的距离的最值问题．
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(2)当 d＝r，即 b＝2，或 b＝－2 时，直线与圆相切，有一个
公共点．
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第二课时 圆与圆的位置关系高
2016-2017学年高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3 直线与圆、圆与圆的位置关系 第二课时 圆与圆的位置关系高效测评 北师大版必修2(本栏目内容，在学生用书中以独立形式分册装订！)一、选择题(每小题5分，共20分)1．圆O 1：x 2＋y 2＋2x ＋4y ＋3＝0与圆O 2：x 2＋y 2－4x －2y －3＝0的位置关系是( ) A ．内切 B ．外切 C ．相交D ．相离解析： 圆O 1：(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝2，圆O 2：(x －2)2＋(y －1)2＝8，∴|O 1O 2|＝－1－2＋－2－2＝32＝r 1＋r 2.答案： B2．圆x 2＋y 2＝1与圆(x －1)2＋y 2＝1的公共弦所在的直线方程为( ) A ．x ＝1 B ．x ＝12C ．y ＝xD ．x ＝32解析： (x －1)2＋y 2－1－(x 2＋y 2－1)＝0得x ＝12.答案： B3．圆x 2＋y 2＝m 2(m ＞0)与x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0内切，则m 的值为( ) A ．1 B ．1或11 C ．11D ．6解析： 圆x 2＋y 2＋6x －8y －11＝0可化为 (x ＋3)2＋(y －4)2＝36，∵两圆内切， ∴圆心距d ＝＋2＋－2＝5＝|6－m |，解得m ＝1或m ＝11. 答案： B4．半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，则此圆的方程为( ) A ．(x －4)2＋(y －6)2＝6 B ．(x ±4)2＋(y －6)2＝6 C ．(x －4)2＋(y －6)2＝36D ．(x ±4)2＋(y －6)2＝36解析： 设圆心坐标为(a ，b )，∵半径长为6的圆与x 轴相切，且与圆x 2＋(y －3)2＝1内切，结合图形可得b ＝6，又两圆内切，则两圆圆心的距离为半径之差，a 2＋32＝5解得a ＝±4，故所求圆的方程为(x ±4)2＋(y －6)2＝36.答案： D二、填空题(每小题5分，共10分)5．若圆B ：x 2＋y 2＋b ＝0和圆C ：x 2＋y 2－6x ＋8y ＝0没有公共点，则b 的取值范围是________．解析： 圆B 化为x 2＋y 2＝－b ，圆心(0,0)，半径－b ； 圆C 化为(x －3)2＋(y ＋4)2＝25.圆心(3,4)，半径为5. 要使圆B 与圆C 无公共点，则两圆相离或内含． 又两圆心的距离为5，则两圆内含，则5＜|5－－b |，即5－－b ＞5或－b －5＞5， 解之，得b ＜－100. 答案： (－∞，－100)6．已知两圆相交于两点A (1,3)和B (m,1)，且两圆的圆心都在直线x －y ＋c2＝0上，则m ＋c 的值是________．解析： 由条件知，两点A (1,3)和B (m,1)的垂直平分线方程就是直线x －y ＋c2＝0.∴AB 的中点⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋m 2，2在直线x －y ＋c 2＝0上，即1＋m 2－2＋c2＝0.得m ＋c ＝3. 答案： 3三、解答题(每小题10分，共20分)7．实数k 为何值时，圆C 1：x 2＋y 2＋4x －6y ＋12＝0与圆C 2：x 2＋y 2－2x －14y ＋k ＝0相交、相切、相离？解析： 将两圆的一般方程化为标准方程：C 1：(x ＋2)2＋(y －3)2＝1， C 2：(x －1)2＋(y －7)2＝50－k .所以圆C 1的圆心为C 1(－2,3)，半径r 1＝1； 圆C 2的圆心为C 2(1,7)，半径r 2＝50－k (k ＜50)． 从而|C 1C 2|＝－2－2＋－2＝5，当1＋50－k ＝5，即k ＝34时，两圆外切． 当|50－k －1|＝5，即50－k ＝6，k ＝14时，两圆内切．当14＜k ＜34时，则4＜50－k ＜6，即|r 2－r 1|＜|C 1C 2|＜r 1＋r 2时，两圆相交． 当34＜k ＜50时，则50－k ＜4， 即50－k ＋1＜|C 1C 2|时，两圆相离．8．求圆心为(2,1)且与已知圆x 2＋y 2－3x ＝0的公共弦所在直线经过点(5，－2)的圆的方程．解析： 设所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝r 2， 即x 2＋y 2－4x －2y ＋5－r 2＝0① 已知圆的方程为x 2＋y 2－3x ＝0.②②－①得公共弦所在直线的方程为x ＋2y －5＋r 2＝0， 又∵此直线经过点(5，－2)， ∴5－4－5＋r 2＝0，∴r 2＝4，故所求圆的方程为(x －2)2＋(y －1)2＝4. 尖子生题库☆☆☆9．(10分)已知圆C 1：x 2＋y 2＋2x ＋2y －2＝0，圆C 2：x 2＋y 2－2ax －2by ＋a 2－1＝0，当a 、b 变化时，圆C 2始终平分圆C 1的周长，求圆C 2的面积最小时圆的方程．解析： 将两圆方程相减，得到两圆相交弦所在直线的方程2(1＋a )x ＋2(1＋b )y －a 2－1＝0.由于圆C 2始终平分圆C 1的周长，因此点C 1一定在相交弦所在直线上，所以2(1＋a )×(－1)＋2(1＋b )×(－1)－a 2－1＝0. 即b ＝－a 2＋2a ＋52，由圆C 2的方程得r ＝1＋b 2.所以S ＝πr 2＝π(1＋b 2)＝π＋π×a 2＋2a ＋24＝π＋πa ＋2＋4]24，所以当a ＝－1时，S 取最小值5π，此时b ＝－2. 所以圆C 2的方程是x 2＋y 2＋2x ＋4y ＝0.。
高中数学北师大版必修2课件：第二章解析几何初步2-2-3直线与圆、圆与圆的位置关系课件
【能力提升】
(2016·山东高考)已知圆 M:x2+y2-2ay=0(a>0)截 直线 x+y=0 所得线段的长度是 2 2 ,则圆 M 与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1 的位置关系是 ( ) A.内切 B.相交 C.外切 D.相离
课时小结：
一.知识：
两圆同心是两圆内含的一种特例.
圆与圆的五种位置关系：
相离 内切
外切
相交
内含
想一想： 视察五种位置关系下的交 点个数，类比直线与圆的 位置关系，你能根据“公共 点个数”对这几种位置进行 分类吗？
没
相离
圆பைடு நூலகம்
和
内含
有 公 共 点
圆
的 位
外切
一 个 公
置
关
内切
共 点
系
两
个
相交
公
共
点
1.代数法判断圆与圆的位置关系
思考2：两圆的位置关系怎样来判断？ 2.几何方法：
O1 R
r O2
两圆相离
d
d>R+r
反之，成立吗？
O1
T O2
R d
两圆外切
r
d=R+r
O1 R r O2 d
注意半径 的大小
两圆相交
R-r<d<R+r (R>r)
O2 O1
T
r
R
d 两圆内切
(R>r)
d=R-r
O1 O2
O
dr R
两圆内含 d<R-r (R>r)
标. 解：(1) 变为标准方程：C1：(x－1)2+y2=4;
高中数学 第二章 解析几何初步 2.2.3.1 直线与圆的位置关系课件 北师大版必修2
答案:D
K12课件
17
探究一
探究二
探究三
易错辨析
探究三圆的弦长问题
【例3】求经过点P(6,-4)且被定圆x2+y2=20截得的弦长为 6 2 的直线的方程.
=
5,解得 a=±1.
答案:±1
K12课件
7
思考辨析
判断下列说法是否正确,正确的在后面的括号内打“ ”,错误的
打“×”.
(1)过圆外一点可以作圆的两条切线且切线长相等.
()
(2)直线 ax+y=1 与圆 x2+(y-1)2=1 的位置关系与 a 有关. ( )
(3)过圆 C 内一点 M 作一直线 l,要使直线与圆相交所得弦长最
解析:圆心(0,0)到直线x-3y+1=0的距离d=
1 10
<
1,
3
故直线与圆
相交,但不过圆心.
答案:D
K12课件
6
做一做2 若直线2x+ay+3=0与圆x2+y2-2x-4=0相切,则实数a等
于
.
解析:圆的方程可化为(x-1)2+y2=5,因此圆心坐标为(1,0),半径
r= 5,
依题意得
|2+3| 4+������ 2
分析:可根据直线与圆的方程构成的方程组的解的情况,或圆心 到直线的距离与圆半径之间的关系,求解b的值或b的取值范围.
解法一:联立直线和圆的方程组成方程组
������ = ������ + ������, ������2 + ������2 = 1.
消去 y 并整理,可得 2x2+2bx+b2-1=0,则 Δ=4(2-b2).
高中数学 第二章 解析几何初步 2.3 第1课时 直线与圆的位置关系学案 北师大版必修2
第1课时 直线与圆的位置关系学习目标 1.掌握直线与圆的三种位置关系：相交、相切、相离.2.会用代数法和几何法来判定直线与圆的三种位置关系.3.会用直线与圆的位置关系解决一些实际问题．知识点 直线Ax ＋By ＋C ＝0与圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2的位置关系及判断 思考 如何判断直线x ＋y －2＝0与圆x 2＋y 2＝1的位置关系？梳理 直线与圆位置关系的判定代数法：由⎩⎪⎨⎪⎧Ax ＋By ＋C ＝0，x －a2＋y －b2＝r 2，消元得到一元二次方程，可得方程的判别式Δ类型一 直线与圆的位置关系的判断例1 求实数m 的取值范围，使直线x －my ＋3＝0与圆x 2＋y 2－6x ＋5＝0分别满足：①相交；②相切；③相离．反思与感悟 直线与圆的位置关系的判断方法(1)几何法：由圆心到直线的距离d 与圆的半径r 的大小关系判断． (2)代数法：根据直线方程与圆的方程组成的方程组解的个数来判断．(3)直线系法：若直线恒过定点，可通过判断定点与圆的位置关系来判断直线与圆的位置关系．但有一定的局限性，必须是过定点的直线系．跟踪训练1 对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( ) A ．相离 B ．相切C ．相交但直线不过圆心D ．相交且直线过圆心 类型二 切线问题例2 过点A (4，－3)作圆(x －3)2＋(y －1)2＝1的切线，求此切线方程． 引申探究若本例的条件不变，求其切线长．反思与感悟 求过某一点的圆的切线方程，首先判定点与圆的位置关系，以确定切线的数目． (1)求过圆上一点P (x 0，y 0)的圆的切线方程：如果斜率存在且不为0，先求切点与圆心连线的斜率k ，则由垂直关系，切线斜率为－1k，由点斜式方程可求得切线方程．如果k ＝0或斜率不存在，则由图形可直接得切线方程为y ＝y 0或x ＝x 0. (2)求圆外一点P (x 0，y 0)的圆的切线时，常用几何方法求解：设切线方程为y －y 0＝k (x －x 0)，即kx －y －kx 0＋y 0＝0，由圆心到直线的距离等于半径，可求得k ，进而切线方程即可求出．但要注意，若求出的k 值只有一个时，则另一条切线的斜率一定不存在，可由数形结合求出．跟踪训练 2 若点P (1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P 处的切线方程为________________． 类型三 直线与圆相交问题 命题角度1 求弦长问题例3 过圆x 2＋y 2＝8内的点P (－1,2)作直线l 交圆于A ，B 两点．若直线l 的倾斜角为135°，则弦AB 的长为________．反思与感悟 求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A ，B 的坐标，根据两点间的距离公式 |AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝1＋k 2|x 1－x 2|＝1＋1k2|y 1－y 2|(直线l 的斜率k存在)．(3) 几何法：如图，直线与圆C 交于A ，B 两点，设弦心距为d ，圆的半径为r ，弦长为|AB |，则有(|AB |2)2＋d 2＝r 2，即|AB |＝2r 2－d 2.通常采用几何法较为简便．跟踪训练3 已知直线l ：kx －y ＋k ＋2＝0与圆C ：x 2＋y 2＝8. (1)证明：直线l 与圆相交；(2)当直线l 被圆截得的弦长最短时，求直线l 的方程，并求出弦长．命题角度2 已知弦长求方程例4 直线l经过点P(5,5)，且和圆C：x2＋y2＝25相交于A、B两点，截得的弦长为45，求直线l的方程．反思与感悟设直线方程时，注意别遗漏了斜率不存在的情况，应先验证斜率不存在时，是否符合题意．跟踪训练4 已知圆C与y轴相切，圆心在直线x－3y＝0上，且在直线y＝x上截得的弦长为27，求此圆的方程．1．直线y＝x＋1与圆x2＋y2＝1的位置关系是( )A．相切B．相交但直线不过圆心C．直线过圆心D．相离2．直线3x＋4y＝b与圆x2＋y2－2x－2y＋1＝0相切，则b的值是( )A．－2或12 B．2或－12C．－2或－12 D．2或123．若直线x－y＋1＝0与圆(x－a)2＋y2＝2有公共点，则实数a的取值范围是( ) A．[－3，－1] B．[－1,3]C．[－3,1] D．(－∞，－3]∪[1，＋∞)4．圆x2＋y2＝4截直线3x＋y－23＝0所得的弦长为( )A．2 B．1 C. 3 D．2 35．过原点的直线与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的长为2，则该直线的方程为____________________．1.判断直线和圆的位置关系的两种方法中，几何法要结合圆的几何性质进行判断，一般计算较简单．而代数法则是通过解方程组进行消元，计算量大，不如几何法简捷．2．一般地，在解决圆和直线相交时，应首先考虑圆心到直线的距离，弦长的一半，圆的半径构成的直角三角形．还可以联立方程组，消去y ，组成一个一元二次方程，利用方程根与系数的关系表达出弦长l ＝k 2＋1·x 1＋x 22－4x 1x 2＝k 2＋1|x 1－x 2|.3．研究圆的切线问题时要注意切线的斜率是否存在．过一点求圆的切线方程时，要考虑该点是否在圆上．当点在圆上时，切线只有一条；当点在圆外时，切线有两条．答案精析问题导学思考 有两种方法． 方法一 (几何法)圆心(0,0)到直线x ＋y －2＝0的距离d ＝|－2|2＝2>r ＝1.故直线与圆相离．方法二 (代数法)联立方程组⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋y 2＝1，x ＋y －2＝0，该方程组无解．故直线与圆相离． 梳理 2 1 0 |Aa ＋Bb ＋C |A 2＋B 2d <r d ＝r d >r Δ>0 Δ＝0 Δ<0题型探究例1 解 圆的方程化为标准形式为(x －3)2＋y 2＝4， 故圆心(3,0)到直线x －my ＋3＝0的距离为d ＝6m 2＋1，圆的半径为r ＝2.①若相交，则d ＜r ，即6m 2＋1＜2，所以m ＜－22或m ＞22； ②若相切，则d ＝r ，即6m 2＋1＝2，所以m ＝±22； ③若相离，则d ＞r ，即6m 2＋1＞2，所以－22＜m ＜2 2. 跟踪训练1 C例2 解 因为(4－3)2＋(－3－1)2＝17>1， 所以点A 在圆外．①若所求直线的斜率存在，设切线斜率为k ， 则切线方程为y ＋3＝k (x －4)， 即kx －y －4k －3＝0. 设圆心为C ，因为圆心C (3,1)到切线的距离等于半径1， 所以|3k －1－3－4k |k 2＋1＝1，即|k ＋4|＝k 2＋1，所以k 2＋8k ＋16＝k 2＋1，解得k ＝－158.所以切线方程为－158x －y ＋152－3＝0，即15x ＋8y －36＝0. ②若直线斜率不存在，圆心C (3,1)到直线x ＝4的距离为1，这时直线x ＝4与圆相切，所以另一条切线方程为x ＝4. 综上，所求切线方程为15x ＋8y －36＝0或x ＝4. 引申探究解 因为圆心C 的坐标为(3,1)， 设切点为B ，则△ABC 为直角三角形， |AC |＝－2＋＋2＝17，又|BC |＝r ＝1， 则|AB |＝|AC |2－|BC |2＝172－12＝4，所以切线长为4. 跟踪训练2 x ＋2y －5＝0 例330解析 (1)方法一 (交点法)由题意知，直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0. 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝8，解得A (1＋152，1－152)，B (1－152，1＋152)．∴|AB |＝1－152－1＋1522＋1＋152－1－1522＝30.方法二 (弦长公式)由题意知，直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0.由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y －1＝0，x 2＋y 2＝8，消去y ，得2x 2－2x －7＝0. 设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， ∴x 1＋x 2＝1，x 1x 2＝－72.∴|AB |＝1＋k 2·x 1＋x 22－4x 1x 2＝1＋1·12＋4·72＝30.方法三 (几何法)由题意知直线l 的方程为y －2＝－(x ＋1)， 即x ＋y －1＝0，圆心O (0,0)到直线l 的距离为d ＝|－1|2＝22，则有|AB |＝2r 2－d 2＝28－12＝30. 跟踪训练3 (1)证明 ∵l ：kx －y ＋k ＋2＝0， 直线l 可化为y －2＝k (x ＋1)， ∴直线l 经过定点(－1,2)， ∵(－1)2＋22<8， ∴(－1,2)在圆C 内， ∴直线l 与圆相交．(2)解 由(1)知，直线l 过定点P (－1,2)， 又圆C ：x 2＋y 2＝8的圆心为原点O ， 则与OP 垂直的直线截得的弦长最短． ∵k OP ＝－2，∴k l ＝12，∴直线l ：y －2＝12(x ＋1)，即x －2y ＋5＝0.设直线l 与圆交于A 、B 两点， |AB |＝2r 2－|OP |2＝28－5＝2 3.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0，弦长为2 3. 例4 解 方法一 若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意， ∴直线l 的斜率存在， 设其方程为y －5＝k (x －5)， 即kx －y ＋5(1－k )＝0.如图所示，|OH |是圆心到直线l 的距离，|OA |是圆的半径，|AH |是弦长|AB |的一半， 在Rt△AHO 中，|OA |＝5， |AH |＝12|AB |＝12·45＝2 5.∴|OH |＝|OA |2－|AH |2＝5， ∴－kk 2＋1＝5，解得k ＝12或k ＝2.∴直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0. 方法二 若直线l 的斜率不存在， 则l ：x ＝5与圆C 相切，不合题意， ∴直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为y －5＝k (x －5)， 且与圆相交于A (x 1，y 1), B (x 2，y 2)两点．由⎩⎪⎨⎪⎧y －5＝k x －，x 2＋y 2＝25，消去y ，得(k 2＋1)x 2＋10k (1－k )x ＋25k (k －2)＝0， ∴Δ＝[10k (1－k )]2－4(k 2＋1)·25k (k －2)>0， 解得k >0. 又∵x 1＋x 2＝－10k－k k 2＋1，x 1x 2＝25k k －k 2＋1，由斜率公式， 得y 1－y 2＝k (x 1－x 2)． ∴|AB |＝x 1－x 22＋y 1－y 22＝＋k 2x 1－x 22＝＋k2x 1＋x 22－4x 1x 2]＝ ＋k2100k2－k 2k 2＋2－4·25k k －k 2＋1]＝45，两边平方，整理得2k 2－5k ＋2＝0， 解得k ＝12或k ＝2，均符合题意．故直线l 的方程为x －2y ＋5＝0或2x －y －5＝0.跟踪训练4 解 ∵圆心在直线x －3y ＝0上，故可设其圆心为(3b ，b )，b ≠0， 由圆C 与y 轴相切可知，r ＝3|b |， 弦心距d ＝|b －3b |2＝2|b |.又∵l ＝27，故l2＝7.∴(7)2＋(2|b |)2＝(3|b |)2， ∴b ＝±1，故所求圆的方程为(x －3)2＋(y －1)2＝9或(x ＋3)2＋(y ＋1)2＝9. 当堂训练1．B 2.D 3.C 4.A 5.2x －y ＝0。
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2.2.3 第1课时 直线与圆的位置关系[A.基础达标]1．直线x ＋2y －1＝0与圆2x 2＋2y 2－4x －2y ＋1＝0的位置关系是( ) A ．相离 B ．相切 C ．相交但直线不过圆心 D ．相交且直线过圆心解析：选C.圆心坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1，12，半径长r ＝32，圆心到直线的距离d ＝55<r ， 所以直线与圆是相交的但不过圆心，故选C.2．在直角坐标平面内，过点P (2，1)且与圆x 2＋y 2＝4相切的直线( ) A ．有两条 B ．有且仅有一条 C ．不存在 D ．不能确定解析：选A.由于22＋12>4，所以点P 在圆x 2＋y 2＝4外，因此过点P 与圆相切的直线有两条．3．如果直线x －my ＋2＝0与圆x 2＋(y －1)2＝1有两个不同的交点，则( )A ．m ≥34B ．m >34C ．m <34D ．m ≤34解析：选B.由已知得直线与圆相交，因此圆心到直线的距离d ＝|－m ＋2|1＋m2<1，即|m －2|<m 2＋1，解得m >34.4．已知圆C ：(x －a )2＋(y －2)2＝4(a >0)及直线l ：x －y ＋3＝0，当直线l 被圆C 截得的弦长为23时，a 等于( )A. 2 B ．2－ 2 C.2－1 D.2＋1 解析：选C.圆心C (a ，2)到直线l 的距离 d ＝|a －2＋3|2＝|a ＋1|2，所以⎝ ⎛⎭⎪⎫|a ＋1|22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2322＝4，解得a ＝－1－2(舍去)，或a ＝2－1.故选C.5．由直线y ＝x ＋1上的一点向圆(x －3)2＋y 2＝1引切线，则切线的最小长度为( ) A ．1 B ．2 2 C.7 D ．3解析：选C.当该点是过圆心向直线引的垂线的交点时，切线长最小． 因圆心(3，0)到直线距离为 d ＝|3＋1|2＝22，所以切线长的最小值是l ＝（22）2－1＝7.6．若点P (－1，－3)为圆C ：(x －2)2＋y 2＝16的弦AB 的中点，则直线AB 的方程为________．解析：k PC ＝0－（－3）2－（－1）＝1，由题意知AB ⊥PC ，所以k AB ＝－1，因此直线AB 的方程为y ＋3＝－(x ＋1)，即x ＋y ＋4＝0.答案：x ＋y ＋4＝07．过原点的直线与圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0相交所得的弦长为2，则该直线的方程为________．解析：将圆x 2＋y 2－2x －4y ＋4＝0配方得(x －1)2＋(y －2)2＝1，所以该圆半径为1，圆心为(1，2)．因为直线与圆相交所得弦的长为2，即为该圆的直径，所以该直线的斜率k ＝2－01－0＝2，所以该直线的方程为y ＝2x ，即2x －y ＝0. 答案：2x －y ＝08．直线过点P (0，2)，且被圆x 2＋y 2＝4截得的弦长为2，则直线的斜率为________． 解析：如图所示，点P (0，2)是圆与y 轴的一个交点，过点P 作弦，使弦长为2，亦即圆心到弦所在的直线的距离为 3.易知弦所在直线的斜率存在，设为k ，则方程为：y ＝kx ＋2.由点到直线的距离公式，可得：d ＝21＋k2＝3， 所以1＋k 2＝43.所以k 2＝13.所以k ＝±33.答案：±339．m 为何值时，直线2x －y ＋m ＝0与圆x 2＋y 2＝5， (1)无公共点；(2)截得的弦长为2. 解：(1)由已知，圆心为O (0，0)，半径r ＝5，圆心到直线2x －y ＋m ＝0的距离d ＝|m |22＋（－1）2＝|m |5，因为直线与圆无公共点，所以d >r ，即|m |5>5，所以m >5或m <－5，故当m >5或m <－5时，直线与圆无公共点．(2)如图，由平面几何垂径定理知r 2－d 2＝12，即5－m 25＝1，得m ＝±2 5.故当m ＝±25时，直线被圆截得的弦长为2.10．圆C ：(x －1)2＋(y －2)2＝25，直线l ：(2m ＋1)x ＋(m ＋1)y －7m －4＝0(m ∈R )．(1)证明：不论m 取什么数，直线l 与圆C 恒交于两点；(2)求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度，并求此时m 的值．解：(1)证明：因为直线l 的方程可化为(2x ＋y －7)m ＋(x ＋y －4)＝0(m ∈R )．所以l 过⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋y －7＝0，x ＋y －4＝0的交点M (3，1)．又因为M 到圆心C (1，2)的距离为d ＝（3－1）2＋（1－2）2＝5<5，所以点M (3，1)在圆内，所以过点M (3，1)的直线l 与圆C 恒交于两点．(2)因为过点M (3，1)的所有弦中，弦心距d ≤5，弦心距、半弦长和半径r 构成直角三角形，所以当d 2＝5时，半弦长的平方的最小值为25－5＝20.所以弦长AB 的最小值|AB |min ＝4 5.此时，k CM ＝－12，k l ＝－2m ＋1m ＋1.因为l ⊥CM ，所以12·2m ＋1m ＋1＝－1，解得m ＝－34.所以当m ＝－34时，取到最短弦长为4 5.[B.能力提升]1．过点P (1，1)的直线，将圆形区域{(x ，y )|x 2＋y 2≤4}分为两部分，使得这两部分的面积之差最大，则该直线的方程为( )A ．x ＋y －2＝0B ．y －1＝0C ．x －y ＝0D ．x ＋3y －4＝0解析：选A.由已知得，当圆心与P 的连线和过点P 的直线垂直时，符合条件，圆心O 与P 点连线的斜率为1，所以要求直线的斜率为－1.又因为直线过P (1，1)，所以该直线方程为x ＋y －2＝0.2．圆(x ＋1)2＋(y ＋2)2＝8上与直线x ＋y ＋1＝0的距离等于2的点共有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个解析：选C.圆心到直线的距离d ＝|－1－2＋1|2＝2，r ＝22，所以直线与圆相交．又r －d ＝2，所以劣弧上到直线的距离等于2的点只有1个，在优弧上到直线的距离等于2的点有2个．所以满足条件的点共3个．3．圆x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值是________．解析：圆心到直线x －y ＝3的距离d ＝32＝322，则圆x 2＋y 2＝16上的点到直线x －y ＝3的距离的最大值为4＋32 2.答案：4＋322.4．直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最大值为________．解析：因为△AOB 是直角三角形，所以圆心到直线的距离为22，所以12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2.所以a 2＝1－b 22，由a 2＝1－b 22≥0，得b 2≤2，－2≤b ≤2，所以点P (a ，b )与点(0，1)之间距离为d ＝a 2＋（b －1）2＝1－b 22＋（b －1）2＝b 22－2b ＋2＝（b －2）22，即d ＝（b －2）22＝|b －2|2，因为－2≤b ≤2，所以当b ＝－2时，d max ＝|b －2|2＝|－2－2|2＝2＋22＝1＋ 2.答案：1＋ 25．设点O 为坐标原点，曲线x 2＋y 2＋2x －6y ＋1＝0上有P ，Q 两点，满足关于直线x ＋my ＋4＝0对称，又满足OP ⊥OQ .(1)求m 的值；(2)求直线PQ 的方程．解：(1)曲线方程为(x ＋1)2＋(y －3)2＝9，表示圆心为(－1，3)，半径为3的圆，因为点P ，Q 在圆上且关于直线x ＋my ＋4＝0对称，所以直线x ＋my ＋4＝0过圆心(－1，3)，代入直线方程得m ＝－1.(2)由(1)知直线PQ 与直线y ＝x ＋4垂直，设P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)，直线PQ 的方程为y ＝－x＋b ，将直线y ＝－x ＋b 代入圆的方程，得2x 2＋2(4－b )x ＋b 2－6b ＋1＝0.Δ＝4(4－b )2－4×2×(b2－6b ＋1)>0，即b 2－4b －14<0，解得2－32<b <2＋3 2.由根与系数的关系得x 1＋x 2＝－(4－b )，x 1x 2＝b 2－6b ＋12，y 1y 2＝b 2－b (x 1＋x 2)＋x 1x 2＝b 2－6b ＋12＋4b ，因为OP ⊥OQ ，所以k OP ·k OQ ＝－1. 所以x 1x 2＋y 1y 2＝0，即b 2－6b ＋1＋4b ＝0，解得b ＝1∈(2－32，2＋32)， 所以直线PQ 的方程是y ＝－x ＋1.6．(选做题)已知圆C ：x 2＋y 2－2x ＋4y －4＝0，(1)若过定点(－2，0)的直线l 与圆C 相切，求直线l 的方程；(2)若过定点(－1，0)且倾斜角为π6的直线l 与圆C 相交于A ，B 两点，求线段AB 的中点P 的坐标；(3)问是否存在斜率为1的直线l ，使l 被圆C 截得的弦为EF ，且以EF 为直径的圆经过原点？若存在，请写出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．解：(1)根据题意，设直线l 的方程为：x ＝my －2，联立直线与圆的方程并整理得：(m 2＋1)y 2＋(4－6m )y ＋4＝0，Δ＝20m 2－48m ，所以20m 2－48m ＝0，m 1＝0，m 2＝125，从而，直线l 的方程为：x ＝－2或5x －12y ＋10＝0.(2)根据题意，设直线l 的方程为：x ＝3y －1代入圆C 方程得：4y 2＋4(1－3)y －1＝0，显然Δ>0，设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝3－1，x 1＋x 2＝1－3，所以点P 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫1－32，3－12.(3)假设存在这样的直线l ：y ＝x ＋b ，联立圆的方程并整理得：2x 2＋(2b ＋2)x ＋b 2＋4b －4＝0，当Δ＝－4(b 2＋6b －9)>0⇒－3－32<b <32－3.设E (x 3，y 3)，F (x 4，y 4)则x 3＋x 4＝－(b ＋1)，x 3x 4＝12(b 2＋4b －4)，所以y 3y 4＝12(b 2＋2b －4)，因为以EF 为直径的圆经过原点，所以OE →＝(x 3，y 3)，OF →＝(x 4，y 4)，OE →·OF →＝0，所以x 3x 4＋y 3y 4＝0，即b 2＋3b －4＝0， 解得b 1＝1，b 2＝－4，均满足－3－32<b <32－3.所以直线l 的方程为x －y ＋1＝0或x －y －4＝0.。