2016年四川高职单招数学试题(附答案)

一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给处的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
二 .数学 单项选择（共10小题，计30分）
1．设集合{}{}
0,1,2,0,1M N ==，则M N =( )
A ．
{}2 B ．{}0,1 C ．{}0,2 D ．{}0,1,2
2. 不等式的解集是( )
A ．x<3
B ．x>－1
C ．x<－1或x>3
D ．－1<x<3
3．已知函数
()22x
f x =+，则(1)f 的值为（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 函数12+-=x y 在定义域R 内是( )
A. 减函数
B. 增函数
C. 非增非减函数
D. 既增又减函数
5. 设
1.5
0.90.48
14,8
,2a b c -⎛⎫
=== ⎪
⎝⎭
，则,,a b c 的大小顺序为 （ ）
A 、a b c >>
B 、a c b >>
C 、b a c >>
D 、c a b >>
6.已知a (1,2)=，b (),1x =，当2a +b 与2a -b 共线时，x 值为（ ）
A. 1
B.2 C . 13 D.1
2
7. 已知｛a n ｝为等差数列，a 2+a 8=12,则a 5等于（ ） A.4 B.5
C.6
D.7
8．已知向量a (2,1)=，b (3,)λ=，且a ⊥b ，则λ=（ ）
A ．6-
B ．6
C ．32
D ．3
2-
点)5,0(到直线x y 2=的距离为(
) 21<-x
A ．25
B ．5
C ．23
D ．25
10. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每
个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有 ( ) A ．12种 B ．10种 C ．9种
D ．8种
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分 11．（5分）（2014•四川）复数
= _________ ．
12．（5分）（2014•四川）设f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数，当x ∈[﹣1，1）时，f （x ）=
，则f （）= _________ ．
13．（5分）（2014•四川）如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为67°，30°，此时气球的高是46m ，则河流的宽度BC 约等于 _________ m ．（用四舍五入法将结果精确到个位．参考数据：sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，
≈1.73）
14．（5分）（2014•四川）设m ∈R ，过定点A 的动直线x+my=0和过定点B 的动直线mx ﹣y ﹣m+3=0交于点P （x ，y ）．则|PA|•|PB|的最大值是 _________ ．
15．（5分）（2014•四川）以A 表示值域为R 的函数组成的集合，B 表示具有如下性质的函数φ（x ）组成的集合：对于函数φ（x ），存在一个正数M ，使得函数φ（x ）的值域包含于区间[﹣M ，M ]．例如，当φ1（x ）=x 3，φ2（x ）=sinx 时，φ1（x ）∈A ，φ2（x ）∈B ．现有如下命题：
①设函数f （x ）的定义域为D ，则“f （x ）∈A ”的充要条件是“∀b ∈R ，∃a ∈D ，f （a ）=b ”； ②函数f （x ）∈B 的充要条件是f （x ）有最大值和最小值；
③若函数f （x ），g （x ）的定义域相同，且f （x ）∈A ，g （x ）∈B ，则f （x ）+g （x ）∉B ． ④若函数f （x ）=aln （x+2）+
（x ＞﹣2，a ∈R ）有最大值，则f （x ）∈B ．
其中的真命题有 _________ ．（写出所有真命题的序号）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16.（本小题12分）设数列{}
n a 的前n 项和
1
2n n S a a =-，且
123
,1,a a a +成等差
数列。

（1）求数列
{}
n a 的通项公式；
（2）记数列1{
}n a 的前n 项和n T ，求得使
1|1|1000n T -<成立的n 的最小值。

17．（12分）（2014•四川）一款击鼓小游戏的规则如下：每盘游戏都需要击鼓三次，每
次击鼓要么出现一次音乐，要么不出现音乐：每盘游戏击鼓三次后，出现一次音乐获得10分，出现两次音乐获得20分，出现三次音乐获得100分，没有出现音乐则扣除200分（即获得﹣200分）．设每次击鼓出现音乐的概率为，且各次击鼓出现音乐相互独立． （1）设每盘游戏获得的分数为X ，求X 的分布列； （2）玩三盘游戏，至少有一盘出现音乐的概率是多少？
（3）玩过这款游戏的许多人都发现．若干盘游戏后，与最初分数相比，分数没有增加反而减少了．请运用概率统计的相关知识分析分数减少的原因．
18.（本小题满分12分）
一个正方体的平面展开图及该正方体的直观图的示意图如图所示，在正方体中，设BC 的中点为M ，GH 的中点为N 。

（I ）请将字母标记在正方体相应的顶点处（不需说明理由） （II ）证明：直线//MN 平面BDH （III ）求二面角A EG M --余弦值
19．（12分）（2014•四川）设等差数列{a n }的公差为d ，点（a n ，b n ）在函数f （x ）=2x 的图象上（n ∈N *）．
（1）若a 1=﹣2，点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上，求数列{a n }的前n 项和S n ；
G
F
H
E
C D
A B
（2）若a 1=1，函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线在x 轴上的截距为2﹣，求
数列{
}的前n 项和T n ．
20.（本小题13分）如图，椭圆
2
2
2
2
:
1
+
=x y E a
b
的离心率是2，过点(0,1)P 的
动直线l 与椭圆相交于,A B 两点。

当直线l 平行于x 轴时，直线l 被椭圆E 截得的
线段长为。

（1） 球椭圆E 的方程；
（2） 在平面直角坐标系xoy 中，是否存在与点P 不同的定点Q ，使得=QA PA
QB PB
恒成立？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由。

21．（14分）（2014•四川）已知函数f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，其中a ，b ∈R ，e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g （x ）是函数f （x ）的导函数，求函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值； （2）若f （1）=0，函数f （x ）在区间（0，1）内有零点，求a 的取值范围．
11.
解
答：
解：复数=
=
=﹣2i ，
故答案为：﹣2i ．
12.
解答： 解：∵f （x ）是定义在R 上的周期为2的函数， ∴=1．
故答案为：1．
13.
解答： 解：过A 点作AD 垂直于CB 的延长线，垂足为D ， 则Rt △ACD 中，∠C=30°，AD=46m
∴CD=
=46
≈79.58m ．
又∵Rt△ABD中，∠ABD=67°，可得BD==≈19.5m ∴BC=CD﹣BD=79.58﹣19.5=60.08≈60m
故答案为：60m
14.
解答：解：有题意可知，动直线x+my=0经过定点A（0，0），
动直线mx﹣y﹣m+3=0即 m（x﹣1）﹣y+3=0，经过点定点B（1，3），
注意到动直线x+my=0和动直线mx﹣y﹣m+3=0始终垂直，P又是两条直线的交点，则有PA⊥PB，∴|PA|2+|PB|2=|AB|2=10．
故|PA|•|PB|≤=5（当且仅当时取“=”）
故答案为：5
15.
解答：解：（1）对于命题①
“f（x）∈A”即函数f（x）值域为R，
“∀b∈R，∃a∈D，f（a）=b”表示的是函数可以在R中任意取值，
故有：设函数f（x）的定义域为D，则“f（x）∈A”的充要条件是“∀b∈R，∃a∈D，f （a）=b”
∴命题①是真命题；
（2）对于命题②
若函数f（x）∈B，即存在一个正数M，使得函数f（x）的值域包含于区间[﹣M，M]．
∴﹣M≤f（x）≤M．例如：函数f（x）满足﹣2＜f（x）＜5，则有﹣5≤f（x）≤5，此时，f（x）无最大值，无最小值．
∴命题②“函数f（x）∈B的充要条件是f（x）有最大值和最小值．”是假命题；（3）对于命题③
若函数f（x），g（x）的定义域相同，且f（x）∈A，g（x）∈B，
则f（x）值域为R，f（x）∈（﹣∞，+∞），
并且存在一个正数M，使得﹣M≤g（x）≤M．
∴f（x）+g（x）∈R．
则f（x）+g（x）∉B．
∴命题③是真命题．
（4）对于命题④
∵函数f（x）=aln（x+2）+（x＞﹣2，a∈R）有最大值，
∴假设a＞0，当x→+∞时，→0，ln（x+2）→+∞，∴aln（x+2）→+∞，则f （x）→+∞．与题意不符；
假设a＜0，当x→﹣2时，→，ln（x+2）→﹣∞，∴aln（x+2）→+∞，则f（x）→+∞．与题意不符．
∴a=0．
即函数f （x ）=（x ＞﹣2） 当x ＞0时，
，∴
，即
；
当x=0时，f （x ）=0； 当x ＜0时，，∴
，即
．
∴
．即f （x ）∈B ．
故命题④是真命题． 故答案为①③④．
三、解答题
16. 解：（1）当2n ≥时有，
11112(2)
n n n n n a S S a a a a --=-=---
则12n n a a -=(2)n ≥
12
n
n a a （2n ）
则{}n a 是以1a
为首项，2为公比的等比数列。

又由题意得
21322a a a +=+1112224a a a ⇒⋅+=+12
a ⇒= 则2n n a = *()n N ∈
（2）由题意得11
2n
n a =
*
()n N ∈ 由等比数列求和公式得11[1()]
12
21()1212n n
n T -==--
则2111-=()22n n T （）-=
又当10n =时， 10911=1024=512
22（），（）
1
11000n T ∴-<
成立时，n 的最小值的10n =。

点评：此题放在简答题的第一题，考察前n项和n S与通项n a的关系和等比数列的求和公式，难度较易，考察常规。

可以说是知识点的直接运用。

所以也提醒我们在复习时要紧抓课本，着重基础。

17.
解答：解：（1）X可能取值有﹣200，10，20，100．
则P（X=﹣200）=，
P（X=10）==
P（X=20）==，
P（X=100）==，
故分布列为：
X ﹣200 10 20 100
P
由（1）知，每盘游戏出现音乐的概率是p=+=，
则至少有一盘出现音乐的概率p=1﹣．
由（1）知，每盘游戏或得的分数为X的数学期望是E（X）=（﹣200）×+10×
+20××100=﹣=．
这说明每盘游戏平均得分是负分，由概率统计的相关知识可知：许多人经过若干盘游戏后，入最初的分数相比，分数没有增加反而会减少．
18.
【答案】
（I）直接将平面图形折叠同时注意顶点的对应方式即可如图
（II ）
连接BD ，取BD 的中点Q ，连接MQ
因为M 、Q 为线段BC 、BD 中点，所以////MQ CD GH 且1122MQ CD GH
== 又因N 为GH 中点，所以1
2NH GH
=
得到NH MQ =且//NH MQ 所以四边形QMNH 为
得到//QH MN 又因为QH ⊂平面BDH 所以//MN 平面BDH （得证） （III ）
连接AC ，EG ，过点M 作MK AC ⊥，垂足在AC 上，过点K 作平面ABCD 垂
线，交EG 于点L ，连接ML ，则二面角A EG M MLK --=∠
Q
L
K
M
H N G
E F
D C
A B
因为MK ⊂平面ABCD ，且AE ABCD ⊥,所以MK AE ⊥ 又AE ，AC ⊂平面AEG ,所以MK ⊥平面AEG
且KL AEG ⊂，所以MK ⊥KL ，所以三角形MKL 为RT ∆ 设正方体棱长为a ，则AB BC KL a ===，
所以
2a MC =
，
因为45MCK ∠=︒，三角形MCK 为RT ∆
，所以
cos 454MK MC =∠︒=
所以
4tan 4MK MLK KL a ∠===
，所以cos 3MLK ∠=
所以
cos cos 3A EG M MLK <-->=∠=
19.
解答： 解：（1）∵点（a 8，4b 7）在函数f （x ）=2x 的图象上， ∴，
又等差数列{a n }的公差为d ， ∴
=
=2d ，
∵点（a 8，4b 7）在函数f （x ）的图象上， ∴=b 8，
∴
=4=2d ，解得d=2．
又a 1=﹣2，∴S n =
=﹣2n+
=n 2﹣3n ．
（2）由f （x ）=2x ，∴f ′（x ）=2x ln2，
∴函数f （x ）的图象在点（a 2，b 2）处的切线方程为
，
又，令y=0可得x=
，
∴
，解得a 2=2．
∴d=a 2﹣a 1=2﹣1=1．
∴a n =a 1+（n ﹣1）d=1+（n ﹣1）×1=n ， ∴b n =2n ． ∴．
∴T n =+…++，
∴2T n =1++
+…+
，
两式相减得T n =1++…+﹣=﹣
=
=
．
20:
【答案】
解：（1
）由题知椭圆过点
)。

得
222222211⎧==
⎪⎪
⎪+=⎨⎪⎪=+⎪⎩c e a a b a b c
解得：2,===a b c 所以，椭圆方程为：22
142+=x y 。

(2)假设存在满足题意的定点Q 。

当直线l 平行于x 轴时，1==QA PA
QB PB
，,A B 两点关于y 轴对称，得Q 在y 轴上。

不妨设
()
0,Q a
当直线l 为y
轴时，
1==≠QA
PA a QB PB 。

解得2=a
下证对一般的直线:1=+l y kx ，
()0,2Q 也满足题意。

由=QA PA QB PB 得y 轴为∠AQB 的角平分线。

所以
=-QA QB k k 。

不妨设()()
1122,,,A x y B x y 11221,1
=+=+y kx y kx 12
1222--=-y y x x ，化简得12122=+kx x x x ①
又椭圆方程与直线方程联立得：
22124=+⎧⎨+=⎩y kx x y ，()2212420++-=k x kx
12122242,1212-+=-=++k x x x x k k
带入①得成立。

故假设成立。

综上存在点满足题意。

21:
解答： 解：∵f （x ）=e x ﹣ax 2﹣bx ﹣1，∴g （x ）=f ′（x ）=e x ﹣2ax ﹣b ， 又g ′（x ）=e x ﹣2a ，x ∈[0，1]，∴1≤e x ≤e ，
∴①当时，则2a ≤1，g ′（x ）=e x ﹣2a ≥0，
∴函数g （x ）在区间[0，1]上单调递增，g （x ）min =g （0）=1﹣b ；
②当，则1＜2a ＜e ，
∴当0＜x ＜ln （2a ）时，g ′（x ）=e x ﹣2a ＜0，当ln （2a ）＜x ＜1时，g ′（x ）=e x ﹣2a ＞0，
∴函数g （x ）在区间[0，ln （2a ）]上单调递减，在区间[ln （2a ），1]上单调递增， g （x ）min =g[ln （2a ）]=2a ﹣2aln （2a ）﹣b ；
③当时，则2a ≥e ，g ′（x ）=e x ﹣2a ≤0，
∴函数g （x ）在区间[0，1]上单调递减，g （x ）min =g （1）=e ﹣2a ﹣b ， 综上：函数g （x ）在区间[0，1]上的最小值为
；
（2）由f （1）=0，⇒e ﹣a ﹣b ﹣1=0⇒b=e ﹣a ﹣1，又f （0）=0，
若函数f（x）在区间（0，1）内有零点，则函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间，
由（1）知当a≤或a≥时，函数g（x）在区间[0，1]上单调，不可能满足“函数f （x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间”这一要求．
若，则g min（x）=2a﹣2aln（2a）﹣b=3a﹣2aln（2a）﹣e+1
令h（x）=（1＜x＜e）
则．由＞0⇒x＜
∴h（x）在区间（1，）上单调递增，在区间（，e）上单调递减，
=+＜0，即g min（x）＜0 恒成立，
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有三个单调区间⇔⇒，
又，所以e﹣2＜a＜1，
综上得：e﹣2＜a＜1．。