数值计算方法(第3章)3
数值计算(二分法、简单迭代法、Newton迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)).
本科生实验报告实验课程数值计算方法学院名称信息科学与技术学院专业名称计算机科学与技术学生姓名学生学号指导教师实验地址实验成绩二〇一六年五月二〇一六年五月1实验一 非线性方程求根1.1问题描绘实验目的：掌握非线性方程求根的基本步骤及方法， 。
实验内容：试分别用二分法、简单迭代法、Newton 迭代法、弦截法(割线法、双点弦法)，求x 5-3x 3+x-1=0在区间[-8,8]上的所有实根，偏差限为10-6。
要求：议论求解的全过程，对所用算法的局部收敛性，优弊端等作剖析及比 较，第2章算法思想2.1二分法思想：在函数的单一有根区间内，将有根区间不停的二分，找寻方程的解。
步骤：1.取中点mid=(x0+x1)/2 2.若f(mid)=0,则mid 为方程的根，不然比较与两头的符号，若与f(x0) 异号，则根在[x0,mid]之间，不然在[mid,x1]之间。
3并重复上述步骤，直抵达到精度要求，则 mid 为方程的近似解。
开始读入a,b,emid=(a+b)/2 F(a)*f(b)<0是 a=mid b=mid no |a-b|<e? yes 输出mid结束22.2简单迭代法思想：迭代法是一种逐次迫近的方法，它是固定公式频频校订跟的近似值，使之逐渐精准，最后获得精度要求的结果。
步骤：1.结构迭代公式f(x)，迭代公式一定是收敛的。
2.计算x1,x1=f(x0).3.判断|x1-x0|能否知足精度要求，如不知足则重复上述步骤。
4．输出x1,即为方程的近似解。
开始输入x0,eX1=f(x0)f为迭代函数X1=x0;No|x1-x0|<eyes输出x1结束32.3Newton迭代法思想：设r是的根，选用作为r的初始近似值，过点做曲线的切线L，L的方程为，求出L与x轴交点的横坐标，称x1为r的一次近似值。
过点做曲线的切线，并求该切线与x轴交点的横坐标，称为r的二次近似值。
重复以上过程，得r的近似值序列，此中，称为r的次近似值步骤：1.计算原函数的导数f’(x);结构牛顿迭代公式2.计算,若f’(x0)=0,退出计算，不然持续向下迭代。
《数值计算方法》复习资料
《数值计算方法》复习资料课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1. 知道产生误差的主要来源。
2. 了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3. 知道四则运算中的误差传播公式。
三例题例1设x*= π=3.1415926…近似值x=3.14＝0.314×101,即m=1，它的绝对误差是－0.001 592 6…，有即n=3，故x=3.14有3位有效数字.x=3.14准确到小数点后第2位.又近似值x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074…，有即m=1,n＝5，x=3.1416有5位有效数字.而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926…，有即m=1,n＝4，x=3.1415有4位有效数字.这就是说某数有s位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s位有效数字；例2 指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4 －0.002 00 9 000 9 000.00解因为x1=2.000 4＝0.200 04×101, 它的绝对误差限0.000 05=0.5×10 1―5，即m=1,n=5,故x=2.000 4有5位有效数字. a1=2，相对误差限x2=－0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为m=－2，n=3，x2=－0.002 00有3位有效数字. a1=2，相对误差限εr==0.002 5x3=9 000，绝对误差限为0.5×100，因为m=4, n=4, x3=9 000有4位有效数字，a=9，相对误差限εr＝＝0.000 056x4=9 000.00，绝对误差限0.005，因为m=4，n=6，x4=9 000.00有6位有效数字，相对误差限为εr＝＝0.000 000 56由x3与x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例3ln2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？解精确到10－3＝0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是ε＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
大学数值计算方法(第3章解线性方程组的数值解法)3
征值, 则称 ρ ( A) = max{| λi |}
1≤i ≤ n
为矩阵A的谱半径。 矩阵A的谱半径ρ ( A)不是A的一种范数, 但可能与A的任何一种范数有某种关系。
例题
2 求矩阵 A = − 2 − 1 的谱半径。 4
则必存在两正数m, M , 使得 m || x ||β ≤|| x ||α ≤ M || x ||β
向量范数性质 等价性质：
1) 2) 3) 1 || x ||1 ≤|| x ||∞ ≤|| x ||1 n || x ||∞ ≤|| x ||1 ≤ n || x ||∞ || x ||∞ ≤|| x ||2 ≤ n || x ||∞
lim || x
（k）
− x ||∞ = 0 ⇔ lim max x
* k →∞ 1≤i ≤ n k →∞ (k ) i
(k ) i
− xi = 0
⇔ lim x
=x
* i
(i = 1,2,...n)
3.4.2 矩阵范数
定义3.4.3 设任意A ∈ R n×n , 若按某一确定的法则对 应于一非负实数 || A ||, 且满足 : 1)非负性 :|| A ||≥ 0，当且仅当A = 0时， A ||= 0; || 2)奇次性： kA ||=| k ||| A || ，k ∈ R; || 3)三角不等式： A + B ||≤|| A || + || B ||, ∀A, B ∈ R n×n ; || 4)相容性： ≤ A B ，∀A, B ∈ R n×n， AB 则称 || A || 为R n×n的一种范数。
算子范数
所以对x ≠ 0有 || ( A + B) x || ≤|| A || + || B || || x || || ( A + B) x || || A + B ||= max ≤|| A || + || B || x ≠0 || x || || AB ||≤|| A |||| B || 。 || I ||= max || Ix ||= 1 x =1
数值计算方法思考题
数值计算方法思考题数值计算方法思考题第一章预篇1．什么是数值分析？它与数学科学和计算机的关系如何？ 2．何谓算法？如何判断数值算法的优劣？3．列出科学计算中误差的三个来源，并说出截断误差与舍入误差的区别。
4．什么是绝对误差与相对误差？什么是近似数的有效数字？它与绝对误差和相对误差有何关系？5．什么是算法的稳定性？如何判断算法稳定？为什么不稳定算法不能使用？ 6．判断如下命题是否正确：一个问题的病态性如何，与求解它的算法有关系。
无论问题是否病态，好的算法都会得到好的近似解。
解对数据的微小变化高度敏感是病态的。
高精度运算可以改善问题的病态性。
用一个稳定的算法计算良态问题一定会得到好的近似值。
用一个收敛的迭代法计算良态问题一定会得到好的近似值。
两个相近数相减必然会使有效数字损失。
计算机上将1000个数量级不同的数相加，不管次序如何结果都是一样的。
7．考虑二次代数方程的求解问题ax2 + bx + c = 0.下面的公式是熟知的bb24acx.2a与之等价地有x?对于2c?b?b?4ac2.a = 1,b = -100 000 000 ,c = 1应当如何选择算法？8．指数函数有著名的级数展开x2x3e?1?x2!3!x 如果对x 9．考虑数列xi, i = 1,…, n, 它的统计平均值定义为x?1n?xi xi?1 它的标准差2?1n2(xi?x)? n?1i?1??1 数学上它等价于1n222xinx n1i11 作为标准差的两种算法，你如何评价它们的得与失？第二章非线性方程求根1．判断如下命题是否正确：(a) 非线性方程的解通常不是唯一的；(b) Newton法的收敛阶高于割线法；(c) 任何方法的收敛阶都不可能高于Newton法； (d)Newton法总是比割线法更节省计算时间；(e) 如果函数的导数难于计算，则应当考虑选择割线法；(f) Newton法是有可能不收敛；(g) 考虑简单迭代法xk+1 = g(xk)，其中x* = g(x*)。
工程电磁场数值方法编程实验3-数值积分方法_OK
n
I
i 1
xi1 g (x)dx h n1
xi
6 i0
f (xi ) 4 f (xi h / 2) f (xi1)
8
辛普生求积公式
计算二重积分时，数值积分的处理是将二重积分分解
为两个单积分，每个积分使用辛普生求积公式，即在
第一重积分内采用辛普生求积公式，公式中每产生一
• 编写轴对称线圈的矢量位计算计算函数
33
p ij
2
zp zij
2
zp zij
2
E
K
Bz
m i1
mz j 1
0 Jd d z 2
p ij
1
2
zp zij
2
2 ij
2 p
p ij
2
zp zij
2
zp zij
2
E
K
ij R1 i 1/ 2 d
zij
1h
2
j 1/ 2dz 32
编程实践四
d e
令 2 , d 2d , cos 2sin2 1
Ap
a0I
/2 0
2sin2 1 d z2 (a )2 4a sin2
令k 2
z2
4a
(a
)2
Ap
0 I k
a
1
1 2
k2
K
E
第一、二类完全椭圆积分
23
轴对称磁场
向量磁位Ap计算出来后，可计算磁感应强度
个固定某变量值x，在另一重积分也用辛普生求积公
式计算。
S
b
dx
y2 (x) f (x, y)dy
a
数值计算方法总复习.docx
数值计算方法总复习第一章算法与误差 第二章非线性方程求解 第三章线性代数方程求解 第四章函数插值与曲线拟合 第五章数值积分与数值微分 第六章當微分方程的数值解法 Chap. 1 （1）关于数值计算方法，What,特点教窗才算方法是应用数学的一个分支, 又称数值分析或计算方法,它是研究数字计算机求解各种数学问题的数值方法及其理论的一门科学，是程序设计 和对数值结果进行分析的依据和基础。
应用计算机解决科学计算问题包括以下几个过程：提出实际问题；建立数 学模型；选用数值计算方法；程序设计和上机计算。
可见数值计算方法是进行 科学计算全过程的一个重要环节。
计算机计算的特点：（1）运算速度快；（2）但只能完成加、减、乘、除和 一些逻辑运算。
所以，各种复朵的数学问题 T 归结为四则运算 ------------- 9 编程指令。
把对数学问题的解法归纳为有加、减、乘、除等基本运算，并对运算顺序 有完整而准确的描述的算法称为数值计算方法或简称数值算法。
研究各种算法 和和关理论的一门课程。
§1.2误差一、 误差的来源数分为两类：精确数（准确数、真值）； 近似数/近似值。
1） 模型课差或描述误差2） 测量误差（观测误差）3） 截断误并（方法误并）4） 舍入误差（计算误差）:数值计算关心的是截断谋差（方法谋差）和舍入谋差（计算谋差） 二、误差限和有效数字1. 误差限的定义设Z 是准确值Z 的某个近似值，如果根据具体测量或计算的情况，可以事 先估计出误差的绝对值不超过某个正数5即：关于《数值计算方法》IZ - Z| W £则称£为近似值的谋差限。
或称在允许谋差£的情况下，结果z是“准确的”・2.误差限和有效数字在表示一个近似数时，常常用到“有效数字”，有效数字和谋差限都是用来定量表示误差的大小，且它们之间有对应关系。
有效数字的定义：设数x的近似值T=0內兀2…乙xl（T ,其中灯是0到9之间的任一个数，但力工0门二1,2,3.・・，n正整数，刃整数，若lx-x* l< jxlO,n-n则称x*为x的具有n位有效数字的近似值，准确到第n位，x 1x2...xn是/ 的有效数字。
《数值计算方法》实验课程教学研究(五邑大学校级教改项目)
五邑大学校级教改项目摘要数值计算方法是继理论方法和实验方法之后的科学研究的第三种基本手段。
数值计算方法课程的研究对象主要来自微积分，线性代数，常微分方程等许多领域中，它的主要内容包括：求解线性方程组的直接法和迭代法、插值法和最小二乘拟合、数值微分和数值积分、常微分方程数值解法、非线性方程的迭代解法和矩阵特征值问题的计算等。
本项目利用Matlab科学计算软件, 编写出数值计算课程的实验教材和电子教案。
关键词：数值计算；Matlab；插值法；最小二乘拟合；线性方程组；直接法；迭代法；矩阵特征值问题；数值积分；数值微分《数值计算方法》实验课程教学研究AbsractNumerical calculation is the third basic means of scientific research following up with the theoretical methods and experimental methods. The research objection of numerical calculation arises from mathematics problems such as differential and integral calculus, linear algebra, ordinary differential equations and so on. The main contents of this subject are as follows: the direct approach and iterative approach of system of linear equations, interpolation and least square problems, numerical differentiation and integration, numerical ordinary differential equations, and algebraic eigenvalue problems.Using Matlab scientific computation software, this project presents experimental teaching materials and electronic lesson plans.Key words: numerical calculation, Matlab, interpolation and least squares problems,direct approach, iterative approach, system of linear equations, matrix eigenvalues problems，numerical differentiation，numerical integration目录摘要 ..........................................................................................................错误！未定义书签。
数值计算方法
(3) 用简单问题代替复杂问题
(4) 扰动分析：估计误差或精度
§1.3 计算过程中的误差及其控制
数值方法中的计算公式及参与运算的数，都和数学中的 一般情况有所不同，即
计算公式中的运算必须是在计算机上可执行的运算 参与运算的数必须是有限小数或整数
因此，数值方法中的取数和运算往往会出现误差，算得
的结果（称为计算值）一般也为近似值。
舍入误差
在数值计算过程中还会遇到无穷小数，因 计算机受到机器字长的限制，它所能表示 的数据其位数只能是有限的，如按四舍五 入规则取有限位数，由此引起的误差
3.14159265......
2 1.414213562......
1 1 0.166666666...... 3! 6
3.1415927
xi
Ai A
, i 1, 2,, n.理论上很“漂亮”的Cramer法
则 在计算机上并不适用！
n=20
(20+1)!(20-1) 5.11019 19 30.78年(1012 次 / 秒)
问题三
1 2 2 A 1 0 2 0 1 1
求A的特征值和特征向量
数学分析(或微积分)
高等代数 数学软件
我们先来看看学过的一些知识和问题：
3x 5 0
2 x ^ 2 3x 8 0
如果：三次方程呢？ n次方程呢？
x 5 / 3
x1,2 3 3*3 4*2*(8) 2*2
x 3x 9 x 7 x x 0
6 5 3 2
2 1.4142136
1 0.16666667 3!
另外还有过失误差，这类误差是由于模型错误或方法 错误所引起的，一般可以避免。
第三章 数值计算方法
x0 ，按某种算法产生一个近似解序列，该序列 收敛于精确解x*
x0 , x1, x2 , x3 ,, xn
计算机在稀土工程中的应用
2. 二分法
设函数 f (x) 在区间[a, b]上连续，且 f (a) f (b) 0 ，
采用二分法求解可按下列步骤进行：
如前面的例子可改写为：
(309016 0.005608 T 2 501182 T 1) /177 .5 T
计算机在稀土工程中的应用
简单迭代的误差与收敛
xk1 g(xk )
x* g(x*)
两式相减，并由中值定理有：
x * xk1 g(x*) g(xk ) g'()( x * xk )
入炉物料显热 铜锍显热 (k1 k2T (k3 k4T )[Cu]m ) Wm
化学反应热 重油燃烧热
炉渣显热 (k5 k6T ) Ws
N
烟气显热 ni ( Ai BiT CiT 1 DiT 2 ) i1
塔散热 经验数据
通过求解方程：热收入+热支出=0，即可求得温度T。 现已知某生产时期热平衡方程如下，求温度T：
由此可见，该递推算法随n的增大，误差传播迅速增大， 是不稳定算法。
计算机在稀土工程中的应用
算法2: 逆向递推
由：In 1 nIn1
有：In1 (1 In ) / n
按In估计式：
e1
1
n 1 In n 1
取：
I 30
e1 ( 30
1) 1
/
2
0.0221
30 0.0102
按 s30 0.0221 sn1 (1 sn ) / n 逆向递推
(完整版)数值计算方法教案
《计算方法》教案课程名称：计算方法适用专业：医学信息技术适用年级：二年级任课教师：***编写时间：2011年 8月新疆医科大学工程学院张利萍教案目录《计算方法》教学大纲 (4)一、课程的性质与任务 (4)二、课程的教学内容、基本要求及学时分配 (4)三、课程改革与特色 (5)四、推荐教材及参考书 (5)《计算方法》教学日历..................................... 错误!未定义书签。
第一章绪论 .. (6)第1讲绪论有效数字 (6)第2讲误差………………………………………………………………………………第二章线性方程组的直接法 (14)第3讲直接法、高斯消去法 (14)第4讲高斯列主元消去法 (22)第5讲平方根法、追赶法 (29)第三章插值法与最小二乘法 (31)第6讲机械求积、插值型求积公式 (32)第7讲牛顿柯特斯公式、复化求积公式 (37)第8讲高斯公式、数值微分 (42)第9讲第10讲第12讲第四章数值积分与数值微分 (48)第11讲欧拉公式、改进的欧拉公式 (48)第12讲龙格库塔方法、亚当姆斯方法 (52)第13讲收敛性与稳定性、方程组与高阶方程 (56)第14讲第15讲第五章微分常微分方程的差分方法 (59)第16讲迭代收敛性与迭代加速 (60)第17讲牛顿法、弦截法 (64)第18讲第19讲第20讲第六章线性方程组的迭代法 (67)第21讲迭代公式的建立 (68)第22讲第23讲第24讲向量范数、迭代收敛性 (71)第25讲《计算方法》教学大纲课程名称：计算方法/Computer Numerical Analysis B学时/学分：54/4先修课程：高等数学、线性代数、高级语言程序设计（如：Matlab语言）适用专业：计算机科学与技术、信息管理与信息系统开课学院（部）、系(教研室)：医学工程技术学院、医学信息技术专业一、课程的性质与任务计算方法是一门专业必修课。
数值计算方法
数值计算方法数值计算方法是一种通过数学模型和计算机算法来解决实际问题的方法。
它包括了数值分析、数值逼近、数值代数、数值微分方程等多个领域。
数值计算方法在科学工程领域有着广泛的应用，例如在物理学、化学、生物学、经济学和工程学等领域都有着重要的地位。
本文将介绍数值计算方法的基本原理和常用技术，并探讨其在实际问题中的应用。
一、数值计算方法的基本原理。
数值计算方法的基本原理是将实际问题转化为数学模型，然后通过计算机算法来求解这个数学模型。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的方程或者函数，无法通过解析方法求解。
这时就需要借助数值计算方法来进行近似求解。
数值计算方法主要包括了离散化、逼近和求解三个步骤。
1. 离散化。
离散化是将连续的问题转化为离散的问题。
在实际问题中，往往会遇到一些连续的函数或者方程，无法直接求解。
这时就需要将连续的问题转化为离散的问题，然后通过计算机算法来求解。
离散化的方法有很多种，比如有限差分法、有限元法、谱方法等。
2. 逼近。
逼近是指通过一些简单的函数或者多项式来近似表示复杂的函数或者方程。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的函数或者方程，无法直接求解。
这时就需要通过逼近的方法来近似表示这个函数或者方程，然后通过计算机算法来求解。
逼近的方法有很多种，比如插值法、拟合法、最小二乘法等。
3. 求解。
求解是指通过计算机算法来求解离散化的问题或者逼近的问题。
在实际问题中，往往会遇到一些复杂的离散化问题或者逼近问题，无法直接求解。
这时就需要通过计算机算法来求解这个离散化问题或者逼近问题。
求解的方法有很多种，比如迭代法、直接法、迭代法等。
二、数值计算方法的常用技术。
数值计算方法有很多种常用技术，下面将介绍一些常用的技术。
1. 有限差分法。
有限差分法是一种常用的离散化方法，它将微分方程转化为差分方程，然后通过计算机算法来求解。
有限差分法的基本思想是将函数在一些离散点上进行逼近，然后通过差分近似来求解微分方程。
《数值计算方法》复习资料
实用文档《数值计算方法》复习资料第一章数值计算方法与误差分析第二章非线性方程的数值解法第三章线性方程组的数值解法第四章插值与曲线拟合第五章数值积分与数值微分第六章常微分方程的数值解法自测题课程的性质与任务数值计算方法是一门应用性很强的基础课，在学习高等数学，线性代数和算法语言的基础上，通过本课程的学习及上机实习、使学生正确理解有关的基本概念和理论，掌握常用的基本数值方法，培养应用计算机从事科学与工程计算的能力，为以后的学习及应用打下良好基础。
第一章数值计算方法与误差分析一考核知识点误差的来源类型；绝对误差和绝对误差限，相对误差和相对误差限，有效数字；绝对误差的传播。
二复习要求1.知道产生误差的主要来源。
2.了解绝对误差和绝对误差限、相对误差和相对误差限和有效数字等概念以及它们之间的关系。
3.知道四则运算中的误差传播公式。
实用文档三例题例 1 设x*= =3.1415926⋯近似值 x=3.14 ＝ 0.314× 101,即 m=1，它的绝对误差是－ 0.001 592 6 ，⋯有即 n=3，故 x=3.14 有 3 位有效数字 .x=3.14准确到小数点后第 2 位 .又近似值 x=3.1416，它的绝对误差是0.0000074 ⋯，有即 m=1,n＝ 5， x=3.1416 有 5 位有效数字 .而近似值x=3.1415，它的绝对误差是0.0000926 ⋯，有即 m=1,n＝ 4， x=3.1415 有 4 位有效数字 .这就是说某数有s 位数，若末位数字是四舍五入得到的，那么该数有s 位有效数字；例 2指出下列各数具有几位有效数字，及其绝对误差限和相对误差限：2.000 4－0.002 009 0009 000.00解因为 x1=2.000 4＝ 0.200 04× 101, 它的绝对误差限 0.000 05=0.5 × 10 1―5，即m=1,n=5, 故 x=2.000 4 有 5 位有效数字 . a1=2，相对误差限x2=－ 0.002 00，绝对误差限0.000 005，因为 m=－2，n=3 ，x2=－ 0.002 00 有 3 位有效数字 . a1=2 ，相对误差限r ==0.002 5实用文档x3=9 000 ，绝对误差限为0.5× 100，因为 m=4, n=4, x3=9 000 有 4 位有效数字， a=9 ，相对误差限r＝＝ 0.000 056x4=9 000.00 ，绝对误差限0.005，因为 m=4， n=6， x4=9 000.00 有 6 位有效数字，相对误差限为r＝＝ 0.000 000 56由 x3与 x4可以看到小数点之后的0，不是可有可无的，它是有实际意义的.例 3 ln2=0.69314718⋯，精确到10－3的近似值是多少？解精确到 10－3＝ 0.001，意旨两个近似值x1,x2满足，由于近似值都是四舍五入得到的，要求满足，近似值的绝对误差限应是＝0.0005,故至少要保留小数点后三位才可以。
数值计算方法第3章3-03平方根法
系数矩阵为对称正定矩阵的方程组称为对称正定方程组。对称正定方 程组可用高斯消去法、LU 分解法求解，但可导出计算量更小的平方根法。
利用对称正定矩阵的三角分解（乔累斯基分解）求解对称正定方程组 的方法称为平方根法。 3.3.1 对称正定矩阵
对称矩阵 A AT
对称正定矩阵
A AT
a11 a12
a21
a22
a1n 1
a2n
l21
1
d1
a1k
a2k
，k
1, 2,
,n
akk
3． A 的特征值i 0 ，i 1, 2, , n
4． A
的顺序主子式都大于零，即det
Ak
0
k
，
1, 2,
,n
5． A 对称正定，则A 的对角元素 aii 0 ，i 1, 2, , n 。
古尔维兹定理 （实）对称矩阵 A 正定的充要条件是A 的各阶顺
是以其为对角元素的对角矩
阵，则
Di d1d2 di i 1, 2, , n
于是有di 0 i 1, 2, , n 又 A LU LDD1U LD(D1U ) ，其中 (D1U ) 为单位上三角矩
阵。由 A AT 有 A AT (D1U )T DLT 比较上二式，并由 LU 分解唯一性可知L (D1U )T
l21
l22
l1 l21
ln1
l22
ln
2
an1 an2
ann ln1 ln2
lnn
《数值计算方法》电子教案
Rn (x b)
f (n1) ( ) (x b)n1
(n 1)!
为x、b之间的数，
主讲教师：宋红伟
25
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
设 f(x) 是一元函数，x 的近似值为x*，以 f(x*) 近似 f(x)
（即f(x*) 为 f(x) 的近似值），其误差限为 ( f (x))，可用泰
重点讨论
程序 设计
Yangzte University
第一章 绪论
可 收敛性：方法的可行性
则 数 靠 稳定性：初始数据等产生的误差对结果的影响
值性
方 法
分 析
误差估计：运算结果不能产生太大的偏差且
的
能够控制误差
设 计
计 算
便于编程实现：逻辑复杂度要小
原 复 计算量要小：时间复杂度要小，运行时间要短
x x* 1 10mn1 2
主讲教师：宋红伟
21
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
例： 3.1415926538597932;
* 3.14, 3.1416
问： * 有几位有效数字？请证明你的结论。
m=0
n=3
证明：* 3.14 100 (3 1101 4 102)
主讲教师：宋红伟
17
绝对误差限
往往未知
代替相对误差
代替相对误差限
* r
(
x
*
)
2 15
13.33%
* r
(
y
*
)
5 1000
0.5%
Yangzte University
§2.误差的基本概念及误差分析
数值计算方法简介
3、常用的数值分析软件 （2）分析计算模块
前处理阶段完成建模以后，用户可以在求解阶段获得 分析结果。 在该阶段，用户可以定义分析类型，分析选项，载荷 数据和载荷步选项，然后开始有限元求解。 （3）后处理模块
ANSYS软件的后处理过程包含两个部分：通用后处理 模块和时间历程后处理模块。通过用户界面可以很容易 的获得求解过程的计算结果并对其进行显示。
3、常用的数值分析软件
3.1.2 ANSYS软件的优缺点
（1）优点
l）ANSYS是完全的WWS程序，从而使应用更加方便； 2）产品系列由一整套可扩展的、灵活集成的各模块组 成，因而能满足各行各业的工程需要； 3）它不仅可以进行线性分析，还可以进行各类非线性 分析； 4）它是一个综合的多物理场耦合分析软件，用户不但 可用其进行诸如结构、热、流体流动、电磁等的单独研 究，还可以进行这些分析的相互影响研究。
3、常用的数值分析软件
3.1.1 ANSYS软件功能简介
ANSYS软件主要分为三个部分，前处理模块，分析计算模 块和后处理模块。
（1）前处理模块
该软件提供了强大的实体建模和网格划分工具，用户可 以方便的构造有限元模型，它提供了多种以上的单元模型 ，用来模拟工程中的各种材料和结构。
ANSYS提供了两种实体建模方法，自顶向下和自底向上 。
2、常用的数值计算方法
2.1.1 有限差分法的基本思想
（1）把连续的定解区域用有限个离散点构成的网 格来代替，这些离散点称作网格的节点； （2）把连续定解区域上的连续变量的函数用在网 格上定义的离散变量函数来近似； （3）以Taylor 级数展开等方法把控制方程和定解 条件中的微商用网格节点上的差商代替进行离散，于 是原微分方程和定解条件就近似地代之以代数方程组 ，即有限差分方程组，解此方程组就可以得到原问题 在离散点上的近似解； （4）然后再利用插值方法便可以从离散解得到定 解问题在整个区 域上的近似解。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
系数矩阵有微小扰动对解的影响不大。
例3.3.2 设线性方程组
1 0.99
0.99 x1
0.98
x2
1.99 1.97
试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生
什么样的变化?
解 该方程组的精确解为x (1,1)T。
设系数矩阵有微小的扰动
A
0.0001
0
0 0
即
1.0001
0.99
0.99 0.98
|| (xi yi )ei || | (xi yi ) | • || ei || max || ei || | (xi yi ) | 0
结论成立。
向量范数性质
等价性质：
1)
1 n
||
x
||1 ||
x
||
||
x
||1
2) || x || || x ||1 n || x ||
3) || x || || x ||2 n || x ||
3.3 向量和矩阵的范数 方程组的误差分析
例3.3.1 设线性方程组
1 1
1 x1
1.0005
x2
0 2
试分析系数矩阵和右端项有微小扰动, 解将产生
什么样的变化?
解 该方程组的精确解为x (0.99975,0.99975)T。
设线性方程组
1 1
1 x1
1
x2
0 2
系数矩阵有微小扰动,解将产生解x (1,1)T，可见
x1
x2
1.99 1.97
x 所以1.00.90901x1x100.9.989xx2 211.9.979，解得
~ (1)
(50,48.01
则
1 0.99
0.99 0.98
x1 x2
1.9899 1.9701
~ (2)
解得 x (2.97,0.99)T
| P1P2 | (x1 x2)2 (y1 y2)2
表示。 推广到n维空间，则称为向量范数。
向量范数
定义3.3.1 设任一向量x Rn , 按某一确定的 法则对应于一非负实数|| x ||,且满足:
1)非负性：|| x || 0，当且仅当x 0时，|| x || 0; 2)奇次性：|| kx ||| k ||| x ||, k R; 3)三角不等式：对任意x, y Rn ,都有 || x y |||| x || || y ||，
则称 || x || 为向量x的范数。
常见的向量范数
x 设向量 (x1, x2 ,...,xn )T
x n
|| ||1 | xi |
i 1
x x x x x n
1
1
1
|| ||2 ( | xi |2 ) 2 ( , ) 2 ( T ) 2 (Euclid)
i 1
x||
||
max{|
1in
lim
k
xik
xi*
(i 1,2,...,n)
x x 则称向量序列{ (k)}依次收敛到 *,记作
lim xk x*
k
如果有 lim || xk x* || 0 k
x x 则称向量序列{ (k)}依范数|| || 收敛到 *
x 定理3.3.1 向量序列{ (k)}(k 1,2,...)依
x x 坐标收敛到 *的充分必要条件是{ (k)}依范 数 || || 收敛到x*。
事实上由
x x lim || （k）
k
*
||
0
lim
k
max
1in
x(k) i
xi
0
lim
k
x(k) i
xi*
(i 1,2,...n)
矩阵范数
定义3.3.3 设任意A Rnn ,若按某一确定的法则对
应于一非负实数|| A ||,且满足: 1)非负性:|| A || 0，当且仅当A 0时，|| A || 0; 2)奇次性：|| kA||| k ||| A ||，k R; 3)三角不等式：|| A B |||| A || || B ||,A, B Rnn; 4)相容性：AB A B ，A, B Rnn，
|| y |||| y x x |||| y x || || x || || x y || || y ||
x y x y
向量范数性质
性质2 设x Rn ,则向量范数|| x || 是分量
x1, x2 ,...,xn的连续函数。 证明： ||| x || || y ||||| x y ||
若同时对A, b扰动A, b,则
1.0001
0.99
0.99 x1
0.98
x2
1.9899 1.9701
~ (3)
解得 x (148.5,148.005)T
可见
系数矩阵有微小扰动对解的影响较大。
3.3.1向量和矩阵的范数的定义
为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性，我们需要对Rn(n维 向量空间)中的向量或Rnxn中矩阵的“大 小”引入一种度量，——向量和矩阵的范 数。
则必存在两正数m, M ,使得
m || x || || x || M || x ||
x Rn
向量范数性质
性质1 对任意x，y Rn有 x y x y 。
证明：只要证： || x |||| y || || x y ||
和 || y |||| x || || x y || || x |||| x y y |||| x y || || y ||
xi
|}(Chebyshev)
n
1
x || ||p ( | xi |p ) p (Holder)
i 1
向量范数性质
性质1 对任意x，y Rn有 x y x y 。
性质2 设x Rn ,则向量范数|| x || 是分量
x1, x2 ,...,xn的一致连续函数。
性质3 对R n中定义的任意两种范数|| || ,|| || ,
向量和矩阵的范数
在一维数轴上，实轴上任意一点x到
原点的距离用|x|表示。而任意两点x1， x2之间距离用| x1-x2 |表示。
向量和矩阵的范数
而在二维平面上，平面上任意一点P(x,y)到
原点的距离用 x2 y2 | OP 表| 示。而平面上
任意两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)的距离用
x x 例如: 1 || n
||1
1 n
n
|
i 1
xi
| ||
n
||
max{|
1in
xi
|}
|
i 1
xi
|
向量的收敛性
x 定义3.3.2 设Rn中一向量序列{ (k)}(k 1,2,...),其中
x x (k) {x1(k) , x2(k) ,...,xn(k)}T ,如果存在 * (x1*, x2*,...,xn* )T Rn满足