数值计算方法总复习_科学出版社
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x x e( x ) x e( x ) 5. e ( ) * x ( x2 ) 2
* 1 * 2 * 2 * 1 * 1 * 2
9
* 1 * 2
1.2.3 函数值的误差估计
设函数y f ( x), 当x用近似数x 代替
*
计算函数值则f ( x )时，则误差为
*
e( f ) f ( x * ) f ( x ) df ( x * ) ( x * )( x * x) f ( x * )e( x * ) f 或 ( x * ) x f * er ( f ) er ( x ) * f (x )
* *
7
设x1 , x2的近似数x , x ，则：
* 1 * 2
* * * * * * 1. e( x1 x2 ) d ( x1 x2 ) dx1 dx2 * * e( x1 ) e( x2 )
* * * * * * 2. er ( x1 x2 ) d ln( x1 x2 ) d (ln x1 ln x2 ) * * * * d ln x1 d ln x2 er ( x1 ) er ( x2 )
x 中的右端得到 (x)
， x1 ( x0 )
再以x1为一个猜测值，
x (x) 的右端得
x 2 ( x1 )
xk 1 ( xk )
k 0,1,......
16
Steffensen加速收敛法 概述
• 由上式产生的序列称为Steffensen迭代序列。
[ ( x ) x ] 而 ( x ) x ( ( x ) ) 2 ( x ) x
(n 1,2,...)
称之为定端点弦截法.
20
弦截法
若由x1 , x2计算x3 ,以此类推
xn xn 1 xn 1 xn f ( xn ) f ( xn ) f ( xn 1 ) (n 1,2,...)
称之为变端点弦截法 ,又称快速弦截法 .
21
第三章 线性方程组的数值解法
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) 0 x1 x0 x1 x0 解得 x2 x1 f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 )
再由x0 , x2计算x3...... xn x0 xn 1 xn f ( xn ) f ( xn ) f ( x0 )
计算方法 总复习
第1章 绪论
• 误差及有效数字 • 误差的传递、函数误差
误差和有效数字
定义1.2.2 设x为准确数，x*为近似数, 称
（近似数x*的） 绝对误差：e( x* ) x* x
e( x* ) * * （近似数x 的） 相对误差：er ( x ) ( x 0) x
3
误差估计
*
10
第二章 非线性方程的数值解法
• • • • • 二分法 一般迭代法 Steffensen加速收敛法 Newton法 弦截法
二分法 • 用二分法(将区间对平分)求解。
令 a1 a, b1 b, c1 1 (a1 b1 ) 2 若 f (a1 ) f (c1 ) 0 则[a1 , c1 ] ， 为有根区间，否则 为有根区间 [c1 , b1 ] 记新的有根区间为 [a 2 , b， 则 2]
6
定义1.2.3
*
设近似数x 有规格化形式
* m
x 10 0.a1a2 a3 ...an ... 其中m和ai (i 1,2,..., n,...) 是整数且 a1 0,0 ai 9。如果x 的绝对误差满足
*
1 mn | e( x ) || x x | 10 2 * 则称x 为x的具有n位有效数的近似数。
2
( 2)
称为Steffensen迭代函数。
17
Newton迭代法
f ( xn ) xn 1 xn f ( xn )
n 0,1,......
以此产生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解， 称为Newton法，又叫切线法。
18
2.4弦截法
• Newton迭代法有一个较强的要求是 f ( x) 0 且存在。因此，用弦的斜率近似的替代 f (x) 。
设 f ( x )在[a , b]上有唯一零点x ，
*
取 x0 a, x1 b,
则过P0 ( x0 , f ( x0 ))及P1 ( x1 , f ( x1 ))得弦的方程
f ( x1 ) f ( x0 ) y f ( x1 ) ( x x1 ) x1 x0
19
弦截法
• 令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2
a11 max a i1
1 i n
交 换
a11 a12 ...... a1n b1 a a 22 ...... a11 b2 21 ...... ...... ...... ...... ...... ai1 ai 2 ...... ain bi ...... ...... ...... ...... ...... a n1 a n 2 ...... a nn bn
a (1) b .b1 (i 2,..., n ) a
24
高斯顺序消去法
• 设第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中
(1 a11) (k ) (k ) [A | b ] (1 a12)
... ...
... ... ... ...
... ... ...
1 a1(n)
(2 a22) ...
( ... a22 ) n
... ...
(k (k akk ) ... akn )
(k (k ank ) ... ann )
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (k ) bn
25
高斯顺序消去法
则第k次消元: ( aikk ) 令lik ( k ) ， i k 1,..., n，k 1,2,..., n 1 ak
定义1.2.2 设x为精确数，x 为近似数,
*
若有正数和 r 满足 : | e( x ) || x x |
* *
| x* x | | er ( x* ) | r |x| 则称和 r为近似数x 的绝对误差界和相对误差界。
*
4
在实际计算绝对误差和相对误差时， 又由于准确 书 x 未知，因此常用
(k 1,2,..., n 1)
28
高斯顺序消去法
得到 A ( n ) x b( n ) 其中
(1 a11) (n) (n) [A |b ] (1 a12)
... ...
... ... ... ... ...
... ... ...
1 a1(n)
1 ai(1 ) 令li1 (1) , i 2,3,..., n a11 (1 (1 a11) a11) ...... a1(1) n ( 2) ( 2) a22 ...... a2 n （1） ( 2) A A ...... ( 2) ( 2) an 2 ...... ann ( ( b (1) b ( 2 ) [b1(1) b2 2 ) ...... bn 2 ) ]T
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f ( x) 有时可以写成 0 如：
形式 x (x)
x3 x 1 0 x 3 x 1
或 x 1 x
3
x cos x 0 x cos x
15
迭代法及收敛性
考察方程 x (x) 。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。 但如果给出根的某个猜测值 x 0 ， 代入 代入 反复迭代得
23
高斯顺序消去法
a
( 2) ij
a l a
(1) ij
(1) i1 1 j (1) (1) i1 1 j (1) 11
a
(1) ij
a a a
(i 2,..., n; j 2,..., n)
b
( 2) i
b b l
(1) i (1) i (1) i1 (1) 11
(1) 1 i1
(n xn b ( n ) / ann) n x (b ( i ) (i ) (i ) 1aij .x j ) / aii i i j i
(i n 1,...,1)
30
3.1.2 高斯主元素消去法
• Gauss列主元消元法 • 从第一列中选出绝对值最大的元素
(b a )
13
• 由二分法误差估算式
1 | x xn | n1 (b a ) 10 3，其中a 1, b 2 2
*
lg(b a ) 3 3 n 1 1 8.966 lg 2 lg 2
即误差小于10 至少要二分9次。
14
3
2.2一般迭代法
•
e( x * ) er ( x* ) * x
表示 er ( x* ) 。
5
有效数字
• 在工程上，误差的概念就转化为有效数字。
例如： 3.14159265 ...... 的近似数 * 3.1416 则 e( * ) 3.1416 3.14159265 ...
1 0.00000734 ...... 10 4 2 称 * 3.1416 具有五位有效数字的近似数。
• 消元法求解线性方程组：Gauss消元法 • 分解法求解线性方程组：LU分解法、 Cholesky分解法、追赶法
高斯顺序消去法
• 设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b。设
1、第一次消元。 a (1) i1
第一行 ( a
(1) 11
aii 0
) 第i行（i 2，..., n） 3，
... ...
... ... ... ... ...
... a1(1) n
( ... a22 ) n
(2 a22) ...
... ...
... ...
(k (k akk ) ... akn )
(n ... ann)
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (n) bn
[a1 , b1 ] [a 2 , b2 ]
且
b2 a2 1 (b1 a1 ) 2
12
二分法
• 对
重复上述做法得
[a 2 , b2 ]
[a1 , b1 ] [a2 , b2 ] ...... [an , bn ] ......
• 且
bn a n 1 2
n 1
(2 a22) ...
( ... a22 ) n
... ...
( (k akkk ) ... akn )
(n ... ann )
b1(1) (2) b2 ... (k ) bk ... (n) bn
29
高斯顺序消去法
再解 回代法
A ( n ) x b( n )
27
高斯顺序消去法
• 也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：
( (k lik aikk ) / akk ) ( k 1) (k ) (k ) aij aij lik akj b( k 1) b( k ) b( k )l i k ik i
i k 1,..., n j k 1,..., n
Baidu Nhomakorabea
8
* * * * * * * * * * 3. e( x1 x2 ) x1 x2 er ( x1 x2 ) x1 x2 [er ( x1 ) er ( x2 )] * * * * x2 er ( x1 ) x1 er ( x2 )
x * * 4. er ( ) er ( x1 ) er ( x2 ) x
则有
( ( ( aijk 1) aijk ) lik akjk )，i k 1,..., n; j k 1,..., n
bi( k 1) bi( k ) lik bk( k )，i k 1,..., n
26
高斯顺序消去法
• 最后
(1 a11) [ A( n ) b ( n ) ] (1 a12)
* 1 * 2 * 2 * 1 * 1 * 2
9
* 1 * 2
1.2.3 函数值的误差估计
设函数y f ( x), 当x用近似数x 代替
*
计算函数值则f ( x )时，则误差为
*
e( f ) f ( x * ) f ( x ) df ( x * ) ( x * )( x * x) f ( x * )e( x * ) f 或 ( x * ) x f * er ( f ) er ( x ) * f (x )
* *
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设x1 , x2的近似数x , x ，则：
* 1 * 2
* * * * * * 1. e( x1 x2 ) d ( x1 x2 ) dx1 dx2 * * e( x1 ) e( x2 )
* * * * * * 2. er ( x1 x2 ) d ln( x1 x2 ) d (ln x1 ln x2 ) * * * * d ln x1 d ln x2 er ( x1 ) er ( x2 )
x 中的右端得到 (x)
， x1 ( x0 )
再以x1为一个猜测值，
x (x) 的右端得
x 2 ( x1 )
xk 1 ( xk )
k 0,1,......
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Steffensen加速收敛法 概述
• 由上式产生的序列称为Steffensen迭代序列。
[ ( x ) x ] 而 ( x ) x ( ( x ) ) 2 ( x ) x
(n 1,2,...)
称之为定端点弦截法.
20
弦截法
若由x1 , x2计算x3 ,以此类推
xn xn 1 xn 1 xn f ( xn ) f ( xn ) f ( xn 1 ) (n 1,2,...)
称之为变端点弦截法 ,又称快速弦截法 .
21
第三章 线性方程组的数值解法
f ( x1 ) f ( x0 ) f ( x1 ) ( x2 x1 ) 0 x1 x0 x1 x0 解得 x2 x1 f ( x1 ) f ( x1 ) f ( x0 )
再由x0 , x2计算x3...... xn x0 xn 1 xn f ( xn ) f ( xn ) f ( x0 )
计算方法 总复习
第1章 绪论
• 误差及有效数字 • 误差的传递、函数误差
误差和有效数字
定义1.2.2 设x为准确数，x*为近似数, 称
（近似数x*的） 绝对误差：e( x* ) x* x
e( x* ) * * （近似数x 的） 相对误差：er ( x ) ( x 0) x
3
误差估计
*
10
第二章 非线性方程的数值解法
• • • • • 二分法 一般迭代法 Steffensen加速收敛法 Newton法 弦截法
二分法 • 用二分法(将区间对平分)求解。
令 a1 a, b1 b, c1 1 (a1 b1 ) 2 若 f (a1 ) f (c1 ) 0 则[a1 , c1 ] ， 为有根区间，否则 为有根区间 [c1 , b1 ] 记新的有根区间为 [a 2 , b， 则 2]
6
定义1.2.3
*
设近似数x 有规格化形式
* m
x 10 0.a1a2 a3 ...an ... 其中m和ai (i 1,2,..., n,...) 是整数且 a1 0,0 ai 9。如果x 的绝对误差满足
*
1 mn | e( x ) || x x | 10 2 * 则称x 为x的具有n位有效数的近似数。
2
( 2)
称为Steffensen迭代函数。
17
Newton迭代法
f ( xn ) xn 1 xn f ( xn )
n 0,1,......
以此产生的序列{Xn}得到f(x)=0的近似解， 称为Newton法，又叫切线法。
18
2.4弦截法
• Newton迭代法有一个较强的要求是 f ( x) 0 且存在。因此，用弦的斜率近似的替代 f (x) 。
设 f ( x )在[a , b]上有唯一零点x ，
*
取 x0 a, x1 b,
则过P0 ( x0 , f ( x0 ))及P1 ( x1 , f ( x1 ))得弦的方程
f ( x1 ) f ( x0 ) y f ( x1 ) ( x x1 ) x1 x0
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弦截法
• 令y=0，解得弦与x轴的交点是坐标x2
a11 max a i1
1 i n
交 换
a11 a12 ...... a1n b1 a a 22 ...... a11 b2 21 ...... ...... ...... ...... ...... ai1 ai 2 ...... ain bi ...... ...... ...... ...... ...... a n1 a n 2 ...... a nn bn
a (1) b .b1 (i 2,..., n ) a
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高斯顺序消去法
• 设第k-1次消元得A(k)x=b(k) 其中
(1 a11) (k ) (k ) [A | b ] (1 a12)
... ...
... ... ... ...
... ... ...
1 a1(n)
(2 a22) ...
( ... a22 ) n
... ...
(k (k akk ) ... akn )
(k (k ank ) ... ann )
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (k ) bn
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高斯顺序消去法
则第k次消元: ( aikk ) 令lik ( k ) ， i k 1,..., n，k 1,2,..., n 1 ak
定义1.2.2 设x为精确数，x 为近似数,
*
若有正数和 r 满足 : | e( x ) || x x |
* *
| x* x | | er ( x* ) | r |x| 则称和 r为近似数x 的绝对误差界和相对误差界。
*
4
在实际计算绝对误差和相对误差时， 又由于准确 书 x 未知，因此常用
(k 1,2,..., n 1)
28
高斯顺序消去法
得到 A ( n ) x b( n ) 其中
(1 a11) (n) (n) [A |b ] (1 a12)
... ...
... ... ... ... ...
... ... ...
1 a1(n)
1 ai(1 ) 令li1 (1) , i 2,3,..., n a11 (1 (1 a11) a11) ...... a1(1) n ( 2) ( 2) a22 ...... a2 n （1） ( 2) A A ...... ( 2) ( 2) an 2 ...... ann ( ( b (1) b ( 2 ) [b1(1) b2 2 ) ...... bn 2 ) ]T
2.2.1 迭代法及收敛性
对于 f ( x) 有时可以写成 0 如：
形式 x (x)
x3 x 1 0 x 3 x 1
或 x 1 x
3
x cos x 0 x cos x
15
迭代法及收敛性
考察方程 x (x) 。 这种方程是隐式方程，因而不能直接求出它的根。 但如果给出根的某个猜测值 x 0 ， 代入 代入 反复迭代得
23
高斯顺序消去法
a
( 2) ij
a l a
(1) ij
(1) i1 1 j (1) (1) i1 1 j (1) 11
a
(1) ij
a a a
(i 2,..., n; j 2,..., n)
b
( 2) i
b b l
(1) i (1) i (1) i1 (1) 11
(1) 1 i1
(n xn b ( n ) / ann) n x (b ( i ) (i ) (i ) 1aij .x j ) / aii i i j i
(i n 1,...,1)
30
3.1.2 高斯主元素消去法
• Gauss列主元消元法 • 从第一列中选出绝对值最大的元素
(b a )
13
• 由二分法误差估算式
1 | x xn | n1 (b a ) 10 3，其中a 1, b 2 2
*
lg(b a ) 3 3 n 1 1 8.966 lg 2 lg 2
即误差小于10 至少要二分9次。
14
3
2.2一般迭代法
•
e( x * ) er ( x* ) * x
表示 er ( x* ) 。
5
有效数字
• 在工程上，误差的概念就转化为有效数字。
例如： 3.14159265 ...... 的近似数 * 3.1416 则 e( * ) 3.1416 3.14159265 ...
1 0.00000734 ...... 10 4 2 称 * 3.1416 具有五位有效数字的近似数。
• 消元法求解线性方程组：Gauss消元法 • 分解法求解线性方程组：LU分解法、 Cholesky分解法、追赶法
高斯顺序消去法
• 设 Ax=b. 记A(1)=A b(1)=b。设
1、第一次消元。 a (1) i1
第一行 ( a
(1) 11
aii 0
) 第i行（i 2，..., n） 3，
... ...
... ... ... ... ...
... a1(1) n
( ... a22 ) n
(2 a22) ...
... ...
... ...
(k (k akk ) ... akn )
(n ... ann)
b1(1) ( 2) b2 ... (k ) bk ... (n) bn
[a1 , b1 ] [a 2 , b2 ]
且
b2 a2 1 (b1 a1 ) 2
12
二分法
• 对
重复上述做法得
[a 2 , b2 ]
[a1 , b1 ] [a2 , b2 ] ...... [an , bn ] ......
• 且
bn a n 1 2
n 1
(2 a22) ...
( ... a22 ) n
... ...
( (k akkk ) ... akn )
(n ... ann )
b1(1) (2) b2 ... (k ) bk ... (n) bn
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高斯顺序消去法
再解 回代法
A ( n ) x b( n )
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高斯顺序消去法
• 也就是对于方程组AX=b系数矩阵做：
( (k lik aikk ) / akk ) ( k 1) (k ) (k ) aij aij lik akj b( k 1) b( k ) b( k )l i k ik i
i k 1,..., n j k 1,..., n
Baidu Nhomakorabea
8
* * * * * * * * * * 3. e( x1 x2 ) x1 x2 er ( x1 x2 ) x1 x2 [er ( x1 ) er ( x2 )] * * * * x2 er ( x1 ) x1 er ( x2 )
x * * 4. er ( ) er ( x1 ) er ( x2 ) x
则有
( ( ( aijk 1) aijk ) lik akjk )，i k 1,..., n; j k 1,..., n
bi( k 1) bi( k ) lik bk( k )，i k 1,..., n
26
高斯顺序消去法
• 最后
(1 a11) [ A( n ) b ( n ) ] (1 a12)