第4章 稳定性分析

x xe
雅可比矩阵
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若令Dx=x-xe，并取一次近似式，可得系统的线性化 方程为 ADx Dx
李雅普诺夫稳定性结论：
①如果A阵的所有特征值都具有负实部, 则平衡状态 xe 渐近稳定， ②如果A阵的特征值至少一个为正实部，则 xe 不稳定； ③如A阵的特征值至少一个实部为0， 则 xe 的稳定性由高阶导 数项R(x)来决定。
将f(x)在平衡点xe邻域内展开为泰勒级数，得
f ( x) A( x - xe ) R( x) x
f A x f1 f1 x x n 1 f n f n x xn 1 x xe
R( x) 为高阶导数项
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x1 f1 ( x1 , x2 ) x1 - x1 x2
在xe1=[0, 0]T 处将其线性化有
x2 f 2 ( x1 , x2 ) - x2 x1 x2
x1 x1 x A x 2 2
其中雅可比矩阵A为
f1 x A 1 f 2 x1
x 渐近稳定性是工程意义下的稳定性
2


x2
S (e )
S (e )
e S (d ) 尽可能扩大渐近稳定的区域是重要的。
d
x0 xe x1
S (d )
e
x0 xe x1
d
a
b
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3、大范围渐近稳定

如果平衡状态xe是稳定的，而且从状态空间中所有初始状 态出发的轨线都具有渐近稳定性，则称这种平衡状态xe大 范围渐近稳定 大范围渐近稳定的必要条件是状态空间中只有一个平衡状 态。 对于线性系统而言，如果平衡状态时渐近稳定的，必然是 大范围渐近稳定的 非线性系统中，平衡状态一般只具有小范围渐近稳定
⑶李亚普诺夫意义下稳定的实质上是工程意义下的临界稳定。
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2、渐近稳定性

如果平衡状态xe是稳定的，而且当时间t趋于无穷大时，轨 线不仅不超出S(e) ，而且最终收敛于xe，则称 这种平衡状 态xe渐近稳定 渐近稳定是一个局部概念，只确定某个平衡状态的渐近稳 定性并不意味着整个系统可以正常运行
pij p ji
二次型函数在李雅普诺夫稳定性判断中有重要意义。
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二次型标量函数 V (x1, x2, · · · , xn)=xTPx，式中 P为实对称矩阵
① 如果x 0 , 若xTPx >0 , 则称二次型函数V(x)为正定的，同 时称P为正定矩阵，记为P>0 。 ②如果x 0 , 若xTPx ≥0 ，则称二次型函数V(x)为半正定的， 称P为半正定矩阵，记为P≥0 。
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§4.3 李雅普诺夫第二法
基本思路：从能量观点进行稳定性分析：
1) 如果一个系统被激励后，其储存的能量随时间的 推移逐渐衰减，到达平衡状态时，能量将达最小 值，则这个平衡状态是渐近稳定的； 2) 反之，如果系统不断地从外界吸收能量，储能越 来越大，则这个平衡状态是不稳定的；
3) 如果系统的储能既不增加，也不消耗，则这个平 衡状态就是Lyapunov意义下的稳定。


Lyapunov根据自由响应是否有界给出四种稳定性定义：
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1. 李雅普诺夫意义下稳定
如果齐次状态方程 有平衡状态xe 对于任意小的实数e 0，均存在另一实数 d (e, t0) 0 ，当初 始状态满足||x0-xe||≤d(e, t0) 时，系统从x0出发运动轨迹满足 ||F(t; x0, t0)-xe||≤e， t≥t0 ，则称该平衡状态xe 是李雅普诺夫意 义下稳定的，简称xe是稳定的。
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稳定性的概念分析
•
不管初始偏差有多大，系统总是稳定的，则称系统是大范
围稳定的。
•
不管初始偏差有多大，系统总是渐近稳定的，则称系统是 大范围渐近稳定的。大范围渐近稳定的系统只能有一个平 衡状态。
•
为了满足稳定条件，初始偏差有一定限制，则称系统是小
范围稳定的。
•
对于线性系统，若在小范围稳定，则必大范围稳定；若在 小范围渐近稳定，则必大范围渐近稳定

线性定常系统
x = Ax + bu y = cx
平衡状态 xe=0 渐近稳定的充要条件是：系统矩阵A 的全部特征值均具有负实部

以上指的是状态稳定性(内部稳定性)，工程中往 往更注意输出稳定性(外部稳定性)
输出稳定性：有界输入u引起的输出y是有界的
充要条件：传函的极点全部位于左半s平面。
f ( x, t ) x(t0 ) x0 t [t0 , ) x
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⑴李亚普诺夫意义下一致稳定
通常时变系统的d与t0有关，时不变系 统的d与t0无关。只要d与t0无关，这种平
衡状态称为一致稳定的。
⑵时不变系统的稳定属性
时不变系统李亚普诺夫意义下的稳定和一致稳定必为等价。
Modern Control Theory: Chapter -4
现代控制理论
——第4章 系统稳定性分析
邓晓刚 dengxiaogang@ 中国石油大学（华东） 信息与控制工程学院自动化系

稳定性是自动控制系统最重要的特性

系统的稳定性：外界干扰作用下偏离平衡状态，扰动 消失后系统自身恢复到原先平衡状态的一种“顽性” 只取决于系统的结构和参数，稳定的条件是特征方程 的根都具有负实部(在左半根平面) 劳斯判据、乃奎斯特判据 同时与初始条件和外部扰动的大小有关，无法使用线 性定常系统的稳定性判据
③如果x 0 , 若xTPx <0 , 则称二次型函数V(x)为负定的，称
P为负定矩阵，记为 P<0。 ④如果x 0 , 若xTPx ≤0 ,则称二次型函数V(x)为半负定的， 称P为 半负定矩阵，记为 P≤0。 ⑤若V既不是半正定又不是半负定，则称P为不定的。
1 1; 2 -1;
系统的状态不是渐进稳定的
-1
求传递函数
s -1 1 W ( s) C ( SI - A) B ( s - 1)( s 1) s 1
传递函数的极点位于左半S平面，因此系统输出稳定
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二、非线性系统的稳定性
f ( x) 设 x
xe为孤立平衡点。
分析举例，判断下列函数是否为正定的？ 正定的 半正定的
负定的
半负定的 不定的
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2. 二次型标量函数
设 x =[ x1, x2, · · · , xn]T，则实二次型标量函数记为：
V(x)=V(x1, x2, · · · , xn)=xTPx
其中，P称为二次型的矩阵(实对称矩阵)
p11 p P 21 pn1 p12 p22 pn 2 p1n p2 n , pnn
f1 1 - x2 x2 f 2 x2 x2 x1 1
x2 1
- x1 0 - 1 - 1 x1 x1 1 1 0 x2 1
其特征值为：1j， 2-j，实部为零，不能应用线性化方法
判断原非线性系统在xe2的稳定性。
x1 f1 ( x1 , x2 ) x1 - x1 x2
在xe2=[1, 1]T处将其线性化有
x2 f 2 ( x1 , x2 ) - x2 x1 x2
x1 x1 x A x 2 2
雅可比矩阵为
f1 x A 1 f 2 x1
欧几里德范数

邻域：点集S(e) 表示以xe为中心，以e为半径的超球体， x∈S(e)表示为 ||x-xe||≤e ，当e很小时，则称S(e)为xe的邻 域 有界自由响应：若状态方程的解F(t; x0, t0)位于球域S(e)内， 便有 ||F(t; x0, t0) - xe|| ≤ e， t ≥ t0 ，表明状态方程由初始 状态引起的自由响应是有界的
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由于实际系统的复杂性和多样性，往往不能直观地
找到一个能量函数来描述系统的能量关系;
于是Lyapunov定义了一个正定的标量函数V(x)，作为 虚构的广义能量函数，用其一阶微分的符号 V ( x) 特征来判断系统的稳定性。
dV ( x ) dt
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一、预备知识
1. 标量函数的符号性质

无零极点对消时，内部稳定性与外部稳定性一致
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[例]分析系统的状态稳定性和输出稳定性
-1 0 1 x= x+ u 0 1 1 y 1 0 x
解：求解特征方程
I - A
1
0
0 ( 1)( - 1) 0 -1
特征值为
平衡状态：状态空间中满足
e f ( xe , t ) 0 t [t0 , ) x
的一个状态。即平衡状态的各分量相对时间不再发生变化。
对于任意系统，不一定存在平衡状态，即使存在也不唯一
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二、李雅普诺夫稳定性定义

状态空间中x0点至xe点之间的距离为：
x0 - xe ( x10 - x1e ) 2 ( x n 0 - x ne ) 2
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一、系统状态的运动及平衡状态
自治系统：系统的齐次状态方程为
f ( x, t ) x(t0 ) x0 t [t0 , ) x
状态轨线：系统的齐次状态方程由初始状态x0引起的状态 运动轨迹，称为系统的运动或状态轨线
x(t ) Φ(t; x0 , t0 ) t [t0 , )