圆周运动加速度的矢量法推导
圆周运动加速度切向加速度方向沿切线方向
vA
vB 2192 km h1
t 3s，r 3.5103 m
vB vA
dv
at
t
dt
0
r an
o
B
a
at
vB
at
vB
vA t
而B点
an
vB2 r
解得：at 23.3 m s2，an 106 m s2
18
讨论
a at2 an2 109 m s2 A
vA
B
arctan at 12.4o
15
例题
例1： 一质点沿半径为1m的圆周运动，
运动方程为 2 3t 3
式中 以弧度计，t以秒计，求：
(1) t=2s时，质点的切向和法向加速度； (2) 当总加速度的方向和切向加速度成
45o角时，其角位移 是多少?
如果给出的运动方程形式是直角坐标系下 的，该如何求解？
16
讨论
例2 一歼击机在高空 A 点A时的水平速率为1 940
v
det dt
切向单位矢量
· lim · Δt 0
Δet Δt
det dt
dθ dt
en
v
v
et
et 2
et1
O enR
法向单位矢量
法向单位矢量
法向加速度
an
vω
ω2R
v2 R
et
et1
et 2
8
圆周运动加速度
at
dv dt
─ 切向加速度 方向沿切线方向，可正可负。
at是引起速度大小改变的加速度。
平面极坐标
平面极坐标系下，任意一点的 坐标由R和θ表示。
平面极坐标系和直角坐标系的关
圆周运动中的加速度公式推导题
圆周运动中的加速度公式推导题1、自然坐标系的定义切向轴：沿轨迹在该点的切向方向单位矢量为e t ;法向轴：沿轨迹的法线并指向曲线凹侧，单位矢量为e n .在自然坐标系中，速度（1）te v v ��=2、加速度公式推导方法1［1］如图2所示，分别为质点在B 点和C 点的速度矢()()t ∆+t v t v ��和量，作出速度的矢量三角形，在矢量上截取一段，使其()t ∆+t v �长度等于v(t),作矢量和n v �∆tv �∆tn v v v ���∆∆∆+=t v lim t v lim tv lima tt n t t ∆∆∆∆∆∆∆∆∆����000→→→+==（2）tt n n t n e a e a a a ����+=+=☆法向加速度：na �如图2所示两个相似三角形，rBCv v n =∆�当时，相等，因此0→∆t s BC ∆和对应的弧长弦长图1�)图2（3）rv t t v t v a t t n t n 2000S lim r v r S lim lim =∆∆=∆∆⋅=∆∆=→∆→∆→∆�的方向：当时，n a �0→∆t v v 0,n��度的方向趋向于垂直于速从而∆→∆θ的方向而指向圆心。
因此的方向在任何时刻都垂直于圆的切线方向而沿着半n a �径而指向圆心，从而称之为法向加速度或向心加速度。
☆切向加速度：ta �（4）dtdvt v t v a t t t t =∆∆=∆∆=→∆→∆00limlim即等于速率的变化率。
线方向。
的方向也沿着轨道的切在同一直线上，从而和方向趋向于和时，由于t t a v v 0t ���∆→∆从而称之为切向加速度。
讨论：①切向加速度表示质点速率变化的快慢。
的方向相反。
的方向与速度这时表示速率随时间减小方向相同。
的的方向与速度这时表示速率随时间增大。
为一代数量，可正可负②v a ,0v a ,0 t t ����<>t t t a a a 方法2［2］☆切向加速度由：t e v v ��=为速率。
加速度是一个描述物体速度变化的物理量
加速度是一个描述物体速度变化的物理量，是矢量——即有大小又有方向，加速度是物理学中的一个物理量，是一个矢量，一般用字母a表示，在国际单位制中的单位为米每二次方秒。
加速度是速度矢量关于时间的变化率，描述速度的方向和大小变化的快慢。
在本页面中会多次用到“质点”这一物理概念。
简单地说，当被研究的运动物体的大小和形状不对实验造成影响或影响很小时，可以把这个物体抽象成一个有质量但不存在大小、形状的点，质点是一个理想化的物理模型。
为了描述物体运动速度变化的快慢这一特征，我们引入加速度这一概念。
名称：加速度（Acceleration ）1.定义：速度的变化量Δv与发生这一变化所用时间Δt的比值。
2.公式：a=Δv/Δt3.单位：m/s^2 （米每平方秒）4.加速度是矢量，既有大小又有方向。
加速度的大小等于单位时间内速度的增加量；加速度的方向与速度变化量ΔV方向始终相同。
特别，在直线运动中，如果速度增加，加速度的方向与速度相同；如果速度减小，加速度的方向与速度相反。
5.物理意义：表示质点速度变化的快慢的物理量。
举例：假如两辆汽车开始静止，均匀地加速后，达到10m/s的速度，A车花了10s，而B车只用了5s。
它们的速度都从0m/s变为10m/s，速度改变了10m/s。
所以它们的速度变化量是一样的。
但是很明显，B 车变化得更快一些。
我们用加速度来描述这个现象：B车的加速度(a=Δv/t，其中的Δv是速度变化量)>加速度计构造的类型A车的加速度。
显然，当速度变化量一样的时候，花时间较少的B车，加速度更大。
也就是说B车的启动性能相对A 车好一些。
因此，加速度是表示速度变化的快慢的物理量。
注意：1.当物体的加速度保持大小和方向不变时，物体就做匀变速运动。
如自由落体运动、平抛运动等。
当物体的加速度方向与初速度方向在同一直线上时，物体就做匀变速直线运动。
如竖直上抛运动。
2.加速度可由速度的变化和时间来计算，但决定加速度的因素是物体所受合力F和物体的质量M。
圆周运动及其描述
o en
et et
即 d et 与P点的切向正交。因此 d et d v en en en dt dt R
角 速 度 的 单位： 弧度/秒(rads-1) ； 角加速度的单位： 弧度/平方秒(rad s-2) 。
讨论：
(1) 角加速度对运动的影响： 等于零，质点作匀速圆周运动； 不等于零但为常数，质点作匀变速圆周运动； 随时间变化，质点作一般的圆周运动。
(2) 质点作匀速或匀变速圆周运动时的角速度、 角位移与角加速度的关系式为
at称切向加速度，其大小表示质点速率变化的快慢； an称法向加速度,其大小反映质点速度方向变化的快慢。 上述加速度表达式对任何平面曲线运动都适用，但式 中半径R 要用曲率半径 代替。
2 d v v 由 a dt e t e n R 2 2 的大小为 a at an a
（2）令a = b ，即
P
a
(v0 bt) (bR)
2
2
R
b
得 t v0 / b （3）当a = b 时，t = v0/b ，由此可求得质点历经
的弧长为
s v0t bt /2
2
v /2b
2 0
s
它与圆周长之比即为圈数：
τ
n o
R
s v n 2R 4Rb
2 0
2 x x0 v0t at / 2 2 2 v v0 2a ( x x0 )
1.3.4角量和线量的关系
圆周运动切向加速度和法向加速度公式
圆周运动切向加速度和法向加速度公式圆周运动是物体在一个固定半径的圆周路径上运动的过程。
在圆周运动中，物体会具有切向加速度和法向加速度。
首先，我们来看一下圆周运动的切向加速度。
切向加速度是物体沿着圆周路径方向的加速度，它与圆周运动的线速度和半径有关。
切向加速度的大小可以用以下公式来计算：a_t = v^2 / r其中，a_t表示切向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
接下来，我们来看一下圆周运动的法向加速度。
法向加速度是物体指向圆心的加速度，它使物体保持在圆周路径上运动。
法向加速度的大小可以用以下公式来计算：a_n = v^2 / r其中，a_n表示法向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
需要注意的是，切向加速度和法向加速度是彼此垂直的两个矢量。
切向加速度的方向与圆周路径的切线方向一致，而法向加速度的方向指向圆心。
圆周运动的切向加速度和法向加速度在物体的速度发生变化时起着重要的作用。
当物体的速度变大时，切向加速度和法向加速度的大小也会增加，使物体的运动更加剧烈。
当物体的速度减小时，切向加速度和法向加速度的大小也会减小，使物体的运动变得平缓。
切向加速度和法向加速度还与物体的质量有关。
根据牛顿第二定律，加速度与力成正比，与物体的质量成反比。
因此，在相同力的作用下，质量较大的物体的切向加速度和法向加速度较小，而质量较小的物体的切向加速度和法向加速度较大。
除了切向加速度和法向加速度，圆周运动还存在着径向加速度。
径向加速度是物体朝向圆心方向的加速度，它与物体的速度和圆周运动的半径有关。
径向加速度可以用以下公式计算：a_r = v^2 / r其中，a_r表示径向加速度，v表示线速度，r表示圆周运动的半径。
圆周运动的切向加速度、法向加速度和径向加速度是描述物体在圆周路径上运动的重要物理量。
它们的存在使得物体能够保持在圆周路径上运动，并且加速或减速，从而形成各种有趣的动态现象。
在实际应用中，对于圆周运动的分析和计算十分重要。
圆周运动切向加速度和法向加速度公式
圆周运动切向加速度和法向加速度公式圆周运动是物体在圆形路径上运动的一种运动形式。
当物体在圆周运动时，其速度和加速度的方向会发生变化，其中切向加速度和法向加速度是描述速度变化的两个重要参数。
切向加速度是指物体在圆周运动中速度方向的变化率，也就是物体在圆周上的切线方向上的加速度。
它的大小可以通过以下公式计算：at = v^2 / r其中，at代表切向加速度，v代表物体的速度，r代表物体所处圆周路径的半径。
根据上述公式可以看出，切向加速度的大小正比于速度平方，反比于半径。
法向加速度是指物体在圆周运动中速度大小的变化率，也就是物体在圆周上的法线方向上的加速度。
它的大小可以通过以下公式计算：an = v^2 / r其中，an代表法向加速度。
切向加速度和法向加速度的方向是不同的。
切向加速度的方向与速度方向相切，指向速度变化的方向；而法向加速度的方向与速度方向垂直，指向圆心。
在圆周运动中，物体的速度不断变化，因此其速度的变化率即加速度也不断变化。
切向加速度和法向加速度的大小和方向都会随着速度的变化而变化。
在实际应用中，切向加速度和法向加速度具有重要意义。
例如，汽车在转弯时，需要通过调节切向加速度和法向加速度来保持行驶在圆周上平衡，否则容易发生侧翻或失控等危险情况。
在机械工程中，设计机械零件的运动轨迹时，也需要考虑到切向加速度和法向加速度对零件的影响，以保证运动的稳定和安全。
总结起来，切向加速度和法向加速度是描述物体在圆周运动中速度变化的重要参数。
它们的大小和方向都与物体的速度、半径和运动轨迹相关。
在实际应用中，切向加速度和法向加速度对于控制物体在圆周运动中的行为和稳定性具有重要意义。
圆周运动中的速度与加速度计算
圆周运动中的速度与加速度计算圆周运动是物体沿着一个圆形轨道运动的过程，它在日常生活和科学研究中都有广泛的应用。
在圆周运动中，速度和加速度是两个重要的物理量，它们对于描述物体的运动状态和变化趋势起着关键作用。
本文将从速度和加速度的概念入手，详细探讨圆周运动中的速度与加速度的计算方法。
一、速度的计算速度是描述物体在单位时间内位移的变化量，它是一个矢量量纲。
在圆周运动中，物体的速度与它所处的位置和时间有关。
我们可以通过以下公式来计算圆周运动中的速度：v = rω其中，v表示速度，r表示物体的半径，ω表示物体的角速度。
在圆周运动中，物体的速度大小等于半径与角速度的乘积。
当物体的角速度增大时，其速度也会相应增大；当物体的半径增大时，其速度也会相应增大。
这说明速度与角速度和半径之间存在着直接的线性关系。
二、加速度的计算加速度是描述物体在单位时间内速度的变化量，也是一个矢量量纲。
在圆周运动中，物体的加速度与它的速度和时间有关。
我们可以通过以下公式来计算圆周运动中的加速度：a = rα其中，a表示加速度，r表示物体的半径，α表示物体的角加速度。
在圆周运动中，物体的加速度大小等于半径与角加速度的乘积。
当物体的角加速度增大时，其加速度也会相应增大；当物体的半径增大时，其加速度也会相应增大。
这说明加速度与角加速度和半径之间存在着直接的线性关系。
三、速度与加速度的关系在圆周运动中，速度和加速度之间存在着一定的关系。
根据速度和加速度的定义，我们可以得到以下公式：a = vω其中，a表示加速度，v表示速度，ω表示角速度。
这个公式说明了加速度与速度和角速度之间的关系。
当物体的速度增大时，其加速度也会相应增大；当物体的角速度增大时，其加速度也会相应增大。
这说明加速度与速度和角速度之间存在着直接的线性关系。
四、实际应用圆周运动的速度与加速度计算在实际应用中有着广泛的应用。
例如，在机械工程中，我们需要计算旋转机械的速度和加速度，以确定其工作状态和性能。
圆周运动公式推导过程
圆周运动公式推导过程匀速圆周运动证明：先把匀速圆周运动的运动轨迹用参数方程表示出来：（圆周运动圆心在坐标系原点）\begin{equation} \left\{ \begin{aligned}x(t)&=r\cos\theta \\ y(t)&=r\sin\theta \\ \end{aligned} \right. \end{equation}其中角度 \theta 为线性变化， \omega=\frac{\theta}{t}为常数，将此关系式代入参数方程求其质点运动速度，对参数方程求对时间的导数：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} v_x(t)&=-ωr\sinωt \\ v_y(t)&=ωr\cosωt \\ \end{aligned}\right. \end{equation}求其加速度，同理：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_x(t)&=-ω^2r\cosωt \\ a_y(t)&=-ω^2r\sinωt \\ \end{aligned} \right. \end{equation}那么匀速圆周运动的加速度就出来了：a_n=\sqrt{a_{x}^2+a_{y}^2}=ω^2r=\frac{v^2}{r}\rightarrowf_n=mω^2r=m\frac{v^2}{r}可以证明变速圆周运动也满足上式变速圆周运动证明：继续使用参数方程的方法证明，仅仅增加复合函数求导（链式法则）和乘法求导的内容先把变速圆周运动的运动轨迹用参数方程的形式表示出来：\begin{equation} \left\{\begin{aligned}x(t)&=r\cos[θ(t)]\\ y(t)&=r\sin[θ(t)]\\ \end{aligned} \right. \end{equation}（注意：这是复合函数的形式）写成质点位置矢量的坐标形式：\vec{r(t)}=\{x(t),y(t)\} ，模长为 r不同于匀速圆周运动，现在需要对非线性变化的角度\theta(t) 求时间的导数，因此角速度 \omega(t) 现在为变量，需要增加一个瞬时角速度定义ω(t)=\lim_{δt→0}{\frac{δθ}{δt}=\frac{\mathrm{d}θ}{\mathrm{d}t}}=\theta'(t) ，即对角度求时间的导数等于瞬时角速度对参数方程求时间的导数：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} v_x(t)&=-rω(t)\sin[θ(t)] \\ v_y(t)&=rω(t)\cos[θ(t)] \\\end{aligned} \right. \end{equation}写成速度矢量的坐标形式：\vec{v(t)}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\{v_{ x}(t),v_{y}(t)\} ，模长为 v(t)=r\omega(t)（由曲线运动的性质可知，速度总是沿着曲线的切线方向）继续对时间继续导数，出现了要对角速度求导数，增加了一个角加速度定义\alpha(t)=\lim_{δt→0}{\frac{δ\omega}{δt}}=\frac{\m athrm{d}\omega}{\mathrm{d}t}=\omega'(t) ，即角速度对时间的导数等于角加速度求导可得变速运动的合加速度分量表达式：\begin{equation} \left\{ \begin{aligned} a_x(t)&=-(rα(t)\sin[θ(t)]+rω^2(t)\cos[θ(t)]) \\ a_y(t)&=rα(t)\cos[θ(t)]-rω^2(t)\sin[θ(t)] \\ \end{aligned} \right. \end{equation}写成矢量的坐标形式：\vec{a(t)}=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}=\{a_{ x}(t),a_{y}(t)\}最后一步，要将合加速度向垂直于速度方向和半径方向进行分解才能分别得到切向加速度和法向加速度，可以利用矢量（向量）标量积（数量积）的几何意义，将加速度向两个互相垂直的单位矢量进行投影，可得：切向加速度：（数值）\begin{equation} \begin{aligned} a_{τ} &=\vec{a}·\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}\\&=a_{x}\frac{v_{x}}{v}+a_{y}\frac{v_{y}}{v}\\ &=-a_{x}\sin(\theta)+a_{y}\cos(\theta)\\ &=\alpha(t) r\\ \end{aligned} \end{equation}法向加速度：（数值）\begin{equation} \begin{aligned} a_{n} &=\vec{a}·\frac{\vec{r}}{|\vec{r}|}\\&=a_{x}\frac{x_{x}}{r}+a_{y}\frac{x_{y}}{r}\\&=a_{x}\cos(\theta)+a_{y}\sin(\theta)\\ &=-\omega^2(t) r\\ \end{aligned} \end{equation}（出现负号代表法向加速度方向与位置矢量方向相反，指向圆心）至此可以看出和匀变速圆周运动下的公式相同再补一个用矢量微积分来证明的方法：利用矢量叉乘求导公式：\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{a}×\vec{b})=\frac{\mathrm{d}\vec{a}}{\mathrm{d}t}×\vec{b}+\vec{a}×\frac{\mathrm{d}\vec{b}}{\mathrm{d}t}\vec{a}×(\vec{b}× \vec{c})=\vec{b}(\vec{a} ·\vec{c})-\vec{c}(\vec{a} ·\vec{b}) ，可以简单的记成back-cab原则在圆周运动中： \vec{v}= \vec{ω}×\vec{r} ，\vec{ω}·\vec{r}=\vec{r}·\vec{ω} =0下面开始证明：\begin{equation} \begin{aligned}\vec{a}&=\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}\\&=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\vec{ω}×\vec{r}) \\&=\frac{\mathrm{d}\vec{ω}}{\mathrm{d}t}×\vec{r}+ \vec{ω}×\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}\\&=\vec{α}×\vec{r}+\vec{ω}×\vec{v}\\&=\vec{a_{τ}}+\vec{a_{n}} \end{aligned}\end{equation}可得：切向加速度：\vec{a_{τ}}= \vec{α}×\vec{r}\begin{equation} \begin{aligned} 法向加速度：\vec{a_{n}}&= \vec{ω}×\vec{v} \\&=\vec{ω}×(\vec{ω}×\vec{r}) \\&=\vec{ω}(\vec{ω} ·\vec{r})-\vec{r}(\vec{ω} ·\vec{ω}) \\&=-ω^2\vec{r} \end{aligned} \end{equation}。
03运动学圆周运动 (自然坐标系、角速度、角加速度、切向加速度、法向加速度)
平均角加速度 t
t 0
瞬时角加速度 lim d
t dt
(SI)单位：rad/s2 角速度与角加速度都是矢量，角速度的方向由右手定 则确定。（规定用右手螺旋定则来判定：四指方向为 绕向，大拇指方向为角速度方向！！ ） α与ω同向。质点作加速圆周运动。
α与ω方向相反。质点作减速圆周运动。
Y
r
r =R
θ确定后：x=Rcosθ y=Rsinθ θ 单位 rad 弧度
t
θ=θ(t)
X
定义：角位置
角位移△θ=θ（t+ △t) -θ(t) 平均角速度 瞬时角速度 (SI)单位：rad/s 弧度/秒 工程单位 rev/min(转/分）
d lim t 0 t dt
9
4 平面运动的极坐标表示：
r
0
e
p
er
在 平面内取一个定点O， 叫极点，引一条射 线Ox，叫做极轴，再选定一个长度单位和角 度的正方向（通常取逆时针方向）。对于平面 内任何一点M，用r表示线段OM的长度，θ表 示从Ox到OM的角度，r叫做点M的极径，θ叫 做点M的极角，有序数对 (r,θ)就叫点M的极坐 标，这样建立的坐标系叫做极坐标系。
解法：用积分或求解微分方程的方法求解。
x x0 vdt
t0
t
v v0 adt
t0
t
12
an=gcos γ =gV x/V=9.13m/s2
aτ=gcosβ=gVy/V=3.53m/s2
ρ=V2/an=25.03m
11
5 质点运动学小结： 1、描述运动的物理量 ：t、Δt、r、Δr、v、a 、 s dv dr 加速度： a 2、定义：速度 v dt dt 对一维的情况：v=dx/dt a=dv/dt 3、质点运动学的两类问题： 1）已知运动方程，求速度、加速度。 解法：用求导数的方法解决。 2）已知速度（或加速度）及初始条件求运动方程。
加速度的三个公式
加速度的三个公式在日常生活中，我们经常听到加速度这个概念，但是对于加速度的具体含义以及计算方法却并不是很清楚。
实际上，加速度是描述物体在单位时间内速度变化的量，是一个矢量，方向与速度变化的方向一致。
在物理学中，加速度有三种常见的计算方式，分别是匀变速度运动的加速度、自由落体运动的加速度以及圆周运动的加速度。
首先，我们来看匀变速度运动的加速度。
在匀变速度运动中，物体的速度随着时间呈等加速度变化。
加速度的计算公式为a=(v-u)/t，其中a为加速度，v为末速度，u为初速度，t为时间。
这个公式的推导过程比较简单，通过速度-时间图像的斜率可以得到加速度的数值。
在日常生活中，我们常常可以通过这个公式来计算汽车的加速度，或者是运动员的加速度等。
其次，自由落体运动是一个经常出现在物理学中的现象。
在自由落体运动中，物体受到重力的作用，加速度大小为9.8m/s²，方向向下。
自由落体运动的加速度可以通过简单的运动学公式来计算，即a=g，其中g为重力加速度的大小。
在地球表面的自由落体运动中，加速度是一个恒定的值。
这个公式的应用范围比较广泛，例如我们可以通过这个公式来计算自由落体运动物体的速度、高度等。
最后，圆周运动的加速度也是一个常见的物理概念。
在圆周运动中，物体不仅有速度的变化，还有速度的方向发生变化，因此物体会有向心加速度。
向心加速度的计算公式为a=v²/r，其中a为向心加速度，v为速度，r为半径。
在圆周运动中，向心加速度的大小和速度的平方成正比，与半径的倒数成反比。
通过向心加速度的计算，我们可以得到物体在圆周运动中所受到的合力大小。
这个公式的应用在航天领域、机械制造等领域都非常普遍。
综上所述，加速度是物理学中一个非常重要的概念，它可以描述物体在运动过程中速度的变化情况。
在不同的运动情况下，加速度的计算方法也有所不同。
通过掌握加速度的三个常见公式，我们可以更好地理解物体运动的规律，为解决实际问题提供便利。
力学中的圆周运动加速度与角速度
力学中的圆周运动加速度与角速度圆周运动是物体绕一个固定轴线旋转的运动，它在力学中起着重要的作用。
在圆周运动中，加速度和角速度是两个重要的物理量，它们对于解释物体在圆周运动中的行为和特性十分关键。
一、圆周运动的基本概念圆周运动是指物体在一条固定轴线周围进行的旋转运动。
在圆周运动中，物体的轨迹是一个圆，轨迹上的每个点都有相同的角位移，即物体绕轴线旋转一周的角度是一定的。
而物体沿轨迹运动的速度方向则不断变化，这就引出了加速度和角速度的概念。
二、圆周运动的加速度在圆周运动中，物体在任意一点的运动都具有加速度。
加速度的大小和方向与物体在轨迹上的变速率和速度方向的变化有关。
1. 切向加速度切向加速度是物体在圆周运动中速度方向变化所引起的加速度。
它的大小与角速度的大小成正比。
2. 向心加速度向心加速度是物体在圆周运动中朝向轴心的加速度。
它的大小与物体离轴心的距离成反比。
3. 总加速度总加速度是切向加速度和向心加速度的矢量和，它的大小决定了物体在圆周运动中的总体加速度。
总加速度的方向与切向加速度和向心加速度的方向有关。
三、圆周运动的角速度角速度是描述圆周运动中角度变化速率的物理量。
在圆周运动中，角速度与物体的角位移之间存在以下关系：角速度=角位移/时间1. 弧度制在圆周运动中，角位移通常使用弧度制来表示。
弧度制是一种以圆的半径长为单位来度量角度的方法。
2. 角速度的方向角速度的方向由圆周运动的方向和选择的轴线方向决定。
通常选取顺时针为正方向或逆时针为正方向。
四、加速度与角速度之间的关系在圆周运动中，加速度与角速度之间存在着重要的关系。
1. 向心加速度与角速度的关系向心加速度与角速度的平方成正比，且与物体离轴心的距离成反比。
2. 总加速度与角速度的关系总加速度的大小与角速度的平方成正比。
结论：在力学中，圆周运动是一种重要的运动形式。
加速度和角速度是解释圆周运动特性的关键物理量。
加速度分为切向加速度和向心加速度，而角速度则描述了圆周运动中角度变化的速率。
2023年新教材高中物理向心加速度讲义新人教版必修第二册
3．向心加速度(1)知道向心加速度的概念．(2)会用矢量图表示速度变化量与速度间的关系．(3)能运用数学方法，结合加速度定义式推导向心加速度的公式．一、匀速圆周运动的加速度方向1．定义：物体做匀速圆周运动时的加速度总指向圆心，把它叫作向心加速度(centripetal acceleration)．2．方向：向心加速度的方向沿半径指向圆心，即向心加速度的方向与速度方向垂直． 导学：向心加速度与周期、转速、线速度、角速度关系的推导 由线速度与周期的关系v ＝2πππ代入a ＝π2π得a ＝4π2π2r ．由T ＝1π(n 取r/s)代入a ＝4π2ππ2得a ＝4π2n 2r ． 由v ＝ωr 代入a ＝π2π得a ＝π2π＝v ·ππ＝ωv ．二、匀速圆周运动的加速度大小1．推导：向心加速度与向心力的关系符合牛顿第二定律，则有：F n ＝ma n ＝m π2π＝mω2r ． 2．向心加速度公式：a n ＝________＝________．3．作用效果：只改变线速度的方向，不改变线速度的大小． 拓展：速度变化量的矢量图从同一点作出v A 和v B 的矢量，从v A 末端指向v B 末端的矢量，即Δv知识点一 向心加速度的方向及意义导学探究(1)图甲中的小球与图乙中的运动员正在做匀速圆周运动，是否具有加速度？(2)做匀速圆周运动的加速度方向如何确定？你的依据是什么？探究总结1．向心加速度的方向特点：(1)指向圆心：无论匀速圆周运动，还是变速圆周运动，向心加速度的方向都指向圆心，或者说与线速度的方向垂直．(2)时刻改变：无论向心加速度的大小是否变化，向心加速度的方向随线速度方向的改变而改变．所以一切圆周运动都是变加速曲线运动．2．匀速圆周运动中的“变”与“不变”：(1)“不变”量：匀速圆周运动的角速度、周期、转速不变；线速度、加速度这两个矢量的大小不变．(2)“变化”量：匀速圆周运动的线速度、加速度这两个矢量的方向时刻改变．3．物理意义：向心加速度描述圆周运动中线速度改变的快慢．典例示范【例1】下列关于向心加速度的说法中正确的是( )A．向心加速度表示做圆周运动的物体速率改变的快慢B．匀速圆周运动的向心加速度是不变的C．匀速圆周运动的向心加速度大小不变D．只要是圆周运动，其加速度都是不变的练1 荡秋千是儿童喜爱的一项体育运动，如图所示，当秋千荡到最高点时，小孩的加速度方向是图中的( )A．a方向B．b方向C．c方向D．d方向练2 (多选)关于匀速圆周运动和向心加速度，下列说法正确的是( )A．匀速圆周运动的速度大小保持不变，所以做匀速圆周运动的物体没有加速度B．做匀速圆周运动的物体，虽然速度大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度C．做匀速圆周运动的物体，向心加速度的大小保持不变，所以是匀变速曲线运动D．匀速圆周运动的向心加速度大小虽然不变，但方向始终指向圆心，时刻发生变化，所以匀速圆周运动不是匀变速运动知识点二向心加速度公式的理解与应用探究总结1．向心加速度公式，②a n＝ω2r．(1)基本公式：①a n＝π2πr，②a n＝4π2n2r．(2)拓展公式：①a n＝4π2π22．对向心加速度大小与半径关系的理解(1)当r一定时，a n∝v2，a n∝ω2．．(2)当v一定时，a n∝1π(3)当ω一定时，a n∝r．3．向心加速度与半径的关系：典例示范题型一对向心加速度公式的理解【例2】(多选)如图所示为甲、乙两球在不同轨道上做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图像，由图像可知( )A．甲球运动时，线速度大小保持不变B．甲球运动时，角速度大小保持不变C．乙球运动时，线速度大小保持不变D．乙球运动时，角速度大小保持不变题型二向心加速度公式的应用【例3】飞机在做俯冲拉起运动时，可以看成是做圆周运动，如图所示，若在最低点附近做半径为R＝240 m的圆周运动，飞行员的质量m＝60 kg，飞机经过最低点P时的速度为v＝360 km/h，试计算：(1)此时飞机的向心加速度a的大小；(2)此时飞行员对座椅的压力F N是多大．(g取10 m/s2)题型三传动装置中向心加速度的分析【例4】如图所示，两轮用皮带传动，皮带不打滑．图中有A、B、C三点，这三点所在处半径关系为r A>r B＝r C，则这三点的向心加速度a A、a B、a C之间的关系是( )A．a A＝a B＝a C B．a C>a A>a BC．a C<a A<a B D．a C＝a B>a A思维方法：分析此类问题要“看”“找”“选”练3 如图所示为两级皮带传动装置，转动时皮带均不打滑，中间两个轮子是固定在一起的，轮1的半径和轮2的半径相同，轮3的半径和轮4的半径相同，且为轮1和轮2半径的一半，则轮1边缘的a点和轮4边缘的c点相比( )A．线速度之比为1∶4B．角速度之比为4∶1C．向心加速度之比为8∶1D．向心加速度之比为1∶8练4 A、B两艘快艇在湖面上做匀速圆周运动(如图)，在相同时间内，它们通过的路程之比是4∶3，运动方向改变的角度之比是3∶2，则它们( )A．线速度大小之比为4∶3B．角速度大小之比为3∶4C．圆周运动的半径之比为2∶1D．向心加速度大小之比为1∶21．下列关于向心加速度的说法中正确的是( )A．向心加速度越大，物体速率变化越快B．向心加速度的大小与轨道半径成反比C．向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直D．在匀速圆周运动中向心加速度是恒量2．转篮球是一项需要技巧的活动，如图所示，让篮球在指尖上匀速转动，指尖刚好静止在篮球球心的正下方．下列判断正确的是( )A．篮球上的各点做圆周运动的圆心均在指尖与篮球的接触处B．篮球上各点的向心力是由手指提供的C．篮球上各点做圆周运动的角速度相等D．篮球上各点离转轴越近，做圆周运动的向心加速度越大3．如图所示，一个凹形桥模拟器固定在水平地面上，其凹形轨道是半径为0.4 m的半圆，且在半圆最低点装有一个压力传感器(图中未画出)．一质量为0.4 kg的玩具小车经过凹形轨道最低点时，传感器的示数为8 N，则此时小车的(g取10 m/s2)( )A．速度大小为1 m/sB．速度大小为4 m/sC．向心加速度大小为10 m/s2D．向心加速度大小为20 m/s24．如图所示，甲、乙、丙、丁四个可视为质点的小物体放置在匀速转动的水平转盘上，与转轴的距离分别为4r、2r、2r、r，甲、丙位于转盘的边缘处，两转盘边缘接触，靠摩擦传递动力，转盘与转盘之间、物体与盘面之间均未发生相对滑动，则向心加速度最大的是( )A．甲B．乙C．丙D．丁5．如图所示，自行车的小齿轮A、大齿轮B、后轮C是相互关联的三个转动部分，且半径R B＝4R A、R C＝8R A．当自行车正常骑行时，A、B、C三轮边缘的向心加速度的大小之比a A∶a B∶a C等于( )A．1∶1∶8B．4∶1∶4C．4∶1∶32D．1∶2∶43．向心加速度预习填空二、2．π2πw2r知识点精讲知识点一提示：(1)小球与运动员都具有加速度．(2)做匀速圆周运动的物体加速度方向与合力方向相同，依据是牛顿第二定律．【例1】【解析】圆周运动有两种情形：一是匀速圆周运动，二是非匀速圆周运动．在匀速圆周运动中，加速度的方向指向圆心，叫向心加速度，其大小不变，方向时刻改变；非匀速圆周运动中加速度可以分解为向心加速度和切向加速度，向心加速度改变线速度的方向，切向加速度改变线速度的大小．故选项C正确．【答案】 C练 1 解析：当秋千荡到最高点时，小孩的速度为零，沿半径方向的向心加速度为零，加速度方向沿圆弧的切线方向，即图中的b方向，B正确．答案：B练2 解析：做匀速圆周运动的物体，速度的大小不变，但方向时刻在变，所以必有加速度，且向心加速度大小不变，方向时刻指向圆心，向心加速度不恒定，因此匀速圆周运动不是匀变速运动，故A、C错误，B、D正确．答案：BD知识点二【例2】 【解析】 A 对，B 错：由a ＝π2π知，v 不变时，a 与R 成反比，图像为双曲线的一支．C 错，D 对：由a ＝ω2R 知，ω不变时，a 与R 成正比，图像为过原点的倾斜直线．【答案】 AD【例3】 【解析】 (1)v ＝360 km/h ＝100 m/s 则a ＝π2π＝1002240 m/s 2＝1253 m/s 2．(2)对飞行员进行受力分析，则飞行员在最低点受重力和座椅的支持力，向心力由二力的合力提供．所以F N －mg ＝ma 得F N ＝mg ＋ma代入数据得F N ＝3 100 N根据牛顿第三定律可知，飞行员对座椅的压力大小也为3 100 N ． 【答案】 (1)1253m/s 2(2)3 100 N【例4】 【解析】 A 、B 两点通过同一条皮带传动，线速度大小相等，即v A ＝v B ，由于r A >r B ，根据a ＝v 2r 可知a A <a B ；A 、C 两点绕同一转轴转动，有ωA ＝ωC ，由于r A >r C ，根据a＝ω2r 可知a C <a A ，所以a C <a A <a B ，故选项C 正确，A 、B 、D 错误．【答案】 C练3 解析：A 错：由题意知v a ＝v 3，v 2＝v c ，又轮2与轮3同轴传动，角速度相同，v 2＝2v 3，所以v a ∶v c ＝1∶2．B 错：角速度之比为ππππ＝ππππ∶ππππ＝14．C 错，D 对：设轮4的半径为r ，则a a ＝ππ2ππ＝(0.5v c )22r＝ππ28π＝18a c ，即a a ∶a c ＝1∶8．答案：D练4 解析：由圆周运动公式有，通过的路程s ＝Rθ＝vt ，转过的角度θ＝ωt ，已知在相同的时间内，通过的路程之比是4∶3，转过的角度之比是3∶2，则A 、B 的线速度大小之比是4∶3，角速度大小之比是3∶2，则选项A 正确，B 错误；由R ＝s θ，得半径之比为ππππ＝ππππ·ππππ＝43×23＝8∶9，由向心加速度a ＝ω2R ，得向心加速度大小之比为ππππ＝ωA2ωB2·R A R B ＝3222×89＝2∶1，选项C 、D 错误．答案：A随堂练习1．解析：A错：在匀速圆周运动中，速率不变．B错：向心加速度的大小可用a n＝π2π或a n＝ω2r表示，当v一定时，a n与r成反比；当ω一定时，a n与r成正比．可见a n与r的比例关系是有条件的．C对：向心加速度的方向始终与线速度的方向垂直．D错：在匀速圆周运动中，向心加速度的大小恒定，但方向始终指向圆心，即其方向时刻变化，所以向心加速度不是恒量．答案：C2．解析：A错：篮球上的各点做圆周运动的圆心在篮球的轴线上，类似于地球的自转轴．B错：手指并没有与篮球上别的点接触，不可能提供所有点的向心力．C对：篮球上各点做圆周运动的周期相等，角速度相等．D错：篮球上各点离转轴越近，由a＝rω2可知，做圆周运动的向心加速度越小．答案：C3．解析：当小车经过最低点时，受到的支持力与重力的合力提供向心力，则F N－mg＝mπ2π，代入数据得v＝2 m/s，向心加速度a n＝π2π＝10 m/s2．答案：C4．解析：先根据a n＝ω2r分析同一转盘上两物体的向心加速度关系，再根据a n＝π2π分析不同转盘上两物体的向心加速度关系．所以选项C正确．答案：C5．解析：A、B的线速度大小相等，R A∶R B＝1∶4，根据a＝π2π知，a A∶a B＝4∶1．A、C 的角速度大小相等，R A∶R C＝1∶8，根据a＝ω2r知，a A∶a C＝1∶8，所以a A∶a B∶a C＝4∶1∶32．答案：C。
谈谈动量定理的矢量性及其在圆周运动中的应用
谈谈动量定理的矢量性及其在圆周运动中的
应用
动量定理是物理学中著名的矢量公式，表示物体的运动机理。
它的核心思想是：只有力的外作用，物体的动量才会发生变化；而保持物体动量不变则需要实施力外力的代数和为0。
在这一
点上，动量定理特别强调了矢量量的特性：即力和动量都是矢量量，需要满足矢量加法定律。
圆周运动也是一种特殊的运动状态，因而也可以应用动量定理来描述其运动机理。
圆周运行的物体具有角动量，在动量定理的基础上，力的外力和角动量之和仍保持不变，其判据可以推导出物体的运动轨迹是一个圆环，这cpu就是构成圆周的重要理论。
举个例子，一个紧贴地面的钢球在水平面上旋转，力的外力和角动量之和为0，因此物体在水平平面上沿圆环旋转。
另外，动量定理在圆周运动中可以求出物体保持不变运动时所需要的力，即物体所受的外力。
从而，可以获取物体在空气阻力或其他因素起作用下，所受外力大小和方向，以此来推断物体在圆周运动中的运动轨迹，也是一种解决物体运动中常用的方法之一。
综上所述，动量定理的矢量性在圆周运动中表现的是：动量的改变必须由外力的矢量和才能实现，并且力外力的矢量和为零
时，物体才能保持不变的圆周运动轨迹。
由此可见，动量定理的矢量性在圆周运动中起着十分重要的作用。
圆周运动矢量表达式
圆周运动矢量表达式圆周运动是物体在固定圆周路径上做匀速运动的一种运动形式。
在描述圆周运动时，我们可以使用矢量表达式来表示物体的位移、速度和加速度。
本文将详细介绍圆周运动矢量表达式的相关内容。
一、位移矢量表达式位移是物体在圆周运动中位置发生变化的量。
对于圆周运动，位移可以用矢量来表示。
假设物体从初始位置A沿着圆周路径运动到位置B，位移矢量Δr可以表示为从A指向B的矢量。
位移矢量的大小等于物体在圆周路径上走过的弧长，方向沿切线方向。
二、速度矢量表达式速度是物体在单位时间内位移的大小。
对于圆周运动，速度的大小可以表示为物体在圆周路径上走过的弧长与所用时间的比值。
但是速度的方向一直垂直于切线方向，即速度矢量的方向与位移矢量的方向垂直。
为了表示速度的矢量特性，我们引入一个新的物理量，称为角速度ω。
角速度的大小等于物体在单位时间内所转过的角度。
角速度的方向沿着圆周的法向量方向。
根据角速度的定义，速度矢量v可以表示为v = ω × r，其中r为物体到圆心的距离。
三、加速度矢量表达式加速度是物体在单位时间内速度的变化率。
对于圆周运动，加速度包括两个分量：切向加速度和径向加速度。
切向加速度的方向与速度矢量的方向一致，大小等于速度大小的变化率。
切向加速度的矢量表达式可以表示为a_t = dv/dt，其中a_t 为切向加速度。
径向加速度的方向指向圆心，大小等于速度大小的平方与半径的比值。
径向加速度的矢量表达式可以表示为a_r = v^2 / r，其中a_r 为径向加速度。
综合切向加速度和径向加速度，我们可以得到物体的总加速度a = a_t + a_r。
总加速度的方向既有切向分量的方向，又有径向分量的方向。
四、圆周运动矢量表达式的应用圆周运动矢量表达式在物理学中有着广泛的应用。
例如，在工程领域中，我们可以利用圆周运动矢量表达式来计算机械零件的运动轨迹和力学特性。
在天文学中，我们可以利用圆周运动矢量表达式来研究行星的运动和星系的结构。
匀速圆周运动向心加速度公式推导
匀速圆周运动向心加速度公式推导本文将推导匀速圆周运动的向心加速度公式，涉及的数学知识有矢量加减法和余弦定理。
其实推导过程中涉及的知识完全在高中生的能力范围之内。
1. 模型说明假设一质点在做匀速圆周运动，其速率为 v ，速度为\vec{v} 。
经过一个极短的时间 \Delta t 后，物体走过一个极小的角度 \Delta \theta ，速度变为\vec{v}+\Delta\vec{v} 。
如图所示。
结合上述说明，我们将根据加速度的定义\vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} 来分别推导向心加速度的方向和大小。
2. 向心加速度的方向推导根据 \vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} 可知，加速度的方向应与 \Delta\vec{v} 方向一致。
为了更清楚地看出\Delta\vec{v} 的方向，我们将 \vec{v} 和\vec{v}+\Delta\vec{v} 平移至同一起点：由于物体做匀速圆周运动，故有 \left|\vec{v}\right|=\left|\vec{v}+\Delta\vec{v}\right|=v ，即 \vec{v},\; \vec{v}+\Delta{\vec{v}},\;\Delta\vec{v} 构成一个等腰三角形。
又根据图中的几何关系可得， \Delta\vec{v} 的对角亦为 \Delta\theta 。
注意 \Delta\theta 是物体在 \Delta t 时间内转过的角度，当 \Delta t 趋近于零时，\Delta\theta 亦趋近于零，此时 \Delta\vec{v} 的方向将与\vec{v} 垂直，而加速度\vec{a}=\frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t} 的方向也与\vec{v} 垂直。
也就是说，物体做匀速圆周运动时，加速度方向与速度方向垂直，指向圆心。
圆周运动时的质点加速度
圆周运动时的质点加速度当一个物体在圆周运动时，我们知道它会受到一个向心力的作用。
而为了保持物体沿着圆周运动，还需要物体具有向心加速度。
本文将讨论圆周运动时的质点加速度以及它的一些重要性质。
1. 加速度的定义与计算在物理学中，加速度是指物体运动的速度变化率。
对于圆周运动，我们可以通过角速度和半径来计算加速度。
对于一个质点在圆周运动中的加速度a，可以使用以下公式计算：a = rω²其中，r为质点到圆心的距离（半径），ω为质点的角速度。
2. 向心力与向心加速度在圆周运动中，物体受到来自圆心的向心力的作用。
向心力的大小与质点的质量、运动速度以及半径有关。
向心力可以通过以下公式计算：F = mω²r其中，F为向心力，m为质点的质量，r为质点到圆心的距离（半径），ω为质点的角速度。
根据牛顿第二定律，质点的加速度与通过力产生的加速度成正比。
由于向心力是物体在圆周运动中产生的唯一力，质点的加速度即为向心加速度。
因此，通过上述公式可以得到圆周运动时质点的向心加速度与向心力之间的关系：a = F/m = ω²r3. 重力与圆周运动的复合运动在一些实际的情况下，质点的圆周运动可能会与其他运动如重力的影响相互叠加。
这样的情况下，质点的运动轨迹将不再是一个简单的圆形，而更接近于椭圆形或者其他形状。
对于圆周运动和重力的复合运动，我们可以使用位矢和向心力的概念来分析。
质点的位置可以表示为从参考点到质点的矢量，称为位矢。
而向心力和重力可以合力为一个合外力。
通过使用合外力和质点的质量，我们可以计算出合外力对质点的加速度。
类似地，通过计算合外力与质点质量之比得出质点的加速度。
4. 加速度的性质在圆周运动中，质点的加速度具有以下一些性质：（1）加速度的大小与角速度的平方成正比。
加速度的大小与角速度的平方成正比，即a∝ω²。
这意味着当角速度增加时，加速度也会增加。
（2）加速度的方向与向心力方向相同。
匀加速圆周运动切向加速度和法向加速度
匀加速圆周运动切向加速度和法向加速度匀加速圆周运动是物体在做圆周运动时线速度变化的过程。
在匀加速圆周运动中，物体运动的轨迹是一个圆。
而在圆周运动中，物体所受的加速度可以分解为切向加速度和法向加速度两个分量。
首先，我们来介绍切向加速度。
切向加速度是物体在圆周运动中沿切线方向的加速度。
在匀加速圆周运动中，物体的切向加速度的大小可以通过下面的公式计算：a_t = R * α其中，a_t表示切向加速度，R表示物体所处圆周运动的半径，α表示物体的角加速度。
从上面的公式可以看出，切向加速度的大小与半径和角加速度的乘积成正比。
接下来，我们来介绍法向加速度。
法向加速度是物体在圆周运动中指向圆心的加速度。
在匀加速圆周运动中，物体的法向加速度的大小可以通过下面的公式计算：a_n = v^2 / R其中，a_n表示法向加速度，v表示物体的线速度，R表示物体所处圆周运动的半径。
从上面的公式可以看出，法向加速度的大小与线速度的平方与半径的比值成正比。
需要注意的是，在匀加速圆周运动中，切向加速度和法向加速度是相互独立的，它们分别负责改变物体在切线方向和法向的运动状态。
匀加速圆周运动中的切向加速度和法向加速度对物体的运动具有重要影响。
切向加速度决定了物体的速度变化率，它使得物体在沿切线方向上不断加速或减速。
而法向加速度决定了物体的轨迹曲率变化率，它使得物体在做圆周运动时具有一个向心力。
在匀加速圆周运动中，物体所受的合加速度可以通过向量合成来得到。
合加速度的大小等于切向加速度和法向加速度两个分量的矢量和的模。
方向则与切向加速度和法向加速度两个分量的矢量和的方向相同。
总结起来，匀加速圆周运动中的切向加速度和法向加速度分别负责改变物体在切线方向和法向的运动状态，它们的大小与物体的运动状态以及圆周运动的半径有关。
了解切向加速度和法向加速度对于理解物体在匀加速圆周运动中的运动规律是非常重要的。
加速度方向的判断方法
加速度方向的判断方法
加速度是物体在单位时间内速度改变的量。
它包括大小和方向两个方面。
判断加速度方向的方法有以下几种：
1.物体在直线运动中加速度方向判断：
-当物体的速度增大时，加速度的方向与速度方向相同；
-当物体的速度减小时，加速度的方向与速度方向相反。
2.物体在圆周运动中加速度方向判断：
-当物体做匀速圆周运动时，加速度的方向指向圆心；
-当物体做非匀速圆周运动时，加速度的方向既有径向分量，也有切
向分量。
它们的合力与速度方向不一致。
3.通过速度-时间图判断加速度方向：
-在速度-时间图中，加速度的方向可以通过速度曲线的变化率来判断。
如果速度曲线上升越来越陡，则加速度方向为正；如果速度曲线下降越来
越陡，则加速度方向为负。
4.刚体运动中的判断：
-对于刚体的平动运动和转动运动，加速度方向的判断需要考虑物体
的自由度和受力情况。
-对于平动运动而言，物体上各个部分的加速度方向都相同，取决于
合外力的方向；
-对于转动运动而言，物体上不同部分的加速度方向有可能不同，取决于合力矩和物体的惯性矩。
需要注意的是，以上方法都是基于经验和运动定律的推导得出的。
在具体问题中，还需要结合具体的物理模型和实验结果进行分析，以得到准确的加速度方向。
另外，通过使用物理学中的数学工具如矢量、向量、微积分等，可以更准确地描述和计算加速度的方向。
这些方法包括矢量分析、速度矢量和加速度矢量的瞬时关系等。
但这些方法需要具备一定的数学基础和物理知识支持。
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圆周运动加速度的矢量法推导
作者：董雯雯李江林
来源：《新教育时代·教师版》2016年第23期
摘要：对圆周运动的加速度进行推导，以期帮助广大学生对此有深入的理解。
关键词：圆周运动；加速度
一、加速度的概念
瞬时速度的引入是为了精细地反映物体的运动情况，而为了描述速度变化的快慢和方向，物理学中提出了加速度的概念。
设某物体在 t时刻的速度为 v
2.非匀速圆周运动
小球沿圆周做非匀速运动，顾名思义即速度的大小发生变化且速度的方向也发生变化，可以做出非匀速圆周运动的速度矢量图，如图 2。
三、结论
文章对圆周运动从匀速圆周运动和非匀速圆周运动的加速度进行推导。
对匀速圆周运动通过矢量分析，得出向心加速度的大小与运动速率有关，方向始终指向圆心。
对非匀速圆周运动，主要运用极限思想和数学思想，得出非匀速圆周运动的加速度是由切向加速度和法向加速度合成，切向加速度反映速度大小改变的快慢，而法向加速度表示速度方向改变的快慢。