1关于小波基函数选择的相关研究

小波基函数的选择

1011208041 材料学院冯梦楠

多分辨率分析方法使小波分析成为一种实用的信号分析工具。同传统的Fourier 变换相比，理论上来说小波变换可以刻画信号的任意细节，但在实际应用中，信号分析的好坏很大程度上依赖小波基波的选择。因为与Fourier变换不同，小波基不具有惟一性，它是不规则的，不同的小波基波波形差别很大，其支撑长度和规则性也有很大的差别。因此，对同一个信号选用不同的小波基进行处理所得的结果往往不尽相同。同时，小波变换又是一种在基波可变的情形下其尺度仍可变的信号分析方法，它可在不同尺度下对信号进行分析处理。因此这也意味着即使小波基选定，如尺度选择不当，对信号分析的效果仍然会有一定的影响。因此，最优小波基函数的选择就成为了小波分析在工程应用中的一个重要问题。

小波基函数的选择是一个重要而复杂的问题，它受到测不准原理、小波基函数的性质和具体应用的特点等多方面的综合制约。因此如何选择小波基函数，到目前为止还没有一个统一的理论标准。在实际工程应用中，通常是根据具体问题的特点，结合小波基函数的性质和时频测不准原理进行经验性的选择。如Morlet小波一般用于信号的表示和分类图像识别、特征提取；Mallat小波多用于系统辨识；样条小波则常用于材料探伤；Shannon正交基用于差分方程求解:对于数字信号则往往选择Haar或Daubechies作为小波基。同时我们也通过用小波基函数处理信号的结果与理论结果的误差，来判断小波基函数的好坏，并由此选定小波基函数。

1．关于小波基函数选择的相关研究

通过查阅国内外相关文献，我了解到目前还是有一些学者在这方面做了一定的探索性工作。宋国乡等人提出了根据小波消失矩来选择小波基的思想。消失矩的定义为:小波Ψ(x)称为具有n阶消失矩，如果对于所有非负整数k，0≤h≤n，

k??(x)dxx?0，选择方法是如果被检测信号的奇异度为α，n-1均有＜α＜n，R则需要具有n阶以上的消失矩的紧支撑的小波。其理论依据是假设小波具有紧支撑和n阶消失矩，且n次连续可微(其中n是正整数)，设x为突变点，如果f(x)0在x的Lipschitz奇异度为α(α＜n)，而在x附近n次连续可微，则可以证明

00Wf(x)在x达到极大值。由此可以检测缓变信号的奇异点。0S周小勇等提出了采用小波规则性系数相似性来选择小波基的方法，其思想来源于Fourier变换。Fourier变换是以正弦信号为基波，用其各次谐波来近似某一函数或信号，其Fourier系数代表了各次谐波分量和原信号的相似性。小波系数的大小也反映了小波和函数某段的相似程度。同时函数和小波的规则性均表示着各自的可微和平滑程度。因此由相似性，可以用平滑的小波，即规则性系数大的小波表示平滑的函数;用不平滑的小波，即规则性系数小的小波表示非平滑的函数。当然这里所说的相似并不是绝对的相似或相近，而只是一种趋势。

2. 小波基函数的选择标准

从小波变换的原理出发，可以总结出选择小波基时需要考虑的几个因素：(1)正交性

小波变换是将原始图象与小波基函数以及尺度函数进行内积运算,由1989年Daubechies基于离散滤波器迭代的方法和Mallat算法的提出,使得小波变换中小波基的选择转换为正交镜像滤波器(QMF)的选择。从目前的情况来看, QMF大致有两类:正交与双正交。

正交滤波器是指低通分析滤波器和高通分析滤波器正交;低通重建滤波器和高通重建滤波器正交。大部分正交小波基是无限支集的,这在计算上是不可行的。非对称滤波器的非线形相位在图象编码时所产生的误差易导致边缘错位,形成巨大的感观误差。因此希望滤波器是有限支集的而且是对称或反对称的。对称的滤波器结构有运算简单,便于边界处理的特点。但遗憾的是,紧支集的小波一般不具有对称性,有如下结论：除Harr外,一切具有紧支集的规范正交小波基以及与之相关的尺度函数都不可能以实轴上的任何点为对称轴或反对称轴。因此,我们只能放松对正交性的要求来保持线形相位(对应于小波函数的对称或反对称性)而采用双正交小波基。

正交性描述了数据的小波表示的冗余程度，在多分辨率分析下，酉变换在不2(R)意义的最佳逼近。严格的规范正交特性有利于小波分同子空间上的投影是 L解系数的精确重构。用正交小波基由多尺度分解得到的各子带数据分别落在相互正交的子空间中，使各子带数据相关性减小，能准确重建的正交的线性相位有限冲击响应滤波器组是不存在的,即除了Harr系小波外,没有任何紧支集正交小波具有对称的特性,因此一般放宽条件用双正交滤波器。

（2）紧支性与衰减性

如果小波ψ(t)有紧支集,则称它是紧支的;如果当t→∞时,它快速衰减或具有

指数规律衰减,称小波ψ(t)是急衰或急降的。紧支性与衰减性是小波的重要性质,紧支宽度越窄或衰减越快,小波的局部化特性越好;紧支小波不需做人为的截断,应用精度很高,但是一个函数不可能在时域和频域都是紧支的,最多有一个是紧支的,另一个是急衰的。一般希望小波基能够在时域上具有紧支性。一般要求小波基是紧支撑集,紧支小波基的重要性在于它在数字信号的离散小波分解过程中可以提供系数有限的、更实际的FIR滤波器;非紧支撑小波在实际运算时必须截短。

（3）正则性

正则性表现为小波基函数的可微性，它描述了函数的光滑程度，同时也能反映函数频域能量的集中程度。连续可微的小波基对于小波变换中有效地发现信号的奇异点是必要的，对于大部分正交小波基正则性越高就意味着更高的消失矩。另一方面正则性刻画了小波的光滑度，正则性与支撑集大小有关，支撑越大,正则性越好。小波基的正则性对最小化量化误差是很重要的，因此，正则性越大的小波基越好。

(4) 对称性

主要影响信号或图像的相位，对称或反对称的尺度函数和小波基函数是非常重要的，因为可以构造紧支的正则小波基函数，而且具有线性相位。对于双正交小波基，可以合成具有对称或反对称的紧支撑小波基。对称滤波器组具有两个优点:一方面人类的视觉系统对边缘附近对称的量化误差较非对称的误差更不敏感，另一方面对称滤波器组具有线性相位，在对图像进行处理时，线性相位是很重要的，对图像边缘做对称边界延拓时，重构图像边缘部分失真较小，有利于获得高质