等腰三角形性质及判定(基础)巩固练习

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(完整)等腰三角形性质与判定练习题

等腰三角形性质与判定练习题一、选择题1、等腰三角形一腰上的中线把等腰三角形的周长分成9和12两部分，则腰长为（）A、6B、8C、10D、6或82、等腰三角形的周长为19cm，其中一边长为5cm,则该等腰三角形的底边边长为（）A、9cmB、5cmC、9cm或5cmD、10cm3、等腰三角形的腰长等于2m，面积等于1m2，则它的顶角等于（）A、150°B、30°C、150°或30°D、60°4、若等腰三角形的周长为10，一边长为4,则此等腰三角形的腰长为（）A、2B、3C、4D、3或45、下列说法中正确的是（）A、等腰三角形的两个底角的角平分线所夹的角是这个等腰三角形顶角的两倍B、在等腰三角形中“三线合一”是指等腰三角形的中线、高线、角平分线重合C、等边对等角D、有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形6、等腰三角形有两条边长为3和5,则它的周长可以是（）A、12B、11C、10D、11或137、等腰三角形的对称轴有( ）A、一条B、二条C、三条D、一条或三条8、等腰三角形周长为36cm,两边长之比为4：1,则底边长为（）A、16cmB、4cmC、20cmD、16cm或4cm9、等腰三角形的周长是18cm,其中一边长为4cm，其它两边长分别为（）A、4cm，10cmB、7cm,7cmC、4cm，10cm或7cm，7cmD、无法确定10、一个等腰而非等边的三角形,它的所有的内角平分线、中线和高的条数为（)A、9B、6C、7D、311、已知等腰三角形的两边长分别为8与16,则其周长为（)A、32B、40C、32或40D、8或1612、一个等腰三角形的周长是16,其中一边长是6，另两边长分别是（）A、6和10B、6和4C、5和5D、5和5或4和613、等腰三角形ABC，其中AB=8cm，周长为20cm，则这个等腰三角形的腰长是( ）A、8cmB、4cmC、6cmD、6cm或8cm14、等腰三角形的周长为18cm，其中一边长为4cm，则该等腰三角形的腰长为（)A、4cm或10cmB、4cm或7cmC、4cmD、7cm15、如右图，在△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB，则∠A是( ）A、30°B、45°C、60°D、20°16、有下列命题说法:①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A、2个B、3个C、4个D、5个17、等腰三角形中一个角是40°,则另外两个角的度数分别是（)A、70°，70°B、40°,100°C、40°，40°D、70°，70°或40°，100°18、如右图，一钢架中,∠A=15°,焊上等长的钢条来加固钢架．若A P1=P1P2，则这样的钢条最多只能焊上（)条．A、4B、5C、6D、719、若△ABC的三边a，b,c满足(a﹣b）（b﹣c）（c﹣a）=0，那么△ABC的形状是( ）A、等腰三角形B、直角三角形C、等边三角形D、锐角三角形20、如果一个三角形的一条角平分线恰好是对边上的高,那么这个三角形一定是( ）A、直角三角形B、等边三角形C、等腰三角形D、等腰直角三角形二、填空题1、一个等腰三角形的两边长分别是2cm、5cm，则它的周长为_______2、等腰三角形的两边长分别为4和9,则第三边长为_________ ．3、等腰三角形的对称轴最多有_________ 条．4、一个等腰三角形周长为5，它的三边长都是整数，则底边长为_________ ．5、若等腰三角形的三条边长分别为a2+1，a+1，4a﹣3,则a可以取的值为_________ ．6、等腰三角形一个底角为36°，则此等腰三角形顶角为_________ 度．7、等腰三角形的两边长为5cm,10cm，则它的周长等于_________ cm．8、一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则它的各个内角的度数是_________ ．9、在等腰△ABC中，AB=AC，AC腰上的中线BD将三角形周长分为15和21两部分，则这个三角形的底边长为_________ ．10、如图，B在AC上，D在CE上,AD=BD=BC，∠ACE=25°,∠ADE=_______度．10题图 11题图 13题图 15题图11、如图,在△ABC中，∠C=25°，AD⊥BC，垂足为D,且AB+BD=CD，则∠BAC的度数是_______ 度．12、一个三角形有两条边相等，周长为18cm，三角形的一边长为4cm，则其他两边长分别为_________ cm．13、如图，△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD平分∠ABC,DE∥BC，则图中等腰三角形有______个．14、在△ABC中，AD⊥BC于D，且BD=CD，若AB=3，则AC= _________ ．15、如图，在△ABC中,BC=5cm，BP、CP分别是∠ABC和∠ACB的角平分线，且PD∥AB，PE∥AC，则△PDE的周长是_________ cm．16、如右图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°,∠ABC=60°，在直线BC或AC上取一点P，使得△PAB为等腰三角形，则符合条件的点P共有_________个.17、如图，在下列三角形中，若AB=AC，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是（填序号）______三、解答题1、如图，在△ABC和△DCB中，AC与BD相交于点O．AB=DC，AC=BD．试判断△OBC的形状，并证明2、已知:如图，△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠1=∠2．求证:OA平分∠BAC．3、已知:点D是△ABC的边BC的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别为E，F,且BF=CE．求证：△ABC是等腰三角形．4、如图,在△ABC中，点E在AB上，点D在BC上,BD=BE，∠BAD=∠BCE，AD与CE相交于点F，试判断△AFC的形状，并说明理由．5、已知，如图△ABC中，AB=AC，D点在BC上，且BD=AD，DC=AC．求∠B的度数．6、如图，在△ABC中，BO平分∠ABC，CO平分∠ACB，DE过O且平行于BC，已知△ADE的周长为10cm，BC 的长为5cm，求△ABC的周长．7、△ABC中，AB=AC，BD是△ABC的角平分线，E在BC的延长线上，且CE=CD。

等腰三角形的巩固训练

等腰三角形的巩固训练学习目标：1、针对等腰三角形的性质、判定做以巩固训练，强化同学们对等腰三角形知识的扎实掌握。

2、通过训练提高同学们应用等腰三角形知识的熟练性，同时进一步训练同学们分析几何问题的方法和能力，规范几何问题分析思维的严谨重点：等腰三角形知识的熟练应用难点：同学们应用等腰三角形的知识训练严谨的分析问题的方法和思路一、自我基础训练1、△ABC 中，AB=AC ，∠A=∠C ，则∠B=_______．2、等腰直角三角形的斜边的长为2，则斜边上高线的长为________3、如图，∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则图中等腰三角形有_______个．4、等腰△ABC 中，∠A=70°，则∠B 的度数是5、三角形三个内角度数之比为1:1:,2，则这个三角形是三角形。

6、如图，已知AC ∥BD ，OA=OC ，则下列结论不一定成立的是（）A 、∠B=∠DB 、∠A=∠BC 、OA=OBD 、AD=BC7、下列命题中正确的是（）A 、等腰三角形中角的平分线平分对边并且垂直于对边B 、等腰三角形的顶角一定是锐角C 、两底角相等的三角形是等腰三角形D 、有一个角的平分线垂直于对边的三角形是等腰三角形8、如图，△ABC 中，AB=AC ，D 是BC 中点，下列结论中不正确的是（）A 、∠B=∠CB 、AD ⊥BC C 、AD 平分∠BAC D 、AB=2BD9、如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是（）A 、锐角三角形．B 、直角三角形．C 、钝角三角形．D 、不能确定．以上训练再次提醒我们：（1）等腰三角形的等边与等角的相对性；（2）等腰三角形中三线合一的使用和条件设置特点；（3）线段中垂线与等腰三角形的紧密结合。

二、能力提高训练1、如图，△ABC 中，AC=AD=BD ，∠DAC=80°，则∠B= 。

2、如图，已知OC 平分∠AOB ，CDOB ，若OD=3cm ，则CD= 。

等腰三角形的性质及判定含答案

等腰三角形的性质及判定一．选择题（共30小题）1．如图，已知AB＝AC＝BD，那么（）A．∠1＝∠2B．2∠1+∠2＝180°C．∠1+3∠2＝180°D．3∠1﹣∠2＝180°2．如图，△ABC中，CA＝CB，∠A＝20°，则三角形的外角∠BCD的度数是（）A．20°B．40°C．50°D．140°3．若C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则符合条件的点C有（）个．A．2个B．3个C．4个D．5个4．如果某等腰三角形的两条边长分别为4和8，那么它的周长为（）A．16B．20C．20或16D．不确定5．△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，则一个底角等于（）A．120°B．90°C．60°D．30°6．已知等腰三角形ABC的两边满足+|6﹣BC|＝0，则此三角形的周长为（）A．12B．15C．12或15D．不能确定7．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，D是线段BC上（不含端点B，C）的动点．若线段AD长为正整数，则点D的个数共有（）A．5个B．3个C．2个D．1个8．已知等腰三角形的两边长分别为6和1，则这个等腰三角形的周长为（）A．13B．8C．10D．8或139．若等腰三角形的周长为26cm，底边为11cm，则腰长为（）A．11cm B．11cm或7.5cmC．7.5cm D．以上都不对10．若实数m、n满足|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12B．15C．12或15D．911．已知△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝6．在射线BC上取一点D，使得△ABD 为等腰三角形，这样的等腰三角形有几个？（）A．2个B．3个C．4个D．5个12．若等腰三角形的一边长等于6，另一边长等于4，则它的周长等于（）A．15或17B．16C．14D．14或1613．若等腰三角形的顶角为70°，则它的一个底角度数为（）A．70°或55°B．55°C．70°D．65°14．如图，在3×3的正方形网格中，点A、B在格点上，要找一个格点C，使△ABC是等腰三角形（AB是其中一腰），则图中符合条件的格点有（）A．2个B．3个C．4个D．5个15．等腰三角形的一个角是30°，则这个等腰三角形的底角为（）A．75°B．30°C．75°或30°D．不能确定16．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于E，CD平分∠ACB 交BE于D，图中等腰三角形的个数是（）A．3个B．4个C．5个D．6个17．如图，直线l1，l2相交于点A，点B是直线外一点，在直线l1，l2上找一点C，使△ABC 为一个等腰三角形，满足条件的点C有（）A．2个B．4个C．6个D．8个18．如图，已知OA＝OB＝OC，BC∥AO，若∠A＝36°，则∠B等于（）A．54°B．60°C．72°D．76°19．如图，△ABC中，∠B＝∠C，BD＝CD，则下列判断不一定正确的是（）A．AB＝AC B．AD⊥BCC．∠BAD＝∠CAD D．△ABC是等边三角形20．等腰三角形的边长为2和3，那么它的周长为（）A．8B．7C．8或7D．以上都不对21．等腰三角形的顶角是40°，则它的底角是（）A．55°B．70°C．40°或70°D．55°或70°22．如图所示，在三角形ABC中，AB＝AC，∠BAC＝108°，在BC上分别取点D，E使∠BAD＝∠B，∠CAE＝∠C，则图中的等腰三角形有（）A．3个B．4个C．5个D．6个23．三角形三个内角的比是∠A：∠B：∠C＝1：1：2，则△ABC是（）A．等腰三角形B．等腰直角三角形C．等边三角形D．不能确定24．小方画了一个有两边长为3和5的等腰三角形，则这个等腰三角形的周长为（）A．11B．13C．8D．11或1325．如图钢架中，∠A＝a，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4，P4P5…来加固钢架．若P1A ＝P1P2，且恰好用了4根钢条，则α的取值范围是（）A．15°≤a＜18°B．15°＜a≤18°C．18°≤a＜22.5°D．18°＜a≤22.5°26．已知等腰△ABC中，∠A＝120°，则底角的大小为（）A．60°B．30°或120°C．120°D．30°27．如图，在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，点D是边BC上任意一点，则点D分别到边AB，AC的距离之和等于（）A．5B．6.5C．9D．1028．如图，直线L1∥L2，点A、B在L1上，点C在L2上，若AB＝AC、∠ABC＝70°，则∠1的大小为（）A．20°B．40°C．35°D．70°29．若等腰△ABC中有一个内角为40°，则这个等腰三角形的一个底角的度数为（）A．40°B．100°C．40°或100°D．40°或70°30．等腰三角形的周长为18，其中一条边的长为8，则另两条边的长是（）A．5、5B．2、8C．5、5或2、8D．以上结果都不对二．填空题（共15小题）31．等腰三角形的一个内角为30°，那么其它两个角的度数为______．32．已知AD是△ABC的高，若AB＝AC，BC＝4，则CD＝______，33．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在y轴和x轴上，∠ABO＝60°，在y轴上找一点P，使△P AB是等腰三角形，则符合条件的P点共有______个．34．如图，直线a、b相交于点O，∠1＝50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有______．35．若等腰三角形的两边的长分别为3和10，则它的周长为______．36．如果等腰三角形的两边长分别是6、8，那么它的周长是______．37．如图，Rt△ABC中，AC⊥BC，AE＝AO，BF＝BO，则∠EOF的度数是______．38．等腰△ABC的边长分别为6和8，则△ABC的周长为______．39．已知等腰三角形中顶角的度数是底角的3倍，那么底角的度数是______．40．已知等腰三角形的周长为20，底长为x，则x的取值范围是______．41．用一条长为20cm的细绳围成一个等腰三角形，已知一边长是另一边长的2倍，则腰长为______cm．42．如图，△ABC中，AB＝AC，D、E是BC边上两点，AD＝AE，BE＝6，DE＝4，则EC ＝______．43．如图，△ABC中，AB＝AC，∠C═30°，DA⊥BA于点A，BC＝16cm，则AD＝______．44．如图，AB＝AC＝CD，∠BAC＝56°，则∠B＝______，∠D＝______．45．如图，已知每个小方格的边长为1，A，B两点都在小方格的顶点上，请在图中找一个顶点C，使△ABC为等腰三角形，则这样的顶点C有______个．三．解答题（共5小题）46．如图，在△ABC中，∠C＝∠ABC＝2∠A，BD是AC边上的高，求∠DBC的度数．47．在△ABC中，AD平分∠BAC，E是BC上一点，BE＝CD，EF∥AD交AB于F点，交CA的延长线于P，CH∥AB交AD的延长线于点H，①求证：△APF是等腰三角形；②猜想AB与PC的大小有什么关系？证明你的猜想．48．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D在BC上，且BD＝BA，点E在BC的延长线上，且CE＝CA．（1）若∠BAC＝90°（图1），求∠DAE的度数；（2）若∠BAC＝120°（图2），求∠DAE的度数；（3）当∠BAC＞90°时，探求∠DAE与∠BAC之间的数量关系，直接写出结果．49．已知等腰三角形的周长为24cm，其中两边之差为6cm，求这个等腰三角形的腰长．50．如图，在△ABC中，AB＝AC，CE平分∠ACB，EC＝EA．（1）求∠A的度数；（2）若BD⊥AC，垂足为D，BD交EC于点F，求∠1的度数．等腰三角形的性质及判定参考答案与试题解析一．选择题（共30小题）1．解：∵AB＝AC＝BD，∴∠B＝∠C，∠BAD＝∠1，∵∠1＝∠C+∠2，∴∠BAD＝∠1＝∠C+∠2，∵∠B+∠1+∠BAD＝180°，∴∠C+2∠1＝180°，∵∠C＝∠1﹣∠2，∴∠1﹣∠2+2∠1＝180°，即3∠1﹣∠2＝180°．故选：D．2．解：∵CA＝CB，∠A＝20°，∴∠B＝∠A＝20°，∴∠BCD＝∠A+∠B＝40°，故选：B．3．解：如图：分情况讨论．①AB为等腰△ABC底边时，符合条件的C点有2个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有2个．故选：C．4．解：若4为腰，8为底边，此时4+4＝8，不能构成三角形，故4不能为腰；若4为底边，8为腰，此时三角形的三边分别为4，8，8，周长为4+8+8＝20，综上三角形的周长为20．故选：B．5．解：∵△ABC中，AB＝AC，顶角是120°，∴∠B＝∠C，∠A＝120°∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠B＝∠C＝＝30°，故选：D．6．解：∵+|6﹣BC|＝0，∴AB﹣3＝0，6﹣BC＝0，解得AB＝3，BC＝6，（1）若AB是腰长，BC为底，则三角形的三边长为：3、3、6，不能能组成三角形，（2）若AB是底边长，BC为腰，则三角形的三边长为：3、6、6，能组成角形，周长为3+6+6＝15．故此三角形的周长为15．故选：B．7．解：过A作AE⊥BC，∵AB＝AC，∴EC＝BE＝BC＝4，∴AE＝＝3，∵D是线段BC上的动点（不含端点B、C）．∴3≤AD＜5，∴AD＝3或4，∵线段AD长为正整数，∴AD的可以有三条，长为4，3，4，∴点D的个数共有3个，故选：B．8．解：当等腰三角形的腰为1时，三边为1，1，6，1+1＝2＜6，三边关系不成立，当等腰三角形的腰为6时，三边为1，6，6，三边关系成立，周长为1+6+6＝13．故选：A．9．解：∵11cm是底边，∴腰长＝（26﹣11）＝7.5cm，故选：C．10．解：|m﹣3|+（n﹣6）2＝0，∴m﹣3＝0，n﹣6＝0，解得m＝3，n＝6，当m＝3作腰时，三边为3，3，6，不符合三边关系定理；当n＝6作腰时，三边为3，6，6，符合三边关系定理，周长为：3+6+6＝15．故选：B．11．解：在Rt△ABC中，AB＝＝10，①如图1，当AB＝AD＝10时，CD＝CB＝6时，CD＝CB＝6，得△ABD的等腰三角形．②如图2，当AB＝BD＝10时，△ABD是等腰三角形；③如图3，当AB为底时，AD＝BD时，△ABD是等腰三角形．故选：B．12．解：当4为底边时，腰长为6，则这个等腰三角形的周长＝4+6+6＝16；当6为底边时，腰长为4，则这个等腰三角形的周长＝4+4+6＝14；故选：D．13．解：∵等腰三角形的顶角为70°，∴它的一个底角度数为（180°﹣70°）＝55°，故选：B．14．解：如图所示：由勾股定理得：AB＝＝，①若AB＝BC，则符合要求的有：C1，C2，C3共4个点；②若AB＝AC，则符合要求的有：C4，C5共2个点；若AC＝BC，则不存在这样格点．∴这样的C点有5个．故选：D．15．解：①当这个角为顶角时，底角＝（180°﹣30°）÷2＝75°；②当这个角是底角时，底角＝30°；故选：C．16．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，∴△ABC是等腰三角形．∴∠C＝∠ABC＝72°．∵BD平分∠ABC交AC于E，∴∠ABE＝∠EBC＝36°，∵∠A＝∠ABE＝36°，∴△ABE是等腰三角形．∵∠BEC＝∠A+∠ABE＝72°＝∠C，∴△BEC是等腰三角形．∵∠DBC＝∠DCB＝36°，∴△BCD是等腰三角形，∵∠EDC＝∠DBC+∠DCB＝72°＝∠DEC，∴△CDE是等腰三角形，∴共有5个等腰三角形．故选：C．17．解：以A为圆心，AB长为半径画弧，交l1、l2于4个点；以B为圆心，AB长为半径画弧交l1、l2于2个点，再作AB的垂直平分线交l1、l2于2个点，共有8个点，故选：D．18．解：∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠A＝36°，∵BC∥AO，∴∠BCA＝∠A＝36°，∴∠BCO＝72°，∵OB＝OC，∴∠B＝72°．故选：C．19．解：∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，∴选项A不符合题意；∵∠B＝∠C，∴AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD，∴选项B、选项C不符合题意；当△ABC中有一个角为60°时，△ABC是等边三角形，∴选项D符合题意；故选：D．20．解：分两种情况讨论：当这个三角形的底边是2时，三角形的三边分别是2、3、3，能够组成三角形，则三角形的周长是8；当这个三角形的底边是3时，三角形的三边分别是2、2、3，能够组成三角形，则三角形的周长是7．故等腰三角形的周长为8或7．故选：C．21．解：因为等腰三角形的两个底角相等，又因为顶角是40°，所以其底角为＝70°．故选：B．22．解：∵AB＝AC，∠BAC＝108°，∴∠B＝∠C＝36°，△ABC是等腰三角形，∵∠BAD＝∠B＝36°，∴△ABD是等腰三角形，∵∠CAE＝∠C＝36°，∴△AEC是等腰三角形，∴∠ADC＝∠DAC＝72°，∴△ADC是等腰三角形，同理，△ABE是等腰三角形，∴∠ADE＝∠AED＝72°，∴△ADE是等腰三角形，故选：D．23．解：∵∠A+∠B+∠C＝180°，∠A：∠B：∠C＝1：1：2，∴∠A＝∠B＝45°，∠C＝90°．则该三角形的等腰直角三角形．故选：B．24．解：由题意知，应分两种情况：（1）当腰长为3时，能构成三角形，周长＝2×3+5＝11；（2）当腰长为5时，能构成三角形，周长＝2×5+3＝13．故选：D．25．解：∵AP1＝P1P2，P1P2＝P2P3，P3P4＝P2P3，P3P4＝P4P5，∴∠A＝∠P1P2A，∠P2P1P3＝∠P2P3P1，∠P3P2P4＝∠P3P4P2，∠P4P3P5＝∠P4P5P3，∴∠P3P5P4＝4∠A＝4α°，∵要使得这样的钢条只能焊上4根，∴∠P5P4B＝5α°，由题意，∴18°≤α＜22.5°．故选：C．26．解：∵在等腰△ABC中，∵∠A＝120°，∴∠A为等腰三角形的顶角，∴∠B＝∠C，∵∠A＝120°，∴∠B＝∠C＝30°；故选：D．27．解：连接AD，∵在△ABC中，AB＝AC＝13，该三角形的面积为65，∴三角形ABC的面积＝△ABD的面积+△ACD的面积＝AB•DN+AC•DM＝AB•（DN+DM）＝×13×（DN+DM）＝65，解得：DN+DM＝10．故选：D．28．解：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝70°，∵直线l1∥l2，∴∠1+∠ACB+∠ABC＝180°，∴∠1＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣70°﹣70°＝40°．故选：B．29．解：当40°的角为等腰三角形的顶角时，底角的度数＝＝70°；当40°的角为等腰三角形的底角时，其底角为40°，故它的底角的度数是70°或40°．故选：D．30．解：当腰长为8时，底长为：18﹣8×2＝2；2+8＞8，能构成三角形；当底长为8时，腰长为：（18﹣8）÷2＝5；5+5＞8，能构成三角形．故另两条边的长是5、5或2、8．故选：C．二．填空题（共15小题）31．解：①30°是顶角，则底角＝（180°﹣30°）＝75°；②30°是底角，则顶角＝180°﹣30°×2＝120°．∴另两个角的度数分别是75°、75°或30°、120°．故答案为75°、75°或30°、120°．32．解：∵AD是△ABC的高，AB＝AC，∴CD＝BD＝BC＝4＝2，故答案为：2．33．解：①当AB＝AP时，在y轴上有2点满足条件的点P．②当AB＝BP时，在y轴上有1点满足条件的点P．③当AP＝BP时，在y轴上有一点满足条件的点P．综上所述：符合条件的点P共有4个．故答案为：434．解：要使△OAB为等腰三角形分三种情况讨论：①当OB＝AB时，作线段OA的垂直平分线，与直线b的交点为B，此时有1个；②当OA＝AB时，以点A为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有1个；③当OA＝OB时，以点O为圆心，OA为半径作圆，与直线b的交点，此时有2个，1+1+2＝4，故答案为：435．解：（1）若3为腰长，10为底边长，由于3+3＜10，则三角形不存在；（2）若10为腰长，则符合三角形的两边之和大于第三边．所以这个三角形的周长为10+10+3＝23．故答案为：23．36．解：当6是腰长时，周长＝6+6+8＝20；当8是腰长时，周长＝6+8+8＝22．故周长是20或22．故答案为：20或22．37．解：∵Rt△ABC中，AC⊥BC，∴∠A+∠B＝90°，∵AE＝AO，BF＝BO，∴∠AOE＝∠AEO＝，∠BOF＝∠BFO＝，∴∠EOF＝180°﹣∠AOE﹣∠BOF＝180°﹣（+）＝（∠A+∠B）＝45°，故答案为45°．38．解：当6为底时，三角形的三边为6，8、8可以构成三角形，周长为6+8+8＝22；当8为底时，三角形的三边为8，6、6可以构成三角形，周长为8+6+6＝20．则△ABC的周长为22或20．故答案为：22或20．39．解：设底角为x°，则顶角为3x°，根据题意得：x+x+3x＝180解得：x＝36；故答案为：36°．40．解：根据三角形的三边关系，x＜（20﹣x），解得x＜10，∴x的取值范围是0＜x＜10．故答案为：0＜x＜10．41．解：设较短的边长为xcm，则较长的边长为2xcm，①若较短的边为底边，较长的边为腰，则x+2x+2x＝20，解得x＝4，此时三角形三边长分别为4cm，8cm，8cm，能组成三角形；②若较短的边为腰，较长的边为底边，则x+x+2x＝20，解得x＝5，此时三角形三边长分别为5cm，5cm，10cm，∵5+5＝10，∴不满足三角形任意两边之和大于第三边，故不能围成三角形；综上所述，等腰三角形的腰长8cm，故答案为8．42．证明：∵BE＝6，DE＝4，∴BD＝BE﹣DE＝2，过A作AP⊥BC于P，∵AB＝AC，AP⊥BC，∴BP＝CP，同理有DP＝EP，∴CE＝BD＝2，故答案为：2．43．解：∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAC＝180°﹣2×30°＝120°，∵DA⊥BA，∴∠BAD＝90°，∴∠CAD＝120°﹣90°＝30°，∴∠CAD＝∠C，∴AD＝CD，在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，∠BAD＝90°，∴BD＝2AD，∴BC＝BD+CD＝2AD+AD＝3AD，∵BC＝16cm，∴AD＝cm，故答案为：cm．44．解：∵AB＝AC，∠BAC＝56°∴∠B＝∠ACB＝＝62°，∵AC＝CD，∴∠CAD＝∠D，∵∠ACB＝∠CAD+∠D，∴∠D＝∠ACB＝31°，故答案为：62°，31°．45．解：当AB为底时，作AB的垂直平分线，可找出格点C的个数有5个，当AB为腰时，分别以A、B点为顶点，以AB为半径作弧，可找出格点C的个数有3个；∴这样的顶点C有8个．故答案为：8．三．解答题（共5小题）46．解：∵∠C＝∠ABC＝2∠A，∴∠C+∠ABC+∠A＝5∠A＝180°，∴∠A＝36°．则∠C＝∠ABC＝2∠A＝72°．又BD是AC边上的高，则∠DBC＝90°﹣∠C＝18°．47．①证明：∵EF∥AD，∴∠1＝∠4，∠2＝∠P，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠4＝∠P，∴AF＝AP，即△APF是等腰三角形；②AB＝PC．理由如下：证明：∵CH∥AB，∴∠5＝∠B，∠H＝∠1，∵EF∥AD，∴∠1＝∠3，∴∠H＝∠3，在△BEF和△CDH中，∵，∴△BEF≌△CDH（AAS），∴BF＝CH，∵AD平分∠BAC，∴∠1＝∠2，∴∠2＝∠H，∴AC＝CH，∴AC＝BF，∵AB＝AF+BF，PC＝AP+AC，∴AB＝PC．48．解：（1）如图1，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝45°，∵BD＝BA，∴∠BAD＝∠BDA＝（180°﹣∠B）＝67.5°，∵CE＝CA∴∠CAE＝∠E＝∠ACB＝22.5°，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝112.5°，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝45°，（2）如图2，∵AB＝AC，∠BAC＝90°，∴∠B＝∠ACB＝30°，∵BA＝BD，∴∠BAD＝∠BDA＝75°，∴∠DAC＝45°，∵CA＝CE，∴∠E＝∠CAE＝15°，∴∠DAE＝∠DAC+∠CAE＝60°；（3）∠DAE＝∠BAC，理由：设∠CAE＝x，∠BAD＝y，则∠B＝180°﹣2y，∠E＝∠CAE＝x，∴∠BAE＝180°﹣∠B﹣∠E＝2y﹣x，∴∠DAE＝∠BAE﹣∠BAD＝2y﹣x﹣y＝y﹣x，∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝2y﹣x﹣x＝2y﹣2x ∴∠DAE＝∠BAC．49．解：设三角形的腰为x，底为y，根据题意得或，解得或，又知6+6＜12，不能构成三角形，即等腰三角形的腰长为：10cm．50．解：（1）∵EA＝EC，∴设∠A＝∠2＝x，∵EC平分∠ACB，∴∠ACB＝2x，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝2x，在△ABC中，∴x+2x+2x＝180°，∴x＝36°，∴∠A＝36°；（2）∵∠A＝∠2，∴∠2＝36°，∵BD⊥AC，∴∠DFC＝90°﹣36°＝54°，∴∠1＝∠DFC＝54°．第1页（共1页）。

人教版八年级数学上册等腰三角形的性质同步练习题

人教版八年级数学试题13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）A．60°B．70°C．75°D．80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=_________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥C D，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．第14题第15题第16题第17题第18题15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= _________ cm．16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=_________ 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE（AAS）．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．（其他正确证法同样给分）…（4分）21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．（2）解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：（1）成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．（2）∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．习题试解预习法检验预习效果的最佳途径数学学科有别于其他学科的一大特点就是直接用数学知识解决问题。

专训13.3.1.3等腰三角形的性质与判定的综合-八年级上册考点专训(解析版)(人教版)

专训13.3.1.3等腰三角形的性质与判定的综合一、单选题1．如图，∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，则下列结论正确的有（）①AB ＝AC ；②AD ＝AE ；③BD ＝CE ；④CD ＝BE．A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】由∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，可得出∠ABC ＝∠ACB ，再利用等角对等边可得出AB ＝AC ，可判断①；由∠A ＝∠A ，AB ＝AC 及∠ABE ＝∠ACD ，可证出△ABE ≌△ACD （ASA ），再利用全等三角形的性质可得出AD ＝AE ，CD ＝BE ，可判断②④；由AB ＝AC ，AD ＝AE ，可得出BD ＝CE 可判断③即可．【详解】解：∵∠ABE ＝∠ACD ，∠EBC ＝∠DCB ，∴∠ABE +∠EBC ＝∠ACD +∠DCB ，∴∠ABC ＝∠ACB ，∴AB ＝AC ，结论①正确；在△ABE 和△ACD 中，A A AB AC ABE ACD ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△ACD （ASA ），∴AD ＝AE ，CD ＝BE ，结论②④正确；∵AB ＝AC ，AD ＝AE ，∴AB ﹣AD ＝AC ﹣AE ，∴BD ＝CE ，结论③正确．∴正确的结论有4个．故选择：D ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质以及等腰三角形的性质，掌握全等三角形的性质及等腰三角形的性质是解题的关键．2．如图，锐角三角形ABC 中，D 点在BC 上，==B BAD CAD ∠∠∠，今欲在AD 上找一点P ，使得=APC ADB ∠∠，以下是甲、乙两人的作法：甲：作AC 的中垂线交AD 于P 点，则P 即为所求．乙：以C 为圆心，CD 长为半径画弧，交AD 于异于D 点的一点P ，则P 即为所求．对于甲、乙两人的作法，下列判断何者正确？（）A ．两人皆正确B ．两人皆错误C ．甲正确，乙错误D ．甲错误，乙正确【答案】A【分析】两人都是正确的．利用等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质一一判断即可．【详解】解：两人都是正确的．理由：甲，点P 在AC 的垂直平分线上，PA PC ∴＝，PAC PCA ∴∠∠＝，B BAD CAD ∠∠∠ ＝＝，B BAD CAP ACP ∴∠∠∠∠＝＝＝，180ADB B BAD ∠∠∠︒ ＋＋＝，180APC PAC PCA ∠∠∠︒＋＋＝，APC ADP ∴∠∠＝，乙，CD CP ＝，CDP CPD ∴∠∠＝，ADB APC ∴∠∠＝，∴甲、乙两人的作法都是正确的，故选：A ．【点睛】本题考查作图-复杂作图，线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用等腰三角形的判定和性质解决问题．3．如图，在Rt ABC 中，90B = ∠，30C ∠= ，以点A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交边AB ，AC 于点P ，Q ；再分别以点P ，Q 为圆心，以大于12PQ 的长为半径作弧，两弧交于点E ，作射线AE 交BC 于点F .设ABF ，ABC 的面积分别为1S ，2S ，则12S S 的值为（）A ．12B ．13CD ．14【答案】B【分析】根据作图过程可得AF 是BAC ∠的平分线，根据角平分线的性质和90B ∠=︒，30C ∠=︒，可得FA FC =，设BF x =，则2FC FA x ==，3BC x =，根据三角形的面积公式分别求出1S ，2S ，再计算12S S 即可．【详解】解：根据作图过程可知：AF 是BAC ∠的平分线，∴12BAF CAF BAC ∠=∠=∠，∵90B ∠=︒，30C ∠=︒，∴60BAC ∠=︒∴1302BAF CAF BAC ∠=∠=∠=︒，∴30CAF C ∠=∠=︒∴FA FC=设BF x =，则在Rt ABF 中，2FA x=∴2FC FA x ==，23BC BF FC x x x =+=+=，∴1122x BF A S B AB == ，21322x BC AB B S A ==，∴1213232x AB x AB S S == ，故选：B ．【点睛】本题考查了角平分线的作法，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形面积公式等知识点，掌握角平分线的画法与性质是解决本题的关键．4．求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：如图，CAE ∠是ABC 的外角，12∠=∠，AD ∥BC ．求证AB AC =．以下是排乱的证明过程：①又12∠=∠，②∴B C ∠=∠，③∵AD ∥BC ，④∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，⑤∴AB AC =．证明步骤正确的顺序是（）A ．③→②→①→④→⑤B ．③→④→①→②→⑤C ．①→②→④→③→⑤D ．①→④→③→②→⑤【答案】B【分析】根据平行线的性质得出1,2B C ∠=∠∠=∠，再利用12∠=∠等量代换，得出B C ∠=∠，即可判定ABC 是等腰三角形，即可证明．【详解】具体步骤为：③∵AD ∥BC ，④∴1B ∠=∠，2C ∠=∠，①又12∠=∠，②∴B C ∠=∠，⑤∴AB AC =．故选：B ．【点睛】本题考查平行线的性质，等量代换，等腰三角形的判定与性质，解题关键是熟练掌握平行线的性质与等腰三角形的判定与性质．5．如图，在△ABC 中，∠BAC ＝90°，AD 是BC 边上的高，BE 是AC 边的中线，CF 是∠ACB 的角平分线，CF 交AD 于点G ，交BE 于点H ，下面说法正确的是（）①△ABE 的面积＝△BCE 的面积；②∠FAG ＝∠FCB ；③AF ＝AG ；④BH ＝CH ．A ．①②③④B ．①②③C ．②④D ．①③【答案】D【分析】根据三角形的面积公式进行判断①，根据三角形的内角和定理求出∠FAG ＝∠ACB ，再判断②即可，根据三角形的内角和定理求出∠AFG ＝∠AGF ，再根据等腰三角形的判定判断③即可，根据等腰三角形的判定判断④即可．【详解】解：∵BE 是AC 边的中线，∴AE ＝CE ，∵△ABE 的面积＝12AE AB ⨯⨯，△BCE 的面积＝12CE ⨯⨯AB ，∴△ABE 的面积＝△BCE 的面积，故①正确；∵AD 是BC 边上的高，∴∠ADC ＝90°，∵∠BAC ＝90°，∴∠DAC +∠ACB ＝90°，∠FAG +∠DAC ＝90°，∴∠FAG ＝∠ACB ，∵CF 是∠ACB 的角平分线，∴∠ACF ＝∠FCB ，∠ACB ＝2∠FCB ，∴∠FAG ＝2∠FCB ，故②错误；∵在△ACF 和△DGC 中，∠BAC ＝∠ADC ＝90°，∠ACF ＝∠FCB ，∴∠AFG ＝180°﹣∠BAC ﹣∠ACF ，∠AGF ＝∠DGC ＝180°﹣∠ADC ﹣∠FCB ，∴∠AFG ＝∠AGF ，∴AF ＝AG ，故③正确；根据已知不能推出∠HBC ＝∠HCB ，即不能推出HB ＝HC ，故④错误；即正确的为①③，故选：D ．【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形的面积，三角形的中线，三角形的高，三角形内角和定理等知识点，能综合运用定理进行推理是解此题的关键．6．如图在ABC 中，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点G ，过点G 作//EF BC 交AB 于E ，交AC 于F ，过点G 作GD AC ⊥于D ，下列四个结论：其中正确的结论有（）个．①EF BE CF =+；②90BGC A ∠=︒+∠；③点G 到ABC 各边的距离相等；④设GD m =,AE AF n +=，则AEF S mn =△；⑤AEF 的周长等于+AB AC 的和．A．1B．2C．3D．4【答案】C【分析】①根据∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G可得出∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG，再由EF∥BC可知∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，故可得出BE=EG，GF=CF，由此可得出结论；②先根据角平分线的性质得出∠GBC+∠GCB=12（∠ABC+∠ACB），再由三角形内角和定理即可得出结论；③根据三角形角平分线的性质即可得出结论；④连接AG，由三角形的面积公式即可得出结论；⑤根据BE=EG，GF=CF，进行等量代换可得结论．【详解】解：①∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠EBG=∠CBG，∠BCG=∠FCG．∵EF∥BC，∴∠CBG=∠EGB，∠BCG=∠CGF，∴∠EBG=∠EGB，∠FCG=∠CGF，∴BE=EG，GF=CF，∴EF=EG+GF=BE+CF，故①正确；②∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴∠GBC+∠GCB=12（∠ABC+∠ACB）=12（180°-∠A），∴∠BGC=180°-（∠GBC+∠GCB）=180°-12（180°-∠A）=90°+12∠A，故②错误；③∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点G，∴点G也在∠BAC的平分线上，∴点G到△ABC各边的距离相等，故③正确；④连接AG，作GM⊥AB于M，如图所示：∵点G是△ABC的角平分线的交点，GD=m，AE+AF=n，∴GD =GM =m ，∴S △AEF =12AE •GM +12AF •GD =12（AE +AF ）•GD =12nm ，故④错误．⑤∵BE =EG ，GF =CF ，∴AE +AF +EF =AE +AF +EG +FG =AE +AF +BE +CF =AB +AC ，即△AEF 的周长等于AB +AC 的和，故⑤正确，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定与性质、角平分线的性质、平行线的性质、三角形内角和定理等知识；熟练掌握角平分线的性质、三角形内角和定理及三角形内心的性质是解题的关键．二、填空题7．如图，以ABC 的顶点B 为圆心，BA 长为半径画弧，交BC 边于点D ，连接AD ．若100BAC ∠=︒，50C ∠=︒，则BAD ∠的大小为______度．【答案】75【分析】根据三角形的内角和得出∠B =180°-∠BAC -∠C =30°，由作图可得：BA =BD ,BA =BD ,再根据等腰三角形两底角相等得出∠BAD =∠ADB =（180°-∠B ）÷2=75°．【详解】解：∵∠BAC =100°，∠C =50°，∴∠B =180°-∠BAC -∠C =30°，由作图可得：AB =BD ，∴∠BAD =∠ADB =（180°-∠B ）÷2=75°，故答案为：75°．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理，掌握等边对等角是解题的关键．8．如图，ABC 中，2,AB AC P ==是BC 上任意一点，PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，若1ABC S =△，则PE PF +=________．【答案】1【分析】将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和，即可间接求出PE PF +的值．【详解】解：连接AP ，如下图：PE AB ⊥于点,E PF AC ⊥于点F ，1ABC APC APB S S S =+= 1122APC APB S S AC PF AB PE +=⋅+⋅ 2AB AC == ，1APC APB S S PF PE +=+= ，1PE PF ∴+=，故答案是：1．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用面积法解决两边之和问题，解题的关键是：将ABC 的面积拆成两个三角形面积之和来解答．9．如图，在△ABC 中，∠B ＝∠C ，D ，E 分别是线段BC 、AC 上的一点，且AD ＝AE ．用等式表示∠1和∠2之间的数量关系是__．【答案】∠1＝2∠2．【分析】根据三角形的外角的性质，得出∠AED ＝∠CDE +∠C ，∠ADC ＝∠B +∠BAD ，再利用等腰三角形的性质，等量代换和等式的性质即可求得．【详解】∵ADC ∠是△ABD 的外角，AED ∠是△DEC 的外角，∴∠AED ＝∠2+∠C ，∠ADC ＝∠B +∠1，又∵AD ＝AE ，∴∠AED ＝∠ADE ，∴2ADC AED Ð-Ð=Ð,∴122B C Ð+Ð-Ð=Ð+Ð,即122B C Ð+Ð=Ð+Ð,∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠C ，12222B C B Ð+Ð=Ð+Ð=Ð+Ð,即∠1＝2∠2,故填：∠1＝2∠2．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质，解题关键是熟练应用等腰三角形的性质，三角形外角的性质和等式的性质．三、解答题10．如图，在ABC 中，AD 平分,BAC AD BD ∠⊥于点D ，//DE AC 交AB 于点E ，若4DE =，求BE 的长．【答案】4【分析】根据角平分线的定义可得∠CAD =∠BAD ，再根据两直线平行，内错角相等可得∠CAD =∠ADE ，然后求出∠ADE =∠BAD ，根据等角对等边可得AE =DE ，然后根据等角的余角相等求出∠ABD =∠BDE ，根据等角对等边可得DE =BE ．【详解】解：∵AD 是∠BAC 的平分线，∴∠CAD =∠BAD ，∵DE ∥AC ，∴∠CAD =∠ADE ，∴∠ADE =∠BAD ，∴AE =DE ，∵BD ⊥AD ，∴∠ADE +∠BDE =∠BAD +∠ABD =90°，∴∠ABD =∠BDE ，∴DE =BE =4．【点睛】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定与性质，以及等角的余角相等的性质，熟记性质并准确识图，准确找出图中相等的角是解题的关键．11．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠=︒．线段EF 是由线段AB 平移得到的，点F 在边BC 上，EFD △是以EF 为斜边的等腰直角三角形，且点D 恰好在AC 的延长线上．（1）求证：ADE DFC ∠=∠；（2）求证：CD BF =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）通过两角和等于90︒，然后通过等量代换即可证明；（2）通过平移的性质，证明三角形全等，得到对应边相等，通过等量代换即可证明．【详解】证明：（1）在等腰直角三角形EDF 中，90EDF ∠=︒，∴90ADE ADF ∠+∠=︒．∵90ACB ∠=︒，∴90DFC ADF ACB ∠+∠=∠=︒，∴ADE DFC ∠=∠．（2）连接AE ．由平移的性质得//,AE BF AE BF =．∴90EAD ACB ∠=∠=︒，∴18090DCF ACB ∠=︒-∠=︒，∴EAD DCF ∠=∠．∵EDF 是等腰直角三角形，∴DE DF =．由（1）得ADE DFC ∠=∠，∴AED CDF ≌，∴AE CD =，∴CD BF =．【点睛】本小题考查平移的性质、直角三角形和等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，解题的关键是：正确添加辅助线、熟练掌握平移的性质和全等三角形的判定与性质．12．如图，点C 在线段AB 上，//,,AD EB AC BE AD BC ==．（1）求证：ADC BCE ∠=∠．（2）若40,20A ADC ∠=︒∠=︒，求CDE ∠的度数．【答案】（1）见详解；（2）50°【分析】（1）由“SAS ”可证△ADC ≌△BCE ，进而可得结论；（2）由全等三角形的性质，三角形外角的性质以及等腰三角形的性质，即可求解．【详解】证明：（1）∵AD ∥BE ，∴∠A ＝∠B ，∵AC ＝BE ，AD ＝BC ，∴△ADC ≌△BCE （SAS ）∴CD ＝CE ，∴ADC BCE ∠=∠；（2）∵△ADC ≌△BCE ，40,20A ADC ∠=︒∠=︒，∴∠DCB ＝60°，∠ADC ＝∠ECB ＝20°，CD ＝CE ，∴∠DCE ＝∠DCB ＋∠ECB ＝80°，∴∠CDE ＝（180°-80°）÷2=50°．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，证明△ADC ≌△BCE 是本题的关键．13．如图，在ABC 中，AB BC =，AB 的垂直平分线DE 交AB 、BC 于点D 、E ．（1）若72C ∠=︒，求B Ð、1∠的度数；（2）若6BD =，7AC =，求AEC 的周长．【答案】（1）36B ∠=︒；154∠=︒；（2）19【分析】（1）可得AE =BE ，则∠B =∠BAE =40°，可求出∠3的度数，再求∠1即可；（2）由AE =BE ，可求出结论．【详解】解：∵AB 的垂直平分线分别交AB ，BC 于点D ，E ，∴BE =AE ，∠ADE =∠BDE ，∵AB =BC ，∴∠C =∠BAC =∠3+∠4=72°，∴∠B =180°-∠C -∠BAC =180°-72°-72°=36°，∴∠3=∠B =36°，∴∠1=90°-∠3=54°；（2）∵BD =6，∴AB =2BD =2×6=12，∴BC =12，∵AE =BE ，∴AE +CE +AC =BC +AC =12+7=19．即△AEC 的周长为19．【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握定理的内容是解题的关键．14．如图，在ABC 中，AB AC =，且120BAC ∠=︒．（1）作AB 的垂直平分线，交AB 于点D ，交BC 于点E ；连接AE ；延长CA ，交直线DE 于点F ；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）（2）在（1）所作的图中，求证：AC AF =．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）作图：分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交AB 于点D ，交BC 于点E（2）根据120BAC ∠=︒和（1）的结论，证明EFC 是等腰三角形，且EA FC ⊥，即可证明AC AF=【详解】（1）如图：分别以,A B 为圆心，大于12AB 为半径作圆弧相交于两点，过两点作直线，交AB 于点D ，交BC 于点E （2）如（1）中所作的图 AB AC =，且120BAC ∠=︒30B C ∴∠=∠=︒DE 是AB 的垂直平分线EA EB∴=∴∠=∠=︒EAB B30120∠=︒,BAC∴90903060∠=︒-∠=︒-︒=︒,AED DAE∠=︒-︒=︒1203090EAC∴∠=︒FAE90∴⊥EA CF∴∠=︒-∠-∠=︒EFA FAE FEA18030∴∠=∠EFA C∴=EF EC是等腰三角形∴EFC⊥又 EA CF∴=AF FC【点睛】是等腰三角形是本题考查了垂直平分线的作图，垂直平分线的性质，等腰三角形的性质与判定，证明EFC解题的关键．15．如图，在△ABC中，AB＝AC，点E，F在边BC上，连接AE，AF，∠BAF＝∠CAE，延长AF至点D，使AD＝AC，连接CD．（1）求证：△ABE≌△ACF；（2）若∠ACF＝30°，∠AEB＝130°，求∠ADC的度数．【答案】（1）见解析；（2）80°【分析】（1）要证明△ABE≌△ACF，由题意可得AB＝AC，∠B＝∠ACF，∠AEF＝∠AFE，从而可以证明结论成立；（2）根据（1）中的结论和等腰三角形的性质可以求得∠ADC的度数．【详解】解：（1）证明：∵AB ＝AC ，∴∠B ＝∠ACF ，∵∠BAF ＝∠CAE ，∴∠BAF ﹣∠EAF ＝∠CAE ﹣∠EAF ，∴∠BAE ＝∠CAF ，在△ABE 和△ACF 中，B ACF AB AC BAE CAF ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△ABE ≌△ACF （ASA ）；（2）解：∵B ＝∠ACF ＝30°，∵∠AEB ＝130°，∴∠BAE ＝180°﹣130°﹣30°＝20°，∵△ABE ≌△ACF ，∴∠CAF ＝∠BAE ＝20°，∵AD ＝AC ，∴∠ADC ＝∠ACD ，∴∠ADC ＝180202︒︒-＝80°．答：∠ADC 的度数为80°．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质及三角形内角和定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．16．如图，,CD BE 是ABC 的两条高线，且它们相交于F ，DH BC ⊥于点H ，DH 与BE 相交于点G ，已知CD BD =．（1）求证：BF AC =．（2）若BE 平分ABC ∠．求证：DFG DGF ∠=∠．【答案】（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）根据垂直的定义得到∠CEF =∠ADC =∠BDF =90°，求得∠ACD =∠DBF ，根据全等三角形的性质即可得到结论；（2）根据DH ⊥BC ，求得∠HGB +∠HBG =90°，根据角平分线的定义得到∠HBG =∠FBD ，求得∠DFG =∠DGF ．【详解】解：（1）证明：∵CD ，BE 是△ABC 的两条高线，∴∠CEF =∠ADC =∠BDF =90°，∵∠CFE =∠BFD ，∴∠ACD =∠DBF ，∵CD =BD ，∴△ACD ≌△FBD （ASA ），∴BF =AC ；（2）∵∠BDC =90°，CD =BD ，∴△BDC 是等腰直角三角形，∵DH ⊥BC ，∴∠HGB +∠HBG =90°，∵BE 平分∠ABC ，∴∠HBG =∠FBD ，∵∠DFB +∠DBF =90°，∴∠DFG =∠BGH ，∵∠BGH =∠DGF ，∴∠DFG =∠DGF ．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．17．如图，ACB △和DCE 均为等腰三角形，AC BC =，DC EC =，点A ，D ，E 在同一直线上，连接BE．（1）如图1，若50CAB CDE ∠=∠=︒．①求证：AD BE =；②则AEB ∠的度数为_______．（2）如图2，若90ACB DCE ∠=∠=︒，CF 为DCE 中DE 边上的高，试猜想AE ，CF ，BE 之间的数量关系，并简要证明你的结论．【答案】（1）①见解析；②80AEB ∠=︒；（2）2AE BE CF =+．理由见解析．【分析】（1）①证明≌ACD BCE V V 即可；②根据①得到ADC BEC ∠∠=结合已知条件，即可求解；（2）由（1）结论，可得ACB △，DCE 都是等腰直角三角形，从而得出结论．【详解】（1）①证明：50CAB CDE ==︒ ∠∠，AC BC =，DC EC =，18025080ACB DCE ∴==︒-⨯︒=︒∠∠，ACB ACD DCB ∠=+ ∠∠，DCE DCB BCE ∠=∠+∠，ACD BCE ∠∠∴=，在ACD △和BCE 中，AC BC ACD BCE DC EC =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ACD BCE SAS ∴△≌△，AD BE ∴=．②80AEB ∠=︒由①≌ACD BCEV V ∴ADC BEC ∠∠=，CD CE= 50CDE CED ∴∠=∠=︒180********ADC CDE ∴∠=︒-∠=︒-︒=︒130BEC ADC ∴∠=∠=︒1305080AEB BEC CED ∴∠=∠-∠=︒-︒=︒（2）结论：2AE BE CF =+．理由：ACB ，DCE 都是等腰直角三角形，45CDE CED ∴∠=∠=︒，由（1）可得AD BE =，CF DE ⊥ ，90CFD ∴∠=︒，DF EF CF ==，2AE AD DE BE CF ∴=+=+．【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练以上性质定理是解题的关键．18．如图，在ABC 中，D 为AB 的中点，10AB AC ==，=8BC ，动点P 从点B 出发，沿BC 方向以3个单位长度每秒的速度向点C 运动；同时动点Q 从点C 出发，沿CA 方向以3个单位长度每秒的速度向点A 运动，运动时间是t 秒．（1）在运动过程中，当t =______秒时，CP CQ =；（2）在运动过程中，当BPD CQP △△≌时，求出t 的值；（3）是否存在某一时刻t ，使BPD CPQ △△≌？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）43；（2）1t =；（3）不存在；答案见解析．【分析】（1）根据题意求出BP ，CQ ，结合图形用含t 的代数式表示CP 的长度，根据CP ＝CQ ，列式计算即可；（2）根据全等三角形的对应边相等列式计算；（3）根据全等三角形的对应边相等列式计算，判断即可．【详解】解：（1）由题意得BP ＝CQ ＝3t ，则CP ＝8﹣3t ，∵CP ＝CQ ，∴8﹣3t ＝3t ，解得，t 43=，则当t 43=时，CP CQ =；（2）∵D 为AB 的中点，AB ＝AC ＝10，∴BD ＝5，∵△BPD ≌△CQP ，∴BD ＝CP ，∴8﹣3t ＝5，解得，t ＝1，则当△BPD ≌△CQP 时，t ＝1；（3）不存在，∵△BPD ≌△CPQ ，∴BD ＝CQ ，BP ＝CP ，则3t ＝5，3t ＝8﹣3t解得，t 53=，t 43=，∴不存在某一时刻t ，使△BPD ≌△CPQ ．【点睛】本题考查的是几何动点运动问题、全等三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握全等三角形的对应边相等是解题的关键．19．如图，在ABC 中，,90AB AC BAC =∠>︒．D 是ABC 内一点，ADC BAC ∠=∠．过点B 作//BE CD 交AD 的延长线于点E ．（1）依题意补全图形；（2）求证：CAD ABE ∠=∠；（3）在（1）补全的图形中，不添加其他新的线段，在图中找出与CD 相等的线段并加以证明．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）AE ；见解析【分析】（1）根据题意作出平行线和交点即可；（2）如图，根据平行，得到∠1=∠ADC=∠BAC ，再根据三角形外角定理得到1ABE BAE ∠=∠-∠，CAD BAC BAE ∠=∠-∠，从而CAD ABE ∠=∠；（3）通过在BE 上截取BG AD =，构造ABG CAD △≌△，再结合平行进一步得到1BGA ∠=∠，从而证明2AGE ∠=∠，=AE AG CD =．【详解】解：补全图形如图6所示．（2）证明：如图7，延长BE 至点F ．∵//BE CD ，点F 在BE 的延长线上，∴1ADC ∠=∠．∵ADC BAC ∠=∠，∴1BAC ∠=∠．∵1∠是ABE △的外角，∴1ABE BAE ∠=∠+∠，∴1ABE BAE ∠=∠-∠．又∵CAD BAC BAE ∠=∠-∠，∴CAD ABE ∠=∠．（3）AE证明：如图8，延长BE 至点F ，在BE 上截取BG AD =，连接AG由（2）得ABG CAD ∠=∠，又∵AB AC=∴ABG CAD △≌△，∴AG CD BGA ADC =∠=∠，．∵1ADC ∠=∠，∴1BGA ∠=∠．∵18021180AGE BGA ∠+∠=︒∠+∠=︒，，∴2AGE ∠=∠．∴AE AG =．∴AE CD =．【点睛】本题主要考查了构造三角形全等，以及外角的相关知识，能够画辅助线构造全等是解决本题的关键．20．在ABC 中，90BAC ∠>︒，AB 的垂直平分线交BC 于点E ，交AB 于点D ，AC 的垂直平分线交BC 于点G ，交AC 于点F ．（1）如图1，若25B ∠=︒，40C ∠=︒，求EAG ∠的度数；（2）如图2，若AB AC =，求证：DE FG =；（3）当AEG △是等腰三角形时，请直接写出所有可能的B Ð与C ∠的数量关系．【答案】（1）50°；（2）见解析；（3）B C ∠=∠、290B C ∠+∠=︒、290B C ∠+∠=︒【分析】（1）知道25B ∠=︒，40C ∠=︒，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，用垂直平分线的性质可求；（2）DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，可得BD CF =，求出BDE CFG △≌△可证DE FG =；（3）分别考虑AE =AG 、AE GE =、AG =GE 时这三种情况即可．【详解】（1）25B ∠=︒ ，40C ∠=︒，180115BAC B C ∴∠=-∠-∠=︒︒；DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，EA EB ∴=，GA GC =，25EAB B ∴∠=∠=︒，40GAC C ∠=∠=︒，50EAG BAC EAB GAC ∴∠=∠-∠-∠=︒；（2）AB AC = ，B C ∴∠=∠，DE ，FG 分别为AB ，AC 的垂直平分线，12BD AB ∴=，12CF AC =，90BDE CFG ∠=∠=︒BD CF∴=在BDE 与CFG △中，B C BD CF BDE CFG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩(ASA)BDE CFG ∴△≌△DE FG∴=（3）当AEG △是等腰三角形时①当AE =AG 时，∴∠AEG =∠AGE ，∵EAB B ∠=∠，GAC C ∠=∠，∴2AEG B BAE B =+=∠∠∠∠，2AGE C CAG C=+=∠∠∠∠∴B C∠=∠②当AE EG =时，∴∠EAG=∠EGA ，∵EAB B ∠=∠，GAC C ∠=∠，∴2AEG B BAE B =+=∠∠∠∠，2AGE C CAG C=+=∠∠∠∠∵°180AEG EAG AGE ++=∠∠∠∴24180B C ∠+∠=︒∴290 B C ∠+∠=︒．③当AG =GE 时，同理可得290B C ∠+∠=︒综上所述：B C ∠=∠、290B C ∠+∠=︒、290 B C ∠+∠=︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质等，准确识图，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键．21．如图，在ABC 中，40A ∠=︒，点D ，E 分別在边AB ，AC 上，BD BC CE ==，连结CD ，BE．（1）若80ABC ∠=︒，求BDC ∠，ABE ∠的度数．（2）写出BEC ∠与BDC ∠之间的关系，并说明理由．【答案】（1）50BDC ∠=︒；20ABE ∠=︒；（2）110BEC BDC ∠+∠=︒，见解析【分析】（1）利用三角形的内角和定理求出ACB ∠的大小，再利用等腰三角形的性质分别求出BDC ∠，ABE ∠．（2）利用三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质，求出用含ABE ∠分别表示BEC ∠，BDC ∠，即可得到两角的关系．【详解】（1）80ABC ∠=︒ ，BD BC =，50BDC BCD ∴∠=∠=︒．在ABC 中，180A ABC ACB ∠+∠+∠=︒，40A ∠=︒ ，60ACB ∠=︒∴，CE BC = ，60EBC ∴∠=︒．20ABE ABC EBC ∴∠=∠-∠=︒．（2）BEC ∠，BDC ∠的关系：110BEC BDC ∠+∠=︒．理由如下：设BEC α∠=，BDC β∠=．在ABE △中，40A ABE ABE α=∠+∠=︒+∠，CE BC = ，CBE BEC α∴∠=∠=．2402ABC ABE CBE A ABE ABE ∴∠=∠+∠=∠+∠=︒+∠，在BDC 中，BD BC =，2402180BDC BCD DBC ABE β∴∠+∠+∠=+︒+∠=︒．70ABE β︒∴=-∠．4070110ABE ABE αβ∴+=︒+∠+︒-∠=︒．110BEC BDC ∴∠+∠=︒．【点睛】本题主要通过求解角和两角之间的关系，考查三角形的内角和定理、三角形外角的性质和等腰三角形的性质．三角形的内角和等于180︒．三角形的外角等于与其不相邻的两个内角之和．等腰三角形等边对等角．22．如图，在四边形ABCD 中，AB DC =，B C ∠=∠，E ，F 是边BC 上的两点，且BE CF =．（1）求证：ABF ≌DCE ．（2）若70APE ∠=°，求ADP Ð的度数．【答案】（1）见解析；（2）35°【分析】（1）利用SAS 证明ABF ≌DCE 即可；（2）先利用等角对等边证得AP DP =，再利用三角形的外角性质即可求解．【详解】（1）证明：∵BE CF =，∴BE EF CF EF +=+，即BF CE =，∵AB DC =，B C ∠=∠，∴ABF ≌DCE (SAS )；（2）∵ABF ≌DCE ，∴AFB DEC ∠=∠，AF DE =，∴EP FP =，∴AP DP =，∴PAD PDA ∠=∠，∵70APE ∠=°，∴35PDA PAD ∠=∠=︒．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，三角形的外角性质，正确的识别图形是解题的关键．23．如图，已知90,,BAD CAE AB AD AE AC ∠=∠=︒==．（1）ABC 与ADE 全等吗？请说明理由；（2）若AF CB ⊥，垂足为F ，请说明线段2CF CE =；（3）在（2）的基础上，猜想线段,,BF DE CD 存在的数量关系，并直接写出结论．【答案】（1）ABC ADE △≌△，理由见解析；（2）理由见解析；（3）2CD BF DE =+．【分析】（1）利用等量代换求出BAC DAE ∠=∠，根据SAS 证明ABC ADE △≌△；（2）延长BF 到G ，使得FG FB =，连接AG BD ，，通过证明CGA CDA ≌，得出CG CD =，然后通过等量代换即可说明；（3）在利用（2）的结论的前提下，再通过等量代换即可得出结论．【详解】解：（1）ABC ADE△≌△证明：90BAD CAE ∠=∠=︒ ，90,90BAC CAD CAD DAE ∴∠+∠=︒∠+∠=︒，BAC DAE ∴∠=∠，在ABC 和ADE 中，AB AD AE AC BAC DAE =⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，()ADE A SA BC S ∴ ≌；（2）2CF CE =，理由如下；延长BF 到G ，使得FG FB =，连接AG BD ，，如下图：AF BG ⊥ ，AB AG ∴=，ABF G ∴∠=∠，ABC ADE △≌△，,,AB AD CBA EDA CB ED =∠=∠=，,AG AD ABF CDA ∴=∠=∠，G CDA ∴∠=∠,90,CAE AC AE ∠=︒= ，45GCA CDA ∴∠=∠=︒，在CGA △和CDA 中，GCA DCA CGA CDA AG AD ∠=∠⎧⎪∠=⎨⎪=⎩，()CGA CDA AAS ∴△≌△，CG CD ∴=，,BC DE BF FG == ，2CE CD DE CF FG DE CF BF BC CF ∴=+=++=++=，2CF CE ∴=．（3）猜想线段,,BF DE CD 存在的数量关系为：2CD BF BE =+，理由如下：由（2）可知：CD CG BC BF FG ==++，,BF FG BC DE == ，通过等量代换得：2CD BF DE =+．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是：掌握全等三角形的判定与性质，同时要熟练运用等量代换的思想来转化．24．如图①，△ABC 中．AB ＝AC ，P 为底边BC 上一点，PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，垂足分别为E 、F 、H ．易证PE ＋PF ＝CH ．证明过程如下：如图①，连接AP ．∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴ABP S △＝12AB•PE ，ACP S ＝12AC•PF ，ABC S ＝12AB•CH ．又∵ABP ACP ABC S S S += ，∴12AB•PE ＋12AC•PF ＝12AB•CH ．∵AB ＝AC ，∴PE ＋PF ＝CH ．（1）如图②，P 为BC 延长线上的点时，其它条件不变，PE 、PF 、CH 又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明：（2）填空：若∠A ＝30°，△ABC 的面积为49，点P 在直线BC 上，且P 到直线AC 的距离为PF ，当PF ＝3时，则AB 边上的高CH ______．点P 到AB 边的距离PE ＝________．【答案】（1）PE ＝PF ＋CH ，证明见解析；（2）7；4或10；【分析】（1）连接AP ．先根据三角形的面积公式分别表示出ABP S △，ACP S ，ABC S ，再由ABP S △＝ACP S ＋ABC S 即可得出PE ＝PF ＋PH ；（2）先根据直角三角形的性质得出AC ＝2CH ，再由△ABC 的面积为49，求出CH ＝7，由于CH ＞PF ，则可分两种情况进行讨论：①P 为底边BC 上一点，运用结论PE ＋PF ＝CH ；②P 为BC 延长线上的点时，运用结论PE ＝PF ＋CH ．【详解】解：（1）如图②，PE ＝PF ＋CH ．证明如下：∵PE ⊥AB ，PF ⊥AC ，CH ⊥AB ，∴ABP S △＝12AB •PE ，ACP S ＝12AC •PF ，ABC S ＝12AB •CH ，∵ABP S △＝ACP S ＋ABC S ，∴12AB •PE ＝12AC •PF ＋12AB •CH ，又∵AB ＝AC ，∴PE ＝PF ＋CH ；（2）∵在△ACH 中，∠A ＝30°，∴AC ＝2CH ．∵ABC S ＝12AB •CH ，AB ＝AC ，∴12×2CH •CH ＝49，∴CH ＝7．分两种情况：①P 为底边BC 上一点，如图①．∵PE ＋PF ＝CH ，∴PE ＝CH －PF ＝7－3＝4；②P 为BC 延长线上的点时，如图②．∵PE ＝PF ＋CH ，∴PE ＝3＋7＝10．故答案为7；4或10．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与三角形的面积，难度适中，运用面积证明可使问题简便，（2）中分情况讨论是解题的关键．25．阅读与思考：在数学活动课上，老师提出了这样一个问题：如图1，已知锐角AOB ∠，C 是OA 边上一点，利用尺规作图在OB 边上求作点P ，使2CPB AOB ∠=∠．小明同学想到了如下的方法，并完成了部分证明．方法：①如图2，分别以点O ，C 为圆心，大于12OC 的长为半径画弧，两弧分别相交于点M ，N ；②作直线MN ，交OB 于点P ，交OC 于点Q ；③连接CP ．则点P 即为所求．证明：如图3，连接ON ，CN ，OM ，CM ．由作图可知，ON CN =，OM CM =．∴点M ，N 均在线段OC 的垂直平分线上．（依据1）∴直线MN 是线段OC 的垂直平分线．（依据2）……（1）上述证明过程中的“依据1”和“依据2”分别指什么？（2）请将上述证明过程补充完整．（3）尺规作图：请在图1中，用不同于小明的方法求作点P ．（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上；依据2：两点确定一条直线；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据作图痕迹可分别写出依据；（2）结合等腰三角形的性质和三角形外角的性质即可补充；（3）作OCP AOB ∠=∠即可．【详解】解：（1）依据1：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上．依据2：两点确定一条直线；（2）∴PC PO =∴POC PCO∠=∠∴2CPB POC PCO AOB ∠=∠+∠=∠；（3）如解图所示，点P 即为所求．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、线段的垂直平分线以及作图能力，较强的阅读能力和对所学知识的灵活应用能力成为解答本题的关键．26．在等腰△ABC 中，AB ＝BC ，点D ，E 在射线BA 上，BD ＝DE ，过点E 作EF ∥BC ，交射线CA 于点F ．请解答下列问题：（1）当点E 在线段AB 上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图①，求证：AE ＋BC ＝CF ；（提示：延长CD ，FE 交于点M ．）（2）当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，如图②；当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，如图③，请直接写出线段AE ，BC ，CF 之间的数量关系，不需要证明；【答案】（1）见解析；（2）BC ＝AE ＋CF 或AE ＝CF ＋BC【分析】（1）延长CD ，FE 交于点M ．利用AAS 证明△MED ≌△CBD ，得到ME ＝BC ，并利用角平分线加平行的模型证明CF ＝MF ，AE ＝EF ，从而得证；（2）延长CD ，EF 交于点M ．类似于（1）的方法可证明当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的角平分线时，BC ＝AE ＋CF ，当点E 在线段BA 的延长线上，CD 是△ACB 的外角平分线时，AE ＝CF ＋BC ．【详解】解：（1）如图①，延长CD ，FE 交于点M ．∵AB ＝BC ，EF ∥BC ，∴∠A ＝∠BCA ＝∠EFA ，∴AE＝EF，∴MF∥BC，∴∠MED＝∠B，∠M＝∠BCD，又∵∠FCM＝∠BCM，∴∠M＝∠FCM，∴CF＝MF，又∵BD＝DE，∴△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，∴CF＝MF＝ME＋EF＝BC＋AE，即AE＋BC＝CF；（2）当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的角平分线时，BC＝AE＋CF，如图②，延长CD，EF交于点M．由①同理可证△MED≌△CBD（AAS），∴ME＝BC，由①证明过程同理可得出MF＝CF，AE＝EF，∴BC＝ME＝EF＋MF＝AE＋CF；当点E在线段BA的延长线上，CD是△ACB的外角平分线时，AE＝CF＋BC．如图③，延长CD交EF于点M，由上述证明过程易得△MED ≌△CBD （AAS ），BC ＝EM ，CF ＝FM ，又∵AB ＝BC ，∴∠ACB ＝∠CAB ＝∠FAE ，∵EF ∥BC ，∴∠F ＝∠FCB ，∴∠F ＝∠FAE ，∴EF ＝AE ，∴AE ＝FE ＝FM ＋ME ＝CF ＋BC ，即：AE ＝CF ＋BC ．【点睛】本题是考查了角平分线、平行线和等腰三角形及全等三角形的综合题，关键是添加恰当的辅助线，构建角平分线加平行的模型，是一道较好的中考真题．27．如图，已知等腰ABC 中，,90,AB AC A CD =∠<︒是ABC 的高，BE 是ABC 的角平分线，CD 与BE 交于点P ，当A ∠的大小变化时，EPC 的形状也随之改变．（1）当44A ∠=︒时，求BPD ∠的度数；（2）求A ∠和EPC ∠的关系；（3）当A ∠的度数为___________时，EPC 是等腰三角形．【答案】（1）56°；（2）454C A EP ∠+∠=︒；（3）36︒或1807⎛⎫︒ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据等边对等角求出等腰△ABC 的底角度数，再根据角平分线的定义得到∠ABE 的度数，再根据高的定义得到∠BDC =90°，从而可得∠BPD ；（2）按照（1）中计算过程，即可得到∠A 与∠EPC 的关系，即可得到结果；（3）分①若EP =EC ，②若PC =PE ，③若CP =CE ，三种情况，利用∠ABC +∠BCD =90°，以及454C A EP ∠+∠=︒解出∠A 即可．【详解】解：（1）AB AC = ，44A ∠=︒，(18044)268ABC ACB ∴∠=∠=-︒÷=︒，CD AB ⊥ ，90BDC ∴∠=︒，BE 平分ABC ∠，34ABE CBE ∴∠=∠=︒，903456BPD ∴∠=︒-︒=︒；（2）∵(180)2902A ABC A ∠∠=︒-∠÷=︒-，由（1）可得：14524A ABP ABC ∠∠=∠=︒-，90BDC ∠=︒，90454544A EPC BPD A ∠⎛⎫∴∠=∠=︒-︒-︒+ ⎪⎭∠=⎝；（3）设A x ∠=︒，EPC y ∠=︒，①若EP EC =，则ECP EPC y ∠=∠=︒，而(90)2x ABC ACB ∠=∠=-︒，90ABC BCD ∠+∠=︒，则有：(90)(90)9022x x y -︒+--︒=︒，又454x y =︒+，代入，(90)(90)(45)90224x x x ∴-︒+-︒-+︒=︒，解得：36x =；②若PC PE =，则(180)2(90)2y PCE PEC y ∠=∠=-︒÷=-︒，由①得：90ABC BCD ∠+∠=︒，(90)[(90)(90)]90222x x y ∴-︒+-︒--︒=︒，又454x y =︒+，代入，解得：1807x =；③若CP CE =，则EPC PEC y ∠=∠=︒，1802PCE y ∠=︒-︒，由①得：90ABC BCD ∠+∠=︒，(90)(90)(1802)9022x x y ∴-︒+-︒--︒=︒，又454x y =︒+，代入，解得：0x =，不符合，综上：当EPC ∆是等腰三角形时，A ∠的度数为36︒或180(7︒．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，二元一次方程组的应用，高与角平分线的定义，有一定难度，关键是找到角之间的等量关系．28．如图1，在△ABC 中，BO ⊥AC 于点O ，AO ＝BO ＝3，OC ＝1，过点A 作AH ∠BC 于点H ，交BO 于点P ．（1）求线段OP 的长度；（2）连接OH ，求证：∠OHP ＝45°；（3）如图2，若点D 为AB 的中点，点M 为线段BO 延长线上一动点，连接MD ，过点D 作DN ⊥DM 交线段A 延长线于N 点，则S △BDM －S △ADN 的值是否发生改变，如改变，求出该值的变化范围；若不改变，求该式子的值．【答案】（1）1；（2）见解析；（3）不改变，94【分析】（1）证△OAP ≌△OBC （ASA ），即可得出OP =OC =1；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，证△COM ≌△PON （AAS ），得出OM =ON ．得出HO 平分∠CHA ，即可得出结论；（3）连接OD ，由等腰直角三角形的性质得出OD ⊥AB ，∠BOD =∠AOD =45°，OD =DA =BD ，则∠OAD =45°，证出∠DAN =∠MO D ．证△ODM ≌△ADN （ASA ），得S △ODM =S △ADN ，进而得出答案．【详解】解：（1）∵BO ⊥AC ，AH ⊥BC ，∴∠AOP ＝∠BOC ＝∠AHC ＝90°，∴∠OAP +∠C ＝∠OBC +∠C ＝90°，∴∠OAP ＝∠OBC ，在△OAP 和△OBC 中，AOP BOC AO BO OAP OBC ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩，∴△OAP ≌△OBC （ASA ），∴OP ＝OC ＝1；（2）过O 分别作OM ⊥CB 于M 点，作ON ⊥HA 于N 点，如图1所示：在四边形OMHN 中，∠MON ＝360°﹣3×90°＝90°，∴∠COM ＝∠PON ＝90°﹣∠MOP ．在△COM 与△PON 中，COM PON OMC ONP OC OP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△COM ≌△PON （AAS ），∴OM ＝ON．。

《等腰三角形的判定》练习

《等腰三角形的判定》练习篇一：等腰三角形经典练习题[1]等腰三角形练习知识梳理说明：①本定理的证明用的是作底边上的高，还有其他证明方法（如作顶角的平分线）。

②证明一个三角形是等腰三角形的方法有两种：1、利用定义2、利用定理。

知识点4：等腰三角形的推论1. 推论：推论1：三个角都相等的三角形是等边三角形。

推论2：有一个角等于60°的等腰三角形是等边三角形。

推论3：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半。

知识点5：等腰三角形中常用的辅助线等腰三角形顶角平分线、底边上的高、底边上的中线常常作为解决有关等腰三角形问题的辅助线，由于这条线可以把顶角和底边折半，所以常通过它来证明线段或角的倍分问题，在等腰三角形中，虽然顶角的平分线、底边上的高、底边上的中线互相重合，添加辅助线时，有时作哪条线都可以，有时需要作顶角的平分线，有时则需要作高或中线，这要视具体情况来定。

一、知识点回顾等腰三角形的性质：△ABC中，AB=AC．点D在BC边上（1）∵AB=AC，∴∠_____=∠______；（即性质1）（2）∵AB=AC，AD平分∠BAC，∴_______=________；________⊥_________；（即性质2）（3）∵AB=AC，AD是中线，∴∠______=∠______；________⊥________；（即性质2）（4）∵AB=AC，AD⊥BC，∴∠________=∠_______；_______=_______．（即性质2）等腰三角形的判定：△ABC中，∵∠B=∠C ∴_____=_____．二、基础题第1题. 已知等腰三角形的一个内角为80°，则它的另两角为________________．第2题. 在△ABC中，∠ABC=∠C=2∠A，BD是∠ABC的平分线，DE∥BC，则图中等腰三角形的个数是（） A．2B．3C．4D．5第3题. 如图1，△MNP中，∠P=60°，MN=NP，MQ⊥PN，垂足为Q，延长MN至G，取NG=NQ，若△MNP的周长为12，MQ=a，则△MGQ 周长是（）B知识点1：等腰三角形的性质定理1（1）文字语言：等腰三角形的两个底角相等（简称“等边对等角”）（2）符号语言：如图，在△ABC中，因为AB=AC，所以∠B=∠C （3）证明：取BC的中点D，连接AD在△ABD和△ACD中∴△ABD≌△ACD（SSS）∴∠B=∠C（全等三角形对应角相等）（4）定理的作用：证明同一个三角形中的两个角相等。

专题：等腰三角形的性质与判定(答案)

专题：等腰三角形的性质与判定※题型讲练考点一等腰三角形的性质定理1：“等边对等角”1．等腰三角形的性质定理：(1)性质定理1：等腰三角形的两个相等(该定理可以简写成“”)．注意：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的中线(顶角平分线、底边上的高) ．【例1】(1)已知等腰三角形的一个外角是100°，则其底角的度数是50°或80°．(2)如图，在等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD⊥AC于点D，则∠CBD＝___18°_____．(3)如图，在△ABC中，D在BC上，若AD＝BD，AB＝AC＝CD，则∠BAC的度数是108°．(4)如图，AD是△ABC的角平分线，EF是AD的垂直平分线，交BC的延长线于点F，连接AF．求证：∠BAF＝∠ACF．变式训练1：1．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则其顶角为60°或120°．2．如图，等腰△ABC中，AB＝AC，∠DBC＝15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数度数是50°．3．如图，在△ABC中，AB=AC，D是AB上一点，延长CA到点E，使AE=AD，求证：ED⊥BC．考点二等腰三角形的性质定理2：“三线合一”(2)性质定理2：等腰三角形的的角平分线、底边上的、底边上的互相重合，简写成“”．【例2】(1)如图，在△ABC中，AB＝AC，D为BC中点，∠BAD ＝35°，则∠C的度数为___55°_____．(2)如图，△ABC的周长为32，且AB＝AC，AD⊥BC于点D，△ACD的周长为24，则AD的长为____8___．(3)如图，△ABC中，AB＝AC＝10cm，S△ABC＝48cm2，AD平分∠BAC，DE⊥AC于点E，则DE等于___4.8____．变式训练2：1．如图，在△ABC中，AB=AC，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若∠CAD=20°，则∠ACE的度数是___35°___．2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC边的中点，作∠EAB ＝∠BAD，AE边交CB的延长线于点E，延长AD到点F，使AF＝AE，连接CF．试证明：BE＝CF．考点三等腰三角形的判定定理：“等角对等边”1．等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有相等，那么这两个角所对的边也相等(简写成“”)．【例2】(1)如图，∠B＝∠C＝36°，∠ADE＝∠AED＝72°，则图中的等腰三角形的个数为( D )A．3个B．4个C．5个D．6个(2)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，AE是∠BAC的角平分线，AE与CD交于点F，求证：△CEF是等腰三角形．(3)如图，AD是△ABC的角平分线，BE⊥AD交AD的延长线于点E，EF∥AC交AB于点F．求证：AF＝FB．变式训练3：1．如图，在△ABC中，BP平分∠CBA，AP平分∠CAB，且DE∥AB，若CB＝12，AC＝18，则△CDE的周长是____30____．2．如图，△ABC中，∠B＝2∠C，AD是∠BAC的平分线．求证：AC＝AB＋BD．考点四等腰三角形的综合问题【例4】如图，在△ABC中，AB＝AC，点D、E、F分别在AB 、BC 、AC边上，且BE＝CF，BD＝CE．(1)求证：△DEF是等腰三角形；(2)当∠A＝50°时，求∠DEF的度数．※课后练习1．等腰三角形是轴对称图形，它的对称轴是( D )A．过顶点的直线B．腰上的高所在的直线C．顶角的角平分线D．底边的垂直平分线2．如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，以B为圆心，BC 的长为半径画弧，交AC于点D，连接BD，则∠ABD＝(B) A．30°B．45°C．60°D．90°3．如图所示，已知AB＝AC＝BD，那么∠1和∠2之间的关系是(D)A．∠1＝2∠2 B．2∠1－∠2＝180°C．∠1＋3∠2＝180°D．3∠1－∠2＝180°4．已知等腰三角形中有一个内角为70°，则该等腰三角形的顶角度数为70°或40°．5．如图，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝4 cm，则CD等于____4 cm ___．6．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点E在CA延长线上，EP⊥BC于点P，交AB于点F．若AF=3，BF=5，则CE的长度为11．7．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(2，4)，在坐标轴上确定一点P，使△AOP为等腰三角形，则所有符合条件的点P有8 个．8．如图，在△ABC中，AB＝AC，D，E分别在AC，AB边上，且BC＝BD，AD＝DE＝EB．则∠A的度数为45°．9．如图所示，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD⊥BC于D，BE 交AD于F，交AC于E．(1)若BE平分∠ABC，试判断△AEF的形状，并说明理由；(2)若AE＝AF，请证明BE平分∠ABC．10．如图，AD是∠BAC的平分线，AB=AC+DC．求证：∠C=2∠B．证明：在AB上截取AE=AC，连接DE．∵AB=AC+DC，AE=AC，∴BE=DC．∵AD是∠BAC的平分线，∴∠EAD=∠CAD，∴△AED≌△ACD( SAS )．∴DE=DC=BE，∠AED=∠C，∴∠B=∠EDB．∵∠AED=∠B+∠EDB，∴∠AED=2∠B，∴∠C=2∠B．11．如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC上任意一点，过点D 分别向AB，AC引垂线，垂足分别为E，F．(1)当点D在BC的什么位置时，DE=DF?请给出证明．(2)过点C作AB边上的高CG，请问DE，DF，CG的长度之间存在怎样的数量关系?并加以证明．解：(1)当D为BC的中点时，DE=DF．∵D为BC的中点，∴BD=CD．∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠DEB=∠DFC=90°，∴△BED≌△CFD( AAS )，∴DE=DF．(2)CG=DE+DF．连接AD，∵S△ABC=S△ADB+S△ADC，AB×CG=AB×DE+AC×DF，又∵AB=AC，∴CG=DE+DF．12．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，将一块三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将此三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC，CB于点D，E，图1，图2，图3是旋转得到的三种图形．(1)以图2为例证明：PD=PE；(2)△PBE能否构成等腰三角形？若能，求出∠PEB的度数；若不能，请说明理由．。

等腰三角形的性质和判定练习题

等腰三角形的性质和判定一、单选题1．以下判断中错误的是（）A ．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B ．有一内角为60︒的等腰三角形是等边三角形C ．等腰三角形一定是锐角三角形D ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合2．如图，在ABC 中，AB AC =，65C ︒∠=，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作//DF AB 交AC 于点E ，则FEC ∠的度数是（）．A ．120︒B ．130︒C ．145︒D ．150︒3．如图，直线a ，b 相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O ，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为（）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或150︒D ．60︒或120︒5．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则△E ＝（）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°二、填空题6．已知△ABC 是等腰三角形．若△A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．7．如图，AB AC =，若AD 平分BAC ∠，则AD 与BC 的位置关系是_______．8．已知：如图，ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，且//DE BC ．若6cm,8cm AB AC ==，则ADE 的周长为______．9．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在CA 延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F ，若10CE =，3AF =，则BF 的长度为______．三、解答题10．等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长.11．如图，BD 是ABC 的角平分线，DE BC ∥，交AB 于点E ．(1)求证：EBD EDB ∠=∠．(2)当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．12．如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．13．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分△ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF △BC 交AB 于点F ．（1）若△C ＝36°，求△BAD 的度数．（2）求证：FB ＝FE ．。

等腰三角形练习题

等腰三角形基础知识巩固：1．等腰三角形定义：2．等腰三角形的性质：3．等腰三角形的判定：【知识点简单运用】例1、如图，在△ABC中，ACAB=，D在AC上，且,BD BC AD==求△ABC各角的度数。

练习：1、如图△ABC是等腰直角三角形（AB=AC,∠BAC=90°），AD是底边BC上的高，标出∠B，∠C，∠BAD，∠DAC的度数，图中有哪些相等的线段？A2、如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°.求∠B和∠C的度数。

例2：求证：如果三角形的一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形。

（写出已知和求证，画出图形）随堂练习：1．如图1，在△ABC中，AB=AC，∠A=50°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC=_____°（1）（2）2．如图2，一个顶角为40°的等腰三角形纸片，剪去顶角后，得到一个四边形，则∠1+∠2=________度．3.等腰△ABC的底边BC=8cm，腰长AB=5cm，一动点P在底边上从点B开始向点C以0.25cm/秒的速度运动，当点P运动到PA与腰垂直的位置时，点P•运动的时间应为________．动手操作：拿出一张类似于如图（1）的矩形纸张，按照虚线对折如图（2），按（3）中的线段剪开，得到图形（4），DE 、DF 分别是边AC 、BC 上的高线，观察DF 与DE 的关系，并给予证明。

（1）（2）（3）（4）（5）如果DE 、DF 是两边上的中线或者是∠ADC ，∠BDC 的平分线，它们还相等吗？【例题经典】根据等腰三角形的性质寻求规律例1．在△ABC 中，AB=AC ，∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB ，BD 与CE 相交于点O ，如图，∠BOC 的大小与∠A 的大小有什么关系？若∠1=13∠ABC ，∠2=13∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？若∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n∠ACB ，则∠BOC 与∠A 大小关系如何？【分析】在上述条件由特殊到一般的变化过程中，根据等腰三角形的性质，∠1=∠2，∠ABD=∠ACE ，即可得到∠1=12∠ABC ，∠2=12∠ACB 时，∠BOC=90°+12∠A ； ∠1=13∠ABC ，∠2=13∠ACB 时，∠BOC=120°+13∠A ； ∠1=1n ∠ABC ，∠2=1n ∠ACB 时，∠BOC=1n n·180°+∠A ．【点评】在例1图中，若AE=1n AB ，AD=1nAC ．类似上题方法同样可证得BD=CE ．•上述规律仍然存在．练习：如图，在下列三角形中若AB=AC ，则能被一条直线分成两个小等腰三角形的是。

初中数学：等腰三角形练习(含答案)

初中数学：等腰三角形练习（含答案）一、选择题1、等腰三角形一底角为50°,则顶角的度数为（）A、65B、70C、80D、40【答案】C【解析】试题分析：根据三角形的内角和定理求解.解：等腰三角形的顶角度数=180°-50°-50°=80°.故应选C考点：等腰三角形的性质2、如图,在△ABC中,AB=AC,∠A=36°,BD,CE分别为∠ABC,∠ACB的角平分线,则图中等腰三角形共有（）A． 5个B． 6个C．7个D．8个【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形两底角相等和∠A=36°,求出∠ABC和∠ACB的度数,再根据角平分线的定义求出∠ABD、∠CBD、∠ACE、∠BCE的度数,利用三角形外角定理求出∠BOE、∠COD的度数,根据等角对等边进行判断.解：如下图所示,∵AB=AC,∠A=36°,∴∠ABC=∠ACB=72°,∵BD平分∠ABC,CE平分∠ACB,∴∠ABD=∠C BD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°,∴△ABD、△BCD、△ACE、△BCE、△OBC是等腰三角形；∴∠BEC=∠A+∠ACE=72°,∠BOE=∠BCE+∠CBD=72°,∴∠BEC=∠BOE,同理可得：∠CDO=∠COD,∴△BOE、△COD是等腰三角形；又△ABC是等腰三角形,∴共有8个等腰三角形.故应选D.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定3、下列条件中不能确定是等腰三角形的是（）A．三条边都相等的三角形B．一条中线把面积分成相等的两部分的三角形C．有一个锐角是45°的直角三角形D．一个外角的平分线平行于三角形一边的三角形【答案】D【解析】试题分析：根据等腰三角形的定义和等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、三条边都相等的三角形是特殊的等腰三角形,故A选项正确；B选项、三角形任何一条边上的中线都能把三角形分成面积相等的两个三角形,故B选项错误；C选项、有一个锐角是45°的直角三角形的另一个锐角也是45°,根据等角对等边可得这是一个等腰三角形,故C选项正确；D选项、如果一个外角的平分线平行于三角形一边,利用平行线的性质可证三角形的两个角相等,根据等角对等边可证这是一个等腰三角形,故D选项正确.故应选B考点：等腰三角形的判定4、下列能断定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=30°,∠B=60°B．∠A=50°,∠B=80°C． AB=AC=2,BC=4 D．AB=3,BC=7,周长为13【答案】B【解析】试题分析：根据等腰三角形的判定定理进行判断.解：A选项、若∠A=30°,∠B=60°,则∠C=90°,不能判定△ABC为等腰三角形；B选项、若∠A=50°,∠B=80°,则∠C=50°,根据等角对等边能判定△ABC为等腰三角形；C选项、若AB=AC=2,BC=4,因为2+2=4,所以不能构成三角形；D选项、若AB=3,BC=7,周长为13,则AC=3,因为3+3<7,所以不能构成三角形.故应选B.考点：等腰三角形的判定5、已知下列各组数据,可以构成等腰三角形的是（）A． 1,2,1 B．2,2,1 C． 1,3,1 D．2,2,5【答案】B【解析】试题分析：根据三角形三边的关系进行判断.解：A选项、因为1+1=2,所以不能构成三角形；B选项、因为2+1>2,能构成三角形,所以可以构成等腰三角形；C选项、因为1+1<3,所以不能构成三角形；D选项、因为2+2<5,所以不能构成三角形.故应选B.考点：三角形三边关系6、小明将两个全等且有一个角为60°的直角三角形拼成如图所示的图形,其中两条较长直角边在同一直线上,则图中等腰三角形的个数是（）Ａ．4 Ｂ．3 Ｃ．2 Ｄ．1【答案】B【解析】试题分析：根据直角三角形的性质求出各角的度数,根据等角对等边进行判断. 解：∵∠B=∠E=60°,∴∠A=∠D=30°,∴△MAD是等腰三角形；∵∠EMG-∠A+∠D=60°,∴△EGM是等腰三角形；同理可证△BHM是等腰三角形.∴共有三个等腰三角形.故应选B考点：1.直角三角形的性质；2.等腰三角形的判定二、填空题7、一个等腰三角形的两边分别为3cm和4cm,则它的周长为_________；【答案】10cm或11cm【解析】试题分析：根据三角形的周长公式分情况进行计算.解：当三角形三边分别是3cm、3cm、4cm时,三角形的周长是3+3+4=10cm；当三角形三边分别是3cm、4cm、4cm时,三角形的周长是3+4+4=11cm.故答案是10cm或11cm.考点：等腰三角形的性质8、在方格纸上有一个△ABC,它的顶点位置如图所示,则这个三角形是三角形.【答案】等腰【解析】试题分析：根据点A在BC的垂直平分线上,可证AB=AC,所以这个三角形是等腰三角形.解：∵点A在BC的垂直平分线上,∴AB=AC,∴△ABC是等腰三角形.故答案是等腰.考点：1.线段垂直平分线的性质；2.等腰三角形的定义9、如果一个三角形有两个角分别为80°,50°,则这个三角形是_________三角形．【答案】等腰【解析】试题分析：根据三角形内角和求出三角形的另一个内角,根据等角对等边进行判断.解：∵第三个角=180°-50°-80°=50°.∴这个三角形是等腰三角形.故答案是等腰.考点：等腰三角形的判定10、用若干根火柴（不折断）紧接着摆成一个等腰三角形,一边用了10根火柴,则至少还要用_________根火柴．【答案】11【解析】试题分析：根据用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边和腰,分两种情况进行讨论.解：当用10根火柴组成的边是等腰三角形的底边时,则每个腰上至少用6根火柴棍,∴共需要12根火柴棍；当用10根火柴组成的边是等腰三角形的腰时,则另一个腰上需要用10根火柴棍,底边至少用1根火柴,∴共需要11根火柴棍.∴至少还要用11根火柴.故答案是11.考点：1.等腰三角形的定义；2.三角形三边关系11、如图,△ABC是等腰三角形,且AB=AC,BM,CM分别平分∠ABC,∠ACB,DE 经过点M,且DE∥BC,则图中有_________个等腰三角形．【答案】5【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质可得∠ABC=∠ACB,根据平行线的性质可证∠ADE=∠AED,根据角平分线的性质可证∠DBM=∠MBC=∠DMB=∠EMC=∠ECM=∠BCM,根据等角对等边进行证明.解：∵△ABC是等腰三角形,∴∠ABC=∠ACB,∵DE∥BC,∴∠ADE=∠AED,∴△ADE是等腰三角形；∵BM平分∠ABC,∴∠DBM=∠CBM,∵BC∥DE,∴∠DMB=∠CBM,∴∠DBM=∠DMB,∴△DBM是等腰三角形,同理可得△EMC是等腰三角形；又∵∠ABC=∠ACB,∴∠MBC=∠MCB,∴△MBC是等腰三角形.∵△ABC是等腰三角形.∴共有5个等腰三角形.故答案是5.考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定三、解答题12、已知：如图,OA平分∠BAC,∠1=∠2．求证：△ABC是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：首先过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,根据角平分线的性质可证OE=OF,根据HL可证Rt△OBE≌Rt△OCF,利用全等三角形的性质可证∠5=∠6,所以可证∠ABC=∠ACB,根据等角对等边可证结论成立.证明：如下图所示,过点O作OE⊥AB于E,OF⊥AC于F,∵AO平分∠BAC,∴OE=OF（角平分线上的点到角两边的距离相等）．∵∠1=∠2,∴OB=OC．∴Rt△OBE≌Rt△OCF（HL）．∴∠5=∠6．∴∠1+∠5=∠2+∠6．即∠ABC=∠ACB．∴AB=AC．∴△ABC是等腰三角形．考点：1.角平分线的性质；2.等腰三角形的判定定理；3.全等三角形的判定和性质13、如图,△ABC中,∠A=36°,AB=AC,CD平分∠ACB,试说明△BCD是等腰三角形．【答案】证明见解析【解析】试题分析：根据等腰三角形的性质求出∠B=∠ACB=72°,根据角平分线的定义可以求出∠ACD=∠A=36°,根据三角形外角的性质可以求出∠ADB=72°,再根据等角对等边可证结论成立.证明：∵∠A=36°,AB=AC,∴∠B=∠ACB=72°,∵CD平分∠ACB,∴∠ACD=∠A=36°,∴∠BDC=∠A+∠ACD,∴∠BDC=∠B=72°,∴△BCD是等腰三角形．考点：1.等腰三角形的性质；2.等腰三角形的判定14、如图,ABC△中,∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,过点F作DE∥BC分别交AB、AC于D、E,已知△ADE的周长为20cm,且BC=12cm,求△ABC的周长【答案】32cm.【解析】试题分析：首先根据角平分线的性质可证∠DBF=∠FBC,根据平行线的性质可证∠DFB=∠DBF,所以可证BD=DF,同理可证EC=EF,所以可证AD+AE+DF+EF=20cm,再根据BC的长度求出△ABC的周长.解：∵∠ABC、∠ACB的平分线交于点F,∴∠DBF=∠FBC,又∵DE∥BC,∴∠DFB=∠FBC,∴∠DFB=∠DBF,∴BD=DF,同理EC=EF,∵△ADE的周长为20cm,∴AD+AE+DF+EF=20cm,∴AD+AE+BD+EC=AB+AC=20cm又∵BC=12cm,∴AB+AC+BC=32cm即△ABC的周长为32cm.考点：1.等腰三角形的判定；2.等腰三角形的性质。

等腰三角形的性质基础练习

等腰三角形的性质基础练习一．选择题（共10小题）1．若一个等腰三角形的两边长分别是2和5，则它的周长为（）A．12 B．9 C．12或9 D．9或72．已知一个等腰三角形的两边长a、b 满足方程组，则此等腰三角形的周长为（）A．5 B．4 C．3 D．5或43．已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）A．50°B．80°C．50°或80°D．40°或65°4．如图，在△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为（）第4题第5题第6题第9题A．35°B．45°C．55°D．60°5．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，BD⊥AC，∠ABC=72°，则∠ABD=（）A．36°B．54°C．18°D．64°6．如图，等腰三角形ABC中，AB=AC，BD平分∠ABC，∠A=36°，则∠1的度数为（）A．36°B．60°C．72°D．108°7．在等腰△ABC中，AB=AC，其周长为16cm，则AB边的取值范围是（）A．1cm＜AB＜4cm B．3cm＜AB＜6cm C．4cm＜AB＜8cm D．5cm＜AB＜10cm 8．若x，y满足|x﹣3|+=0，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长为（）A．12 B．14 C．15 D．12或159．如图，AB=AC=AD，若∠BAD=80°，则∠BCD=（）A．80°B．100°C．140°D．160°二．填空题（共5小题）10．如图，△ABC中，D是BC上一点，AC=AD=DB，∠BAC=102°，则∠ADC=度．11．等腰三角形的一个外角是60°，则它的顶角的度数是．12．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角的度数为20°，则顶角的度数是．13．如图，在等腰△ABC 的两腰AB 、BC 上分别取点D 和E ，使DB=DE ，此时恰有∠ADE=∠ACB ，则∠B 的度数是．14．如图，在△ABC 中，AB=AC ，且D 为BC 上一点，CD=AD ，AB=BD ，则∠B 的度数为．三．解答题15．如图，已知AB=AC=AD ，且AD ∥BC ，求证：∠C=2∠D ．16．如图，在△ABC 中，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，BE ⊥AC 于点E ．求证：∠CBE=∠BAD ．17．如图，在△ABC 中，AB=AC ，D 、E 在BC 上，且AD=AE ，求证：BD=CE ．第13题第14题。

人教版八年级下册数学专题复习及练习(含解析)：等腰三角形

专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

（2）三个角都相等的三角形是等边三角形。

（3）有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形。

知识点3：直角三角形的一个定理在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．【例题1】如图，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，求：△ABC各角的度数．【例题2】证明：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半．已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠BAC=30°．求证：BC=AB ．【例题7】已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（）A ．B ．C ．D ．不能确定【例题3】如图，已知AC ⊥BC ，BD ⊥AD ，AC 与BD 交于点O ，AC=BD.求证：(1)BC=AD ；(2)△OAB 是等腰三角形.一、选择题1.已知等边三角形的边长为3，点P 为等边三角形内任意一点，则点P 到三边的距离之和为（）12C AA．B．C．D．不能确定2.如图所示，点D是△ABC的边AC上一点（不含端点），AD=BD，则下列结论正确的是（）A．AC＞BC B．AC=BC C．∠A＞∠ABC D．∠A=∠ABC3．如图，∠AOB=120°，OP平分∠AOB，且OP=2．若点M，N分别在OA，OB上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN有（）A．1个B．2个C．3个D．3个以上4.如图所示，底边BC为2，顶角A为120°的等腰△ABC中，DE垂直平分AB于D，则△ACE的周长为（）A．2+2B．2+C．4 D．3二、解答题5.已知：在△ABC中，AB=AC，D为AC的中点，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为点E，F，且DE=DF．求证：△ABC是等边三角形．6.如图，在△ABC中，过C作∠BAC的平分线AD的垂线，垂足为D，DE∥AB交AC于E．求证：AE=CE．7.求证：如果三角形一个外角的平分线平行于三角形的一边，那么这个三角形是等腰三角形．已知：∠CAE 是△ABC 的外角，∠1=∠2，AD ∥BC （如图）．求证：AB=AC ．8.已知：如图，AD ∥BC ，BD 平分∠ABC ．求证：AB=AD ．9.证明：等腰三角形两底角的平分线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 是△ABC 的平分线．求证：BD=CE ．10.证明：等腰三角形两腰上的高相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BE 、CF 分别是△ABC 的高．E DCAB11.证明：等腰三角形两腰上的中线相等．已知：如图，在△ABC 中，AB=AC ，BD 、CE 分别是两腰上的中线．求证：BD=CE ．12.已知：如图，在△ABC 中，AB=AC=2a ，∠ABC=∠ACB=15°，CD 是腰AB 上的高．求：CD 的长．13．已知：如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD 是高，∠A=30°．求证：BD=AB ．14.已知直角三角形的一个锐角等于另一个锐角的2倍，这个角的平分线把对边分成两条线段．求证：其中一条是另一条的2倍．已知：在Rt △ABC 中，∠A=90°，∠ABC=2∠C ，BD 是∠ABC 的平分线．1415.已知：如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=AB ．求证：∠BAC=30°．16.已知，如图，点C 为线段AB 上一点，△ACM 、△CBN 是等边三角形．求证：AN=BM ．17．一个直角三角形房梁如图所示，其中BC ⊥AC ，∠BAC=30°，AB=10cm ， CB 1⊥AB ，B 1C ⊥AC 1，垂足分别是B 1、C 1，那么BC 的长是多少？18.如图，△ABC 中，AB=AC ，∠A=36°，AC 的垂直平分线交AB 于E ，D 为垂足，连接EC ．（1）求∠ECD 的度数；（2）若CE=5，求BC 长．12专题13.3 等腰三角形知识点1：等腰三角形1.等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形．相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫底角．2.等腰三角形的性质：（1）等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）．（2）等腰三角形的顶角平分线，底边上的中线、底边上的高互相重合（通常称作“三线合一”）．3.等腰三角形的判定定理：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）．知识点2：等边三角形1.定义：三条边相等的三角形叫做等边三角形．2.等边三角形的性质和判定：（1）等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°。

【基础练习】《等腰三角形》(数学沪科版八上)

15.3《等腰三角形》基础练习第1课时《等腰三角形的性质定理及推论》一、选择题1．已知等腰三角形的顶角为40°，则这个等腰三角形的底角为（）A．40°B．70°C．100°D．140°2．若等腰三角形中有两边长分别为2和5，则这个三角形的第三条边长为（）A．2或5 B．3 C．4 D．53．如图，AB∥CD，AD=CD，∠1=65°，则∠2的度数是（）A．50°B．60°C．65°D．70°4．如图，AD，CE分别是△ABC的中线和角平分线．若AB=AC，∠CAD=20°，则∠ACE的度数是（）A．20°B．35°C．40°D．70°5．若实数m、n满足等式|m﹣2|+=0，且m、n恰好是等腰△ABC的两条边的边长，则△ABC的周长是（）A．12 B．10 C．8 D．66．若等腰三角形的一个外角等于140°，则这个等腰三角形的顶角度数为（）A．40°B．100°C．40°或70°D．40°或100°7．如图，已知DE∥BC，AB=AC，∠1=125°，则∠C的度数是（）A．55°B．45°C．35°D．65°8．如图，△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，且AD=AE，则∠EDC等于（）A．10°B．12.5°C．15°D．20°二、填空题9．等腰三角形的一个底角为50°，则它的顶角的度数为．10．一个等腰三角形的两边长分别为4cm和9cm，则它的周长为cm．11．已知等腰三角形的一个外角为130°，则它的顶角的度数为．12．如图，△ABC中．点D在BC边上，BD=AD=AC，E为CD的中点．若∠CAE=16°，则∠B 为度．13．我们规定：等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，则该等腰三角形的顶角为度．三、解答题14．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE．求证：BD=CE．15．如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，（1）求证：DB=DE．（2）在图中过D作DF⊥BE交BE于F，若CF=4，求△ABC的周长．第2课时一、选择题1．以下列各组数据为边长，可以构成等腰三角形的是（）A．1，1，2 B．1，1，3 C．2，2，1 D．2，2，52．在△ABC中，其两个内角如下，则能判定△ABC为等腰三角形的是（）A．∠A=40°，∠B=50 B．∠A=40°，∠B=60°C．∠A=40°，∠B=70 D．∠A=40°，∠B=80°3．如图，在△ABC中，∠A=36°，∠C=72°，点D在AC上，BC=BD，DE∥BC交AB于点E，则图中等腰三角形共有（）A．3个B．4个C．5个D．6个4．如图，正方形网格中，网格线的交点称为格点，已知A，B是两格点，如果C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点C的个数是（）A．6 B．8 C．9 D．105．下列条件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）A．a=3，b=3，c=4 B．a：b：c=2：3：4C．∠B=50°，∠C=80°D．∠A：∠B：∠C=1：1：26．已知△ABC的三条边长分别为3，4，6，在△ABC所在平面内画一条直线，将△ABC分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画（）A．5条B．6条C．7条 D．8条7．下列三角形，不一定是等边三角形的是（）A．有两个角等于60°的三角形B．有一个外角等于120°的等腰三角形C．三个角都相等的三角形D．边上的高也是这边的中线的三角形8．如图，A、B两点在正方形网格的格点上，每个方格都是边长为1的正方形，点C也在格点上，且△ABC是等腰三角形，则符合条件是点C共有（）个．A．8 B．9 C．10 D．11二、填空题9．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=40°，在直线AC上找点P，使△ABP是等腰三角形，则∠APB的度数为．10．如图已知OA=a，P是射线ON上一动点，∠AON=60°，当OP=时，△AOP为等边三角形．11．如图，在3×3的网格中有A、B两点，任取一个格点E，则满足△EAB是等腰三角形的点E有个．12．在△ABC中，∠A=80°，当∠B=时，△ABC是等腰三角形．13．如图，下列4个三角形中，均有AB=AC，则经过三角形的一个顶点的一条直线不能够将这个三角形分成两个小等腰三角形的是（填序号）．三、解答题14．如图，BD是△ABC的角平分线，DE∥BC交AB于点E．（1）求证：BE=DE；（2）若AB=BC=10，求DE的长．15．已知：如图，AB=AC，∠ABD=∠ACD，求证：BD=CD．第3课时一、选择题1．如图∠AOP=∠BOP=15°，PC∥OA，PD⊥OA，若PC=10，则PD等于（）A．10 B．C．5 D．2.52．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，则∠A=（）A．15°B．30°C．45°D．60°3．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，则AB等于（）A．9 cm B．8 cm C．7cm D．6cm4．如图，在等边△ABC中，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥BC于点E，且AB=6，则EC的长为（）A．3 B．4.5 C．1.5 D．7.55．△ABC中，∠A：∠B：∠C=1：2：3，最小边BC=3cm，则最长边AB的长为（）A．9cm B．8cm C．7cm D．6cm6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD是高，∠A=30°，AB=8，则BD=（）A．2 B．3 C．4 D．67．某市为了美化环境，计划在如图所示的三角形空地上种植草皮，已知这种草皮每平方米售价为a元，则购买这种草皮至少需要（）A．450a元B．225a元C．150a元D．300a元8．如图是屋架设计图的一部分，点D是斜梁AB的中点，立柱BC，DE垂直于横梁AC，AB=6m，∠A=30°，则DE等于（）A．1.5m B．2m C．2.5m D．3m二、填空题9．在Rt△ABC中，∠A=30°，∠B=90°，AC=10，则BC=10．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，以点C为圆心，CB长为半径作圆弧，交AB 于点D，若CB=4，则BD的长为．11．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，AB的垂直平分线分别交AB与AC于点D和点E，若CE=2，则AB的长为12．已知等腰三角形的底角为15°，腰长为8cm，则腰上的高为．13．如图，在△ABC中，∠B=∠C=60°，点D在AB边上，DE⊥AB，并与AC边交于点E．如果AD=1，BC=6，那么CE等于．三、解答题14．如图，在△ABC中，BA=BC，∠B=120°，线段AB的垂直平分线MN交AC于点D，且AD=8cm．求：（1）∠ADG的度数；（2）线段DC的长度．15．某轮船由西向东航行，在A处测得小岛P的方位是北偏东75°，又继续航行7海里后，在B处测得小岛P的方位是北偏东60°，求：（1）此时轮船与小岛P的距离BP是多少海里．（2）小岛点P方圆3海里内有暗礁，如果轮船继续向东行使，请问轮船有没有触礁的危险？请说明理由．参考答案第1课时1．解：∵等腰三角形的顶角为50°，∴这个等腰三角形的底角为：（180°﹣40°）÷2=70°，故选：B．2．解：当腰为5时，根据三角形三边关系可知此情况成立，这个三角形的第三条边长为5；当腰长为2时，根据三角形三边关系可知此情况不成立；故选：D．3．解：∵AB∥CD，∴∠1=∠ACD=65°，∵AD=CD，∴∠DCA=∠CAD=65°，∴∠2的度数是：180°﹣65°﹣65°=50°．故选：A．4．解：∵AD是△ABC的中线，AB=AC，∠CAD=20°，∴∠CAB=2∠CAD=40°，∠B=∠ACB=（180°﹣∠CAB）=70°．∵CE是△ABC的角平分线，∴∠ACE=∠ACB=35°．故选：B．5．解：∵|m﹣2|+=0，∴m﹣2=0，n﹣4=0，解得m=2，n=4，当m=2作腰时，三边为2，2，4，不符合三边关系定理；当n=4作腰时，三边为2，4，4，符合三边关系定理，周长为：2+4+4=10．故选：B．6．解：①若顶角的外角等于140°，那么顶角等于40°，两个底角都等于70°；②若底角的外角等于140°，那么底角等于40°，顶角等于100°．故选：D．7．解：∵∠1=125°，∴∠ADE=180°﹣125°=55°，∵DE∥BC，AB=AC，∴AD=AE，∠C=∠AED，∴∠AED=∠ADE=55°，又∵∠C=∠AED，∴∠C=55°．故选：A．8．解：∵△ABC中，AD⊥BC，AB=AC，∠BAD=30°，∴∠DAC=∠BAD=30°（等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合），∵AD=AE（已知），∴∠ADE=75°∴∠EDC=90°﹣∠ADE=15°．故选：C．9．解：∵等腰三角形底角相等，∴180°﹣50°×2=80°，∴顶角为80°．故填80°．10．解：①当腰是4cm，底边是9cm时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．②当底边是4cm，腰长是9cm时，能构成三角形，则其周长=4+9+9=22cm．故填22．11．解：当50°为顶角时，其他两角都为65°、65°，当50°为底角时，其他两角为50°、80°，所以等腰三角形的顶角为50°或80°．故答案为：50°或80°．12．解：∵AD=AC，点E是CD中点，∴AE⊥CD，∴∠AEC=90°，∴∠C=90°﹣∠CAE=74°，∵AD=AC，∴∠ADC=∠C=74°，∵AD=BD，∴2∠B=∠ADC=74°，∴∠B=37°，故答案为37°．13．解：∵△ABC中，AB=AC，∴∠B=∠C，∵等腰三角形的顶角与一个底角度数的比值叫做等腰三角形的“特征值”，记作k，若k=，∴∠A：∠B=1：2，即5∠A=180°，∴∠A=36°，故答案为：36．14．证明：如图，过点A作AP⊥BC于P．∵AB=AC，∴BP=PC；∵AD=AE，∴DP=PE，∴BP﹣DP=PC﹣PE，∴BD=CE．15．（1）证明：∵△ABC是等边三角形，BD是中线，∴∠ABC=∠ACB=60°．∠DBC=30°（等腰三角形三线合一）．又∵CE=CD，∴∠CDE=∠CED．又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，∴∠CDE=∠CED=∠BCD=30°．∴∠DBC=∠DEC．∴DB=DE（等角对等边）；（2）∵∠CDE=∠CED=∠BCD=30°，∴∠CDF=30°，∵CF=4，∴DC=8，∵AD=CD，∴AC=16，∴△ABC的周长=3AC=48．第2课时1．解：A、∵1+1=2，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；B、∵1+1＜3，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；C、∵1+2＞2，且有两边相等，∴本组数据可以构成等腰三角形；故本选项正确；D、∵2+2＜5，∴本组数据不可以构成等腰三角形；故本选项错误；故选：C．2．解；当顶角为∠A=40°时，∠C=70°≠50°，当顶角为∠B=50°时，∠C=65°≠40°所以A选项错误．当顶角为∠B=60°时，∠A=60°≠40°，当∠A=40°时，∠B=70°≠60°，所以B选项错误．当顶角为∠A=40°时，∠C=70°=∠B，所以C选项正确．当顶角为∠A=40°时，∠B=70°≠80°，当顶角为∠B=80°时，∠A=50°≠40°所以D选项错误．故选：C．3．解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C==72°，△ABC是等腰三角形，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC=36°，∵DE∥BC，∴∠EDB=∠DBC=36°，∴∠ABD=∠EDB=∠A，∴AD=BD，EB=ED，即△ABD和△EBD是等腰三角形，∵∠BDC=180°﹣∠DBC﹣∠C=72°，∴∠BDC=∠C，∴BD=BC，即△BCD是等腰三角形，∵DE∥BC，∴∠AED=∠ABC，∠ADE=∠C，∴∠AED=∠ADE，∴AE=AD，即△AED是等腰三角形．∴图中共有5个等腰三角形．故选：C．4．解：如图，分情况讨论：①AB为等腰△ABC的底边时，符合条件的C点有6个；②AB为等腰△ABC其中的一条腰时，符合条件的C点有4个．故选：D．5．解：A、∵a=3，b=3，c=4，∴a=b，∴△ABC是等腰三角形；B、∵a：b：c=2：3：4∴a≠b≠c，∴△ABC不是等腰三角形；C、∵∠B=50°，∠C=80°，∴∠A=180°﹣∠B﹣∠C=50°，∴∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形；D、∵∠A：∠B：∠C=1：1：2，∵∠A=∠B，∴AC=BC，∴△ABC是等腰三角形．故选：B．6．解：如图所示：当BC1=AC1，AC=CC2，AB=BC3，AC4=CC4，AB=AC5，AB=AC6，BC7=CC7时都能得到符合题意的等腰三角形．故选：C．7．解：A、根据有两个角等于60°的三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；B、有一个外角等于120°的等腰三角形，则内角为60°的等腰三角形，此三角形是等边三角形，不合题意，故此选项错误；C、三个角都相等的三角形，内角一定为60°是等边三角形，不合题意，故此选项错误；D、边上的高也是这边的中线的三角形，也可能是等腰三角形，故此选项正确．故选：D．8．解：①点C以点A为标准，AB为底边，符合点C的有5个；②点C以点B为标准，AB为等腰三角形的一条边，符合点C的有4个．所以符合条件的点C共有9个．故选：B．9．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=40°，∴当AB=BP1时，∠BAP1=∠BP1A=40°，当AB=AP3时，∠ABP3=∠AP3B=∠BAC=×40°=20°，当AB=AP4时，∠ABP4=∠AP4B=×（180°﹣40°）=70°，当AP2=BP2时，∠BAP2=∠ABP2，∴∠AP2B=180°﹣40°×2=100°，∴∠APB的度数为：20°、40°、70°、100°．故答案为：20°或40°或70°或100°．10．解：∵AON=60°，∴当OA=OP=a时，△AOP为等边三角形．故答案是：a．11．解：如图，满足△EAB是等腰三角形的点E有5个，故答案为：5．12．解：∵∠A=80°，∴①当∠B=80°时，△ABC是等腰三角形；②当∠B=（180°﹣80°）÷2=50°时，△ABC是等腰三角形；③当∠B=180°﹣80°×2=20°时，△ABC是等腰三角形；故答案为：80°、50°、20°．13．解：由题意知，要求“被一条直线分成两个小等腰三角形”，①中分成的两个等腰三角形的角的度数分别为：36°，36°，108°和36°，72°72°，能；②不能；③显然原等腰直角三角形的斜边上的高把它还分为了两个小等腰直角三角形，能；④中的为36°，72，72°和36°，36°，108°，能．故答案为：②14．（1）证明：∵BD是△ABC的角平分线，∴∠EBD=∠CBD．∵DE∥BC，∴∠EDB=∠CBD．∴∠EDB=∠EBD．∴BE=DE．（2）∵AB=BC，BD是△ABC的角平分线，∴AD=DC．∵DE∥BC，∴，∴．∴DE=5．15．证明：连接BC．∵AB=AC（已知），∴∠1=∠2（等边对等角）．又∠ABD=∠ACD（已知），∴∠ABD﹣∠1=∠ACD﹣∠2（等式运算性质）．即∠3=∠4．∴BD=DC（等角对等边）．第3课时1．解：∵PC∥OA，∴∠CPO=∠POA，∵∠AOP=∠BOP=15°，∴∠AOP=∠BOP=∠CPO=15°，过点P作∠OPE=∠CPO交于AO于点E，则△OCP≌△OEP，∴PE=PC=10，∵∠PEA=∠OPE+∠POE=30°，∴PD=10×=5．故选：C．2．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2BC，即BC=AB，∴∠A=30°，故选：B．3．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=4cm，∴AB=2BC=8cm，故选：B．4．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠C=60°，AC=AB=BC=6，∵BD平分∠ABC交AC于点D，∴CD=AC=3，∵DE⊥BC，∴∠CDE=30°，∵EC=CD=1.5．故选：C．5．解：设∠A、∠B、∠C分别为k、2k、3k，则k+2k+3k=180°，解得k=30°，2k=60°，3k=90°，∵最小边BC=3cm，∴最长边AB=2BC=2×3=6cm．故选：D．6．解：∴CD是高，∴∠BDC=90°，∵∠ACB=90°，∠A=30°，∴∠B=60°，BC=AB=×8=4，∴∠BCD=30°，∴BD=BC=2，故选：A．7．解：如图，作BH⊥AC于H，则∠ABH=180°﹣∠BAC=30°，在Rt△ABH中，BH=AB=10，所以S△ABC=×10×30=150，所以购买这种草皮至少需要150a元．故选：C．8．解：∵立柱BC、DE垂直于横梁AC，∴BC∥DE，∵D是AB中点，∴AD=BD，∴AE：CE=AD：BD，∴AE=CE，∴DE是△ABC的中位线，∴DE=BC，在Rt△ABC中，BC=AB=3，∴DE=1.5．故选：A．9．解：∵∠A=30°，∠B=90°，∴BC=AC=5，故答案为：5．10．解：如图，过C点作BD的垂直平分线交BD于点E，∵在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=4，∴∠BCE=∠A=30°，BE=BD，∴BE=2∴BD=2BE=4故答案为：4．11．解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∵DE是线段AB的垂直平分线，∴EA=EB，ED⊥AB，∴∠A=∠EBA=30°，∴∠EBC=∠ABC﹣∠EBA=30°，又∵BC⊥AC，ED⊥AB，∴DE=CE=2．在直角三角形ADE中，DE=2，∠A=30°，∴AE=2DE=4，∴AD==2，∴AB=2AD=4．故答案为：4．12．解：如图，过C作CD⊥AB，交BA延长线于D，∵∠B=15°，AB=AC，∴∠DAC=30°，∵CD为AB上的高，AC=8cm，∴CD=AC=4cm．故答案为：4cm．13．解：∵在△ABC中，∠B=∠C=60°，∴∠A=60°，∵DE⊥AB，∴∠AED=30°，∵AD=1，∴AE=2，∵BC=6，∴AC=BC=6，∴CE=AC﹣AE=6﹣2=4，故答案为4．14．解：（1）∵在△ABC中，已知BA=BC，∴∠A=∠C（等边对等角）；又∵∠B=120°，∴∠A=（180°﹣120°）=30°（三角形内角和定理），∴∠ADG=90°﹣30°=60°；（2）连接BD．∵AB的垂直平分线DG交AC于点D，∴AD=BD，∠A=∠ABD=30°，∴∠CBD=90°；由（1）知∠A=∠C=30°，∴BD=CD（30°所对的直角边是斜边的一半），∴CD=2AD=2BD，∴AC=AD+CD=AD+2AD=3AD；又∵AD=8cm，∴DC=16cm．15．解：（1）过P作PD⊥AB于点D，∵∠PBD=90°﹣60°=30°且∠PBD=∠PAB+∠APB，∠PAB=90﹣75=15°∴∠PAB=∠APB，∴BP=AB=7（海里）．（2）作PD⊥AB于D，∵A处测得小岛P在北偏东75°方向，∴∠PAB=15°，∵在B处测得小岛P在北偏东60°方向，∴∠APB=15°，∴AB=PB=7海里，∵∠PBD=30°，∴PD=PB=3.5＞3，∴该船继续向东航行，没有触礁的危险．。

等腰三角形性质定理 (提高) 巩固练习

【巩固练习】一.选择题1．如图，在△ABC 中，若AB ＝AC ，BC ＝BD ，AD ＝DE ＝EB ，则∠A 等于( )． A ．30° B ．36° C ．45° D ．54°2. 等腰三角形两边a 、b 满足｜2a b -+｜＋()22311a b +-＝0，则此三角形的周长是（） A ．7 B ．5 C ．8 D ．7或5 3. 如图，ΔABC 中，AB ＝AC ，BE ＝CD ，BD ＝CF ，则∠EDF ＝（）A ．2∠AB ．90°－2∠AC ．90°－∠AD ．1902A ︒-∠4. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A ．顶角的一半B ．底角的一半C ．90°减去顶角的一半D ．90°减去底角的一半 5．（2016春•乳山市期中）如图，网格中的每个小正方形的边长为1，A 、B 是格点，以A 、B 、C 为等腰三角形顶点的所有格点C 的个数为（）A ．7个B ．8个C ．9个D ．10个6. 若等腰三角形一腰上的高和另一腰的夹角为25°，则该三角形的一个底角为（） A ．32.5° B ．57.5° C ．65°或57.5° D ．32.5°或57.5° 二.填空题7．已知一个等腰三角形的顶角为x 度,则其一腰上的高线与底边的夹角___________度（用含x 的式子表示）.8.（2016•淮安一模）已知：如图，△ABC 中，BO ，CO 分别是∠ABC 和∠ACB 的平分线，过O 点的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，且DE ∥BC ．若AB=6cm ，AC=8cm ，则△ADE 的周长为．9. 等腰三角形的周长为22cm，其中一边的长是8cm,则其余两边长分别为________.10. 如图，在ΔABC中，高AD、BE交于H点，若BH＝AC，则∠ABC＝______°．11．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D 的直线折叠，折痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．12.如图，已知AB=A1B，在AA1的延长线上依次取A2、A3、A4、…、A n，并依次在三角形的外部作等腰三角形，使A1C1=A1A2，A2C2=A2A3，A3C3=A3A4，…，A n﹣1C n﹣1=A n﹣1A n，若∠B=30°，则∠A n= °．三.解答题13. 已知，如图，在△ABC中，BE是角平分线，AD⊥BE垂足为D，求证：∠BAD＝∠DAE＋∠C14．已知，如图，△ABC中，D是BC中点，DE⊥DF,试判断BE＋CF与EF的大小关系，并证明你的结论.FEBA15.在ABC△中，AB AC=，点D是直线BC上一点（不与BC、重合），以AD 为一边在AD 的右侧作ADE△，使AD AE DAE BAC=∠=∠，，连接CE．（1）如图1，当点D在线段BC上，如果90BAC∠=°，则BCE∠=_________；（2）设BACα∠=，BCEβ∠=．①如图2，当点D在线段BC上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请说明理由；②当点D在直线BC上移动，则αβ，之间有怎样的数量关系？请直接写出你的结论．16.数学课上，同学们探究下面命题的正确性：（1）顶角为36°的等腰三角形具有一种特性，即经过它某一顶点的一条直线可把它分成两个小等腰三角形，为此，请你解答：如图，已知在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，射线BD平分∠ABC交AC于点D．求证：△DAB与△BCD都是等腰三角形；（2）在证明了该命题后，有同学发现：下面两个等腰三角形如图2也具有这种特性．请你在图2中分别画出一条线段，把它们分成两个小等腰三角形，并在图中标出所画等腰三角形两个底角的度数．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C ；【解析】设∠A ＝x ，则由题意∠ADE ＝180°－2x ，∠EDB ＝2x，∠BDC ＝∠BCD ＝90°－2x，因为∠ADE ＋∠EDB ＋∠BDC ＝180°，所以x ＝45°. 2. 【答案】A ；【解析】a －b ＋2=0且2a ＋3b －11=0，解得a ＝1，b ＝3，选A ；B 选项不满足两边之和大于第三边，构不成三角形.3. 【答案】D ；【解析】证△BDE ≌△CFD ，∠FDC ＝∠BED ，所以∠EDF ＝108°－∠EDB －∠BED ＝∠B ＝A o∠-2190. 4. 【答案】A ；【解析】解：△ABC 中，∵AB=AC ，BD 是高，∴∠ABC=∠C=1802A-∠ 在Rt △BDC 中，∠CBD=90°-∠C=90°-1802A -∠=2A∠. 故选A ．5. 【答案】B ；【解析】解：如图所示，分别以A 、B 为圆心，AB 长为半径画弧，则圆弧经过的格点C 1、C 2、C 3、C 4、C 5、C 7即为点C 的位置，作线段AB 的垂直平分线，垂直平分线所经过的格点C 6、C 8即为点C 的位置．故以A 、B 、C 为等腰三角形顶点的所有格点C 的个数为8个．6. 【答案】D ；【解析】当高在三角形内部时底角是57.5°，当高在三角形外部时底角是32.5度，故选D.二.填空题 7. 【答案】2x ；【解析】无论等腰三角形的顶角是锐角还是钝角，一腰上的高线与底边的夹角都是2x . 8.【答案】14cm ；【解析】解：∵DE ∥BC ∴∠DOB=∠OBC ，又∵BO 是∠ABC 的角平分线，∴∠DBO=∠OBC ，∴∠DBO=∠DOB ，∴BD=OD ，同理：OE=EC ， ∴△ADE 的周长=AD +OD +OE +EC=AD +BD +AE +EC=AB +AC=14cm ．9. 【答案】7cm ，7cm 或8cm ，6cm ；【解析】边长为8cm 的可能是底边，也可能是腰. 10.【答案】45；【解析】△ADC ≌△BDH ，AD ＝BD ，所以∠ABC ＝45°. 11.【答案】40；【解析】AD ＝FD ，∠FAD ＝∠AFD ＝70°，所以∠ADF ＝40°. 12.【答案】；【解析】解：∵在△ABA 1中，∠B=30°，AB=A 1B ，∴∠BA 1A===75°，∵A 1A 2=A 1C ，∠BA 1A 是△A 1A 2C 的外角， ∴∠CA 2A 1===37.5°；∴∠C 1A 3A 2=18，75°，∠C 2A 4A 3=9.375°，…， ∴∠A n =，故答案为：．三.解答题 13.【解析】证明：延长AD 交BC 于F,∵BE 平分∠ABC， ∴∠ABE＝∠CBE ∵AD⊥BD∴∠ADB＝∠BDF＝90º 在△ABD 与△FBD 中⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠BDF ADB BDBD CBE ABE , ∴△ABD≌△FBD （ASA ）. ∴BA＝BF.∴∠BAD＝∠BFA ,FE DCA∴∠BFA＝∠DAE＋∠C , ∴∠BAD＝∠DAE＋∠C .14.【解析】BE ＋CF ＞EF证明：延长FD 到G ，使DG ＝DF,连结BG 、EG∵D 是BC 中点 ∴BD＝CD 又∵DE⊥DF ∴EG＝EF在△FDC 与△GDB 中⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=DG DF BD CD 21 ∴△FDC≌△GDB(SAS) ∴BG＝CF ∵BG＋BE ＞EG ∴BE＋CF ＞EF. 15．【解析】（1）90°；（2）①α＋β＝180°. 证明：①∵∠BAC ＝∠DAE ，∴∠BAC －∠DAC ＝∠DAE －∠DAC ．即∠BAD ＝∠CAE ．在△ABD 与△ACE 中，AB AC BAD CAE AD AE =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ABD ≌△ACE ， ∴∠B ＝∠ACE ．∴∠B ＋∠ACB ＝∠ACE ＋∠ACB ． ∴∠B ＋∠ACB ＝β，∵α＋∠B ＋∠ACB ＝180°， ∴α＋β＝180°；②如图：当点D 在射线BC 上时，α＋β＝180°；当点D 在射线BC 的反向延长线上时，α＝β．16. 【解析】（1）证明：在△ABC 中，∵AB=AC，∴∠ABC=∠C，∵∠A=36°，∴∠ABC=∠C=（180°﹣∠A）=72°，∵BD平分∠ABC，∴∠1=∠2=36°∴∠3=∠1+∠A=72°，∴∠1=∠A，∠3=∠C，∴AD=BD，BD=BC，∴△ABD与△BDC都是等腰三角形．（2）解：如下图所示：。

《等腰三角形性质及判定》同步巩固练习2022人教七年级下册专练

【巩固练习】一.选择题1. 已知一个等腰三角形两边长分别为5，6，则它的周长为( )A．16 B．17C．16或17D．10或122. 若一个三角形的三个外角度数比为2：3：3，则这个三角形是（）A. 等腰三角形B. 等边三角形C. 直角三角形D. 等腰直角三角形3. 将两个全等的且有一个角为30°的直角三角形拼成如图所示形状，两条长直角边在同一条直线上，则图中等腰三角形的个数是（）A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个4. 如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，那么下列结论正确的有( )①△BDF，△CEF都是等腰三角形；②DE＝DB＋CE；③AD＋DE＋AE＝AB＋AC；④BF＝CF.A．1个B．2个C．3个D．4个∆沿过D的直线折叠，使点A落在BC上F处，若5. 如图，D是AB边上的中点，将ABC∠=︒，则BDF50B∠度数是（）A．60° B．70° C．80° D．不确定6.（2020•沂源县校级模拟）有3cm，3cm，6cm，6cm，12cm，12cm的六条线段，任选其中的三条线段组成一个等腰三角形，则最多能组成等腰三角形的个数为（）A．1 B．2 C．3 D．4二.填空题7．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．8. 等腰三角形的顶角比其中一个底角大30°，则顶角的度数为．9. 如图，△ABC是等腰直角三角形，∠C＝90°，BD平分∠CBA交AC于点D，DE⊥AB于E．若△ADE的周长为8cm，则AB ＝_________cm．10. 等腰三角形的一个角是70°，则它的顶角的度数是 .11. 如图，△ABC中，BO、CO分别平分∠ABC、∠ACB，OM∥AB，ON∥AC，BC＝10cm，则ΔOMN的周长＝______cm．12.（2020春•锦州月考）如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠AC F，DE过点I，且DE∥BC．BD=8cm，CE=5cm，则DE等于．三.解答题13．已知：如图，ΔABC中，AB＝AC，D是AB上一点，延长CA至E，使AE＝AD．试确定ED与BC的位置关系，并证明你的结论．14. （2020春•黄冈校级期末）在△ABC中，AB=AC，AC上的中线BD把三角形的周长分为24cm和30cm的两个部分，求三角形的三边长．15. 如图，在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，P、Q分别在BC、CA上，并且AP、BQ分别为∠BAC、∠ABC的角平分线，求证：BQ＋AQ＝AB＋BP．【答案与解析】一.选择题1. 【答案】C；【解析】注意分类讨论.2. 【答案】D；【解析】三个外角度数分别为360°×＝90°，360°×＝135°，135°，所以三角形为等腰直角三角形.3. 【答案】B；4. 【答案】C；【解析】①②③正确.5. 【答案】C；＝180°－50°－50°＝80°.【解析】AD＝DF＝BD，∠B＝∠BFD＝50°，BDF6. 【答案】C；【解析】解：由题意可得，3cm作腰，6cm作底或12cm作底，则三边分别为3cm，3cm，6cm，不能构成三角形，3cm，3cm，12cm，不能构成三角形；6cm作腰，3cm作底或12cm作底，则三边分别为6cm，6cm，3cm，能构成三角形，6cm，6cm，12cm，不能构成三角形；12cm作腰，3cm或6cm作底，则三边分别为12cm，12cm，3cm，能构成三角形，12cm，12cm，6cm，能构成三角形，故最多能组成3个等腰三角形，故选：C．二.填空题7. 【答案】20；【解析】∠A＝∠ABD＝40°，∠BDC＝∠C＝80°，所以∠CBD＝20°.8. 【答案】80°；【解析】设顶角为x，则底角为x－30°，所以x＋x－30°＋x－30°＝180°，x＝80°.9. 【答案】8；【解析】DE＝DC，AC＝BC＝BE，△ADE的周长＝AD＋DE＋AE＝AC＋AE＝AB＝8.10.【答案】70°或40o；【解析】这个角可能是底角，也可能是顶角.11.【答案】10；【解析】OM＝BM，ON＝CN，∴△OMN的周长等于BC.12.【答案】3cm；【解析】解：∵BI、CI分别平分∠ABC、∠ACF，∴∠ABI=∠CBI，∠ECI=∠ICF，∵DE∥BC，∴∠DIB=∠CBI，∠EIC=∠ICF，∴∠ABI=∠DIB，∠ECI=∠EIC，∴DI=BD=8cm，EI=CE=5cm，∴DE=DI﹣EI=3cm．三.解答题13.【解析】证明：ED⊥BC；延长ED，交BC边于H，∵AB＝AC，AE＝AD．∴设∠B＝∠C＝x，则∠EAD＝2x，∴∠ADE＝1802902xx ︒-=︒-即∠BDH＝90°－x∴∠B＋∠BDH＝x＋90°－x＝90°，∴∠BHD＝90°，ED⊥BC.14.【解析】解：设三角形的腰AB=AC=x若AB+AD=24cm，则：x+x=24∴x=16三角形的周长为24+30=54cm所以三边长分别为16，16，22；若AB+AD=30cm，则：x+x=30∴x=20∵三角形的周长为24+30=54cm∴三边长分别为20，20，14；因此，三角形的三边长为16，16，22或20，20，14．15.【解析】证明：延长AB至E，使BE＝BP，连接EP∵在△ABC中，∠BAC＝60°，∠ACB＝40°，∴∠ABC＝80°∴∠E＝∠BPE＝802︒＝40°∵AP 、BQ 分别为∠BAC 、∠ABC 的角平分线，∴∠QBC ＝40°，∠BAP ＝∠CAP∴BQ ＝QC （等角对等边）在△AEP 与△ACP 中，EAP CAP E C AP AP ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AEP ≌△ACP （AAS ）∴AE ＝AC∴AB ＋BE ＝AQ ＋QC ，即AB ＋BP ＝AQ ＋BQ.第二课时【学习目标】1. 了解因式分解的意义,以及它与整式乘法的关系；2．能确定多项式各项的公因式，会用提公因式法将多项式分解因式.【要点梳理】要点一、因式分解把一个多项式化成几个整式积的形式，叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.要点诠释：（1）因式分解只针对多项式，而不是针对单项式，是对这个多项式的整体，而不是部分，因式分解的结果只能是整式的积的形式.（2）要把一个多项式分解到每一个因式不能再分解为止.（3）因式分解和整式乘法是互逆的运算，二者不能混淆.因式分解是一种恒等变形，而整式乘法是一种运算.要点二、公因式多项式的各项中都含有相同的因式，那么这个相同的因式就叫做公因式.要点诠释：（1）公因式必须是每一项中都含有的因式.（2）公因式可以是一个数，也可以是一个字母，还可以是一个多项式.（3）公因式的确定分为数字系数和字母两部分：①公因式的系数是各项系数的最大公约数.②字母是各项中相同的字母，指数取各字母指数最低的.要点三、提公因式法把多项式分解成两个因式的乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m ，另一个因式是，即，而正好是除以m 所得的商，这种因式分解的方法叫提公因式法．要点诠释：（1）提公因式法分解因式实际上是逆用乘法分配律，即 .（2）用提公因式法分解因式的关键是准确找出多项式各项的公因式.（3）当多项式第一项的系数是负数时，通常先提出“—”号，使括号内的第一项的系数变为正数，同时多项式的各项都要变号.（4）用提公因式法分解因式时，若多项式的某项与公因式相等或它们的和为零，则提取公因式后，该项变为：“＋1”或“－1”，不要把该项漏掉，或认为是0而出现错误.【典型例题】类型一、因式分解的概念1、下列由左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是？请说明理由．（1）()a x y ax ay +=+；（2）2221(2)(1)(1)x xy y x x y y y ++-=+++-；（3）24(2)(2)ax a a x x -=+-；（4）221122ab a b =；（5）222112a a a a ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭．【思路点拨】根据因式分解的定义是将多项式形式变成几个整式的积的形式，从对象和结果两方面去判断.【答案与解析】解：因为(1)(2)的右边都不是积的形式，所以它们都不是因式分解；(4)的左边不是多项式而是一个单项式，(5)中的21a 、1a都不是整式，所以(4)(5)也不是因式分解，只有(3)的左边是多项式，右边是整式的积的形式，所以只有(3)是因式分解．【总结升华】因式分解是将多项式变成积的形式，所以等式的左边必须是多项式，将单项式拆成几个单项式乘积的形式不能称为因式分解．等式的右边必须是整式因式积的形式．举一反三：【变式】下列变形是因式分解的是 ( )A.243(2)(2)3a a a a a -+=-++B.2244(2)x x x ++=+C. 11(1)x x x +=+D.2(1)(1)1x x x +-=-【答案】B ；类型二、提公因式法分解因式2、下列因式分解变形中，正确的是（）A ．()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+B ．()()()()262231m n m n m n m n +-+=+++C ．()()()()232332y x x y y x y x -+-=--+D ．()()()()2232x x y x y x y x y +-+=++ 【答案】A ；【解析】解：A.()()()()1ab a b a b a a b a b ---=--+，正确；B.()()()()2622331m n m n m n m n +-+=++-，故本选项错误；C.()()()()232332y x x y y x y x -+-=---，故本选项错误；D.()()()()223331x x y x y x y x xy +-+=++-，故本选项错误．【总结升华】解题的关键是正确找出公因式，提取公因式后注意符号的变化．找公因式的要点是：（1）公因式的系数是多项式各项系数的最大公约数；（2）字母取各项都含有的相同字母；（3）相同字母的指数取次数最低的．举一反三：【变式】（2020春•濉溪县期末）下列分解因式结果正确的是（）A.a 2b+7ab ﹣b=b （a 2+7a ）B.3x 2y ﹣3xy+6y=3y （x 2﹣x ﹣2）C.8xyz ﹣6x 2y 2=2xyz （4﹣3xy ）D.﹣2a 2+4ab ﹣6ac=﹣2a （a ﹣2b+3c ）【答案】D.解：A 、原式=b （a 2+7a+1），错误；B 、原式=3y （x 2﹣x+2），错误；C 、原式=2xy （4z ﹣3xy ），错误；D 、原式=﹣2a （a ﹣2b+3c ），正确．故选D ．类型三、提公因式法分解因式的应用3、若a 、b 、c 为ABC ∆的三边长，且()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-，则ABC ∆按边分类，应是什么三角形？【答案与解析】解：∵()()()()a b b a b a a c a b a c -+-=-+-∴()()()()a b b a a b a c a b c a ---=---()()()()a b b a c a a b --=--当a b =时，等式成立，当a b ≠时，原式变为a b a c -=-，得出b c =，∴a b b c ==或∴ABC ∆是等腰三角形.【总结升华】将原式分解因式，就可以得出三边之间的关系，从而判定三角形的类型.4、对任意自然数n （n ＞0），422n n +-是30的倍数，请你判定一下这个说法的正确性，并说说理由.【答案与解析】解：()44422222221152n n n n n n +-=⨯-=-=⨯∵n 为大于0的自然数，∴2n 为偶数，15×2n 为30的倍数，即422n n +-是30的倍数.【总结升华】判断422n n +-是否为30的倍数，只需要把422n n +-分解因式，看分解后有没有能够整除30的因式.举一反三：【变式】说明200199198343103-⨯+⨯能被7整除. 【答案】解：200199198343103-⨯+⨯()198219833431073=-⨯+=⨯ 所以200199198343103-⨯+⨯能被7整除.5、（2020春•湘潭县期末）已知xy=﹣3，满足x+y=2，求代数式x 2y+xy 2的值．【思路点拨】将原式提取公因式xy ，进而将已知代入求出结果即可．【答案与解析】解：∵xy=—3，x+y=2，∴x 2y+xy 2=xy （x+y ）=﹣3×2=﹣6．【总结升华】此题主要考查了提取公因式法分解因式，正确找出公因式是解题关键．。

等腰三角形知识点及习题

1、掌握三角形的性质、判定2、考点：三角形的性质中位线 30度的直角三角形性质直角三角形的斜边中线三角形的判定3、三角形的三边关系定理及推论（1）三角形三边关系定理：三角形的两边之和大于第三边。

推论：三角形的两边之差小于第三边。

（2）三角形三边关系定理及推论的作用： ①判断三条已知线段能否组成三角形 ②当已知两边时，可确定第三边的范围。

③证明线段不等关系。

7、三角形的内角和定理及推论三角形的内角和定理：三角形三个内角和等于180°。

推论：①直角三角形的两个锐角互余。

②三角形的一个外角等于和它不相邻的来两个内角的和。

注：在同一个三角形中：等角对等边；等边对等角；大角对大边；大边对大角。

8、三角形的面积=21×底×高 9、新知：新知：等腰三角形1、等腰三角形的性质（1）等腰三角形的性质定理及推论：定理：等腰三角形的两个底角相等（简称：等边对等角）推论1：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合。

推论2：等边三角形的各个角都相等，并且每个角都等于60°。

（2）等腰三角形的其他性质：①等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°②等腰三角形的底角只能为锐角，不能为钝角（或直角），但顶角可为钝角（或直角）。

④等腰三角形的三角关系：设顶角为顶角为∠A ，底角为∠B 、∠C ，则∠A=180°—2∠B ，∠B=∠C=180A∠-︒2、等腰三角形两腰上的高相等，并且它们的交点和底边两端点距离相等。

那么这个三角形是等腰三角形； 2、有两条高相等的三角形是等腰三角形。

角等边对等角等角对等边边底的一半<腰长<周长的一半两边相等的三角形是等腰三角形4、三角形中的中位线，要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

三角形中位线定理的作用：位置关系：可以证明两条直线平行。

数量关系：可以证明线段的倍分关系知识点一:等腰三角形的性质——等边对等角，等腰三角形的两个底角 .例1：（2009年贵州黔东南州）如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，点D 在AC 上，且BD ＝BC ＝AD ，则∠A 等于（）A ．30oB ．40oC ．45oD ．36o同步检测一：1.在△ABC 中，AB ＝AC ，①若∠A ＝70°，则∠B ＝ °，∠C ＝ °②若∠B ＝40°，则∠A ＝ °2.）已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为（）Ａ．50° Ｂ．80° Ｃ．50°或80° Ｄ．40°或65° 知识点二：等腰三角形的性质——三线合一等腰三角形的、、互相重合。