等腰三角形的性质练习题
专题01 等腰三角形的性质与判定(十六大题型+跟踪训练)(解析版)
专题01等腰三角形的性质与判定（十六大题型+跟踪训练）题型1：等腰三角形的定义1．用刻度尺测量得出下图（）是等腰三角形．A ．B ．C ．D ．【答案】B【分析】分别量取各三角形的三边长，然后根据等腰三角形两腰相等，进行判断即可．【解析】解：A 中三边长分别为：1.8，2.6，2.9，不是等腰三角形，故不符合要求；B 中三边长分别为：2.2，2.2，2.2，是等腰三角形，故符合要求；C 中三边长分别为：3.4，3.2，2，不是等腰三角形，故不符合要求；D 中三边长分别为：3.3，1.8，3.7，不是等腰三角形，故不符合要求；故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义．解题的关键在于熟练掌握等腰三角形两腰相等．2．在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是（）A ．不等边三角形B ．等边三角形C ．直角三角形D ．等腰三角形【答案】D【分析】由等腰三角形的定义：有两边相等的三角形，即可判断．【解析】解：在ABC 中，若AB BC =，则ABC 是等腰三角形．故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形，关键是掌握等腰三角形的定义．3．以下列线段为边不能组成等腰三角形的是（）A ．2，2，4B ．6，3，6C ．4，4，5D ．1，1，1【答案】A【分析】根据三角形三边关系和等腰三角形的判定对所给的四个选项逐一判断、解析即可．【解析】解：A ．∵224+=，∴以2，2，4为边不能组成三角形，更不可能组成等腰三角形，故此选项符合题意；B．∵以6，3，6为边能组成三角形，且有两边相等，∴以6，3，6为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；C．∵以4，4，5为边能组成三角形，且有两边相等，∴以4，4，5为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意；D．∵以1，1，1为边能组成三角形，且有两边相等，∴以1，1，1为边能组成等腰三角形，故此选项不符合题意．故选：A．【点睛】本题考查三角形的三边关系、等腰三角形的判定等知识点及其应用问题．牢固掌握三角形的三边关系、等腰三角形的判定是解题的关键．4．等腰三角形两边长分别是2cm和3cm，则周长是（）A．7cm B．8cm C．7cm或8cm D．条件不足，无法求出【答案】C【分析】分两种情况讨论：①底边为3cm时；②底边为2cm时，分别求解即可得到答案．【解析】解：分两种情况讨论：①底边为3cm时，等腰三角形的周长为3227cm++=；②底边为2cm时，等腰三角形的周长为2338cm++=，∴等腰三角形的周长为7cm或8cm，故选C．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，利用分类讨论的思想解决问题是解题关键．5．已知等腰三角形的一边长为2cm，另一边长为4cm，则它周长是（）A．6cm B．8cm C．10cm D．8cm或10cm【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质及三角形的三边关系进行分类讨论，即可得到答案．当AD AC+与BC+即115 22x x x⎛⎫+-+⎪⎝⎭解得：8x=，8，8，5能够组成三角形；当BC BD+与AD+∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴9044A ABD ∠︒-=︒=∠，∵BD AC ⊥，∴90ADB ∠=︒，∵46ABD ∠=︒，∴904644DAB ∠︒=︒-，【分析】根据轴对称的性质，得到ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，再根据对称性可得结果．【解析】解：由题意可得：ABC 是以AB 和AC 为腰的等腰三角形，且不是等边三角形，∴AB AC =，∴ABC 的周长2AB AC BC AB BC =++=+，故选B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，轴对称图形，解题的关键是根据题意判断出ABC 是等腰三角形．13．如图，在ABC 中，90C ∠=︒，AC BC =，AD 平分CAB ∠交BC 于D ，DE AB ⊥于E ，若5cm AB =，则DBE 的周长是（）A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【答案】A 【分析】根据角平分线的定义和性质可得DE CD =，CAD EAD ∠=∠，推出CDA EDA ∠=∠，可得AC AE =，证明再根据等腰直角三角形的性质求出AC BC AE ==，然后求出DBE 的周长AB =，代入数据即可得解．【解析】解：AD 平分CAB ∠，DE AB ⊥，90C ∠=︒，DE CD ∴=，CAD EAD ∠=∠，CDA EDA ∴∠=∠，AC AE ∴=，又AC BC = ，AC BC AE ∴==，DBE ∴△的周长DE BD EB CD BD EB BC EB AE EB AB =++=++=+=+=，5cm AB = ，DBE ∴△的周长5cm =．故选：A ．A ．80︒B 【答案】C 【分析】根据等边对等角可得【解析】解：∵AB AC =∴B C ∠=∠，∵80B ∠=︒，∴80C ∠=︒，∵180A B C ∠+∠+∠=︒∴20A ∠=︒．故选：C ．【点睛】本题考查三角形内角和定理，等腰三角形的性质．解题的关键是掌握三角形的三个内角之和是180°．16．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠C =35°，则∠B 的度数为（）A ．50︒B ．60︒C ．70︒D ．80︒【答案】C 【分析】首先利用等腰三角形的性质求得∠DAC 的度数，然后求得∠BDA 的度数，最后利用等腰三角形的性质求得∠B 的度数．【解析】解：∵AD =DC ，∴∠DAC =∠C ，∵∠C =35°，∴∠DAC =35°，∴∠BDA =∠C +∠DAC =70°，∵AB =AD ，∴∠BDA =∠B =70°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形两底角相等．17．如图，在ABC 中，90BAC ∠= ，AB AC =，点D 在BC 上，且BD BA =，则CAD ∠的度数为（）A ．30︒B ．25︒C ．22.5︒D ．21︒【答案】C 【分析】利用ABC 是等腰直角三角形先求出B ∠，再利用BDA △是等腰三角形求出BAD ∠，最后利用直【答案】50︒/50度【分析】首先根据垂直平分线的性质得到据角的和差计算求解即可．∵80ACB ∠=︒∴803050BCE ACB ACE ∠=∠-∠=︒-︒=︒．故答案为：50︒．【点睛】此题考查了垂直平分线的性质，等边对等角性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．21．如图，直线a ∥b ，AB AC =，140 ∠=，则∠BAC 的度数是（）A ．100B ．110C ．120D ．130【答案】A 【分析】根据直线a ∥b ，140 ∠=，可知140ACB ∠=∠= ，由AB AC =，可得40ACB ABC ∠=∠= ，利用平行的性质即可求出∠BAC 的值．【解析】解：由题意得，∵直线a ∥b ，140 ∠=，∴140ACB ∠=∠= ，∵AB AC =，∴40ACB ABC ∠=∠= ，∴()180118080100BAC ABC ∠=︒-∠+∠=︒-︒=︒，故选：A ．【点睛】本题主要考查的是平行线的性质，熟练利用平行线进行角度转化时解题的关键．22．如图，在∠ECF 的边CE 上有两点A 、B ，边CF 上有一点D ，其中BC =BD =DA 且∠ECF =27°，则∠ADF 的度数为（）A ．54°B ．91°C ．81°D ．101°【答案】C【分析】根据等腰三角形的性质以及三角形外角和内角的关系，逐步推出∠ADF 的度数．【解析】解：∵BC =BD =DA ，∴∠C =∠BDC ，∠ABD =∠BAD ，∵∠ABD =∠C +∠BDC ，∠ECF =27°，∴∠ADF =∠C +∠BAD =3∠ECF =81°．故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，三角形外角和内角的运用．23．如图，在ABC 中，DE 垂直平分BC ，若6428CDE A ∠=︒∠=︒，，则ABD ∠的度数为（）A ．100︒B ．128︒C ．108︒D ．98︒【答案】A 【分析】直接利用线段垂直平分线的性质结合三角形内角和定理得出答案．【解析】解：∵DE 垂直平分BC ，∴BD =DC ，∴∠BDE =∠CDE =64°，∴∠ADB =180°-64°-64°=52°，∵∠A =28°，∴∠ABD =180°-28°-52°=100°．故选：A ．【点睛】此题主要考查了线段垂直平分线的性质、三角形内角和定理，正确掌握相关定理是解题关键．24．如图，已知D 为ABC 边AB 的中点，E 在AC 上，将ABC 沿着DE 折叠，使A 点落在BC 上的F 处．若70B ∠=︒，则BDF ∠等于（）键．题型5：等边对等角的解答证明26．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 、E 都在边BC 上，且BE CD =，求证：AD AE =．【答案】见详解【分析】利用等腰三角形的性质可得B C ∠=∠，再由SAS 证明()SAS ABE ACD ≌△△，从而得AD AE =．【解析】证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABE 和ACD 中，AB AC B C BE CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()SAS ABE ACD ≌△△，∴AD AE =．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握相关性质定理是解题的关键．27．如图，,∥DE AB AE 平分DAB ∠，点C 在线段AE 上，AC BC AD ==，求证：AE AB =．【答案】见解析【分析】根据平行和角平分线得出AD DE =，再证△ADE ≌△ACB 即可．【解析】证明：∵AE 平分DAB ∠，∴DAE CAB ∠=∠，∵DE AB ∥，∴E BAE ∠=∠，∵AC BC =，∴B BAE ∠=∠，∴E B ∠=∠,在△ADE 和△ACB 中，E B DAE CAB AD AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△ADE ≌△ACB ，∴AE AB =．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解题关键是熟练运用等腰三角形的性质得出角相等．28．如图，在ABC 中，AB AC =，点D 在BC 边上，点E 在AC 边上，连接AD ，DE ．已知12∠=∠，AD DE =．（1）求证：ABD △≌DCE △；（2）若3BD =，5CD =，求AE 的长．【答案】（1）见解析；（2）2【分析】（1）根据等边对等角可得：B C ∠=∠，利用全等三角形的判定定理证明即可；（2）根据全等三角形的性质可得5AB DC ==，3CE BD ==，由图形中各边的关系计算即可得出．【解析】（1）证明：∵AB AC =，∴B C ∠=∠，在ABD 和DCE 中，12B C AD DE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ABD DCE ≅ ；（2）解：∵ABD DCE ≅ ，∴5AB DC ==，3CE BD ==，∵5AB AC ==，∴532AE AB CE =-=-=．【点睛】题目主要考查全等三角形及等腰三角形的性质，理解题意，结合图形，熟练运用各个性质是解题关键．29．如图，在ABC 中，AB AC =，延长BC 至D ，使得BD AC =，连接AD ，再延长AB 至E ，使得BE CD =，连接DE ．求证：≌BED CDA △△．【答案】见详解【分析】先证明,EBD ACD ∠=∠再根据SAS 判定证明即可．【解析】解：∵在ABC 中，AB AC =，ABC ACB ∴∠=∠，180,180,EBD ABC ACD ACB ∠=︒-∠∠=︒-∠ ,EBD ACD ∴∠=∠BE CD = ，BD AC =，(SAS)BED CDA ≌．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理．题型6：等腰三角形的“三线合一”30．等腰三角形的“三线合一”指的是（）A ．中线，高线，角平分线互相重合B ．顶角的平分线，中线，高线三线互相重合C ．腰上的中线，腰上的高线，底角的平分线互相重合D ．顶角的平分线，底边上的中线及底边上的高线三线互相重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质直接选取答案即可求解．【解析】解：三线合一，即在等腰三角形中顶角的角平分线，底边的中线，底边的高线，三条线相互重合．【点睛】本题考查等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的三线合一的性质，属于中考基础题．33．下列说法错误的是（）A ．等腰三角形两腰上的高相等B ．等腰三角形两腰上的中线相等C ．等腰三角形两底角的平分线相等D ．等腰三角形高、中线和角平分线重合【答案】D【分析】根据等腰三角形的性质依次判断．【解析】解：A 、等腰三角形两腰上的高相等，故正确；B 、等腰三角形两腰上的中线相等，故正确；C 、等腰三角形两底角的平分线相等，故正确；D 、等腰三角形底边上的高、底边上的中线和顶角的角平分线重合，故错误；故选：D ．【点睛】此题考查了等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键．34．已知点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，且PB PC =，则下列命题为假命题的是（）A ．若点P 在边BC 上，则AB AC=B ．若点P 在ABC 内部，则AB AC=C ．若点P 在ABC 外部，则AB AC=D ．若AB AC =，则点P 可能在边BC 上，可能在ABC 内部，也可能在ABC 外部【答案】C【分析】选项A 根据等腰三角形的性质判断；当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，先证明Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，再证明(AAS)ABP ACP ≌可判断选项B ；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，可判断选项D ；选项C 有两种情况，具体见详解．【解析】∵点P 到ABC 的两边AB ，AC 所在直线的距离相等，∴点P 在BAC ∠的角平分线所在的直线上，即BAP CAP ∠=∠，如图1，当点P 在边BC 上时，即P 为BC 的中点，根据等腰三角形的“三线合一”，得到AB AC =，故选项A 是真命题；如图2，当点P 在ABC 内部时，分别作PE ，PF 垂直AB ，AC 于点E ，F ，,PE PF PB PC == ，Rt Rt (HL)BEP CFP ≌ ，得到EBP FCP ∠=∠，∵BAP CAP ∠=∠，AP AP =，(AAS)ABP ACP ∴ ≌，AB AC ∴=；故选项B 是真命题；若AB AC =，都有(SSS)ABP ACP ≌，故选项D 是真命题；当点P 在ABC 外部时，如图3所示，AB 与AC 不一定相等，故选：C ．【点睛】此题考查了等腰三角形的判定与性质以及直角三角形全等的判定与性质．本题的关键是注意数形结合思想的应用，注意掌握辅助线的作法．题型7：等腰三角形的“三线合一”有关的最值问题35．如图，在ABC 中，AB AC =，=4BC ，面积是10；AB 的垂直平分线ED 分别交AC ，AB 边于E 、D 两点，若点F 为BC 边的中点，点P 为线段ED 上一动点，则PBF △周长的最小值为（）A ．7B ．9C ．10D ．14【答案】A 【分析】连接AP ，根据线段垂直平分线性质得AP BP =，PBF △周长==BP PF BF AP PF BF AF BF ++++≥+，再根据等腰三角形的性质和三角形的面积求出AF ，BF ，即可得出答案．【解析】解：如图所示．连接AP ，∵DE 是AB 的垂直平分线，A．①②③【答案】D【分析】根据三线合一得到A．8cm B．【答案】B【分析】根据等腰三角形三线合一的性质，得【答案】见解析【分析】过点A 作AM BC ⊥于点M ，由等腰三角形的性质得出2BAC BAM ∠=∠，D E ∠=∠，由三角形外角的性质得出2BAC D ∠=∠，即可推出BAM D ∠=∠，最后根据平行线的判定和性质即可证明DE BC ⊥．【解析】证明：如图，过点A 作AM BC ⊥于点M ．AB AC = ，2BAC BAM ∠∠∴=，AD AE = ，D E ∴∠=∠，2BAC D E D ∠∠∠∠∴=+=，22BAC BAM D ∠∠∠∴==，BAM D ∠∠∴=，DE AM ∴∥，AM BC ⊥ ，DE BC ∴⊥．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形外角的性质，平行线的判断和性质，正确作出辅助线，构建等腰三角形三线合一的性质是解题的关键．42．如图，在ABC 中，AB AC =，40BAC ∠︒=，AD 是BC 边上的高．线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，连接BE ．(1)试问：线段AE 与BE 的长相等吗？请说明理由；(2)求EBD ∠的度数．【答案】(1)相等，理由见解析(2)50︒【分析】（1）连接CE ，根据中垂线的性质得到,AE CE BE CE ==，即可得到AE BE =；（2）利用等边对等角，求出ABC ∠的度数，三线合一，求出BAE ∠的度数，等边对等角得到ABE ∠的度数，利用EBD ABD ABE ∠=∠-∠，即可得解．【解析】（1）解：线段AE 与BE 的长相等，理由如下：连接CE ，∵AB AC =，AD 是BC 边上的高，∴BD CD =，∴AD 为BC 的垂直平分线，∵点E 在AD 上，∴BE CE =，又∵线段AC 的垂直平分线交AD 于点E ，交AC 于点F ，∴AE CE =，∴AE BE =；（2）∵AB AC =，40BAC ∠︒=，【答案】见解析【分析】作EF AC ⊥于点F EA EC = ，12AF FC AC ∴==．2AC AB = ，A．3【答案】A【分析】利用等腰三角形三线合一解题即可．∠=【解析】解：∵B【解析】解：如图，在AB 上截取BE BC =，连接DE ，∵BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，在CBD △和EBD △中，CB BE CBD DBE BD BD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴CBD △≌EBD △()SAS ，∴CDB BDE ∠=∠，C DEB ∠=∠，∴2CDE CDB ∠=∠，∵2C CDB ∠=∠，∴CDE DEB C ∠=∠=∠，∴ADE AED ∠=∠，∴AD AE =，∴ABC 的周长＝27AD AE BE BC CD AB AB CD ++++=++=，故选：C ．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质以及等腰三角形的性质，注意掌握添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．题型11：等角对等边证明等腰三角形的解答证明48．已知：如图，在ABC 中，点D 在CA 边的延长线上，AE 平分DAB ∠，AE BC ∥．求证：ABC 为等腰三角形．【答案】见解析【分析】首先依据平行线的性质证明2B ∠=∠，1C ∠=∠，然后结合角平分线的定义可证明B C ∠=∠，故此可证明ABC 为等腰三角形．【解析】证明：∵AE BC ∥，∴2B ∠=∠，1C∠=∠∵AE 平分DAB ∠，∴12∠=∠∴B C∠=∠即ABC 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查的是等腰三角形的判定，熟练掌握平行线的性质及等腰三角形的判定定理是解题的关键．49．如图，在ABD △和ACD 中，AB AC =，BD CD =．(1)求证：ABD ACD △≌△；(2)过点D 作∥DE AC 交AB 于点E ，求证：AED △是等腰三角形．【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据SSS 证明三角形全等即可；（2）证明EAD ADE ∠=∠即可证明AE DE =，进而得到AED △是等腰三角形．【解析】（1）证明：在ABD △和ACD 中，AB AC AD AD DB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩，∴()SSS ABD ACD ≌；（2）证明：∵ABD ACD △≌△，∴∠=∠DAB DAC ，∵∥DE AC ，∴ADE DAC ∠=∠，∴EAD EDA ∠=∠，∴AE DE =，∴AED △是等腰三角形．【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，平行线的性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法．50．已知ABC 中，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，且2B C ∠=∠．(1)如图1，求证：AB BD AC +=；(2)如图2，延长CB 至点E ，使BE AB =，连接AE ，若36C ∠=︒，直接写出图中所有的等腰三角形（ABC 和ADE V 除外）．【答案】(1)证明见解析(2)ABE 是等腰三角形，ACE △是等腰三角形，ADC △是等腰三角形，ABD △是等腰三角形；【分析】（1）如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，证明()SAS ABD AED ≌△△得到BD ED B AED ==，∠∠，根据三角形外角的性质结合已知条件证明EDC C ∠=∠，得到ED EC BD ==，即可证明AC AE CE AB BD =+=+；（2）根据等腰三角形的判定条件结合三角形内角和定理进行推理即可．【解析】（1）证明：如图所示，在AC 上取一点E ，使得AE AB =，连接DE ，∵AD 平分BAC ∠，∴BAD EAD ∠=∠，又∵AB AE AD AD ==，，∴()SAS ABD AED ≌△△，∴BD ED B AED ==，∠∠，∵2B C ∠=∠，∴2AED C ∠=∠，∵AED C EDC ∠=∠+∠，∴EDC C ∠=∠，∴ED EC BD ==，∴AC AE CE AB BD =+=+；（2）解：∵BE AB =，∴BEA BAE ∠=∠，ABE 是等腰三角形，∵BEA BAE ABC +=∠∠∠，∴2ABC BEA =∠∠，又∵272ABE C ==︒∠∠，∴36BEA BAE C ===︒∠∠∠，∴AE AC =，即ACE △是等腰三角形，∵18072BAC C ABC =︒--=︒∠∠∠，AD 平分BAC ∠，∴36BAD CAD ∠=∠=︒，∴36DAC C ∠=∠=︒，∴72ADB C DAC =+=︒∠∠∠，ADC △是等腰三角形，∴72ADB ABD ∠∠==︒，∴ABD △是等腰三角形．【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定，全等三角形的性质与判定，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的定义等，灵活运用所学知识是解题的关键．题型12：等角对等边证明边长相等、求边长51．如图，已知12∠=∠，B C ∠=∠，不正确的等式是（）A ．AB AC=B ．BAE CAD ∠=∠C ．BE DC =D ．BD DE=【答案】D 【分析】根据等腰三角形的判定和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【解析】解：∵B C ∠=∠，∴AB AC =，故A 选项正确，不符合题意；在ABE 和ACD 中，12B C AB AC ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AAS ABE ACD ≌，∴BE CD =，BAE CAD ∠=∠，∵BE CD =，∴BE DE CD DE -=-，∴BD CE =，故B 选项、C 选项正确，D 选项错误，故选：D ．【点睛】本题考查等腰三角形的判定，全等三角形的判定和性质，掌握等腰三角形的判定是解题的关键．52．如图，ABC 中，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，过点D 作DE BC ∥交AB 于点E ，若12AB =，7DE =，则AE 的长为（）A ．5B ．6C ．7D ．8【答案】A【分析】由角平分线的定义和平行线的性质，得到ABD EDB ∠=∠，则7BE DE ==，即可求出答案．【解析】解：∵在ABC 中，BD 平分ABC ∠，∴ABD CBD ∠=∠，∵DE BC ∥，∴CBD EDB ∠=∠，∴ABD EDB ∠=∠，∴7BE DE ==，∴1275AE AB BE =-=-=；故选：A ．【点睛】本题考查了角平分线的定义和平行线的性质，解题的关键是掌握所学的知识进行计算．53．如图，点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，点Q 是OA 上一点，且PQ OB ∥，若2PQ =，则线段OQ 的长是（）A ．1.8B ．2.5C ．3D ．2【答案】D 【分析】利用角平分线的定义以及平行线的性质推出QPO QOP ∠=∠，据此即可求解．【解析】解：∵点P 是AOB ∠的角平分线OC 上一点，∴QOP POB ∠=∠，∵PQ OB ∥，∴QPO POB ∠=∠，∴QPO QOP ∠=∠，∴2OQ PQ ==，故选：D ．【点睛】本题考查了平行线的性质，等角对等边，掌握“两直线平行内错角相等”是解题的关键．54．如图，在ABC 中，BE 平分ABC ∠，DE BC ∥．若8DE =，5AD =，则AB 的长为（）A ．13B ．12C ．10D ．9【答案】A 【分析】先根据平行线的性质和角平分线的定义证明DBE DEB ∠=∠，得到8DE DB ==，则13AB AD BD =+=．【解析】解：∵BE 平分ABC ∠，∴DBE CBE ∠=∠，∵DE BC ∥，∴DEB CBE ∠=∠，∴DBE DEB ∠=∠，∴8DE DB ==，∴8513AB AD BD =+=+=，故选A ．【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，等腰三角形的判定，证明DBE DEB ∠=∠是解题的关键．55．如图，在ABC 中，45AB AC ==，，ABC ∠和ACB ∠的平分线交于点E ，过点E 作MN BC ∥分别交AB AC ，于M ，N ，则AMN 的周长为（）A ．8B ．9C ．10D ．不确定【答案】B 【分析】根据角平分线的定义和MN BC ∥可以得出MB ME =，NC NE =，继而可以得出AMN 的周长AB AC =+，从而可以得出答案．【解析】解：∵MN BC ∥，∴∠∠=MEB EBC ．∵BE 平分ABC ∠，∴MBE EBC =∠∠，∴MEB MBE ∠=∠．∴MB ME =．同理，NC NE =，∴9AMN C AM ME EN AN AB AC =+++=+=△．故选：B ．【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，等角对等边，利用角平分线及平行线的性质得出MEB MBE ∠=∠是解题的关键.56．如图，ABC DEF ≌△△，点E 在AC 上，B ，F ，C ，D 四点在同一条直线上．若40,35A CED ∠=︒∠=︒，则下列结论正确的是（）A ．,EF EC AB FC==B ．,EF EC AE FC ≠=C ．,EF EC AE FC=≠D ．,EF EC AE FC≠≠【答案】C 【分析】根据全等三角形的性质得到ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，则EF EC =，由于D CED ∠≠∠，则CE CD ≠，则AE CF ≠，由此即可得到答案．【解析】解：∵ABC DEF ≌△△，∴ACB DFE ∠=∠，40D A AC DF ==︒=∠∠，，∴EF EC =，∵4035D CED ∠=︒≠∠=︒，∴CE CD ≠，∴AE CF ≠，∴四个选项中只有C 选项符合题意，故选C ．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质，等腰三角形的判定，熟知全等三角形的性质是解题的关键．57．如图，在ABC 中，AB AC =，AD BC ⊥于点D ．(1)若37B ∠=︒，求CAD ∠的度数；(2)若点E 在边AC 上，EF AB ∥交AD 的延长线于点F ．求证：AE FE =．【答案】(1)53︒(2)见解析【分析】（1）根据等腰三角形底角相等，再根据直角三角形的性质即可求得CAD ∠；（2）根据两直线平行内错角相等，再根据AD 是BAC ∠的角平分线即可得到DAC F ∠=∠，从而证得AE FE =．【解析】（1）解：AB AC = ，AD BC ⊥，37B C ∴∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，9053CAD C ∴∠=︒-∠=︒；（2）证明：E F A B ∥ ，BAF F ∴∠=∠，AB AC = ，AD BC ⊥，AD ∴是BAC ∠的角平分线，BAF DAC ∴∠=∠，DAC F ∴∠=∠，AE FE ∴=．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、平行线的性质、直角三角形的性质，解题的关键是熟练掌握等腰三角形、平行线、直角三角形的相关知识．58．如图，在四边形ABCD 中，AD BC ∥，E 是AB 的中点，连接DE 并延长交CB 的延长线于点F ，点G 在边BC 上，且GDF ADF ∠=∠．连接EG ，判断EG 与DF 的位置关系，并说明理由．【答案】EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见解析【分析】证明()AAS ADE BFE ≌△△，得出DE EF =，证明GDF BFE ∠=∠，得出GD GF =，根据垂直平分线的判定得出GE 垂直平分DF ，即可得出答案．【解析】解：EG 与DF 的位置关系是EG DF ⊥；理由见如下：∵AD BC ∥，∴ADE BFE ∠=∠，E 是AB 的中点，AE BE ∴=，又∵FEB DEA ∠=∠，∴()AAS ADE BFE ≌△△，DE EF ∴=，∵GDF ADF ∠=∠，ADE BFE ∠=∠，∴GDF BFE ∠=∠，GD GF ∴=，DE EF = ，∴GE 垂直平分DF ，∴EG DF ⊥．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，垂直平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，得出ADE BFE V V ≌．题型13：直线上与已知两点组成等腰三角形的点59．如图，ABC ，点P 为直线AC 上的一个动点，若使得ABP 是等腰三角形．则符合条件的点P 有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D【分析】根据等腰三角形的判定定理即可得到结论．【解析】解：作AB 垂直平分线与AC 的交点，可得22P A P B =，以A 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有两个交点，13P A AB P A ==，以B 为圆心，AB 为半径画圆，交AC 有一个交点，4P B AB =，故选：D ．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定来解决实际问题，其关键是根据等腰三角形的判定定理解答．60．如图，线段AB 的一个端点B 在直线m 上，直线m 上存在点C ，使ABC 为等腰三角形，这样的点C 有（）A ．2个B ．3个C ．4个D ．5个【答案】C 【分析】以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，据此可得答案．【解析】解：如图所示，以A 为圆心，以BA 的长为半径画弧与直线m 交于点D ，此时BA AD =，同理以B 为圆心以BA 的长为半径画弧与直线m 交于E 、C ，此时BC BA =，BE BA =，再作BA 的垂直平分线与直线m 交于点F ，此时BF AF =，∴直线m 上存在4个点C ，使ABC 为等腰三角形，故选：C ．【点睛】本题考查了等腰三角形的定义，线段垂直平分线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握等腰三角形的定义．61．如图，直线a b ，相交于点O ，150∠=︒，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O A B 、、为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B 点有（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个【答案】D 【分析】分别以点O A B 、、为顶点的等腰三角形有3种情况，分别为OA OB =，OA AB =，OB AB =，从这三方面考虑点B 的位置即可；【解析】解：当OA OB =时；以点O 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 在O 点两侧各有一个交点，此时B 点有2个；当OA AB =时；以点A 为圆心，OA 的长为半径作圆，与直线b 有一个交点，此时B 点有1个；当OB AB =时；作OA的垂直平分线，与直线b有一个交点，此时B点有1个；∴满足条件的B点总共有4个；故选：D．【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，两条边相等的三角形为等腰三角形，因此要注意分类讨论，由每种情况的特点选择合适的方法确定点B是解题的关键．题型14：等腰三角形有关的尺规作图62．如图，给出了尺规作等腰三角形的三种作法，认真观察作图痕迹，下面的已知分别对应作图顺序正确的是（）①已知等腰三角形的底边和底边上的高；②已知等腰三角形的底边和腰；③已知等腰三角形的底边和一底角．A．①②③B．②①③C．③①②D．②③①【答案】B【分析】根据等腰三角形的性质即可求解．【解析】解：图形①的作图依据是“②已知等腰三角形的底边和腰”；图形②的作图依据是“①已知等腰三角形的底边和底边上的高”；图形③的作图依据是“③已知等腰三角形的底边和一底角”．故选：B ．【点睛】本题主要考查尺规作图等腰三角形，掌握等腰三角形的性质，作图的方法是解题的关键．63．如图（1），锐角ABC 中，AB BC AC >>，要用尺规作图的方法在AB 边上找一点D ，使ACD 为等腰三角形，关于图（2）中的甲、乙、丙三种作图痕迹，下列说法正确的是（）A ．甲、乙、丙都正确B ．甲、丙正确，乙错误C ．甲、乙正确，丙错误D ．只有甲正确【答案】A【分析】根据圆、线段垂直平分线、角的尺规作图进行分析即可．【解析】解：甲图：以点A 为圆心，AC 为半径作弧，交AB 于点D ，∴AD AC =，∴ACD 为等腰三角形，乙图：作AC 的垂直平分线，交AB 于点D ，∴AD DC =，∴ACD 为等腰三角形，丙图：∵所作的A DCA ∠=∠，∴AD DC =，∴ADC △是等腰三角形，∴甲、乙、丙都正确，故选A ．【点睛】本题考查等腰三角形的定义、尺规作图−圆、角、垂直平分线，熟练掌握等腰三角形的判定与圆、角和线段垂直平分线的基本作图的方法是解题的关键．64．已知锐角40AOB ∠=︒，如图，按下列步骤作图：①在OA 边取一点D ，以O 为圆心，OD 长为半径画 MN，交OB 于点C ．②以D 为圆心，DO 长为半径画 GH， GH 与OB 交于点E ，连接DC 并延长，使DC 的延长【答案】见解析【分析】以AB为腰和底两种情况作图即可．【解析】如图，以AB为腰，AO为对称轴；如图，以AB为底作等腰三角形，CM为对称轴；【点睛】本题考查利用网格作图，掌握等腰三角形的判定定理是解题的关键．66．图1，图2均是44⨯的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，C均为格点．只用无刻度的直尺，分别在给定的网格中找一格点M，按下列要求作图：=；(1)在图1中，连接MA，MB，使MA MB==．(2)在图2中，连接MA，MB，MC，使MA MB MC【答案】(1)见解析(2)见解析=；【分析】（1）根据勾股定理得MA MB==．（2）连接AC，取AC中点M，MA MB MC【解析】（1）解：如图1正确画图．（2）如图2正确画图．【点睛】本题主要考查尺规作图，熟练根据题意作出符合题意的图形是解题的关键．67．如图，在每个小正方形的边长均为方形的顶点上．(1)在方格纸中画出以AB为底的等腰ABC(2)在方格纸中画出以DE为一边的等腰DEF直接写出DC的长度．【答案】(1)图见解析；(2)图见解析，22DC ．（2）如图所示，DEF 即为所求；CD =【点睛】本题考查的是作图：应用与设计作图，根据题意找出符合条件的点是解题的关键．题型16：等腰三角形的性质和判定综合题68．如图，在ABC 中，90BAC ∠=︒，AB 90EDF ∠=︒，下列结论：①BED AFD △≌△积，则1211142S S S ≤≤；④EF AD =；所有正确的结论是（。
专题强化训练01等腰(边)三角形的判定与性质(30题)(原卷版)
专题第01讲等腰（边）三角形的判定与性质一．解答题（共30小题）1．（2022秋•韩城市期末）如图，已知点D，E分别是△ABC的边BA和BC延长线上的点，作∠DAC的平分线AF，若AF∥BC．（1）求证：△ABC是等腰三角形；（2）作∠ACE的平分线交AF于点G，若∠B＝40°，求∠AGC的度数．2．（2023春•修水县期末）在△ABC中，BD和CD分别平分∠ABC和∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB，AC于点E，F．（1）若AB＝AC，请判断△AEF是否是等腰三角形，并说明理由；（2）若△ABC的周长为18，BC＝6，求△AEF的周长．3．（2023春•新泰市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC的平分线BE交AC于点D，AF⊥AB交BE于点F．（1）如图1，若∠BAC＝40°，求∠AFE的度数．（2）如图2，若BD⊥AC，垂足为D，BF＝8，求DF的长．4．（2023春•淄博期末）如图，△ABC中，AB＝AC，D是AB上一个动点，DF⊥BC于点F，交CA延长线于点E，（1）试判断AD、AE的大小关系，并说明理由；（2）当点D在BA的延长线上时，其他条件不变，（1）中的结论是否还成立？请说明理由．5．（2023春•郫都区期末）如图，AM∥BN，∠BCM和∠CBN的角平分线交于点D，DE∥BN交BC于点E．（解答过程要求写出每步推导的理由）（1）求∠BDC的度数；（2）若AB＝AC，求证：AE⊥BC．6．（2023春•皇姑区期末）按逻辑填写步骤和理由，将下面的求解过程补充完整如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，∠B＝2∠C，若AB＝6，BD＝2，求CD的长．解：在线段CD上取一点E，使ED＝BD，连接AE，∵ED＝BD，AD⊥BC，∴AB＝AE（）．∴＝∠AEB（）．∵∠B＝2∠C，∴∠AEB＝2∠C．∵∠AEB+∠AEC＝180°（），∠EAC+∠C+∠AEC＝180°（），∴∠AEB＝∠EAC+∠C．∴＝∠EAC．∴＝（）．∴AB＝CE（）．∵AB＝6，BD＝2，∴CE＝6，ED＝2．∴CD＝CE+ED＝6+2＝8．7．（2023春•杨浦区期末）已知在△ABC中，AB＝AC，点D是边AB上一点，∠BCD＝∠A．（1）如图1，试说明CD＝CB的理由；（2）如图2，过点B作BE⊥AC，垂足为点E，BE与CD相交于点F．①试说明∠BCD＝2∠CBE的理由；②如果△BDF是等腰三角形，求∠A的度数．8．（2023春•高陵区期末）如图，在△ABC中，AB＝AC．过点A作BC的平行线交∠ABC的角平分线于点D，连接CD．（1）求证：△ACD为等腰三角形．（2）若∠BAD＝140°，求∠BDC的度数．9．（2023春•宝山区期末）如图，△ABC中，AB＝AC，点D在边BC延长线上，点E在边AC上，且DE ＝BE＝AE，延长线段DE交边AB于点F．（1）说明△AEF是等腰三角形的理由；（2）如果△BEF是等腰三角形，求∠A的度数．10．（2022秋•祁阳县期末）（1）操作实践：△ABC中，∠A＝90°，∠B＝22.5°，请画出一条直线把△ABC 分割成两个等腰三角形，并标出分割成两个等腰三角形底角的度数；（要求用两种不同的分割方法）（2）分类探究：△ABC中，最小内角∠B＝24°，若△ABC被一直线分割成两个等腰三角形，请画出相应示意图并写出△ABC最大内角的所有可能值；（3）猜想发现：若一个三角形能被一直线分割成两个等腰三角形，需满足什么条件？（请你至少写出两个条件，无需证明）11．（2022秋•阳谷县期末）如图，已知△ABC中，AB＝AC，AC与AB边上的高BD、CE相交于点O．（1）求证：△OBC是等腰三角形．（2）判断点O是否在∠BAC的平分线上，并说明理由．12．（2022秋•禹州市期末）如图，在△ABC中，AB＝AC，D是AB上的一点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED和CA，交于点F．（1）求证：△ADF是等腰三角形；（2）若∠F＝30°，BD＝4，AD＝2，求EC的长．13．（2022秋•开福区校级期末）已知在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D，DE∥BC．（1）如图1，求证：△CDE是等腰三角形；（2）如图2，若DE平分∠ADC交AC于E，∠ABC＝30°，在BC边上取点F使BF＝DF，若BC＝12，求DF的长．14．（2022秋•沙依巴克区校级期末）如图，△ABD中，AB＝AD，AC平分∠BAD，交BD于点E．（1）求证：△BCD是等腰三角形；（2）若∠ABD＝50°，∠BCD＝130°，求∠ABC的度数．15．（2023春•东港市期末）如图，点O是等边△ABC内一点，D是△ABC外的一点，∠AOB＝110°，∠BOC＝α，△BOC≌△ADC，∠OCD＝60°，连接OD．（1）求证：△OCD是等边三角形；（2）当α＝150°时，试判断△AOD的形状，并说明理由；（3）探究：当α为多少度时，△AOD是等腰三角形．16．（2023春•榆阳区期末）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，DE是AB的垂直平分线，交AB、BC于点D、E连接CD、AE．求证：（1）△ADC是等边三角形；（2）点E在线段CD的垂直平分线上．17．（2023春•渠县校级期末）如图，在△ADB中，∠ADB＝60°，DC平分∠ADB，交AB于点C，且DC ⊥AB，过C作CE∥DA交DB于点E，连接AE．（1）求证：△ADB是等边三角形．（2）求证：AE⊥DB．18．（2022秋•青秀区校级期末）已知：如图，△ABC、△CDE都是等边三角形，AD、BE相交于点O，点M、N分别是线段AD、BE的中点．（1）求证：AD＝BE；（2）求∠DOE的度数；（3）求证：△MNC是等边三角形．19．（2022秋•离石区期末）已知，在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）【特殊情况，探索结论】如图1，当点E为AB的中点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”、“＜”或“＝”）．（2）【特例启发，解答题目】如图2，当点E为AB边上任意一点时，确定线段AE与DB的大小关系，请你直接写出结论，AE DB （填“＞”、“＜”或“＝”）；理由如下，过点E作EF∥BC，交AC于点F．（请你完成以下解答过程）．（3）【拓展结论，设计新题】在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在线段CB的延长线上，且ED＝EC，若△ABC的边长为1，AE＝2，求CD的长（请你画出相应图形，并直接写出结果）．20．（2023春•毕节市期末）已知：如图，点C为线段AB上一点，△ACM，△CBN都是等边三角形，AN 交MC于点E，BM交CN于点F．（1）求证：AN＝BM；（2）求证：△CEF为等边三角形．21．（2022秋•南充期末）如图，在等边△ABC中，AC＝12cm，点M以2cm/s的速度从点B出发向点A运动（不与点A重合），点N以3cm/s的速度从点C出发向点B运动（不与点B重合），设点M，N同时运动，运动时间为ts．（1）在点M，N运动过程中，经过几秒时△BMN为等边三角形？（2）在点M，N运动过程中，△BMN的形状能否为直角三角形，若能，请计算运动时间t；若不能，请说明理由．22．（2022秋•长清区期末）如图，已知AE⊥BC，∠ADB＝120°，∠B＝40°，∠CAE＝30°．（1）求证：△ACD为等边三角形；（2）求∠BAC的度数．23．（2022春•林甸县期末）如图△ABC为等边三角形，直线a∥AB，D为直线BC上任一动点，将一60°角的顶点置于点D处，它的一边始终经过点A，另一边与直线a交于点E．（1）若D恰好在BC的中点上（如图1）求证：△ADE是等边三角形；（2）若D为直线BC上任一点（如图2），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由．24．（2021秋•随县期末）在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°，AD⊥BC，垂足为G，且AD＝AB．∠EDF ＝60°，其两边分别交边AB，AC于点E，F．（1）求证：△ABD是等边三角形；（2）求证：BE＝AF．25．（2021秋•白水县期末）如图，在四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，∠A＝60°，点E为AD上一点，连接BD，CE交于点F，CE∥AB．（1）判断△DEF的形状，并说明理由；（2）若AD＝12，CE＝8，求CF的长．26．（2021秋•阎良区期末）如图，点P，M，N分别在等边△ABC的各边上，且MP⊥AB于点P，MN⊥BC 于点M，PN⊥AC于点N．（1）求证：△PMN是等边三角形；（2）若AB＝12cm，求CM的长．27．（2022春•汝州市期末）数学课上，张老师举了下面的例题：例1：等腰三角形ABC中，∠A＝110°，求∠B的度数．（答案：35°）例2：等腰三角形ABC中，∠A＝40°，求∠B的度数．（答案：40°或70°或100°）张老师启发同学们进行变式，小敏编的题目如下：变式题：等腰三角形ABC中，∠A＝80°，求∠B的度数．（1）请你解答上面的变式题．（2）请继续探索，完成下面问题：等腰三角形ABC中，∠A＝60°，则∠B的度数为60°．（3）根据以上探索，我们发现，∠A的度数不同，得到的∠B度数的个数也可能不同．请你直接写出当∠A满足什么条件时，∠B能得到三个不同的度数．28．（2021秋•临河区期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且AE＝BD，（1）当点E为AB的中点时，如图1，求证：EC＝ED；（2）当点E不是AB的中点时，如图2，过点E作EF∥BC，求证：△AEF是等边三角形；（3）在第（2）小题的条件下，EC与ED还相等吗，请说明理由．29．（2023春•大竹县校级期末）（1）如图1，已知：在△ABC中，AB＝AC＝10，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB，过点D作EF∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则图中共有个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是，△AEF的周长是（2）如图2，若将（1）中“△ABC中，AB＝AC＝10”改为“若△ABC为不等边三角形，AB＝8，AC ＝10”其余条件不变，则图中共有2个等腰三角形；EF与BE、CF之间的数量关系是什么？证明你的结论，并求出△AEF的周长（3）已知：如图3，D在△ABC外，AB＞AC，且BD平分∠ABC，CD平分△ABC的外角∠ACG，过点D作DE∥BC，分别交AB、AC于E、F两点，则EF与BE、CF之间又有何数量关系呢？直接写出结论不证明．30．（2021秋•大荔县期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E．（1）如图1，连接EC，求证：△EBC是等边三角形；（2）点M是线段CD上的一点（不与点C，D重合），以BM为一边，在BM的下方作∠BMG＝60°，MG交DE延长线于点G．请你在图2中画出完整图形，并直接写出MD，DG与AD之间的数量关系；（3）如图3，点N是线段AD上的一点，以BN为一边，在BN的下方作∠BNG＝60°，NG交DE延长线于点G．试探究ND，DG与AD数量之间的关系，并说明理由．。
等腰三角形练习题(含答案)
等腰三角形练习题(含答案)等腰三角形第1课时：等腰三角形的性质1.已知等腰三角形的一个底角为50°，则其顶角为80°。
2.如图，△ABC中，AB=AC，BC=6cm，AD平分∠BAC，则BD=3cm。
3.如图，△ABC中，AB=AC，D为BC中点，∠BAD=35°，则∠C的度数为45°。
4.已知等腰三角形的一个内角为50°，则这个等腰三角形的顶角为80°。
5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，且AB=AD=DC，∠BAD=40°，求∠C的度数为100°。
6.如图，△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，E，F分别是AB，AC上的点，且AE=AF。
证明：DE=DF。
第2课时：等腰三角形的判定1.在△ABC中，∠A=40°，∠B=70°，则△ABC为钝角三角形。
2.已知△ABC中，∠B=50°，∠A=80°，AB=5cm，则AC=5cm。
3.如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，且BD=DC，则△ABC为等腰三角形。
4.如图，已知△ABC中，∠A=36°，AB=AC，BD为∠ABC的平分线，则图中共有2个等腰三角形。
5.如图，D是△XXX的BC边上的中点，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分别是E，F，且DE=DF。
证明：AB=AC。
6.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，FG平分∠EFD交直线AB于点G。
证明：△EFG是等腰三角形。
等边三角形第1课时：等边三角形的性质与判定1.如图，a∥b，等边△ABC的顶点B，C在直线b上，则∠1的度数为60°。
2.在△ABC中，∠A=60°，现有下面三个条件：①AB=AC；②∠B=∠C；③∠A=∠B。
能判定△ABC为等边三角形的有条件①、②、③。
3.如图，在等边△ABC中，BD⊥AC于D，若AB=4，则AD=2.4.如图，△ABC是等边三角形，∠CBD=90°，BD=BC，连接AD交BC于点E，求∠BAD的度数为75°。
等腰三角形的性质练习(含答案)
等腰三角形的性质练习(含答案)等腰三角形的性质1.选择题：1) 等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（）A。
底角大于相邻外角 B。
底角小于相邻外角C。
底角大于或等于相邻外角 D。
底角小于或等于相邻外角2) 等腰三角形的一个内角等于100°，则另两个内角的度数分别为（）A。
40°，40° B。
100°，20°C。
50°，50° D。
40°，40°或100°，20°3) 等腰三角形中的一个外角等于100°，则这个三角形的三个内角分别为（）A。
50°，50°，80° B。
80°，80°，20°C。
100°，100°，20° D。
50°，50°，80°或80°，80°，20°4) 如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大15°，那么顶角为（）A。
45° B。
40° C。
55° D。
50°5) 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A。
顶角 B。
顶角的一半C。
顶角的2倍 D。
底角的一半6) 已知：如图1所示，在△ABC中，AB=AC，点D在AC上，且BD=BC=AD，则∠A的度数为（）A。
30° B。
45° C。
36° D。
72°2.填空题：1) 如图2所示，在△ABC中，①因为AB=AC，所以∠A=∠C；②因为AB=AC，∠1=∠2，所以BD=BC，BD⊥AC．2) 若等腰三角形的顶角与一个底角之和为110°，则顶角的度数为70°．3) 已知等腰三角形的一个角是80°，则顶角为20°．4) 在等腰三角形ABC中，一腰上的高是1cm，这条高与底边的夹角是45°，则△ABC的面积为1/2 cm²．5) 如图3所示，O为△ABC内一点，且OA=OB=OC，∠ABO=20°，∠BCO=30°，则∠CAO=30°．3.等腰三角形两个内角的度数比为4：1，求其各个角的度数．设两个内角的度数为4x和x，则三角形的第三个角的度数为180°-5x．因为三角形内角和为180°，所以4x+4x+180°-5x=180°，解得x=36°，因此两个内角的度数分别为144°和36°，第三个角的度数为100°．4.如图，已知线段a和c，用圆规和直尺作等腰三角形ABC，使等腰三角形△ABC以a和c为两边，这样的三角形能作无数个．5.如图，在△ABC中，D是BC边上一点，AD=BD，AB=AC=CD，求∠BAC的度数．连接AD和AC，因为AD=BD，AB=AC，所以△ABD≌△ACD，故∠ABD=∠ACD．又因为AB=CD，所以△ABC为等腰三角形，所以∠BAC=180°-∠ABC=180°-2∠ABD=80°．6.如图所示，AB=AE，∠ABC=∠AED，BC=ED，点F是CD的中点．1) AF与CD不垂直．因为∠ABC=∠AED，所以△ABC≌△AED，故AB=AE，又因为BC=ED，所以AC=AD，所以AF垂直于BC的中点，而CD的中点是F，所以AF与CD不垂直．二、拓展延伸训练右下图是人字型层架的设计图，由AB、AC、BC、AD四根钢条焊接而成，其中A、B、C、D均为焊接点，且AB=AC，D为BC的中点，现在焊接所需的四根钢条已截好，且已标出BC的中点D。
人教版八年级数学上册等腰三角形的性质1同步练习题
13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一．选择题（共8小题）1．如图，在△ABC中，AB=AC，点D、E在BC上，连接AD、AE，如果只添加一个条件使∠DAB=∠EAC，则添加的条件不能为（）A． BD=CE B． AD=AE C． DA=DE D． BE=CD2．等腰三角形的一个角是80°，则它顶角的度数是（）A．80° B．80°或20°C．80°或50°D．20°3．已知实数x，y满足，则以x，y的值为两边长的等腰三角形的周长是（）A． 20或16 B． 20 C． 16 D．以上答案均不对4．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=40°，BD为∠ABC的平分线，则∠BDC的度数是（）A．60°B．70°C．75°D．80°5．已知等腰三角形的两边长分别是3和5，则该三角形的周长是（）A． 8 B． 9 C． 10或12 D． 11或136．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=20°．线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，连接BE，则∠CBE等于（）A．80° B．70° C．60° D．50°7．在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A． 7 B．11 C． 7或11 D． 7或108．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30°，则顶角的度数为（）A．60°B．120° C．60°或150° D．60°或120°二．填空题（共10小题）9．已知等腰三角形的一个内角为80°，则另两个角的度数是_________ ．10．如图，已知AB∥CD，AB=AC，∠ABC=68°，则∠ACD=_________ ．第10题第11题第12题第13题11．如图，在△ABC中，AB=AC，△ABC的外角∠DAC=130°，则∠B=_________ °．12．如图，AB∥CD，AE=AF，CE交AB于点F，∠C=110°，则∠A=________°．13．如图，在△ABC中，AB=AC，BC=6，AD⊥BC于D，则BD=_________ ．14．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=32°，则∠BAC=_________°．第14题第15题第16题第17题第18题15．如图，等腰△ABC中，AB=AC，AD平分∠BAC，点E是线段BC延长线上一点，连接AE，点C在AE的垂直平分线上，若DE=10cm，则AB+BD= _________ cm．16．如图，在△ABC中，AB=AC，CD平分∠ACB，∠A=36°，则∠BDC的度数为_________．17．如图，在△ABC中，AB=AC，点D为BC边的中点，∠BAD=20°，则∠C=_________ ．18．如图，在△ABC中，AB=AC，∠A=80°，E，F，P分别是AB，AC，BC边上一点，且BE=BP，CP=CF，则∠EPF=_________ 度．三．解答题（共5小题）19．已知：如图，在等腰△ABC中，AB=AC，O是底边BC上的中点，OD⊥AB于D，OE⊥AC于E．求证：AD=AE．20．如图，在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，点E在AD上．求证：（1）△ABD≌△ACD；（2）BE=CE．21．如图所示，∠BAC=∠ABD，AC=BD，点O是AD、BC的交点，点E是AB的中点．试判断OE和AB的位置关系，并给出证明．22．如图，在△ABC中，D、E分别是AC和AB上的点，BD与CE相交于点O，给出下列四个条件：①∠EBO=∠DCO；②∠BEO=∠CDO；③BE=CD；④OB=OC．（1）上述四个条件中，由哪两个条件可以判定AB=AC？（用序号写出所有的情形）（2）选择（1）小题中的一种情形，说明AB=AC．23．（1）如图，在△ABC中，∠ABC、∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，分别交AB、AC于点D、E．判断DE=DB+EC是否成立？为什么？（2）如图，若点F是∠ABC的平分线和外角∠ACG的平分线的交点，其他条件不变，请猜想线段DE、DB、EC之间有何数量关系？证明你的猜想．13.3.1 等腰三角形第1课时等腰三角形的性质一、CBBCDCCD二、9、50°，50°或80°，20°；10、44；11、65；12、40；13、3；14、69；15、10；16、72；17、70；18、50三、19、证明：∵AB=AC，∴∠B=∠C．∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴∠ODB=∠OEC=90°．∵O是底边BC上的中点，∴OB=OC，在△OBD与△OCE中，∴△OBD≌△OCE（AAS）．∴BD=CE．∵AB=AC，∴AB﹣BD=AC﹣CE．即AD=AE．20、证明：（1）∵D是BC的中点，∴BD=CD，在△A BD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS）；…（4分）（2）由（1）知△ABD≌△ACD，∴∠BAD=∠CAD，即∠BAE=∠CAE，在△ABE和△ACE中，∴△ABE≌△ACE （SAS），∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．（其他正确证法同样给分）…（4分）21、解：OE⊥AB．证明：在△B A C和△ABD中，，∴△BAC≌△ABD（SAS）．∴∠OBA=∠OAB，∴OA=OB．又∵AE=BE，∴OE⊥AB．答：OE⊥AB．22、（1）答：有①③、①④、②③、②④共4种情形．（2）解：选择①④，证明如下：∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，又∵∠EBO=∠DCO，∴∠EBO+∠OBC=∠DCO+∠OCB，即∠ABC=∠ACB，∴AC=AB．②④理由是：在△BEO和△CDO中∵，∴△BEO≌△CDO，∴∠EBO=∠DCO，∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，∴∠ABC=∠ACB，∴AB=AC，23、解：（1）成立；∵△ABC中BF、CF平分∠ABC、∠ACB，∴∠1=∠2，∠5=∠4．∵DE∥BC，∴∠2=∠3，∠4=∠6．∴∠1=∠3，∠6=∠5．根据在同一个三角形中，等角对等边的性质，可知：BD=DF，EF=CE．∴DE=DF+EF=BD+CE．故成立．（2）∵BF分∠ABC，∴∠DBF=∠FBC．∵DF∥BC，∴∠DFB=∠FBC．∴∠ABF=∠DFB，∴BD=DF．∵CF平分∠AC G，∴∠ACF=∠FCG．∵DF∥BC，∴∠DFC=∠FCG．∴∠ACF=∠DFC，∴CE=EF．∵EF+DE=DF，即DE+EC=BD．高频考点强化训练：三视图的有关判断及计算时间：30分钟 分数：50分 得分：________ 一、选择题(每小题4分，共24分)1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )2．(2016·贵阳中考)如图是一个水平放置的圆柱形物体，中间有一细棒，则此几何体的俯视图是【易错6】( )3．如图所示的主视图、左视图、俯视图是下列哪个物体的三视图( )4．如图所示的几何体的主视图、左视图、俯视图中有两个视图是相同的，则不同的视图是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..5．一个长方体的主视图、俯视图如图所示(单位：cm)，则其左视图的面积为( )A ．36cm 2B ．40cm 2C ．90cm 2D ．36cm 2或40cm 2第5题图 第6题图6．(2016·承德模拟)由一些大小相同的小正方体组成的几何体的俯视图和左视图如图所示，那么组成这个几何体的小正方体个数可能有( )A ．8个B ．6个C ．4个D ．12个二、填空题(每小题4分，共16分)7．下列几何体中：①正方体；②长方体；③圆柱；④球．其中，三个视图形状相同的几何体有________个，分别是________(填几何体的序号)．8．如图，水平放置的长方体的底面是边长为3和5的长方形，它的左视图的面积为12，则长方体的体积等于________．9．如图，由五个小正方体组成的几何体中，若每个小正方体的棱长都是1，则该几何体的主视图和左视图的面积之和是________．乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ………………………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..第8题图 第9题图 第10题图10．(2016·秦皇岛卢龙县模拟)由若干个相同的小立方体搭成的一个几何体的主视图和俯视图如图所示，俯视图的方格中的字母和数字表示该位置上小立方体的个数，则x 的值为________，y 的值为________．三、解答题(10分)11．如图所示的是某个几何体的三视图． (1)说出这个几何体的名称；(2)根据图中的有关数据，求这个几何体的表面积．中考必考点强化训练专题：简单三视图的识别◆类型一 简单几何体的三视图1．(2016·杭州中考)下列选项中，如图所示的圆柱的三视图画法正确的是( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..第1 题图 第2题图 第3题图 2．(2016·抚顺中考)如图所示几何体的主视图是( )3．(2016·南陵县模拟)如图，图中的几何体是圆柱沿竖直方向切掉一半后得到的，则该几何体的俯视图是( )4．(2016·肥城市一模)如图所示的四个几何体中，它们各自的主视图与俯视图不相同的几何体的个数是( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个5．(2016·宁波中考)如图所示的几何体的主视图为( )乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________ ……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..6．(2016·鄂州中考)一个几何体及它的主视图和俯视图如图所示，那么它的左视图正确的是( )7．(2016·菏泽中考)如图所示，该几何体的俯视图是( )◆类型二 简单组合体的三视图8．(2016·黔西南州中考)如图，是由几个完全相同的小正方体搭建的几何体，它的左视图是( )9．(2016·营口中考)如图所示的物体是由两个紧靠在一起的圆柱体组成，小明准备画出它的三视图，那么他所画的三视图中的主视图应该是( )10．(2016·日照中考)如图，小明同学将一个圆锥和一个三棱柱组成组合图形，观察其三视图，其俯视图是( )11．(2016·烟台中考)如图，圆柱体中挖去一个小圆柱，那么乡镇__________________ 学校_____________________ 班级____________ 姓名____________ 座号__________……………………密………………………………….封……………………….线…………………………………………………………………………..这个几何体的主视图和俯视图分别为( )。
【精品】等腰三角形性质及判定 基础知识点练习题
等腰三角形性质及判定等腰三角形的性质知识点一：等腰三角形的定义1.等腰三角形的两边的长为3和5，则其周长为_____________2.等腰三角形的两边的长分别为2和4，则取周长为__________3.等腰三角形的周长为29，其中一边长为7，则它的底边长为________4.等腰三角形的一个角为40°，则其余角度为_____________5.等腰三角形的一个角为120°，则其余角为____________知识点二等边对等角6.△ABC中，AB=AC,∠B=70°，则∠A的度数是___________7.如图，AB∥CD，点E在BC上，且CD=CE,∠D=80°，则∠B的度数为_________。
第7题第8题第9题8.如图，在△ABC中，AB=AC,AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC=___________9.如图，△ABC中，AB=AC,∠B=40°，CD=AC,则∠DAC=_________，∠DAB=__________-10.如图，△ABC中，AB=AC,AE平分△ABC的外角∠DAC,求证：AE∥BC。
知识点三：等腰三角形的“三线合一”11.在△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D，若AB=6，CD=4，则△ABC的周长为_________-12.在△ABC中，AB=AC,D为BC的中点，若∠BAD=20°，则∠C=_________13.如图，在△ABC中，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,求证：DE=DF14.如图，已知AB=AC=AD,且AD∥BC，求证：∠C=2∠D15.在△ABC中，AC=AB,点D在AB上，BC=BD,∠ACD=15°，求∠B的度数。
16.如图，AB=AC=CD,AD=BD,求∠BAC的度数。
17.如图1.在△ABC中，AB=AC,BD⊥AC于D.(1)若∠A=50°，则∠DBC=__________,∠A= ,则∠DBC=____________(2)如图2，若∠BAC为钝角，猜想：∠DBC与∠BAC之间的数量关系，并给予证明。
等腰三角形的性质与判定__题型
等腰三角形的性质与判定 题型等腰三角形的性质性质1.等腰三角形的两底角相等，两腰相等；性质2.等腰三角形的顶角角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（三线合一）等腰三角形的判定判定1.两边相等的三角形是等腰三角形判定2.两角相等的三角形是等腰三角形题型一：等腰三角形的角度问题例1. 若等腰三角形中的一个角等于50°，则另外两个角的度数分别是（ ）A. 65°，65°B. 50°，80°C. 50°，50°D. 65°，65°或50°，80°例2. 若等腰三角形中的其中一角为120°，则它的三个角的度数分别是 。
例3. 已知一个等腰三角形的一个外角是135°，则它的底角为 。
例4. 已知一个等腰三角形的一个内角是另一个内角的7倍，则它的三个角度数分别是 。
例5. 已知一个等腰三角形的两个角分别是（2x-2）°，（3x-5）°，求这个等腰三角形各角的度数。
题型二：等腰三角形的边长问题例1. 一个三角形的三边分别为4，x ，7，那么x 的取值范围是（ ）A. 3<x<11B. 4<x<7C. x>3D. -3<x<7例2. 等腰三角形有两边长是3cm 和4cm ，则这个等腰三角形的周长为 。
例3. 等腰三角形有两边长是4cm 和9cm ，则这个三角形的周长是（ ）A. 17cmB. 22cmC. 18cmD. 17cm 或22cm例4. 已知三角形的三边长分别为7，x ，13，若x 为整数，那么这样的等腰三角 形的周长为 。
例5. 已知一个等腰三角形的三边长分别为x ，2x ，5x-3，求这个三角形的周长例6. 已知等腰三角形的底边BC=6，且3=-BC AC ,那个腰AC 的长为（ ）A. 9B. 6C. 3D. 9或者3题型三：无图需分情况讨论例1. 等腰三角形的一个角是70°，则一腰上的高与另一腰的顶角为（ ）A. 20°B. 20°或50°C. 50°D. 70°例2. 若等腰三角形的底边长15，一腰上的中线把其周长分成的两部分的差是 8，则腰长是（ ）A. 7B. 23C. 7或者23D. 以上都不对例3. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为36°则该等腰三角形底角的度数是（ ）题型四：性质判定的综合应用（期中试卷21，22,23讲解）。
等腰三角形的性质与判定综合练习
等腰三角形的性质与判定综合练习1、假设等腰三角形的顶角为60°，那么它底角的度数为〔 〕A 、40°B 、50°C 、60°D 、70°2、如图，在△ABC 中，点D 在BC 上，AB ＝AD ＝DC ，∠B ＝80°，那么C 的度数为〔 〕A 、30°B 、40°C 、45°D 、60°3、如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，AD ⊥BC ，E 为AD 上一点，∠ABC ＝60°，∠ECD＝40°，那么∠ABE ＝〔 〕 A 、10° B 、15° C 、20° D 、25°4、等腰△ABC 中，AB ＝AC=6cm ，∠A ＝150°，那么△ABC 的面积为〔 〕A 、9cm ²B 、18cm ²C 、6cm ²D 、36cm ²5、如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，DM 是AB 的垂直平分线，那么图中的等腰三角形有〔 〕A 、5个B 、4个C 、3个D 、2个 6、如图，在△ABC 中，∠A ＝60°，BE ⊥AC ，垂足为E ，CF ⊥AB ， 垂足为F ，BE 、CF 交于点M 。
如果CM ＝4，FM ＝5，那么BE 等于〔 〕 A 、9 B 、12 C 、13 D 、14 7、如图，AB ＝AC ，∠A ＝36°，AB 的中垂线MD 交AC 于点D ，交AB 于点M 。
以下结论：①BD 是∠ABC 的平分线；②△BCD 是等腰三角形；③DC+BC=AB 。
正确的有〔 〕A 、3个B 、2个C 、1个D 、0个8、如图，△ABC 中，AB ＝AC ，△DEF 为等边三角形，那么γβα、、之间的关系为〔 〕A 、2γαβ+= B 、2γβα+= C 、2γαβ—= D 、2γβα—=二、填空题9、如图，AB//CD ，CD ＝BD ，∠ABD ＝68°，那么∠C 的度数为。
等腰三角形的性质习题附答案
等腰三角形的性质5. 等腰三角形的底角一定是锐角．( )6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝AC()7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ()9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10c13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长于F, 则AD ＝AF.17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. (18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD()19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝AB( )20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.( )21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.( )22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ()24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. (25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( )27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝()28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.( )29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A( )32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ()33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( ) 34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ( )35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延BF ⊥AD37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC.38.已知, 如图AD＝DC, DE平分∠ADB, F是AC中点, 则DE⊥DF. () 39.已知如图: △ABC和△ADE都是等腰三角形且顶角∠BAC＝∠DAE, 则BD＝CE ()40.如图, 已知: △ABC中, ∠ABC＝2∠C, AH⊥BC, 垂足为H延长AB至D, 使BD＝BH,DH的延长线交AC于点M, 则MA＝MC()二.单选题 (本大题共 60 分)1.在△ABC中, AB=AC, ∠A=40°, 点O在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则∠BOC的度数是[ ]A.110°B.35°C.140°D.55°2.如图在△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, P为△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 则∠BPC的度数是A.115°B.110°C.120°D.130°3.等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ]A.11cmB.13cmC.11cm或13cmD.以上都不对4.等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ]A.20°、140°B.20°、140°或80°、80°C.80°、80°D.20°、80°5.已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为[ ]A.17B.17或22C.22D.13 6. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为[ ] A.55° B.55°或70° C.20° D.20°或35°7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是 [ ]A.120°B.30°C.60°D.90° 8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°9. 等腰三角形周长12厘M ，其中一边长2厘M ，其他两边分别长 [ ] A ．2厘M ，8厘M B ．5厘M ，5厘M C ．5厘M ，5厘M 或2厘M ，8厘M D ．无法确定10. 等腰三角形两边分别为35厘M 和22厘M, 则它的第三边长为 [ ]A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm 11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [ ]A.90°B.36°C.36°或90°D.120° 12. 等腰三角形两边长是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm13. 等边三角形ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, 过D 作BC 的平行线交AC 于E, 若△ABC 的边长 是a, 则△ADE 的周长是 [ ]A.2aB. aC. aD. a14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ A.11 B.5 C.5或11 D.815. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [A.25°B.40°C.25°或40°D.以上答案都不对16. 在等腰△ABC 中, AB 的长是AC 的二倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长等于. [A.20B.16C.20或16D.1017. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ]A.aB.C. aD.2a 18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ] A.16 B.16或17 C.17 D.1119. 等腰三角形底边长为5厘M ，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘它的腰长为 A ．8厘M B ．5厘MC ．2厘M 或8厘MD ．2厘M20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 形 C.钝角三角形 D.不唯一确定21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数为[ ]A.70°B.110°C.55°D.60°22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为[ ]A.20°,140°B.80°,80°C.20°,140°或80°,80°D.20°,80° 23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于[ ]A.45°B.60°C.90°D.120°24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=[ ]A.26°B.32 °C.64°D.52°25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有A ．3条B ．5条C ．7条D ．9条26. 至少有两边相等的三角形是 [ ]A ．等腰三角形B ．等边三角形C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形 27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [A.20B.16C.20或16D.无28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数A.45°B.55°C.65°D.75°29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于90°30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]A.9B.7C.6D.331. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．C ．D ．32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为[ ] A.25cm B.12cm C.25cm 或12cm D.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝，那么∠A 等于 [ ] A ． B ． C ．D ．34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]A.15cmB.12cmC.12cm 或15cmD.18cm35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形B ．是钝角三角形C ．是直角三角形D ．形状不确定36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ] A.24cm B.33cm C.39cm D.33cm 或39cm 37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 A.30° B.60° C.120° D.150°38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [A.20B.16C.20或16D.无法确定 39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 [A.边,边,边B.边,角,边C.角,边,角D.角,角,边 40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于941. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝[ ]A.10°B.12.5°C.15°D.20°44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是[ ]A ．9B ．12C ．15D ．12或1546. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm, 则腰的长y 可为 [ ]A.5cmB.5cm 或4cmC.4cmD.-5cm47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分,其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]A.6cmB.10cmC.6cm 或10cmD.以上都不对48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ]A.6B.7C.8D.949. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是A.30°B.36°C.35°50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]A.120°B.20°C.120°或20°D.51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足A.∠1＝2∠2B.2∠1+∠2＝180°C.∠1+3∠2＝180°D.3∠1-∠2＝180°52.若等腰三角形的两边a 、b 满足，则此等腰三角形的周长为[ ]A ．7B ．5C ．8D ．7或553.等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是[ ]A ．△ADC ≌△AEB B ．△DBC ≌△ECBC ．△ABE ≌△BCDD ． △BOD ≌△COE54.从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰三角形的[ ]A ．周长B ．周长一半C ．一腰长D ．两腰长的和55.等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]A ．顶角B ．顶角的一半C ．顶角的2倍D ．底角的一半56.如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，若∠A=，则∠EDF=A ．B ．C ．D ．57. 等腰三角形底边长为5厘M, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘它的腰长为 [ ]A.2厘MB.8厘MC.2厘M 或8厘MD.9厘M58. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝50°, P 是△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA, 则的度数为A.115°B.100°C.130°59. 如图, △ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB, 则关于∠A 正确的等式是[ ]A.∠A ＝∠BB.∠A ＝∠ACBC.∠A ＝2∠ACBD.∠A ＝2∠DCB60. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, BC ＝BD, AD ＝DE ＝EB, 则∠A 的度数是[ ]A.30°B.36°C.45°D.54°三.填空题 (本大题共 30 分)1. 周长为20cm 的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm ．2. 如图△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, ∠AED ＝∠F, 则∠F ＝___________度.3. 已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm 和7cm, 那么这个三角形的周长等于_______4. 已知如图, A 、D 、C 在一条直线上AB ＝BD ＝CD, ∠C ＝40°, 则∠ABD ＝______度.5. 等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为___6. 等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm7. 已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度8. 等腰三角形底边中线与________和________重合．9. 已知:如图: △ABC 中, AB ＝BC, ∠B ＝90°, AD ∥BC, ∠D ＝70°, 则∠EFA ＝10. 已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．11.△ABC 中，如果AB=AC ，点M 是BC 边中点，那么M 到______两边的距离相等，A _两点的距离相等。
等腰三角形的性质专题
等腰三角形的性质专题一、选择题(本大题共8小题，共24.0分)1. 如图所示，△ABC中，AC=AD=BD，∠DAC=80°，则∠B的度数是A. 40°B. 35°C. 25°D. 20°2. 等腰三角形的周长是16，一边长为4，则这个等腰三角形腰长为A. 4B. 6C. 4或6D. 83. 如下图，在△ABC中，∠ABC=50°，∠ACB=60°，点E在BC的延长线上，∠ABC的平分线BD与∠ACE的平分线CD相交于点D，连接AD，下列结论中不正确的是（）A. ∠DOC=90°B. ∠BAC=70°C. ∠BDC=35°D. ∠DAC=55°4. 一个木工师傅测量了一个等腰三角形木板的腰、底边和高的长，但他把这三个数据与其它的数据弄混了，请你帮助他找出来，是第()组．A. 13，12，12B. 12，12，8C. 13，10，12D. 5，8，45. 如图，在△ABC中，∠CAB=65°,将△ABC在平面内绕点A旋转到△AB′ C′的位置，使CC′∥AB，则旋转角的度数为（）A. 35°B. 40°C. 50°D. 65°6. 已知2是关于x的方程x2－2mx＋3m＝0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰△ABC的两条边长，则△ABC的周长为（）A. 14B. 10C. 14或10D. 8或107. 在等腰△ABC中，AB= AC，其周长为20 cm，则AB边的取值范围是（）A. 1 cm＜AB＜4 cmB. 5 cm＜AB＜10 cmC. 4 cm＜AB＜8 cmD. 4 cm＜AB＜10 cm8. 一个等腰三角形的两边长分别是3和7，则它的周长为（）A. 13或17B. 17C. 15D. 13二、填空题(本大题共7小题，共21.0分)9. 等腰三角形的腰长是底边长的，一边长为11cm，则它的周长是____________．10. 方程x2﹣9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个等腰三角形的周长为________．11. 如图，△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD交BE于F，若BF＝AC，则∠ABC等于度．12. 已知等腰三角形的一个内角等于40°，则它的顶角是°．13.已知∠AOB=400 点P在射线OA上，点M在射线OB上，△OPM为等腰三角形，则∠OMP的度数为14. 如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠DBC=15°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，则∠A的度数是__________．15. 在Rt△ABC中，∠C=900，∠A＜∠B，AM=BM=CM，沿CM将三角形AMC翻折，点A落在点D，CD⊥AB，则∠A= 度.三、计算题(本大题共5小题，共30.0分)16.如图，在△ABC中，BD、CE是高，G、F分别是BC、DE的中点，连接GF，求证：GF⊥DE．17. 如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，CE⊥AB，AE=CE．求证：（1）△AEF≌△CEB；（2）AF=2CD．18. （1）如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在BC上，且BD=BA，点E在BC的延长线上且CE=CA，试求∠DAE的度数；（2））如果把第（1）题中“∠BAC=90°”的条件改为“∠BAC＞90°”，其余条件不变，那么∠DAE与∠BAC 有怎样的数量关系？19. 如图,在四边形ABCD中, AC平分∠DAB,∠ADC=∠ACB=90°, E为AB的中点.(1)求证:AC2=AB·AD;(2)求证:CE∥AD;20. 如图,△ABC中，AB=AC=BD，DA=DC，求△ABC中各角的度数。
等腰三角形的性质经典练习题易错易考(重点中学精品)
等腰三角形性质：1、若等腰三角形的底角等于︒15，则顶角等于2、若等腰三角形的一个角为︒50，则其他两个角的度数为 ； 若一个角为︒100，则其他两个角为3、若等腰三角形的顶角为︒n ，则底角为4、如图，在ABC ∆中，AC AB =，点D 在AC 上，且AD BC BD ==，则A ∠的度数为5、如图，BC AD //，AC AB =，︒=∠80BAC ，则=∠B ，=∠DAC6、如图，在ABC ∆中，C B ∠=∠，BC FD ⊥，AB DE ⊥，︒=∠158AFD ，则=∠EDF7、如图，ABC ∆中，AC AB =，E 为BC 中点，AC BD ⊥于D ，若︒=∠20EAC ，则=∠DBC ，=∠ABD 8、如图，等边ABC ∆中，CE BD =，AD 、BE 相交于P ，则=∠APE9、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为︒30，它的腰长为a ，则底边上的高为10、如上图，在ABC ∆中，D 、E 是BC 上两点，并且BD AB =，EC AC =，若︒=∠100BAC ，则=∠DAE11、若等腰三角形的两边a 、b ，满足0)1132(22=-+++-b a b a ，则此等腰三角形的周长为12、等腰三角形的一个底角的补角（ ）A.可以是钝角B. 可以是锐角C. 可以是直角D. 只能是钝角13、等腰三角形的一个底角的余角（ ）A.顶角B. 顶角的一半C. 顶角的两倍D. 一腰上的高与另一腰的夹角14、下列命题为假命题的是（ ）A.等腰三角形顶角的外角平分线与底边平行B.等腰三角形的高、中线、角平分线互相重合C.有一角为︒150且有一腰相等的两个三角形全等D.等腰三角形的底边不可以是腰的二倍15、如图，在ABC ∆中AC AB =，BD BC =， EB DE AD ==，=∠A16、等腰三角形一边长等于4，一边长等于9，它的周长为17、如图，ABC ∆中，BC AC =，AD 是BC 边上的高，AE 是BAC ∠的平分线，︒=∠48EAD ，则为=∠ACD18、如图，ABC ∆中，AC AB =，AD 和BE 是高，它们相交于点H ，且BE AE =，求证：BD AH 2=19、在等边ABC ∆中，D 、E 分别为AB 、BC 上的点，且BE AD =，AE 、CD 相交于点F ，CD AG ⊥于G ，求证：FG AF 2=20、在ABC ∆中，BAC ∠的平分线与BC 边的垂直平分线相交于点P ，过点P 作AB 、AC 的垂线，垂足分别为M 、N ，求证：CN BM =21、在ABC ∆中，AD 平分BAC ∠，AC DE //交AB 于E ，EF 平分AED ∠交BC 延长线于F ，求证：B CAF ∠=∠22、在ABC ∆中，︒=∠90ACB ，CB CA =，AB CD ⊥于D ，CE 平分BCD ∠交AB 于E ，AF 平分CAD ∠交CD 于F ，求证：BC EF //23、已知：AD AB =，CE AE ⊥于点E ，AE 平分BAC ∠，求证：AC AB AE +=2等腰三角形性质答案：1、︒1502、︒50和︒80，︒65和︒65；︒40和︒403、2180︒-︒n 4、︒36 5、︒50，︒506、︒687、︒20，︒50 8、︒60 9、a 21（钝角三角形）或a 23（等边三角形）10、︒40 11、7 12、D 13、B 14、B 15、︒4516、22 17、︒56 第19题：易证CAE ∆≌BCD ∆，BCD CAE ∠=∠∴，由等边三角形知， CAE ACD DCB ACD ACB ∠+∠=∠+∠=︒=∠60，∴︒=∠60AFG ， ︒=∠30FAG ，ΘCD AG ⊥，在∆Rt 中，︒30角所对的边是斜边的一半 ∴FG AF 2=第20题：线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；角平分线上的点到角的两边距离相等，连结PB 、PC ，易得PC PB =，PN PM =，由HL 定理 得CN BM =第21题：AD Θ平分BAC ∠，CAD EAD ∠=∠∴AC DE //Θ，EDA CAD ∠=∠∴，EDA EAD ∠=∠∴，EA ED =∴ ΘEF 平分AED ∠，由三线合一知，EF 垂直平分AD ，FA FD =∴ADF FAD ∠=∠∴，CAD FAC FAD ∠+∠=∠，BAD B ADF ∠+∠=∠ 而BDA CAD ∠=∠，∴B CAF ∠=∠第22题：Θ︒=∠90ACB ，CB CA =，∴︒=∠=∠45B CAB ΘAB CD ⊥于D ，∴DB CD =，︒=∠=∠45B DCB ΘCE 平分BCD ∠，∴︒=∠=∠5.22ECB DCE ΘAF 平分CAD ∠，∴︒=∠5.22CAF ，易证CAF ∆≌BCE ∆，∴EB CF = ∴DE FD =，∴︒=∠=∠45B FED ，∴BC EF //第23题：延长AB 至F ，使AC BF =；延长AE 至M ，使AE AM 2=；连结CM ，易证CM AC =，CME CAE ∠=∠；AE Θ平分BAC ∠ ∴BAD CAE ∠=∠，BAD CAM ∠=∠∴，CM AF //∴，又CM AC BF ==Θ，∴四边形BFMC 为平行四边形，FM BC //∴， AD AB =Θ， ADB ABD ∠=∠∴，FM BC //Θ， AMF F ∠=∠∴ AM AF =∴，∴AC AB AE +=2。
解等腰三角形的性质的练习题
解等腰三角形的性质的练习题1. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以点D为底边BC的中点，连接AD。
证明：△ABD≌△ACD。
解析：首先，根据等腰三角形的定义，AB=AC。
其次，由于D为BC的中点，所以BD=DC。
再根据SSS（边边边）对应的性质，我们可以得出△ABD≌△ACD。
也就是说，两个三角形的三边分别对应相等，从而可以得出两个三角形全等。
2. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的高为AH。
证明：∠HAB=∠HAC。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出∠A=∠B=∠C。
又因为AD为高，所以∠HAD=90°，而角HAB是等腰三角形ABC的顶角，所以角HAB也等于∠C。
综上所述，可以得出∠HAB=∠HAC。
3. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以AB为底边，且与AC相交于点D的中线DE。
证明：DE=BC/2。
解析：首先，我们知道等腰三角形ABC的两边AB和AC相等，所以可以得出DE=BC/2。
这是因为DE是底边BC的中线，所以根据中线分割定理，DE等于底边BC的一半，即DE=BC/2。
4. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：△ADE≌△ABC。
解析：首先，我们需要说明如何将△ABC旋转180°得到△ADE。
根据题意，我们以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°。
旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
根据旋转的定义，可以得出△ADE≌△ABC。
5. 设等腰三角形ABC中，AB=AC，以角A的平分线AM为旋转轴，将△ABC旋转180°得到△ADE。
证明：BD=DC，BE=EC。
解析：如前一题所述，旋转后，点A和点D重合，点B和点E重合，点C不动。
由等腰三角形的定义可知，BD=DC，BE=EC。
等腰三角形的性质和判定练习题
等腰三角形的性质和判定一、单选题1．以下判断中错误的是（ ）A ．等边三角形的每条高线都是角平分线和中线B ．有一内角为60︒的等腰三角形是等边三角形C ．等腰三角形一定是锐角三角形D ．等腰三角形顶角的平分线，底边上的中线，底边上的高相互重合2．如图，在ABC 中，AB AC =，65C ︒∠=，点D 是BC 边上任意一点，过点D 作//DF AB 交AC 于点E ，则FEC ∠的度数是（ ）．A ．120︒B ．130︒C ．145︒D ．150︒3．如图，直线a ，b 相交形成的夹角中，锐角为52°，交点为O ，点A 在直线a 上，直线b 上存在点B ，使以点O ，A ，B 为顶点的三角形是等腰三角形，这样的点B 有（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个4．等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为30，则顶角的度数为（ ）A ．60︒B ．120︒C ．60︒或150︒D ．60︒或120︒5．如图，已知△ABC 是等边三角形，点B ，C ，D ，E 在同一直线上，且CG ＝CD ，DF ＝DE ，则△E ＝（ ）A ．15°B ．20°C ．25°D ．30°二、填空题6．已知△ABC 是等腰三角形．若△A =40°，则△ABC 的顶角度数是____．7．如图，AB AC =，若AD 平分BAC ∠，则AD 与BC 的位置关系是_______．8．已知：如图，ABC 中，,BO CO 分别是ABC ∠和ACB ∠的平分线，过O 点的直线分别交AB 、AC 于点D 、E ，且//DE BC ．若6cm,8cm AB AC ==，则ADE 的周长为______．9．如图，在ABC 中，AB AC =，点E 在CA 延长线上，EP BC ⊥于点P ，交AB 于点F ，若10CE =，3AF =，则BF 的长度为______．三、解答题10．等腰三角形一腰上的中线将三角形的周长分成了21和27两个部分，求等腰三角形的底边和腰长.11．如图，BD 是ABC 的角平分线，DE BC ∥，交AB 于点E ．(1)求证：EBD EDB ∠=∠．(2)当AB AC =时，请判断CD 与ED 的大小关系，并说明理由．12．如图，已知点D 、E 在ABC 的边BC 上，AB AC =，AD AE =．（1）求证：BD CE =；（2）若AD BD DE CE ===，求BAE ∠的度数．13．如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，D 是BC 边上的中点，连结AD ，BE 平分△ABC 交AC 于点E ，过点E 作EF △BC 交AB 于点F ．（1）若△C ＝36°，求△BAD 的度数．（2）求证：FB ＝FE ．。
《等腰三角形的性质》练习1
等腰三角形一、选择题（1）等腰三角形中的一个角等于︒100，则另两个内角的度数分别为（ ）（A ）︒40，︒40 （B ）︒100，︒20（C ）︒50，︒50 （D ）︒40，︒40或︒100，︒20（2）如果一个等腰三角形的一个底角比顶角大︒15，那么顶角为（ ）（A ）︒45 （B ）︒40 （C ）︒55 （D ）︒50（3）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（ ）（A ）顶角 （B ）顶角的一半（C ）顶角的2倍 （D ）底角的一半（4）在下列命题中，正确的是（ ）（A ）等腰三角形是锐角三角形（B ）等腰三角形两腰上的高相等（C ）两个等腰直角三角形全等（D ）等腰三角形的角平分线是中线（5）已知等腰三角形的一边长为cm 5，另一边长为cm 6，则它的周长为（ ）（A ）cm 11 （B ）cm 17 （C ）cm 16 （D ）cm 16或cm 17（6）在ABC ∆中，x BC AC AB ==,，若ABC ∆的周长为24，则x 的取值范围是（ ）（A ）121≤≤x （B ）120≤<x（C ）120<<x （D ）126<<x（7）三角形一边上的高和这边上的中线重合，则这个三角形一定是（ ）（A ）锐角三角形 （B ）钝角三角形（C ）等腰三角形 （D ）等边三角形（8）等腰三角形底边长为cm 5，一腰上的中线把其周长分为两部分的差为cm 3.则腰长为（ ）（A ）cm 2 （B ）cm 8（C ）cm 2或cm 8 （D ）以上答案都不对（9）等腰三角形的底角与相邻外角的关系是（ ）（A ）底角大于相邻外角 （B ）底角小于或等于相邻外角（C ）底角大于或等于相邻外角 （D ）底角小于相邻外角（10）已知ABC ∆的周长为cm 36，且AC AB =，又BC AD ⊥，D 为垂足，ABD ∆的周长为cm 30，那么AD 的长为（ ）（A ）cm 6 （B ）cm 8 （C ）cm 12 （D ）cm 20二．填空题（1）有一个底角为︒20的等腰三角形的另外两个角的度数分别为________.（2）有一个内角为︒40的等腰三角形的另外两个内角的度数为______.（3）如果ABC ∆中，AC AB =，它的两边长为cm 2和cm 4，那么它的周长为________.（4）如果等腰三角形的周长为cm 18，那么它的底边x 的取值范围是_______.（5）等边三角形的两条中线相交所成的钝角的度数是________.（6）已知等腰三角形的一个顶角与一个底角的和为︒110，则其顶角的度数为______.（7）如图，在ABC ∆中，AC AB =，BD 是ABC ∆的角平分线，且BE BD =，︒=∠100BAC ，则=∠DEC _______.三、解答题（1）如图，已知：在ABC ∆中，AC AB =，︒=∠30A ，BD 是ABC ∆的高，求CBD ∠的度数。
等腰和等边三角形的性质习题
等腰和等边三角形的性质一、等腰三角形性质【性质1】等腰三角形，两底角 .几何语言：∵等腰△ABC ，AB=AC （已知）∴∠B=∠C（等边对等角）【练习1】在△ABC中，AB=AC，（1）若∠A=40°，则∠C等于多少度？（2）若∠B=72°，则∠A等于多少度？【性质2】等腰三角形顶角的平分线,底边上的中线底边上的高 .简称： .几何语言：（1）∵AB=AC, AD平分∠BAC(已知)，∴BD=CD,AD⊥BC（等腰三角形三线合一）. （2）∵AB=AC, BD=CD (已知)，∴（等腰三角形三线合一）.（3）∵AB=AC, AD⊥BC(已知)，∴（等腰三角形三线合一）.【练习2】如图在△ABC中，∠BAC=108°，AB=AC，AD⊥BC，求∠BAD的度数.【性质3】【性质3】等腰三角形两腰上的高线、角分线、中线均 .如图,在△ABC中,AB=AC,BP,CQ是△ABC两腰上的高．求证：BP=CQ．如图, 在△ABC中, AB=AC, BD和CE是△ABC的角平分线．求证：BD=CE.如图,在△ABC中,AB=AC,BM,CN是△ABC两腰上的中线．求证：BM=CN．【练习3】【练习3】如图在△ABC中,AB=AC,点D,E 分别在边AC,AB上,给出下列条件,不能使BD=CE的是( )A.BD和CE分别为边AC和AB上的高B.BD和CE分别为边AC和AB上的中线C ∠ABD=13∠ABC，∠ACE=13∠ACBD ∠ABD=∠BCE二、等边三角形性质【性质1】等边三角形的三个内角都 .并且每个角都等于 .几何语言：∵等边△ABC （已知）∴∠A∠B=∠C=60°（等边三角形三个内角都相等）【练习4】（1）如图,在△ABC中,D,E是BC的三等分点,且△ADE是等边三角形,求∠BAC的度数.（2）等边三角形ABC中,BE和CD分别是AC和AB边上的高,且相交于点F,则∠BFC的度数为【性质2】等边三角形每条边上的角分线、中线、高线都是 .（共有条.）等边△ABC中，若AD⊥BC，求证：BD=CD,AD⊥BC 【练习5】如图,在等边三角形ABC中,BD⊥AC于点D,若AB=8,则AD=.【性质3】等边△ABC中，三条三线合一的线段长度.等边△ABC中，若AD、BE、CF分别为三边中线，求证：AD=BE=CF三、当堂检测1、如图在△ABC中,AD⊥BC于点D,D为BC的中点,则下列结论不正确的是() A.△ABD≌△ACD B.∠B=∠CC.AD平分∠BACD.△ABC是等边三角形1题图2题图2、如图在等边三角形ABC中,AD⊥BC于点D,E为AD上一点,若∠CED=50°,则∠ABE等于()3、等腰三角形的一个外角等于100°,则与它不相邻的两个内角的度数分别为() A.40°,40° B.80°,20°C.50°,50°D.50°,50°或80°,20°作业(一)[等腰和等边△性质]一、选择题1、如图,BE⊥AC于点D,且AB=BC,BD=ED,若∠ABC=54°,则∠E的度数为() A.27° B.36° C.40° D.54°1题图 2题图2、如图,等边△ABC,AD是角平分线,△ADE 是等边三角形,下列结论不正确的是()A.AD⊥BCB.EF=FDC.BE=BDD.AE=AC二、填空题3、如图△ABC的周长为18,且AB=AC,AD⊥BC于点D,△ACD的周长为12,那么AD的长为.3题图 4题图4、如图,点B在AC上,点D在CE,AD=BD=BC,∠ACE=25°,则∠ADE= °.5、如图,△ABC为等边三角形,以边AC为腰作等腰三角形ACD,使AC=CD,连接BD,若∠ABD=32°,则∠CAD= °.5题图6题图三、解答题6、如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且AE=AF.求证:DE=DF.7.如图,已知在等边三角形ABC中,点D,E 分别在边BC,AC上,且BD=CE,连接BE,AD 交于点F.求证:∠AFE=60°.。
等腰三角形的性质习题附答案
等腰三角形的性质一.判断题 (本大题共 40 分)1. 等腰三角形内一点到底边两端点距离相等, 则这点和这个等腰三角形的顶点及底边 中点在同一直线上. ( )2. 已知如图AB ＝AC, OB ＝OC, 则∠ABO ＝∠ACO()3. 如图已知△ABC 中AB ＝AC, AD 平分△ABC 的外角∠EAC, 则AD ∥BC. ()4.()5. 等腰三角形的底角一定是锐角．( )6. 已知如图, △ABC 是等边三角形, D 是BC 中点 DE ⊥AC 于E, 则 EC ＝AC( )7. 等腰三角形的底角不一定是锐角. ( )8. 如图△ABC 中AB ＝AC, D 、E 分别为AC 、BC 上的点, 则DB ＞DE ()9. 等腰三角形底边上的高上任意一点到两腰的距离相等 ( ) 10. 等腰三角形两腰上中线的交点到底边的两端点距离相等.( ) 11. 如图, D 是等腰三角形底边BC 上一点. 则 ∠ADC ＞∠C. ( )12. 等腰三角形一腰上中线把它周长分为15cm 和6cm 两部分,则这个三角形三边长为10cm 、10cm 、1cm( )13. 等腰三角形中, 两个角的比为1:4, 则顶角的度数为20°. ( )14. 等边三角形的边长为a, 则高为 a. ( ) 15. 等腰三角形的顶角可以是直角、锐角或钝角. ( )16. 如图, 已知: △ABC 的AB ＝AC, D 是AB 上一点, DE ⊥BC, E 是垂足, ED 的延长线交CA 的 延长线于F, 则AD ＝AF. ( )17. 如图B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠1＝∠2, 则 ∠3＝∠4. ()18. 等边三角形ABC 中, D 是AC 中点, E 为BC 延长线上一点, 且 DB ＝DE. 则 CE ＝CD()19. 已知, △ABC 中, AB ＝AC, ∠B ＝75°, CD ⊥AB 于D, 则CD ＝AB( )20. 等腰三角形底边上的中点到两腰的距离相等.( )21. 如图, B 、D 、E 、C 在同一直线上, 若AB ＝AC, ∠3＝∠4, 则∠1＝∠2.()22. 因为等腰三角形的底角一定是锐角, 所以等腰三角形是锐角三角形. ( ) 23. 如图, △ABC 和△CDE 都是等边三角形, 则 AD ＝BE. ()24. 如图, 已知: 四边形ABCD 中, ∠ABC ＝∠ADC, AB ＝AD, 则 CB ＝CD. ()25. 如果三角形一边上的中线等于这边的一半, 这个三角形不一定是直角三角形. ( ) 26. 等腰三角形角平分线、高线、中线在同一条直线上 ( ) 27. 已知如图, △ABC 中, ∠B ＞∠C, 点D 是AC 上的一点, 且AD ＝AB, 则∠DBC ＝(∠ABC-∠C)( )28. 如果等腰三角形的顶角为50°, 那么一腰上的高与底边的夹角是40°.( )29. 已知△ABC 中, AB ＝AC, D 在AB 上且∠DCB ＝∠A, 则 CD ⊥AB ( )30. 等腰三角形两腰上的中线相等. ( )31. 已知△ABC 中, AB ＝AC, CD ⊥AB 于D, 则 ∠DCB ＝∠A( )32. 如图, AB ＝AE, ∠B ＝∠E, CB ＝ED. F 是CD 的中点, 则AF ⊥CD. ()33. 等腰三角形顶角的顶点到两腰中线的距离相等. ( )34. 已知: 如图在△ABC 中, AB ＝AC, D 是BC 延长线上一点, E 是AB 上一点, DE 交AC 于点F , 则 AE ＜AF ()35. 在△ABC 中, AB ≤AC, 延长CB 到D, 使BD ＝BA, 连结AD, 则 AD ＜AC.()36. 已知: 如图, D 为等腰直角△ABC 的直角边BC 延长线上一点, 且CD ＝CE, BE 延长线交AD 于F, 则BF ⊥AD()37. 在△ABC 中, ∠A ＝2∠B, 则BC ＜2AC. ()38. 已知, 如图 AD ＝DC, DE 平分∠ADB, F 是AC 中点, 则DE ⊥DF. ()39. 已知如图: △ABC 和△ADE 都是等腰三角形且顶角∠BAC ＝∠DAE, 则BD ＝CE ( )40. 如图, 已知: △ABC 中, ∠ABC ＝2∠C, AH ⊥BC, 垂足为H 延长AB 至D, 使 BD ＝BH,DH 的延长线交AC 于点M, 则MA ＝MC( )二.单选题 (本大题共 60 分)1. 在△ABC 中, AB=AC, ∠A=40°, 点O 在三角形内且∠OBC=∠OCA, 则 ∠BOC 的度数是 [ ]A.110°B.35°C.140°D.55°2. 如图在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A ＝40°, P 为△ABC 内的一点, 且∠PBC ＝∠PCA,则∠BPC 的度数是[ ]A.115°B.110°C.120°D.130°3. 等腰三角形一边长5cm, 另一边长是3cm, 它的周长是 [ ] A.11cm B.13cm C.11cm 或13cm D.以上都不对4. 等腰三角形的一个角等于20°, 则它的另外两个角等于 [ ] A.20°、140° B.20°、140°或80°、80° C.80°、80° D.20°、80°5. 已知等腰三角形的一边长为4, 另一边长为9, 则它的周长为[ ]A.17B.17或22C.22D.136. 一个等腰三角形的一个内角为70°, 则它一腰上的高与底边所夹的角的度数为[ ]A.55°B.55°或70°C.20°D.20°或35°7. 等腰三角形顶角的度数是底角度数的4倍, 那么,它的底角的度数是[ ]A.120°B.30°C.60°D.90°8. 有一个角是50°的等腰三角形其顶角的度数为 [ ] A.80° B.50° C.80°或50° D.65.5°9. 等腰三角形周长12厘米，其中一边长2厘米，其他两边分别长 [ ] A ．2厘米，8厘米 B ．5厘米，5厘米 C ．5厘米，5厘米或2厘米，8厘米 D ．无法确定10. 等腰三角形两边分别为35厘米和22厘米, 则它的第三边长为 [ ]A.35cmB.22cmC.35cm 或22cmD.15cm 11. 已知等腰三角形的两个角之比为1∶2, 则顶角的度数是 [ ]A.90°B.36°C.36°或90°D.120° 12. 等腰三角形两边长是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm13. 等边三角形ABC 中, CD 是∠ACB 的平分线, 过D 作BC 的平行线交AC 于E, 若△ABC 的边长 是a, 则△ADE 的周长是 [ ]A.2aB. aC. aD. a14. 如果等腰三角形的周长为21, 其中一边长为5, 那么此等腰三角形底边长是 [ ] A.11 B.5 C.5或11 D.815. 已知等腰三角形中一个角为50°, 则这个三角形腰上的高和底边夹角的度数为 [ ] A.25° B.40° C.25°或40° D.以上答案都不对16. 在等腰△ABC 中, AB 的长是AC 的二倍, 三角形的周长是40, 则AB 的长等于. [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.1017. 等腰三角形的底边为a, 顶角是底角的4倍. 则腰上的高为 [ ] A.a B. C. a D.2a 18. 已知等腰三角形的一边长为5, 另一边长为6, 则它的周长为 [ ]A.16B.16或17C.17D.1119. 等腰三角形底边长为5厘米，一腰上的中线把三角形分成两部分，其周长之差为3厘米，则 它的腰长为[ ]A ．8厘米B ．5厘米C ．2厘米或8厘米D ．2厘米20. 等腰三角形有一个角是45°, 那么这个三角形是 [ ] A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.不唯一确定21. 如图△ABC 中, AB ＝AC, 且EB ＝BD ＝DC ＝CF, ∠A ＝40°, 则∠EDF 的度数为 [ ]A.70°B.110°C.55°D.60°22. 已知等腰三角形的一个角为20°, 则它的另外两个角分别为[ ]A.20°,140°B.80°,80°C.20°,140°或80°,80°D.20°,80°23. 如果一个等腰三角形的一腰是顶角平分线的2倍, 那么这个三角形必有一个内角等于[ ]A.45°B.60°C.90°D.120°24. 如图, 在Rt △ABC 中, ∠C=90°, ∠DBC=26°,且AD=DB,则∠A=[ ]A.26°B.32 °C.64°D.52° 25. 一个等腰三角形的角平分线、高线和中线的总数最多有 [ ]A ．3条B ．5条C ．7条D ．9条26. 至少有两边相等的三角形是 [ ] A ．等腰三角形 B ．等边三角形 C ．等腰直角三角形D ．锐角三角形27. 已知：等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定 28. 如图, AB ＝AC, FD ⊥BC 于D, DE ⊥AB 于E, 若∠AFD ＝155°, 那么∠EDF 的度数是[ ]A.45°B.55°C.65°D.75°29. 一条等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ] A.小于60° B.等于60° C.等于90° D.大于90°30. 等边三角形的高、中线、角平分线共有________条．[ ]A.9B.7C.6D.3 31. 等腰三角形有一个角是，则它顶角的大小为 [ ] A ． B ．C ．D ．32. 等腰三角形的两边长为25cm 和12cm, 那么它的第三条边长为[ ]A.25cmB.12cmC.25cm 或12cmD.37cm 33. 在等腰△ABC 中，AB ＝AC ，BD 平分∠ABC ，并交AC 于D ．如果∠CDB ＝，那么∠A 等于[ ]A ．B ．C ．D ．34. 若一个等腰三角形的两边分别是3cm 和6cm, 则它的周长为 [ ]A.15cmB.12cmC.12cm 或15cmD.18cm35. 如果一个三角形的三条高线的交点恰是这个三角形的一个顶点，那么此三角形 [ ] A ．是锐角三角形 B ．是钝角三角形 C ．是直角三角形D ．形状不确定36. 等腰三角形两边是9cm 和15cm, 则它的周长是 [ ]A.24cmB.33cmC.39cmD.33cm 或39cm37. 等腰Rt △ABC 中, ∠C ＝90° D 是BC 上一点, 且AD ＝2CD 则 ∠ADB 的度数为 [ ] A.30° B.60° C.120° D.150°38. 已知等腰三角形的一边等于4, 一边等于8, 则这个等腰三角形的周长是 [ ] A.20 B.16 C.20或16 D.无法确定39. 已知：如图, △ABD 和△ACE 均为等边三角形, 那么△ADC ≌△AEB 的根据是 []A.边,边,边B.边,角,边C.角,边,角D.角,角,边40. 一个等腰三角形底边上的高等于底边的一半, 那么这个等腰三角形的顶角 [ ]A.小于60°B.等于60°C.等于90°D.大于90° 41. 在△ABC 中, AB ＝AC, ∠A+ ∠B ＝130°, 则∠A 、∠B 、∠C 的度数是 [ ]A.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝80°B.∠A ＝50°、∠B ＝80°、∠C ＝50°C.∠A ＝50°、∠B ＝50°、∠C ＝80°D.∠A ＝80°、∠B ＝50°、∠C ＝50°42. 等腰三角形顶角是84°,则一腰上的高与底边所成角的度数是 [ ] A.42° B.6° C.36° D.46°43. 如图: AB ＝AC, ∠BAD ＝30°AD ⊥BC 且AD ＝AE, 则∠EDC ＝[ ]A.10°B.12.5°C.15°D.20° 44. 等腰三角形一腰上的高与底所夹的角等于 [ ] A.顶角 B.顶角的 C.顶角的2倍 D.底角的45. 等腰三角形边长分别是3和6，这个三角形的周长是[ ] A ．9 B ．12 C ．15D ．12或1546. 用一条长为12cm 的铁丝做等腰三角形, 底和腰的长必须是正整数, 若底的长为xcm, 则腰的长y 可为 [ ]A.5cmB.5cm 或4cmC.4cmD.-5cm47. 一个等腰三角形底边为8cm, 从底边上一个端点引腰的中线, 分三角形周长为两部 分, 其中一部分比另一部分长2cm, 则腰长为 [ ]A.6cmB.10cmC.6cm 或10cmD.以上都不对48. 一个等腰但非等边三角形, 它的角平分线, 中线和高线的条数共为 [ ] A.6 B.7 C.8 D.949. 已知：如图在△ABC 中, AB=AC, CD 为∠ACB 平分线,DE ∥BC,∠A=40°, 则∠EDC 的度数是[ ]A.30°B.36°C.35°D.54°50. 等腰三角形两个角的比为4∶1, 则顶角为 [ ]A.120°B.20°C.120°或20°D.150°51. 如图已知: AB ＝AC ＝BD, 那么∠1与∠2之间的关系满足[ ]A.∠1＝2∠2B.2∠1+∠2＝180°C.∠1+3∠2＝180°D.3∠1-∠2＝180°52. 若等腰三角形的两边a 、b 满足，则此等腰三角形的周长为[ ]A ．7B ．5C ．8D ．7或553. 等腰△ABC 中，两腰上的中线BE 、CD 交于O ，则下列判断中错误的是[ ]A ．△ADC ≌△AEB B ．△DBC ≌△ECB C ．△ABE ≌△BCDD ． △BOD ≌△COE54. 从等腰三角形底边上任一点，分别作两腰的平行线所成的四边形的周长等于此等腰三角形的[ ]A ．周长B ．周长一半C ．一腰长D ．两腰长的和 55. 等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于 [ ]A ．顶角B ．顶角的一半C ．顶角的2倍D ．底角的一半56. 如下图，△ABC 中，AB=AC ，点D 、E 、F 分别在BC 、AB 、AC 上，且DE=BE ，DF=DC ，若∠A=，则∠EDF=[ ]A ．B ．C ．D ．57.等腰三角形底边长为5厘米, 一腰上的中线把三角形分成两部分, 其周长之差为3厘米, 则它的腰长为 [ ]A.2厘米B.8厘米C.2厘米或8厘米D.9厘米58.如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝50°, P是△ABC内的一点, 且∠PBC＝∠PCA, 则∠BPC的度数为[ ] A.115° B.100° C.130° D.140°59.如图, △ABC中, AB＝AC, CD⊥AB, 则关于∠A正确的等式是[ ] A.∠A＝∠B B.∠A＝∠ACB C.∠A＝2∠ACB D.∠A＝2∠DCB60.如图在△ABC中, AB＝AC, BC＝BD, AD＝DE＝EB, 则∠A的度数是[ ]A.30°B.36°C.45°D.54°三.填空题 (本大题共 30 分)1.周长为20cm的等腰三角形中, 底边长为acm, 则一腰长为________cm．2.如图△ABC中, AB＝AC, ∠A＝40°, ∠AED＝∠F, 则∠F＝___________度.3.已知等腰三角形有两条边的长分别是3cm和7cm, 那么这个三角形的周长等于__________cm4.已知如图, A、D、C在一条直线上AB＝BD＝CD, ∠C＝40°, 则∠ABD＝______度.5.等腰三角形的周长为36, 腰比底长3, 则此等腰三角形的腰长为________, 底边长为________．6.等腰三角形的底边为12cm,且腰是底的, 则三角形的周长是_______cm7.已知等腰三角形的一个底角等于顶角的4倍, 则这个等腰三角形的顶角为_______度.8.等腰三角形底边中线与________和________重合．9.已知: 如图: △ABC中, AB＝BC, ∠B＝90°, AD∥BC, ∠D＝70°, 则∠EFA＝____度10.已知：等腰三角形的一个角为100°, 则另两个角的度数为________．11.△ABC中，如果AB=AC，点M是BC边中点，那么M到______两边的距离相等，AM上的点到_____ _两点的距离相等。
等腰直角三角形的性质(人教版)(含答案)
等腰直角三角形的性质（人教版）试卷简介:测试学生对于常见的等腰直角三角形的思考角度，从边、角、特殊的线、周长、面积等角度分别如何思考，初步体会结构化思考的意识。
一、单选题(共10道，每道10分)1.如图,a∥b,点A在直线a上,点C在直线b上,∠BAC=90°,AB=AC.若∠1=20°,则∠2的度数为( )A.25°B.65°C.70°D.75°答案：B解题思路：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠ACB=45°，∵∠1=20°，∴∠ACE=65°，∵a∥b，∴∠2=∠ACE=65°．故选B．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形2.如图,在Rt△ABC中,AB=AC,AD⊥BC,垂足为D.E,F分别是CD,AD上的点,且CE=AF.如果∠AED=62°,那么∠DBF=( )A.38°B.30°C.28°D.26°答案：C解题思路：在Rt△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，∴BD=CD，∠ADB=∠ADC=90°，∵∠BAC=90°，∴BD=AD=CD，∵CE=AF，∴DF=DE．∴Rt△BDF≌Rt△ADE(SAS)．∴∠DFB=∠AED，∵∠AED=62°∴∠DFB=62°，∴∠DBF=28°.故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形3.将一副三角板按如图所示方式叠放在一起,若AB=8,则阴影部分的面积是( )A.4B.6C.8D.10答案：C解题思路：在Rt△ABC中，∠B=30°，∠ACB=90°，AB=8，∴．∵BC⊥AE，DE⊥AE∴BC∥ED，∴∠AFC=∠ADE=45°，∴AC=CF=4．故．故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形4.如图,在等腰三角形ABC中,∠ABC=90°,D为AC边上中点,过D点作DE⊥DF,交AB于E,交BC 于F.若,则AB的长为( )A.3B.6C.9D.18答案：B解题思路：如图，连接BD．∵在等腰直角三角形ABC中，D为AC边上中点，∴BD=CD=AD，∠ABD=45°，BD⊥AC，∴∠C=45°，∴∠ABD=∠C，又∵DE⊥DF，∴∠FDC=∠EDB，∴△EDB≌△FDC（ASA），∴∴∴AB=6，故选B．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形5.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,CA=CB,点D为△ABC外一点,且点D在AC的垂直平分线上.若∠BCD=30°,则∠ABD的值为( )A.25°B.30°C.35°D.45°答案：B解题思路：∵在△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，∴△ABC为等腰直角三角形，∴∠ACB=90°，∠CAB=∠CBA=45°，∵∠BCD=30°，∴∠ACD=60°，∵D在AC的垂直平分线上，∴CD=AD，∴△ACD为等边三角形，∴AC=CD=AD，∴DC=AC=BC，∴∠CBD=∠CDB=75°，∴∠ABD=∠CBD-∠CBA=30°．故选B试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形6.已知在平面上有不重合的两个点A和B,以点A和点B为两个顶点作位置不同的等腰直角三角形,一共可以作出( )A.2个B.4个C.6个D.8个答案：C解题思路：如图所示，可作不同位置的等腰直角三角形6个．故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形7.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,∠CAD=30°,AC=BC=AD,CE⊥CD,且CE=CD,连接BD,DE,BE.则下列结论:①∠ECA=165°;②BE=BC;③AD⊥BE;④.其中正确的是( )A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④答案：D解题思路：①∵∠CAD=30°，AC=BC=AD，∴，∵CE⊥CD，∴∠DCE=90°，∴∠ECA=165°，①正确.②∵CE⊥CD，∠ECA=165°，∴∠BCE=∠ECA-∠ACB=165°-90°=75°，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=BC，②正确．③如图，延长AD交BE于点F．∵∠ACB=90°，∠CAD=30°，AC=BC，∴∠CAB=∠ABC=45°∴∠BAD=∠BAC-∠CAD=45°-30°=15°，∵△ACD≌△BCE，∴∠CBE=30°，∴∠ABF=75°，∴∠AFB=90°，∴AD⊥BE．③正确．④证明：如图，过D作DM⊥AC于M，过D作DN⊥BC于N．∵∠CAD=30°，AC=AD∴，∵AC=AD，∠CAD=30°，∴∠ACD=75°，∴∠NCD=90°-∠ACD=15°，∠MDC=90°-∠ACD=15°，∴△CMD≌△DNC，∴，∴CN=BN．∵DN⊥BC，∴BD=CD．④正确．所以4个结论都正确．故选D．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形8.如图,在等腰直角△ABC中,∠BAC=90°,AC=AB,BD⊥AH于D,CH⊥AH于H,HE,DF分别平分∠AHC和∠ADB.则下列结论中:①△AHC≌△BDA;②DF⊥HE;③DF=HE;④AE=BF.其中正确的结论有( )A.①③④B.①C.①②③D.①②③④答案：D解题思路：①∵∠BAC=90°，BD⊥AH，CH⊥AH，∴∠AHC=∠BDA=90°，∴∠CAH+∠BAD=90°，∠ABD+∠BAD=90°，∴∠CAH=∠ABD又∵AC=AB∴△AHC≌△BDA（AAS），①正确；②如图，延长BD与AC相交于点M，延长FD，HE交于点G．∵∠CHD+∠HDM=90°+90°=180°，∴CH∥BM∵DF平分∠ADB∴DG平分∠HDM又∵HE平分∠AHC∴∠HGD=90°∴DF⊥HE，②正确；③又∵∠CHA=∠ADB∴∠EHA=∠FDB又∵∠EAH=∠FBD，AH=BD∴△EHA≌△FDB∴DF=HE，∴③正确④∵△EHA≌△FDB∴AE=BF，④正确.故选D．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形9.如图,在△ABC中,AB=AC,DE垂直平分AB,BE⊥AC,AF⊥BC,则∠EFC的度数为( )A.30°B.45°C.55°D.60°答案：B解题思路：∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∵BE⊥AC，∴△ABE是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠ABE=45°，又∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB=67.5°，∴∠CBE=∠ABC-∠ABE=22.5°，∵AB=AC，AF⊥BC，∴BF=CF，∴BF=EF，∴∠BEF=∠CBE=22.5°，∴∠EFC=∠BEF+∠CBE=45°．故选B．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形10.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AD⊥AB,AD=AB,BE⊥DC于点E,CA的垂线AF交EB的延长线于点F,连接CF,则∠ACF的度数为( )A.30°B.40°C.45°D.60°答案：C解题思路：∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∵AF⊥AC，∴BC∥AF，∴∠EBC=∠AFB，∵EF⊥DE，∠ACB=90°，∴∠DCA+∠ECB=90°，∠ECB+∠EBC=90°，∴∠DCA=∠EBC，∴∠DCA=∠AFB，∵AD⊥AB，AF⊥AC，∴∠DAC=∠BAF，∴△DAC≌△BAF（AAS），∴AC=AF，∵AF⊥AC，∴∠ACF=45°．故选C．试题难度：三颗星知识点：等腰直角三角形。
等腰三角形的性质试题并附详细答案
学习让人生更加精彩等腰三角形的性质精选试题一．选择题（共21小题）1．（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．11 C．7或11 D．7或102．（2006•仙桃）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是（）A．15°B．30°C．50°D．65°3．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°4．（2003•青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（）A．75°B．15°C．75°或15°D．30°5．（2006•普陀区二模）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角的一半B．底角的一半C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半6．在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（）A．6B．9C．12 D．157．如图，AB=AC，∠C=70°，AB垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°8．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（）A．0对B．1对C．2对D．3对9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E．若∠AFD=158°，则∠EDF 的度数为（）A．90°B．80°C．68°D．60°10．已知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°，那么∠ACB的外角的度数是（）A． 110°B． 140°C． 110°或140°D．以上都不对11．如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（）A．40°B．30°C．20°D．10°12．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4…来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样的钢条至多需要（）根．A．4B．5C．6D．713．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．48 B．24 C．12 D．614．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC中，∠PBC=10°，∠PCB=20°，则∠PAB的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．65°15．如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°16．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B． 2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D． 3∠1﹣∠2=180°17．有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个18．设等腰三角形的顶角为∠A，则∠A的取值范围是（）A．0°≤∠A≤180°B． 0°＜∠A＜180°C． 0°≤∠A≤90°D．0°＜∠A＜90°19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若AB=5cm，△BCD的周长为8cm，那么BC的长是（）cm．A．3B．4C．5D．220．已知△ABC中，∠C=32°，∠A、∠B的外角平分线分别交对边的延长线于D、E两点，且AC=AD，则∠E=（）A．10°B．16°C．20°D．24°21．如图，△ABC中，AB=BC=AD，D在BC的延长线上，则角α和β的关系是（）A．α+β=180°B．3α+2β=180°C．3α+β=180°D．2β=α二．填空题（共5小题）22．（2011•沈河区一模）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在BC、AC边上，∠CDE=15°，且∠AED=∠ADE，则∠BAD的度数为_________．23．如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=50°，∠DAC=30°，则∠BDC=_________．24．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管_________根．25．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B_________∠1，∠C_________∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=_________度．26．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有_________处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于_________．三．解答题（共4小题）27．已知：如图，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想：_________．证明：28．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）29．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24cm，且BC=10cm，求AB的长．30．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O（1）连接OA，求∠OAC的度数；（2）求：∠BOC．等腰三角形的性质精选试题参考答案与试题解析一．选择题（共21小题）1．（2009•呼和浩特）在等腰△ABC中，AB=AC，中线BD将这个三角形的周长分为15和12两个部分，则这个等腰三角形的底边长为（）A．7B．11 C．7或11 D．7或10考点：等腰三角形的性质；三角形三边关系．专题：分类讨论．分析：题中给出了周长关系，要求底边长，首先应先想到等腰三角形的两腰相等，寻找问题中的等量关系，列方程求解，然后结合三角形三边关系验证答案．解答：解：设等腰三角形的底边长为x，腰长为y，则根据题意，得①或②解方程组①得：，根据三角形三边关系定理，此时能组成三角形；解方程组②得：，根据三角形三边关系定理此时能组成三角形，即等腰三角形的底边长是11或7；故选C．点评：本题考查等腰三角形的性质及相关计算．学生在解决本题时，有的同学会审题错误，以为15，12中包含着中线BD的长，从而无法解决问题，有的同学会忽略掉等腰三角形的分情况讨论而漏掉其中一种情况；注意：求出的结果要看看是否符合三角形的三边关系定理．故解决本题最好先画出图形再作答．2．（2006•仙桃）在△ABC中，已知AB=AC，DE垂直平分AC，∠A=50°，则∠DCB的度数是（）A．15°B．30°C．50°D．65°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：首先由AB=AC可得∠ABC=∠ACB，再由DE垂直平分AC可得DC=AD，推出∠DAC=∠DCA．易求∠DCB．解答：解：AB=AC，∠A=50°⇒∠ABC=∠ACB=65°．∵DE垂直平分AC，∴∠DAC=∠DCA．∴∠DCB=∠ACB﹣∠DCA=65°﹣50°=15°．故选A．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质，考生主要了解线段垂直平分线的性质即可求解．3．（2006•威海）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，AC=AE，BC=BD，则∠DCE的度数为（）A．20°B．25°C．30°D．40°考点：等腰三角形的性质．专题：几何图形问题．分析：根据此题的条件，找出等腰三角形，找出相等的边与角度，设出未知量，找出满足条件的方程．解答：解：∵AC=AE，BC=BD∴设∠AEC=∠ACE=x°，∠BDC=∠BCD=y°，∴∠A=180°﹣2x°，∠B=180°﹣2y°，∵∠ACB+∠A+∠B=180°，∴100+（180﹣2x）+（180﹣2y）=180，得x+y=140，∴∠DCE=180﹣（∠AEC+∠BDC）=180﹣（x+y）=40°．故选D．点评：根据题目中的等边关系，找出角的相等关系，再根据三角形内角和180°的定理，列出方程，解决此题．4．（2003•青海）若等腰三角形一腰上的高等于腰长的一半，则此三角形的底角等于（）A．75°B．15°C．75°或15°D．30°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题：压轴题；分类讨论．分析：等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形的边上这种情况不成立，因而应分两种情况进行讨论．解答：解：当高在三角形内部时，由已知可求得三角形的顶角为30°，则底角是75°；当高在三角形外部时，三角形顶角的外角是30°，则底角是15°；所以此三角形的底角等于75°或15°，故选C．点评：熟记三角形的高相对于三角形的三种位置关系是解题的关键，本题易出现的错误是只是求出75°一种情况，把三角形简单的化成锐角三角形．5．（2006•普陀区二模）等腰三角形一腰上的高与底边所成的角等于（）A．顶角的一半B．底角的一半C．90°减去顶角的一半D．90°减去底角的一半考点：等腰三角形的性质．分析：作出图象根据等腰三角形两底角相等、三角形内角和定理和直角三角形两锐角互余列式求解．解答：解：△ABC中，∵AB=AC，BD是高，∴∠ABC=∠C=在Rt△BDC中，∠CBD=90°﹣∠C=90°﹣=．故选A．点评：本题考查了等腰三角形的性质：等边对等角，以及直角三角形两锐角互余的性质．题目本身是规律性的结论，要注意总结掌握，在今后的分析问题时可直接应用．6．在等腰△ABC中，AB=AC=9，BC=6，DE是AC的垂直平分线，交AB、AC于点D、E，则△BDC的周长是（）A．6B．9C．12 D．15考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：由DE是AC的垂直平分线，即可证得AD=CD，即可得△BDC的周长是AB与BC的和，又由AB=AC=9，BC=6，即可求得答案．解答：解：∵DE是AC的垂直平分线，∴AD=CD，∴△BDC的周长是：BD+CD+BC=BD+AD+BC=AB+BC，∵AB=AC=9，BC=6，∴△BDC的周长是：AB+BC=9+6=15．故选D．点评：此题考查了线段垂直平分线的性质．解题的关键是注意掌握数形结合思想与转化思想的应用．7．如图，AB=AC，∠C=70°，AB垂直平分线EF交AC于点D，则∠DBC的度数为（）A．10°B．15°C．20°D．30°考点：线段垂直平分线的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等腰三角形的性质求出∠ABC，求出∠A，根据线段的垂直平分线求出AD=BD，得到∠A=∠ABD，求出∠ABD的度数即可．解答：解：∵AC=AB，∠C=70°，∴∠ABC=∠C=70°，∴∠A=180°﹣∠ABC﹣∠C=40°，∵DE是AB的垂直平分线，∴AD=BD，∴∠ABD=∠A=40°，∴∠DBC=∠ABC﹣∠ABD=70°﹣40°=30°．故选D．点评：本题考查了等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是求出∠ABD和∠ABC的度数，题目比较典型，难度适中．8．如图，点D、E在△ABC的BC边上，AB=AC，AD=AE，则图中全等三角形共有（）A．0对B．1对C．2对D．3对考点：等腰三角形的性质．分析：利用三角形全等的判定方法可以证得△ABE≌△ACD和△ABD≌△ACE．解答：解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED，∴∠BAD=∠CAE，∴△ABD≌△ACE，∴BD=CE，∴BD+DE=CE+DE即：BE=CD，∴△ABE≌△ACD，∴图中全等的三角形共有2对，选C．点评：本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．9．如图，在△ABC中，∠B=∠C，点F为AC上一点，FD⊥BC于D，过D点作DE⊥AB于E．若∠AFD=158°，则∠EDF 的度数为（）A．90°B．80°C．68°D．60°考点：等腰三角形的性质；三角形的外角性质．专题：计算题．分析：先根据等腰三角形等边对等角的性质得到∠B=∠C，利用等角的余角相等和已知角可求出∠EDB的数，从而可求得∠EDF的度数．解答：解：∵AB=AC∴∠B=∠C∵FD⊥BC于D，DE⊥AB于E∴∠BED=∠FDC=90°∵∠AFD=158°∴∠EDB=∠CFD=180°﹣158°=22°∴∠EDF=90°﹣∠EDB=90°﹣22°=68°．故选C．点评：本题综合考查等腰三角形与等边三角形的性质及三角形外角性质等知识．一般是利用等腰三角形的性质得出有关角的度数，进而求出所求角的度数．10．已知△ABC是等腰三角形，且∠A=40°，那么∠ACB的外角的度数是（）A． 110°B． 140°C． 110°或140°D．以上都不对考点：等腰三角形的性质．专题：计算题；分类讨论．分析：利用等腰三角形的性质，得到两底角相等，结合三角形内角与外角的关系：三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，可直接得到结果．解答：解：∵等腰三角形两底角相等，三角形的任一外角等于和它不相邻的两个内角之和，∴当顶角∠A=40°时，则∠C=∠B=（180﹣40）=70°，∴∠ACB的外角的度数是180﹣70=110°，∴当底角∠A=40°时，∠B=40°，则∠ACB的外角的度数为2∠A=2×40=80°，当底角∠A=40°时，∠ACB=40°，则∠ACB的外角的度数为180﹣40=140°．故选C．点评：此题主要考查了等腰三角形的性质与三角形内角与外角的关系；此题要采用分类讨论的思想，本题比较简单，属于基础题．11．如图已知∠BAC=100°，AB=AC，AB、AC的垂直平分线分别交BC于D、E，则∠DAE=（）A．40°B．30°C．20°D．10°考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据三角形的内角和定理和等腰三角形性质求出∠B=∠C=40°，根据线段垂直平分线得出BD=AD，AE=CE，推出∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，即可求出∠DAE．解答：解：∵∠BAC=100°，AC=AB，∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=40°，∵DM、EN分别是边AB和AC的垂直平分线，∴BD=AD，AE=CE，∴∠B=∠BAD=40°，∠C=∠CAE=40°，∴∠DAE=100°﹣40°﹣40°=20°，故选C．点评：本题考查了三角形的内角和定理，等腰三角形性质，线段垂直平分线等知识点，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，等边对等角．12．如图，钢架中∠A=16°，焊上等长的钢条P1P2，P2P3，P3P4…来加固钢架，若AP1=P1P2，则这样的钢条至多需要（）根．A．4B．5C．6D．7考点：等腰三角形的性质．分析：由于焊上的钢条长度相等，并且A P1=P1P2，所以∠A=∠P1P2A，则可算出∠P2P1P3的度数，并且和∠P1P3P2度数相等，根据平角的度数为180度和三角形内角和为180度，结合等腰三角形底角度数小于90度即可求出最多能焊上的钢条数．解答：解：∵∠A=∠P1P2A=16°∴∠P2P1P3=32°，∠P1P3P2=32°∴∠P1P2P3=116°∴∠P3P2P4=48°∴∠P3P2P4=48°∴∠P2P3P4=96°∴∠P4P3P5=52°∴∠P3P5P4=52°∴∠P3P4P5=52°∴∠P5P4P6=76°∴∠P4P6P5=76°∴∠P4P5P6=28°∴∠P6P5P7=86°，此时就不能在往上焊接了，综上所述总共可焊上5条．故选B．点评：本题主要考点：等腰三角形底角相等，三角形内角和为180度，平角度数为180度等．结合图形依次算出各角的度数，根据等腰三角形底角小于90度判断何时不能在焊接上．13．如图，在△ABC中，AB=AC，AD是∠BAC的角平分线，AD=8cm，BC=6cm，点E、F是AD上的两点，则图中阴影部分的面积是（）A．48 B．24 C．12 D．6考点：轴对称的性质；等腰三角形的性质．分析：根据等腰三角形性质求出BD=DC，AD⊥BC，推出△CEF和△BEF关于直线AD对称，得出S△BEF=S△CEF，根据图中阴影部分的面积是S△ABC求出即可．解答：解：∵AB=AC，AD是∠BAC的平分线，∴BD=DC=8，AD⊥BC，∴△ABC关于直线AD对称，∴B、C关于直线AD对称，∴△CEF和△BEF关于直线AD对称，∴S△BEF=S△CEF，∵△ABC的面积是×BC×AD=×8×6=24，∴图中阴影部分的面积是S△ABC=12．故选C．点评：本题主要考查对等腰三角形性质，三角形的面积，轴对称性质等知识点的理解和掌握，能求出图中阴影部分的面积是S△ABC是解此题的关键．14．在△ABC中，AB=AC，∠BAC=80°，P在△ABC中，∠PBC=10°，∠PCB=20°，则∠PAB的度数为（）A．50°B．60°C．70°D．65°考点：等腰三角形的性质．分析：要求∠PAB，题中已知没有能直接求出的条件，故可作P关于AC的对称点P′，连接AP′、P'C、PP'，得出A、B、C、P'四点共圆，从而求得∠PAB的度数．解答：解：如图，作P关于AC的对称点P′，连接AP′、P′C、PP′，则P′C=PC，ACP′=∠ACP．∵AB=AC，∠BAC=80°，∴∠ABC=∠ACB=50°，又∵∠PBC=10°，∠PCB=20°，∴∠BPC=150°，∠ACP=30°，∠ACP′=30°，∴∠PCP′=60°，∴△PCP′是等边三角形，∴PP′=PC，∠P′AC=∠PAC，∠P′PC=60°，∴∠BPP′=360°﹣150°﹣60°=150°，∴∠BPP′=∠BPC，∴△PBP′≌△PBC，∴∠PBP′=∠PBC=10°，∴∠P′BC=20°，∠ABP′=30°又∠ACP′=30°，∴∠ABP′=∠ACP′，∴A、B、C、P′四点共圆，∴∠PAC=∠P′AC=∠P′BC=20°，∴∠PAB=60°．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质及全等三角形的判定，难度较大．辅助线的作出是解答本题的关键．15．如图，点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∠B=40°，则∠ADC等于（）A．50°B．60°C．70°D．80°考点：等腰三角形的性质；线段垂直平分线的性质．分析：连接BD、AC．设∠1=x．根据线段垂直平分线的性质，得AD=BD，BD=CD．根据等边对等角，得∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x．根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°﹣2∠4=100°﹣2x，∠BDC=180°﹣2x，进而求得∠ADC．解答：解：连接BD，AC．设∠1=x，∵点D是线段AB与线段BC的垂直平分线的交点，∴AD=BD，BD=CD，∴∠1=∠2=x，∠4=∠ABD=40°+x，根据三角形的内角和定理，得∠ADB=180°﹣2∠4=100°﹣2x，∠BDC=180°﹣2x，∴∠ADC=∠BDC﹣∠ADB=80°．故选D．点评：此题综合考查了线段垂直平分线的性质、等边对等角的性质以及三角形的内角和定理；作出辅助线是正确解答本题的关键．16．如图，AD=BC=BA，那么∠1与∠2之间的关系是（）A．∠1=2∠2 B．2∠1+∠2=180°C．∠1+3∠2=180°D． 3∠1﹣∠2=180°考点：等腰三角形的性质．分析：由已知条件可得到∠2=∠B，∠1=∠BCA，在△ABC中，由∠1+∠ACB+∠B=180°，可推出结论．解答：解：∵AB=BC，∴∠1=∠BCA，∵AB=AD，∴∠B=∠2，∵∠1+∠B+∠ACB=180°，∴2∠1+∠2=180°．故选B．点评：本题考查了对等边对等角和三角形内角和定理的应用．17．有下列命题说法：①锐角三角形中任何两个角的和大于90°；②等腰三角形一定是锐角三角形；③等腰三角形有一个外角等于120°，这个三角形一定是等边三角形；④等腰三角形中有一个是40°，那么它的底角是70°；⑤一个三角形中至少有一个角不小于60度．其中正确的有（）A．2个B．3个C．4个D．5个考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．分析：认真阅读各小题提供的已知条件，依据三角形的分类方法，然后根据三角形内角和为180°进行分析解答．解答：解：①中，必定正确．如果两个角的和不大于90°，则第三个内角将大于或等于90°，该三角形将不是锐角三角形；②中，这两个概念不能混淆，当等腰三角形的顶角是钝角时，该三角形是钝角三角形，故错误；③中，若等腰三角形有一个外角等于120°，则等腰三角形有一个内角等于60°，则这个三角形一定是等边三角形，故正确；④中，此题应分为两种情况，底角可以是40°或70°，故错误；⑤中，显然正确，如果都小于60°，则该三角形的内角和小于180度．所以正确的是①，③，⑤三个．故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质及三角形内角和定理；掌握三角形的分类方法，理解各个概念，同时注意三角形的内角和是180°．18．设等腰三角形的顶角为∠A，则∠A的取值范围是（）A．0°≤∠A≤180°B．0°＜∠A＜180°C．0°≤∠A≤90°D．0°＜∠A＜90°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：本题考查等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可以判断出顶角的取值范围．解答：解：因为等腰三角形的底角只能为锐角，但顶角可以是钝角或锐角，所以0°＜∠A＜180°，故选B．点评：本题考查等腰三角形的性质，根据三角形内角和定理和等腰三角形的性质可以得出结论．19．如图，已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线DE交AC于D，垂足为E，若AB=5cm，△BCD的周长为8cm，那么BC的长是（）cm．A．3B．4C．5D．2考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：根据线段垂直平分线定理得出AD=BD，根据BC+CD+BD=8cm求出AC+BC=8cm，把AC的长代入求出即可．解答：解：∵D在AB垂直平分线上，∴AD=BD，∵△BCD的周长为8cm，∴BC+CD+BD=8cm，∴AD+DC+BC=8cm，∴AC+BC=8cm，∵AB=AC=5cm，∴BC=8cm﹣5cm=3cm，故选A．点评：本题考查了等腰三角形性质和线段垂直平分线定理，关键是求出AC+BC的值，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两端点的距离相等．20．已知△ABC中，∠C=32°，∠A、∠B的外角平分线分别交对边的延长线于D、E两点，且AC=AD，则∠E=（）A．10°B．16°C．20°D．24°考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理．专题：计算题．分析：根据等腰三角形的性质求得∠C=∠D=32°，有外角平分线的性质知∠EAD=∠DAB=64°；然后在△ABD中求得∠ABD=86°，从而根据外角平分线的性质求出∠ABE=42°；最后在△ABE中，根据三角形内角和求∠E的度数．解答：解：∵AC=AD，∴∠C=∠D；又∵∠EAD=∠C+∠D，∠C=32°，∠EAD=∠DAB，∠EAD=∠DAB=64°，∴∠EAB=128°；在△ABD中，∠DAB=64°，∠D=32°，∴∠ABD=180°﹣∠D AB﹣∠D=84°；又有∠EBA=∠EBD，∴∠EBA=42°；∴在△ABE中，∠E=180°﹣∠EBA﹣∠EAB=10°；故选A．点评：本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理、三角形的外角平分线的性质．解答此题的关键是灵活运用三角形的外角与内角的关系及三角形的内角和定理．21．如图，△ABC中，AB=BC=AD，D在BC的延长线上，则角α和β的关系是（）A．α+β=180°B．3α+2β=180°C．3α+β=180°D．2β=α考点：等腰三角形的性质．分析：首先利用等腰三角形的性质得到∴∠B=∠D=α和∠BAC=∠BCA，然后利用三角形内角和求解．解答：解：∵AB=AD，∴∠B=∠D=α，∵AB=BC∴∠BAC=∠BCA，∵∠ACB=α+β∴在等腰三角形ABC中，2（α+β）+α=180°∴3α+2β=180°，故选B．点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是找到图中所有的等腰三角形．二．填空题（共5小题）22．（2011•沈河区一模）如图，在△ABC中，∠B=∠C，点D、E分别在BC、AC边上，∠CDE=15°，且∠AED=∠ADE，则∠BAD的度数为30°．考点：等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：根据等腰三角形的性质，利用三角形内角和定理和三角形外角的性质，利用等量代换即可求解．解答：解；∵在△ABD中，∠BAD=180°﹣∠B﹣∠ADB，∠ADB=180°﹣∠ADC，∴∠BAD=∠ADC﹣∠B，∵∠B=∠C，∠CDE=15°，且∠AED=∠ADE，∴∠BAD=∠ADE+15°﹣∠B=∠B+15°+15°﹣∠B=30°．故答案为30°．点评：此题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理的理解和掌握，难易程度适中，适合学生的训练，是一道典型的题目．23．如图，已知：AB=AC=AD，∠BAC=50°，∠DAC=30°，则∠BDC=25°．考点：等腰三角形的性质．分析：结合题意，可分析得出点B、C、D在以点A位圆心，以AB长为半径的圆周上，即可得出∠BDC和∠CAB 分别为圆周角和圆心角，且两角对应的弧相等，即可得出∠BAC=2∠BDC=50°，即可得出∠BDC=25°．解答：解：根据题意，可以以点A为圆心，以AB为半径作圆，即可得出点B、C、D均在圆周上，故有∠BAC=2∠BDC=50°，即∠BDC=25°．故答案为：25°．点评：本题主要考查了学生对知识的灵活运用能力和对问题的分析能力，属于常规性试题，是学生练习的很好的题材．24．如图所示，AOB是一钢架，且∠AOB=10°，为了使钢架更加坚固，需在其内部添加一些钢管EF，FG，GH…，添加的钢管长度都与OE相等，则最多能添加这样的钢管8根．考点：等腰三角形的性质．专题：应用题；压轴题．分析：根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据规律及三角形的内角和定理不难求解．解答：解：∵添加的钢管长度都与OE相等，∠AOB=10°，∴∠GEF=∠FGE=20°，…从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的底角是10°，第二个是20°，第三个是30°，四个是40°，五个是50°，六个是60°，七个是70°，八个是80°，九个是90°就不存在了．所以一共有8个．故答案为：8．点评：此题考查了三角形的内角和是180度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性质；发现并利用规律是正确解答本题的关键．25．如图，在△ABC中，DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，则∠B=∠1，∠C=∠2；若∠BAC=126°，则∠EAG=72度．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．分析：先根据线段垂直平分线的性质得出AE=BE，AG=CG，故∠1=∠B，∠2=∠C，由三角形内角和定理可知，∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+126°=180°，故∠B+∠C=54°，由于∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，即2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，再把∠B+∠C=54°代入即可求解．解答：解：∵DE、FG分别是边AB、AC的垂直平分线，∴AE=BE，AG=CG，∴∠1=∠B，∠2=∠C，∵∠B+∠C+∠BAC=∠B+∠C+126°=180°，∴∠B+∠C=54°，∵∠1+∠2+∠B+∠C+∠EAG=180°，即2（∠B+∠C）+∠EAG=180°，故∠EAG=180°﹣2×54°=72°．故答案为：72°．点评：本题考查的是线段垂直平分线的性质及三角形内角和定理，解答此题的关键是熟知以下知识：①线段的垂直平分线到线段两端的距离相等；②三角形的内角和为180°．26．如图，A、B是网格中的两个格点，点C也是网格中的一个格点，连接AB、BC、AC，当△ABC为等腰三角形时，格点C的不同位置有3处，设网格中的每个小正方形的边长为1，则所有满足题意的等腰三角形ABC的面积之和等于15．考点：等腰三角形的性质；三角形的面积．专题：计算题．分析：根据AB的长度确定C点的不同位置，由已知条件，利用勾股定理可知AB=，然后即可确定C点的位置；计算这三个三角形的面积时，△ABC的面积直接用×4×3得出，其它两个三角形面积可用正方形面积减去多余三角形的面积即可，例如三角形ABC′的面积用正方形面积20减去2个相等的三角形面积，再减去梯形的面积即可．解答：解：格点C的不同位置分别是：C、C′、C″，∵网格中的每个小正方形的边长为1，∴S△ABC=×4×3=6，S△ABC′=20﹣2×3﹣=6.5，S△ABC″=2.5，∴S△ABC+S△ABC′+S△ABC″=6+6.5+2.5=15．故答案分别为：3；15．点评：此题主要考查学生对等腰三角形的性质和三角形面积等知识点的理解和掌握，此题关键是根据AB 的长度确定C点的不同位置，然后再计算3个三角形面积即可．此题有一定难度，属于难题．三．解答题（共4小题）27．已知：如图，AD平分∠BAC，AD=AB，CM⊥AD于M．请你通过观察和测量，猜想线段AB、AC之和与线段AM有怎样的数量关系，并证明你的结论．猜想：AB+AC=2AM．证明：考点：等腰三角形的性质．专题：开放型．分析：根据题目提供的条件和图形中线段的关系，做出猜想AB+AC=2AM，过点C作CE∥AB，CE与AM的延长线交于点E，进一步证明AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE，从而得到AB+AC=2AM．解答：猜想：AB+AC=2AM．（1分）证明：过点C作CE∥AB，CE与AM的延长线交于点E．（2分）则∠ECD=∠B，∠E=∠BAD．（两直线平行，内错角相等）（3分）∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD．（角平分线定义）∴∠E=∠CAD．（等量代换）∴AC=EC．（等角对等边）（4分）又CM⊥AD于M，∴AM=ME，即AE=2AM．（等腰三角形底边上的高线与底边上的中线重合）（5分）∵AD=AB，∴∠B=∠ADB．（等边对等角）又∠EDC=∠ADB，（对顶角相等）∴∠ECD=∠EDC．（等量代换）∴ED=EC．（等角对等边）（6分）∴AB+AC=AB+CE=AD+ED=AE．（等量代换）∴AB+AC=2AM．（7分）点评：本题考查了等腰三角形的性质，解题的关键是正确地做出猜想，然后向着这个目标努力即可．28．如图，在等腰△ABC中，AB=AC，点D在BC上，且AD=AE．（1）若∠BAC=90°，∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（2）若∠BAC=a（a＞30°），∠BAD=30°，求∠EDC的度数？（3）猜想∠EDC与∠BAD的数量关系？（不必证明）考点：等腰三角形的性质；三角形内角和定理；三角形的外角性质．专题：证明题．分析：（1）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；（2）根据等腰三角形性质求出∠B的度数，根据三角形的外角性质求出∠ADC，求出∠DAC，根据等腰三角形性质求出∠ADE即可；（3）根据（1）（2）的结论猜出即可．解答：（1）解：∵∠BAC=90°，AB=AC，∴∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=45°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=45°+30°=75°，∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=90°﹣30°=60°，∵AD=AE，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAC）=60°，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=75°﹣60°=15°，答：∠EDC的度数是15°．（2）解：与（1）类似：∠B=∠C=（180°﹣∠BAC）=90°﹣α，∴∠ADC=∠B+∠BAD=90°﹣α+30°=120°﹣α，∵∠DAC=∠BAC﹣∠BAD=α﹣30°，∴∠ADE=∠AED=（180°﹣∠DAC）=105°﹣α，∴∠EDC=∠ADC﹣∠ADE=（120°﹣α）﹣（105°﹣α）=15°，答：∠EDC的度数是15°．（3）∠EDC与∠BAD的数量关系是∠EDC=∠BAD．点评：本题主要考查学生运用等腰三角形性质，三角形的内角和定理，三角形的外角性质进行推理的能力，题目比较典型，是一道很好的题目，关键是进行推理和总结规律．29．如图所示，在△ABC中，AB=AC，DE是AB的垂直平分线，△BCE的周长为24cm，且BC=10cm，求AB的长．考点：线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质．专题：计算题．分析：关键已知能求出BE+CE的值，关键线段垂直平分线求出AE=BE，求出AC即可．解答：解：由已知得，BC+BE+CE=24，∵BC=10，∴BE+CE=14，∵DE垂直平分AB，∴AE=BE，∴AE+CE=14，即AC=14，∵AB=AC，∴AB=14．点评：本题考查了等腰三角形的性质，线段的垂直平分线性质等知识点的应用，关键是根据题意求出BE=AE和求出AC的长，通过做此题培养了学生运用线段的垂直平分线定理进行推理的能力，题目较好，难度适中．30．如图，在等腰△ABC中，∠A=80°，∠B和∠C的平分线相交于点O（1）连接OA，求∠OAC的度数；（2）求：∠BOC．考点：等腰三角形的性质．分析：（1）连接AO，利用等腰三角形的对称性即可求得∠OAC的度数；（2）利用三角形的内角和定理以及角平分线的定义求∠BOC与∠A的关系，再把∠A代入即可求∠BOC的度数．解答：解：（1）连接AO，∵在等腰△ABC中，∠B和∠C的平分线相交于点O，∴等腰△ABC关于线段AO所在的直线对称，∵∠A=80°，∴∠OAC=40°（2）∵BO、CO分别平分∠ABC和∠ACB，∴∠OBC=∠ABC，∠OCB=∠ACB，∴∠BOC=180°﹣（∠OBC+∠OCB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（∠ABC+∠ACB）=180°﹣（180°﹣∠A）=90°+∠A．∴当∠A=80°时，=130°．点评：本题考查了等腰三角形的性质，也可以作辅助线，构造三角形的外角，利用三角形外角的性质求解．。