工程力学平面任意力系
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工程力学-平面任意力系
即：
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
R' ( X )2 (Y )2 0
LO mO (Fi ) 0
①一般式 （一矩式）
X 0
平面力系中各力在直角坐标系oxy中
Y 0
各坐标轴上投影的代数和及对任意
点的力矩的代数和均为0。
mO (Fi ) 0
②二矩式
∑X=0 或∑Y=0
mA(Fi ) 0
mB (Fi ) 0
AB O
工程中的桁架结构
桁架的优点：轻，充分发挥材料性能。
桁架的特点：①直杆，不计自重，均为二力杆；②杆端铰接；
力
学 中 的 桁 架 模
基 本 三 角 形
型
③外力作用在节点上。
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
模型
型
力
学
中 的 桁 架
简 化 计 算 模
节点
杆件
模型
型
一、节点法 [例3-3] 已知：如图 P=10kN，求各杆内力？
第三章 平面任意力系
平面任意力系（General coplanar force systems)：各力的作用 线在同一平面内，既不汇交为一点又不相互平行的力系叫∼。
[例]
研究方法：把未知力系（平面任意力系）变成已知 力系（平面汇交力系和平面力偶系）
第三章 平面一般力系
§3–1 力向一点平移 §3–2 平面力系的简化 §3–3 平面力系的平衡条件 §3–4 刚体系统的平衡问题 §3–5 考虑有摩擦时物体的平衡问题
§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
工程力学第4章
（３） 列平衡方程，求解未知量。列力矩方程时，通常 选未知力较多的交点为矩心。
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
（４） 结果分析或校核。
第4章 平面任意力系
例4-2 摇臂吊车如图4-9（a）所示。横梁AB的A端为固定 铰链支座，B端用拉杆BC与立柱相连。已知梁的重力G1＝4kN, 载荷G2＝12 kN，横梁长l＝６ｍ，α＝30°，求当载荷距A端距 离x＝4 ｍ时， 拉杆BC的受力和铰支座A的约束反力。
第4章 平面任意力系
3. 平面力偶系是特殊的力系，根据力偶的性质，在基本方程 中的投影方程自然满足，所以只有一个方程，
MO (F) 0
第4章 平面任意力系
4.2.3
（１） 根据题意，选取适当的研究对象；对所选研究对 象进行受力分析并画受力图。
（２） 选取适当的直角坐标系。坐标轴应与较多的未知 反力平行或垂直。一般情况下，水平和垂直的坐标轴可以不画， 但其它特殊方向的坐标轴必须画出。
第4章 平面任意力系
（3） 该力系上述的三种简化结果，从形式上是不同的， 但都与原力系等效。所以，三种情况的简化结果是等效的。
第4章 平面任意力系
4.1.3 固定端约束
固定端约束是工程中一种常见的约束。如图4-6所示，夹紧 在卡盘上的工件（图(a)），固定在刀架上的车刀（图(b)）， 嵌入墙中的雨罩（图(c)）等都属于固定端约束。由约束的性质 可知， 固定端约束能限制物体沿任何方向的移动，也能限制物 体在约束处的转动。所以，固定端Ａ处的约束反力可用两个正
主矢FR′的大小和方向分别为：
FR' (FRx )2 (FRy )2 2002 1502 250N
tan FRy 150 0.75
FRx 200
第4章 平面任意力系
工程力学-单辉祖、谢传锋-第四章-平面任意力系
其中平面汇交力系的合力为
F1 F2 F n F1 F2 Fn Fi FR
平面力偶系的合成结果为
M O M1 M 2 M n M O ( F1 ) M O ( F2 ) M O ( Fn ) M O ( Fi )
MO 0
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
( Fx )2 ( Fy )2 FR
MO MO (F i )
平衡
Fxi 0 即：
Fyi 0
MO (F i ) 0
平面任意力系的平衡方程
即：平面任意力系平衡的解析条件是：力系中 所有各 力 在其作用面内两个任选的坐标轴上投 影的代数和分别 等于零 ，所有各力对 任一点 之矩的代数和等于零。
(1) F'R＝0，MO≠0 平面任意力系简化为一个力偶的情形 原力系合成为合力偶。合力偶矩M等于原力系对简 化中心的主矩。
F5
MO MO (F )
A
F1 F4
F6 B F3
F2
C
D
四个力是否平衡？
此时,主矩与简化中心的位置无关。
(2) F'R ≠ 0，MO ＝ 0 ; 平面任意力系简化为一个合力的情形 如果主矩等于零，主矢不等于零，则此时平面力系 简化为一合力，作用线恰好通过简化中心。
例1 求图示刚架的约束反力。
解：以刚架为研究对象，受力如图。
Fx 0
FAx qb 0
A
a
P
q
b
P
MA
Fy 0
FAy P 0
MA (F ) 0 1 2 M A Pa qb 0 2
工程力学C-第4章 平面任意力系
l 2
q( x) xdx 2l h 3 q( x)dx
0 l 0
l
例 题7：
均匀分布载荷 q =4kN/m ，自由端B作用有集 中力F = 5kN，与铅垂线夹角α=25°，梁长 l = 3m。求固定端的反力。 解： 梁AB ——研究对象
x
M A (Fi ) 0 : M Q l F cos l 0 (Q ql 4 3 12kN) A
2
1 2 M A Fl cos ql 31.59kN m 转向如图 2
F
F
xi
0:
0:
FAx F sin 0
FAx F sin 2.113kN
FAy Q F cos 0
实际方向与图中相反
yi
FAy Q F cos 16.53kN 方向如图
n
平衡方程
平面任意力系平衡的解析条件：所有各力在两个任选的坐标轴 上的投影的代数和分别等于零，以及各力对于任意一点矩的代 数和也等于零。
例 1:
固定端约束
既不能移动，又不能转动的约束—— 固定端约束 固定约束的特点
利用平面力系的简化结果，将端部的分布
力向端部的一点A点简化，得FA、MA。
FA MA
A
B
b
因此，P2必须满足：
Pe P l P (e b) 1 P2 ab a
FNA
FNB
例 题 6 细杆AB 搁置在两互相垂直的光滑斜面上，如图所 示。已知：杆重为P，重心C 在杆AB的中心，两 斜面的几何关系如图。求：杆静止时与水平面的 夹角θ和支点 A、B 的反力。 解： 细杆AB —— 研究对象 设杆AB长 l ,取图示坐标系。
工程力学教学课件 第3章 平面任意力系
A
MA
FAx
A
简 化
2021/7/22
FAy
11
一、简化结果分析
3.2
平
面 任
F1
A1
F2
O A n A2
M O FR'
O
意
Fn
力
系 的 简 化
1 . F R ' 0 ,M o 0
2 . F R ' 0 ,M O 0
结 果
3 . F R ' 0 ,M O 0 4 . F R ' 0 ,M O 0
的 简 化
此时主矩与简化中心的位置无关。
3、主矢不等于零，主矩等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
结 果
此时平面力系简化为一合力，作用在简化
中心，其大小和方向等于原力系的主矢，即
FRF
2021/7/22
13
一、简化结果分析
3.2 4、主矢和主矩均不等于零 (F R ' 0 ,M O 0 )
平
此时还可进一步简化为一合力。
面
任
FR'
FR'
FR
FR
意 力
O M O O
O
d
O
O
O
d
系 的 简 化
FR'' M O m O ( F R ) F R d F R 'd 于是
d M
F
由主矩的定义知：M O m O (F i)
O ' R
结 所以：
m O (F R ) m O (F i)
果 结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点之矩
杆所受的力。
A
45
工程力学-平面任意力系平衡方程
大小与简化中心的选择无关。
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
4）FR=0 Ｍ0=0 力系处于平衡状态。
例3-1 图示物体平面A、B、C三点构成一等边三角形，三点分别作
用F力，试简化该力系。
解：1.求力系的主矢
F x F F cos60o F cos60o 0
Fy 0 F sin 60o F sin 60o 0
y
C
F M0 F
上作用F力，集中力偶M0=Fa，=45°，试求杆件AB的约束力。
A
M0=Fa
C
B
F
解：1.取AB杆为研究对象画受力图
2.列平衡方程求约束力
Da a
FAx
A
M0=Fa
C
FAy FC
B F
aa
M A (F ) 0 : FC sin 45 a F 2a M 0 0
FC
2Fa a
Fa 2/2
MC (F) 0:
FAx
2
3a 3
F
a
M0
0
FAy 0 FAx 3F
C aa
一 矩
MA(F) 0: Fx 0 :
二 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
三 矩
MA(F) 0: MB(F) 0:
2 3a
式 Fy 0 :
式 Fx 0 :
式 M C (F8) 0 :
3
本课节小结
A F
B x
FR ( Fx )2 ( Fy )2 0
2.选A点为简化中心，求力系的主矩
M0
M A (F)
F
sin 60
AB
F
AB 2
简化结果表明该力系是一平面力偶系。
4
二、平面任意力系的平衡方程
工程力学4章—理论力学
结论：平面任意力系向作用面内任 一点简化，可得一力和一个力偶。这个 力的作用线过简化中心，其力矢等于原 力系的主矢；这个力偶的矩等于原力系 对简化中心的主矩。
二．解析法求主矢FR′的大小与方向
FR’
按图所选定的坐标系 Oxy,有
主矢FR′的大小及方向分别由下式 确定：
'2 '2 FR' FRx FRy ( X )2 ( Y )2 FRx=X1+X2+…Xn＝Σ X
二．物体系统的平衡
工程中的结构，一般是由几个构件通过一定的约束联系在一起的， 称为物体系统. 系统外的物体作用于该物体系统的力称为外力. 系统内部各物体之间的相互作用力称为内力. 对于整个物体系统来说，内力总是成对出现的，两两平衡，故无需考 虑，如图b的铰C处。而当取系统内某一部分为研究对象时，作用于系统 上的内力变成了作用在该部分上的外力，必须在受力图中画出，如图c中 铰C处的FCx和FCy。
l
B
l FBC
FP D
C MA ( F ) = 0 : FBC d - FP 2l = 0
解得：FBC=22FP
MB ( F ) = 0 : Fx = 0 :
FAy l - FP l = 0 解得： FAy= - FP FAx+FBCcos = 0 解得： FAx=-2FP
合力作用线位置：
合力作用线上一点坐标为(x,y)
O
F' R
(x,y)
M0
F R
A
x
M O ( FR ) M O ( F )
即：xFRy yFRx M O
' 4. FR
0， M O 0
(平衡)
静力学：第三章-平面任意力系(1)详解
合力
合力
3.3 平面任意力系的平衡
平面任意力系平衡的充要条件：力系的主矢和对任
意点的主矩都等于零。
平面任意力系的平衡方程：
一般式
二矩式
三矩式
Fx Fy
0 0
MO 0
F x
0
M A 0
M B 0
M A 0 M B 0 M C 0
两个取矩点连线， 不得与投影轴垂直
三个取矩点， 不得共线
解得: P3max=350kN
P3
P1
P2
75kN P3 350kN A
B
FA
FB
当 P3=180kN 时（平面平行力系）：
M A 0 4 P3 2 P1 14 P2 4 FB 0 P3
P1
P2
Fy 0 FA FB P1 P2 P3 0
解得： FA=210kN FB=870kN
平面任意力系的平衡方程只有三个，只能求三 个未知数。
三个特例：
平面汇交力系： Fx 0, Fy 0 平面力偶系： M o 0
平面平行力系： Fy 0, M o 0 或者 M A 0, M B 0
3.4 物体系统的平衡
静定问题：系统未知量数目等于独立的平衡方程数目。 超静定问题（静不定问题）：系统未知量数目超过独
其中：M B M B (F ) Fd
3.2 平面任意力系向作用面内一点简化
主矢：矢量和 FR Fi 主矩: 代数和 M O M O (Fi )
主矢与简化中心无关，而主矩一般与简化中心有关.
主矩简化什么情况下与简化位置无关？
平面任意力系应用：平面固定端约束
=
=
平面任意力系的简化结果
(1) FR 0, M O 0
工程力学第3章
1第三章力系的平衡§3–1 平面力系的平衡方程§3–2 空间力系的平衡方程§3–3 物体系统的平衡方程§3–4 静定与静不定的基本概念§3-1 平面力系的平衡方程由于=0 为力平衡M O =0 为力偶也平衡所以平面任意力系平衡的充要条件为：力系的主矢F R 和主矩M O 都等于零，即：)()(22=+=∑∑Y X F R 0)(==∑i O O F m M 1、平面任意力系的平衡方程R F=∑X 0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m ②二矩式条件：x 轴不AB连线⊥0)(=∑i A F m 0)(=∑i B F m 0)(=∑i C F m ③三矩式条件：A ,B ,C 不在同一直线上上式有三个独立方程，只能求出三个未知数。
=∑X 0=∑Y 0)(=∑i O F m ①一矩式①平面汇交力系=∑xF 0=∑yF2、平面特殊力系的平衡方程②平面力偶系=∑M ③平面平行力系=∑y F 0)(=∑F M O 0)(=∑F MB0)(=∑F M A AB 不x 轴⊥[例] 已知：P , a , 求：A 、B 两点的支座反力？解：①选AB 梁研究②画受力图（以后注明解除约束，可把支反力直接画在整体结构的原图上）)(=∑i A F m 由32 ,032PN a N a P B B =∴=⋅+⋅-0=∑X 0=A X 0=∑Y 3,0PY P N Y A B B =∴=-+解除约束,0==∑A X X 由022;0)(=⋅-+⋅⋅+⋅=∑a P m aa q a R F m B A 0=∑Y 0=--+∴P qa R Y B A )kN (122028.01628.02022=⨯+-⨯-=+--=P a m qa R B )kN (24128.02020=-⨯+=-+=B A R qa P Y [例] 已知：P =20kN, m =16kN·m, q =20kN/m, a =0.8m求：A 、B 的支反力。
工程力学 第4章 平面任意力系_2
第四章 平面任意力系
E
300
200
B C A 100
100
FEx F Ey
B FAy D W C
FAx
D W
∑F
y
= 0 FEy + FAy − W = 0 FAy = −66.7 N
第四章 平面任意力系
例：已知 DK = KD ,AB = BC =1m ,F=1732kN , Q=1000kN 处的约束力。 求：A、E 处的约束力。
A、B 连线与 轴不垂直 连线与Ox
A、B、C三点不共线 三点不共线
第四章 平面任意力系
平面平行力系平衡的条件： 平面平行力系平衡的条件
y
平面问题
∑ Fy = 0 ∑ M O ( F ) = 0
o
x
平面平行力系平衡的条件（二矩式） 平面平行力系平衡的条件（二矩式）：
∑ M A ( F ) = 0 , ∑ M B ( F ) = 0
第四章 平面任意力系
与重物的总重力为P=10kN，梁的 例4-2：已知起重电动机 与重物的总重力为 ：已知起重电动机E与重物的总重力为 ， 重力为W=5kN。已知角度θ=30º。求：钢索 和铰链 的约 。已知角度 钢索BC和铰链 和铰链A的约 重力为 。 束力， 束力，钢索受力的最大值 y
FBC FAx
F
E K
300
解：1、研究ED杆，画受力图. 研究 杆 画受力图. E D
FEx
F
FEy
F D
D
∑
W M E (F) = 0 FD ED cos 30 − F ⋅ EK = 0 FD = 1000kN
A
B
C
∑ Fx = 0
工程力学—平面任意力系
置a＝2 m时拉杆的拉力和铰链A的约束反力。
例3 解：取横梁AB为研究对象。
Fx 0
FAx FT cos 0 (1)
FAy
FAx
Fy 0
A
FT
E
H
B
FAy FT sin P Q 0 (2)
P
a
M A(F) 0
Q
FT
sin
l
P
l 2
Qa
0
(3)
从(3)式解出
FT
1
sin
l
FR
O
O′
d
4.3 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (FR ) FRd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (FR ) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
M A (F ) 0 : FBa P sin (a b) m 0
解之得：
FAx P cos
m Pb sin
FAy
a
FB
m
P sin (a
a
b)
P
FAx
A
m B
C
FAy
FB
平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
补充内容： 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端约束。
A
FA A MA
MA
FAy FAx
例3 解：取横梁AB为研究对象。
Fx 0
FAx FT cos 0 (1)
FAy
FAx
Fy 0
A
FT
E
H
B
FAy FT sin P Q 0 (2)
P
a
M A(F) 0
Q
FT
sin
l
P
l 2
Qa
0
(3)
从(3)式解出
FT
1
sin
l
FR
O
O′
d
4.3 平面任意力系简化结果分析
从图中可以看出
MO (FR ) FRd MO
由主矩的定义知：
所以
MO MO (Fi ) MO (FR ) MO (Fi )
FR
O
O′
d
结论：平面任意力系的合力对作用面内任一点的矩等 于力系中各力对同一点之矩的代数和。这就是平面任 意力系的合力矩定理。
M A (F ) 0 : FBa P sin (a b) m 0
解之得：
FAx P cos
m Pb sin
FAy
a
FB
m
P sin (a
a
b)
P
FAx
A
m B
C
FAy
FB
平衡方程的其它形式
(1) 二矩式
Fx 0 M A (F ) 0 M B (F ) 0
其中A、B两点的连线AB不能垂直于投影轴x。
补充内容： 平面固定端约束
一物体的一端完全固定在另一物体上所构成的约 束称为固定端或插入端约束。
A
FA A MA
MA
FAy FAx
平面任意力系(工程力学课件)
解：① 选AB梁为研究对象
qF
② 画受力图
FAy
qF
A
B
M
2a
a
FAx A
M
B FB
列平衡方程
M A(F)
0
F
2a q 2a a M
FB
3a
0
FB
5qa 3
Fx 0
Fy 0
FAx 0
FB FAy F 2qa 0,
FAy
4 qa 3
均布载荷
课堂练习 图示为悬臂梁的平面力学简图。已知梁长为2l，作用均布载荷q，
(2)建立直角坐标系，矩心选在A点，列平衡方程得：
MA (F ) 0
l FT sin 30l G1 2 G2 x 0
FT
G1
2G2 x l
34kN
Fx 0 FAx FT cos 30 0
FAx FT cos 30 29.4kN
平面任意力系的
平衡方程及其应用
Fy 0 FAy G1 G2 FT sin 30 0
FAy F ql 2ql
物体系统的平衡
物体系统的平衡
一、静定与静不定(超静定)问题的概念
平面汇交力系
Fx Fy
0 0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面力偶系 M 0 一个独立方程，只能求解一个未知数。
平面平行力系
Fy 0
M o F
0
两个独立方程，只能求解两个未知数。
平面任意力系
ab
Gb cos
ab
平面任意力系的 平衡方程及其应用
三、平面平行力系的平衡方程
平面平行力系：各力的作用线共面且相互平行的力系。
平面平行力系是平面任意力系的特例，
工程力学理论力学第4章
Fi xi F
平衡的充要条件为 主矢 R =0
主矩MO =0
所以 平面平行力系的平衡方程为：
Y 0
mO (Fi )0
一矩式
实质上是各力在x 轴上的投影 恒等于零，即 X 0 恒成立 ，所以只有两个 独立方程，只能求解两个独立 的未知数。
mA (Fi ) 0 二矩式
RB
qa 2
m a
2P
200.8 2
16 0.8
22012(
kN)
YA PqaRB 20200.81224(kN)
§4-4 物体系统的平衡、静定与超静定问题的概念
一、静定与超静定问题的概念
我们学过：
平面汇交力系 X 0 Y 0
两个独立方程，只能求两个独立 未知数。
例3. 塔式起重机翻转问题
如图所示塔式起重机的简图。已知机身重W，重 心在C处；最大的起吊重量为P。各部分的尺寸如图。 求能保证起重机不致翻转的平衡锤重Q大小。
b
Q
C e
W
a
P
A
B
dd
★ 物体系统的平衡问题
例5. 如图所示，水平梁由AB和BC两部分组成，它们
在B处用铰链相连。梁的A端固定在墙上，在C处受滚 动支座支持，该支座放在倾角为α =30°的光滑斜面 上。已知P=4KN，均布载荷q=2KN/m，尺寸如图。试求 A、B、C处约束反力。
解物系问题的一般方法：
由整体
局部（常用），由局部
整体（用较少）
[例1] 已知：OA=R, AB= l , 当OA水平时，冲压力为P 时，
求：①M=？②O点的约束反力？③AB杆内力？ ④冲头给导轨的侧压力？
工程力学 第三章 平面任意力系
M O FR d
合力矩定理：
M o ( FR ) M O M O ( Fi )
3.1.5 平面任意力系的简化结果分析 ⑶平衡的情形
FR 0 M O 0
平衡
与简化中心的位置无关
例3-1 已知作用在梁AB上的 两力a=3m，求合力大小及作 用线位置。 解：
⑴大小： FR=30KN ⑵方向： 铅垂向下 ⑶作用线位置： A
Fy 0 F1 sin F2 sin F3 sin 0
平面平行力系的方程为两个，有两种形式：
Fy 0 M A 0
各力不得与投影轴垂直
M A 0 M B 0
两点连线不得与各力平行
例3-10已知： P 700kN, P2 200kN, AB=4m； 1
3.2.1 平面任意力系的平衡条件 平面任意力系平衡的充要条件是：
力系的主矢和对任意点的主矩都等于零
FR 0 M O 0
3.2.2 平面任意力系的平衡方程
FR ( Fx ) ( Fy )
2
2
M O M O ( Fi )
Fx 0 Fy 0 M O 0
d.方程要标准
例3-4 已知： AC=CB= l，P=10kN;求：铰链A和DC杆 受力。
解：取AB梁，画受力图.
Fx 0 FAx FC cos 45 0 Fy 0 FAy FC sin 45 P 0 M A 0 FC cos 45 l P 2l 0 解得： FC 28.28kN, FAx 20kN, FAy 10kN
例 3-5 已知： 1 4kN, P2 10kN, 尺寸如图； P 求：BC杆受力及铰链A受力。
工程力学平面力系
例3-9
求杆BD、CD和CE的内力
Ⅰ
Ⅰ
40
HOHAI UNIVERSITY
例3-10
求1杆内力。 Ⅰ
Ⅰ
41
HOHAI UNIVERSITY
F
A
Ⅲ
I
B
例3-11 F Ⅲ Ⅱ ② Ⅰ
E C
求指定4根杆的内力。 可以求出杆2内力
①
J
D
I-I Ⅱ Ⅰ
③
K
④
F
II-II 可以求出杆3、4内力
III-III 可以求出杆1的内力
∑Fix =0 ∑ Fiy =0
35
HOHAI UNIVERSITY
空间汇交力系：
∑Fix =0
∑ Fiy =0
∑ Fiz =0
36
HOHAI UNIVERSITY
例3-8
用节点法求各杆内力
零杆——内力为零的杆件
零杆判断：
②
①
1.如有三根杆件在某一节点相交，其中两根在同一直线上，且该节点不 受外力作用，则第三根杆（不必与另两根杆垂直）必为零杆； 2.如只有两根不共线的杆件相交于一节点，节点上无外力，则该两杆必 37 均为零杆。
25
HOHAI UNIVERSITY
按材料分：
木桁架
钢桁架
钢筋混凝土桁架
26
HOHAI UNIVERSITY
按空间形式分： 平面桁架：所 有杆件的轴线 在同一平面内。
空间桁架
27
HOHAI UNIVERSITY
按内力计算分： 静定桁架
超静定桁架
28
HOHAI UNIVERSITY
木桁架的榫接节点
21
HOHAI UNIVERSITY
工程力学第三章：平面任意力系
水平尾翼的约束。
车刀
利用平面任意力系的简化讨论固定端约束（以雨搭为例）：
Fi
A
雨搭
雨搭
简化为一个平面任意力系
MA
A
FA
雨搭
FAy
MA
A
FAx
雨搭
向A处简化，简化结果是 一个主矢加一个主矩
主矢方向待定，用两正交分 量表示
例1：已知F1=150N，F2=200N，F3=300N，F=F ́=200N。求此力 系向原点O简化的结果，并求力系的合力。
2
M=0
FR′≠0
3
M=0
合力
合力
合力作用线通过简化中心
合力作用线距离简化中心距离
4
M≠0
d M O / FR
第三种和第四种结果属于同一种情形。是简化中心选择的不同 引起的。
四、合力矩定理
可以证明，M O ( FR ) M O ( Fi )
i 1
n
由于简化中心可任取，因此上式有普遍意义，可描述为：平 面任意力系的合力对作用面内任一点之矩等于力系中各分力 对于同一点之矩的代数和。
4、在列平衡方程时，最好将力矩方程的矩心取为两个未知力的 交点，而对投影方程的投影轴的选取，应尽可能使其与某些未知 力垂直，为什么？ 答：避免解联立方程，使方程尽量简单。
5、在等腰直角三角形上的A、B、C三点分别作用三个力，各力 的大小和方向如图所示。问该力系是否平衡？为什么？
问题引入：平面任意力系研究物体或物系在受到相关力系作用
下的平衡问题。
吊车：工程中吊车的
起重载荷如何进行计
算？
破碎机：鄂式破碎机是矿山机械中常见的机械设备，颚板作用 给矿石的作用力应如何进行计算？
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§3-2 平面力系的简化
一、平面力系向作用面内一点简化
O: 简化中心
主矢（Principal vector) R Fi
大小： R' R'x2 R'y2 ( X )2 (Y )2
方向：
cos(R, x)
Rx R'
X R'
主矩（Principalmoment)
L
1 ql2 3
2l
R 1 ql 3
2
[例3-2] 已知：M=500N·m, q=100N/m，a=1m。 求：A、 B的支反力。
XA
YA
RB
XA
YA 1.5a
P=ql=3qa RB
∑y=0？
或
mA(F) 0 ?
解：研究AB梁
X 0 XA 0
mA(F) 0
有推导过程
LO
n
mO (Fi )
n
i1
mO (R) mO (Fi )
R
i 1
O
LO
O
R
O
A
h
3、固定端（插入端Fixed end support)）约束
雨搭
Fi
MA
RA
①假设Fi这群力在同一 平面内;
② 将Fi向A点简化得一 力和一力偶;
③RA方向不定可用正交 分力YA, XA表示;
系 主 矢
思考：主矢与主矩是否与简化中心的位置有关？
主矢：与简化中心无关 （移动效应）
因主矢等于各力的矢量和，故主矢与简化中心位置无关。即力 系向任意一点简化所得到的力的大小都等于主矢。
主矩：作用在该平面上 （转动效应）
因主矩等于各力对简化中心取矩的代数和，故主矩与简化 中心位置有关。
二、平面力系简化理论的推导和应用
mA 300 N cm
P2
P1
B
4
R
mB 200 N cm
A 6 3C
P3
P2
P1
B
4
R
mC 1050 N cm A 6 3 C
P3
3、简化最终结果 选简化中心：A点 主矢 R 250N
方向： =36.9°
y
P2
P1
mA
B
12(kN)
解：研究AB梁
X
0
XA 0
mA(F) 0
RB
a
q
a
a 2
m
P
2a
2、在刚体上作用有三个力如图所示，力的大小恰好与△ABC 的边长成比例，方向如图。问:这一力系简化的结果是什么？
B
FA
FB
A
FC
C
1.平衡 2。合力 3。力偶 力偶
3、下图中，A、B、C、D是正方形(边长为a)的四个顶点，所
受力如图，问：哪个力系平衡？不平衡，最终简化结果是什 么？
DF C
[练习2] 已知：P=20kN, m=16kN·m, q=20kN/m, a=0.8m 求：A、B的支反力。
[练习1] 已知：P, a , 求：A、B两点的支座反力？
解：①选AB梁研究
②画受力图
由
m
A
(
Fi
)
0
YA
A XA
B
NB
P 2a NB 3a 0
2P NB 3
mB mB (Fi ) P3 4 P1 6 200 4 100 6 200N cm
mC mC (Fi ) P1 9 P2 3 1009 503 1050N cm
P2
R
P1
B
4
A 6 3C
P3
d M A (Fi ) 1 ql2 1 l R 2 ql 2
思考：三角形分布载荷处理？
y R mA
x q dx l
R
x
x
d
l
简化中心：A点
主矢
R
0l
x l
qdx
1 2
ql
主矩
L
mA
0l
x
x l
qdx
1 ql2 3
简化最终结果
R=
R 1 ql 2
d
1、平面力系简化结果：
力 -----
主矢
R F
力偶---- 主矩 LO mO (Fi )
F1
O
①
R=0,
LO
=0
② R=0,LO≠0
F3 R’ LO
F2 力系平衡
合力偶
M0 O
R
此时主矩与简化 中心有关？
LO=M 此时刚体等效于只有一个力偶的作用，因为力偶可以
在刚体平面内任意移动，故这时，主矩与简化中心O无关。
RB 2a q 3a 1.5a M 0
RB
q 3a 1.5a 2a
M
100 3 1.5 500 475N 2
Y 0 YA RB 3qa 0
YA 3qa RB 3100 475 175N
XA
YA 1.5a
RR
2、合力矩定理（Theorem of the moment of a resultant)
定理：平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩，等于所
有各分力对同一点的矩的代数和
即：
n
mO (R) mO (Fi )
i 1
证： 合力对O点的矩 mO (R) R h R h LO
③ R≠0,LO =0
合力
此时合力位置与
简化中心有关？
合力作用于简化中心。这时，合力就是这个力系的主矢 R R
④ R≠0,LO≠0 合力 为什么？ 力的平移定理的逆定理
LO
R
O
O
R Leabharlann hRRO′
O
O′ R
1、用一力偶 (R, R)
2、令
R R
[例3-2] 已知：分布载荷确 q=100N/m，a=1m。
求：AB的所受的力。
解：1、研究AB梁，受力分析。
分布载荷处理方法
y R
R
mA
x d
dx
x
l
d
平面一般力系简化
简化中心：A点
R 0l qdx ql
M A (Fi )
0l xqdx
1 ql2 2
简化最终结果:合力 R = R ql
AB
C
mB (Fi ) 0 mC (Fi ) 0
R
O
x
条件：A,B,C 不在同一直线上
由前面两式知：力系不可能简化为一力偶，只能简化为过A、B
两点的一合力或处于平衡，再加第三条件，力系只能简化为过A、 B、C三点的一合力或处于平衡，若三点不在同一直线上，则力
系必平衡。
注意： 以上格式分别有三个独立方程，只能求出三个未知数。
MO mO (Fi ) LO 方向规定 +
—
R MO
R Fi F1 F2 Fn
汇交力系 合成
力
F1 F2 Fn Fi
等
力 偶 系 合成 力偶
等于力系对O点的主矩
于 力
MO
m1
m2
mn
mO (F 1) mO (F2 ) MO (Fn ) mO (Fi )
h 1.2cm
a (6 3) sin 9 150 5.4cm
250
思考：两次简化合 力位置是否相同？
结论：不论简化中心取何处，最终简化结果应一致。
思考题：
1、设平面力系向一点简化得一合力。问：如果另选适当的简 化中心，力系能否简化为力偶？为什么？
不能。因力和力偶都是基本未知量，故力不能和力偶平衡。
F
F
A
F
B
DF C
F
F
A
F
B
D C
F1 F
F
A F1 B
(a) 力偶 2Fa
(b) 平衡
(c) 平衡
§3-3 平面力系的平衡条件
由平面力系的简化结果知，平面力系简化结果由力系的主 矢和主矩决定。
主矢 R =0
主矩 LO =0 力系平衡
所以平面任意力系平衡的充要条件为： 力系的主矢 R 和对任意一点的主矩 LO 都等于零，
力代系替的力合偶力L（OResultan则t f力or臂ce)h：RLRO
LO R
3、则减剩去一平力衡力RR ,
R
等于原力系的主矢
R R
R R' ( X )2 ( Y )2
cos( R, x)
Rx
X
作用线位置与简化中 心的距离
h LO LO R R
R R
A
C
P3 x
主矩 LA =mA 300N cm
最终结果 合力
大小： R R 250N 方向: =36.9° 在A点左还是右？
位置图示：
h L 300 1.2cm R 250