初中数学常见几何基本模型及结论

八上几何模型归纳“手拉手”模型O【例1（1）如图 1，若α = 90︒ ，则 A C 和 B D 的数量关系是 ，AC 和 B D 的位置关系是； （2）如图2，若α = 60︒ ，AC 和 B D 相交于点 P ，求证：OP 平分 ∠BPC ． （3）如图 3 所示，则 A C 与 B D 的数量关系为 ，试用α 表示直线 AC 和B D 所形成的夹 角，则夹角为．（不写证明）AAADPCDPDCBCO B O B图1图2图31 / 8A ECOBM D“帽子”模型常见辅助线做法： ⑴作平行线构造全等 ⑵作垂直构造全等已知 AB =AC ，BE =CF ，EF 交 BC 于 D ，则 DE =DF .已知 A B =AC ，BE =CF ，EF 交 B C 于 D ，1EH ⊥BC 于 H ，则 D H = BC2AAEEBDCBH DCFFy【例2】（2013 年武汉二中，2015 年 81 中月考）如图 1，已知 A （0， a ），B（b，且 a 、 b 满足 a 2 - 4a + 20 = 8b - b 2 . A（1） 求 A 、B 两点的坐标； O By （2） 如图 2，连接 A B ，若 D (0, -6) ，DE ⊥AB 于点 E ，B 、C关于 y 轴对称，M 是线段 DE上的一点，且 DM =AB ， 连接 A M ，试判断线段 A C 与 A M 之间的位置和数量关系， 并证明你的结论；x（3）如图 3，在（2）的条件下，若 N 是线段 D M 上的一个动点，P 是 M A 延长线上的一点，且 D N =AP ， 连接 P N 交 y 轴于点 Q ，过点 N 作 N H ⊥ y 轴于点 H ，当 N 点在线段 D M 上运动时，△MQH 的面积 是否为定值？若是，请求出这个值；若不是，请说明理由.y帽子模型PA QO MH N Dx夹半角模型的证明核心是“图形的旋转”，以旋转造全等，已知则构造△AEB≌△AFC，进而可以证明△ ADE≌△ADFAB=AC，∠BAC=2∠DAF，EByD xAx+y yFC【例3】（2015 年·二十五中期中）如图，已知A(a，0)、B(0，b)，且a、b 满足(a－2)2＋|2b－4|＝0（1）如图1，求△AOB 的面积（2）如图2，点C在线段A B 上（不与A、B 重合）移动，AB⊥BD，且∠COD＝45°，猜想线段A C、BD、CD 之间的数量关系并证明你的结论.（3）如图3，若P为x轴上异于原点O和点A的一个动点，连接P B，将线段P B 绕点P顺时针旋转90°至P E，直线A E 交y轴于点Q，当P点在x轴上移动时，线段B E 和线段B Q 中，请判断哪一条线段长为定值，并求出该定值3 / 8夹半角模型中点垂线模型已知C B=CA，∠ACB=90°，D 是C A 中点，CF⊥BD 于F，交A B 于E，则①∠CDB=∠ADE②DE+CE=BDCDFB E A已知C B=CA，∠ACB=90°，CG=AD，CF⊥BG 于F，交A B 于E，则①∠CGB=∠ADE②DE+CE=BGCGFDB E A【例4】如图，在△ABC 中，∠ABC = 90︒，A B =BC ，A(-4, 0) ，B(0, 2) ．（1）如图1，求点C的坐标．（2）如图2，BC 交x 轴于点M，AC 交y 轴于点N，且B M =CM ，求证：∠AMB =∠CMN ．（3）如图3，若点A不动，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以O B、AB 为直角边在第一、第二象限作等腰直角三角形△BOF 与等腰直角三角形△ABE ，连接E F 交y轴于P点，问当点B在y轴正半轴上移动时，BP 的长度是否变化？若变化说理由，若不变求其值．2已知 AB =AC ，AB ⊥AC ，BE ⊥EF ，CF ⊥EF ，则△ AEB ≌△CFA . 个顶点的坐标，可用三垂直模型求出第三个顶点的坐标.已知等腰直角三角形任意两BECBFCEAFA【例5】在平面直角坐标系中，A (0, 4) ，B 为 x 轴正半轴上一动点，AE 、BF 平分 ∠OAB 、 ∠OBA ，AE 、BF 交于点 P ．（1）求 ∠BP A 的度数；（2）过 P 作 P Q ⊥ BF 交x 轴于点 M 交 y 轴于点 Q ，求证： ∠OFM = 1； ∠OAB 2（3）若 B 运动到 (4, 0) ，点 T 为二象限内一点 (2 - 2 , 2)且 T A ⊥ TB ，过 O 作 O S ⊥ BT 于 S ，求 S 点坐标．5 / 8三垂直模型y AF POQ BM ExyAT SBOx请说明理由. DCQPB题型六脚拉脚模型【例6】（2015 部分学校月考）如图，△ACB 为等腰三角形，∠ABC =90°，点 P 在线段 B C 上（不与 B ，C 重合），以 AP 为腰长作等腰直角△P AQ ，QE ⊥AB 与 E （1）求证：△P AB ≌△AQE（2）连 C Q 交 A B 于 M ，若 P C =2PB ，求 PC BMA的值.E CMQP B（3）如图 2，过 Q 作 Q F ⊥AQ 交 A B 的延长线于点 F ，过 P 点作 D P ⊥AP 交 A C 于 D ，连 D F ，当点 P 在 线段B C 上运动时（不与 B ，C，式子 QF - PD 的值会发生变化吗？若不变，求出该值；若变化， FDAF【例7】(2015 年·粮道街中学期中)如图，在平面直角坐标系中，A (0，a )、B (b ，0)、C (c ，0)，且a - 2+b - +2 (+c2) = 0 2 （1） 直接写出A 、B 、C 各点的坐标：A 、B、C（2） 过B 作直线 M N ⊥AB ，P 为线段 OC 上的一动点，AP ⊥PH 交直线 M N 于点 H ，证明：P A ＝PH （3） 在(1)的条件下，若在点 A 处有一个等腰 R t △APQ 绕点 A 旋转，且 AP ＝PQ ，∠APQ ＝90°，连接 BQ ， 点 G 为 B Q 的中点，试猜想线段 O G 与线段 P G 的数量关系与位置关系，并证明你的结论已知 A E =BE ，AE ⊥BE ，AF =CF ，AF ⊥CF ，O是BC 中点，则OE =OF ，OE ⊥OF .BEAOFC已知△ABE 和△ 则 A H ⊥EF .ACF 均为直角三角形，AE =BE ，AE ⊥BE ，AF =CF ，AF ⊥CF ，若 B D=CD ，FH EA AFHDCBDCBE【例8】在直角坐标系中，A 、B 、C 、D 四点在坐标轴上，如图所示，满足 AO = BO ， C O = DO ．（1）如图，若 ∠OAD = 30︒ ， ∠OBC 的度数；（2）点M 、N 分别是 B C 、AD 的中点，连 O M 、ON ，判断 O M 、ON 的关系； （3）在（2）的条件下，连 A M 、BN ，取 B N 的中点 P ，连 O P ．当点 C 、点 D 分别以相同的速度沿着 y∠MAO + ∠POA轴、x 轴向原点O 运动过程中，求证： ∠MON为定值．7 / 8y AC N MBPO D xy A NMC B ODxy A CBO Dx婆罗摩笈多模型-(a - 2)2已知 Rt △ ABC ，∠C=90°，I 是△ ABC 的内心，则IH =CA + CB - AB ， I H =CB ⋅ C A2 CA + CB + ABIH=IE=IF=CE=CF ，AE=AH ，BF=BH.BFCIHEA【例9】（12 年江岸期中）在平面直角坐标系中，A (a , b ) AB ⊥y 轴于 B ，AC ⊥x 轴于 C .（1）求△AOC 的面积；在第一象限内，且 a、b 满足条件：b - a = ，（2）如图，E 为线段 O B 上一点，连 A E ，过 A 作 A F ⊥AE 交 x 轴于 F ，连 E F ，ED 平分∠OEF 交 O A 于yＤ，过D 作 D G ⊥EF 于 G ，求 D G + 1EF 的值； 2内心直角三角形G D B AEOC Fx（3）如图，D 为 x 轴上一点，CD ＝CA ，E 为线段 O B 上一动点，连 D A 、CE ，F 是线段 C E 的中点，若 BF ⊥FK 交 A D 于 K ，请问∠KBF 的大小是否变化？若不改变，请求其值；若改变，求出变化的范围.yxFB AKEOCD。