窄带高斯过程包络与相位的分布

谢 谢
f As (as1, as2 ) 2
1 4
R
2 As
(
)
exp
2as21
2RAs ( )as1as2
2
4
R
2 As
(
)
2as22
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
四维高斯变量（Ac1, Ac2 , As2 , As2 ) 的联合概率密度为：
RA（c ） RA（s ）
f Ac As (ac1, as1, ac2 , as2 ) f Ac (ac1, ac2 ) f As (as1, as2 )
exp
2 Y
(
x
mx
)2
2CXY (x mx )(y
ห้องสมุดไป่ตู้
2(
2 X
2 Y
C
2 XY
mY )
)
2 X
(
y
mY
)2
二维高斯变量（Ac1, Ac2 ) 的联合概率密度：
f Ac (ac1, ac2 ) 2
1 4
R
2 Ac
(
)
exp
2ac21
2RAc ( )ac1ac2 2 4 RA2c ( )
6.3 窄带高斯过程包络与相位的分布
赵艺群 31456008
6.3 窄带高斯过程包络与相位的分布
窄带高斯过程的包络和相位
6.3.1 包络和相位的一维概率分布
已知窄带过程的一般表达式为：
Ac (t) A(t)cos (t) As (t) A(t)sin (t)
X (t) A(t) cos[0t (t)]
Ac (t)
Ac (t)
6.3.1 包络和相位的一维概率分布
则 At , t 和 Act , Ast 之间的函数关系为
At g1( Act , Ast ) Ac2t As2t
t
g2 ( Act ,
Ast )
arctan
Ast Act
其中，Act , Ast 为垂直分量 Ac (t) , As (t) 在固定时刻的采样，也都是随机
联合概率密度f Ac As (act , ast ) 。
② 从 f AcAs (act , ast ) 出发，利用雅克比变换得到 At , t 的 联合概率密度f A (at ,t ) 。
③ 最后对At , t 的联合概率密度 f A (at ,t ) 积分，求边 缘概率密度 f A(at )和f (t ) 。
二维高斯变量(Ac1，Ac2)的协方差矩阵为：
C
C Ac1 Ac1 CAc2 Ac1
C Ac1 Ac 2 CAc 2 Ac2
CCA（cA（c 0））
CCAA（（cc 0））
2
RA（c ）
RA（c 2）
平稳高斯过程Ac (t) 的CAc ( ) RAc ( ) 和 CAc (0) 2
二维高斯变量（X，Y）的联合概率密度形式：
00
a1a2
4
R
2 As
( )
I
0
a1a2RAc ( ) 4 RA2s ( )
exp
2 (a12 a22 ) 2 4 RA2s ( )
，a1, a2
0
0,
其他
其中，I0 (x)
1
2
2
0
expx cosd
——第一类零阶修正贝尔赛尔(Bessel)函数
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
Ac (t) X (t) cos0t Xˆ (t)sin0t As (t) X (t)sin0t Xˆ (t) cos0t
6.3.1 包络和相位的一维概率分布
根据 Ac (t), As (t) 的性质，Ac (t),，As (t) 具有零均值和方差 2 。
则有：
EAct EAst 0
f XY (x, y)
1
•
2
2 X
2 Y
C
2 XY
exp
2 Y
(x
mx
)2
2CXY (x mx )(y
2(
2 X
2 Y
C
2 XY
mY )
)
2 X
(
y
mY
)2
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
二维高斯变量（X，Y）的联合概率密度形式：
f XY (x, y)
1
•
2
2 X
2 Y
C
2 XY
这说明，在同一时刻窄带高斯过程的包络和相位是互相独 立的随机变量。
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
求包络和相位的二维概率密度的步骤如下：
先求出四维概率密度 f AcAs (ac1,as1,ac2,as2 ) ，然后转换为f A (a1,1,a2,2 ) 最后再推导出 f A (a1, a2 ) 和 f (1,2 ) 。
(2 )2
1
4
R
2 As
(
)
exp
2 (ac21
ac22
as22
as22
24
) 2RAc (
R
2 As
(
)
)( ac1ac 2
as1as
2
)
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
2. 求 f A (a1,1,a2,2 )
（Ac1, Ac2, As1, As2 ) 和（A1,2, A2,2 ) 的关系为：
0
0
A2 sin2 A2 cos2
a1a2
0
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
四维随机变量（A1,2, A2,2 ) 的联合概率密度为：
f A (a1,1, a2 ,2 ) J f Ac As (ac1, as1, ac2 , as2 )
a1a2
exp
2
(a12
a22
)
2RAc
t
ast
cost
sin
t
t
at sint
at
cost
at
0
则 At , t 的联合概率密度为：
f A (at ,t ) J f Ac As (act , ast )
at f Ac As (act , ast )
at
2
2
exp[
at2
2 2
]
at 0,0 t 2
6.3.1 包络和相位的一维概率分布
(
)a1a2
c os ( 2
1)
，
(2 )2
4
R
2 As
(
)
a1, a2 0；0 1,2
2
2 4 RA2s ( )
0,
其他
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
3. 求A(t)和 (t) 各自的二维联合概率密度f A (a1, a2 ) 和 f (1,2 )
2 2
f A (a1, a2 ) f A (a1,1, a2 ,2 )d1d2
2ac22
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
二维高斯变量（Ac1, Ac2 ) 的联合概率密度：
f Ac (ac1, ac2 ) 2
4
1
R
2 Ac
(
)
exp
2ac21
2RAc ( )ac1ac2 2 4 RA2c ( )
2ac22
二维高斯变量（As1, As2 ) 的联合概率密度：
1.求 f AcAs (ac1, as1, ac2, as2 )
假定窄带随机过程X(t)的功率谱密度G X () 关于载波频率0 偶对
称
f Ac As (ac1, as1, ac2, as2 ) f Ac (ac1, ac2 ) f As (as1, as2 )
6.3.2 包络和相位各自的二维概率分布
2. 求 f A (at ,t )
1
2
2
exp
ac2t as2t
2 2
f A (at ,t ) J f Ac As (act , ast ) J f Ac As (atcost , at sin t )
6.3.1 包络和相位的一维概率分布
其中雅克比行列式为：
act
J
at ast
at
act
Ac1 h1( A1,1) A1 cos1
As1 Ac2
h2 ( A1,1) A1 s h3( A2,2 ) A2
in 1 cos2
As2 h4 ( A2,2 ) A2 sin 2
雅克比行列式为：
cos1
J
sin
1
0
0
A1 sin1 A1 cos1
0
0
0 0
cos2 sin 2
变量。则反变换关系为：
Act h1( At ,t ) At cost Ast h2 ( At ,t ) At sin t
6.3.1 包络和相位的一维概率分布
求解思路：
① 首先根据已知的窄带高斯过程垂直分量Ac(t),As(t)的统计 特性，来研究Act，Ast的统计特性，从而得到Act，Ast的
f
(1,2 )
4 RA2s ( ) 4 2
（ 1
1
)2
(
arccos
3
) ，
（1 2）2
0,
其他
0 1,2 2
其中，
RAc ( ) 2
cos(2
1 )
若令1 2
f A (a1,1, a2,2) f A(a1, a2) f (1,2 )
说明，窄带随机过程的包络A(t) 和相位 (t) 彼此不是独立的。
3. 求 f A(at )和f (t )
包络的一维概率密度——瑞利分布