数学：5.1.2垂线
人教版数学七年级下册5.1.2垂线 课件
感悟新知
例 1 如图5.1-11，直线AB，CD 相交于点O，OE ⊥ AB 于 点O，且∠ COE=40°，求∠ BOD 的度数. 解题秘方：利用垂直的定 义及对顶角的性质，将要 求的角向已知角转化.
感悟新知
解：因为OE ⊥ AB， 所以∠ AOE=90°. 又因为∠ AOE= ∠ AOC+ ∠ COE，∠ COE=40°， 所以∠ AOC=90°－40°=50°. 所以∠ BOD= ∠ AOC=50°
所以AC·BC=AB·CD，进而可得CD=2.4 cm.
感悟新知
(2)点P 为直线m 外一点，点A，B，C 为直线m 上的三点，
PA=4 cm，PB=5 cm，PC=2 cm，则点P 到直线m 的距
离( D )
A. 等于4 cm
B. 等于2 cm
C. 小于2 cm
D. 不大于2 cm
感悟新知
解题秘方：根据点到直线的距离的定义，找出垂线段. 解：点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的 长度，而垂线段是该点与直线上各点的连线中最短 的. 从条件看，PC是三条线段中最短的，但不一定 是所有连线中最短的，所以点P 到直线m 的距离应 该是不大于2 cm.
感悟新知
1-1. [中考·河南] 如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥ CD，垂足为O，若∠ 1=54°，则∠ 2 的度数为( B ) A. 26° B. 36° C. 44° D.54°
感悟新知
例2 将一张长方形纸片按如图5.1-12 所示方式折叠，EF， EG 为折痕，判断EF 与EG 的位置关系. 解题秘方：利用折叠的性 质求出两线的夹角，根据 夹角是90°判断两条直线 的位置关系.
1. 垂线段：
特别解读 垂线、垂直与垂线段之间的区别与联系： 1. 区别：垂线是一条与已知直线垂直的直线；垂
5.1.2垂线正式版(1)
BD 的长度
的长度.
BD .的距离.
B
E
AD
C
AO
B
∴ ∠DOB=40°(互余的定义)
C
F
∴ ∠AOC= ∠DOB=40°（对顶角相等）
又∵OB平分∠DOF ∴ ∠BOF= ∠DOB=40°（角平分线定义）
∴ ∠EOF= ∠EOB+ ∠BOF=90°+40°=130°
∴ ∠COF=∠COD－∠DOF=180°－80°=100°
(邻补角定义)
1.垂线的画法：
D
∴ ∠ EOD= ∠ EOB+ ∠ BOD
=90 °+55 °=145 °
例2 如图,直线AB、CD相交于点O,OE⊥AB于
O，OB平分∠ DOF，∠DOE=50°,求∠AOC、
∠ EOF、 ∠ COF的度数. E
解: ∵ AB⊥OE （已知）
D
∴ ∠EOB=90°(垂直的定义)
∵ ∠DOE= 50° （已知）
A
B
B
练习
1、如图，分别过A、B、C 作BC、AC、AB的垂线。
A
解：如图、AD⊥BC于D、 BE⊥AC于E、CF⊥AB于F
2、如图，过P分别作OA、
OB的垂线。
O
解：如图、PM⊥OA于M、 PN⊥OB于N
B F
CE D MA
P
NB
3、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确
的有（ A ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是
∴ ∠AOD=90° （垂直的定义）
应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
二、例题
例1 如图，直线AB、CD相交于点O， OE⊥AB，∠1=55°,求∠EOD的度数.
七年级数学下册课件：5.1.2垂线
其中正确的有（ C ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
D
C
2.如图，直线 AB，CD相交于点O，OE⊥CD，
OF⊥AB，∠DOF=65°,求∠BOE和∠AOC
的度数.
F
D
A
Bห้องสมุดไป่ตู้
O
C
E
∠BOE =65 °，∠AOC =25°
3.如图，一辆汽车在直线形的公路AB上由A 向B行驶，M、 N分别是位于公路两侧的村庄， 设汽车行驶到点P位置时，距离村庄M最近， 行驶到点Q位置时，距离村庄N最近，请在图 中公路AB上分别画出P、Q两点的位置.
做点 P到直线l 的距离. A B O
C
1.如图，BAC 90, AD BC,垂足为D,则下列结论：
（1）AB与AC互相垂直； （2）AD与AC互相垂直； （3）点C到AB的垂线段是线段AB； （4）点A到BC的距离是线段AD的长度 ； （5）线段AB的长度是点B到AC的距离； （6）线段AB是点B到AC的距离.
M
A
P
Q B
N
4.学校运动会上，一名运动员第五跳打破了年 级跳远记录.如图A、B为这一跳的脚印落点， 起跳线为CD.请画图说明如何测量他的成绩.
C
┓
F
A E• B
D 解析：过脚印B的后跟E作EF⊥CD，垂足为点F. 那么垂线段EF的长度就是这名运动员跳远的成绩.
一般情况
对顶角：相等
两
条
邻补角：互补
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（一）垂直的定义及写法
定义：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角 是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中的一条直线 叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足．
5.1.2垂线
三、动手操作，归纳性质
问题3 如何用三角尺或量角器画已知直线l 的垂线？
(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的 垂线能画出几条？
(2)经过一点画已知直线l的垂线，这样的垂线能画 出几条？ 点与直线有几种位置关系？
操作
(1)经过直线l上一点 画已知的垂线.
(2)经过直线l外一点 画已知的垂线.
二、变换角度，认识垂直
垂直是相交的一种特殊情形，两条直线互相垂直, 其中的一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点 叫做垂足.
垂直的图形.
如图，AB⊥CD，垂足为Ｏ．
垂直的符号 表示.
推理形式
问题2 如何用符号语言表示垂直的定义呢？
之，因为 AB⊥CD， 所以 ∠AOC=90°．
如果图中的比例尺为1:100000，水渠大约要挖 多长？
练习
如图，AC⊥BC，且BC=5，AC=12，AB=13，则 点A到BC的距离是___1_2____，点B到AC的距离是 ___5____，点B到点A的距离是____1_3_____．
五、归纳小结
1.什么是垂直？垂直和相交有什么关系？我们 是如何刻画两条直线垂直的位置关系的？
2.垂线有哪些性质？ 3.本节课的学习，你在数学思想方法方面还有 哪些收获？
六、布置作业
教科书 习题5.1 第3、4、5、6、7题
5.1 相交线(第2课时） 5.1.2 垂线
一、创设情境，导入新知
问题1 取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木 条a，转动木条b．
(1)在木条b的转动过程中,什么量 也随之发生改变？
a与b所成的角 也随之发生改变
(2)∠ = 90º时，木条b与a所成另外
三个角的度数是多少？
【数学课件】5.1.2《垂线》ppt课件
3 4 5 6 7 8 9 10
折一折
根据图示能折出互相垂直的直线，您不妨试 试看！
结论
垂直的表示
图中，直线AB与直线CD垂直, 记作：AB⊥CD；
n A O
C
B m D
ห้องสมุดไป่ตู้
直线 m 与直线 n 垂直,
记作：m⊥n ； 互相垂直的两条直线的交点叫做垂足. 注意：“⊥”是“垂直”的记号， 而“
” 是图形中“垂直(直角)” 的标记.
A．36° B．54° C．64°
)
D．72°
【解析】选B.因为OC⊥OD，所以 ∠COD=90°，又因为∠AOB=180°， 所以∠DOB=∠AOB－∠COD－ ∠COA=180°－90°－36°=54°.
3.如图所示，直线AB⊥CD，垂足为O，射线OP在∠AOD的内
部，且∠POA=4∠POD，则∠COP︰∠BOP的值为（ C A B ）
∠BOP=∠BOD+∠POD=90°+18°=108°.
所以∠COP︰∠BOP=162°︰108°= 3︰2.
4.点P是直线l外一点，点A，B，C是直线l上的三点，且 PA=10，PB=8，PC=6，那么点P到直线l的距离为（ A.6 C.大于6的数 B.8 D.不大于6的数 ）
【解析】选D.根据“垂线段最短”，垂线段的长度一定小
角时，其他三个角也都成为直角，此时，直线AB,CD互
相垂直.
做一做 （1）你能用三角尺在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （2）你能用量角器在白纸上画两条互相垂直的直线吗？ （3）如果只有直尺，你能在方格纸上画出两条互相垂直的 直线吗？
用三角尺作两条互相垂直的直线
0 1 2
0
1
5.1.2垂线ppt课件
.
25
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
结论：过直线外
A
一点有且只有一条
直线与已知直线垂
直.
则所画直线AB是经过点A的 直线l的垂线.
l B
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合;
2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上;
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1
A 垂 线 段
C
B
D
注 意： 点A到直线CD的距离是 垂线段AB的长度，而不是垂线段AB。
.
46
拓展应用
如图：要把水渠中的水引到水池C中，在渠岸的什么地方开沟，水沟的长度才能 最短？ 请画出图来，并说明理由。
垂线段最短
C
.
47
三、知识应用 1、如图，点A处是一座小屋，BC是一条公路，一人在O处。
A
P
B C
.
51
三、知识应用
5 .文峰学校第六届运动会上，701班一名运动员第五跳打破了年级记录。 如图A、B为这一跳的脚印落点，起跳线为CD。请画图说明如何测量他的 成绩。
C ┓
F D
A •
E• B
解：过脚印B的后跟E作 EF⊥CD，垂足为点F。 那么垂线段EF的长度就是这名 运动员跳远的成绩。
你能再举出其他例子吗?
.
8
生活中的垂直
.
9
生活中的垂直
.
10
生活中的垂直
.
11
3.垂直的书写形式：
C
如图，当直线AB与CD相交于O点，∠AOC=90°
时,AB⊥CD，垂足为O。
A
B
O
几何语言
5.1.2 垂线
5.1.2 垂线1. 什么是垂线垂线是指一个直线与平面内的另一条直线相交，并且与该直线相交的点垂直于该直线所在的平面。
在几何学中，垂线通常用于描述两条直线或线段之间的关系，具有重要的几何性质和应用。
2. 垂线的特性垂线的定义给定一个平面上的点P和一条直线l，如果从点P到直线l有且只有一条与直线l垂直的线段，那么这条线段被称为点P到直线l的垂线，垂线的端点为P。
垂线的性质•垂线与直线的关系：垂线与直线相交形成直角关系，即垂线和直线的夹角为90度。
•垂线与线段的关系：垂线与线段相交形成直角关系，即垂线和线段的夹角为90度。
•垂线的长度：垂线的长度是点到直线的最短距离，也是点到直线的唯一垂线。
3. 垂线的应用场景地理测量在地理测量中，垂线被广泛应用。
例如，测量地面上某个点到地球表面（通常用海拔高度表示）的垂直距离时，需要根据该点所在的位置找到一个垂直于地球表面的垂线，以确保测量的准确性。
施工工程在施工工程中，垂线也有重要的作用。
例如，在修建建筑物或道路时，需要通过垂线来确定基准线，以确保结构的垂直性和水平性。
数学几何学在数学几何学中，垂线是研究几何形状和空间关系的基础概念之一。
通过对垂线的研究，可以推导出许多重要的几何性质，如垂直角定理、垂直平分线定理等，这些性质在解决几何问题时非常有用。
4. 与垂线相关的定理垂直角定理在平面上，如果两条线段互相垂直，则它们所对应的角为垂直角。
垂直角的度数为90度。
垂直平分线定理在平面上，如果一条直线与另一条线段相交，并且将该线段分成两个相等的部分，则该直线被称为该线段的垂直平分线。
垂线定理在平面上，如果一条直线垂直于一个平面内的另一条直线，则它也垂直于该平面。
5. 总结垂线是指与一个直线相交的线段，在几何学中具有重要的几何性质和应用。
垂线与直线的关系、垂线与线段的关系以及垂线的特性是使用垂线的关键要点。
垂线在地理测量、施工工程和数学几何学中都有广泛的应用。
垂线相关的定理如垂直角定理、垂直平分线定理和垂线定理也是解决几何问题时常用的工具。
人教版七年级数学下册课件5.1.2垂线
活动5 课堂小结
1．垂线的相关概念． 2．垂线的画法． 3．垂线的性质． 4．点到直线的距离．
四、作业布置与教学反思 1．作业布置
(1)教材P8 习题5.1第3，4，5，6题；
2．教学反思
A
C OD B 图5.1-5
2．教材P4 探究． 提出问题： (1)如何利用三角板过一点作已知直线的垂线？ (2)通过画图，你认为过一点作已知直线的垂线，能作几条？
3．教材P5 探究． 提出问题： (1)观察图5.19，你能用哪些方法说明线段PO最短？ (2)你从中能得出什么结论？ (3)垂线段和点到直线的距离有哪些区别和联系？
1
1
∴∠FOC＋∠EOC＝ ＝
2
1 2
∠AOC＋ 2 ∠BOC (∠AOC＋∠BOC)＝
1 2
×180°＝90°
即∠EOF＝90°，
∴OE⊥OF.
练习
1．教材P5 练习第1，2题． 2．教材P6 练习． 3．下列选项中，过点P画AB的垂线，三角尺放法正确的是( C )
练习
4．如图，O为直线AB上一点，∠AOC＝ ∠13 BOC，OC是∠AOD的平分线． (1)求∠COD的度数； (2)判断OD与AB的位置关系，并说明理由．
__垂__线__段___最短．简单说成：__垂__线__段__最__短__．
3．直线外一点到这条直线的_垂__线__段__的__长____，叫做点到
直线的距离．
度
活动4 例题与练习
例1 (1)如图①，过点P画AB的垂线； (2)如图②，过点P分别画OA，OB的垂线； (3)如图③，过点A画BC的垂线．
又解∵：∠(1A)O∵C∠＋AO∠CB＝OC＝∠1B8O0C°，， 例反1过来(1，)如如图果①AB，⊥过C点DP，画那A么B的∠A垂O线C等；于多少度？ (垂2)直你定从义中、能垂得直出公什理么的结理论解？与运用．
5.1.2垂线 课件(共29张PPT)
线垂直的是( C )
A.有两个角相等
B.有两对角相等
C.有三个角相等
D.有四对邻补角
随堂检测 4.过点P画出射线AB或线段AB的垂线．
P
A
PB
A
人教版数学七年级下册
B
巩固练习
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1.已知,如图,AB⊥CD,垂足为O,EF为过点O的一条直线,则∠1
与∠2的关系一定成立的是（ B ）
A.①② B.①③ C.②③ D.①②③ 2. 如图,直线AB,CD相交于点O,EO⊥CD,垂足为O.若 ∠1=54°,则∠2的度数为 ( B ) A.26° B.36° C.44° D.54°
于点O，∠AOD=90°，那么AB⊥CD.
A
符号语言表示：
∵∠AOD=90°
C
O
D
∴AB⊥CD（垂直的定义）
B
探究新知
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日常生活中，两条直线互相垂直的情形很常见，说出下 图中的一些互相垂直的线条.
你能再举出其他例子吗？
探究新知
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探究 (1)画已知直线l的垂线能画几条? (2)过直线l上的一点A画l的垂线,这样的垂线能画几条? (3)过直线l外的一点B画l的垂线,这样的垂线能画几条?
（6）线段AB是点B到AC的距离.
其中正确的有（ B ）
A.1个
B.2个 C.3个 D.4个
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巩固练习
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3.如图，直线AB、CD相交于点O，OE⊥AB，∠EOC=35°,求
∠AOD的度数.
解:∵AB⊥OE∴ ∠EOB=90° ∵∠EOC=35° ∴∠AOC=35° ∴∠AOD=180°-∠AOC =180°- 35°=145 °
人教版七年级下册数学5.1.2垂线(含答案)
5．1.2垂线基础填空1．垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是_________时，就说这两条直线____________，其中一条直线叫做另一条直线的______线，它们的__________叫做__________。
2．符号：“⊥”读作“垂直于”，如AB⊥CD于O，含义是：直线AB与直线CD，是O.3．垂线性质：______________________________________________________________。
知识点1认识垂直1．如图，OA⊥OB，若∠1＝55°，则∠2＝( )A．35°B．40°C．45°D．60°2．如图，AB⊥CD于点O，EF为经过点O的一条直线，那么∠1与∠2的关系是( )A．互为对顶角B．互补C．互余D．相等3．如图，已知直线AB，CD，EF相交于点O，AB⊥CD，∠DOE＝127°，求∠AOF的大小．知识点2画垂线4．下列各图中，过直线l外一点P画l的垂线CD，三角板操作正确的是( )5.如图所示，直线AB，CD相交于点O，P是CD上一点．（1）过点P画AB的垂线PE，垂足为E．（2）过点P画CD的垂线，与AB相交于F点．知识点3垂线的性质6．如图，经过直线l外一点A画l的垂线，能画出( )A．1条B．2条C．3条D．4条7．如图是小希同学跳远时沙坑的示意图，测量成绩时先用皮尺从后脚印的点A处垂直拉至起跳线l的点B处，然后记录AB的长度，这样做的理由是( )A．两点之间线段最短B．过两点有且只有一条直线C．垂线段最短D．过一点可以作无数条直线8．下面可以得到在如图所示的直角三角形中斜边最长的原理是( )A．两点确定一条直线B．两点之间线段最短C．过一点有且只有一条直线和已知直线垂直D．垂线段最短9．下列说法正确的有( )①在平面内，过直线上一点有且只有一条直线垂直于已知直线；②在平面内，过直线外一点有且只有一条直线垂直于已知直线；③在平面内，可以过任意一点画一条直线垂直于已知直线；④在平面内，有且只有一条直线垂直于已知直线．A．1个B．2个C．3个D．4个知识点4点到直线的距离10．如图所示，点P到直线l的距离是( )A．线段P A的长度B．线段PB的长度C．线段PC的长度D．线段PD的长度综合题1．在数学课上，同学们在练习过点B作线段AC所在直线的垂线段时，有一部分同学画出下列四种图形，请你数一数，错误的有( )A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 2．已知直线AB ，CB ，l 在同一平面内，若AB ⊥l ，垂足为B ，CB ⊥l ，垂足也为B ，则符合题意的图形可以是( )3．如图所示，下列说法不正确的是( )A ．点B 到AC 的垂线段是线段AB B ．点C 到AB 的垂线段是线段AC C ．线段AD 是点D 到BC 的垂线段 D ．线段BD 是点B 到AD 的垂线段 4．点P 是直线l 外一点，A ，B ，C 为直线l 上的三点，PA ＝4 cm ，PB ＝5 cm ，PC ＝2 cm ，则点P 到直线l 的距离( )A ．小于2 cmB ．等于2 cmC ．不大于2 cmD ．等于4 cm 5．如图，当∠1与∠2满足条件 时，OA ⊥OB.6.已知OA ⊥OC ，过点O 作射线OB ，且∠AOB ＝30°，则∠BOC 的度数为 ． 7．如图，直线AB ，CD 相交于点O ，射线OM 平分∠AOC ，ON ⊥OM.若∠AOM ＝35°，则∠CON 的度数为 ．8．如图所示，O 为直线AB 上一点，∠AOC=31∠BOC ，OC 是∠AOD 的平分线． ⑴求∠COD 的度数；⑵判断OD 与AB 的位置关系，并说明理由. 解：⑴∵∠AOC=31∠BOC 即∠AOC+∠BOC=_________°( ) ∴∠AOC =_________°∵OC 是∠AOD 的平分线∴∠COD=∠_________ =________( ) ⑵∵∠COD=∠_________ =________ ∴∠COD+∠AOC=________ ∴OD______AB9．如图，已知DO⊥CO，∠1＝36°，∠3＝36°.(1)求∠2的度数；(2)AO与BO垂直吗？说明理由．10．如图，直线AB，CD相交于点O，EO⊥CD于点O.(1)若∠AOC＝36°，求∠BOE的度数；(2)若∠BOD∶∠BOC＝1∶5，求∠AOE的度数；(3)在(2)的条件下，请你过点O画直线MN⊥AB，并在直线MN上取一点F(点F与O不重合)，然后直接写出∠EOF的度数．5．1.2垂线答案基础填空1．垂线：当两条直线相交所成的四个角中，有一个是_直角_时，就说这两条直线_互相垂直__，其中一条直线叫做另一条直线的__垂__线，它们的___交点_叫做___垂足___。
5.1.2垂线
5.1.2垂线备课教师：张剑楠课型：新授课授课时间：2.27课时第2课时总课时：第2课学习目标1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；3．掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．重点1．理解垂线、垂线段的概念，会用三角尺或量角器过一点画已知直线的垂线；2．掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离.难点掌握垂线的性质，并会利用所学知识进行简单的推理．教学过程问题、预设时间评价活动活动1观察下面图片，你能找出其中相交的直线吗？它们有什么特殊的位置关系？活动2出示学习目标活动3知识点一：垂直、垂线、垂足的概念取两根木条a、b，将它们钉在一起，固定木条a，转动木条b，a、b所成的夹角α .学生观看图像，利用课本找到答案教师出示学习目标教师做示范，学生观察教师拨动木架，转动木条的同时观察其夹角的变化.教师提出问题。
学生思考回答。
学生齐读通过动手操作与观察，学生构建相交线的几何模型，转动木条时，两根木条之间的夹角不断变合作探究：探究1(1) 当∠α分别为35°、90°时，其余的角分别是多少？(2) 当∠α为90°的位置关系有几个？此时，木条a和木条b所在的直线有什么样的位置关系？定义总结两条直线互相垂直，其中的一条直线叫做另外一条直线的垂线.记法：AB⊥CD，垂足为O.符号语言：因为∠AOC = 90°，所以AB⊥CD.知识点二：垂线的画法及基本事实探究2(1) 画已知直线l的垂线能画几条?(2) 过直线l上的一点A画l的垂线，这样的垂线能画几条(3) 过直线l外的一点B画l的垂线，这样的垂线能画几条(1) 如图，已知直线l，画l的垂线.学生抢答并说明变形依据，明确算理教师关注学生的参与情况学生先观察木条位置关系，经过独立思考和小组讨论，选派代表解答问题(2)，预设：当∠α为90°的位置关系只有一个；学生在教师的引导下共同总结此时两根木条的位置关系——a与b垂直，记作a⊥b.学生独立思考后，学习垂线的画法(把直尺放在直线l的位置，再把直角三角尺的一条直角边靠在直尺上，最后沿着直角三角尺的另一条边画出直线)，作图后回答问题化，两条相交线形成的角也在不断变化；通过观察发现特殊的位置关系，引出垂直的概念学生独立思考解答问题(1)；学生先独立思考，然后请学生代表回答，教师引导学生说出判断的理由，并给予恰当评析，帮助他们形成正确认知在教师的引导下学习垂线的画法追问1 问题：这样画l的垂线可以画几条？预设：无数条.(2) 如图，已知直线l和l上的一点A，过点A 画l的垂线.追问2 问题：这样画l的垂线可以画几条？预设：一条.(3) 如图，已知直线l和l外的一点M，过点M 画l的垂线.活动4在灌溉时，要把河中的水引到农田P处，如何挖掘能使渠道最短？请转化成数学问题并找出最短的位置.预设1：运用直尺测量发现，线段PO的长度最短.预设2：这样的线段PO只有一条.活动5能说出本节课的收获。
5.1.2+《垂线》教学设计++2023--2024学年人教版七年级数学下册+
《垂线》教学设计课时一：新课讲解一、教学目标1.知识与技能：理解垂线的概念，掌握垂线的性质，能够准确画出给定直线的垂线。
2.过程与方法：通过观察、操作、归纳等活动，培养学生的空间观念和几何直观能力。
3.情感态度与价值观：通过探究垂线的性质，激发学生的学习兴趣，培养学生的探索精神和合作意识。
二、教学重难点1.重点：垂线的概念及性质。
2.难点：垂线的准确画法及垂线性质的应用。
三、教学准备1.教学课件，包含垂线的定义、性质、画法等相关内容的图片和动画。
2.三角板、直尺、量角器等绘图工具。
3.练习纸和笔。
四、教学过程1.导入新课（1）通过生活中的实例（如旗杆与地面、电线杆与地面等）引出垂线的概念，激发学生的学习兴趣。
（2）提问学生：你们在生活中还见过哪些垂线的例子？引导学生思考并分享。
2.探究新知（1）垂线的定义通过课件展示垂线的定义，并解释相关概念。
让学生观察课件中的图片，理解垂线是两直线相交且夹角为直角的特殊位置关系。
（2）垂线的性质引导学生通过观察、归纳，得出垂线的性质：过一点有且仅有一条直线与已知直线垂直。
通过动画演示和实物操作，加深学生对垂线性质的理解。
（3）垂线的画法教师示范如何使用三角板、直尺等工具准确画出给定直线的垂线。
强调垂线的画法要点：一是确保垂足在给定直线上，二是确保垂线与给定直线垂直。
3.练习巩固（1）基础练习：让学生在练习纸上画出给定直线的垂线，并检查学生的作图是否正确。
（2）应用练习：设计一些实际问题，让学生运用垂线的性质进行解决。
例如，在建筑工地上，如何利用垂线确保建筑物的垂直度？4.课堂小结（1）总结垂线的概念、性质及画法。
（2）强调垂线在日常生活和实际应用中的重要性。
5.作业布置（1）完成教材上的相关习题。
（2）收集身边的垂线实例，并尝试用所学知识进行解释。
课时二：复习巩固一、教学目标1.知识与技能：巩固垂线的概念、性质及画法，能够熟练运用垂线的性质解决相关问题。
2.过程与方法：通过复习、讨论、练习等活动，提高学生的思维能力和问题解决能力。
5.1.2垂线 课件
O
C
B
反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O，那么，∠AOD=90°.
书写形式：
②性质：∵AB⊥CD（已知） ∴∠AOD=90°（垂直的定义）
(∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°)
练习1.两条直线相交所成的四个角中，下列条件中能
断定两条直线垂直的是（ A C
DFG ）
（A）有一个角为90° （B）有两个角相等 （C） 有三个角相等 （D）有四个角相等 （E）有四对邻补角 （F）有一对对顶角互补 （G）有一对邻补角相等 （H）有两组角相等Leabharlann 3.如图，BO⊥AO，∠BOC
与 那∠么B∠OCAO的A度＝数 __7_之2__比°，为1：5，
∠BOC的补角为_1__6_2__度.
B C
O
A
《教材》P6练习：
如图,三角形ABC中,∠C＝90°. （1）分别指出点A到直线BC,点B到直线AC的距离是那 些线段的长; （2）三条边,AB,AC,BC中哪条边最长?为什么?
解：（1）点A到直线BC的距离为AC的长； 点B到直线AC的距离为BC的长； （2）AB最长，因为所有连接两点的线段中垂线段最短。
①过点P向线段AB所在直线引垂线，正确的是（ C）.
A
B
C
D
4、如图 ，已知AB. CD相交于O， OE⊥CD 于O，∠AOC=36°，则∠BOE= 54° .
（A）36°
(B) 64°
(C)144°
O A
(D) 54° D
B
C
E
3、下面四种判定两条直线的垂直的方法，正确
的有（ A ）个
（1）两条直线相交所成的四个角中有一个角是
直角，则这两条直线互相垂直
5.1.2 垂线(一)(七年级上册数学课件)
一、垂直的定义
1.垂直定义:当两条直线相交所成的四个角中，
有一个角是直线叫另一条直线的垂线,它们的交
点叫垂足。
例：如图，a、b互相垂直, O叫垂足.a叫b的垂线，b 也叫a的垂线。
a
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键:只要找到 两条直线相交时四个交角中有一个角是直角。
m
∠1＝90°，则___m__⊥__n___。
1
On
2.若直线AB、CD相交于点O，
且AB⊥CD，那么∠BOD＝_9_0_°_。
3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5，
那么∠COA＝__7_2_°_, ∠BOC的补角为__1_6_2__度。
BC
O
A
4. 如图，直线AB、CD相交于点O，
华师版七年级上学期 第5章 《相交线与平行线》
5.1.2 垂线(一)
学而不疑则怠，疑而不探则空
复习回顾
1.如图，直线AB和CD相交于点O，则对 顶角有___对， 分别是___。∠AOB的 邻补角有___个，分别是_____。
A
2
⌒
O⌒1 4
D
C
3
B
2.如上图：若∠1=2∠2， 求∠1，∠2，∠3，∠4的度数
【学习目标】
1、了解垂线、点到直线的距离的意义，理解 垂线和垂线段的性质；
2、会用三角板过一点画已知直线的垂线，并 会度量点到直线的距离.
【学习重点】垂线的意义、性质和画法，垂 线段性质及其简单应用.
【学习难点】垂线的画法以及对点到直线的 距离的概念的理解.
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
a b
2、如图AB⊥CD垂足为O,∠COF=56°，
5.1.2垂线
生活中的垂直
垂线 B
D
B
• 2、∵∠1=90°（已知） • 1、∵AB⊥CD（已知） ∴AB⊥CD（垂线的定 • ∴∠1=90°（垂线的定义）• 义）
看谁做得快
m
1.若直线m、n相交于点O， m⊥n ∠1＝90°，则__________。 2.若直线AB、CD相交于点O， 且AB⊥CD，那么∠BOD＝____。 90°
P
Q
A
B
O
A
思考
有人不慎掉入有鳄鱼的湖中。如图， 他在P点，应选择什么样的路线尽 快游到岸边m呢？
连接直线外一点与直线上各点的所有 垂线段最短 线段中，垂线段最短。
•垂直的定义；
•垂直的表示方法； •垂线的画法； •垂线的两条性质；
问题1：长方体的顶点A处有一只 蚂蚁想爬到点C处，请你帮它画出爬 行的最佳路线。并说明理由。
画一画
• 做一条直线的垂线能画多少条？ • 过直线上一点做已知直线的垂线能画多 少条？ • 过直线外一点做已知直线的垂线能画多 少条？
过一点画已知直线的垂线
作法：
1、靠(边靠线、边靠边) 2、过 3、画
垂线的性质
有且只有一条 • 过一点有且只有一条直线与已知直线垂 直。
线段、射线的垂线应怎么画呢？
B 1
O
n
3.如图，BO⊥AO，∠BOC 与∠BOA的度数之比为1:5， 那么∠COA＝_____, 72° ∠BOC的补角为______度。 162
C
O
A
B
C 5x
x
∠AOC＝90°×
∠BOC＝90°×
4 5 1 5
O
A
＝72°，
＝18°,
∠BOC的补角＝180°－18°＝162 °
5.1.2《垂线》
Cm
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
步骤
1、放 2、靠 3、移 4、画线
B
则所画直线AB
是过点A的直线l的
垂线.
A
l
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Cm
垂线的画法：
如图，已知直线 l 和l外的一点A ,作l的垂线.
请同学们
A
则所画直线AB
是过点A的直线l的
一、垂直的定义
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是_直__角_时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的_垂__线_，它 们的交点叫_垂__足___。
a
例如、如图，a、b互相垂直,O叫 垂足.a叫b的垂线，b也叫a的垂线。
b O
从垂直的定义可知， 判断两条直线互相垂直的关键：
复习：
一 般
情
况
两
条
直 线
C
O
相
交A
对顶角：相等
邻补角：互补
B
B
C D
O
A
D
特殊情况
在相交线的模型中,固定木条a,转动木条b,
当b的位置变化时,a、b所 成的角α也会发生变化.
b
b
b
bb
当α =90°时,a与b垂直.
α ）α
当α ≠90°时,a与b不垂直，
a
叫斜交.
斜交 两条直线相交
垂直 垂直是相交的特殊情况
在同一平面内，过一点有且只有一条直线 与已知直线垂直.
只要找到两条直线相交时四个角 中有一个角是直角。
做一做：资料自主探索导引第5题
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C
E
B
∵ DE⊥BC于E(已知） A D ∴ DE＜CD（垂线段最短）
∴ AB＞AC＞CD＞DE
5、如图,量出（1）村庄A与货场B的距离, （2）货场B到铁道的距离。
30 m 20 m
A
25m
8m 答:……。 B
C
0m
10 m
6、如图，点M、N分别在直线AB、CD上， 用三角板画图， 1)过M点画CD的垂线交CD于F点, MN的长， 2)M点和N点的距离是线段____ MF的长。 3)M点到CD的距离是线段____
A
M
B F D
∴直线MF为所 求垂线。
C
N
拓展应用1
如图：在铁路旁边有一张庄，现在要建一火 车站，为了使张庄人乘火车最方便（即距离最近） ，请你在铁路上选一点来建火车站，并说明理由。
张庄
垂线段最短
拓展应用2
问题1：长方体的顶点A处有一 只蚂蚁想爬到点C处，请你帮 它画出爬行的最佳路线。并说 明理由。 F问题2：若A处的蚂蚁想爬到棱 BC上，你认为它的最佳路线是 什么？ E 问题3：若蚂蚁在点M处，想爬 到棱BC上，请你设计一条最佳 路线。
11 Cm
垂线的性质（1）:
过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
注意: 过一点画已知线段(或射线)的垂线,就是 画这条线段(或射线)所在直线的垂线.
请你画图， 并用尺量一 下，看看哪 一条线段最 短？
P
此问题就是“直线外一点与已知直线上各点 所连的线段中,有没有最短的线段?”
垂线段的概念：
由直线外一点向直线引垂 线，这点与垂足间的线段 叫做垂线段。
D 如图，当直线AB与CD相交 A 于O点，∠AOD=90°时， AB⊥CD，垂足为O。 O 书写形式： C ∵∠AOD=90°（已知） B ∴AB⊥CD（垂直的定义） 反之，若直线AB与CD垂直，垂足为O， 那么，∠AOD=90°。 书写形式： ∵ AB⊥CD （已知） ∴ ∠AOD=90° （垂直的定义） 应用垂直的定义：∠AOC=∠BOC=∠BOD=90°
• 如果图中比例尺为1：100000,水渠大约要 挖多长？ 做 分析：比例尺＝图上距离：实际距离 书 图上距离＝实际距离 × 比例尺 中 实际距离＝图上距离÷比例尺 第 解：设水渠大约要挖X厘米长？
6
1：100000＝1.2：X
X＝100000 × 1.2 X＝120000 120000cm=1.2km
达标检测 : 1、选择题：
(2).如图, AC⊥BC, ∠ACB=900 ,线段AC、 BC、CD中最短的是 ) C (
(A)、AC (B)、BC、(C)、CD (D)、不能确定 C A
D
B
2、如图,∠ABC=90° ,∠1=60° ,过B作 AC的垂线BO,垂足是O,过O作BC的垂线,垂 足是D,若∠1= ∠2,求∠ABO, ∠BOD. 解： ∵∠ABC=90 （已知 ） ∠1=60° A （余角定义） O ∴∠ABO=30° ∵BO⊥AC于O点 （已知） 2 ∴∠BOC=90° （垂直定义） ） 1 又∵∠2=∠1=60° （已知） B D ∴∠BOD= 90°- 60°= （余角定义） 30°
3.垂直的书写形式：
垂线的画法复习：
如图，已知直线 l 和l上的一点A ,作l的垂线.
B
则所画直线AB是过 点A的直线l的垂线.
A
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
l
1放:放直尺,直尺的一边要与已知直线重合; 2靠:靠三角板,把三角板的一直角边靠在直尺上; 孝感市文昌中学学生专用尺 3移:移动三角板到已知点; 4画线:沿着三角板的另一直角边画出垂线.
例如：如图，PA⊥l于点 A ，线段PA叫做点P到直 线l的垂线段.
P l
A
要找垂线段， 先把点来看。 过点画垂线， 点足垂线段。
结论:连接直线外一点与直线上各点的所有线 段中，垂线段最短. 简单说成: 垂线段最短.
AB C3 C1DOC2C4
特别强调:
垂线段是垂线上的一部分，它是线段， 一端是一个点，另一端是垂足。
G D M· C
┏
· A
N B
作业：教材中习题5.1中的3、4、5、6、7
P
A
D
B
点到直线的距离： 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫 做点到直线的距离。 P
例如：如图，PA⊥l于点A ，垂线 段PA的长度叫做点P到直线l的距离. 例：如图，是一个同学跳远的位置 跳远成绩怎么表示?
l A
l A
解:过P点作PA⊥l于点
A ，垂线段PA的长度就 是该同学的跳远成绩.
P
现在，你知道水渠该怎么挖了吗？
C
3、 想一想：
已知：如图AD＜AE ＜AC＜AB能说AD的 长是A到BC的距离吗？
A
答：不能。
B D EC
4、如图：AC⊥BC于C,CD⊥AB于D,DE⊥BC于E, 试比较四条线段AB 、AC、DC和 DE的大小。
解： ∵ AC⊥BC于C(已知） ∴ AC＜AB（垂线段最短） 又∵ CD⊥AD于D(已知） ∴ CD＜AC（垂线段最短）
页 练 习
答：水渠大约要挖1.2km长？
小结：
1、垂线段的定义 由直线外一点向直线引垂线，这点与垂足 间的线段叫做垂线段。 2、点到直线的距离
从直线外一点到这条直线的垂线段的长度, 叫做点到直线的距离.
3、垂线的性质（2） 垂线段最短
(1)、已知点A，与点A的距离是5cm的直线可画( D )
A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 无数条
一、检查
1.垂直定义：当两条直线相交所成的四个角 中，有一个角是直角时，这两条直线互相垂 直，其中一条直线叫另一条直线的垂线，它 a 们的交点叫垂足。 α b 2.垂直的表示： O 用“⊥”和直线字母表示垂直
例如、如图，a、b互相垂直, 垂足为O， 则记为： a⊥b或b⊥a,
若要强调垂足，则记为：a⊥b, 垂足为O.
数学-第五章
5 .1.2 垂线
一、学习目标 1、了解垂线段的概念, 2、了解垂线段最短的性质,体会点到直线的距离 的意义, 3、学会度量点到直线的距离。
二、重点和难点
重点：“垂线段最短”的性质，点到直线的距离 的概念及其简单应用。 难点：点到直线的距离的概念的理解。
学习指导
1．如图，若∠1=60°，那么∠2=__、 ∠3=__、∠4=__ 2．改变上图中∠1的大小，若∠1=90°请画出这种图 形并求出此时∠2、∠3、∠4的大小. 3、阅读课本P3，回答上面所画图形中两条直线的关系 是____，知道两条直线互相__ 是两条直线相交的特 殊情况. 4、 用语言概括垂直定义 3．垂直的表示方法： 垂直用符号“⊥”来表示，若“直线AB垂直于直线CD， 垂足为O”，则记为_____，并在图中任意一个角处作 上直角记号.