1[1].1 平行线等分线段定理4-1

图4
平行线等分线段定理
A E ？F ？ C B
图5
B
C
推论2 推论2 经过梯形一腰的中点与底边 平行的直线，必平分另一腰. 平行的直线，必平分另一腰. 符号语言： 符号语言： ∵在梯形ABCD，AD∥EF∥BC，AE=EB. 在梯形ABCD，AD∥EF∥BC， ABCD ∴DF=FC
推论1 推论1 经过三角形一边的中点与 另一边平行的直线，必平分第三边. 另一边平行的直线，必平分第三边. 符号语言 ∵△ABC中，EF∥BC，AE=EB. ABC中 EF∥BC， ∴AF=FC
3 如图AB∥EM∥ BC，AE=ED，EF ∥ BC， 练 习 EF=12，则BC= ——
4 如图，已知：在梯形ABCD中， AD ∥BC，E是CD的中点，EF∥ BC交AB于F， ， ∥ 交 于 ， FG ∥ BD交AD于G，求证：AG=DG 交 于 ，求证：
小结 1、平行线等分线段定理和两个推论 2、定理和推论的应用 (1)把线段n等分 (1)把线段n 把线段 (2) 线 的线段
如图：有块直角三角形菜地 分配给张 分配给张,王 李三 如图：有块直角三角形菜地,分配给张 王,李三 家农民耕种,已知张 李三家人口分别为 已知张,王 李三家人口分别为2人 家农民耕种 已知张 王,李三家人口分别为 人,4 菜地分配方法按人口比例,并要求每户土 人,6人,菜地分配方法按人口比例 并要求每户土 人 菜地分配方法按人口比例 地均有一部分紧靠水渠AB,P处是三家合用的肥 地均有一部分紧靠水渠 处是三家合用的肥 料仓库,所以点 所以点P必须是三家地的交界地 料仓库 所以点 必须是三家地的交界地
H G F E M D
Ａ
N
I
P
J
K
L
Ｂ
Ｃ
例2 利用平行线等分线段定理证明三角形中位线定理 D、E 分别是△ABC中AB边和AC边的中点.
1 求证:DE//BC且 DE = BC 2
作DE′//BC 作DF//AC
E′与E重合 BF=FC =DE D B
A E F
E′
C
证明题
1、已知：如图，M、N分别为平行四边形ABCD 已知：如图， 分别为平行四边形ABCD 边AB、CD的中点．CM、AN分别交BD于点E、F． AB、CD的中点．CM、AN分别交BD于点E 的中点 分别交BD于点 求证： 求证：BE=EF=FD
平行线等分线段定理
如果一组平行线在一条直线上截得 的线段相等， 的线段相等，那么在其他直线上截得 也相等. 的线段 也相等. 符号语言 ∵直线l1∥l2∥l3 ，AB=BC. 直线 ∴ A1B1=B1C1
l1 l2 l3
A B C
A1 B1 C1
如果一组平行线在一条直线 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等. 上截得的线段相等，那么在其他直线上截得的线段也相等 A E D ？ F ？
F E M D G
Ｃ H
问题１ 求作一点Ｐ 问题１：求作一点Ｐ把线段 ＡＢ分成２ ＡＢ分成２：３,怎么办？ 分成 怎么办？ 问题２ 如果把△ABC的 问题２：如果把△ABC的 面积分成２ 面积分成２：３,怎么办？ 怎么办？
Ａ
N
I
P
J
K
L
Ｂ
Ｃ
练习 已知：线段AB, 求作：线段AB的五等分点
Ｃ
问题１ 问题１： 求作一点Ｐ 求作一点Ｐ把线段 AB分成２：３ 分成２ 分成 问题２ 问题２： 如果把△ABC的面积 如果把△ 的面积 分成２ 怎么办？ 分成２：３怎么办？
？
l2 l3
B C
证明：过B1作EF∥AC，分别交 1、l3于点 、F 于点E、 证明： ∥ ，分别交l
2 4
C1
F
图3
∴EB1 =AB ，B1F=BC ∵AB=BC,∴EB1=B1F. ∴
l1
请同学们自己完成下面两图的证明
A B C
图4
A1 B1 C
1
l1 l2 l3
A（A1） B C
图5
又∠1=∠2，∠3=∠4 ∠ ， ∠
思考?
把问题转化为有关三 角形和平行四边形的 问题
1、在定理的证明过程中添加的辅助线起到了什么作用？ 在定理的证明过程中添加的辅助线起到了什么作用？
2、如果一组平行线为三条以上，你还会证明此定理吗？ 如果一组平行线为三条以上，你还会证明此定理吗？
思考
已知：直线 已知：直线l1∥l2∥l3∥l4 ，AB=BC=CD. 求证； 求证； A1B1=B1C1 =C1D1.
A
等
A D ？ F ？ C
？
E B B
F ？ C
E B
作业
P5 1 ,2
D E B
A F G C
2、四边形ABCD中，点M、N分别在 、 、四边形 分别在AB、 中 、 分别在 A CD上若 上若AM=BM、DN=CN 则 上若 、 M AD∥MN∥BC ( ) ∥ ∥ 3、一组平行线，任意相邻的两平行线间 、一组平行线， 的距离都相等， 的距离都相等，则这组平行线能等分线 ) 段。 ( 4、如图l1∥l2∥l3且AB=BC，那么 、如图 ， AB=BC=DE=EF ( )
AB BC
A
l1
？
B C
1
A1
l1 l2 l3
A？1 B C
1 2
A
l2 l3
？ B1
C1
？
C1
2
图1
图2
练习
3、已知如图3，直线 l1∥l2∥l3 ,AB=BC. 已知如图3 求证； 求证； A1B1=B1C1
得到□ ∵ l1∥l2∥l3 ∴得到□ABB1E和□BCFB1 和
A1
l1
A
3 ？1
E B1
A
l1 l2 l3 l4
分析： 分析：
A1
？B1 ？C1 ？
∵直线l1∥l2∥l3 ,AB=BC. 直线 ∴A1B1=B1C1 ∵直线l2∥l3∥l4 ,BC=CD. 直线
D1
B C D
∴B1C1 =C1D1
判断题
1、如图△ABC中点 、E三等分 ， 、如图△ 中点D、 三等分 三等分AB， 中点 DF∥EG∥BC，DF、EG分别交 于点 分别交AC于点 ∥ ∥ ， 、 分别交 F、G，则点 、G三等分 三等分AC ( ) 、 ，则点F、 三等分
l2 l3
B1 C1
∴△A1B1E≌△C1B1F ≌ ∴A1B1=B1C1
已知：直线 不平行, 已知：直线l1∥l2∥l3,l,l’不平行,A1A2=A2A3 不平行 求证: 求证:B1B2=B2B3 A1 B1 l 1 A2 B2 l 2 C2 A3 B3 l3 C3 图2
l l’
分析
“角角边” B1C2//B2C3 △B1C2B2≌△B2C3B3 B1B2=B2B3
A1 A2 A3
l
l’
B1 l 1 B2 l2 B3
l3
A1 A2 A3
l
l’
B1 l 1 B2 l
2
B3 图2
l3
图1 l1//l2//l3, l//l′ A1A2=A2A3 B1B2 = B2B3
l1//l2//l3, l,l′不平行 A1A2=A2A3
探究：
1、已知：直线l1∥l2∥l3 ， 2、已知：直线， l ∥l ∥l ，AB=BC 已知：直线 已知：直线， 1 2 3 AC∥A1C1 ， AB=BC. ∥ 求证； 求证；A1B=BC1 求证； 求证；A1B1=B1C1
C B
DLeabharlann Baidu
N
C
A B
D E
l1 l2 F l 3
平行线等分线段定理的应用
定理作用：(1)把线段n等分;(2)证明在同一直线上的线段相等. 定理作用：(1)把线段n等分;(2)证明在同一直线上的线段相等. 把线段 ;(2)证明在同一直线上的线段相等
已知：线段ＡＢ ＡＢ=6cm, 例1 已知：线段ＡＢ 求作：线段ＡＢ的五等分点 求作：线段ＡＢ的五等分点. ＡＢ的五等分点
平行四边形对边相等； 平行四边形对边相等；一 组对边平行且相等的四边 形是平行四边形 分析： 分析：1、证CM∥AN 2、证BE=EF 3、证DF=EF
？
A F
M
？ E ？
B
D
N
C
练习
已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC， 。 ∠ABC=90 M是CD的中点
C
求证：AM=BM
M D
分析：过M点作ME∥AD交AB A 于点E B E 又∵在梯形ABCD中，MD=MC 有线段中点时，常过 该点作平行线，构造 ∴AE=EB 平行线等分线段定理 易证ME是AB的垂直平分线 及推论的基本图形。
P
要求：用尺规在图中作出 要求： 各家菜地的分界线
A
张 王 E
李 F
B
1已知：如图， △ABC中，E是AB中点， 1 练 EF∥BD，EG ∥ AC交BD于G，CD= AD， 2 习 若EG=5，则AC = —— 若BD=20，则EF= ——
2 已知：AB=AC，AD垂直BC于D，M是 AD的中点，CM交AB于P，DN ∥ CP， 若AB=6，则AP=—— 若PM=1，则PC=——