生物统计——单因素完全随机设计试验资料的方差分析
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生物统计（4）-单因素方差分析
生物统计（4）-单因素方差分析方差分析的基本思想在进行科学研究时，有时要按实验设计将所研究的对象分为多个处理组进行不同的处理，其中处理因素(treatment)至少有两个水平（level）。
这类科研资料的统计分析，是通过所获得的样本信息来推断各处理组均数间的差别是否有统计学意义，即处理是否有影响。
常用采用的分析方法就是方差分析（ANOVA，analysis of variance），这是由英国统计学家R.A.Fisher首创，以F命名，故方差分析又称为F 检验。
设处理因素有g(g>= 2)个不同水平，实验对象随机分为g组，分别接受不同水平的干预，第i(i=1,2,...,g)组的样本含量为n_{i}，第i处理组的第j(j=1,2,…ni个观测值用Xij来表示，其计算结果可能可以整理成以下面的形式，如下所示：方差分析的目的就是在成立的条件下，通过分析各处理组均数之间的差别大小，推断g 个总体均数之间有无差别，从面说明处理因素的效应是否存在。
记总均数为各处理组均数为总例数为其中，g为处理组数。
实验数据有三个不同的变异：1. 总变异。
全部观测值大小不同，这种变异称为总变异。
总变异的大小可能用离均差平方和(sum of squares of deviations from eman,SS)来表示，即各观测值与总均数X差值的平方和，记为。
公式略。
2. 组间变异。
各处理组由于接受处理的水平不同，各组的样本均数也大小不等，这种变异称为组间变异，其大小用各组均数与总均数的离均差平方和表示，记为SS组间，计算公式略。
各组均数之间相关越悬殊，它们与总均数的差值越在在，就越大，反之就越小。
反应了各组均数的变异，存在这种变异的原因有：①随机误差；②处理的不同水平可能对实验结果的影响。
3. 组内变异。
在同一处理组中，虽然每个实验对象接受的处理相同，但观测值仍各不相同，这种变异称为组内变异（误差）。
组内变异用组内各观测值与其所在组的均数的差值的平方和表示，记为，表示随机误差的影响。
生物统计第三节单因素试验资料的方差分析
C T / N 460.5 / 25 8482.41
2
2
上一张 下一张 主 页
退 出
SST x C
2
ij
(21.5 2 19.5 2 17.0 2 16.0 2 ) 8482 . 41
8567 . 75 8482 . 41
Байду номын сангаас85.34
MSE
P
⑥ 列出方差分析表
df
3、确定P值、下结论
•从上表得F=14.32，查附表5（方差分析界值表，
单侧），自由度相同时，F界值越大，P值越小。
因F0.01，2，27= 5.49；故P<0.01，按α=0.05水准
拒绝H0，接受HA，可认为三个不同时期切痂对
ATP含量的影响有统计显著性差异。
方差分析的结果只能总的来说多组间是否
S，即
x
得各最小显著极差，所得结果列于表6-15。
上一张 下一张 主 页
退 出
表6-15 SSR值及LSR值
dfe
上一张 下一张 主 页
退 出
将表6-14中的差数与表6-15中相应的最小显
著极差比较并标记检验结果。
检验结果表明：5号品种母猪的平均窝产仔数
极显著高于2号品种母猪，显著高于4号和1号品
③ 计算总的变异及总的自由度
SST x C
2
ij
dfT kn 1 N 1
④ 计算组间变异及相应的自由度
SSB Ti 2 / ni C
df b k 1
⑤ 计算组内变异及相应的自由度
SSE SST SSB
df e dfT df b
N k
完全随机设计的方差分析(1)
.
21
.
22
方差分析(Analysis of variance，ANOVA)
方差分析的定义
又叫变量分析，是英国著名统计学家R . A . Fisher于20世纪提出的。它是用以检验两个或多个 均数间差异的假设检验方法。它是一类特定情况下 的统计假设检验，或者说是平均数差异显著性检验 的一种引伸。为纪念Fisher，以F命名，故方差分析 又称F检验 。
1.特点 单因素方差分析是按照完全随机设计的原则将处理 因素分为若干个不同的水平，每个水平代表一个样本，只 能分析一个因素对试验结果的影响及作用。其设计简单， 计算方便，应用广泛，是一种常用的分析方法，但其效率 相对较低。该设计中的总变异可以分出两个部分，
•
即SS总＝SS组间＋SS组内。
2.常用符号及其意义
.
29
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
完全随机设计：(completely random design)是采
用完全随机化的分组方法，将全部试验对象分配到g个
处理组（水平组），各组分别接受不同的处理，试验 结束后比较各组均数之间的差别有无统计学意义，推 论处理因素的效应。
.
30
end
第一节 完全随机设计资料的方差分析
离均差平方和 X2
总体方差 样本方差
2 X 2
N
S2XX2X2X2/n
n1
n1
方差—随机变量离散的重要衡量方法
.
13
试验指标（experimental index）： 为衡量试验
结果的好坏和处理效应的高低，在实验中具体 测定的性状或观测的项目称为试验指标。常用 的试验指标有：身高、体重、日增重、酶活性、 DNA含量等等。
单因素完全随机设计的方差分析
第二节 单因素完全随机设 计的方差分析
Start
制作人：李福建 娄文博 主讲人：
一。单因素完全随机设计
在实验中如果仅有一个实验因素，这个因素又分成k种 不同水平（k>2）或k种不同处理，将N名被试随机地分成 k个实验组，每个实验组又随机被指定接受一种实验处理， 这种实验设计就叫单因素完全随机设计。此时，k组不同 处理间是相互独立的。例如，研究识记得实验，按识记 材料的性质不同分为三种或四种处理，在同一教学内容 采用几种不同的教学方法等，都是单因素多个水平的实 验。
例1. 一批学生随机被分配在三 个组中，进行三种识记的实验， 结果如表10-3.问三种记忆方式 的效果是否有显著差异？
解题步骤详见 X1
课本P166-168
31
X2 58
X3 65
58
46 50 38 62 53 62
76
73 56 42 63 52
80
82 44 74 56 60 75
400
420
536
例2
从某班学习中等的学生中随机 抽出15名，把他们随机分成三 组，每组随机接受一种方式的 自学辅导实验，成绩如表，问 三种方式的效果是否有显著差 异？ 解题步骤详见课本P169-170
甲
75 83 78 79 81 396
乙
78 73 71 75 70 367
丙
83 85 81 88 90 427
(2)根据已知样本统计量进行方差分析
例3 把40名学生随机分成四组， 每组10人。每个组分别接受一 种方法的阅读训练，训练结束 测验成绩如表。已知训练成绩 服从正太分布，各组方差齐性， 问四种训练方法的效果是否有 显著差异? 解题步骤详见课本
Start
制作人：李福建 娄文博 主讲人：
一。单因素完全随机设计
在实验中如果仅有一个实验因素，这个因素又分成k种 不同水平（k>2）或k种不同处理，将N名被试随机地分成 k个实验组，每个实验组又随机被指定接受一种实验处理， 这种实验设计就叫单因素完全随机设计。此时，k组不同 处理间是相互独立的。例如，研究识记得实验，按识记 材料的性质不同分为三种或四种处理，在同一教学内容 采用几种不同的教学方法等，都是单因素多个水平的实 验。
例1. 一批学生随机被分配在三 个组中，进行三种识记的实验， 结果如表10-3.问三种记忆方式 的效果是否有显著差异？
解题步骤详见 X1
课本P166-168
31
X2 58
X3 65
58
46 50 38 62 53 62
76
73 56 42 63 52
80
82 44 74 56 60 75
400
420
536
例2
从某班学习中等的学生中随机 抽出15名，把他们随机分成三 组，每组随机接受一种方式的 自学辅导实验，成绩如表，问 三种方式的效果是否有显著差 异？ 解题步骤详见课本P169-170
甲
75 83 78 79 81 396
乙
78 73 71 75 70 367
丙
83 85 81 88 90 427
(2)根据已知样本统计量进行方差分析
例3 把40名学生随机分成四组， 每组10人。每个组分别接受一 种方法的阅读训练，训练结束 测验成绩如表。已知训练成绩 服从正太分布，各组方差齐性， 问四种训练方法的效果是否有 显著差异? 解题步骤详见课本
生物统计学之方差分析
6.4 均值间的两两比较
对完全随机设计多组平均水平进行比较时，当资料满 足正态性和方差齐性，就可以尝试方差分析，若得到 P>α的结果，不拒绝零假设，认为各组样本来自均数相 等的总体，即不同的处理产生的效应居于同一水平， 分析到此结束; 若方差分析结果P≤α，则拒绝零假设， 接受备择假设，认为各处理组的总体均数不等或不全 相等，即各个处理组中至少有两组的总体均数居于不 同水平。这是一个概括性的结论，研究者往往希望进 一步了解具体是哪两组的总体均数居于不同水平，哪 两组的总体均数相等，这就需要进一步作两两比较来 考察各个组别之间的差别。
6.1 方差分析的相关术语
本例的试验涉及两个因素，称为二因素试验，试 验共有2×3=6个水平组合，即6个处理。每个马氏珠 母贝就是一个试验单位，每个地区每个品种养殖1000 个，1000称为重复。
这里因素A的2个水平三亚品系与印度品系是固定的 ，特意选择的，因素B的3个养殖海区也是特意选择的 ，我们在处理时要用固定模型来处理，得到的结论仅 仅适用试验所涉及的2个品系与3个海区。比如马氏珠 母贝在流沙港、徐闻、大亚湾都有养殖，但我们不能 拿流沙港的养殖结果说明徐闻与大亚湾的养殖情况。
6.4 均值间的两两比较
均数间的两两比较根据研究设计的不同分为两种类型 ：一种常见于探索性研究，在研究设计阶段并不明确 哪些组别之间的对比是更为关注的，也不明确哪些组 别间的关系已有定论、无需再探究，经方差分析结果 提示“概括而言各组均数不相同”后，对每一对样本均 数都进行比较，从中寻找有统计学意义的差异；另一 种是在设计阶段根据研究目的或专业知识所决定的某 些均数间的比较，常见于证实性研究中多个处理组与 对照组、施加处理后的不同时间点与处理前比较。最 初的设计方案不同，对应选择的检验方法也不同，下 面分述两种不同设计均数两两比较的方法选择。
生物统计-8第八章单因素方差分析
01
确定因子和水平
确定要分析的因子（独立变量） 和因子水平（因子的不同类别或 条件）。
建立模型
02
03
模型假设
根据因子和水平，建立方差分析 模型。模型通常包括组间差异和 组内误差两部分。
确保满足方差分析的假设条件， 包括独立性、正态性和同方差性。
方差分析的统计检验
01
F检验
进行F检验，以评估组间差异是否 显著。F检验的结果将决定是否拒
生物统计-8第八章单因素方差分析
目录
• 引言 • 方差分析的原理 • 单因素方差分析的步骤 • 单因素方差分析的应用 • 单因素方差分析的局限性 • 单因素方差分析的软件实现
01
引言
目的和背景
目的
单因素方差分析是用来比较一个分类变量与一个连续变量的关系的统计分析方法。通过此分析，我们可以确定分 类变量对连续变量的影响是否显著。
VS
多元性
单因素方差分析适用于单一因素引起的变 异，如果存在多个因素引起的变异，单因 素方差分析可能无法准确反映实际情况。 此时需要考虑使用其他统计方法，如多元 方差分析或协方差分析等。
06
单因素方差分析的软件 实现
使用Excel进行单因素方差分析
打开Excel，输入数据。
点击“确定”，即可得到单因素方差分析 的结果。
输出结果，并进行解释和 解读。
谢谢观看
背景
在生物学、医学、农业等领域，经常需要研究一个分类变量对一个或多个连续变量的影响。例如，研究不同品种 的玉米对产量的影响，或者不同治疗方式对疾病治愈率的影响。
方差分析的定义
定义
方差分析（ANOVA）是一种统计技术，用于比较两个或更多组数据的平均值 是否存在显著差异。在单因素方差分析中，我们只有一个分类变量。
生物统计学-单因素方差分析知识分享
均方差，均方(mean square，MS)
变异程度除与离均差平方和的大小有关外，还与其自由度有关，由于各部 分自由度不相等，因此各部分离均差平方和不能直接比较，须将各部分离 均差平方和除以相应自由度，其比值称为均方差，简称均方。
MS总
SS总 v总
MS组间
S S组间 v组间
MS组内
SS组内 v组内
总变异（Total variation, SS总）：全部测量值Yij与总均数Y
间的差异 组间变异（ between group variation, SS组间）：各组的均
数 Yi 与总均数 Y 间的差异
组内变异（within group variation,SS组内)：每组的每个测量Yij与该组均数 Yi 的差异
生物统计学-单因素方差分析
一. 方差分析基础
单因素方差分析的典型数据
重复次数 Y1
Y2
Y3
…
Yi
… Ya (level)
1
y11
y21
y31
yi1
y.1
2
y12
y22
y32
yi2
y.2
3
y13
y23
y33
yi3
y.3
.
.
j
y1j
y2j
y3j
.
yij
y.j
.
n
y1n
y2n
y3n
yin
y.n
平均数 Y1.
Y2.
Y3.
…
Yi.
…
Y..
因素也称为处理(treatment) 因素（factor），每一处理因素至少有两个水 平(level)（也称“处理组”， a个处理组）,各重复n次。
生物统计第7章 单因素方差分析
2020/6/19
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
2020/6/19
7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
2020/6/19
7.4 多重比较(multiple comparison)
2020/6/19
7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
2020/6/19
7.2.3 均方期望与统计量F
2020/6/19
7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
7.2 固定效应模型
7.2.1 线性统计模型
在固定效应模型中，αi是处理平均数与总体 平均数的离差，是个常量，故：∑αi=0（i=1，
2，…n），要检验a个处理效应的相等性，就 要判断各αi是否都等于0。若各αi都等于0，则
各处理效应之间无差异。因此，零假设为：H0： α1=α2= … =αa =0 备择假设为：HA： αi≠0（至少有一个i）
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7.3.3 不等重复时平方和的计算
• 上述情况，无论是固定效应模型，还是随机效 应模型，各处理的观测次数都是相同的。若不 同处理观测次数不同，以上的方差分析方法仍 然适用，但在计算平方和时，公式要作改动。
• 检验程序及结果分析同上述讨论。
2020/6/19
7.4 多重比较(multiple comparison)
2020/6/19
7.1 方差分析的基本原理
7.1.1 方差分析的一般概念
方 差 分 析 （ analysis of variance ， ANOV）是一类特定情况下的统计假设检验， 平均数差异显著性检验----成组数据 t检验的一 种引伸。t检验可以判断两组数据平均数间的差 异显著性，而方差分析则可以同时判断多组数 据平均数之间的差异显著性。当然，在多组数 据的平均数之间做比较时，可以在平均数的所 有对之间做t检验。但这样做会提高犯Ⅰ型错误 的概率，因而是不可取的。
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7.2.3 均方期望与统计量F
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7.2.4 平方和的简易计算方法
• 实际应用时，总的平 方和与处理平方和一 般按右式计算：
• 式中的被减数C通常被称 为校正项（correction) ：
• 误差平方由右式算出 ： • 用SAS软件更简便
生物统计学-单因素方差分析.
每组具有n个观测值的k组样本数据资料
处理 重 复 A1 A2 … Ai … Ak x11 x21 … xi1 … xk1 x12 x22 … xi2 … xk2 … x1j x2j … xij … xkj … x1n x2n … xin … xkn T1. T2. … Ti. … Tk.
三、数学模型
方差分析的基本原理
组别 重 复
A1
A2 … Ai xi1 xi2 xij Ti.
x i
x11 x21 … x12 x22 … … x1j x2j … T1. T2. …
x1
x 2
…
总和Ti.
T xij
平均 xi
x
x
x
ij
x ( xij xi ) ( xi x )
x xij xi xi x
2
n 2 a n
ij
2
x
a i 1 j 1 a n i 1 j 1
ij x xij xi xi x i 1 j 1 a
2
x
ij
验方法，是将总变异按照来源分为处理效应和试验
误差，并做出其数量估计。
发现各变异原因在总变异中相对重要程度的一
种统计分析方法。
二、方差分析的基本原理
总变异分解为组间变异和组内变异。 组内变异是个体差异所致，是抽样误差。 组间变异可能由两种原因所致， 一是抽样误差； 二是处理不同。 在抽样研究中抽样误差是不可避免的，故 导致组间变异的第一种原因肯定存在；第二种原因 是否存在，需通过假设检验作出推断
方差分析的应用条件和用途
方差分析应用条件： 1、各样本须是相互独立的随机样本 2、各样本来自正态分布总体 3、各总体方差相等，即方差齐 方差分析基本用途： 1、多个样本平均数的比较 2、多个因素间的交互作用 3、回归方程的假设检验 4、方差的同质性检验
生物统计——方差分析的基本原理与步骤
第一节
方差分析的基本原理与步骤
一、线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，n次重 复，完全随机设计，则共有nk个观察值， 其数据结构和符号如表5-1所示。
xij可以表示为
xij i ij
其中， i
ij
为第i个处理观测值总体平均数；
为试验误差、相互独立、且 服从正态分布N（0，σ2）。
SSe SST SSt
（二）总自由度的分解 在计算总平方和时，资料中kn个观测值
的离均差 ( xij x ) 要受
( x
i 1 j 1
k
n
ij
x )0
这一条件的约束，故总自由度等于资料中观
测值的总个数减一， 即kn-1。总自由度记为
dfT，dfT=kn-1。
在计算处理间平方和时，k个处理均数的
统计学上，这种分解是通过将总均方
的分子──称为总离均差平方和，简称为总
平方和，分解为处理间平方和与处理内平
方和两部分；将总均方的分母──称为总自
由度，分解为处理间自由度与处理内自由
度两部分来实现的。
（一）总平方和的分解
在表5-1中，反映全部观测值总变异的总 平方和是各观测值xij与总平均数 x .. 的离均 差平方和，记为SST。即
离均差 ( xi x ) 要受
(x
i 1
k
i
x )0
这一条件的约束，故处理间自由度为处理数 减一，即k-1。处理间自由度记为dft，dft=k-1
在计算处理内平方和时，kn个离均差
( xij xi ) 要受k个条件的约束，即
(x
j 1
n
ij
xi ) 0 （i=1,2,…,k）
方差分析的基本原理与步骤
一、线性模型与基本假定
假设某单因素试验有k个处理，n次重 复，完全随机设计，则共有nk个观察值， 其数据结构和符号如表5-1所示。
xij可以表示为
xij i ij
其中， i
ij
为第i个处理观测值总体平均数；
为试验误差、相互独立、且 服从正态分布N（0，σ2）。
SSe SST SSt
（二）总自由度的分解 在计算总平方和时，资料中kn个观测值
的离均差 ( xij x ) 要受
( x
i 1 j 1
k
n
ij
x )0
这一条件的约束，故总自由度等于资料中观
测值的总个数减一， 即kn-1。总自由度记为
dfT，dfT=kn-1。
在计算处理间平方和时，k个处理均数的
统计学上，这种分解是通过将总均方
的分子──称为总离均差平方和，简称为总
平方和，分解为处理间平方和与处理内平
方和两部分；将总均方的分母──称为总自
由度，分解为处理间自由度与处理内自由
度两部分来实现的。
（一）总平方和的分解
在表5-1中，反映全部观测值总变异的总 平方和是各观测值xij与总平均数 x .. 的离均 差平方和，记为SST。即
离均差 ( xi x ) 要受
(x
i 1
k
i
x )0
这一条件的约束，故处理间自由度为处理数 减一，即k-1。处理间自由度记为dft，dft=k-1
在计算处理内平方和时，kn个离均差
( xij xi ) 要受k个条件的约束，即
(x
j 1
n
ij
xi ) 0 （i=1,2,…,k）
心理统计SPSS-第五章 因素型实验设计及方差分析过程
一、单因素完全随机实验设计方差分析（One way 方差分析）
例1 某研究者为考察喝咖啡的浓度是否影响人们反应的快慢，从某大 学一年级随机抽取了15名男生，再随机分成三组。每一学生都要喝一 杯咖啡，20分钟后测试每一被试的简单反应时间。三组所喝咖啡的浓 度分别为：淡、中、浓，实验数据如下表所示，请问：喝咖啡的浓度 对反应速度有明显影响吗？
如果进行简单效应检验，可执行类似于下的句法命令： MANOVA SCORE by A(1,2) B(1,2) /design（此句要求先输出完整的方差分析表） /design=A within B(1) A within B(2) B within A(1) B within A(2).
（ANOVA命令中不能做简单效应检验）
/Wsfactors=Angle(4) /Print=Cellinfo(means) /Design.
程序运行演示
使用 GLM 中的“ Repeated Measures” 对话框来完成例6和例7的方 差分析过程如下：
Analyze→GLM → Repeated Measures 打开对话框 ↓
在“Within-Subject Factors Name”后输入自变量名 ↓
被试号
淡
1
150
2
160
3
165
4
155
5
160
中
浓
145
145
155
130
170
140
145
150
160
130
这一实验中，得到了三组共15个数据，这些数据存在变异性，而变 异的原因可能包括：所喝咖啡的浓度不同、被试间的差异、测量带入的 随机误差。但是被试差异和测量误差带来的数据变异无法分离，所以本 研究的变异可分解为两部分：自变量水平差异引起的变异、被试差异和 测量误差带入的变异，其中后一部分叫残差。方差分析的过程是：
生物统计第7章 单因素方差分析
3、推断的可靠性低，检验的I型错误率大
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜
用t检验，须采用方差分析法。
2020/6/19
生物试验常用术语
• 试验考察指标(target)：选定用于考察或衡量试验 效果的特性值。如养殖试验常用的日增量、产卵率 等。
• 试验因素(factor)：通常把影响试验考察指标的条 件或要素称为试验因素，可以是单因素，也可以是 多因素。如研究养殖日增重量时，品种、饲料、性 别、投喂方法等等就是其影响因素。
例 为了探讨不同窝的动物出生重是否存在差异， 每窝中均有四只幼仔，结果见表.
这两个例子共同点： 每个实验只有一个 因素，该因素有a 个处理，这样的实 验称为单因素实验。 从单因素实验的每 一处理所得到的结 果都是一随机变量 Xi.
2020/6/19
7.1.1 方差分析的一般概念
对于a个处理，各重复n次的单因素方差分析一般 化表示方法如下表：xij:第i次处理的第j次观测值
• 水平(level)：每一个因素根据其质或量所分的等 级或所为不同的水平。
2020/6/19
生物试验常用术语
• 处理(treatment)：处理是指试验过程中设置的 所有试验因素的所有水平，是试验的具体条件或 状态。在一项试验中，同一个试验条件下的试验 称为一个处理，不同条件下的试验称为不同处理。 单因素试验中的“处理”与“水平”是一致的， 但“处理”的含义要较“水平”更广些。
• 把试验对象应用随机表分配到各试验组称 为完全随机设计
2020/6/19
单因素完全随机设计
• 完全随机设计对试验条件限制少，容易实 现，但试验误差偏大
• 单因素试验必须在各水平上重复多次试验， 假定重复数为n，则总共要进行an个试验， 这样的设计称为单因素等重复试验。
由于上述原因，多个平均数的差异显著性检验不宜
用t检验，须采用方差分析法。
2020/6/19
生物试验常用术语
• 试验考察指标(target)：选定用于考察或衡量试验 效果的特性值。如养殖试验常用的日增量、产卵率 等。
• 试验因素(factor)：通常把影响试验考察指标的条 件或要素称为试验因素，可以是单因素，也可以是 多因素。如研究养殖日增重量时，品种、饲料、性 别、投喂方法等等就是其影响因素。
例 为了探讨不同窝的动物出生重是否存在差异， 每窝中均有四只幼仔，结果见表.
这两个例子共同点： 每个实验只有一个 因素，该因素有a 个处理，这样的实 验称为单因素实验。 从单因素实验的每 一处理所得到的结 果都是一随机变量 Xi.
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7.1.1 方差分析的一般概念
对于a个处理，各重复n次的单因素方差分析一般 化表示方法如下表：xij:第i次处理的第j次观测值
• 水平(level)：每一个因素根据其质或量所分的等 级或所为不同的水平。
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生物试验常用术语
• 处理(treatment)：处理是指试验过程中设置的 所有试验因素的所有水平，是试验的具体条件或 状态。在一项试验中，同一个试验条件下的试验 称为一个处理，不同条件下的试验称为不同处理。 单因素试验中的“处理”与“水平”是一致的， 但“处理”的含义要较“水平”更广些。
• 把试验对象应用随机表分配到各试验组称 为完全随机设计
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单因素完全随机设计
• 完全随机设计对试验条件限制少，容易实 现，但试验误差偏大
• 单因素试验必须在各水平上重复多次试验， 假定重复数为n，则总共要进行an个试验， 这样的设计称为单因素等重复试验。
生物统计——单因素完全随机设计试验资料的方差分析
( LSR法) ( LSD法)
S xi x j
【例5-4】 5个玉米品种的盆栽试验， 调查了穗长(cm)性状，得资料如表5-17 所示。试比较品种穗长间有无差异。
1、计算各项平方和与自由度
x 460.5 C 8482.41 N 25
SST
2
2
x
2
2 ij
C
2
(21.5 19.5
3、多重比较
n 1 n0 [ ni ] k 1 ni
2 i
1 6 6 5 4 4 [25 ] 4.96 5 1 25
2 2 2 2 2
Sx S xi
MSe n0
1.94 0.625 4.96 2 1.94 0.884 4.96
(LSR法) (LSD法)
2 i
SSe SST SSt 85.34 46.50 38.84
dfT N 1 25 1 24 dft k 1 5 1 4 df e dfT dft 24 4 20
2、列出方差分析表，进行F检验。 F检验结果表明品种间穗长差异极显著。
3、多重比较
计算标准误
MSe 6.5333, df e 20, n 6
Sx MSe n 6.5333 1.0435 6
最小显著极差LSR值的计算
LSR0.05 SSR0.05( k ,dfe ) S x LSR0.01 SSR0.01( k ,dfe ) S x
多重比较结果表
SSe SST SSt 197.8333 67.1667 130.6666
dfT kn 1 4 6 1 23 dft k 1 4 1 3 df e dfT dft 23 3 20
2.单因素完全随机设计的方差分析
2
55.54
SSw X i X i
k n
2
nS n S
2
2
n 1S
2 n1
3.25 1.18 5.59 SSw 4 0.68 1.13 1.74
56.8
② 自由度
④ F值
dfb 6 1 5 dfw 64 1 18
j 1 i 1
k
nj
N
k nj
N=
n
j 1 k
k
j
SSB
j 1
k
( X ) 2
i 1
nj
nj
( X ) 2
j 1 i 1
N=
N
nj 2 k
n
j 1
j
SSW SST SSB X
j 1 i 1 j 1
k
( X ) 2
i 1
nj
nj
利用样本统计量进行方差分析（X j
j 1 i 1 j 1
k
nj
k
练习：
某教师为了研究中学生认知策略的发展变化， 分别从本校初一、初三、高二年级随机抽取了 10 名学生参加认知策略水平测试，问年级是否对认 知策略有影响？
测试结果如下：
被试
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 50 30 52 45 40 39 48 45 40
SSb X i X t nX i X t n X i X t
k n 2
k
2
k
2
Xt
n 45.45 5.425 7.45 7.9 8.825 9.375 7.4
55.54
SSw X i X i
k n
2
nS n S
2
2
n 1S
2 n1
3.25 1.18 5.59 SSw 4 0.68 1.13 1.74
56.8
② 自由度
④ F值
dfb 6 1 5 dfw 64 1 18
j 1 i 1
k
nj
N
k nj
N=
n
j 1 k
k
j
SSB
j 1
k
( X ) 2
i 1
nj
nj
( X ) 2
j 1 i 1
N=
N
nj 2 k
n
j 1
j
SSW SST SSB X
j 1 i 1 j 1
k
( X ) 2
i 1
nj
nj
利用样本统计量进行方差分析（X j
j 1 i 1 j 1
k
nj
k
练习：
某教师为了研究中学生认知策略的发展变化， 分别从本校初一、初三、高二年级随机抽取了 10 名学生参加认知策略水平测试，问年级是否对认 知策略有影响？
测试结果如下：
被试
X 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 35 50 30 52 45 40 39 48 45 40
SSb X i X t nX i X t n X i X t
k n 2
k
2
k
2
Xt
n 45.45 5.425 7.45 7.9 8.825 9.375 7.4
统计：完全随机设计资料的方差分析
单因素多个均数比较的方差分析（完全随机设计资料的方差分析）方差分析的基本思想是：将全部观察值的总变异按影响实验结果的诸因素分解为若干部分变异，构造出反映各部分变异作用的统计量，之后构造假设检验统计量F,实现对总体均数的判断。
方差分析的应用条件：各样本相互独立，且均来自总体方差具有齐性的正态分布。
完全随机设计是一种将研究对象随机地分配到处理因素各水平组的单因素设计方法。
其研究目的是推断处理因素不同水平下的试验结果的差异有否统计学意义，即该处理因素是否对试验结果有本质影响。
下面以一个实例来说明完全随机设计方差分析的基本思想和假设检验步骤。
例：为研究烫伤后不同时期切痂对肝脏ATP(u/L)含量的影响，将30只大鼠随机分3组，每组10只，分别接受不同的处理，试根据下表资料说明大鼠烫伤后不同时期切痂对其肝脏的ATP(u/L)含量是否有影响大鼠烫伤后不同时期切痂肝脏ATP含量(u/L)烫伤对照组 24h切痂组 96h切痂组合计合计（∑X）（∑∑X ij）例数（n） 10 10 10 30（N）均数（X）平方和（∑X2） (∑∑X ij2)1.建立检验假设，确定检验水准：H0：u1=u2=u3,3个总体均数全相等,即3组大鼠肝脏的ATP含量值无差别；H 1：u 1,u 2,u 3，3个总体均数不相等.即3组大鼠肝脏的ATP 含量值有差别； a=2.计算检验统计量并列出方差分析表：①.计算离均数差平方和SS ：首先计算每一组的合计、均数、平方和，再计算综合计数 （∑X ij 2），由表得： ∑∑X ij = ∑X ij 2= N=30 总的离均数差平方和SS 总=∑X ij2－ (∑X ij )2 n= － 错误! =SS 组间=∑ (∑X ij )2 n i － (∑X ij )2n = 错误! + 错误! + 错误!－ 错误!=SS 组内=SS 总－ SS 组间 = － =②.计算均方MS ： MS 组间 =SS 组间k-1(k 为组数) = 错误!= MS 组内 =SS 组内N-k(N 为总例数) = 错误!= ③.求F 值F = MS 组间MS 组内= 错误!=将上述计算结果列成方差分析表，如下：变异来源 平方和SS 自由度v 均方MS F 值 总变异 29组间变异 2 组内变异（误差) 27（注：自由度：v 总= N －1 = 30－1= 29；v 组间= k －1 = 3－1 = 2; v 组内=N －k = 30－3= 27）利用SPSS 作方差分析时，会得到类似于以下的方差分析表：DescriptivesCONTest of Homogeneity of VariancesCONANOVACON3.查表确定P 值，并作出统计推断：V 组间= 2， v 组内=27, 得界限值F α（2,27）为（2,27）= , 则F= > （2,27），则P<，按水准，拒绝H，可以认为3个总体均数不全相同，即3组大鼠肝脏的ATP含量值有差别。