2019最新高中数学 第二章 基本初等函数(Ⅰ)2.3 幂函数课时分层作业21 新人教A版必修1

课时分层作业(二十一) 幂函数(建议用时：40分钟)[学业达标练]一、选择题1．已知幂函数f (x )＝k ·x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，则k ＋α等于( )【导学号：37102314】A.12 B ．1 C.32D ．2A [∵幂函数f (x )＝kx α(k ∈R ，α∈R )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫12，2，∴k ＝1，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12α＝2，即α＝－12，∴k ＋α＝12.] 2．如图2­3­3所示，给出4个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是( )图2­3­3A ．①y ＝x 13，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1B ．①y ＝x 3，②y ＝x 2，③y ＝x 12，④y ＝x －1C ．①y ＝x 2，②y ＝x 3，③y ＝x 12，④y ＝x －1D ．①y ＝x 3，②y ＝x 12，③y ＝x 2，④y ＝x －1B [因为y ＝x 3的定义域为R 且为奇函数，故应为图①；y ＝x 2为开口向上的抛物线且顶点为原点，应为图②.同理可得出选项B 正确．]3．幂函数的图象过点(3, 3)，则它的单调递增区间是( )【导学号：37102315】A ．[－1，＋∞)B ．[0，＋∞)C ．(－∞，＋∞)D ．(－∞，0)B [设幂函数为f (x )＝x α，因为幂函数的图象过点(3, 3)，所以f (3)＝3α＝3＝312，解得α＝12，所以f (x )＝x 12，所以幂函数的单调递增区间为[0，＋∞)，故选B.] 4．设a ∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－1，1，12，3，则使函数y ＝x a的定义域是R ，且为奇函数的所有a 的值是( )A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,3A [当a ＝－1时，y ＝x －1的定义域是{x |x ≠0}，且为奇函数；当a ＝1时，函数y ＝x 的定义域是R ，且为奇函数；当a ＝12时，函数y ＝x 12的定义域是{x |x ≥0}，且为非奇非偶函数；当a ＝3时，函数y ＝x 3的定义域是R 且为奇函数．故选A.]5．设a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535，c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525，则a ，b ，c 的大小关系是( ) 【导学号：37102316】A ．a ＜b ＜cB ．b ＜a ＜cC ．c ＜a ＜bD ．b ＜c ＜aB [由于函数y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫25x在它的定义域R 上是减函数，∴a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525>b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2535>0.由于函数y ＝x 25在它的定义域R 上是增函数，且35>25，故有c ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫3525>a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2525，故a ，b ，c 的大小关系是b ＜a ＜c ，故选B.] 二、填空题6．已知幂函数f (x )＝x m的图象经过点⎝⎛⎭⎪⎫3，13，则f (6)＝________.136 [依题意13＝(3)m＝3m 2，所以m2＝－1，m ＝－2， 所以f (x )＝x －2，所以f (6)＝6－2＝136.]7．若幂函数f (x )＝(m 2－m －1)x 2m －3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m ＝________.【导学号：37102317】－1 [∵f (x )＝(m 2－m －1)x2m －3为幂函数，∴m 2－m －1＝1，∴m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f (x )＝x ，在(0，＋∞)上为增函数，不合题意，舍去；当m ＝－1时，f (x )＝x －5，符合题意．综上可知，m ＝－1.]8．若幂函数f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，116，则f (x )的值域为________． (0，＋∞) [由题意设f (x )＝x m ，由点⎝ ⎛⎭⎪⎫4，116在函数图象上得4m＝116，解得m ＝－2，所以f (x )＝x －2＝1x2，故其值域为(0，＋∞)．] 三、解答题9．已知函数f (x )＝(m 2＋2m )·x m 2＋m －1，m 为何值时，函数f (x )是：(1)正比例函数；(2)反比例函数；(3)幂函数.【导学号：37102318】[解] (1)若函数f (x )为正比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝1.(2)若函数f (x )为反比例函数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋m －1＝－1，m 2＋2m ≠0，∴m ＝－1.(3)若函数f (x )为幂函数，则m 2＋2m ＝1，∴m ＝－1± 2.10．已知幂函数y ＝f (x )经过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，18.(1)试求函数解析式；(2)判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间．[解] (1)由题意，得f (2)＝2a ＝18，即a ＝－3，故函数解析式为f (x )＝x －3.(2)∵f (x )＝x －3＝1x3，∴要使函数有意义，则x ≠0，即定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵f (－x )＝(－x )－3＝－x －3＝－f (x )， ∴该幂函数为奇函数．当x ＞0时，根据幂函数的性质可知f (x )＝x －3，在(0，＋∞)上为减函数，∵函数f (x )是奇函数，∴在(－∞，0)上也为减函数，故其单调减区间为(－∞，0)，(0，＋∞)．[冲A 挑战练]1．三个数60.7,0.76，log 0.76的大小顺序是( )【导学号：37102319】A ．0.76＜60.7＜log 0.76 B ．0.76＜log 0.76＜60.7C ．log 0.76＜60.7＜0.76D ．log 0.76＜0.76＜60.7D [由指数函数和对数函数的图象可知：60.7＞1,0＜0.76＜1，log 0.76＜0，∴log 0.76＜0.76＜60.7，故选D.]2．给出幂函数：①f (x )＝x ；②f (x )＝x 2；③f (x )＝x 3； ④f (x )＝x ；⑤f (x )＝1x.其中满足条件f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>fx 1＋f x 22(x 1>x 2>0)的函数的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个A [①函数f (x )＝x 的图象是一条直线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22＝f x 1＋f x 22；②函数f (x )＝x 2的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22； ③在第一象限，函数f (x )＝x 3的图象是凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22；④函数f (x )＝x 的图象是凸形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22；⑤在第一象限，函数f (x )＝1x的图象是一条凹形曲线，故当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22<f x 1＋f x 22.故仅有函数f (x )＝x 满足， 当x 1>x 2>0时，f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1＋x 22>f x 1＋f x 22.故选A.] 3．已知函数f (x )＝x 1－α3在(－∞，0)上是增函数，在(0，＋∞)上是减函数，那么最小的正整数α＝________.【导学号：37102320】3 [取值验证．α＝1时，y ＝x 0，不满足；α＝2时，y ＝x －13，在(0，＋∞)上是减函数．∵它为奇函数，则在(－∞，0)上也是减函数，不满足；α＝3时，y ＝x －23满足题意．]4．已知幂函数f (x )＝x 12，若f (10－2a )<f (a ＋1)，则a 的取值范围是________．3<a ≤5 [因为f (x )＝x 12＝x (x ≥0)， 易知f (x )在(0，＋∞)上为增函数， 又f (10－2a )<f (a ＋1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＋1≥0，10－2a ≥0，a ＋1>10－2a ，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ≥－1，a ≤5，a >3，所以3<a ≤5.]5．已知幂函数f (x )＝x α的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，函数g (x )＝(x －2)f (x )⎝ ⎛⎭⎪⎫12≤x ≤1，求函数g (x )的最大值与最小值.【导学号：37102321】[解] 因为f (x )的图象过点⎝ ⎛⎭⎪⎫2，12，所以12＝2α，所以α＝－1，所以f (x )＝x －1， 所以g (x )＝(x －2)·x －1＝x －2x ＝1－2x. 又g (x )＝1－2x 在⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1上是增函数，所以g (x )min ＝g ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－3， g (x )max ＝g (1)＝－1.。