新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《数列》同步综合练习题及答案解析
北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试题(答案解析)
一、选择题1．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51012．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和.若2342S S S =+，12a =，则2a =（ ） A ．2B ．-4C ．2或-4D ．43．某食品加工厂2019年获利20万元，经调整食品结构，开发新产品．计划从2020年开始每年比上一年获利增加20%，则从（ ）年开始这家加工厂年获利超过60万元．（已知lg 20.3010=，lg30.4771=） A ．2024年B ．2025年C ．2026年D ．2027年4．在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，已知222,,a b c 成等差数列，则cos B 的最小值为（ ）A ．12B ．22C ．34D ．325．《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家丘建所著，约成书于公元466485~年间，其记臷着这么一道题：某女子善于织布，一天比一天织得快，而且每天增加的数量相同. 已知第一天织布5尺，30天其织布390尺，则该女子织布每天增加的尺数（不作近似计算）为（ ） A ．1629B ．1627C ．1113D ．13296．已知等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d ，其前n 项和为n S ，若直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称，则数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为（ ） A ．1011B ．910C ．89D ．27．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）．A ．12B ．11C ．10D ．98．已知函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，若函数2xy x =-与()y f x =图象的交点为()()()1122,,,,,,n n x y x y x y ⋯，则()1niii x y =+=∑（ ）A ．0B ．nC ．2nD ．3n9．已知椭圆2222x y a b +=1(a>b>0)与双曲线2222x y m n-=1(m>0,n>0)有相同的焦点(-c ,0)和(c ,0),若c 是a ,m 的等比中项,n 2是2m 2与c 2的等差中项,则椭圆的离心率是 ( ) ABC ．14D ．1210．已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，且675S S S >>，下列说法错误的是（ ） A ．0d <B ．110S >C ．120S <D ．67a a >11．若{}n a 是等比数列，其公比是q ，且546,,a a a -成等差数列，则q 等于( ) A ．－1或2B ．1或－2C ．1或2D ．－1或－212．设{}n a 为等比数列，给出四个数列：①{}2n a ，②{}2n a ，③{}2na ，④{}2log ||n a .其中一定为等比数列的是（ ） A ．①③B ．②④C ．②③D ．①②二、填空题13．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，22a =，0n a ≠，()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，其中2n ≥，且*n ∈N ．设21n n b a -=，数列{}n b 的前n 项和为n T ，则100T =______．14．设数列{}n a 中12a =，若等比数列{}n b 满足1n n n a a b +=，且10101b =，则2020a =__. 15．已知等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2，则数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是_______.16．设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且112a =，110n n n a S S +++=，则2020S =______． 17．在数列{}n a 中，11a =()*1n =∈N；等比数列{}nb 的前n 项和为2n n S m =-．当n *∈N 时，使得n n b a λ≥恒成立的实数λ的最小值是_________．18．若数列}{n a2*3()n n n N =+∈，则n a =_______．19．已知下列结论：①若数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，则数列{}n a 一定为等差数列.②若数列{}n a 的前n 项和21nn S =-，则数列{}n a 一定为等比数列.③非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等差数列，则111,,a b c可能构成等差数列. ④非零实数,,a b c 不全相等，若,,a b c 成等比数列，则111,,a b c一定构成等比数列. 则其中正确的结论是_______.20．我们知道，斐波那契数列是数学史上一个著名数列，在斐波那契数列{}n a 中，()*12211,1,n n n a a a a a n ++===+∈N ．用n S 表示它的前n 项和，若已知2020S m =，那么2022a =_______．三、解答题21．已知各项为正数的等比数列{}n a ，前n 项和为n S ，若2125,2,log a log a 成等差数列，37S =，数列{}n b 满足，11b =，数列11n n n b b a ++⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的前n 项和为232n n+ （1）求{}n a 的公比q 的值；（2）求{}n b 的通项公式.22．已知{}n a 是公差不为0的等差数列，若1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项． （1）求数列{}n b 的公比； （2）若11a =，数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 和为n S 且99200nS >，求n 的最小值． 23．在公差为d 的等差数列{}n a 中，已知110a =，且1a ，222a +，35a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若0d <，93n n na b -=，求数列{}n b 的前n 项和n S ． 24．已知数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥满足：①11a =；②()121,2,,1k ka k n a +==-.记()12n n S A a a a =+++.（1）直接写出()3S A 的所有可能值； （2）证明：()0n S A >的充要条件是0n a >； （3）若()0n S A >，求()n S A 的所有可能值的和.25．已知{}n a 是由正整数组成的无穷数列，该数列前n 项的最大值记为n A ，最小值记为n B ，令nn nA bB =． （1）若2(1,2,3,)n a n n ==，写出1b ，2b ，3b 的值．（2）证明：1(1,2,3,)n n b b n +≥=．（3）若{}n b 是等比数列，证明：存在正整数0n ，当0n n 时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．26．已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，59a =，13169S =. （1）求数列{}n a 的通项公式； （2）设3nn na b =，求数列{}n b 的前n 项和n T .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.2．B解析：B 【分析】利用等比数列的前n 项和公式求出公比，由此能求出结果． 【详解】∵n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，2342S S S =+，12a =，∴()()()34212122211q q q qq--+=+--，解得2q =-，∴214a a q ==-，故选B ． 【点睛】本题主要考查等比数列的性质以及其的前n 项和等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．C解析：C 【分析】本题根据题意各年获利构成一个等比数列，然后得到通项公式，根据题意可得出关于n 的不等式，解出n 的值，注意其中对数式的计算． 【详解】由题意，设从2019年开始，第n 年的获利为()n a n *∈N 万元，则数列{}n a 为等比数列，其中2019年的获利为首项，即120a =.2020年的获利为()2620120%205a =⋅+=⋅万元，2021年的获利为()223620120%205a ⎛⎫=⋅+=⋅ ⎪⎝⎭万元，∴数列{}n a 的通项公式为()16205n n n N a *-⎛⎫⋅⎪⎝⎭∈= ，由题意可得1620605n n a -⎛⎫=⋅> ⎪⎝⎭，即1635n -⎛⎫> ⎪⎝⎭，()65lg3lg3lg3lg30.47711log 3610lg6lg52lg 2lg3120.30100.47711lg lg 23lg 52n ∴->=====-+-⨯+-⨯-6.03166=>，8n ∴≥，∴从2026年开始这家加工厂年获利超过60万元．故选：C ． 【点评】本题主要考查等比数列在实际生活中的应用，考查了等比数列的通项公式，不等式的计算，对数运算．属于中档题．4．A解析：A 【解析】分析：用余弦定理推论得222cos 2a c b B ac +-=．由222,,a b c 成等差数列，可得2222a c b += ，所以22222cos 24a c b a c B ac ac+-+==，利用重要不等式可得2221cos 442a c ac B ac ac +=≥=．详解：因为222,,a b c 成等差数列，所以2222a cb += ． 由余弦定理推论得2222221cos 2442a cb ac ac B ac ac ac +-+==≥=当且仅当a c =时，上式取等号． 故选A ．点睛：本题考查等差中项、余弦定理的推论、重要不等式等知识，考查学生的运算能力及转化能力．利用重要不等式、基本不等式求最值时，一定要判断能否取相等，不能相等时，应转化为函数求最值．5．A解析：A 【解析】由题设可知这是一个等差数列问题，且已知13030,390a S ==，求公差d ．由等差数列的知识可得30293053902d ⨯⨯+=，解之得1629d =，应选答案A ． 6．A解析：A 【分析】由题意可知，直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，且直线0x y d +-=过圆心，可求得1a 和d 的值，然后利用等差数列的求和公式求得n S ，利用裂项法可求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和. 【详解】 由于直线112y a x m =+与圆()2221x y -+=的两个交点关于直线0x y d +-=对称， 则直线112y a x m =+与直线0x y d +-=垂直，直线0x y d +-=的斜率为1-，则1112a =，可得12a =，且直线0x y d +-=过圆()2221x y -+=的圆心()2,0，则20d -=，可得2d =，()()112212n a a n d n n ∴=+-=+-=，则()()()122122n n n a a n n S n n ++===+，()111111n S n n n n ∴==-++， 因此，数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前10项和为1111111110112233410111111⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-+-++-=-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.故选：A. 【点睛】本题考查裂项求和，同时也考查了直线与圆的综合问题，以及等差数列求和公式的应用，考查计算能力，属于中等题.7．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.8．D解析：D 【分析】由题意可得()()f x x R ∈的图像关于点()2,1对称，函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称，然后利用对称性以及倒序相加法即可得出答案. 【详解】函数()()f x x R ∈满足()()42f x f x -++=，∴()f x 的图像关于点()2,1对称，而函数2xy x =-的图像也关于()2,1对称， 设123n x x x x >>>>121224n n x x x x -∴+=+==⨯= 121212n n y y y y -+=+==⨯=令121nin i xx x x ==++∑，则111ni n n i x x x x -==++∑，()()()1211124n i n n n i x x x x x x x n -==++++∴+=∑，12ni i x n =∴=∑令121nin i y y yy ==++∑，则111ni n n i y y y y -==++∑，()()()1211122n i n n n i y y y n y y y y -=∴=+++++=∑，1ni i n y =∴=∑()13ni i i x y n =+=∴∑，故选：D 【点睛】本题考查了函数的对称性应用，考查了倒序相加法求和，解题的关键是找出中心对称点，属于中档题.9．D解析：D 【解析】由题意可知2n 2=2m 2+c 2． 又m 2+n 2=c 2， ∴m=2c ． ∵c 是a ，m 的等比中项， ∴2c am =，∴22ac c =， ∴12c e a ==．选D ． 10．C解析：C 【分析】根据{}n a 是等差数列，且675S S S >>，变形为7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>判断即可.【详解】数列{}n a 是等差数列675S S S >>，7666555567,,a a S S S S S a S a ++>++>>， 76670,0,0a a a a <>+>，所以0d <，()111116111102a a S a +==>， ()()11267121212022a S a a a ++==>，67a a >，故选：C 【点睛】本题主要考查等差数列的通项与前n 项和的关系及应用，还考查了转化求解问题的能力，属于中档题.11．A解析：A 【解析】分析：由546,,a a a -成等差数列可得5642a a a -+=，化简可得()()120q q +-=，解方程求得q 的值. 详解：546,,a a a -成等差数列，所以5642a a a -+=，24442a q a q a ∴-+=，220q q ∴--=，()()120q q ∴+-=，1q ∴=-或2，故选A.点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题. 等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,,,,,n n a q n a S ，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.12．D解析：D 【分析】 设11n n a a q -=，再利用等比数列的定义和性质逐一分析判断每一个选项得解.【详解】 设11n n a a q-=，①,112=2n n a a q-,所以数列{}2n a 是等比数列；②，222222111=()n n n a a qa q --=，所以数列{}2n a 是等比数列；③，11112111211222=2,222n nn n n n n n a a q a a q a q a q a a q-------==不是一个常数，所以数列{}2n a 不是等比数列； ④，122122121log ||log |q |log ||log |q |n n n n a a a a ---=不是一个常数，所以数列{}2log ||n a 不是等比数列.故选D 【点睛】本题主要考查等比数列的判定，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.二、填空题13．【分析】根据已知条件推导出数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为然后利用等差数列的求和公式可求得的值【详解】当且时由可得即可得①所以②②①得所以则则所以数列从第三项开始奇数项成等差数列且公差为故答 解析：9901【分析】根据已知条件推导出数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，然后利用等差数列的求和公式可求得100T 的值. 【详解】当2n ≥且*n ∈N 时，0n a ≠， 由()111122n n n n n a n S a S nS +++--=-，可得()()11112n n n n n a S S n S S ++-+-=-，即()1112n n n n a a a na ++++=， 可得12n n a a n ++=，①，所以，()2121n n a a n +++=+，②， ②-①得22n n a a +-=，所以，32224a a +=⨯=，则32a =，则3112a a -=≠， 所以，数列{}n a 从第三项开始，奇数项成等差数列，且公差为2，21n n b a -=，10099982199299012T ⨯⨯=+⨯+=. 故答案为：9901. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）对于等差等比数列，利用公式法直接求和；（2）对于{}n n a b 型数列，其中{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，利用错位相减法求和；（3）对于{}n n a b +型数列，利用分组求和法；（4）对于11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭型数列，其中{}n a 是公差为()0d d ≠的等差数列，利用裂项相消法求和.14．【分析】由变形可得进而由累乘法可得结合等比数列的性质即可得解【详解】根据题意数列满足即则有而数列为等比数列则则又由则故答案为：2【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用考查了累乘法求数列通项的应用及解析：【分析】 由1n n n a a b +=变形可得1n n n a b a +=，进而由累乘法可得202020192018201711ab b b b a =⋅⋅⋅⋅⋅，结合等比数列的性质即可得解. 【详解】根据题意，数列{}n b 满足1n n n a a b +=，即1n n na b a +=， 则有20202020201920182201920182017112019201820171a a a a ab b b b a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅⋅⋅⋅⋅=⋅⋅⋅⋅⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 而数列{}n b 为等比数列，则()2019201920182017110101b b b b b ⋅⋅⋅⋅⋅==，则202011a a =， 又由12a =，则20202a =. 故答案为：2. 【点睛】本题考查了等比数列的性质以及应用，考查了累乘法求数列通项的应用及运算求解能力，属于中档题.15．【分析】本题先求等差数列前n 项和再由此求出数列的前n 项和的最小值【详解】解：∵等差数列的首项是公差是2∴∴时数列的前n 项和的最小值是故答案为：【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法考查等差数解析：100-. 【分析】本题先求等差数列前n 项和()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，再由此求出数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值. 【详解】解：∵等差数列{}n a 的首项是19-，公差是2， ∴()()22119220101002n n n S n n n n -=-+⨯=-=--，∴10n =时，数列{}n a 的前n 项和n S 的最小值是100-. 故答案为：100-. 【点睛】本题考查等差数列前n 项和的最小值的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题.16．【分析】代入再证明为等差数列继而求得的通项公式再计算即可【详解】因为所以两边同除以得：所以数列是以为首项1为公差的等差数列所以所以所以故答案为：【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法属 解析：12021【分析】代入11n n n a S S ++=-,再证明1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭为等差数列,继而求得1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的通项公式再计算2020S 即可.【详解】因为110n n n a S S +++=,所以,11n n n n S S S S ++-=-, 两边同除以1n n S S +-得：1111n nS S +-=， 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2为首项,1为公差的等差数列, 所以()1211n n n S =+-=+，所以11n S n =+， 所以202012021S = 故答案为：12021【点睛】本题主要考查了根据递推公式证明等差数列的方法,属于中档题.17．【分析】分别求出的通项再构建新数列求出最大项后可得实数的最小值【详解】因为故是以1为首项以1为公差的等差数列所以当时是等比数列也适合故即又恒成立等价于恒成立令则当时当时故【点睛】方法点睛：含参数的数解析：94【分析】分别求出{}n a 、{}n b 的通项，再构建新数列212n n n c -=，求出{}n c 最大项后可得实数λ的最小值. 【详解】()*1n=∈N，故是以1为首项，以1为公差的等差数列，()11n n=-⨯=，2*()na n n N∴=∈．当2n≥时，111(2)(2)2n n nn n nb S S m m---=-=---=，{}nb是等比数列，112b S m∴==-也适合12nnb-=，故21m-=即1m=，1*2()nnb n N-∴=∈．又n nb aλ≥恒成立等价于212nnλ-≥恒成立，2max max1()()2nnna nbλ-∴≥=，令212n nnc-=，则()2221121142222n n n n nnn n nc c--------=-=，当23n≤≤时，1-->n nc c，当4n≥时，1n nc c--<，故max39()4nc c==，94λ∴≥．【点睛】方法点睛：含参数的数列不等式的恒成立，可利用参变分离将参数的取值范围问题转化新数列的最值问题，后者可利用数列的单调性来处理.18．【分析】有已知条件可得出时与题中的递推关系式相减即可得出且当时也成立【详解】数列是正项数列且所以即时两式相减得所以（）当时适合上式所以【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式属于一般题解析：()241n+【分析】有已知条件可得出116a=，2n≥时()()2*131()n n n N⋅⋅⋅=-+-∈，与题中的递推关系式相减即可得出()241na n=+，且当1n=时也成立．【详解】数列}{na2*3()n n n N=+∈4=，即116a=2n≥()()2*131()n n n N⋅⋅⋅+=-+-∈22n=+，所以()241na n=+（2n≥）当1n=时，116a=适合上式，所以()241na n=+【点睛】本题考差有递推关系式求数列的通项公式，属于一般题．19．②④【分析】①先求出再当时求出判断当时有判断①错误；②先求出再当时求出判断数列是以1为首项以2为公比的等比数列判断②正确；③先建立方程组再整理得与非零实数不全相等矛盾判断③错误；④先得方程整理得判断解析：②④ 【分析】①先求出12a =，再当2n ≥时求出21n a n =-，判断当1n =时有11n a a =≠，判断①错误；②先求出11a =，再当2n ≥时求出12n na ，判断数列{}n a 是以1为首项以2为公比的等比数列，判断②正确；③先建立方程组2112a c b a c ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，再整理得a b c ==与非零实数,,a b c 不全相等矛盾，判断③错误；④先得方程2b ac =，整理得2111()b a c=⨯，判断④正确. 【详解】①：数列{}n a 的前n 项和21n S n =+，当1n =时，211112a S ==+=，当2n ≥时，221(1)(1)121n n n a S S n n n -⎡⎤=-=+--+=-⎣⎦，当1n =时，11n a a =≠， 故①错误；②：数列{}n a 的前n 项和21n n S =-，当1n =时，111211a S ==-=， 当2n ≥时，111(21)(21)2nn n n n n a S S ---=-=---=，当1n =时，11n a a ==，且12nn a a -= 所以数列{}n a 是以1为首项，以2为公比的等比数列， 故②正确；③：若111,,a b c是等差数列，则211a c b a c ac+=+=， 因为,,a b c 成等差数列，则2a c b +=，则2112a cb ac ac a c b +⎧=+=⎪⎨⎪+=⎩，整理得a b c ==，与非零实数,,a b c 不全相等矛盾， 故③错误；④：因为非零实数,,a b c 不全相等，且,,a b c 成等比数列，所以2b ac =，则21111b ac a c==⨯， 则111,,a b c一定构成等比数列. 故④正确. 故答案为：②④. 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的判断，是基础题.20．【分析】由已知利用累加法即可得到答案【详解】由已知各式相加得即又所以故答案为：【点睛】本题考查了累加求和方法斐波那契数列的性质考查了推理能力与计算能力属于中档题 解析：1m +【分析】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，利用累加法即可得到答案. 【详解】由已知，123a a a +=，234,a a a +=202020212022a a a +=，各式相加得1234202020222a a a a a a +++++=，即220202022a S a +=，又21a =，2020S m =，所以20221a m =+. 故答案为：1m + 【点睛】本题考查了“累加求和”方法、“斐波那契数列”的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三、解答题21．（1）2q ；（2）()121n n b n =-⋅+.【分析】（1）对正项的等比数列{}n a ，利用基本量代换，列方程组，解出公比q ； （2）设11n nn n b b d a ++-=，由题意分析、计算得 1n d n =+，从而得到()112n n n b b n +-=+⋅，用累加法和错位相减法求出 n b .【详解】（1）∵2125log ,2,log a a 成等差数列，∴ ()225215log log log 4a a a a +==，即132516a a a ==，又0,n a >34a ∴=，又37,S =21211147a q a a q a q ⎧=∴⎨++=⎩ 解得2q 或23q =-(舍).()2记11n n n n b b d a ++-=，当2n ≥时，()()221313122n n n n n d n -+-+=-=+又12d =也符合上式，1n d n ∴=+.而31322n n n a a --=⋅=，()112n n n b b n +∴-=+⋅，()()()21121321122322,)2(n n n n b b b b b b b b n n --∴=+-+-+⋯+-=+⋅+⋅+⋯+⋅≥， ()231222232122n n n b n n -∴=+⋅+⋅+⋅⋅⋅+-⋅+⋅两式相减得()2112222121n n n n b n n --=+++⋯+-⋅=-⋅-，()2)2(11,n n b n n ∴=-⋅+≥.而11b =也符合上式， 故()121nn b n =-⋅+.【点睛】(1) 等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换； (2)数列求和常用方法：①公式法；②倒序相加法；③裂项相消法；④错位相减法． 22．（1）5；（2）50. 【分析】（1）利用基本量代换，求出12d a =，直接求出公比； （2）裂项相消法求出n S ，解不等式即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由1313,,a a a 是等比数列{}n b 的连续三项，得23113a a a =⋅，即()()2111212a d a a d +=⋅+，化简得2148d a d =．10,2d d a ≠∴=．设数列{}n b 的公比的公比为q ，则3111111245a a d a a q a a a ++====． （2）若11a =，则1111112,21,(21)(21)22121n n n d a n a a n n n n +⎛⎫==-==- ⎪-+-+⎝⎭，111112133557(21)(21)n S n n ⎫⎛=++++⎪ ⨯⨯⨯-⨯+⎝⎭111111111111233557212122121nn n n n ⎛⎫⎛⎫=-+-+-++-=-= ⎪ ⎪-+++⎝⎭⎝⎭． 由99200n S >，得9999,212002n n n >∴>+，故n 的最小值为50．【点睛】(1)等差（比）数列问题解决的基本方法：基本量代换；(2)数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．23．（1） 11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈；（2）51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【分析】（1）由123,22,5a a a +成等比数列求得公差后可得通项公式n a ； （2）对23n b b b +++用错位相减法求和．【详解】解：（1）∵123,22,5a a a +成等比数列，∴()2231225a a a +=⋅，整理得2340d d --=，解得1d =-或4d =，当1d =-时，10(1)11n a n n =--=-+； 当4d =时，104(1)46n a n n =+-=+．所以11n a n =-+或46,n a n n N *=+∈．（2）设数列{}n a 前n 项和为n S ， ∵0d <，∴1d =-，11n a n =-+23n nnb -=当1n =时，13n S =， 当2n ≥时，2341012233333n n n S -=++++⋅⋅⋅+ 令34122333n n T -=+++，则45111223333n n T +-=+++ 两式相减可得32345111112111122331333333313n n n n n n T -++⎛⎫- ⎪--⎝⎭=+++⋯+-=--整理可得11112423nn T ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭， 则511,212423n n n S n ⎛⎫=+-⨯≥ ⎪⎝⎭ 且113S =满足上式， 综上所述：51112423n n n S ⎛⎫=+-⨯ ⎪⎝⎭，n *∈N ． 【点睛】本题考查求等差数列的通项公式，分组（并项）求和法，错位相减法．数列求和的常用方法：（1）公式法；（2）错位相减法；（3）裂项相消法；（4）分组（并项）求和法；（5）倒序相加法．24．（1）所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7；（2）证明见解析；（3）222n -.【分析】（1）根据递推关系式以及求和式子即可得出结果.（2）充分性：求出数列的通项公式，再利用等比数列的前n 和公式可证；必要性：利用反证法即可证明.（3）列出n A 中的项，得出数列的规律：每一个数列前1n -项与之对应项是相反数的数列，即可求解. 【详解】解：（1）()3S A 的所有可能值是7-，5-，3-，1-，1，3，5，7. （2）充分性：若0n a >，即12n n a .所以满足12n na ，且前n 项和最小的数列是1-，2-，4-，…，22n --，12n -.所以()211212422n n n a a a --++⋅⋅⋅+≥-+++⋅⋅⋅++211222112n n ---⋅=-+=-.所以()0n S A >.必要性：若()0n S A >，即120n a a a ++⋅⋅⋅+>.假设0n a <，即12n n a -=-.所以()()21121242210n n n n S A a a a --=++⋅⋅⋅+≤+++⋅⋅⋅+-=-<， 与已知()0n S A >矛盾. 所以()0n S A >.综上所述，()0n S A >的充要条件是0n a >.（3）由（2）知，()0n S A >可得0n a >.所以12n na .因为数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥中1a 有1-，1两种，2a 有2-，2两种，3a 有4-，4两种，…，1n a -有22n --，22n -两种，n a 有12n -一种，所以数列n A ：1a ，2a ，…，()2n a n ≥有12n -个，且在这12n -个数列中，每一个数列都可以找到前1n -项与之对应项是相反数的数列. 所以这样的两数列的前n 项和是122n -⨯. 所以这12n -个数列的前n 项和是1122122222n n n ---⨯⨯⨯=. 所以()n S A 的所有可能值的和是222n -. 【点睛】关键点点睛：本题考查了等比数列的通项公式、求和公式，解题的关键是根据递推关系式得出数列n A 的通项公式，注意讨论，此题也考查了数列不等式、反证法在数列中的应用. 25．（1）11b =，22b =，33b =；（2）证明见解析；（3）证明见解析 【分析】（1）由{}n a 是单调递增数列可得1nn a b a =即可求出； （2）设1n a k +=，讨论n k B ≤，n n B k A <<和n k A ≥可证明；（3）设{}n b 的公比为q ，且1q ≥，显然1q =时满足；1q >时，由{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，且{}n B 不能无限减少可得.【详解】 （1）2n a n =，可得{}n a 是单调递增数列，1,n n n a B A a ∴==，1111a b a ∴==，2212ab a ==，3313a b a ==， （2）设1n a k +=，nn nA bB =， 若n k B ≤，则+1nn n n nk A A b b B =≥=， 若n n B k A <<，则+1nn nn A b b B ==， 若n k A ≥，则+1n n n nn A kb b B B =≥=， 综上，1(1,2,3,)n n b b n +≥=；（3）设等比数列{}n b 的公比为q ，1111a b a ==，则1n n nn A b q B -==， 由（2）可得1n n b b +≥，则1q ≥， 当1q =时，1nnA B =，即n n A B =，此时{}n a 为常数列，则存在01n =，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；当1q >时，{}n A 是递增数列，{}n B 是递减数列，{}n a 是由正整数组成的无穷数列，则数列{}n a 必存在最小值，即存在正整数0n ，0n a 是数列{}n a 的最小值，则当0n n ≥时，0n n B a =，此时01n n nn n n A a b q B a -===，即01n n n a a q -=，故当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列；综上，存在正整数0n ，当0n n ≥时，n a ，1n a +，2n a +是等比数列．【点睛】本题考查数列单调性的有关判断，解题的关键是正确理解数列的变化情况，清楚{}n b 的变化特点.26．（1）21n a n =-；（2）113n nn T +=-. 【分析】（1）根据59a =，13169S =，利用等差数列的通项公式以及前n 项和公式求解. （2）由（1）得到2133n n n n a n b -==，利用数列求和的错位相减法求解. 【详解】 （1）因为()11313713131692a a S a +===，所以77513,24a d a a ==-=， 解得2d =，所以9(5)221n a n n =+-⋅=-. （2）由（1）得213n nn b -=， 则()231111135213333n nT n =⋅+⋅+⋅++-⋅， ()()23411111111352321333333n n n T n n +=⋅+⋅+⋅++-⋅+-， 两式相减得：()231211111221333333n nn T n +⎛⎫=++++-- ⎪⎝⎭，1111112193213313n n n -+⎛⎫- ⎪-⎝⎭=+--， 122233n n ++=-， 所以113n n n T +=-. 【点睛】方法点睛：求数列的前n 项和的方法(1)公式法：①等差数列的前n 项和公式，()()11122n n n a a n n S na d +-==+②等比数列的前n 项和公式()11,11,11n n na q S a q q q =⎧⎪=-⎨≠⎪-⎩； (2)分组转化法：把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解．(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项．(4)倒序相加法：把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广．(5)错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列对应项之积构成的，则这个数列的前n 项和用错位相减法求解.(6)并项求和法：一个数列的前n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如a n ＝(－1)n f (n )类型，可采用两项合并求解．。
高中数学(人教版)必修五第二章数列综合测试卷
高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷本试卷满分150分，其中选择题共75分，填空题共25分，解答题共50分。
试卷难度：0.63一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．82．（5分）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏3．（5分）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．1104．（5分）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题5．（5分）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是由关系式a n+1（）A．B．C．D．6．（5分）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．7．（5分）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定8．（5分）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．9．（5分）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列10．（5分）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺11．（5分）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．5412．（5分）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱13．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣14．（5分）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．915．（5分）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=．17．（5分）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．18．（5分）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n }，则此数列的项数为．19．（5分）已知无穷数列{a n }，a 1=1，a 2=2，对任意n ∈N *，有a n +2=a n ，数列{b n }满足b n +1﹣b n =a n （n ∈N *），若数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则满足要求的b 1的值为．20．（5分）设数列{a n }的通项公式为a n =n 2+bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．22．（10分）设{a n }和{b n }是两个等差数列，记c n =max {b 1﹣a 1n ，b 2﹣a 2n ，…，b n ﹣a n n }（n=1，2，3，…），其中max {x 1，x 2，…，x s }表示x 1，x 2，…，x s 这s 个数中最大的数．（1）若a n =n ，b n =2n ﹣1，求c 1，c 2，c 3的值，并证明{c n }是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n ≥m 时，＞M ；或者存在正整数m ，使得c m ，c m +1，c m +2，…是等差数列．23．（10分）已知等差数列{a n }和等比数列{b n }满足a 1=b 1=1，a 2+a 4=10，b 2b 4=a 5． （Ⅰ）求{a n }的通项公式；（Ⅱ）求和：b 1+b 3+b 5+…+b 2n ﹣1．24．（10分）记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．已知S 2=2，S 3=﹣6．（1）求{a n }的通项公式；（2）求S n ，并判断S n +1，S n ，S n +2是否成等差数列．25．（10分）已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3﹣x 2=2． （Ⅰ）求数列{x n }的通项公式；（Ⅱ）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1（x 1，1），P 2（x 2，2）…P n +1（x n +1，n +1）得到折线P 1 P 2…P n +1，求由该折线与直线y=0，x=x 1，x=x n +1所围成的区域的面积T n．高中数学（人教版）必修五第二章数列综合测试卷参考答案与试题解析一．选择题（共15小题，满分75分，每小题5分）1．（5分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4+a5=24，S6=48，则{a n}的公差为（）A．1B．2C．4D．8【考点】85：等差数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用等差数列通项公式及前n项和公式列出方程组，求出首项和公差，由此能求出{a n}的公差．【解答】解：∵S n为等差数列{a n}的前n项和，a4+a5=24，S6=48，∴，解得a1=﹣2，d=4，∴{a n}的公差为4．故选：C．【点评】本题考查等差数列的面公式的求法及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．2．（5分）（2017•新课标Ⅱ）我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯（）A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏【考点】89：等比数列的前n项和；88：等比数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设这个塔顶层有a盏灯，由题意和等比数列的定义可得：从塔顶层依次向下每层灯数是等比数列，结合条件和等比数列的前n项公式列出方程，求出a 的值．【解答】解：设这个塔顶层有a盏灯，∵宝塔一共有七层，每层悬挂的红灯数是上一层的2倍，∴从塔顶层依次向下每层灯数是以2为公比、a为首项的等比数列，又总共有灯381盏，∴381==127a，解得a=3，则这个塔顶层有3盏灯，故选B．【点评】本题考查了等比数列的定义，以及等比数列的前n项和公式的实际应用，属于基础题．3．（5分）（2017•新课标Ⅰ）几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件．为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动．这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推．求满足如下条件的最小整数N：N＞100且该数列的前N项和为2的整数幂．那么该款软件的激活码是（）A．440B．330C．220D．110【考点】8E：数列的求和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】方法一：由数列的性质，求得数列{b n}的通项公式及前n项和，可知当N为时（n∈N+），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，即为2n ﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，分别判断，即可求得该款软件的激活码；方法二：由题意求得数列的每一项，及前n项和S n=2n+1﹣2﹣n，及项数，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，分别分别即可求得N的值．【解答】解：设该数列为{a n}，设b n=+…+=2n﹣1，（n∈N+），则=a i，由题意可设数列{a n}的前N项和为S N，数列{b n}的前n项和为T n，则T n=21﹣1+22﹣1+…+2n﹣1=2n﹣n﹣2，），数列{a n}的前N项和为数列{b n}的前n项和，可知当N为时（n∈N+即为2n﹣n﹣2，容易得到N＞100时，n≥14，A项，由=435，440=435+5，可知S440=T29+b5=230﹣29﹣2+25﹣1=230，故A 项符合题意．B项，仿上可知=325，可知S330=T25+b5=226﹣25﹣2+25﹣1=226+4，显然不为2的整数幂，故B项不符合题意．C项，仿上可知=210，可知S220=T20+b10=221﹣20﹣2+210﹣1=221+210﹣23，显然不为2的整数幂，故C项不符合题意．D项，仿上可知=105，可知S110=T14+b5=215﹣14﹣2+25﹣1=215+15，显然不为2的整数幂，故D项不符合题意．故选A．方法二：由题意可知：，，，…，根据等比数列前n项和公式，求得每项和分别为：21﹣1，22﹣1，23﹣1， (2)﹣1，每项含有的项数为：1，2，3，…，n，总共的项数为N=1+2+3+…+n=，所有项数的和为S n：21﹣1+22﹣1+23﹣1+…+2n﹣1=（21+22+23+…+2n）﹣n=﹣n=2n+1﹣2﹣n，由题意可知：2n+1为2的整数幂．只需将﹣2﹣n消去即可，则①1+2+（﹣2﹣n）=0，解得：n=1，总共有+2=3，不满足N＞100，②1+2+4+（﹣2﹣n）=0，解得：n=5，总共有+3=18，不满足N＞100，③1+2+4+8+（﹣2﹣n）=0，解得：n=13，总共有+4=95，不满足N＞100，④1+2+4+8+16+（﹣2﹣n）=0，解得：n=29，总共有+5=440，满足N ＞100，∴该款软件的激活码440．故选A．【点评】本题考查数列的应用，等差数列与等比数列的前n项和，考查计算能力，属于难题．4．（5分）（2017•上海模拟）已知数列{a n}、{b n}、{c n}，以下两个命题：①若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是递增数列；②若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列；下列判断正确的是（）A．①②都是真命题B．①②都是假命题C．①是真命题，②是假命题D．①是假命题，②是真命题【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；5L ：简易逻辑．【分析】对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，满足{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但是不满足c n=sinn是递增数列，对于②根据等差数列的性质和定义即可判断．【解答】解：对于①不妨设a n=2n，b n=3n、c n=sinn，∴{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是递增数列，但c n=sinn不是递增数列，故为假命题，对于②{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，不妨设公差为分别为a，b，c，∴a n+b n﹣a n﹣1﹣b n﹣1=a，b n+c n﹣b n﹣1﹣c n﹣1=b，a n+c n﹣a n﹣1﹣c n﹣1=c，设{a n}，{b n}、{c n}的公差为x，y，x，∴则x=，y=，z=，故若{a n+b n}、{b n+c n}、{a n+c n}都是等差数列，则{a n}、{b n}、{c n}都是等差数列，故为真命题，故选：D【点评】本题考查了等差数列的性质和定义，以及命题的真假，属于基础题．5．（5分）（2017•徐汇区校级模拟）一给定函数y=f（x）的图象在下列图中，并且对任意a1∈（0，1），由关系式a n+1=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n，n∈N*，则该函数的图象是（）A．B．C．D．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】31 ：数形结合；51 ：函数的性质及应用．=f（a n）得到的数列{a n}满足a n+1＞a n（n∈N*），根据点与【分析】由关系式a n+1直线之间的位置关系，我们不难得到，f（x）的图象在y=x上方．逐一分析不难得到正确的答案．=f（a n）＞a n知：f（x）的图象在y=x上方．【解答】解：由a n+1故选：A．【点评】本题考查了数列与函数的单调性、数形结合思想方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．6．（5分）（2017•河东区二模）若数列{a n}，{b n}的通项公式分别为a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，则实数a的取值范围是（）A．B．[﹣1，1）C．[﹣2，1）D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】32 ：分类讨论；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，可得：（﹣1）n+2016•a＜2+，对n分类讨论即可得出．【解答】解：a n=（﹣1）n+2016•a，b n=2+，且a n＜b n，对任意n∈N*恒成立，∴（﹣1）n+2016•a＜2+，n为偶数时：化为a＜2﹣，则a＜．n为奇数时：化为﹣a＜2+，则a≥﹣2．则实数a的取值范围是．故选：D【点评】本题考查了数列通项公式、分类讨论方法、数列的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7．（5分）（2017•宝清县一模）数列{a n}是正项等比数列，{b n}是等差数列，且a6=b7，则有（）A．a3+a9≤b4+b10B．a3+a9≥b4+b10C．a3+a9≠b4+b10D．a3+a9与b4+b10大小不确定【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】由于{b n}是等差数列，可得b4+b10=2b7．已知a6=b7，于是b4+b10=2a6．由于数列{a n}是正项等比数列，可得a3+a9=≥=2a6．即可得出．【解答】解：∵{b n}是等差数列，∴b4+b10=2b7，∵a6=b7，∴b4+b10=2a6，∵数列{a n}是正项等比数列，∴a3+a9=≥=2a6，∴a3+a9≥b4+b10．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的性质、基本不等式的性质，属于中档题．8．（5分）（2017•湖北模拟）已知数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*）若（n∈N*），b1=﹣λ，且数列{b n}是单调递增数列，则实数λ的取值范围是（）A．B．λ＜1C．D．【考点】82：数列的函数特性．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】根据数列的递推公式可得数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公=（n﹣2λ）•2n，根据数列的单调性即可求出λ的范围．比为2，再代值得到b n+1【解答】解：∵数列{a n}满足：a1=1，a n+1=（n∈N*），∴=+1，化为+1=+2∴数列{+1}是等比数列，首项为+1=2，公比为2，∴+1=2n，=（n﹣2λ）（+1）=（n﹣2λ）•2n，∴b n+1∵数列{b n}是单调递增数列，＞b n，∴b n+1∴（n﹣2λ）•2n＞（n﹣1﹣2λ）•2n﹣1，解得λ＜1，但是当n=1时，b2＞b1，∵b1=﹣λ，∴（1﹣2λ）•2＞﹣λ，故选：A．【点评】本题考查了变形利用等比数列的通项公式的方法、单调递增数列，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．9．（5分）（2017•海淀区校级模拟）设△A n B n C n的三边长分别是a n，b n，c n，△A nB nC n的面积为S n，n∈N*，若b1＞c1，b1+c1=2a1，b n+1=，则（）A．{S n}为递减数列B．{S n}为递增数列C．{S2n﹣1}为递增数列，{S2n}为递减数列D．{S2n﹣1}为递减数列，{S2n}为递增数列【考点】82：数列的函数特性．【专题】54 ：等差数列与等比数列；58 ：解三角形；59 ：不等式的解法及应用．【分析】由a n=a n可知△A n B n C n的边B n C n为定值a1，由b n+1+c n+1﹣2a1=（b n+c n+1﹣2a n），b1+c1=2a1得b n+c n=2a1，则在△A n B n C n中边长B n C n=a1为定值，另两边A n C n、A n B n的长度之和b n+c n=2a1为定值，由此可知顶点A n在以B n、C n为焦点的椭圆上，根据b n﹣c n+1=（c n﹣b n），得b n﹣c n=，可知n→+∞时b n→c n，+1据此可判断△A n B n C n的边B n C n的高h n随着n的增大而增大，再由三角形面积公式可得到答案．【解答】解：b1=2a1﹣c1且b1＞c1，∴2a1﹣c1＞c1，∴a1＞c1，∴b1﹣a1=2a1﹣c1﹣a1=a1﹣c1＞0，∴b1＞a1＞c1，又b1﹣c1＜a1，∴2a1﹣c1﹣c1＜a1，∴2c1＞a1，∴c1，+c n+1=+a n，∴b n+1+c n+1﹣2a n=（b n+c n﹣2a n），由题意，b n+1∴b n+c n﹣2a n=0，∴b n+c n=2a n=2a1，∴b n+c n=2a1，﹣c n+1=，又由题意，b n+1∴b n﹣（2a1﹣b n+1）==a1﹣b n，b n+1﹣a1=（a1﹣b n）=（b1 +1﹣a1）．∴b n=a1+（b1﹣a1），c n=2a1﹣b n=a1﹣（b1﹣a1），=•=单调递增．可得{S n}单调递增．故选：B．【点评】本题主要考查由数列递推式求数列通项、三角形面积海伦公式，综合考查学生分析解决问题的能力，有较高的思维抽象度，属于难题．10．（5分）（2017•汉中二模）《张丘建算经》是我国南北朝时期的一部重要数学著作，书中系统的介绍了等差数列，同类结果在三百多年后的印度才首次出现．书中有这样一个问题，大意为：某女子善于织布，后一天比前一天织的快，而且每天增加的数量相同，已知第一天织布5尺，一个月（按30天计算）总共织布390尺，问每天增加的数量为多少尺？该问题的答案为（）A．尺B．尺C．尺D．尺【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；34 ：方程思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，其公差为d，由等差数列的前n项和公式能求出公差．【解答】解：由题意，该女子从第一天起，每天所织的布的长度成等差数列，记为：a1，a2，a3，…，a n，其公差为d，则a1=5，S30=390，∴=390，∴d=．故选：B．【点评】本题查等差数列的公差的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意等差数列的性质的合理运用．11．（5分）（2017•徐水县模拟）已知数列{a n}为等差数列，S n其前n项和，且a2=3a4﹣6，则S9等于（）A．25B．27C．50D．54【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题．【分析】由题意得a2=3a4﹣6，所以得a5=3．所以由等差数列的性质得S9=9a5=27．【解答】解：设数列{a n}的首项为a1，公差为d，因为a2=3a4﹣6，所以a1+d=3（a1+3d）﹣6，所以a5=3．所以S9=9a5=27．故选B．【点评】解决此类题目的关键是熟悉等差数列的性质并且灵活利用性质解题．12．（5分）（2017•安徽模拟）《九章算术》是我国古代的数字名著，书中《均属章》有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各德几何．”其意思为“已知A、B、C、D、E五人分5钱，A、B两人所得与C、D、E三人所得相同，且A、B、C、D、E每人所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”（“钱”是古代的一种重量单位）．在这个问题中，E所得为（）A．钱B．钱C．钱D．钱【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；21 ：阅读型；33 ：函数思想；51 ：函数的性质及应用；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，列出方程组，能求出E所得．【解答】解：由题意：设A=a﹣4d，B=a﹣3d，C=a﹣2d，D=a﹣d，E=a，则，解得a=，故E所得为钱．故选：A．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质、等差数列的性质的合理运用．13．（5分）（2017•南开区模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为s n，且S2=10，S5=55，则过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）（n∈N*）的直线的斜率为（）A．4B．C．﹣4D．﹣【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】54 ：等差数列与等比数列．【分析】设出等差数列的首项和公差，由已知列式求得首项和公差，代入两点求直线的斜率公式得答案．【解答】解：设等差数列{a n}的首项为a1，公差为d，由S2=10，S5=55，得，解得：．∴过点P（n，a n），Q（n+2，a n+2）的直线的斜率为k=．故选：A．【点评】本题考查等差数列的通项公式，考查等差数列的前n项和，训练了两点求直线的斜率公式，是基础题．14．（5分）（2017•枣阳市校级模拟）已知等差数列{a n}的前n项和为S n，且S3=9，a2a4=21，数列{b n}满足，若，则n的最小值为（）A．6B．7C．8D．9【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】设等差数列{a n}的公差为d，由S3=9，a2a4=21，可得3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，可得a n．由数列{b n}满足，利用递推关系可得：=．对n取值即可得出．【解答】解：设等差数列{a n}的公差为d，∵S3=9，a2a4=21，∴3a1+d=9，（a1+d）（a1+3d）=21，联立解得：a1=1，d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵数列{b n}满足，∴n=1时，=1﹣，解得b1=．n≥2时，+…+=1﹣，∴=．∴b n=．若，则＜．n=7时，＞．n=8时，＜．因此：，则n的最小值为8．故选：C．【点评】本题考查了等差数列通项公式与求和公式、数列递推关系及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．15．（5分）（2017•安徽一模）已知函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，且f（x）在（﹣1，+∞）上单调，若数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），则{a n}的前100项的和为（）A．﹣200B．﹣100C．﹣50D．0【考点】84：等差数列的通项公式．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4O：定义法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由函数图象关于x=﹣1对称，由题意可得a50+a51=﹣2，运用等差数列的性质和求和公式，计算即可得到所求和．【解答】解：函数f（x）的图象关于x=﹣1对称，数列{a n}是公差不为0的等差数列，且f（a50）=f（a51），可得a50+a51=﹣2，又{a n}是等差数列，所以a1+a100=a50+a51=﹣2，则{a n}的前100项的和为=﹣100故选：B．【点评】本题考查函数的对称性及应用，考查等差数列的性质，以及求和公式，考查运算能力，属于中档题．二．填空题（共5小题，满分25分，每小题5分）16．（5分）（2017•江苏）等比数列{a n}的各项均为实数，其前n项为S n，已知S3=，S6=，则a8=32．【考点】88：等比数列的通项公式．【专题】34 ：方程思想；35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列．【分析】设等比数列{a n}的公比为q≠1，S3=，S6=，可得=，=，联立解出即可得出．【解答】解：设等比数列{a n}的公比为q≠1，∵S3=，S6=，∴=，=，解得a1=，q=2．则a8==32．故答案为：32．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．17．（5分）（2017•新课标Ⅱ）等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，则=．【考点】8E：数列的求和；85：等差数列的前n项和．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】利用已知条件求出等差数列的前n项和，然后化简所求的表达式，求解即可．【解答】解：等差数列{a n}的前n项和为S n，a3=3，S4=10，S4=2（a2+a3）=10，可得a2=2，数列的首项为1，公差为1，S n=，=，则=2[1﹣++…+]=2（1﹣）=．故答案为：．【点评】本题考查等差数列的求和，裂项消项法求和的应用，考查计算能力．18．（5分）（2017•汕头三模）“中国剩余定理”又称“孙子定理”．1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2017这2016个数中能被3除余1且被5除余1的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列{a n}，则此数列的项数为134．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，运用等差数列通项公式，以及解不等式即可得到所求项数．【解答】解：由能被3除余1且被5除余1的数就是能被15整除余1的数，故a n=15n﹣14．由a n=15n﹣14≤2017得n≤135，∵当n=1时，符合要求，但是该数列是从2开始的，故此数列的项数为135﹣1=134．故答案为：134【点评】本题考查数列模型在实际问题中的应用，考查等差数列的通项公式的运用，考查运算能力，属于基础题19．（5分）（2017•闵行区一模）已知无穷数列{a n}，a1=1，a2=2，对任意n∈N*，=a n，数列{b n}满足b n+1﹣b n=a n（n∈N*），若数列中的任意一项都在有a n+2该数列中重复出现无数次，则满足要求的b1的值为2．【考点】81：数列的概念及简单表示法．【专题】35 ：转化思想；48 ：分析法；5M ：推理和证明．【分析】依题意数列{a n}是周期数咧，则可写出数列{a n}的通项，由数列{b n}满足b n﹣b n=a n（n∈N*），可推出b n+1﹣b n=a n=⇒，，+1，，…要使数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，则b2=b6=b10=…=b2n﹣1，b4=b8=b12=…=b4n，可得b8=b4=3即可，【解答】解：a1=1，a2=2，对任意n∈N*，有a n+2=a n，∴a3=a1=1，a4=a2=2，a5=a3=a1=1，∴a n=﹣b n=a n=，∴b n+1﹣b2n+1=a2n+1=1，b2n+1﹣b2n=a2n=2，∴b2n+2﹣b2n=3，b2n+1﹣b2n﹣1=3∴b2n+2∴b3﹣b1=b5﹣b3=…=b2n+1﹣b2n﹣1=3，b4﹣b2=b6﹣b4=b8﹣b6=…=b2n﹣b2n﹣2=3，b2﹣b1=1，，，，，，，…，=b4n﹣2∵数列中的任意一项都在该数列中重复出现无数次，∴b2=b6=b10=…=b4n﹣2，b4=b8=b12=…=b4n，解得b8=b4=3，b2=3，∵b2﹣b1=1，∴b1=2，故答案为：2【点评】本题考查了数列的推理与证明，属于难题．20．（5分）（2017•青浦区一模）设数列{a n}的通项公式为a n=n2+bn，若数列{a n}是单调递增数列，则实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．【考点】82：数列的函数特性．【专题】35 ：转化思想；54 ：等差数列与等比数列；59 ：不等式的解法及应用．【分析】数列{a n}是单调递增数列，可得∀n∈N*，a n+1＞a n，化简整理，再利用数列的单调性即可得出．【解答】解：∵数列{a n}是单调递增数列，∴∀n∈N*，a n＞a n，+1（n+1）2+b（n+1）＞n2+bn，化为：b＞﹣（2n+1），∵数列{﹣（2n+1）}是单调递减数列，∴n=1，﹣（2n+1）取得最大值﹣3，∴b＞﹣3．即实数b的取值范围为（﹣3，+∞）．故答案为：（﹣3，+∞）．【点评】本题考查了数列的单调性及其通项公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．解答题（共5小题，满分50分，每小题10分）21．（10分）（2017•江苏）对于给定的正整数k ，若数列{a n }满足：a n ﹣k +a n ﹣k +1+…+a n ﹣1+a n +1+…+a n +k ﹣1+a n +k =2ka n 对任意正整数n （n ＞k ）总成立，则称数列{a n }是“P （k ）数列”．（1）证明：等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）若数列{a n }既是“P （2）数列”，又是“P （3）数列”，证明：{a n }是等差数列．【考点】8B ：数列的应用．【专题】23 ：新定义；35 ：转化思想；4R ：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知根据等差数列的性质，a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1）═2×3a n ，根据“P （k ）数列”的定义，可得数列{a n }是“P （3）数列”；（2）由已知条件结合（1）中的结论，可得到{a n }从第3项起为等差数列，再通过判断a 2与a 3的关系和a 1与a 2的关系，可知{a n }为等差数列．【解答】解：（1）证明：设等差数列{a n }首项为a 1，公差为d ，则a n =a 1+（n ﹣1）d ，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3，=（a n ﹣3+a n +3）+（a n ﹣2+a n +2）+（a n ﹣1+a n +1），=2a n +2a n +2a n ，=2×3a n ，∴等差数列{a n }是“P （3）数列”；（2）证明：当n ≥4时，因为数列{a n }是P （3）数列，则a n ﹣3+a n ﹣2+a n ﹣1+a n +1+a n +2+a n +3=6a n ，①，因为数列{a n }是“P （2）数列”，所以a n ﹣3+a n ﹣3+a n +a n +1=4a n ﹣1，②，a n ﹣1+a n +a n +2+a n +3=4a n +1，③，②+③﹣①，得2a n =4a n ﹣1+4a n +1﹣6a n ，即2a n =a n ﹣1+a n +1，（n ≥4），因此n ≥4从第3项起为等差数列，设公差为d ，注意到a 2+a 3+a 5+a 6=4a 4， 所以a 2=4a 4﹣a 3﹣a 5﹣a 6=4（a 3+d ）﹣a 3﹣（a 3+2d ）﹣（a 3+3d ）=a 3﹣d ，因为a1+a2+a4+a5=4a3，所以a1=4a3﹣a2﹣a4﹣a5=4（a2+d）﹣a2﹣（a2+2d）﹣（a2+3d）=a2﹣d，也即前3项满足等差数列的通项公式，所以{a n}为等差数列．【点评】本题考查等差数列的性质，考查数列的新定义的性质，考查数列的运算，考查转化思想，属于中档题．22．（10分）（2017•北京）设{a n}和{b n}是两个等差数列，记c n=max{b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n}（n=1，2，3，…），其中max{x1，x2，…，x s}表示x1，x2，…，x s这s个数中最大的数．（1）若a n=n，b n=2n﹣1，求c1，c2，c3的值，并证明{c n}是等差数列；（2）证明：或者对任意正数M，存在正整数m，当n≥m时，＞M；或者存在正整数m，使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列．【考点】8B：数列的应用；8C：等差关系的确定．【专题】32 ：分类讨论；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）分别求得a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，代入即可求得c1，c2，c3；由（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，则c n=b1﹣na1=1﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立；﹣n，c n+1（2）由b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），分类讨论d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论根据等差数列的性质，即可求得使得c m，c m+1，c m+2，…是等差数列；设=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，分类讨论，采用放缩法即可求得因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M．【解答】解：（1）a1=1，a2=2，a3=3，b1=1，b2=3，b3=5，当n=1时，c1=max{b1﹣a1}=max{0}=0，当n=2时，c2=max{b1﹣2a1，b2﹣2a2}=max{﹣1，﹣1}=﹣1，当n=3时，c3=max{b1﹣3a1，b2﹣3a2，b3﹣3a3}=max{﹣2，﹣3，﹣4}=﹣2，下面证明：对∀n∈N*，且n≥2，都有c n=b1﹣na1，当n∈N*，且2≤k≤n时，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1），=[（2k﹣1）﹣nk]﹣1+n，=（2k﹣2）﹣n（k﹣1），=（k﹣1）（2﹣n），由k﹣1＞0，且2﹣n≤0，则（b k﹣na k）﹣（b1﹣na1）≤0，则b1﹣na1≥b k﹣na k，因此，对∀n∈N*，且n≥2，c n=b1﹣na1=1﹣n，c n+1﹣c n=﹣1，∴c2﹣c1=﹣1，∴c n﹣c n=﹣1对∀n∈N*均成立，+1∴数列{c n}是等差数列；（2）证明：设数列{a n}和{b n}的公差分别为d1，d2，下面考虑的c n取值，由b1﹣a1n，b2﹣a2n，…，b n﹣a n n，考虑其中任意b i﹣a i n，（i∈N*，且1≤i≤n），则b i﹣a i n=[b1+（i﹣1）d1]﹣[a1+（i﹣1）d2]×n，=（b1﹣a1n）+（i﹣1）（d2﹣d1×n），下面分d1=0，d1＞0，d1＜0三种情况进行讨论，①若d1=0，则b i﹣a i n═（b1﹣a1n）+（i﹣1）d2，当若d2≤0，则（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）d2≤0，则对于给定的正整数n而言，c n=b1﹣a1n，此时c n+1﹣c n=﹣a1，∴数列{c n}是等差数列；当d2＞0，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣n）d2＞0，则对于给定的正整数n而言，c n=b n﹣a n n=b n﹣a1n，﹣c n=d2﹣a1，此时c n+1∴数列{c n}是等差数列；此时取m=1，则c1，c2，…，是等差数列，命题成立；②若d1＞0，则此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为负数的一次函数，故必存在m∈N*，使得n≥m时，﹣d1n+d2＜0，则当n≥m时，（b i﹣a i n）﹣（b1﹣a1n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i≤n），因此当n≥m时，c n=b1﹣a1n，此时c n﹣c n=﹣a1，故数列{c n}从第m项开始为等差数列，命题成立；+1③若d1＜0，此时﹣d1n+d2为一个关于n的一次项系数为正数的一次函数，故必存在s∈N*，使得n≥s时，﹣d1n+d2＞0，则当n≥s时，（b i﹣a i n）﹣（b n﹣a n n）=（i﹣1）（﹣d1n+d2）≤0，（i∈N*，1≤i ≤n），因此，当n≥s时，c n=b n﹣a n n，此时==﹣a n+，=﹣d2n+（d1﹣a1+d2）+，令﹣d1=A＞0，d1﹣a1+d2=B，b1﹣d2=C，下面证明：=An+B+对任意正整数M，存在正整数m，使得n≥m，＞M，若C≥0，取m=[+1]，[x]表示不大于x的最大整数，当n≥m时，≥An+B≥Am+B=A[+1]+B＞A•+B=M，此时命题成立；若C＜0，取m=[]+1，当n≥m时，≥An+B+≥Am+B+C＞A•+B+C≥M﹣C﹣B+B+C=M，此时命题成立，因此对任意正数M，存在正整数m，使得当n≥m时，＞M；综合以上三种情况，命题得证．【点评】本题考查数列的综合应用，等差数列的性质，考查与不等式的综合应用，考查“放缩法”的应用，考查学生分析问题及解决问题的能力，考查分类讨论及转化思想，考查计算能力，属于难题．23．（10分）（2017•北京）已知等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=b1=1，a2+a4=10，b2b4=a5．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；（Ⅱ）求和：b1+b3+b5+…+b2n﹣1．【考点】8E：数列的求和；8M：等差数列与等比数列的综合．【专题】11 ：计算题；35 ：转化思想；49 ：综合法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（Ⅰ）利用已知条件求出等差数列的公差，然后求{a n}的通项公式；（Ⅱ）利用已知条件求出公比，然后求解数列的和即可．【解答】解：（Ⅰ）等差数列{a n}，a1=1，a2+a4=10，可得：1+d+1+3d=10，解得d=2，所以{a n}的通项公式：a n=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得a5=a1+4d=9，等比数列{b n}满足b1=1，b2b4=9．可得b3=3，或﹣3（舍去）（等比数列奇数项符号相同）．∴q2=3，}是等比数列，公比为3，首项为1．{b2n﹣1b1+b3+b5+…+b2n﹣1==．【点评】本题考查等差数列与等比数列的应用，数列求和以及通项公式的求解，考查计算能力．24．（10分）（2017•新课标Ⅰ）记S n为等比数列{a n}的前n项和．已知S2=2，S3=﹣6．（1）求{a n}的通项公式；（2）求S n，并判断S n+1，S n，S n+2是否成等差数列．【考点】8E：数列的求和；89：等比数列的前n项和．【专题】35 ：转化思想；4R：转化法；54 ：等差数列与等比数列．【分析】（1）由题意可知a3=S3﹣S2=﹣6﹣2=﹣8，a1==，a2==，由a1+a2=2，列方程即可求得q及a1，根据等比数列通项公式，即可求得{a n}的通项公式；（2）由（1）可知．利用等比数列前n项和公式，即可求得S n，分别求得S n+1，S n+2，显然S n+1+S n+2=2S n，则S n+1，S n，S n+2成等差数列．。
北师大版高中数学必修5同步学案：第1章 等差数列的概念及其通项公式
§2 等差数列2.1 等差数列第1课时等差数列的概念及其通项公式学习目标核心素养1.理解等差数列的概念．(难点)2．掌握等差数列的判定方法．(重点) 3．会求等差数列的通项公式及利用通项公式求特定的项．(重点、难点) 1.通过等差数列概念的学习培养学生的数学抽象素养．2．借助于等差数列的通项公式提升学生的数学运算素养.1．等差数列的概念阅读教材P10～P11例1以上部分,完成下列问题．文字语言从第2项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数,这样的数列就叫作等差数列．这个常数称为等差数列的公差,通常用字母d 表示符号语言若a n－a n－1＝d(n≥2),则数列{a n}为等差数列思考：(1)数列{a n}的各项为：n,2n,3n,4n,…,数列{a n}是等差数列吗？[提示] 不是,该数每一项与其前一项的差都是n,不是常数,所以不是等差数列．(2)若一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是常数,这个数列一定是等差数列吗？[提示] 不一定,当一个数列从第二项起每一项与它前一项的差都是同一个常数时,这个数列才是等差数列．如数列：1,2,3,5,7,9,就不是等差数列．2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n}的首项为a1,公差为d,那么它的通项公式为a n＝a1＋(n－1)d．思考：(1)若已知等差数列{a n}的首项a1和第二项a2,可以求其通项公式吗？[提示] 可以,可利用a2－a1＝d求出d,即可求出通项公式．(2)等差数列的通项公式一定是n的一次函数吗？[提示] 不一定,当公差为0时,等差数列的通项公式不是n的一次函数,而是常数函数．3．等差数列通项公式的推导如果等差数列{a n}的首项是a1,公差是d,根据等差数列的定义得到a2－a1＝d,a3－a2＝d,a4－a3＝d,…所以a2＝a1＋d,a 3＝a 2＋d ＝a 1＋d ＋d ＝a 1＋2d, a 4＝a 3＋d ＝a 1＋2d ＋d ＝a 1＋3d, ……由此归纳出等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d ．1．等差数列{a n }中a 1＝2,公差d ＝3,则a n ＝( ) A ．2n ＋1 B ．3n ＋1 C ．2n －1D ．3n －1D [a n ＝a 1＋(n －1)d ＝2＋3(n －1)＝3n －1.] 2．在等差数列{a n }中,a 1＝0,a 3＝4,则公差d ＝( ) A ．4 B ．2 C ．－4D ．－2B [a 3－a 1＝4－0＝2d,故d ＝2.]3．等差数列32,－12,－52,…的第10项为( )A ．－372B ．－332C ．372D ．332B [由a 1＝32,d ＝－12－32＝－2,得a n ＝32＋(n －1)(－2)＝－2n ＋72.所以a 10＝－2×10＋72＝－332.]4．已知等差数列{a n }中,d ＝－13,a 7＝8,则a 1＝________.10 [由a 7＝a 1＋6d ＝8且d ＝－13代入解得a 1＝8－6d ＝8＋2＝10.]等差数列的判定【例1(1)a n ＝3－2n ；(2)a n ＝n 2－n.[解] (1)因为a n ＋1－a n ＝[3－2(n ＋1)]－(3－2n)＝－2,是常数,所以数列{a n }是等差数列．(2)因为a n ＋1－a n ＝[(n ＋1)2－(n ＋1)]－(n 2－n)＝2n,不是常数,所以数列{a n }不是等差数列．等差数列的判断方法——定义法等差数列的定义是判断一个数列是否为等差数列的重要依据,要证明一个数列是等差数列,可用a n ＋1－a n ＝d(常数)或a n －a n －1＝d(d 为常数且n≥2)．但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可．[提醒] 当d ＞0时,等差数列{a n }是递增数列； 当d ＜0时,等差数列{a n }是递减数列； 当d ＝0时,等差数列{a n }是常数列．1．若数列{a n }满足a n ＋1＝a n2a n ＋1,a 1＝1,求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是等差数列．[证明] 由a n ＋1＝a n 2a n ＋1得1a n ＋1＝2a n ＋1a n ＝2＋1a n ,即1a n ＋1－1a n ＝2,所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是首项为1,公差为2的等差数列．等差数列的通项公式及应用【例2】 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项；(2)在等差数列{a n }中,已知a 6＝12,a 18＝36,求通项公式a n . [解] (1)由a 1＝8,a 2＝5,得d ＝a 2－a 1＝5－8＝－3, 故a n ＝8－3(n －1)＝11－3n, 则a 20＝11－3×20＝－49.(2)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋5d ＝12，a 1＋17d ＝36，解得d ＝2,a 1＝2,故a n ＝2n.等差数列通项公式的四个应用(1)已知a n ,a 1,n,d 中的任意三个量,可以求出第四个量．(2)由等差数列的通项公式可以求出该数列中的任意项,也可以判断某一个数是不是该数列中的项． (3)根据等差数列的两个已知条件建立关于“基本量”a 1和d 的方程组,求出a 1和d,从而确定通项公式,求出待求项．(4)若数列{a n }的通项公式是关于n 的一次函数或常数函数,则可判断数列{a n }是等差数列．2．(1)等差数列{a n }中,a 2＝4,公差d ＝3,a n ＝22,求n ；(2)判断－401是不是等差数列－5,－9,－13,…的项,如果是,是第几项？[解] (1)由条件知⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3＝4，a 1＋3(n －1)＝22，解得a 1＝1,n ＝8；(2)由a 1＝－5,d ＝－9－(－5)＝－4,得这个数列的通项公式为a n ＝－5＋(n －1)×(－4)＝－4n －1. 由题意,令－401＝－4n －1,得n ＝100, 即－401是这个数列的第100项．等差数列的实际应用[1．一种游戏软件的租金,第一天5元,以后每一天比前一天多1元,那么第n(n≥2)天的租金怎样表示？每天的租金数有什么特点？[提示] 每天的租金构成以5为首项,以1为公差的等差数列,a n ＝5＋(n －1)×1＝n ＋4(n≥2)． 2．直角三角形三边长成等差数列,你能求出三边的比吗？[提示] 设直角三角形的三边长分别为a,a ＋d,a ＋2d(a ＞0,d ＞0),则(a ＋2d)2＝a 2＋(a ＋d)2,即a 2－2ad －3d 2＝0,解得a ＝3d,则三边长分别为3d,4d,5d, 故三边长的比为3∶4∶5.【例3】 某市出租车的计价标准为1.2 元/km,起步价为10元,即最初的4 km(不含4 km)计费10元,如果某人乘坐该市的出租车去往14 km 处的目的地,且一路畅通,等候时间为0,那么需要支付多少车费？思路探究：某人需支付的车费构成等差数列,运用等差数列的知识去解决．[解] 根据题意,当该市出租车的行程大于或等于4 km 时,每增加1 km,乘客需要支付1.2元．所以,可以建立一个等差数列{a n }来计算车费． 令a 1＝11.2,表示4 km 处的车费,公差d ＝1.2, 那么当出租车行至14 km 处时,n ＝11,此时需要支付车费a 11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)．即需要支付车费23.2元．1．(变条件)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往18.5 km(不足1 km,按1 km 计费),且一路畅通,等候时间为0,那么,需支付多少车费？[解] 由题意知,当出租车行至18.5 km 处时,n ＝16,此时需支付车费a 16＝11.2＋(16－1)×1.2＝29.2(元)．2．(变结论)在例3中,若某人乘坐该市的出租车去往n km(n ∈ N ＋)处的目的地,求其需支付的车费a n .[解] 当n ∈{1,2,3}时,a n ＝10,当n ∈N ＋,且n≥4时,a n ＝11.2＋(n －4)×1.2＝1.2n ＋6.4.所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧10，n ∈{1，2，3}，1.2n ＋6.4，n≥4且n ∈N ＋.应用等差数列解决实际问题的步骤(1)审题,读懂题意,把握已知条件与求解问题． (2)将实际问题抽象为等差数列模型． (3)利用等差数列解决问题．(4)验证答案是否符合实际问题的意义．1．等差数列的通项公式为a n ＝a 1＋(n －1)d,已知a 1,n,d,a n 这四个量中的三个,可以求得另一个量． 2．等差数列的判定关键是看a n ＋1－a n (或a n －a n －1(n≥2))是否为一个与n 无关的常数． 3．对于通项公式的理解．a n ＝a 1＋(n －1)d ⇒a n ＝nd ＋(a 1－d),所以,当d≠0时,a n 是关于n 的一次函数,一次项系数就是等差数列的公差,当d ＝0时,等差数列{a n }为常数列：a 1,a 1,a 1,…,a 1,…1．判断正误(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)常数列是等差数列．( )(2)－1,－2,－3,－4,－5不是等差数列．( ) (3)若数列{a n }是等差数列,则其公差d ＝a 7－a 8.( ) [答案] (1)√ (2)× (3)×[提示] (1)正确,(2)不正确,数列－1,－2,－3,－4,－5是公差为－1的等差数列；(3)不正确,公差d ＝a 8－a 7.2．下列数列是等差数列的是( ) A ．13,15,17,19 B ．1,3,5,7 C ．1,－1,1,－1D ．0,0,0,0D [由等差数列的定义知：0,0,0,0是等差数列,选D ．] 3．在等差数列{a n }中,a 2＝4,a 8＝a 6＋3,则a 1＝________.52 [由已知得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝4，a 1＋7d ＝a 1＋5d ＋3，解得a 1＝52.]4．在等差数列{a n }中,a 5＝10,a 12＝31,求a 20,a n . [解] 由a 5＝10,a 12＝31, 得7d ＝a 12－a 5＝21,所以d ＝3,a 1＝a 5－4d ＝10－4×3＝－2. 所以a 20＝a 1＋19d ＝－2＋19×3＝55,a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2＋3(n －1)＝3n －5(n ∈N ＋)．。
高中数学北师大版5第一、二章综合测试题与答案
高中数学必修5第一二章综合测试卷一、选择题：（每小题4分,共计40分)1．△ABC 的内角A,B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若c =2,b =6，B =120o，则a 等于（ D )AB ．2 CD2．在△ABC 中，已知b=2，B=45°，如果用正弦定理解三角形有两解，则边长a 的取值范围是 ( A )A ．222<<aB ．42<<aC ．22<<aD ．222<<a3．在△ABC 中，角A ，B,C 的对边分别为a,b,c ，若(a 2+c 2—b 2）tan B =3ac ，则角B 的值为(D ）A. 6πB. 3πC.6π或56πD 。
3π或23π4．如果等腰三角形的周长是底边长的5倍,那么它的顶角的余弦值为（ D )A 。
185B.43 C.23 D.87 5．已知D 、C 、B 三点在地面同一直线上，DC=a ，从C 、D 两点测得A 的点仰角分别为α、β（α＞β）则A 点离地面的高AB 等于 （ A ） A ．)sin(sin sin βαβα-a B ．)cos(sin sin βαβα-a C ．)sin(cos cos βαβα-aD ．)cos(cos cos βαβα-a6．已知等差数列{a n ｝满足a 2+a 4=4, a 3+a 5=10，则它的前10项的和S 10=( C ） A ．138 B ．135 C ．95 D ．237．已知{a n }是等比数列,a 2=2， a 5=41,则a 1a 2+ a 2a 3+…+ a n a n+1=（ C ）A ．16（n--41） B ．16（n--21)C ．332(n--41） D ．332(n--21)8 如果a 1,a 2,…， a 8为各项都大于零的等差数列，公差0d ≠，则 ( B ）A 5481a a a a >B 5481a a a a < C1845a a a a +>+ D5481a a a a =[解析］：因为128,,,a a a 为各项都大于零的等差数列,公差0d ≠故2121115412111817)4)(3(,7)7(d d a a d a d a a a d a a d a a a a ++=++=+=+=;故5481a a aa <9、3、已知数列｛a n }满足a 1=0， a n+1=a n +2n,那么a 2003的值是 ( C ）A 、20032B 、2002×2001C 、2003×2002D 、2003×200410、已知等差数列｛a n ｝中，|a 3｜=|a 9|，公差d<0，则使前n 项和S n 取最大值的正整数n 是(B)A 、4或5B 、5或6C 、6或7D 、8或9二、填空题:(每小题4分,共计20分）11．已知a +1，a +2，a +3是钝角三角形的三边,则a 的取值范围是 （0，2)12．在△ABC 中,角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，若(3b – c)cosA=acosC ，则13．若AB=2，，则S △ABC 的最大值14．在等比数列{a n ｝中，若a 9·a 11=4，则数列｛n a 21log｝前19项之和为___－19 ___［解析］：由题意a n 〉0,且a 1·a 19 =a 2·a 18 =…=a 9·a 11=210a又a 9·a 11=4 ,故1921a a a =192故+121log a 221log a +…+1921loga =19)(log 192121-=a a a15．已知函数f （x ）=2x ，等差数列｛a x ｝的公差为2.若f （a 2+a 4+a 6+a 8+a 10)=4，则log 2［f （a 1）f(a 2）f(a 3）…f(a 10)]= －6三、解答题:（共计40分)16．（本题10分）△ABC 中,∠A=45°,AD ⊥BC ，且AD=3，CD=2，求三角形的面积S. 解：记,,βα=∠=∠CAD BAD βαβαβαβαtan tan 1tan tan )tan(45tan ,2tan ,3tan -+=+=︒∴==∴hh1(60656522-==⇒=--⇒-=h h h h h h 不合）,155621=⨯⨯=∴S 。
高中数学第二章数列训练卷(一)新人教A版必修5(2021年整理)
2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修51 / 1312018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修5编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018-2019学年高中数学 第二章 数列训练卷（一）新人教A 版必修5）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
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数列（一）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上,并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
一、选择题(本大题共12个小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．在数列{}na中，12=a，1=221n na a＋＋,则101a的值为( ）A．49 B．50 C．51D．522．已知等差数列{}na中,7916a a+=，41a=，则12a的值是（ ) A．15 B．30 C．31D．643．等比数列{}na中，29a=，5243a=，则{}n a的前4项和为( ）A．81 B．120 C．168D．1924．等差数列{}na中，12324a a a++=-，18192078a a a++=，则此数列前20项和等于（）A．160 B．180 C．200D．2205．数列{}na中,37 ()na n n+=∈N－，数列{}n b满足113b=,1(72)2n nb b n n+≥=∈N－且,若logn k na b+为常数，则满足条件的k值（）A．唯一存在,且为132 / 1323 / 133B ．唯一存在，且为3C ．存在且不唯一D ．不一定存在6．等比数列{}n a 中，2a ，6a 是方程234640x x +=-的两根，则4a 等于（ ） A ．8 B ．8-C ．8±D ．以上都不对7．若{}n a 是等比数列,其公比是q ，且5a -，4a ，6a 成等差数列，则q 等于（ ） A ．1或2 B ．1或2- C．1-或2D ．1-或2-8．设等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若105:1:2S S =，则155:S S 等于( ) A ．3:4 B ．2:3 C．1:2D ．1:39．已知等差数列{}n a 的公差0d ≠且1a ，3a ,9a 成等比数列，则1392410a a a a a a ++++等于（ ）A ．1514B ．1213C．1316D ．151610．已知{}n a 为等差数列，135105a a a ++=，24699a a a ++=，以n S 表示{}n a 的前n 项和，则使得n S 达到最大值的n 是( ） A ．21 B ．20 C．19D ．1811．设{}n a 是任意等比数列,它的前n 项和，前2n 项和与前3n 项和分别为X ,Y ，Z ，则下列等式中恒成立的是（ ）A ．2X Z Y +=B ．()()Y Y X Z Z X =--C ．2Y XZ =D ．()()Y Y X X Z X =--12．已知数列1，12，21，13,22，31，14,23，32，41，…，则56是数列中的（ ） A ．第48项 B ．第49项 C ．第50项D ．第51项二、填空题（本大题共4个小题,每小题5分,共20分，把正确答案填在题中横线上）1311的等比中项是________．4 / 13414．已知在等差数列{}n a 中，首项为23，公差是整数，从第七项开始为负项， 则公差为______．15．“嫦娥奔月,举国欢庆”，据科学计算，运载“神六”的“长征二号”系列火箭，在点火第一秒钟通过的路程为2 km ，以后每秒钟通过的路程都增加2 km ，在达到离地面240 km 的高度时，火箭与飞船分离,则这一过程大约需要的时间是______秒．16．等比数列{}n a 的公比为q ，其前n 项的积为n T ,并且满足条件11a >，9910010a a ->,99100101a a -<-．给出下列结论：①01q <<;②9910110a a -<；③100T 的值是n T 中最大的；④使1n T >成立的最大自然数n 等于198．其中正确的结论是________．（填写所有正确的序号)三、解答题(本大题共6个小题，共70分,解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（10分）已知{}n a 为等差数列，且36a =-,60a =．（1)求{}n a 的通项公式；(2）若等比数列{}n b 满足18b =-，2123b a a a =++，求{}n b 的前n 项和公式．5 / 13518．（12分）已知等差数列{}n a 中，3716a a =-，460a a +=，求{}n a 的前n 项和S n ．19．（12分）已知数列{}2log 1()() n a n *∈N －为等差数列,且13a =，39a =．（1）求数列{}n a 的通项公式；6 / 136(2）证明：213211111n na a a a a a ++++<---．20．（12分)在数列{}n a 中，11a =,122n n n a a =+＋． （1）设12n n n a b -=．证明：数列{}n b 是等差数列；（2）求数列{}n a 的前n 项和．7 / 13721．(12分）已知数列{}n a 的前n项和为n S ,且11a =,11,2,1(,)23n n a S n +==． (1）求数列{}n a 的通项公式； (2）当()132log 3n n b a =＋时，求证：数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和1n T nn =+．8 / 13822．（12分)已知数列{}n a 的各项均为正数，对任意n *∈N ,它的前n 项和n S 满足1()()612n n n S a a =++,并且2a ，4a ,9a 成等比数列． （1）求数列{}n a 的通项公式；(2）设11()1n n n n b a a ++=-，n T 为数列{}n b 的前n 项和，求2n T ．2018-2019学年必修五第二章训练卷数列（一）答 案一、选择题 1．【答案】D【解析】由1=221n n a a ++得11=2n n a a -＋,∴{}n a 是等差数列首项12=a ，公差1=2d ，∴13212)2(n n a n =++-=，∴1011013522a +==．故选D ． 2．【答案】A【解析】在等差数列{}n a 中，79412a a a a +=+， ∴1216115a =-=．故选A ． 3．【答案】B【解析】由352a a q =得3q =．∴213a a q==,44411133120113q S a q --=⨯=--＝．故选B ． 4．【答案】B 【解析】∵123181920120219318()()()()()a a a a a a a a a a a a +++++=+++++120()3247854a a +=+=-=，∴12018a a +=．∴12020201802S a a +==．故选B ． 5．【答案】B【解析】依题意，133213111127333n n n n b b ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫=⋅=⋅= ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴32log 37log 11()3373l g 32o n n k n k ka b n n n -⎛⎫+== ⎪⎭+⎝-+-- 1133log 372log 3k k n ⎛⎫--=+ ⎪⎝⎭, ∵log n k n a b +是常数,∴133log 03k +=，即log 31k =，∴3k =．故选B ．6．【答案】A【解析】∵2634a a +=，2664a a ⋅=,∴2464a =, ∵a 2>0，a 6>0，∴a 4＝a 2q 2>0，∴a 4＝8．故选A ． 7．【答案】C【解析】依题意有4652a a a =-,即24442a a q a q =-,而40a ≠，∴220q q --=,1)20()(q q +=-．∴1q =-或2q =．故选C ．8．【答案】A【解析】显然等比数列{}n a 的公比1q ≠，则由105510551111221S q q q S q -==+=⇒=--， 故3155315555111132141112S q q S q q ⋅⎛⎫-- ⎪--⎝⎭====⎛⎫---- ⎪⎝⎭．故选A ． 9．【答案】C【解析】因为1239a a a =⋅,所以2111()()28a d a a d +=⋅+．所以1a d =．所以1391241013101331316a a a a d a a a a d +++==+++．故选C ．10．【答案】B【解析】∵214365(())3)(a a a a a a d -+-+-=， ∴991053d -=．∴2d =-．又∵135136105a a a a d ++=+=，∴139a =． ∴()()221140204002n n n d n n na n S -=+=-+=--+．∴当20n =时,n S 有最大值．故选B ． 11．【答案】D【解析】由题意知n S X =,2n S Y =，3n S Z =． 又∵{}n a 是等比数列,∴n S ,2n n S S －，32n n S S －为等比数列, 即X ,Y X -,Z Y -为等比数列， ∴2()()Y X X Z Y ⋅=--， 即222Y XY X ZX XY +-=-， ∴22=Y XY ZX X --，即()()Y Y X X Z X =--．故选D ． 12．【答案】C【解析】将数列分为第1组一个，第2组二个,…，第n 组n 个，即11⎛⎫ ⎪⎝⎭，12,21⎛⎫ ⎪⎝⎭,123,,321⎛⎫ ⎪⎝⎭，…，12,,,11n n n ⎛⎫ ⎪-⎝⎭,则第n 组中每个数分子分母的和为1n +，则56为第10组中的第5个,其项数为1239)550(++++=+．故选C ．二、填空题13．【答案】1±【解析】11的等比中项为a ，由等比中项的性质可知，)2111a ==，∴1a =±． 14．【答案】4- 【解析】由6723502360a d a d =+≥⎧⎨=+<⎩，解得232356d -≤<-，∵d ∈Z ，∴4d =-． 15．【答案】15【解析】设每一秒钟通过的路程依次为1a ，2a ,3a ,…，n a ， 则数列{}n a 是首项12a =,公差2d =的等差数列，由求和公式得()112402n na n d -=＋，即(12)240n n n +-=，解得15n =． 16．【答案】①②④【解析】①中，()()9910099100111011a a a a a ⎧--<⎪>⎨⎪>⎩⇒99100101a a >⎧⎨<<⎩100990,1()q a a =∈⇒，∴①正确．②中,29910110010099101011a a a a a a ⎧=⎪⇒⎨<<⎪⎩<，∴②正确． ③中，100991001010090901T T a a T T =⎧⇒⎨<<<⎩，∴③错误．④中,()()()()99198121981198219799100991001T a a a a a a a a a a a =>＝＝，()()199121981991199991011001T a a a a a a a a a ⋅<==，∴④正确．三、解答题17．【答案】（1）212n a n =-；（2)()413n n S =－． 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ． ∵36a =-，60a =， ∴112650a d a d +=-⎧⎨+=⎩，解得110a =-,2d =．∴101()2212n a n n =-⨯=-=-． （2）设等比数列{}n b 的公比为q ．∵212324b a a a =++=-,18b =-,∴824q -=-，3q =．∴数列{}n b 的前n 项和公式为()111413n n nS q b q-==-－． 18．【答案】()9n S n n =-或(9)n S n n -=-．【解析】设{}n a 的公差为d ，则()()11112616350a d a d a d a d ++=-⎧⎪⎨+++=⎪⎩，即22111812164a da d a d⎧++=-⎪⎨=-⎪⎩, 解得182a d =-⎧⎨=⎩，或182a d =⎧⎨=-⎩．因此8()19()n S n n n n n +-=-=-,或81()9()n S n n n n n ==----． 19．【答案】(1）21n n a =+；（2）见解析．【解析】（1）解设等差数列{}2(og )l 1 n a －的公差为d ． 由13a =,39a =，得22log 91log 32()(1)d --=+,则1d =． 所以2log 1111()()n a n n +-=⨯-=，即21n n a =+． （2)证明因为11111222n n nn n a a ++==--， ∴12321321111111111112221112222212n n n n n a a a a a a +-⨯+++=++++==-<----．20．【答案】（1）见解析；（2）1()21n n S n -⋅=+．【解析】（1）证明由已知122n n n a a =+＋，得1111122222nn n nn n n nn a b a b a +-++===+=+．∴11n n b b -=＋，又111b a ==．∴{}n b 是首项为1，公差为1的等差数列． （2）解由（1）知，n b n =,12n n n n a b -==．∴12n n a n ⋅=－．∴121122322n n S n +⋅⋅+=⋅++－，两边乘以2得:()11221222122n n n S n n =++⋅+-⋅+⋅⋅－，两式相减得：12112222(21?221)1n n n n n n S n n n ++-=-=-++⋅---－＝，∴1()21n n S n -⋅=+．21．【答案】（1）21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩;（2)见解析． 【解析】（1)解由已知()1112,212n nn n a S a Sn +-⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩≥，得()1322n n a a n +≥=．∴数列{}n a 是以2a 为首项，以32为公比的等比数列． 又121111222a S a ===，∴()22322n n a a n -⎛⎫≥ ⎪⎝⎭=⨯．∴21,1132,22n n a n n -⎛⎫≥ =⎧⎪=⨯⎪⎝⎨⎭⎪⎩． （2）证明()11log 3lo 3333=2222g n n n n b a -⎡⎤⎛⎫=⨯=⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦＋．∴()1111111n n b b n n n n +==-++． ∴12233411111111111111122334n n n T b b b b n b b b b n +⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++=-+-+-++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭=-+ 1111nn n=-=++． 22．【答案】（1）32,n a n n *=-∈N ；(2)22186n T n n -=-． 【解析】(1)∵对任意n *∈N ，有1()()612n n n S a a =++，① ∴当1n =时，有1111112()()6S a a a ==++， 解得11a =或2．当2n ≥时，有1111())62(1n n n S a a ---=++．② ①－②并整理得113()()0n n n n a a a a --+--=． 而数列{}n a 的各项均为正数,∴13n n a a --=．当11a =时，(1313)2n a n n +-=-=， 此时2249=a a a 成立；当12=a 时,23=(3=11)n a n n +--,此时2249=a a a 不成立,舍去． ∴32,n a n n *=-∈N ． （2)212212233445221n n n n T b b b a a a a a a a a a a =++=-+-++-＋21343522121()()()n n n a a a a a a a a a =-+-++-－＋242666n a a a --=-- 242(6)n a a a ++=-+246261862n nn n +-=-⨯-=-．。
新课标最新北师大版2018-2019学年高中数学必修五《数列》同步习题课及答案解析
北师大版高中数学必修五习题课(1)课时目标 1.熟练掌握等差数列的概念、通项公式、前n 项和公式，并能综合运用这些知识解决一些问题.2.熟练掌握等差数列的性质、等差数列前n 项和的性质，并能综合运用这些性质解决相关问题．1．若S n 是数列{a n }的前n 项和，则S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧n ＝1，n ≥2.2．若数列{a n }为等差数列，则有： (1)通项公式：a n ＝__________；(2)前n 项和：S n ＝______________＝_________________________________________. 3．等差数列的常用性质(1)若{a n }为等差数列，且m ＋n ＝p ＋q(m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则______________________． (2)若S n 表示等差数列{a n }的前n 项和，则 S k ，S 2k －S k ，____________成等差数列．一、选择题1．在等差数列{a n }中，a 1＋3a 8＋a 15＝120，则2a 9－a 10的值为( ) A ．24 B ．22 C ．20 D ．－82．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＋a 7＋a 11＝6，则S 13等于( ) A ．24 B ．25 C ．26 D ．273．设数列{a n }、{b n }都是等差数列，且a 1＝25，b 1＝75，a 2＋b 2＝100，则a 37＋b 37等于( ) A ．0 B ．37 C ．100 D ．－374．设{a n }是公差为正数的等差数列，若a 1＋a 2＋a 3＝15，a 1a 2a 3＝80，则a 11＋a 12＋a 13等于( )A．120 B．105C．90 D．755．若{a n}为等差数列，S n为其前n项和，若a1>0，d<0，S4＝S8，则S n>0成立的最大自然数n为( )A．11 B．12C．13 D．146．在等差数列{a n}中，a1＝－2 008，其前n项和为S n，若S2 0082 008－S2 0062 006＝2，则S2 012等于( )A．－2 012 B．2 012C．6 033 D．6 036二、填空题7．已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋n＋1，则a6＋a7＋…＋a10的值为________．8．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S p＝S q(p，q∈N＋且p≠q)，则S p＋q＝________. 9．等差数列{a n}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使前n项和S n取得最大值的自然数n是______．10．已知数列{a n}中，a1＝20，a n＋1＝a n＋2n－1，n∈N＋，则数列{a n}的通项公式a n＝________.三、解答题11．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m.(1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？(2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？12．已知公差大于零的等差数列{a n}的前n项和为S n，且满足：a3·a4＝117，a2＋a5＝22.(1)求数列{a n}的通项公式a n；(2)若数列{b n}是等差数列，且b n＝S nn＋c，求非零常数c.能力提升13．在等差数列{a n}中，a10<0，a11>0，且|a10|<a11，S n为{a n}的前n项的和，则下列结论正确的是( )A．S1，S2，…，S10都小于零，S11，S12，…都大于零B．S1，S2，…，S5都小于零，S6，S7，…都大于零C．S1，S2，…，S20都小于零，S21，S22，…都大于零D．S1，S2，…，S19都小于零，S20，S21，…都大于零14．把自然数1,2,3,4，…按下列方式排成一个数阵．12 34 5 67 8 9 1011 12 13 14 15……………………………根据以上排列规律，数阵中第n (n ≥3)行从左至右的第3个数是______________．1．等差数列是最基本、最常见的数列，等差数列的定义是研究解决等差数列的判定和性质，推导通项公式、前n 项和公式的出发点．2．通项公式与前n 项和公式联系着五个基本量：a 1、d 、n 、a n 、S n .掌握好本部分知识的内在联系、结构，以便灵活运用．3．另外用函数观点和方法揭示等差数列的特征，在分析解决数列的综合题中有重要的意义．习题课(1) 答案知识梳理1．S 1 S n －S n －1 2.(1)a 1＋(n －1)d (2)na 1＋n(n －1)d 2 n(a 1＋a n )2 3.(1)a m ＋a n ＝a p＋a q (2)S 3k －S 2k 作业设计 1．A2．C [∵a 3＋a 7＋a 11＝6，∴a 7＝2，∴S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13a 7＝26.]3．C [设数列{a n }，{b n }的公差分别为d ，d ′，则a 2＋b 2＝(a 1＋d)＋(b 1＋d ′)＝(a 1＋b 1)＋(d ＋d ′)＝100. 又∵a 1＋b 1＝100，∴d ＋d ′＝0.∴a 37＋b 37＝(a 1＋36d)＋(b 1＋36d ′)＝(a 1＋b 1)＋36(d ＋d ′)＝100.] 4．B [∵a 1＋a 2＋a 3＝3a 2＝15，∴a 2＝5. ∵a 1＝5－d ，a 3＝5＋d ，d>0， ∴a 1a 2a 3＝(5－d)·5·(5＋d)＝80， ∴d ＝3，a 1＝2.∴a 11＋a 12＋a 13＝3a 12＝3(a 1＋11d)＝3a 1＋33d ＝3×2＋33×3＝105.] 5．A [S 4＝S 8⇒a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0⇒a 6＋a 7＝0，又a 1>0，d<0，S 12＝(a 1＋a 12)·122＝0，n<12时，S n >0.]6．D [S n n ＝a 1＋(n －1)d2，∴S 2 0082 008－S 2 0062 006＝a 1＋2 008－12d －a 1－2 006－12d ＝d ＝2. ∴S 2 012＝2 012×(－2 008)＋2 012×2 0112×2＝2 012×3＝6 036.] 7．80解析 a 6＋a 7＋…＋a 10＝S 10－S 5＝111－31＝80. 8．0解析 设S n ＝an 2＋bn ，由S p ＝S q . 知ap 2＋bp ＝aq 2＋bq ，∴p ＋q ＝－b a.∴S p ＋q ＝a(p ＋q)2＋b(p ＋q)＝a(－b a )2＋b(－b a )＝b 2a －b2a＝0.9．5或6解析 d<0，|a 3|＝|a 9|，∴a 3>0，a 9<0且a 3＋a 9＝0， ∴a 6＝0，∴a 1>a 2>…>a 5>0，a 6＝0,0>a 7>a 8>…. ∴当n ＝5或6时，S n 取到最大值． 10．n 2－2n ＋21解析 ∵a n ＋1－a n ＝2n －1， ∴a 2－a 1＝1，a 3－a 2＝3，…， a n －a n －1＝2n －3，n ≥2.∴a n －a 1＝1＋3＋5＋…＋(2n －3)． ∴a n ＝20＋(n －1)(2n －2)2＝n 2－2n ＋21.11．解 (1)设n 分钟后第1次相遇，依题意， 有2n ＋n(n －1)2＋5n ＝70，整理得n 2＋13n －140＝0. 解之得n ＝7，n ＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n 分钟后第2次相遇，依题意，有 2n ＋n(n －1)2＋5n ＝3×70，整理得n 2＋13n －420＝0. 解之得n ＝15，n ＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．12．解 (1)设等差数列{a n }的公差为d ，且d>0. ∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117， 又公差d>0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝9a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝4，∴a n ＝4n －3.(2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n(n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－nn ＋c .∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. ∵{b n }是等差数列，∴2b 2＝b 1＋b 3， ∴2c 2＋c ＝0，∴c ＝－12 (c ＝0舍去)．13．D [∵S 19＝19(a 1＋a 19)2＝19a 10<0，S 20＝20(a 1＋a 20)2.而a 1＋a 20＝a 10＋a 11，∵a 10<0，a 11>0且|a 10|<a 11， ∴a 10＋a 11>0，∴S 20＝20(a 1＋a 20)2＝10(a 10＋a 11)>0.又∵d ＝a 11－a 10>0. ∴S n >0 (n ≥20)．] 14.n 22－n 2＋3解析 该数阵的第1行有1个数，第2行有2个数，…，第n 行有n 个数，则第n －1 (n ≥3)行的最后一个数为(n －1)(1＋n －1)2＝n 22－n 2，则第n 行从左至右的第3个数为n 22－n2＋。
北师大版高中数学必修5数列数列概念
项数无限的数列叫做无穷数列。
1, 例如:数列
1, 1,1, 1, 2 345
16
按项的大小分： 递增数列 —— a n ＜a n + 1 递减数列 —— a n ＞a n + 1
常数列 : a n = a n + 1
摆动数列 : a n －1 ＜a n 且 a n ＞a n + 1
17
数列的例题1
通2. 项数公列式2是，：4a，n 6，n8，3…(n≤7的) 通项
公式是： an 2n
3. 数列 1，4，7，10，… 的通
项公式是：an 3n 2
10
实质：从映射、函数的观点 看，数列可以看作是一个定
义域为正整数集N*（或它的 有限子集{1，2，…，n}）
的函数，当自变量从小到大 依 次取值时对应的一列函数 值。
4
堆 放 的 钢 管
4，5，6，7，8，9，10.
5
正整数的的倒数：
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2 345
2精确到1，0.1,0.01,0.001, 的值：
1， 1.4， 1.41，1.414， …，
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：
-1， 1，-1， 1， -1， 1， …
（2）能力目标：学会观察、分析、猜测、归纳； 数形结合法的应用；数学归纳法的应用。
2
（3）认知目标：通过教学培养学生观察问题、分析 问题的能力，学习辩证的观点从特殊到一般的认识事 物规律，大胆猜测、归纳。
（4）德育目标：从德育方面进行教育、善比较、细 分析、做生活中的有心人，发现规律，不要马马虎虎、 似是而非，做符合时代的“创新型”的人才。
例1 根据数列 an 的通项公式，写出它的前5项。
(常考题)北师大版高中数学必修五第一章《数列》测试卷(含答案解析)(3)
一、选择题1．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥，若()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n ∈N 都成立，则实数λ的最小值为（ ） A ．52-B ．116C ．332D ．12．在等比数列{}n a 中，有31598a a a =，数列{}n b 是等差数列，且99b a =，则711b b +等于（ ） A ．4B ．8C ．16D ．243．已知数列{}n a 满足11a =，24a =，310a =，1{}n n a a +-是等比数列，则数列{}n a 的前8项和8S =（ ） A ．376B ．382C ．749D ．7664．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N*-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．175．数列{}n a 中，11a =，113,3,3n n n n a N a n a N *+*-⎧+∉⎪⎪=⎨⎪∈⎪⎩，使2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为（ ） A ．1008B ．2016C ．2018D ．20206．“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年.如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，记n a 为图中虚线上的数1,3,6,10，构成的数列{}n a 的第n 项，则100a 的值为（ ）A ．5049B ．5050C ．5051D ．51017．已知数列1a ，21a a ，…1nn a a -，…是首项为1，公比为2的等比数列，则2log n a =（ ）A ． (1)n n +B ．(1)4n n - C ．(1)2n n + D ．(1)2n n -8．数列{}n a 的通项公式是*1()(1)n a n n n =∈+N ，若前n 项的和为1011，则项数为（ ）． A ．12B ．11C ．10D ．99．记n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，若数列{}12n S a -也为等比数列，则43a a =（ ）． A ．2B ．1C ．32D ．1210．已知数列{}n a的通项公式为)*n a n N =∈，其前n 项和为n S ，则在数列1S ，2S …，2019S 中，有理数项的项数为（ ） A ．42B ．43C ．44D ．4511．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-12．已知等比数列{}n a 中，若1324,,2a a a 成等差数列，则公比q =（ ） A ．1B ．1-或2C ．3D ．1-二、填空题13．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则2020S =_________．14．数列{}n a 中，16a =，29a =，且{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，则n a =______.15．数列{}n a 满足11a =，22a =，且2221sin 2cos 22n nn n a a ππ+⎛⎫=+⋅+ ⎪⎝⎭（*n N ∈），则2020a =__.16．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，1a 为整数，213a =-，8n S S ≥，则数列{}n a 的通项公式为n a =________.17．设,n n S T 分别是等差数列{}{},n n a b 的前n 项和，已知()*2142n n S n n N T n +=∈-，则10317a b b =+_________．18．已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，若112a =，且122n n a a +=-，则100S =________. 19．已知数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，21nn n b a -=+，且1222n n n S T n ++=+-，则2n T =____．20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________．三、解答题21．已知等差数列{}n a 满足()()()()*122312(1)n n a a a a a a n n n N +++++⋅⋅⋅++=+∈． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）求数列2n n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和n S ．22．在①119n n a a +-=-，②113n n a a +=-③18n n a a n +=+-这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答.设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且19a =，__________，求{}n a 的通项公式，并判断n S 是否存在最大值，若存在，求出最大值：若不存在，说明理由. 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分23．已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且11a =，()121n n a S n N *+=+∈，等差数列{}n b 满足39b =，15272b b +=.（1）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n c 的前n 项和为n T ，且n n n c a b =⋅，求n T . 24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．已知数列{}n a 满足11a =，1nn n a pa q +=+，（其中p 、q 为常数，*n N ∈）.（1）若1p =，1q =-，求数列{}n a 的通项公式；（2）若2p =，1q =，数列1n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为n T .证明：22n T n <+，*n N ∈.26．设等差数列{}n a 的首项1a 为()0a a >，其前n 项和为n S . （Ⅰ）若1S ，2S ，4S 成等比数列，求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）若对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，问是否存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln k S 、1ln k S +、2ln k S +成等比数列？若存在，求出所有符合条件的k 值；若不存在，请说明理由.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由n S 与n a 的关系得21nn a =-，则272n maxn λ-⎛⎫≥⎪⎝⎭，设272n nn c -=，利用数列的单调性即可求解． 【详解】解：数列{}n a 的前n 项和为n S ，11a =，23a =，且()11222n n nn S S S n +-+=+≥， 所以112nn n n n S S S S +--=+-，故()122nn n a a n +-=≥，因为1212a a -=，所以()121nn n a a n +-=≥，所以112n n n a a ---=，2122n n n a a ----=，⋯，1212a a -=， 则1211222n n a a --=++⋯+，故11211222121n n n n a --=++⋯+==--， 所以()123122122222221n n n nS n n n +-=+++⋯+-=-=---，所以21nn n S a n -=--，因为()()72n n S a n λλλ-++≥-对任意*n N ∈都成立， 所以272nmaxn λ-⎛⎫≥ ⎪⎝⎭． 设272n nn c -=，则111252792222n n n n n n n nc c +++----=-=， 当4n ≤时，1n n c c +>，当5n ≥时，1n n c c +<， 因此1234567c c c c c c c <<⋯<><> 即5332c λ≥=，故λ的最小值为332． 故选：C 【点睛】本题解答的关键利用11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩求出数列n a 的递推公式，再利用累加法求出na 的通项；2．C解析：C 【分析】根据等比数列性质求得9a ，再由等差数列性质求解． 【详解】∵{}n a 是等比数列，∴2931598a a a a ==，90a ≠，所以98a =，即998b a ==，∵{}n b 是等差数列，所以7119216b b b +==． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列和等比数列的性质，掌握等差数列和等比数列的性质是解题关键，设,,,m n p l 是正整数，m n p l +=+，若{}n a 是等差数列，则m n p l a a a a +=+，若{}n a 是等比数列，则m n p l a a a a =．p l =时，上述结论也成立．3．C解析：C 【分析】利用累加法求出通项n a ，然后利用等比数列的求和公式和分组求和法，求解8S 即可 【详解】由已知得，213a a -=，326a a -=，而{}1n n a a +-是等比数列，故2q，∴11221()()()n n n n a a a a a a ----+-+-=23632n -+++⨯1133232312n n ---⨯==⨯--，1n a a ∴-=1323n -⨯-，化简得1322n n a -=⨯-，878128123(122)2831612S a a a -=++=⨯+++-⨯=⨯--83219749=⨯-=故选：C 【点睛】关键点睛：解题关键在于利用累加法求出通项.4．C解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．5．C解析：C 【分析】根据数列的通项公式，列出各项，找数列的规律，判断到哪一项是大于2021，即可得答案. 【详解】由已知可得，数列{}n a ：1,4,7,4,7,10,7,10,13,，可得规律为1,4,7，4,7,10，7,10,13……此时将原数列分为三个等差数列：1,4,7,n a n =，{}31,n n n m m N ∈=+∈；4,7,10,2n a n =+，{}32,n n n m m N ∈=+∈；7,10,13,4n a n =+，{}33,n n n m m N ∈=+∈，当673m =时，312020n m =+=，即2020202120222020,2023,2026a a a ===. 而672m =时，312017n m =+=，即2017201820192017,2020,2023a a a ===， 所以满足2021n a <对任意的()n k k *≤∈N 恒成立的最大k 值为2018．故选：C. 【点睛】关于数列的项的判断，一般有两种题目类型，一种是具有周期的数列，可以通过列出前几项找出数列的周期，利用周期判断；另一种是数列的项与项之间存在规律，需要通过推理判断项与项之间的规律从而得数列的通项.6．B解析：B 【分析】观察数列的前4项，可得(1)2n n n a +=，将100n =代入即可得解. 【详解】由题意得11a =，2312a ==+，36123a ==++，4101234a ==+++⋅⋅⋅ 观察规律可得(1)1232n n n a n +=+++⋅⋅⋅+=， 所以10010010150502a ⨯==. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查了观察法求数列的通项公式，关键是将各项拆成正整数的和的形式发现规律.7．D解析：D 【分析】根据题意，求得1nn a a -，再利用累乘法即可求得n a ，再结合对数运算，即可求得结果.【详解】由题设有111122(2)n n nn a n a ---=⨯=≥， 而(1)1213221121122(2)n n n n n n a aa a a n a a a -+++--=⨯⨯⨯⨯=⨯=≥，当1n =时，11a =也满足该式，故(1)22(1)n n n a n -=≥，所以2(1)log 2n n n a -=， 故选：D. 【点睛】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，涉及对数运算，属综合基础题.8．C解析：C 【解析】分析：由已知，111(1)1n a n n n n ==-++，利用裂项相消法求和后，令其等于1011，得到n 所满足的等量关系式，求得结果.详解：111(1)1n a n n n n ==-++ ()n *∈N ，数列{}n a 的前n 项和11111(1)()()2231n S n n =-+-+⋯+-+ 1111n n n =-=++，当1011n S =时，解得10n =，故选C. 点睛：该题考查的是有关数列的问题，在解题的过程中，需要对数列的通项公式进行分析，选择相应的求和方法--------错位相减法，之后根据题的条件，建立关于n 的等量关系式，从而求得结果.9．D解析：D 【分析】分公比是否为1进行讨论，再利用等比数列的前n 项和公式及定义求解即可. 【详解】解：设等比数列{}n a 的公比为q ，当1q =时，()1111222n S a na a n a -=-=-， 则{}12n S a -不为等比数列，舍去， 当1q ≠时，()1111111222111n n n a q a aS a a q a qq q--=-=+----， 为了符合题意，需11201a a q -=-，得12q =，故4312a q a ==.故选D ． 【点睛】本题考查等比数列的前n 项和公式，定义，考查逻辑推理能力以及运算求解能力，属于中档题.10．B解析：B 【分析】本题先要对数列{}n a 的通项公式n a 运用分母有理化进行化简，然后求出前n 项和为n S 的表达式，再根据n S 的表达式的特点判断出那些项是有理数项，找出有理数项的下标的规律，再求出2019内属于有理数项的个数． 【详解】解：由题意，可知：n a ===1n n =-+． 12n n S a a a ∴=++⋯+122=-+1= 3S ∴，8S ，15S ⋯为有理项，又下标3，8，15，⋯的通项公式为21(2)n b n n =-，212019n ∴-，且2n ，解得：244n ，∴有理项的项数为44143-=．故选：B ． 【点睛】本题主要考查分母有理化的运用，根据算式判断有理数项及其下标的规律，属于中档题．11．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.12．B解析：B 【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解. 【详解】因为1324,,2a a a 成等差数列，所以312242a a a =+，即2111242a q a a q =+，化简得220q q --=，解得1q =-或2q .故选B. 【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.二、填空题13．【分析】先证明当共线且则根据题意可求得的值然后利用等差数列求和公式可求得的值【详解】当共线时则共线可设所以又则由于（向量不平行）共线则由等差数列的求和公式可得故答案为：【点睛】本题考查等差数列求和同 解析：1010【分析】先证明当A 、C 、B 共线且OB mOA nOC =+，则1m n +=，根据题意可求得12020a a +的值，然后利用等差数列求和公式可求得2020S 的值. 【详解】当A 、C 、B 共线时，则AB 、AC 共线，可设AB AC λ=， 所以，()OB OA OC OA λ-=-，()1OB OA OC λλ∴=-+， 又OB mOA nOC =+，则()11m n λλ+=-+=，由于12020OB a OA a OC =+（向量OA 、OC 不平行），A 、C 、B 共线，则120201a a +=，由等差数列的求和公式可得()120202020202020201101022a a S +⨯===.故答案为：1010. 【点睛】本题考查等差数列求和，同时也考查了三点共线结论的应用，考查计算能力，属于中等题.14．【分析】由是以2为公差的等差数列可得：再利用累加求和方法等差数列的求和公式即可得出【详解】∵是以2为公差的等差数列∴∴故答案为：【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式累加求和方法考查了推理能 解析：25n +【分析】由{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列，可得：121n n a a n --=-，再利用累加求和方法、等差数列的求和公式即可得出. 【详解】∵{}1n n a a +-是以2为公差的等差数列， ∴()()1212221n n a a a a n n --=-+-=-，∴()()()12116321n n n a a a a a a n -=+-+⋯⋯+-=++⋯⋯+-()2121552n n n +-=+=+， 故答案为：25n +. 【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式、累加求和方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题.15．2020【分析】当n 为偶数时可得出故偶数项是以2为首项公差为2的等差数列求出通项公式代值计算即可得解【详解】当n 为偶数时即故数列的偶数项是以2为首项公差为2的等差数列所以所以故答案为：2020【点睛解析：2020 【分析】当n 为偶数时，可得出22n n a a +=+，故偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列，求出通项公式，代值计算即可得解. 【详解】 当n 为偶数时，2223cos 1sin 2cos 1cos 2222n n n n n n n a a a n a ππππ+-⎛⎫=+⋅+=⋅++=+ ⎪⎝⎭， 即22n n a a +=+，故数列{}n a 的偶数项是以2为首项，公差为2的等差数列， 所以2122n n a n ⎛⎫=+-⨯=⎪⎝⎭， 所以20202020a =. 故答案为：2020. 【点睛】本题考查数列的递推式，解题关键是得出当n 为偶数时，可得出2n a +与n a 的关系式，进而求出{}n a 的通项公式，考查逻辑思维能力和计算能力，属于常考题.16．【分析】设等差数列的公差为由等差数列的性质及前n 项和公式可得再由二次函数的图象与性质可得求得后再由等差数列的通项公式即可得解【详解】设等差数列的公差为则为整数所以由结合二次函数的图象与性质可得解得所 解析：217n -【分析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由等差数列的性质及前n 项和公式可得231322n n d d S n ⎛⎫+ ⎝-⎪⎭=，再由二次函数的图象与性质可得313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯，求得d 后再由等差数列的通项公式即可得解. 【详解】设等差数列{}n a 的公差为d ，则1213a a d d =-=--，d 为整数， 所以()()()2131313112222n d S d n n n n d a n d d n n n --=+⎛⎫--++ ⎪⎝=⎭=-， 由8n S S ≥，结合二次函数的图象与性质可得0d >，313151722222d d ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭≤-≤⨯， 解得131376d ≤≤， 所以2d =，所以1215a a d =-=-，所以()()111521217n a a n d n n =+-=-+-=-. 故答案为：217n -. 【点睛】本题考查了等差数列通项公式及前n 项和公式的应用，考查了利用二次函数的图象与性质解决等差数列前n 项和最值的问题，属于中档题.17．【分析】利用等差数列的性质得到再根据求解【详解】因为所以故答案为：【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用还考查了运算求解的能力属于中档题 解析：39148【分析】利用等差数列的性质得到1013171191912a a a b b b b =⨯+++191912S T =⨯，再根据2142n n S n T n +=-求解.【详解】因为()*2142n n S n n N T n +=∈-， 所以()()110113171119191991921912221a a a b b b a b b b a =⨯=⨯+++++，191911219139224192148S T ⨯+=⨯=⨯=⨯-， 故答案为：39148【点睛】本题主要考查等差数列的性质以及前n 项和公式的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.18．【分析】由递推公式依次计算出数列的前几项得出数列是周期数列从而可求和【详解】由题意∴数列是周期数列且周期为4故答案为：【点睛】本题考查数列的周期性考查求周期数列的和解题时可根据递推公式依次计算数列的解析：4256【分析】 由递推公式依次计算出数列的前几项，得出数列是周期数列，从而可求和． 【详解】 由题意2241322a ==-，33a =，42a =-，512a =， ∴数列{}n a 是周期数列，且周期为4.10012341442525()2532236S a a a a ⎛⎫=+++=⨯++-= ⎪⎝⎭．故答案为：4256． 【点睛】本题考查数列的周期性，考查求周期数列的和，解题时可根据递推公式依次计算数列的项，然后归纳出周期性．19．【解析】所以 解析：22(1)4n n n +++-【解析】1112222n n n n n T S b a b a b a n +-=-+-++-=+-所以222(1)4n n n n n n T T S S T n n +=-++=++-20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数.7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）21n a n =-；（2）2332n nn S +=-. 【分析】（1）利用已知条件列出关于首项与公差的方程组，解方程组即得数列{}n a 的通项公式；（2）先由（1）得到n n n a 2n 122-=，再利用错位相减法求和即可. 【详解】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，由已知得()()121223412a a a a a a +=⎧⎨+++=⎩，即122348a a a a +=⎧⎨+=⎩，所以()()()1111428a a d a d a d ⎧++=⎪⎨+++=⎪⎩，解得112a d =⎧⎨=⎩，所以21n a n =-． （2）由（1）得n n n a 2n 122-=， 所以1212321223212n n n n n S ---=++⋯++，① 231123212222213n n n n n S +--=++⋯⋯++，② -①②得：21111112132322222222n n n n n n S ++-+⎛⎫=+⨯+⋯+-=- ⎪⎝⎭， 所以2332n nn S +=-．易错点睛：用错位相减法求和应注意的问题（1）要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；（2）在写出“n S ”与“n qS ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“n n S qS -”的表达式；（3）在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解. 22．答案见解析 【分析】选①：由等差数列通项公式得出通项n a 后，解0n a ≥，满足此不等式的最大的n 使得n S 最大，注意若n a 0=，则有两个值使得n S 最大，选②：由等比数列前n 项和公式得出n S ，由于公比是负数，因此按n 的奇偶性分类讨论求得n S 的最大值；选③：由累加法求得n a ，利用n a 的表达式是n 的二次函数形式，当15n ≥时，0n a >，确定n S 不存在最大值. 【详解】 选①因为119n n a a +-=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公差为19-的等差数列.所以()118291999n a n n ⎛⎫=+-⋅-=-+ ⎪⎝⎭. 由182099n -+≥，得82n ≤，即820a ≥ 所以n S 存在最大值，且最大值为81S 或82S ， 因为818180181936929S ⨯⎛⎫=⨯+⨯-= ⎪⎝⎭，所以n S 的最大值为369. 选② 因为113n n a a +=-，19a =，所以{}n a 是首项为9，公比为13-的等比数列. 所以1311933n n n a --⎛⎫⎛⎫=⨯-=- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭.1︒当n 为奇数时，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==+ ⎪⎝⎭+， 因为271143n ⎛⎫+ ⎪⎝⎭随着n 的增大而减小，所以此时n S 的最大值为19S =；2︒当n 为偶数的，1913271114313n n n S ⎡⎤⎛⎫⨯--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦==- ⎪⎝⎭+， 且2712719434n n S ⎛⎫=-<< ⎪⎝⎭， 综上，n S 存在最大值，且最大值为9. 选③因为18n n a a n +=+-，所以18n n a a n +-=-，所以217a a -=-，326a a -=-，…，19n n a a n --=-， 以上1n -个等式相加得()()21791171622n n n n n a a -+---+-==， 因为19a =，所以()2173422n n n a n -+=≥，又19a =也满足上式，所以217342n n n a -+=. 当15n ≥时，0n a >，故n S 不存在最大值. 【点睛】关键点点睛：本题考查数列前n 项和的最大值问题，一种方法是求出n S 的表达式，由函数的性质确定n S 的最大值，一种是利用数列项的性质，如数列是递减的数列，10a >，则满足0n a ≥的最大的n 使得n S 最大． 23．（1）13-=n n a ，3n b n =；（2）1321344n n n T +-=+⋅. 【分析】（1）由数列的递推关系式求出等比数列{}n a 的通项公式，利用等差数列的基本量运算得出{}n b 的通项公式； （2）利用错位相减法求出n T ． 【详解】（1）1211n n a S n +=+≥①1212n n a S n -=+≥②①-②得：13n n a a +=，2n ≥ 又因为11a =，23a =所以数列{}n a 是以1为首项，3为公比的等比数列所以13-=n n a因为{}n b 为等差数列且39b =，15272b b +=所以有：()111292724b d b b d +=⎧⎨+=+⎩解得：13b =，3d =，所以3n b n =（2）由（1）知3nn c n =⋅213233n n T n =⋅+⋅+⋅①()23131323133n n n T n n +=⋅+⋅+-⋅+⋅②①-②得：2312333...33n n n T n +-=++++-⋅()11131********2n n n n n T n n +++---=-⋅=-⋅-1321344n n n T +-=+⋅【点睛】方法点睛：本题考查数列的通项公式，考查数列的求和，数列求和的方法总结如下： 1.公式法，利用等差数列和等比数列的求和公式进行计算即可；2.裂项相消法，通过把数列的通项公式拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求出数列的和；3.错位相减法，当数列的通项公式由一个等差数列与一个等比数列的乘积构成时使用此方法；4.倒序相加法，如果一个数列满足首末两项等距离的两项之和相等，可以使用此方法求和．24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）()*1(1)2n n a n N --=∈；（2）证明见解析. 【分析】（1）1p =，1q =-，已知条件可得1(1)nn n a a +-=-，利用累加法及等比数列的求和公式，计算可求数列{}n a 的通项公式；（2）2p =，1q =，121n n a a +=+，化简可得1121n n a a ++=+，通过等比数列的通项公式求得()*21nn a n N =-∈，化简可得11212222n n nn a a +=+≤+-，放缩后，通过分组求和可证得结果. 【详解】（1）∵1p =，1q =-，∴1(1)n n n a a ++-=，即1(1)nn n a a +-=-，∴当2n ≥：12111221(1)(1)(1)n n n n n n a a a a a a ------+-++-=-+-++-，得1(1)12n n a a -+-=，∴11a =，∴1(1)2nn a --=，当1n =：11a =也符合上式，故()*1(1)2n n a n N --=∈（或1,0,nn a n ⎧=⎨⎩为奇数为偶数）.（2）∵2p =，1q =，∴121n n a a +=+，∴()1121n n a a ++=+， 即1121n n a a ++=+，∴{}1n a +是以2为首项，2为公比的等比数列， ∴12nn a +=，即()*21nn a n N=-∈.又1112122122221112122n n n n n n n n a a +++--+===+≤+---， ∴11122221221212n n n T n n n -⎛⎫≤+=+-<+ ⎪⎝⎭-， 综上说述：()*22n T n n N <+∈.【点睛】方法点睛：数列求和的方法技巧：（1）倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和. （2）错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和 （3）分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和.（4）裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和. 26．（Ⅰ）0d =时，n a a =；2d a =时，2n a an a =-；（Ⅱ）不存在，理由见解析. 【分析】（Ⅰ）根据等差数列写出(1)2n n n dS na -=+，利用等比中项性质列式代入求解；（2）设存在()*2,k k k ≥∈N ，根据等比中项列式，整理化简之后分类讨论0d =与0d >是否成立. 【详解】（Ⅰ）因为1S ，2S ，4S 成等比数列，所以2214S S S ，又因为数列{}n a 是等差数列，首项1a 为()0a a >，所以(1)2n n n d S na -=+，则()()2246a d a a d +=+，可得0d =或2d a =，当0d =时，n a a =；当2d a =时，2(1)2n a a n a an a =+-=-.（Ⅱ）设存在()*2,k k k ≥∈N，使ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列，则122ln l ln n k k k S S S ++=⋅，对任意的*n ∈N ，恒有0n S >，首项0a >，所以0d ≥因为()22222ln ln ln ln ln 22k k k k k k S S S S S S +++⋅⎡⎤+⎡⎤⋅<=⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦()()()22211121112ln ln 22k k k k k k k k S dS a a S a S a ++++++++⎡⎤+--+⎡⎤⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，当0d =时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k S dS a a S a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+--⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；当0d >时，()()()2222222111211+121ln ln ln ln 222k k k k k k k k k S dS a a S dS a S S +++++++⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥=<=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，即122ln l ln n k k k S S S ++>⋅，不成立；综上，不存在()*2,k k k ≥∈N ，使得ln kS、1ln k S +、2ln k S +成等比数列.【点睛】关于等比中项性质的运用，需要注意,,a b c 三个数成等比数列，列式得2b ac =，然后再根据数列是等差还是等比数列化为基本量1,a d 或1,a q 计算.。
2018年高中数学 第一章 数列 1.3 等比数列 1.3.2 第2课时 数列求和习题课 北师大版必修5
(2)令{cn}的前 n 项和为 Sn，则 Sn＝112＋214＋318＋…＋n＋12n ＝(1＋2＋3＋…＋n)＋12＋14＋18＋…＋12n ＝n（n2＋1）＋1211－－1212n＝n（n2＋1）＋1－12n. 即数列{cn}的前 n 项和为 Sn＝n2＋2 n＋1－12n.
(2)由第一问知，an＝2n－1，bn＝3n－1. 因此 cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1. 从而数列{cn}的前 n 项和 Sn＝1＋3＋…＋(2n－1)＋1＋3＋…＋3n－1 ＝n（1＋22n－1）＋11－－33n＝n2＋3n－2 1.
如果一个数列的通项公式可写成 cn＝an±bn 的形式，而数列{an}， {bn}是等差数列或等比数列或可转化为能够求和的数列，那么 可采用分组转化法求和．
3.已知 an＝3nn，求数列{an}的前 n 项和 Sn.
解：Sn＝13＋322＋333＋…＋n3－n－11＋3nn， 13Sn＝312＋323＋…＋n－3n 1＋3nn＋1， 两式相减得 23Sn＝13＋312＋313＋…＋31n－3nn＋1
＝1311－－1331n－3nn＋1 ＝12－2×1 3n－3nn＋1， 所以 Sn＝34－4×13n－1－2×n3n＝34－24n×＋33n .
规范解答
数列求和
(本题满分 12 分)已知数列{an}的前 n 项和 Sn＝3n2＋8n， {bn}是等差数列，且 an＝bn＋bn＋1. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)令 cn＝（（abn＋n＋12））n＋n1，求数列{cn}的前 n 项和 Tn.
【解】 (1)由题意知，当 n≥2 时， an＝Sn－Sn－1＝6n＋5， 当 n＝1 时，a1＝S1＝11，
【解】 (1)设{an}的公比为 q， 由题意知：a1(1＋q)＝6，a21q＝a1q2. 又 an>0，解得：a1＝2，q＝2， 所以 an＝2n.
(必考题)高中数学必修五第一章《数列》测试卷(有答案解析)(1)
一、选择题1．设首项为1的数列{}n a 的前n 项和为n S ，且113,2,23,21,n n n a n k k N a a n k k N *-*-⎧+=∈=⎨+=+∈⎩，若4042m S >，则正整数m 的最小值为（ ）A ．14B ．15C ．16D ．172．设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若11n n S n T n -=+．则55a b =（ ） A ．23B ．45C ．32D ．543．已知数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，若1234480k k k k a a a a +++++++=，则k =（ ）A ．3B ．4C ．5D ．64．已知数列{}n a 中，其前n 项和为n S ，且满足2n n S a =-，数列{}2n a 的前n 项和为n T ，若20n n S T λ+>对*n N ∈恒成立，则实数λ的取值范围是（ ）A ．(3,)+∞B ．(1,3)-C ．93,5⎛⎫⎪⎝⎭D ．(1,)-+∞5．设数列{}n a 满足12a =，26a =，且()*2122n n n a a a n N ++-+=∈，若[]x 表示不超过x 的最大整数（例如[]1.61=，[]1.62-=-），则222122018232019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤+++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦＝（ ）A ．2018B ．2019C ．2020D ．20216．已知数列{}n a 满足()1341n n a a n ++=≥，且19a =，其前n 项之和为n S ，则满足不等式16125n S n --<的最小整数n 是（ ） A ．5B ．6C ．7D ．87．已知等差数列{}n a 的前n 和为n S ，若1239a a a ++=，636S =，则12(a = ) A ．23B ．24C ．25D ．268．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，55a =，836S =，则数列11{}n n a a +的前n 项和为（ ）A ．11n + B ．1n n + C ．1n n- D ．11n n -+ 9．已知递增的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，175a a ⋅=，266a a +=，对于n *∈N ，不等式1231111+++⋅⋅⋅+<nM S S S S 恒成立，则整数M 的最小值是（ ） A ．1B ．2C ．3D ．410．对于数列{}n a ，定义11233n nn a a a T n-+++=为{}n a 的“最优值”，现已知数列{}n a 的“最优值”3n n T =，记数列{}n a 的前n 项和为n S ，则20202020S=（ ） A ．2019B ．2020C ．2021D ．202211．若a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则p q +的值等于（ ） A ．6B ．7C ．8D ．912．已知数列{}n a 满足12a =，*11()12n na n N a +=-+∈，则2020a =（ ） A ．2B ．13 C ．12-D ．3-二、填空题13．设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且*1111,20,3n n n a a S S n N ++=+=∈，则1223910S S S S S S ++⋅⋅⋅⋅⋅+=___________.14．在平面直角坐标系xOy 中，点A 在y 轴正半轴上，点n P 在x 轴上，其横坐标为n x ，且{}n x 是首项为1、公比为2的等比数列，记*1,n n n P AP n N θ+∠=∈．若32arctan 9θ=，则点A 的坐标为________．15．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，若1sin 12n n a n π+⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，则2018S =______. 16．在等比数列{}n a 中，2514,2==a a ，则公比q =__________． 17．已知数列{}n a 的前n 项和是n S ，若111,n n a a a n +=+=，则1916S S -的值为________. 18．设无穷数列{a n }的前n 项和为S n ，下列有三个条件： ①m n m n a a a +⋅＝； ②S n ＝a n +1+1，a 1≠0；③S n ＝2a n +1p（p 是与n 无关的参数）． 从中选出两个条件，能使数列{a n }为唯一确定的等比数列的条件是______． 19．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且4873a a a +-=_________． 20．若等差数列{}n a 中，10a <，n S 为前n 项和，713S S =，则当n S 最小时n =________． 三、解答题21．设数列{}n a 满足()121*4n n a n N a +=-∈-，其中11a =. （1）证明：112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是等比数列； （2）令32n n n a b a -=-，设数列(){}21-⋅n n b 的前n 项和为n S ，求使2021n S <成立的最大自然数n 的值.22．设数列{}n a ，{}n b 是公比不相等的两个等比数列，数列{}n c 满足*,n n n c a b n =+∈N ．（1）若2,3nnn n a b ==，是否存在常数k ，使得数列{}1n n c kc +-为等比数列?若存在，求k 的值；若不存在，说明理由；（2）证明：{}n c 不是等比数列．23．已知数列{}n a 满足11a =，13(1)n n na n a +=+． （1）设nn a b n=，求证:数列{}n b 是等比数列; （2）求数列{}n a 的前n 项和n S ．24．已知递增等比数列{}n a 满足：12a =，416a = ． （1）求数列{}n a 的通项公式；（2）若数列{}n b 为等差数列，且满足221b a =-，3358b a =，求数列{}n b 的通项公式及前10项的和；25．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，______．从①数列{}n a 是公比为2的等比数列，2a ，3a ，44a -成等差数列；②22n n S a =-；③122n n S +=-．这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并作答．（1）求数列{}n a 的通项公式； （2）若21log nn na b a +=，求数列{}n b 的前n 项和n T ．26．已知数列{}n a 的前n 项和为21n S n n =++．（1）求这个数列的通项公式； （2）设()11n n n b n a a *+=∈N ，证明：对n *∀∈N ，数列{}n b 的前n 项和524n T <．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】根据已知递推关系求出数列{}n a 的奇数项加9成等比数列，偶数项加6成等比数列，然后求出2n S 后，检验141615,,S S S 可得． 【详解】当n 为奇数时，122232(3)329n n n n a a a a ---=+=++=+，所以292(9)n n a a -+=+，又1910a +=，所以1359,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，1219102n n a --+=⨯，即1211029n n a --=⨯-，当n 为偶数时，122323326n n n n a a a a ---=+=++=+，所以262(6)n n a a -+=+，又2134a a =+=，所以2469,9,9,a a a +++成等比数列，公比为2，126102n n a -+=⨯，即121026n n a -=⨯-，所以210(12)10(12)9620220151212n n n n S n n n --=-+-=⨯----，714202201572435S =⨯--⨯=，816202201584980S =⨯--⨯=， 7151415243510293706S S a =+=+⨯-=，所以满足4042m S >的正整数m 的最小值为16． 故选：C ． 【点睛】关键点点睛：本题考查由数列的递推关系求数列的和．解题关键是分类讨论，确定数列的奇数项与偶数项分别满足的性质，然后结合起来求得数列的偶数项的和2n S ，再检验n 取具体数值的结论．2．B解析：B 【分析】本题首先可令9n =，得出9945S T =，然后通过等差数列的性质得出959S a =以及959T b =，代入9945S T =中，即可得出结果. 【详解】因为11n n S n T n -=+，所以99914915S T -==+， 因为n S 是等差数列{}n a 前n 项和，n T 是等差数列{}n b 前n 项和， 所以()1995992a a S a +==，()1995992b b T b +==， 则95959459S a T b ==，5545a b =， 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题考查等差数列的相关性质的应用，主要考查等差数列前n 项和公式以及等差中项的应用，若等差数列{}n a 前n 项和为n S ，则()12n n n a a S +=，当2m n k +=时，2m n k a a a +=，考查化归与转化思想，是中档题.3．B解析：B 【分析】由已知，取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，根据等比数列的通项公式建立方程得可求得解． 【详解】因为数列{}n a 中，12a =，()*,N n m n m a a a n m +=⋅∈，所以取1m =，则112n n n a a a a +=⋅=，所以数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，所以2nn a =，又1234480k k k k a a a a +++++++=，即12344220282k k k k +++++++=，即040238k ⨯=，解得4k =， 故选：B ． 【点睛】关键点点睛：解决本题的问题的关键在于令1m =，得出数列{}n a 是以2为首项，2为公差的等比数列，利用等比数列的通项公式建立方程得解．4．D解析：D【分析】由2n n S a =-利用1112n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ，得到数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列，进而得到{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，利用等比数列前n 项和公式得到n S ，n T ，将20n n S T λ+>恒成立，转化为6321nλ-<-+，从而得出答案. 【详解】当1n =时，112S a =-，得 11a =；当2n ≥时，由2n n S a =-，得112n n S a --=-，两式相减得112n n a a -=， 所以数列{}n a 是以1为首项，12为公比的等比数列． 因为112n n a a -=，所以22114n n a a -=．又211a =，所以{}2n a 是以1为首项，14为公比的等比数列，所以1112211212n n n S ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-，11414113414nn n T ⎛⎫- ⎪⎡⎤⎛⎫⎝⎭==-⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦-， 由20n n S T λ+>，得()()321210nnλ-++>，所以()()321321663212121n nn n n λ-+--<==-+++， 所以6332121λ-<-=-=+， 所以1λ>-．综上，实数λ的取值范围是(1,)-+∞． 故选: D 【点睛】方法点睛：数列与不等式知识相结合的考查方式主要有三种： 一是判断数列问题中的一些不等关系； 二是以数列为载体，考查不等式的恒成立问题；三是考查与数列问题有关的不等式的证明．在解决这些问题时，往往转化为函数的最值问题.5．B解析：B 【分析】由2122n n n a a a ++-+=，可得()2112n n n n a a a a +++---=，214a a -=．利用等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数即可得出． 【详解】2122n n n a a a ++-+=，()2112n n n n a a a a +++∴---=，214a a -=．{}1n n a a +∴-是等差数列，首项为4，公差为2． 142(1)22n n a a n n +∴-=+-=+．2n ∴≥时，()()()112211n n n n n a a a a a a a a ---=-+-+⋯⋯+-+(1)22(1)..2222(1)2n n n n n n +=+-+⋯+⨯+=⨯=+． 2(1)1n n n a n++∴=．∴当2n ≥时，2(1)11⎡⎤++⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦n n n a n ． 222122018232019220172019a a a ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∴+++=+=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦. 故选：B ． 【点睛】本题考查了数列递推关系、等差数列的通项公式、累加求和方法、取整函数，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．6．C解析：C 【分析】首先分析题目已知3a n+1+a n =4（n ∈N*）且a 1=9，其前n 项和为S n ，求满足不等式|S n ﹣n ﹣6|＜1125的最小整数n ．故可以考虑把等式3a n+1+a n =4变形得到111-13n n a a +-=-，然后根据数列b n =a n ﹣1为等比数列，求出S n 代入绝对值不等式求解即可得到答案． 【详解】对3a n+1+a n =4 变形得：3（a n+1﹣1）=﹣（a n ﹣1） 即：111-13n n a a +-=- 故可以分析得到数列b n =a n ﹣1为首项为8公比为13-的等比数列． 所以b n =a n ﹣1=8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭a n =8×11-3n -⎛⎫ ⎪⎝⎭+1所以181********n nnS n n ⎡⎤⎛⎫--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎛⎫⎣⎦=+=-⨯-+ ⎪⎛⎫⎝⎭-- ⎪⎝⎭|S n ﹣n ﹣6|=n11-6-3125⎛⎫⨯< ⎪⎝⎭解得最小的正整数n=7 故选C ． 【点睛】此题主要考查不等式的求解问题，其中涉及到可化为等比数列的数列的求和问题，属于不等式与数列的综合性问题，判断出数列a n ﹣1为等比数列是题目的关键，有一定的技巧性属于中档题目．7．A解析：A 【解析】等差数列{}n a 的前n 和为n S ，1239a a a ++=，636S =，11339656362a d a d +=⎧⎪∴⎨⨯+=⎪⎩，解得1a 1,d 2，12111223a =+⨯=，故选A.8．B解析：B 【解析】设等差数列{}n a 的首项为1a ，公差为d . ∵55a =，836S = ∴114582836a d a d +=⎧⎨+=⎩∴111a d =⎧⎨=⎩∴n a n =，则11111(1)1+==-++n n a a n n n n ∴数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬⎩⎭的前n 项和为1111111111122334111nn n n n -+-+-+⋅⋅⋅+-=-=+++ 故选B.点睛：裂项相消法是最难把握的求和方法之一，其原因是有时很难找到裂项的方向，突破这一难点的方法是根据式子的结构特点，常见的裂项技巧：(1)()1111n n k k n n k ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭；（2）1k =； （3）()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭；（4）()()11122n n n =++ ()()()11112n n n n ⎡⎤-⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦；此外，需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题，导致计算结果错误.9．C解析：C 【分析】先求出等差数列的1a 和d ，由等差数列前n 项和公式得n S ，把1nS 拆成两项的差，用裂项相消法求得和12111nS S S +++，在n 变化时，求得M 的范围，得出结论． 【详解】∵{}n a 是等差数列，∴17266a a a a +=+=，由171765a a a a +=⎧⎨=⎩解得1715a a =⎧⎨=⎩或1751a a =⎧⎨=⎩，又{}n a 是递增数列，∴1715a a =⎧⎨=⎩，715127163a a d --===-， 1(1)(1)(2)233n n n n n n n S na d n --+=+=+=， 121113331324(2)n S S S n n +++=+++⨯⨯+3111111112324112n n n n ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥-++⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦31119311122124212n n n n ⎛⎫⎛⎫=+--=-+ ⎪ ⎪++++⎝⎭⎝⎭94<， 由不等式1231111+++⋅⋅⋅+<n M S S S S 恒成立，得94M ≥，∴最小的整数3M =． 故选：C ． 【点睛】本题考查不等式恒成立问题，考查等差数列的性质，等差数列的通项公式和前n 项和公式，裂项相消法求和，本题属于中档题．10．D解析：D 【分析】根据11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，得到112333n n n a a a n -+++=⋅，然后利用数列通项与前n 项和的关系求得21n a n =+，再利用等差数列求和公式求解. 【详解】 ∵11233n nn a a a T n-+++=，且3nn T =，∴112333n n n a a a n -+++=⋅，当2n ≥时，有()211213313n n n a a a n ---+++⋅=-⋅，两式相减可得：()()1113313213n n n n n a n n n ---⋅=⋅--⋅=+⋅.∴21n a n =+（2n ≥）. 当1n =时，13a =适合上式. ∴21n a n =+.则数列{}n a 是以3为首项，以2为公差的等差数列. ∴()202032202012020S 202220202+⨯+⨯==⨯.∴202020222020S =. 故选：D . 【点睛】本题主要考查数列通项与前n 项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.11．D解析：D 【分析】由零点定义得,a b p ab q +==得0,0a b >>，因此2-只能是等比数列的中间项，从而得4ab =，由点(),2a b 在直线2100x y +-=上，得5a b +=，这样可得,p q 值．从而得出结论． 【详解】∵a ，b 是函数()()20,0f x x px q p q =-+>>的两个不同的零点，∴,a b p ab q +==，∴0,0a b >>，而a ，b ，2-这三个数适当排序后可成等比数列，只能是2-是,a b 的等比中项，即4ab =，点(),2a b 在直线2100x y +-=上，则22100a b +-=，得5a b +=， 由45ab a b =⎧⎨+=⎩，∴5,4p q ==，9p q +=．故选：D ． 【点睛】本题考查函数零点的概念，考查等比数列的定义，考查韦达定理，关键是由题意分析出0,0a b >>．12．D解析：D 【分析】先利用题中所给的首项，以及递推公式，将首项代入，从而判断出数列{}n a 是周期数列，进而求得结果. 【详解】由已知得12a =，2211123a =-=+，32111213a =-=-+， 4213112a =-=--，521213a =-=-， 可以判断出数列{}n a 是以4为周期的数列，故2020505443a a a ⨯===-， 故选：D. 【点睛】该题考查的是有关数列的问题，涉及到的知识点利用递推公式判断数列的周期性，从而求解数列的某项，属于中档题.二、填空题13．【分析】由代入化简求得再结合求和方法计算可得结果【详解】因为所以所以所以又所以数列是以为首项为公差的等差数列所以所以所以所以故答案为：【点晴】由代入化简求得数列是等差数列是解题的关键解析：17【分析】由11n n n a S S ++=-代入化简求得n S ，再结合求和方法计算可得结果. 【详解】因为1120n n n a S S +++= 所以1120n n n n S S S S ++-+= 所以112n n n n S S S S ++-= 所以1112n nS S +-=又11113S a == 所以数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以3为首项，2为公差的等差数列， 所以()131221nn n S =+-⨯=+ 所以121n S n =+ 所以111111212322123n n S S n n n n +⎛⎫=⋅=- ⎪++++⎝⎭所以12239101111111111123557192123217S S S S S S ⎛⎫⎛⎫++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ 故答案为：17【点晴】由11n n n a S S ++=-代入化简求得数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列是解题的关键. 14．或【分析】设点的坐标利用两角差正切公式求列式解得结果【详解】设因为所以或故答案为：或【点睛】本题考查两角差正切公式等比数列考查综合分析求解能力属中档题解析：(0,2)或(0,16) 【分析】设点A 的坐标，利用两角差正切公式求3tan θ，列式解得结果. 【详解】设(0,),0A a a >,因为233443343,124,128P AP AP OAP O x x θ=-=⨯==⨯=∠∠=∠所以238442284t 21an 39a a a a a a aθ-===∴=++⋅或16 故答案为：(0,2)或(0,16)【点睛】本题考查两角差正切公式、等比数列，考查综合分析求解能力，属中档题.15．【分析】分别计算出进而得出再由可得出的值【详解】由题意可得故答案为：【点睛】本题考查数列求和找出数列的规律是解答的关键考查计算能力属于中等题 解析：1008【分析】分别计算出43k a -、42k a -、41k a -、()4k a k N *∈，进而得出43424146k k k k a a a a ---+++=，再由201845042=⨯+可得出2018S 的值.【详解】由题意可得()434243sin 112k k a k π--⎛⎫=-+= ⎪⎝⎭，()424142sin 1342k k a k k π--⎛⎫=-+=- ⎪⎝⎭，()()4141sin 211k a k k π-=-+=，4414sin 1412k k a k k π+⎛⎫=+=+ ⎪⎝⎭，()()43424141341416k k k k a a a a k k ---∴+++=+-+++=，201845042=⨯+，201820172018450534505265046504S a a a a ⨯-⨯-∴=⨯++=⨯++()30241345051008=++-⨯=.故答案为：1008. 【点睛】本题考查数列求和，找出数列的规律是解答的关键，考查计算能力，属于中等题.16．【分析】本题先用表示再建立方程组解题即可【详解】解：∵是等比数列∴∵∴解得：故答案为：【点睛】本题考查等比数列的基本量法是基础题 解析：12【分析】本题先用1a ，q 表示2a ，5a ，再建立方程组21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩解题即可. 【详解】解：∵ {}n a 是等比数列，∴ 21a a q =，451a a q∵24a =，512a =，∴ 21451412a a q a a q ==⎧⎪⎨==⎪⎩，解得：1812a q =⎧⎪⎨=⎪⎩， 故答案为：12. 【点睛】本题考查等比数列的基本量法，是基础题.17．27【分析】由得相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列由此可得通项从而求得结论【详解】∵∴相减得又所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列公差为1故答案为：27【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的解析：27 【分析】由1n n a a n ++=得121n n a a n +++=+相减后得数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，由此可得通项，从而求得结论． 【详解】∵1n n a a n ++=，∴121n n a a n +++=+，相减得21n na a +-=，又1121,1a a a =+=，20a =，211a a -=-，所以数列{}n a 的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为1，21n a n -=，21n a n =-，1916171819981027S S a a a -=++=++=．故答案为：27． 【点睛】易错点睛：本题考查等差数列的通项公式，解题时由已知等式中n 改写为1n +，两相减后得21n n a a +-=，这里再计算21a a -，如果2211()22n na a a a +--==，则可说明{}n a 是等差数列，象本题只能说明奇数项与偶数项分别成等差数列．不能混淆，误以为{}n a 是等差数列．这是易错的地方．18．①③【分析】选①②在①中令在②中令联立方程由方程无解推出矛盾；选①③在③中由通项与前项和之间的关系求出公比在①中令在③中用表示出联立方程求出确定数列；选②③由通项与前项和之间的关系即可作出判断【详解解析：①③ 【分析】选①②，在①中令1m n ==，在②中令1n =联立方程，由方程无解推出矛盾；选①③，在③中由通项与前n 项和之间的关系求出公比，在①中令1m n ==，在③中用12,a a 表示出12,S S 联立方程，求出1,a p 确定数列{}n a ；选②③，由通项与前n 项和之间的关系即可作出判断. 【详解】在①中，令1m n ==，得221a a =；在②中，11n n S a +=+，当2n ≥时， 11n n S a -=+，两式相减，得1n n n a a a +=-，即12n n a a +=；在③中，11112,2n n n n S a S a p p++=+=+，两式相减，得 1122n n n a a a ++=-，即 12n n a a +=，若选①②，则22112,1a a a a ⎧=⎨=+⎩即 2211111,10a a a a =--+=， 2(1)41130∆=--⨯⨯=-<，方程无解，故不能选①②作为条件；若选①③，则由12n n a a +=知，数列{}n a 的公比为2，由 221111221212a a a a p a a a p ⎧⎪=⎪⎪=+⎨⎪⎪+=+⎪⎩得1212a p =⎧⎪⎨=-⎪⎩，所以数列 {}n a 是首项为2，公比为2的等比数列； 若选②③作为条件，则无法确定首项，数列{}n a 不唯一，故不能选②③作为条件. 综上所述，能使数列{}n a 为唯一确定的等比数列的条件是①③. 故答案为：①③ 【点睛】思路点睛：本题考查利用递推关系求数列中的项，涉及等比数列的判定和通项公式，遇到和与项的递推关系时，一般有两种方法：（1）消去和，得到项的递推关系；（2）消去项，得到和的递推关系.19．【分析】首先设出等差数列的首项和公差根据其通项公式得到再根据其求和公式得到从而得到结果【详解】设等差数列的首项为公差为则有因为所以故答案为：【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题解题思路如 解析：13313S 【分析】首先设出等差数列的首项和公差，根据其通项公式，得到487733a a a a +-=，再根据其求和公式，得到13713S a =，从而得到结果. 【详解】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，则有48711117333(7)(6)318=3a a a a d a d a d a d a +-=+++-+=+， 因为11313713()132a a S a +==，所以487133313a a a S +-=， 故答案为：13313S . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关等差数列的问题，解题思路如下：（1）首先设出等差数列的首项和公差；（2）利用等差数列的通项公式，得到项之间的关系，整理得出487733a a a a +-=； （3）利用等差数列的求和公式，求得13713S a =； （4）比较式子，求得结果.20．10【分析】根据条件确定中项的符号变化规律即可确定最小时对应项数【详解】单调递增因此即最小故答案为：10【点睛】本题考查等差数列性质等差数列前项和性质考查基本分析求解能力属中档题解析：10 【分析】根据条件确定{}n a 中项的符号变化规律，即可确定n S 最小时对应项数. 【详解】7138910111213101103()0S S a a a a a a a a =∴+++++=∴+= 17130,a S S <=∴{}n a 单调递增，因此10110,0a a <>即10n =，n S 最小 故答案为：10 【点睛】本题考查等差数列性质、等差数列前n 项和性质，考查基本分析求解能力，属中档题.三、解答题21．（1）证明见解析；（2）最大自然数6n =. 【分析】（1）根据题中条件，可得1112n a +--的表达式，根据等比数列的定义，即可得证；（2）由（1）可得1122n n a -=-，则可得2n n b =，根据错位相减求和法，可求得n S 的表达式，根据n S 的单调性，代入数值，分析即可得答案. 【详解】解：（1）∵()1621*44n n n n a a n N a a +-=-=∈--， ∴()()1116323346312311122162262822224n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a a a a a +++----⎛⎫----+--======- ⎪-----+----⎝⎭--即11122112n n a a +--=--， ∴112n a ⎧⎫-⎨⎬-⎩⎭是首项为113132212a a --==--，公比为2的等比数列. （2）由（1）知，1122n n a -=-， 即321112222n n n n n n n a a b a a a ---==-==---， ∴()()21212-⋅=-⋅nn n b n ，()123123252212n n S n =⋅+⋅+⋅++-⋅，① ()23412123252212n n S n +=⋅+⋅+⋅++-⋅，②①减②得()()()112311421222222122221212n nn n n S n n +++--=⋅++++--⋅=+⋅--⋅-()13226n n +=-⋅-.∴()12326n n S n +=-⋅+.∴()()()21112122322210++++-=-⋅--⋅=+>n n n n n S S n n n ，∴n S .单调递增.∵7692611582021S =⨯+=<，87112628222021S =⨯+=>.故使2021n S <成立的最大自然数6n =. 【点睛】解题的关键是根据所给形式，进行配凑和整理，根据等比数列定义，即可得证，求和常用的方法有：①公式法，②倒序相加法，③裂项相消法，④错位相减法等，需熟练掌握. 22．（1）存在，2k =或3k =；（2）证明见解析. 【分析】（1）若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ，将23nnn c =+代入上式，整理得1(2)(3)2306n n k k --⋅⋅=化简即可得出答案；（2）证{}n c 不是等比数列只需证2213c c c ≠⋅，验证其不成立即可.【详解】解：（1）由题意知，若数列{}1n n c kc +-为等比数列，则有()()()21211n n n n n n c kc c kc c kc +++--=-⋅-，其中2n ≥且*n ∈N ， 将23nnn c =+代入上式，得()()()211221111232323232323n n n n n n n n n n n n k k k ++++++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤+-+=+-+⋅+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 即21111(2)2(3)3(2)2(3)3(2)2(3)3n n n n n n k k k k k k ++--⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-=-+-⋅-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，整理得1(2)(3)2306n nk k --⋅⋅=，解得2k =或3k =．（2）设数列{}n a ，{}n b 的公比分别为,,p q p q ≠且,0p q ≠，11,0a b ≠， 则1111n n n c a pb q --=+，为证{}n c 不是等比数列，只需证2213c c c ≠⋅， 事实上()22222221111112c a p b q a p a b pq b q =+=++，()()()222222221311111111c c a b a p b q a p a b p q b q ⋅=+⋅+=+++，由于p q ≠，故222p q pq +>，又11,0a b ≠，从而2213c c c ≠⋅，所以{}n c 不是等比数列. 【点睛】方法点睛：等差、等比数列的证明经常利用定义法和等比中项法，通项公式法和前n 项和公式法经常在选择题、填空题中用来判断数列是否为等差、等比数列不能用来证明．23．（1）证明见解析；（2）(21)3144n n n S -=+.【分析】（1）将13(1)n n na n a +=+变形为131n n a an n+=+，得到{}n b 为等比数列，（2）由（1）得到{}n a 的通项公式，用错位相减法求得n S 【详解】（1）由11a =，13(1)n n na n a +=+，可得131n na a n n+=+， 因为nn a b n=则13n n b b +=，11b =，可得{}n b 是首项为1，公比为3的等比数列， （2）由（1）13n n b -=，由13n na n-=，可得13n n a n -=⋅， 01211323333n n S n -=⋅+⋅+⋅++⋅，12331323333n n S n =⋅+⋅+⋅++⋅，上面两式相减可得：0121233333n n n S n --=++++-⋅13313n n n -=-⋅-， 则(21)3144n n n S -=+．【点睛】数列求和的方法技巧：(1)倒序相加：用于等差数列、与二项式系数、对称性相关联的数列的求和． (2)错位相减：用于等差数列与等比数列的积数列的求和． (3)分组求和：用于若干个等差或等比数列的和或差数列的求和．(4) 裂项相消法：用于通项能变成两个式子相减，求和时能前后相消的数列求和.24．（1）2nn a =；（2）21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =.【分析】（1）利用等比数列的通项公式，结合已知12a =，416a =，可以求出公比，这样就可以求出数列{}n a 的通项公式；（2）由数列{}n a 的通项公式，可以求出21a -和 358a 的值，这样也就求出2b 和 3b 的值，这样可以求出等差数列{}n b 的公差，进而可以求出通项公式，利用前n 项和公式求出数列{}n b 前10项的和.【详解】（1）设等比数列的公比为q ，由已知12a =，34121616q a a q =⇒⋅=⇒=，所以112n n n a q a -=⋅=，即数列{}n a 的通项公式为2n n a =；（2）由（1）知2nn a =，所以2221213b a =-=-=，333552588b a ==⨯=， 设等差数列{}n b 的公差为d ，则322d b b -==，12121n d b b n b =-=∴=-， 设数列{}n b 前10项的和为10S ，则11010910910101210022S d b ⨯⨯=+⋅=⨯+⨯=， 所以数列{}n b 的通项公式21n b n =-，数列{}n b 前10项的和10100S =. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法：（1）公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.（2）错位相减法：若{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列，求1122n n a b a b a b ++⋅⋅⋅. （3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有()11111n n n n =-++，()1111222n n n n ⎛⎫=- ⎪++⎝⎭，()()1111212122121n n n n ⎛⎫=- ⎪-+-+⎝⎭等.（4）分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和. （5）倒序相加法.25．（1）条件性选择见解析，2n n a =；（2）332n nn T +=-． 【分析】（1）选①：由题意可得32442a a a =+-，再利用等比数列的公比为2可求1a ，进而可求数列{}n a 的通项公式；选②：22n n S a =-，令1n =可求1a ，当2n ≥时，可得1122n n S a --=-，与已知条件两式相减可求得()122n n a a n -=≥，进而可求数列{}n a 的通项公式；选③：122n n S +=-，当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122n n S -=-，与已知条件两式相减可求得2nn a =，检验12a =也满足，进而可求数列{}n a 的通项公式；（2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===，利用乘公比错位相减即可求和. 【详解】（1）选①：因为2a ，3a ，44a -成等差数列， 所以32442a a a =+-，又因为数列{}n a 的公比为2，所以2311122242a a a ⨯=+⨯-，即1118284a a a =+-，解得12a =， 所以1222n n n a -=⨯=．选②：因为22n n S a =-，当1n =时，1122S a =-，解得12a =． 当2n ≥时，1122n n S a --=-，所以()()111222222n n n n n n n a S S a a a a ---=-=---=-． 即()122n n a a n -=≥．所以数列{}n a 是首项为2，公比为2的等比数列． 故1222n n n a -=⨯=．选③：因为122n n S +=-，所以当1n =时，112S a ==，当2n ≥时，122nn S -=-，所以()()1122222n n nn n n a S S +-=-=---=，当1n =时，1122a ==依然成立．所以2nn a =． （2）由（1）知2nn a =，则221log 1log 2122n n n n n n a n b a +++===， 所以2323412222n n n T +=++++， ① 231123122222n n n n n T ++=++++， ② ①－②得23111111122222n n n n T ++⎛⎫=++++- ⎪⎝⎭ 212111111111111121222211111222221122n n n n n n n n n -+++++⎛⎫-- ⎪+++⎝⎭=+-=+-=+---- 13322n n ++=-． 所以332n nn T +=-． 所以数列{}n b 的前n 项和332n n n T +=-． 【点睛】方法点睛：数列求和的方法（1）倒序相加法：如果一个数列{}n a 的前n 项中首末两端等距离的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可以用倒序相加法（2）错位相减法：如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列的前n 项和即可以用错位相减法来求；（3）裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，在求和时，中间的一些项可相互抵消，从而求得其和；（4）分组转化法：一个数列的通项公式是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组转换法分别求和再相加减；（5）并项求和法：一个数列的前n 项和可以两两结合求解，则称之为并项求和，形如()()1nn a f n =-类型，可采用两项合并求解. 26．（1）*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩；（2）证明见解析． 【分析】（1）利用*1,(1),(2,)n n nn S n a S S n n N -=⎧=⎨-≥∈⎩求解即可；（2）利用n a 求n b ，当1n =时，1151224b =≤显然成立，当2n ≥时，利用列项相消法求和判断即可. 【详解】解：（1）当1n =时，111113a S ==++=；当2n ≥时，1n n n a S S -=-22(1)[(1)(1)1]n n n n =++--+-+2n =，所以*3,(1)2,(2,)n n a n n n N =⎧=⎨≥∈⎩； （2）由（1）易知*1,(1)121(2,),4(1)n n b n n N n n ⎧⎪=⎪=⎨≥∈⎪+⎪⎩ 当1n =时，1151224b =≤显然成立． 当2n ≥时，1111()4(1)41n b n n n n ==-++， 123n n T b b b b =+++ 11111111[()()()]12423341n n =+-+-++-+ 1111()12421n =+-+ 515244(1)24n =-<+； 故结论成立．【点睛】关键点睛：本题考查数列求通项公式，利用数列求和证明不等式.利用列项相消法求和是解决本题的关键.。
高中数学课时作业5等差数列的前n项和(第一课时)北师大版必修5
课时作业(五)1．若等差数列{a n }的前3项和S 3＝9且a 1＝1，则a 2等于( ) A ．3 B ．4 C ．5 D ．6答案 A解析 设公差为d ，S 3＝3a 1＋3×22d ＝3＋3×22d ＝9，解得d ＝2，则a 2＝a 1＋d ＝3.2．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 3＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．2 D ．3答案 C解析 由⎩⎪⎨⎪⎧3（a 1＋4）2＝6，a 1＋2d ＝4，解得d ＝2. 3．已知等差数列{a n }中，a 2＝6，a 5＝15，若b n ＝a 2n ，则数列{b n }的前5项和等于( ) A ．30 B ．45 C ．90 D ．186答案 C解析 ∵a 2＝6，a 5＝15， ∴d ＝a 5－a 25－2＝15－63＝3.∴a n ＝a 2＋(n －2)d ＝3n. ∴b n ＝a 2n ＝6n.∴{b n }的前5项和为5（b 1＋b 5）2＝5（6＋30）2＝90.4．(2015·聊城七校联考)在等差数列{a n }中，a 1＋a 4＝10，a 2－a 3n 为( ) A ．8＋n －n 2B ．9n －n 2C ．5n －n 2D.9n －n 22答案 B解析 ∵a 2－a 3＝2，∴公差d ＝a 3－a 2＝－2. 又a 1＋a 4＝a 1＋(a 1＋3d)＝2a 1－6＝10， ∴a 1＝8，∴S n ＝－n 2＋9n.5．等差数列{a n }中，a 9＝3，那么它的前17项的和S 17＝( ) A ．51 B ．34 C ．102 D ．不能确定答案 A解析 S 17＝17a 9＝17×3＝51.6．已知{a n }是等差数列，a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，则该数列前10项和S 10等于( ) A ．64 B ．100 C ．110 D ．120答案 C解析 由a 1＋a 2＝4，a 7＋a 8＝28，得d ＝2.所以S 10＝10（a 1＋a 10）2＝10（a 1＋a 2＋8d ）2＝10×（4＋8×2）2＝100，故选B.7．已知等差数列的公差为－57，其中某连续7项的和为0，则这7项中的第1项是( )A ．137B ．217C ．267D ．347答案 B解析 记某连续7项为a 1，a 2，a 3，a 4，a 5，a 6，a 7；则 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝0，∴a 4＝0. ∴a 1＝a 4－3d ＝0－3·(－57)＝157.8．等差数列{a n }中，前n 项和S n ＝an 2＋(a －1)·n＋(a ＋2)，则a n 等于( )A ．－4n ＋1B ．2an －1C ．－2an ＋1D ．－4n －1答案 D解析 ∵{a n }为等差数列，且S n ＝an 2＋(a －1)·n＋(a ＋2)，∴a ＋2＝0，a ＝－2，∴S n ＝－2n 2－3n. ∴a n ＝－4n －1.9．{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 0042 003·a 2 004<0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是( )A ．4 005B ．4 006C ．4 007D ．4 008答案 B解析 ∵S n ＝n （a 1＋a n ）2，∴S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003(a 2 003＋a 2 004)＞0.又S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007·a 2 004<0.∴选B.10．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a m －1＋a m ＋1－a m 2＝0，S 2m －1＝38，则m ＝( ) A ．38 B ．20 C ．10 D ．9答案 C解析 由条件得2a m ＝a m －1＋a m ＋1＝a m 2，从而有a m2m －1＝a 1＋a 2m －12×(2m －1)＝38且2a m ＝a 1＋a 2m－1，得(2m －1)a m ＝m ≠0，则有2m －1＝19，m ＝10.11．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝1，a 3＝3，则S 8＝________． 答案 48解析 设公差为d ，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝1，a 1＋2d ＝3，解得a 1＝－1，d 8＝8a 1＋8×72d ＝8×(－1)＋8×72×2＝48.12．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且6S 5－5S 3＝5，则a 4＝________． 答案 13解析 设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，则由6S 5－5S 3＝5，得6(a 1＋3d)＝2，所以a 4＝13.13．在等差数列{a n }中，若公差d ＝1，S 2n ＝100，则a 12－a 22＋a 32－a 42＋…＋a 2n －12－a 2n 2＝________． 答案 －100解析 原式＝(a 1＋a 2)(a 1－a 2)＋(a 3＋a 4)(a 3－a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )(a 2n －1－a 2n ) ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2n －1＋a 2n )·(－1) ＝－S 2n ＝－100.14．已知等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S n ＝－15，求n 和a n ；(2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d. 解析 (1)因为S n ＝n·32＋n （n －1）2·(－12)＝－15，整理，得n 2－7n －60＝0. 解得n ＝12或n ＝－5(舍去)． 所以a 12＝32＋(12－1)×(－12)＝－4.(2)由S n ＝n （a 1＋a n ）2＝n （1－512）2＝－1 022，n ＝a 1＋(n －1)d ，即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.15．设等差数列的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，S 12>0，S 13<0. (1)求公差d 的取值范围；(2)指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由．解析 (1)依题意⎩⎪⎨⎪⎧S12＝12a 1＋12×112d>0，S13＝13a 1＋13×122d<0，即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋11d>0， ①a 1＋6d<0. ② 由a 3＝12，得a 1＋2d ＝12.③将③分别代入①②，得⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d>0，3＋d<0，解得－247<d<－3.(2)S 6的值最大，理由如下：由d<0可知数列{a n }是递减数列，因此若在1≤n≤12中，使a n >0且a n ＋1<0，则S n 最大． 由于S 12＝6(a 6＋a 7)>0，S 13＝13a 7<0，可得a 6>0，a 7<0，故在S 1，S 2，…，S 12中S 6的值最大． 16．设等差数列{a n }的首项a 1及公差d 都为整数，前n 项和为S n . (1)若a 11＝0，S 14＝98，求数列{a n }的通项公式；(2)若a 1≥6，a 11>0，S 14≤77，求所有可能的数列{a n }的通项公式． 解析 (1)由S 14＝98，得2a 1＋13d ＝14. 又a 11＝a 1＋10d ＝0，故解得d ＝－2，a 1＝20.因此，{a n }的通项公式是a n ＝22－2n(n∈N *)． (2)由⎩⎪⎨⎪⎧S 14≤77，a 11>0，a 1≥6，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d≤11，a 1＋10d>0，a 1≥6， 即⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋13d≤11， ①－2a 1－20d<0， ②－2a 1≤－12. ③由①＋②，得－7d<11，即d>－117.由①＋③，得13d≤－1，即d≤－113.于是－117<d ≤－113.又d∈Z，故d ＝－1. ④将④代入①②得10<a 1≤12. 又a 1∈Z ，故a 1＝11或a 1＝12.所以，所有可能的数列{a n }的通项公式是a n ＝12－n 和a n ＝13－n(n∈N *)．。
北师大版高中数学必修5第一章《数列》数列的概念
2
（3）认知目标：通过教学培养学生观察问题、分析 问题的能力，学习辩证的观点从特殊到一般的认识事 物规律，大胆猜测、归纳。
（4）德育目标：从德育方面进行教育、善比较、细 分析、做生活中的有心人，发现规律，不要马马虎虎、 似是而非，做符合时代的“创新型”的人才。
0(n为奇数） （1 n为偶1数9 ）
例3 已知数数列列的例a题n 3的第1项是1，
以写后出的这各个项数由列公的式前5a项n 。1
1 给出， an1
a3
a1 1
1 1 a2
1
a2 1 13 22
1 1 a1
a4 1
1
1
1 1 a3
2
2 3
4
堆 放 的 钢 管
4，5，6，7，8，9，10.
5
正整数的的倒数：
1, 1 , 1 , 1 , 1 , 2 345
2精确到1，0.1,0.01,0.001,的值：
1， 1.4， 1.41，1.414， …，
-1的1次幂，2次幂，3次幂，4次幂，…排成的一列数：
-1， 1，-1， 1， -1， 1， …
北师大版高中数学必修 5第一章《数列》
法门高中姚连省制1作
1、教学内容： 本节的主要内容是数列的概念和通项公式。掌握数 列函数集合三者的关系用函数观点理解序号与项的 关系，再分析给出项或通项公式，分析就深刻具体， 面面俱到，发现规律，了解递推公式也是数列的一 种表示方法。
2、教学目标： （1）知识目标：理解数列概念；给出前几项， 求通项的分析方法；数列的表示方法；递推公式 的定义及简单应用。
北师大高中数学必修5综合测试卷及答案
必修五综合测试卷姓名： 学号： 得分：一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的．1．已知等差数列{}n a 的首项为3，公差为2，则7a 的值等于( ) A ．1B ．14C ．15D ．162．∆ABC 中，AB45A =︒，C =75︒则BC=( ) A ．3-BC ．2D ．3．已知等差数列{}n a 中，前n 项和为S n ，若3a +9a =6，则S 11=( )A ．12B ．33C ．66D ．994．对于任意实数a ，b ，c ，d ，以下四个命题中①ac 2>bc 2，则a >b ；②若a >b ，c >d ， 则a c b d +>+；③若a >b ，c >d ，则ac bd >；④a >b ，则1a >1b其中正确的有( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个5．某船开始看见灯塔在南偏东30︒方向，后来船沿南偏东60︒的方向航行45km 后，看见灯塔在正西方向，则这时船与灯塔的距离是( ) A ．15kmB ．30kmC ．15D ．km6．已知等比数列{}n a ，若1a +2a =20，3a +4a =80，则5a +6a 等于( ) A ．480B ．320C ．240D ．1207．在∆ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，若()cos cos sin a C c A B +=，则角B 的值为( ) A ．6πB ．3πC ．6π或56π D ．3π或23π8．数列{}n a 满足a 1=1，()1122n n n a a n a --=≥+，则使得12009k a >的最大正整数k 为( )A ．5B ．7C ．8D ．109．f x ax ax ()=+-21在R 上满足f x ()<0，则a 的取值范围是 （ ）A ．a ≤0B ．a <-4C ．-<<40aD ．-<≤40a10.设S n 是等差数列{}n a 的前n 项和，若5359a a =，则95S S 的值为A ．1B ．－1C ．2D ．21二、填空题(本大题共5个小题，每小题5分，共25分，将答案填在题后的横线上) 11.在钝角三角形ABC ∆中a=1,b=2.。
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北师大版高中数学必修五
数列综合练习
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．在正整数100至500之间能被11整除的个数为
（）
A.34
B.35
C.36
D.37 2．在数列{a n}中，a1＝1，a n+1＝a n2－1(n≥1)，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5等于
（）
A.－1
B.1
C.0
D.2
3．{a n}是等差数列，且a1＋a4＋a7＝45，a2＋a5＋a8＝39，则a3＋a6＋a9的值是
（）
A.24
B.27
C.30
D.33
4．设函数f(x)满足f(n＋1)＝2 f(n)＋n
2
(n∈N*)且f(1)＝2，则f(20)为
（）
A.95
B.97
C.105
D.192 5．等差数列{a n}中，已知a1＝－6，a n＝0，公差d∈N*，则n(n≥3)的最大值为
（）
A.5
B.6
C.7
D.8
6．设a n＝－n2＋10n＋11，则数列{a n}从首项到第几项的和最大
（）
A.第10项
B.第11项
C.第10项或11项
D.第12项
7．已知等差数列{a n}的公差为正数，且a3·a7＝－12，a4＋a6＝－4，则S20为
（）
A.180
B.－180
C.90
D.－90 8．现有200根相同的钢管，把它们堆放成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能的少，那么剩余钢管的根数为
（）
A.9
B.10
C.19
D.29 9．由公差为d的等差数列a1、a2、a3…重新组成的数列a1＋a4，a2＋a5，a3＋a6，…
是（）
A.公差为d的等差数列
B.公差为2d的等差数列
C.公差为3d的等差数列
D.非等差数列
10．在等差数列{a n}中，若S9＝18，S n＝240，a n－4＝30，则n的值为
（）
A.14
B.15
C.16
D.17
二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．已知f(n＋1)＝f(n)－1
4
(n∈N*)且f(2)＝2，则f(101)＝_______.
12．在首项为31，公差为－4的等差数列中，与零最接近的项是_______. 13．在等差数列{a n}中，已知S100＝10，S10＝100，则S110＝_________. 14．在－9和3之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－21的等差数列，则n ＝_____.
15．等差数列{a n}中，a1＝－5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项后余下的10项的平均值仍为5，则抽取的是第_________项. 16．在等差数列{a n}中，满足3a4＝7a7且a1>0，S n是数列{a n}前n项的和，若S n取得最大值，则n＝_______.
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a1＝－60，a17＝－12.
(1)求通项a n；(2)求此数列前30项的绝对值的和.
18．（本小题满分14分）在等差数列{a n}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.
19．（本小题满分14分）数列通项公式为a n＝n2－5n＋4，问
（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值.
20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折
返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
21．已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n·S n－1＝0(n≥2)，a1＝1
2 .
(1)求证：{1
S n
}是等差数列；
（2）求a n表达式；
（3）若b n＝2(1－n)a n(n≥2)，求证：b22＋b32＋…＋b n2<1.
答案
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．C 2．A 3．D 4．B 5．C 6．C 7．A 8．B 9．B 10．B 二、填空题(本大题共6小题，每小题5分，共30分)
11．－91
4
12．－1 13．－110 14．5 15．6 16．9
三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分12分）在等差数列{a n}中，a1＝－60，a17＝－12.
(1)求通项a n；(2)求此数列前30项的绝对值的和.
考查等差数列的通项及求和.
【解】（1）a17＝a1＋16d，即－12＝－60＋16d，∴d＝3
∴a n＝－60＋3(n－1)＝3n－63.
(2)由a n≤0，则3n－63≤0 n≤21，
∴|a1|＋|a2|＋…＋|a30|＝－(a1＋a2＋…＋a21)＋(a22＋a23＋…＋a30)
＝(3＋6＋9＋…＋60）＋（3＋6＋…＋27）＝（3＋60）
2
×20＋
（3＋27）
2
×9
＝765.
18．（本小题满分14分）在等差数列{a n}中，若a1＝25且S9＝S17，求数列前多少项和最大.
考查等差数列的前n项和公式的应用.
【解】∵S9＝S17，a1＝25，∴9×25＋9×（9－1）
2
d＝17×25＋
17×（17－1）
2
d
解得d＝－2，∴S n＝25n＋n（n－1）
2
(－2)＝－(n－13)2＋169.
由二次函数性质，故前13项和最大.
注：本题还有多种解法.这里仅再列一种.由d＝－2，数列a n为递减数列.
a n＝25＋(n－1)(－2)≥0，即n≤13.5
∴数列前13项和最大.
19．（本小题满分14分）数列通项公式为a n＝n2－5n＋4，问
（1）数列中有多少项是负数？（2）n为何值时，a n有最小值？并求出最小值.
考查数列通项及二次函数性质.
【解】（1）由a n为负数，得n2－5n＋4<0，解得1<n<4.
∵n∈N*，故n＝2或3，即数列有2项为负数，分别是第2项和第3项.
（2）∵a n＝n2－5n＋4＝(n－5
2
)2－
9
4
，∴对称轴为n＝
5
2
＝2.5
又∵n∈N*，故当n＝2或n＝3时，a n有最小值，最小值为22－5×2＋4＝－2. 20．（本小题满分15分）甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第一分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m,乙每分钟走5 m.
(1)甲、乙开始运动后，几分钟相遇；（2）如果甲、乙到达对方起点后立即折
返，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？
考查等差数列求和及分析解决问题的能力.
【解】（1）设n分钟后第1次相遇，依题意得2n＋n（n－1）
2
＋5n＝70
整理得：n2＋13n－140＝0，解得：n＝7，n＝－20(舍去）∴第1次相遇在开始运动后7分钟.
（2）设n分钟后第2次相遇，依题意有：2n＋n（n－1）
2
＋5n＝3×70
整理得：n2＋13n－6×70＝0，解得：n＝15或n＝－28(舍去）
第2次相遇在开始运动后15分钟.
21．（本小题满分15分）已知数列{a n}的前n项和为S n，且满足a n＋2S n·S n－1＝0(n
≥2)，a 1＝12 . (1)求证：{1S n
}是等差数列；（2）求a n 表达式； （3）若b n ＝2(1－n)a n (n ≥2)，求证：b 22＋b 32＋…＋b n 2<1. 考查数列求和及分析解决问题的能力.
【解】 （1）∵－a n ＝2S n S n －1，∴－S n ＋S n －1＝2S n S n －1(n ≥2)
S n ≠0，∴1S n －1S n －1 ＝2，又1S 1 ＝1a 1
＝2 ∴{1S n
}是以2为首项，公差为2的等差数列. （2）由（1）1S n ＝2＋(n －1)2＝2n ，∴S n ＝12n
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n(n －1)
n ＝1时，a 1＝S 1＝12 ，∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧12 （n ＝1）－12n(n －1) （n ≥
2） (3)由（2）知b n ＝2(1－n)a n ＝1n
∴b 22＋b 32＋…＋b n 2＝122 ＋132 ＋…＋1n 2 <11×2 ＋12×3 ＋…＋1(n －1) n
＝(1－12 )＋(12 －13 )＋…＋(1n －1 －1n )＝1－1n <1.。