小升初-多人多次相遇-高难题

多人多次相遇
【知识储备】
相遇分为：迎面相遇、追及相遇、端点相遇(可以理解为追及相遇，也可以理解为迎面相遇)
设AB两地路程“S”，则：
甲、乙两人在A、B往返行走，均从A点同时同向出发，则第n次追及相遇时，甲、乙两人的路程差为2nS; 甲、乙两人在A、B往返行走，均从A点同时同向出发，则第n次迎面相遇时，甲、乙两人的路程和为2nS; 甲、乙两人在A、B往返行走，分别从A、B两点相向出发，则第n次追及相遇时，甲、乙两人的路程差为(2n-1)S；
甲、乙两人在A、B往返行走，分别从A、B两点相向出发，则第次迎面相遇时，甲、乙两人的路程和为(2n-1)S：
甲、乙两人合走1 个全程中，甲走a，则甲、乙两人合走3个全程中，甲走3a。

1、迎面相遇
2、追及相遇
3、端点相遇
【学习目标】
1. 了解多人相遇与多次相遇问题的特点，掌握基本的解题方法。

2. 在解答多人相遇问题时，能够利用追及问题的方法求出相遇的时间，最后求出总路程。

3. 在解答多次相遇问题时，利用线段图、S-t图和比例知识，找到第N次相遇点和N+M次相遇点间的距离与全程的关系。

【重点难点】
1. 在解答多人行程问题时要从两个人的情况开始分析，并明确几个人路程、时间、速度的相互联系。

2. 学会用线段图和S-t图分析多次相遇问题。

3. 灵活的运用路程、速度、时间三个量间的比例关系，并能够灵活地转化。

【铺垫】甲、乙两人分别从A、B两地同时出发相向而行，甲、乙的速度比是4：3，两人相遇后继续行进，甲到达B地和乙到达A地后都立即沿原路返回，已知两人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点300米，则A、B两地相距多少千米？
总结
1. 两人从AB两地做相遇运动，第一次相遇共走1个全程，第二次迎面相遇共走3个全程、第三次迎面相遇共走5个全过程，从而可以得到，第N次迎面相遇共走2N-1个全过程。

2. 通过线段图，我们发现了“两次相遇点相距的300米，恰好是2份的路程”这个隐蔽条件。

线段图是解答行程问题很好的方法。

一、多次相遇问题
【例1】小明和小英各自在公路上往返于甲、乙两地运动，即到达一地便立即折回向另一地运动。

设开始时他们分别从两地相向而行，若在距甲地4千米处他们第一次迎面相遇，第二次迎面相遇的地点在距乙地3千米处，则甲、乙两地距离是多少千米？
总结
1. 通过分析可以发现，如果两人的速度比大于2：1，那么在两人第二次迎面相遇前一定会在背后追上一次。

2. 本题属于开放性题目，这是近几年重点中学入学考试的热点问题，这一类题需要同学们周密思考把答案做全。

【例2】A、B两地相距950米，甲、乙两人同时由A地出发往返锻炼半小时，甲步行，每分钟走40米；乙跑步，每分钟行150米，则甲、乙两人第几次迎面相遇时距B地最近？
对含有追及相遇的问题我们可以采用“S-t图”+“沙漏几何模型”形象解决。

【例3】A、B两地相距1000米，甲从A地、乙从B地同时出发，在A、B两地间往返锻炼。

乙跑步每分钟行150米，甲步行每分钟行60米。

在30分钟内, 甲、乙两人第几次相遇时距B地最近？最近距离是多少？
【拓展】甲、乙二人在60米的泳池中往返练习游泳，甲每分游30米，乙每分游20米，两人同时从同一端出发，30分钟共相遇几次？(不算开始那次)
二、多人相遇问题
【例4】甲、乙、丙三人中，甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米。

甲乙两人从东镇、
丙一人从西镇同时相向出发，丙遇到乙后2分钟再遇到甲，两镇距离的1
4
是多少米？(第一届迎春杯竞赛
试题)
【例5】A、B两地相距203米，甲、乙、丙的速度分别是4米/分、6米/分、5米/分。

如果甲、乙从A地，丙从B地同时出发相向而行那么，在_________分钟或_________分钟后，丙与乙的距离是丙与甲的距离的2倍。

三、多角度思考问题
例6 有一辆沿公路不停地往返于M、N两地之间的汽车。

老王从M地沿这条公路步行向N地，速度为每小时3.6千米，中途迎面遇到从N地驶来的这辆汽车。

经20分钟又遇到这辆汽车从后面折回，再过50分钟又迎面遇到这辆汽车，再过40分钟又遇到这辆车再折回。

M、N两地的路程有多少千米？
总结
从上面的分析可以看出，比较的角度不同，得到的结论也就不同。

解答一从70分与90分的路程进行比较，得到了人和车的速度和；解答二和三从20分与40分的路程进行比较，得到了人与车的速度比和车速这两个关系；解答四、五从20分与50分、40分与50分的路程进行比较，得到了某一段的路程。

这些不同的结论都是从不同的角度比较得到的，这样就做到了一题多解。