9-3三重积分的计算(1)_图文.
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三重积分的计算方法
三重积分的计算方法三重积分是多元函数积分的一种，它是对三维空间内的函数进行积分运算。
在物理学、工程学和数学等领域都有着广泛的应用。
在进行三重积分的计算时，我们需要掌握一定的方法和技巧，下面将介绍三重积分的计算方法。
首先，我们来看看三重积分的计算公式。
对于函数f(x, y, z)，其在空间区域V 上的三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dV。
其中，∭表示三重积分的符号，f(x, y, z)是被积函数，dV表示体积元素。
在直角坐标系中，体积元素dV可表示为dxdydz，因此三重积分可以表示为：∭f(x, y, z)dxdydz。
接下来，我们将介绍三种常见的计算方法，直角坐标系下的三重积分、柱坐标系下的三重积分和球坐标系下的三重积分。
在直角坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为x、y、z的函数，然后按照一定的积分次序进行计算。
通常情况下，我们会先对z进行积分，再对y 进行积分，最后对x进行积分。
这样可以将三重积分转化为三次一重积分的计算，简化计算过程。
在柱坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为ρ、θ、z的函数，其中ρ表示点到z轴的距离，θ表示点在xy平面上的极角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为柱坐标系下的三重积分，从而简化计算。
在球坐标系下的三重积分中，我们需要将被积函数表示为r、θ、φ的函数，其中r表示点到原点的距离，θ表示点在xy平面上的极角，φ表示点与z轴的夹角。
通过变量替换和雅可比行列式的计算，我们可以将直角坐标系下的三重积分转化为球坐标系下的三重积分，从而简化计算。
除了上述的常见计算方法外，我们在进行三重积分的计算时，还需要注意积分区域的确定、被积函数的合理选择、积分次序的调整等问题。
在实际应用中，我们还可以利用对称性、奇偶性等性质简化计算过程。
总之，三重积分是多元函数积分的一种重要形式，它在实际问题中有着广泛的应用。
掌握三重积分的计算方法，对于深入理解多元函数的性质和解决实际问题具有重要意义。
9-3三重积分的计算
Ω
P2 z Σ2 2 Pz1 z1 Σ1 1
z = z2( x, y)
Ω
z = z1( x, y)
a
b
o
( x, y)
(1) 先算线质量
D
y
y = y2 ( x)
看作定值， 即先将 x, y 看作定值， x 只看作z 将 f (x, y, z)只看作 的函数，则 只看作 的函数，
y = y1( x)
xa Dxy b x (x, y) y = y1( x) f ( x, y, z)d z y = y2( x)
先对z 先对 ,再对 y,最后对 ,最后对x 的三次积分
O
z
注 1°物理解释 °
设 f ( x, y, z) ≥ 0, ( x, y, z) ∈Ω
则 M = ∫∫∫ f ( x, y, z)dv
(3) 定限 中任意一点(x, ， 平行于z 轴的直线， 过Dxy中任意一点 y)，作平行于 轴的直线， z z 由下至上穿Ω 穿 由下至上穿Ω， 入点所对应的 S z 2 S22 (出) 出 竖坐标为最内层积分的下 竖坐标为最内层积分的下限. S z1 S11 上 (上) y y O O f ( x, y, z)dv ∫∫∫ a x Dxy Ω Dxy b z z , y) x x y2( x) 2( x2( x, y) (x, y) b y = y1( x) = dx d f x z) , z) = ∫∫∫ d x d y∫y∫ f ( x,(y,, yd z d z . ∫ z ( x, y) y = y ( x) a
x + 2y = 1
1 2
y
过该点作平行于 z 轴的直线，该直线先通过 轴的直线， z = 0 穿入Ω内，再通过平面
P2 z Σ2 2 Pz1 z1 Σ1 1
z = z2( x, y)
Ω
z = z1( x, y)
a
b
o
( x, y)
(1) 先算线质量
D
y
y = y2 ( x)
看作定值， 即先将 x, y 看作定值， x 只看作z 将 f (x, y, z)只看作 的函数，则 只看作 的函数，
y = y1( x)
xa Dxy b x (x, y) y = y1( x) f ( x, y, z)d z y = y2( x)
先对z 先对 ,再对 y,最后对 ,最后对x 的三次积分
O
z
注 1°物理解释 °
设 f ( x, y, z) ≥ 0, ( x, y, z) ∈Ω
则 M = ∫∫∫ f ( x, y, z)dv
(3) 定限 中任意一点(x, ， 平行于z 轴的直线， 过Dxy中任意一点 y)，作平行于 轴的直线， z z 由下至上穿Ω 穿 由下至上穿Ω， 入点所对应的 S z 2 S22 (出) 出 竖坐标为最内层积分的下 竖坐标为最内层积分的下限. S z1 S11 上 (上) y y O O f ( x, y, z)dv ∫∫∫ a x Dxy Ω Dxy b z z , y) x x y2( x) 2( x2( x, y) (x, y) b y = y1( x) = dx d f x z) , z) = ∫∫∫ d x d y∫y∫ f ( x,(y,, yd z d z . ∫ z ( x, y) y = y ( x) a
x + 2y = 1
1 2
y
过该点作平行于 z 轴的直线，该直线先通过 轴的直线， z = 0 穿入Ω内，再通过平面
高等数学《三重积分的计算》课件
任取球体内一点
得锥面
对: 从0 积分，
对 : 从0 积分，扫遍球体
1. 为全球体
2. 为上半球体
3. 为下半球体
5. 为球体的第一、二卦限部分
6. 为空心球体
4. 为右半球体
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
（计算时将三重积分化为三次积分）
第三节 三重积分的计算
一、三重积分的定义
二、利用直角坐标计算三重积分
三、利用柱面坐标计算三重积分
四、利用球面坐标计算三重积分
一、三重积分的定义
(1) 三重积分的存在性：
(2) 三重积分没有几何意义，但有物理意义.
性质１ (线性性质)
性质2 (对区域具有可加性)
性质3
性质4
则有
若在D上有
(3) 绝对可积性
若在D上有
则有
(2) 单调性
(1) 正性
性质5
（三重积分中值定理）
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
二、利用直角坐标计算三重积分 1、坐标面投影法
如图，
得
注意
这种方法称为坐标面投影法.
解
故 ：
解
如图，
解
如图,
2、坐标轴投影法(截面法)
坐标轴投影法(截面法)的一般步骤:
球面坐标下的体积元素
r
dr
d
x
z
y
0
d
rd
元素区域由六个坐标面围成：
rsin d
球面坐标下的体积元素
.
半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
r 2
sin drdd
dV
得锥面
对: 从0 积分，
对 : 从0 积分，扫遍球体
1. 为全球体
2. 为上半球体
3. 为下半球体
5. 为球体的第一、二卦限部分
6. 为空心球体
4. 为右半球体
三重积分的定义和计算
在直角坐标系下的体积元素
（计算时将三重积分化为三次积分）
第三节 三重积分的计算
一、三重积分的定义
二、利用直角坐标计算三重积分
三、利用柱面坐标计算三重积分
四、利用球面坐标计算三重积分
一、三重积分的定义
(1) 三重积分的存在性：
(2) 三重积分没有几何意义，但有物理意义.
性质１ (线性性质)
性质2 (对区域具有可加性)
性质3
性质4
则有
若在D上有
(3) 绝对可积性
若在D上有
则有
(2) 单调性
(1) 正性
性质5
（三重积分中值定理）
直角坐标系中将三重积分化为三次积分．
二、利用直角坐标计算三重积分 1、坐标面投影法
如图，
得
注意
这种方法称为坐标面投影法.
解
故 ：
解
如图，
解
如图,
2、坐标轴投影法(截面法)
坐标轴投影法(截面法)的一般步骤:
球面坐标下的体积元素
r
dr
d
x
z
y
0
d
rd
元素区域由六个坐标面围成：
rsin d
球面坐标下的体积元素
.
半平面 及+d ； 半径为r及r+dr的球面； 圆锥面及+d
r 2
sin drdd
dV
D9_3三重积分讲义
0 r 0 2 0
z z
r
o
M
y
坐标面分别为
r 常数
x
球面
半平面 锥面
常数
常数
M ( r , , )
r sin z r cos
机动
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结束
如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
2
2
2
o
x
y
d
5
0
4
sin d
0
R
r dr
dv r sin dr d d
2
4
R (2 5
2)
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例6.求曲面 ( x 2 y 2 z 2 ) 2 a 3 z (a 0)所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
z ( x, y )
1
z2 ( x, y )
微元线密度≈
f ( x, y, z ) d xd y
记作
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z ) d zdxdy
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
z b z
a
y
Dz
以 Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
M lim
0
( k ,k , k )vk
k 1
n
v k
( k , k , k )
z z
r
o
M
y
坐标面分别为
r 常数
x
球面
半平面 锥面
常数
常数
M ( r , , )
r sin z r cos
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如图所示, 在球面坐标系中体积元素为
2
2
2
o
x
y
d
5
0
4
sin d
0
R
r dr
dv r sin dr d d
2
4
R (2 5
2)
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例6.求曲面 ( x 2 y 2 z 2 ) 2 a 3 z (a 0)所围立体体积. 解: 由曲面方程可知, 立体位于xoy面上部, 且关于 xoz yoz面对称, 并与xoy面相切, 故在球坐标系下所围立体为
z ( x, y )
1
z2 ( x, y )
微元线密度≈
f ( x, y, z ) d xd y
记作
D
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z ) d zdxdy
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方法2. 截面法 (“先二后一”)
z b z
a
y
Dz
以 Dz 为底, d z 为高的柱形薄片质量为
M lim
0
( k ,k , k )vk
k 1
n
v k
( k , k , k )
人大微积分课件9-3三重积分的概念及其直角坐标计算法共16页文档
例3 计算三重积分 xdxdydz ，其中为三
个坐标面及平面 x2yz1 所围成的闭区域.
z
解 先沿Z轴方向积分，得
1
1x2y
xdxdydz dxdy0 xd,z
Dxy
o
与 其直 中D线 xxy是O2yxy面1所 上围 ，成 由的 坐区 标x域 轴 11 。 y
zz 2Sz2 2(x,y)
S2 : zz2(x,y), 过(点 x,y)D作直 , 线
z1 S1
zz1(x,y)
o
从z1穿入z， 2穿从 出 b a．
x
(xD , y)
yy1(x)
y
yy2(x)
先x 将 ,y看 作 定f(值 x,y,z)， 只将 看 z的 作 函 数
则
F (x,y)z2(x,y)f(x,y,z)dz z1(x,y)
解 由zzx222x2y2,
得 交 线 投 影 区 域
x2y21,
1 x1
故： 1 x2 y 1 x2,
x2 2y2 z 2 x2
1
1 x 2
2 x 2
Idx dy f(x ,y,z)d.z 1 1 x 2 x 2 2y2
乘 积 f ( i , i , i ) vi ，(i 1,2, , n )，并 作 和 , 如
果 当 各 小 闭 区 域 的 直 径 中 的 最 大 值 趋 近 于 零
时，这和式的极限存在，则称此极限为函数
f (x, y,z)在闭区域上的三重积分，记为
f ( x, y, z)dv ,
a y1(x) z1(x,y)
类似可以得
f(x,y,z)dv ddzy2(z)dyx2(z,y)f(x,y,z)d.x
9-3-1三重积分、直角坐标
f ( x, y, z)dxdydz 化 为 三 次 积 分 是
_______________. 2、 若 : 0 x 1,0 y 1,0 z 1,则
( x y z)dxdydz可化为三次积分__________,
其值为____________.
二、计算 xzdxdydz,其中 是曲面 z 0, z y, y 1,以及
先将 x, y 看作定值，将f ( x, y, z)
o
只看作 z 的函数，则
a
F ( x, y) z2( x, y) f ( x, y, z)dz b
z1( x, y)
x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
计算 F( x, y) 在闭区间D 上的二重积分
1 1 x2
x2 y2
x2
xy
2、
a
dx
b 1
a2 dy
c
f ( x, y, z)dz ；
0
0
0
3、
1
dx
1
dy
1
(x
y z)dz ，
3；
0
0
0
2
4、
a
dx
a2 x2
a x dy
h f ( x, y, z)dz，
0
0
2
h
dz
a
dx
a2 x2 a x
f ( x, y, z)dy；
M lim (k ,k , k )vk
0k1
vk
(k ,k , k )
三重积分的定义
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界函数，将闭区
_______________. 2、 若 : 0 x 1,0 y 1,0 z 1,则
( x y z)dxdydz可化为三次积分__________,
其值为____________.
二、计算 xzdxdydz,其中 是曲面 z 0, z y, y 1,以及
先将 x, y 看作定值，将f ( x, y, z)
o
只看作 z 的函数，则
a
F ( x, y) z2( x, y) f ( x, y, z)dz b
z1( x, y)
x
z z2( x, y)
z2 S2
z1 S1
z z1( x, y)
D
(x, y) y y1( x)
y
y y2( x)
计算 F( x, y) 在闭区间D 上的二重积分
1 1 x2
x2 y2
x2
xy
2、
a
dx
b 1
a2 dy
c
f ( x, y, z)dz ；
0
0
0
3、
1
dx
1
dy
1
(x
y z)dz ，
3；
0
0
0
2
4、
a
dx
a2 x2
a x dy
h f ( x, y, z)dz，
0
0
2
h
dz
a
dx
a2 x2 a x
f ( x, y, z)dy；
M lim (k ,k , k )vk
0k1
vk
(k ,k , k )
三重积分的定义
设 f ( x, y, z)是空间有界闭区域 上的有界函数，将闭区
9-3三重积分的计算
y
2º定顶
下顶：zx22y2z1(x,y)
上顶： z2x2z2(x,y)
–1
( z 2 ( 0 , 0 ) 2 z 1 ( 0 , 0 ) 0 )
2x2
I d xd yx22y2f(x,y,z)d z D
D
O
1xLeabharlann x2y2 111x2
2x2
dx
1
1x2dy
x22y2f(x,y,z)dz.
y
Dxy (x, y)
z 轴的直线， 这直线通过曲面S1穿入 内，
通过曲面S2穿出 外，则 可以表示为
{ ( x , y , z ) z 1 ( x , y ) z z 2 ( x , y ) ( x , y , ) D x }y
“先一后二”法描述: 先将 x, y 看作定值，
z z2 S2
(3) 定限
过Dxy中任意一点(x, y)，作平行于z 轴的直线，
由下至上穿，穿入点所对应的 (出)
竖坐标为最内层积分的下限.
zz z2
SS22
(上)
z1 SS11
f(x,y,z)dv
OO
b xa
DDxxyy
yy
D abxd d yx xyd1y(2yx(d x)z)y 1z(2x(z1fxz,(2y,(x()yxx,)fy,,()yy)x ,,zy )d ,zz)dz.xx
其中 F ( ,, z ) f ( c o s ,s i n , z )
例6 计算三重积分1x12y2dv,其中由抛物面
x2y24z与平面 zh(h0)所围成 .
解 为求出 在xOy面上的投影区域， z
由方程组
zh
x2y24z
9-3(2)三重积分
3、在球面坐标系下将三重积分化为三次单积分
主要有两种情况：
1° 的边界曲面是一个包围原点在内的闭曲面。
曲面坐标为r r ( , )
则 I d d
0 0 2
r ( , )
0
F ( r , , )r 2 sindr
其中 : F ( r , , ) f ( r sin cos , r sin sin , r cos )
rsind
半径为r及r+dr的球面；
dV
r
圆锥面及+d
dv r sindrdd ,
2
f ( x, y, z )dxdydz
0
d
y
2 f ( r sin cos , r sin sin , r cos ) r sindrdd .
dz
dV
平面 z及 z+dz；
dV = rdrddz
f ( x , y , z )dxdydz
.
z
0
d
r
y
f ( r cos , r sin , z ) r drddz
x
底面积 ：r drd
3、在柱面坐标系下将三重积分化为三次单积分
次序通常选择为z ，r ，
0
r dr z dz
2 0
a
2 d
0
2 cos
0
2 2 cos z a 2 2 r dr 2 d r dr 0 0 2 2 0
2 8 a 8a 2 3 d cos d 9 6 0
2 a
a 2
2
r 2 0 3 0
高数下9.3三重积分及其计算
f
(
x,
y,
z)dz
为闭区域Dxy上的函数, 可以理解为压缩在平面薄片Dxy
上的密度函数.
由三重积分的物理意义,
z
若将f(x, y, z)理解为闭区域
z=z2(x, y)
上的体密度函数, 那么三重积
分
f ( x, y, z)dv
表示空间物体的质量M.
o
a
则函数F(x, y)可以理解为压缩 b
在平面薄片Dxy上的密度函数. x
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值趋近于零时, 该
和式的极限存在, 则称此极限为空间物体的质量M,
即
n
M
lim
0
i 1(i Nhomakorabea,i,
i
)vi
.
当然, 在三维空间定义的函数u=f(x, y, z)的“几何”
意义是四维空间的“曲面”, 我们可以想象, 但无论如
何也无法画出其“图形”, 因此我们不再讨论其几何
平行于z 轴的直线穿过 的下曲面为
z=0, 上曲面为z=x2+y2, 有 0zx2+y2. 0.5
由题意要求, 需要先对y积分, 则 0
应作平行于y 轴的直线穿过 , 为此,
需作一母线平行于y 轴的柱面z=x2,
将积分区域分为两部分(见图)1, 2.
00 00..2255 0.5
00..7755
11
再求关于另一个变量的定积分.
设积分区域 介于两平行平面
c2 z
z=c1, z=c2(c1<c2)之间, 用任一平行且
介于此两平面的平面去截 , 得区域
D(z), c1zc2.
则
f ( x, y, z)dv
Ch9-3三重积分(1)
1
1 x2
1 x2 z2
1
dx
1 x2
1 x2 x2 z2 dz
1
1 x2
2
1 1 1 x2 [ x2z z3 ] 1x2 dx
2 1
3 1 x2
1 1 (1 x2 2x4 )dx 1 3 28 .
45
练习 计算积分
其中是两个球
( R > 0 )的公共部分.
D2z z R R
计算 I y cos(x z)dxdydz,其中:抛物柱面
y
x
及平面
y
0,
z
0,
x
z
所围成的区域.
2
解
I
[ 2 0
x
y
cos(x
z)dz]dxdy
D
[
y
sin(
x
z )]02
x
dxdy
D
y(1 sin x)dxdy
D
I
[
2
x
y
cos(
x
z)dz]dxdy
0
D
[
y
sin(
x
z )]02
D z1 ( x , y )
D : y1( x) y y2( x), a x b, 得
f ( x, y, z)dv
dxdy z2( x,y) f ( x, y, z)dz
D
z1 ( x , y )
b
dx
y2 ( x) dy z2 ( x, y) f ( x, y, z)dz.
解 :
0
y
1 2
(1
x)
D
0 x1
1x2 y
xdxd ydz d xd y
三重积分计算--课件
化三重积分为三次积分
计算三次积分
z1 ( x, y) z z2 ( x, y) 用平行于z 轴的直线穿Ω
(2) 将三重积分化为三次积分:
dxdy
Dxy
z2 ( x , y ) z1 ( x , y )
f ( x, y, z )d z
(3) 计算三次积分.
例1 计算三重积分
平面x 2 y z 1 所围成的闭区域 .
三重积分的计算(一)
回顾:
在求密度分布不均匀几何体质量的过程中， 推导出了三重积分的定义：
d (T ) 0
lim
f ( , ,
k 1 k k
n
k
)Vk f ( x, y, z )dV
三重积分的计算
计算三重积分 I f ( x, y, z )dV 其中:Ω为关于z轴的
1
xy
d
z
z2 ( x, y)
d [
Dxy
z2 ( x , y )
z1 ( x , y )
f ( x, y, z )dz ]
平面薄片的面 密度
z1 ( x, y)
( x, y )
压缩后平面 薄片的质量
O
y
d
先一后二投影法
x
Dxy
投影法计算三重积分的计算步骤 (1) 用不等式表示积分区域 a xb 将Ω投影到xOy 面得Dxy Dxy : y1 ( x) y y2 ( x) :
1 x 2 y
0
xdz x d x
0
1
0
1 x 2 y
dz
1 (1 x ) 2
1 1 1 2 3 (1 x 2 y )d y ( x 2 x x )d x 4 0 48
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