2018届中考全程演练(第02期)第17课时：特殊三角形(含答案)

第四单元　三角形第17课时　特殊三角形基础达标训练1. (2017长沙)一个三角形三个内角的度数之比为1∶2∶3，则这个三角形一定是( )A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 等腰直角三角形2. (2017大连)如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，点E是AB的中点，CD＝DE＝a，则AB的长为( )A. 2aB. 2aC. 3aD.a2433第2题图3. 在直角三角形中，如果有一个角是30°，那么下列各比值中，最有可能是这个直角三角形的三边之比的是( )A. 3∶4∶5B. 1∶1∶2C. 5∶12∶13D. 1∶∶234. (2017大庆)如图，△ABD是以BD为斜边的等腰直角三角形，△BCD中，∠DBC＝90°，∠BCD＝60°，DC中点为E，AD与BE的延长线交于点F，则∠AFB的度数为( )第4题图A. 30°B. 15°C. 45°D. 25°5. (2017海南)已知△ABC 的三边长分别为4、4、6，在△ABC 所在平面内画一条直线，将△ABC 分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画( )条A. 3B. 4C. 5D. 66. (2017聊城)如图是由8个全等的矩形组成的大正方形，线段AB 的端点都在小矩形的顶点上．如果点P 是某个小矩形的顶点，连接PA ，PB .那么使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是( )A. 2个B. 3个C. 4个D. 5个第6题图7. (2017黄石)如图，△ABC 中，E 为BC 边的中点，CD ⊥AB ，AB ＝2，AC ＝1，DE ＝，则∠CDE ＋∠ACD ＝( )32第7题图A. 60°B. 75°C. 90°D. 105°8. (2017河池)已知等边△ABC 的边长为12，D 是AB 上的动点，过D 作DE ⊥AC 于点E ，过E 作EF ⊥BC 于点F ，过F 作FG ⊥AB 于点G .当G 与D 重合时，AD 的长是( )A. 3B. 4C. 8D. 99. (2017蚌埠固镇县模拟)如图，在△ABC 中，∠ACB ＝90°，CD 为高，AC ＝4，则下列计算结果错误的是( )A. 若BC ＝3，则CD ＝2.4B. 若∠A ＝30°，则BD ＝33C. 若∠A ＝45°，则AD ＝22D. 若BC ＝2，则S △ADC ＝165第9题图10. (2017江淮名校联考)如图，∠AOB ＝120°，OP 平分∠AOB ，且OP ＝2.若点M ，N 分别在OA ，OB 上，且△PMN 为等边三角形，则满足上述条件的△PMN 有( )　第10题图A. 2个B. 3个C. 4个D. 无数个11. (2017黔西南州)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6，则该等腰三角形的周长是________．12. (2016哈尔滨)在等腰直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝3，点P 为边BC 的三等分点，连接AP ，则AP 的长为________．第13题图13. (2017攀枝花)如图，D 是等边△ABC 边AB 上的点，AD ＝2，DB ＝4.现将△ABC 折叠，使得点C 与点D 重合，折痕为EF ，且点E 、F 分别在边AC 和BC 上，则＝________．CF CE 14.(2017绥化)在等腰△ABC 中，AD ⊥BC 交直线BC 于点D ，若AD ＝BC ，则△ABC 的顶角的度数为________．1215. (8分)(2017北京)如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，∠A ＝36°，BD 平分∠ABC 交AC 于点D .求证：AD ＝BC.第15题图16. (8分)如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，AE⊥BC，垂足分别为D、E，AE、BD相交于点O，连接DE.(1)判断△CDE的形状，并说明理由；(2)若AO＝12，求OE的长．第16题图能力提升拓展1. (2017武汉)如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以△ABC的一边为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在△ABC的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为( )A. 4B. 5C. 6D. 7第1题图32. (2017武汉)如图，在△ABC中，AB＝AC＝2，∠BAC＝120°，点D，E都在边BC上，∠DAE＝60°，若BD＝2CE，则DE的长为________．第2题图3. (2017威海)如图，△ABC为等边三角形，AB＝2，若P为△ABC内一动点，且满足∠PAB＝∠ACP.则线段PB长度的最小值为________．第3题图4. (2017河南)如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝2＋1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为________．第4题图5. (10分)(2017徐州)如图，已知AC⊥BC，垂足为3C，AC＝4，BC＝3，将线段AC绕点A按逆时针方向旋转60°，得到线段AD，连接DC、DB.(1)线段DC＝______；(2)求线段DB的长度．第5题图教材改编题1. (沪科八上P138练习第3题改编)如图，在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠ACB ＝90°，BC ＝2，CD ⊥AB 于D ，则AD 的长为( )第1题图A. 2 B. 33C. 3D. 33答案基础达标训练1. B 【解析】∵一个三角形的三个内角度数之比为1∶2∶3，设这三个内角分别为x ，2x ，3x ，根据三角形内角和为180°可得x ＋2x ＋3x ＝180°，解得x ＝30°，∴3x ＝90°，则这个三角形一定是直角三角形，但不是等腰直角三角形．2. B 【解析】∵在Rt △CDE 中，CD ＝DE ＝a ，∴CE ＝＝＝a .∵点E 为Rt △ABC 斜边AB 的中点，22DE CD +22a a +2∴CE ＝AE ＝BE ＝AB ，∴AB ＝2CE ＝2 a.1223. D 【解析】如解图，设30°角所对的直角边BC ＝a ，则AB ＝2BC ＝2a ，∴AC ＝＝a ，∴三边之比为a ∶a ∶2a ＝1∶22-BC AB 33∶2.3第3题解图4.B 【解析】∵∠DBC ＝90°，E 为DC 中点，∴BE ＝CE ＝CD ，∵∠BCD ＝60°，∴∠CBE ＝60°，∴∠DBF ＝30°，12∵△ABD 是等腰直角三角形，∴∠ABD ＝45°，∴∠ABF ＝75°，∴∠AFB ＝180°－90°－75°＝15°.第4题解图5. B 【解析】如解图所示，第5题解图当AC ＝CD ，AB ＝BG ，AF ＝CF ，AE ＝BE 时，都能得到符合题意的等腰三角形．6. B 【解析】如解图所示，使△ABP 为等腰直角三角形的点P 的个数是3，故选B.第6题解图7. C 【解析】∵CD ⊥AB ，E 为BC 边的中点，∴BC ＝2DE ＝，∵AB ＝2，AC ＝1，∴AC 2＋BC 2＝12＋()332＝4＝22＝AB 2，∴∠ACB ＝90°，∵tan A ＝＝，∴∠A ＝60°，BCAC 3∴∠ACD ＝∠B ＝30°，∴∠DCE ＝60°，∵DE ＝CE ，∴∠CDE ＝60°，∴∠CDE ＋∠ACD ＝90°.8. C 【解析】如解图，设BD ＝x ，∵△ABC 是等边三角形，∴∠A ＝∠B ＝∠C ＝60°，∵DE ⊥AC 于点E ，EF ⊥BC 于点F ，FG ⊥AB 于点G, ∴∠BDF ＝∠DEA ＝∠EFC ＝90°， ∴BF ＝2x, ∴CF ＝12－2x , ∴CE ＝2CF ＝24－4x ，∴AE ＝12－CE ＝4x －12，∴AD ＝2AE ＝8x －24，∵AD ＋BD ＝AB ，∴8x－24＋x ＝12，∴x ＝4,∴AD ＝8x －24＝32－24＝8.第8题解图9. B 【解析】A.若BC ＝3，则CD ＝＝2.4，故正确；B.AC·BC AB 若∠A ＝30°，则BD ＝BC ＝AC ＝，故错误；C.若∠A ＝45°，则1236233AD ＝BD ＝AC ＝2，故正确；D .若BC ＝2，则AB ＝2，AD ＝2225＝，CD ＝，S △ADC ＝AD·CD ＝，故正确．AC AB 8554551216510. D 【解析】如解图，在OA 、OB 上截取OE ＝OF ＝OP ，作∠MPN ＝60°. ∵OP 平分∠AOB , ∴∠EOP ＝∠POF ＝60°，∵OP ＝OE ＝OF , ∴△OPE ，△OPF 是等边三角形，∴EP ＝OP ，∠EPO ＝∠OEP ＝∠PON ＝∠MPN ＝60°，∴∠EPM ＝∠OPN, 在△PEM 和△PON 中，， ⎪⎩⎪⎨⎧∠=∠=∠=∠OPN EPM POPE PONPEM ∴△PEM ≌△PON (ASA). ∴PM ＝PN , ∵∠MPN ＝60°， ∴△PNM 是等边三角形， ∴只要∠MPN ＝60°，△PMN 就是等边三角形， 故这样的三角形有无数个．第10题解图11. 15　【解析】当腰为3时，3＋3＝6，∴3、3、6不能组成三角形；当腰为6时，3＋6＝9＞6, ∴3、6、6能组成三角形， 该三角形的周长为＝3＋6＋6＝15.12. 或　【解析】①如解图，∵∠ACB ＝90°，1310AC ＝BC ＝3，∵PB ＝BC ＝1，∴CP ＝2，∴AP ＝＝，13AC2＋PC213②如解图，∵∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝3，∵PC ＝BC ＝1，∴AP ＝13＝，综上所述，AP 的长为或.AC2＋PC2101310第12题解图13. 【解析】由题易知∠A ＝∠B ＝∠EDF ＝60°，54∠A ＋∠AED ＝∠EDB ＝∠EDF ＋∠FDB ∴∠AED ＝∠F D B ，∴△AED ∽△BDF ，∴＝＝，∴＝，由翻折易知ED DF AE BD AD BF EDDF DB BF DF AD ED AE ++++EC ＝ED ，FC ＝FD ，∴＝，即CECF BDBF FC AD EC AE ++++＝，∵AD ＝2，BD ＝4.∴AB ＝BC ＝AC ＝6，CE CF BDBC AD AC ++∴＝＝，即＝.CE CF 6＋26＋445CF CE 5414.30°或150°或90°　【解析】①BC 为腰，∵AD ⊥BC 于点D ，AD ＝B C ，∴∠ACD ＝30°，如解图①，AD 在△ABC 内部时，顶12角∠C ＝30°，如解图②，AD 在△ABC 外部时，顶角∠ACB ＝180°－30°＝150°，③BC 为底，如解图③，∵AD ⊥BC 于点D ，AD ＝BC ，∴AD ＝BD ＝CD ，∴∠B ＝∠BAD ，∠C ＝∠CAD ，∴∠BA12D ＋∠CAD＝×180°＝90°，∴顶角∠BAC ＝90°，综上所述，等腰三角12形ABC 的顶角度数为30°或150°或90°. 图① 图②图③第14题解图15. 证明：∵AB ＝AC ，∠A ＝36°，∴∠ABC ＝∠C ＝(180°－∠A )＝72°，12又∵BD 为∠ABC 的平分线，∴∠ABD ＝∠CBD ＝∠ABC ＝36°＝∠A ，12∴AD ＝BD.∵∠CBD ＝36°，∠C ＝72°，∴∠BDC ＝180°－∠CBD －∠C ＝72°＝∠C ，∴BC ＝BD ，∴AD ＝ BC.16. 解：(1)∵△ABC 是等边三角形，且BD ⊥AC ，AE ⊥BC ，∴∠C ＝60°，CE ＝BC ，CD ＝AC ；而BC ＝AC ,1212∴CD ＝CE ，∴△CDE 是等边三角形.(2)由(1)知：AE 、BD 分别是△ABC 的中线，∴AO ＝2OE ，而AO ＝12，∴OE ＝6.能力提升拓展1. D 【解析】设等腰三角形的第三个顶点为D ，则①当AC ＝AD 时，以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交AB 于点D ，故此时存在一个等腰三角形；②若AC ＝CD 时，以点C 为圆心，AC 长为半径，与线段AB 和BC 不会有新的交点，故此时不存在等腰三角形；③当AD ＝CD 时，作AC 的垂直平分线，交AB 于点D ，故此时存在一个等腰三角形；④当CD ＝BC 时，以点C 为圆心，BC 长为半径画弧，分别交AC 和AB 于两点，故此时存在两个等腰三角形；⑤当BC ＝BD 时，以点B 为圆心，BC 长为半径画弧，交AB 边于一点，故此时存在一个等腰三角形；⑥当CD ＝BD 时，作BC 的垂直平分线交AB 于一点，故此时存在一个等腰三角形；⑦当AB ＝AD 或AB ＝BD 时，分别以点A 和点B 为圆心，AB 长为半径画弧，与AC 和BC 均无交点，故此情况不存在等腰三角形；⑧当AD ＝BD 时，作AB 的垂直平分线交AC 于一点，故此时存在一个等腰三角形．综上所述，等腰三角形共有7个．2. 3－3　【解析】如解图，过点A 作AF ⊥BC 于点3F ，∵AB ＝AC ＝2，∠BAC ＝120°，∴BC ＝6，∠B ＝∠BCA ＝30°，3将△ABD 绕点A 逆时针旋转120°得到△ACD′，∴∠D′CA ＝∠DBA ＝30°，AD ＝ AD′，∴∠D′CE ＝60°，∵∠DAE ＝60°，∠D′AC ＝∠DAB ，∴∠EAD ′＝∠EAD ＝60°，∴△EAD′≌∠EAD ，∴ED′＝ED ，∴ED′＋BD ＋EC ＝6，∴EC ＝，∵C 6－DE3D′＝BD ＝2CE ，∠D′CE ＝60°，∴∠D′EC ＝90°，∴D′E 2＋EC 2＝D′C 2，即DE 2＋()2＝(×2)2，解得DE ＝3－3.6－DE36－DE 33第2题解图3. 【解析】 如解图，将△APB 绕点B 顺时针旋转60°，则233△PBD 是等边三角形，PB ＝PD .∵∠PAB ＝∠ACP ，∴∠PCD ＝60°.在△PCD 中，当∠PCD ＝60°时，PD 最小，∴当△PCD 是等边三角形时，PD ＝PB 最小，此时四边形PCDB 是菱形．在Rt △POB 中，OB ＝1，∠PBO ＝30°，∴PB ＝.233第3题解图4. 或1　【解析】(1)当∠B′MC 为直角时，此时点M 在BC2＋12的中点位置，点B ′与点A 重合，如解图①，则BM 的长度为BC ＝12；(2)当∠MB′C 为直角时，如解图②，根据折叠性质得，2＋12BM ＝B′M ，BN ＝B′N ，B′M ∥BA ，∴＝，即＝＝，∴MC BC B ′M AB MC B ′M BC AB 2＝，即＝，即MC B ′M 2BM BM MC 2＋11＝，∵BC ＝＋1，∴BM ＝1，故BM 的长为或1.BCBM 2＋1122＋12第4题解图5. 解：(1)4；【解法提示】在△ACD 中，∵∠A ＝60°，AC ＝AD ，∴△ACD 是等边三角形，∴DC ＝AC ＝4.(2)如解图，过点D 作DE ⊥BC 于点E .在△CDE 中，∠DCE ＝∠ACB －∠ACD ＝90°－60°＝30°，CD ＝4，∴DE ＝2，CE ＝4×cos30°＝4×＝2，323∴BE ＝BC －CE ＝3－2＝，333∴DB ＝＝＝.22DE BE （3）2＋227第5题解图教材改编题1. D 【解析】在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，∠BCA ＝90°，∴∠B ＝60°，∵CD ⊥AB 于D ，∴∠BCD ＝30°，3∵BC＝2，∴BD＝1，CD＝，在Rt△ACD中，∵∠A＝30°，3∴AD＝CD＝3.。