数学八年级上期末复习专题：第17章 特殊三角形
八年级数学上册 17 特殊三角形小结与复习冀教版
——————————教育资源共享步入知识海洋————————第十七章小结与复习【知识梳理】一．等腰三角形1.相关概念：有两边相等的三角形是等腰三角形（在未知是否为等腰三角形时，不能先说有两腰相等的三角形叫等腰三角形，防循环论证）；三边都相等的三角形叫等边三角形（也称之为正三角形），它是特殊的等腰三角形．2.等腰三角形及等边三角形的性质：等腰三角形是轴对称图形，顶角的角平分线所在直线就是它的对称轴；等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）；等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线，底边上的高互相重合（简写成“三线合一”）；等边三角形的各角都相等，并且每个角都等于60°．二．直角三角形１.直角三角形的性质定理：２.含30°角的直角三角形的性质：３.直角三角形的判定：4.直角三角形全等的判定：三．勾股定理勾股定理是初中数学中的一个重要定理，在直角三角形中，已知两边可利用此定理求第三边的长.可从三边的平方关系中判断一个三角形是否为直角三角形，可解决面积问题等等．1.如果直角三角形两直角边分别为a，b，斜边为c，那么a2 +b2 = c22.如果三角形的三边长a，b，c满足a2 +b2 = c2，那么这个三角形是直角三角形；3.满足a2 +b2 = c2的三个正整数，称为勾股数．四．反证法1.用反证法证明找出命题结论的反面是关键，“至少”的反面是“没有”，“最多”的反面是“不止”；2.用反证法证明一定要得出矛盾，这种矛盾可以是与已知条件的矛盾，也可以是与定义、定理的矛盾．【典例分析】例1．等腰三角形顶角与底角之比为1:4，则三个角分别是_________．解：设顶角与底角分别为x ，4x ，根据题意，有x +4x +4x=180．（以下略）掌握概念、把握方法、灵活运用数学思想，善于数形结合，就能掌握等腰三角形．例2.如图1，矩形纸片ABCD 中，AB =8cm,把矩形纸片沿直线AC 折叠，点B 落在点E 处，AE 交DC 于点F ，若AF =425cm ，则AD 的长为（ ） A. 4cm B. 5cm C. 6cm D. 7cm分析:本题考查折叠的有关知识及勾股定理的应用.∵△ABC ≌△AEC ,∴∠EAC=∠BAC , 又∵四边形ABCD 为矩形,∴DC=AB=8,DC∥AB,∴∠FCA=∠BAC,∴∠FAC =∠FCA, ∴AF =FC =425,∴DF=DC-CF =8-425=47, 又∵∠D=090,∴AD =(),636474252222cm DF AF ==⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛=-故选C. 例3.如图2，有一木质圆柱形笔筒的高为h ，底面半径为r ，现要围绕笔筒的表面由A 至1A （1A A ，在圆柱的同一轴截面上）镶入一条银色金属线作为装饰，这条金属线的最短长度是 ．分析:求几何体表面的最短距离时,通常可以将几何体表面展开,把立体图形转化成平面图形,于是问题可迎刃而解.把圆柱的侧面展开如图3,金属线的最短长度()22222212142h r h r B A AB AA +=+=+=ππ. 评析: 解决立体图形中的最短路线问题的关键是把立体图形平面化.方法是：把立体图形的表面展开，根据“两点之间线段最短”，利用勾股定理，直接求出平面上两点之间的距离，此距离即为所求.例4．如图，AB=AC ，D 为BC 上一动点，DE ⊥AB于E ，图1 图2 A1A 1ADF ⊥AC 于F ，∠BAC ＝120°，BC ＝10cm,则DE ＋DF ＝ 。
冀教版八年级上册数学第十七章 特殊三角形含答案
冀教版八年级上册数学第十七章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图，AB是⊙O的直径，AC，BC分别与⊙O相交于点D，E，连接DE，现给出两个命题：①若AC=AB，则DE=CE；②若∠C=45°，记△CDE的面积为S1，四边形DABE的面积为S2，则S 1=S2，那么（）A.①是真命题②是假命题B.①是假命题②是真命题C.①是假命题②是假命题 D.①是真命题②是真命题2、等腰三角形的两条边分别为3cm和6cm，则它的周长为（）A.12B.15C.12或15D.93、如图，平面直角坐标系中，等腰Rt△OAB沿x轴负方向向左平移后得到△O 1A1B1，使点B的对应点B1落在双曲线y＝（x＜0）上，若点B（0，﹣4），则线段AB扫过的面积是（平方单位）（）A.2B.2C.4D.44、如图，在中，，D从A出发沿方向以向终点C匀速运动，过点D作交于点E，过点E作交于点F，当四边形为菱形时，点D运动的时间为（）A. B. C. D.5、若等腰三角形一个外角等于100 ，则它的顶角度数为（）A.20°B.80°C.20°或80°D.50°或80°6、如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P．若OP=3，CD=8，则⊙O的半径为（）A.2B.3C.4D.57、如图，点是的，的平分线的交点，交于点，交于点，若的周长为，那么的长为（）A. B. C. D.8、若等边△ABC的边长为2cm，那么△ABC的面积为( )A. cm 2B.2 cm 2C.3 cm 2D.4cm 29、下列命题中是假命题的是（）A.△ABC中，若∠B=∠C－∠A，则△ABC是直角三角形B.△ABC中，若a 2=(b+c)(b－c)，则△ABC是直角三角形C.△ABC中，若∠A∶∠B∶∠C=3∶4∶5，则△ABC是直角三角形 D.△ABC中，若a∶b∶c=5∶4∶3，则△ABC是直角三角形10、如图所示，由四个全等的直角三角形拼成的图形，设CE = a，HG = b，则斜边BD的长是（）A.a + bB.a - bC.D.11、方程x2-9x+18=0的两个根是等腰三角形的底和腰，则这个三角形的周长为（）A.12B.12或15C.15D.不能确定12、下列四组数据表示三角形的三边长,其中不能构成直角三角形的一组数据是( )A.1 cm, cm, 4cmB.5cm, 12cm, 13cm:C.3cm, 4cm,5cm: D.7cm, 24cm, 25 cm13、如图，已知∠MON=30°，点A1， A2， A3，…在射线ON上，点B1，B 2， B3，…在射线OM上．△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均为等边三角形，若OA1=4，则△A6B6A7的边长为（）A.16B.32C.64D.12814、在△ABC中，∠C=90°，若AC=2，BC=4，则AB的长度等于（）A.3B.C.D.以上都不对15、如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC＝30°，∠BAC的平分线交BC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为E，连接CE交AD于点F，则以下结论：①AB＝2CE；②AC＝4CD；③CE⊥AD；④△DBE与△ABC的面积比是：1：（）其中正确结论是（）A.①②B.②③C.③④D.①④二、填空题(共10题，共计30分)16、如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若∠AOD=120°，AB=1，则△OAB的周长为________．17、在Rt△ABC中，∠C＝90°，CA＝8，CB＝6，则△ABC内切圆的面积为________．18、如图，将矩形ABCD沿CE向上折叠，使点B落在AD边上的点F处．若AE= BE，则长AD与宽AB的比值是________．19、若等腰三角形中有一个角等于，则这个等腰三角形的顶角的度数为________.20、如图，菱形的边长为4，，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于两点，直线交于点，连接，则的长为________.21、如图，在平行四边形ABCD中，AD=2AB，CE平分∠BCD交AD边于点E，且AE=3，则AB的长为________.22、如图，①请你填写一个适当的条件：________，使AD∥BC．②若AD∥BC，△ABD是等腰三角形，当∠ABC=70°时，∠ADB=________°23、如图，四边形是矩形，点E在线段的延长线上，连接交于点F, ，点G是的中点.若，，则的长为________.24、一个等腰三角形的底边长为5，一条腰上的中线把周长分成的两部分的差为2，则这个等腰三角形的腰长为________.25、如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作当与正方形ABCD的边相切时，BP的长为________．三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，已知在△ABC中，CD⊥AB于D，AC＝20，BC＝15，DB＝9.求AB的长.27、如图，某会展中心在会展期间准备将高5m，长13m，宽2m的楼梯上铺地毯，已知地毯每平方米18元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要多少元钱？28、已知，如图，△ABC中，AB=AC，点D、E、F分别为AB、AC、BC边的中点．求证：DE与AF互相垂直平分．29、已知a，b，c为三角形的三边长，且满足|a﹣5|+ +（c﹣13）2=0，请判断该三角形的形状．30、如图是一块直角三角形的绿地，量得直角边BC为6cm，AC为8cm，现在要将原绿地扩充后成等腰三角形，且扩充的部分是以AC为直角边的直角三角形，求扩充后的等腰三角形绿地的周长．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、B3、C4、D5、C7、B8、A9、C10、C11、C12、A13、D14、C15、C二、填空题(共10题，共计30分)16、17、18、19、20、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、29、。
2024八年级数学上册第十七章特殊三角形全章热门考点整合应用习题课件新版冀教版
2 ，3)，(0，－3)，则点 M 的坐标为(
A. (3 ，－2)
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【点拨】
连接 PF ，如图，设正六边形的边长为 a ，
在△ ABE 和△ CBD 中，ቐ∠＝∠，
＝，
∴△ ABE ≌△ CBD (SAS).
∴ AE ＝ CD .
又∵ AD ＝ AE ＋ ED ， ED ＝ BD ，∴ BD ＋ CD ＝ AD .
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性质3直角三角形斜边上的中线的性质
CD ＝4.
求：(1)∠ CBD 的度数；
【解】在Rt△ ADB 中，
∵∠ A ＝60°，∠ ADB ＝90°，∴∠ ABD ＝30°.
∵ DC ∥ AB ，∴∠ CDB ＝∠ ABD ＝30°.
又∵∠ DBC ＝∠ BDC ，∴∠ CBD ＝30°.
(2)线段 AB 的长为 8 .
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三角形的重要性质之一，也是今后学习直角三角形的依据之
一.本章热门考点可概括为两个定理、四个性质、四个判
2016年秋八年级数学上册 第十七章 特殊三角形复习课件 (新版)冀教版
根据题意得 2x+x-8=20,
解得 x= 2 8 , ∴x-8= 4 ;
3
3
若腰比底边短，设腰长为ycm,则底边长为（y+8)cm,根据题意得
2y+y+8=20,解得y=4, ∴y+8=12,但4+4=8<12,不符合题意.
故此等腰三角形的三边长分别为238
cm
,2 8 3
cm
,
4 3
cm
.
【归纳拓展】根据等腰三角形的性质求边长或度数时，若已知 条件未明确所给的角是顶角还是底角、所给的边是腰还是底边 时，要分两种情况才能使答案不致缺漏，同时，求出答案后要 和三角形的内角和定理及三角形三边关系对照，若不符合，则 答案不成立，要舍去，这样才能保证答案准确. 【配套训练】等腰三角形的两边长分别为4和6，求它的周长. 【答案】①若腰长为6，则底边长为4，周长为6+6+4=16； ②若腰长为4，则底边长为6，周长为4+4+6=14. 故这个三角形的周长为14或16.
等腰三角形的判定定理 如果一个三角形有_两__个__角___相等,那么这个三角形是等腰三角 形（简写成“___等__角__对__等__边___”）.
等边三角形的判定 有一个角是__6_0_°__的等腰三角形是等边三角形.
直角三角形的性质定理1 直角三角形的两个锐角_互__余___.
直角三角形的判定定理 如果一个三角形的两个角__互__余__，那么这个三角形是直角 三角形. 直角三角形的性质定理
直角三角形斜边上的中线等于斜边的__一__半__. 含30°角的直角三角形的性质 在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对 的直角边等于斜边的_一__半___.
(全优)冀教版八年级上册数学第十七章 特殊三角形含答案
冀教版八年级上册数学第十七章特殊三角形含答案一、单选题(共15题，共计45分)1、如图,在矩形ABCD中,DE⊥AC+于E,∠EDC:∠EDO=1:2,且AC=10,则DE的长度是A.3B.5C.D.2、如图，m∥n，点A在直线n上，以A为圆心的圆弧与直线n,m相交于B,C，若，则的度数为（）A. B. C. D.3、如图，正方形ABCD中，AB=6，点E在边CD上，且CD=3DE，将△ADE沿AE 对折至△AFE，延长EF交边BC于点G，连结AG、CF.下列结论：①△ABG≌△AFG；② BG=GC；③ AG∥CF；④∠GAE=45°.则正确结论的个数有( )A.1B.2C.3D.44、△ABC中∠A，∠B，∠C的对边分别是a、b、c，下列命题为真命题的是( )A.如果∠A=2∠B=3∠C，则△ABC是直角三角形B.如果∠A：∠B：∠C=3：4：5，则△ABC是直角三角形 C.如果a：b：c=1：2：2，则△ABC 是直角三角形 D.如果a：b：c=3：4：，则△ABC是直角三角形5、如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，若CD＝3，则CE等于（）A.2B.2.5C.3D.3.56、如图，△ABC中，D为AB中点，E在AC上，且BE⊥AC．若DE=5，AE=8，则BE的长度是（）A.5B.5.5C.6D.6.57、我国数学家华罗庚曾建议，用一副反应勾股定理的数形关系图来作为和外星人交谈的语言，就勾股定理本身而言，它揭示了直角三角形的三边之间的关系，它体现的数学思想方法是（）A.分类思想B.方程思想C.转化D.数形结合8、在矩形ABCD中，AB=1，AD= ，AF平分∠DAB，过C点作CE⊥BD于E，延长AF、EC交于点H，下列结论中：①AF=FH；②BO=BF；③CA=CH；④BE=3ED，正确的个数是（）A.1B.2C.3D.49、如图，在菱形中，分别是边的中点，P是对角线上一动点，已知菱形边长为5，对角线长为6，则周长的最小值是（）A.11B.10C.9D.810、有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在他的左右肩上生出两个小正方形，其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，变成了上图，如果继续“生长”下去，它将变得“枝繁叶茂”，请你算出“生长”了2020次后形成的图形中所有的正方形的面积和是（）A.1B.2021C.2020D.201911、小亮为宣传“两会”，设计了形状如图所示的彩旗，图中∠ACB＝90°，∠D＝15°，点A在CD上，AD＝AB，BC＝2dm，则AD的长为（）A.3dmB.4dmC.5dmD.6dm12、已知a、b、c为△ABC的三边，且满足（a﹣b）（a2+b2﹣c2）=0，则△ABC 是（）A.等边三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形13、如图,是我国古代数学家赵爽的《勾股弦方图》,它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如果大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,直角三角形的短直角边为a,较长的直角边为b,那么(a+b)2值为 ( )A.169B.25C.19D.1314、下列各组线段为边作三角形，不能构成直角三角形的是（）A.2,3,4B.1, ,C.5,12,13D.9,40,4115、如图所示，AB＝BC＝CD＝DE＝1，AB⊥BC，AC⊥CD，AD⊥DE，则AE ＝（）A.1B.C.D.2二、填空题(共10题，共计30分)16、考古学家们发现了几块大约完成于公元前左右的古巴比伦的泥版书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为30个单位的棍子直立在墙上，当其上端垂直滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”，这个问题的答案是：其下端离开墙角________个单位．17、等腰三角形ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，已知点A（﹣6，0），点B在原点，CA=CB=5，把等腰三角形ABC沿x轴正半轴作无滑动顺时针翻转，第一次翻转到位置①，第二次翻转到位置②…依此规律，第15次翻转后点C的横坐标是________．18、如图，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，点P为矩形ABCD内一点，满足∠APB＝90°，连结C、P两点，并延长CP交直线AB于点E.若点P是线段CE 的中点，则BE＝________.19、由四个全等的直角三角形拼成如图所示的“赵爽弦图”，若直角三角形斜边长为2，最短的边长为1，则图中阴影部分的面积为________．20、如图，在中，，.将绕点B逆时针旋转60°，得到，则边的中点D与其对应点的距离是________.21、已知直角三角形两边的长分别为3cm,4cm, 则以第三边为边长的正方形的面积为________22、已知三角形的三边长分别为、6、5，则该三角形最长边上的中线长为________．23、如图，AB是⊙O的直径，AB=15，AC=9，则tan∠ADC=________．24、如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为________°.25、等腰三角形的腰长为5，底边长为8，则它底边上的高为________，面积为________.三、解答题(共5题，共计25分)26、如图，中，于D．求及的长．27、如图，在△ABC中，点D在边AC上，DB=BC，E是CD的中点，F是AB的中点，求证：EF= AB．28、试用举反例的方法说明下列命题是假命题．举例：如果ab＜0，那么a+b＜0反例：设a=4，b=﹣3，ab=4×（﹣3）=﹣12＜0，而a+b=4+（﹣3）=1＞0所以，这个命题是假命题．（1）如果a+b＞0，那么ab＞0；反例：（2）如果a是无理数，b是无理数，那么a+b是无理数．反例：（3）两个三角形中，两边及其中一边的对角对应相等，则这两个三角形全等．反例：（画出图形，并加以说明）29、若三角形的三边长分别等于，，2，则此三角形的面积为多少？30、如图，正方形ABCD中，AB=4，E为BC的中点，F为AE的中点，过点F作GH⊥AE，分别交AB和CD于G，H，求GF的长，并求的值．参考答案一、单选题(共15题，共计45分)1、D2、D3、D4、D5、C6、C7、D8、C9、C10、B11、B12、D13、B14、A15、D二、填空题(共10题，共计30分)16、18、19、20、21、22、23、24、25、三、解答题(共5题，共计25分)26、28、。
冀教版八年级上册数学第17章 特殊三角形 反证法
8．(2018·河北石家庄新华区期末)在用反证法证明“三角形的最大 内角不小于 60°”时，假设三角形的最大内角不小于 60°不成 立，则有三角形的最大内角( A ) A．小于 60° B．等于 60° C．大于 60° D．大于或等于 60°
9．用反证法证明命题：“若 a，b 是整数，ab 能被 3 整除，则 a，
4．下列命题中，宜用反证法证明的是120°的等腰三角形是等边三角形 C．两条直线都与第三条直线平行，则这两条直线互相平行 D．全等三角形的面积相等
5．如图，在△ABC 中，AB＝AC，∠ABP≠∠ACP，求
证：PB≠PC，当用反证法证明时，第一步应假设( B )
AC.求证：点 A′一定在△ABC 的外部．
证明：假设点A′不在△ABC的外部，则有两种可能情况． ①点A′在△ABC的边AB或AC上．不妨设点A′在△ABC的边AB上，如图①所 示． ∵AA′＋AC>A′C，∴A′B＋A′C<AB＋AC， 这与已知矛盾，∴假设不成立，∴原命题正确；
②如图②，点A′在△ABC内部时， 延长BA′交AC于点E. 在△ABE中，AB＋AE>BE＝BA′＋A′E， 在△CA′E中，A′E＋CE>A′C， ∴AB＋AE＋A′E＋CE>A′B＋A′E＋A′C. 即AB＋AC>A′B＋A′C， 这与已知矛盾，∴假设不成立，∴原命题正确． 综上，点A′一定在△ABC的外部．
A．AB≠AC
B．PB＝PC
C．∠ABP＝∠ACP D．∠ABC≠∠ACB
6．(2019·河北石家庄新华区校级月考)已知五个正数的和等于 1，
用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于15，先
要假设这五个正数( B )
A．都大于15
河北省各地冀教版数学八年级上册期末试题选编第十七章 特殊三角形 综合复习题
第十七章 特殊三角形 综合复习题一、单选题1．（2022·河北张家口·八年级期末）如图，在△ABC 中，AB =AC ，D 为BC 中点，△BAD =35°，则△C 的度数为（ ）A ．35°B ．45°C ．55°D ．60°2．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC =，40A ︒∠=，//CD AB ，则BCD ∠=（ ）A ．40︒B ．50︒C ．60︒D ．70︒3．（2022·河北保定·八年级期末）如图，在ABC 中，点D 、点E 分别是AB ，AC 的中点，点F 是DE 上一点，且90AFC ∠=︒，若12BC =，8AC =，则DF 的长为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，△ABC 是等边三角形，D 为BA 的中点，DE AC ⊥，垂足为点E ，EF △AB ，1AE =，下列结论错误的是( )A．ADEAD=∠=30°B．2C．△ABC的周长为10D．△EFC的周长为95．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，在△ABC中，△B＝30°，△C＝45°，AE△BC于点E，AB的垂直平分线交BC于点D，交AB于点F，若BD＝，则CE的长为（）A．B．C．D．∆，不是直角三角形的是（）6．（2022·河北廊坊·八年级期末）满足下列条件的ABCA．222a b c=b c a-=B．::5:12:13∠=∠-∠C．::3:4:5∠∠∠=D．C A BA B C7．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图甲是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若AC=6，BC=5，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到图乙所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（）A．52B．42C．76D．728．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，已知AB BD⊥，CD BD⊥，若用“HL”判定Rt ABD和Rt CDB全等，则需要添加的条件是（）A ．AD CB = B ．AC ∠=∠ C ．=BD DB D ．AB CD =9．（2022·河北廊坊·八年级期末）老师在画△AOB 的平分线OP 时，设计了△，△两种做法，这两种做法均可由△OMP △△ONP 得知，其全等的依据分别是（ ）△如图1，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，调整角尺，使角尺的顶点到点M ，N 的距离相等，此时，角尺的顶点为P ，画出射线OP ；△如图2，在边OA ，OB 上分别取OM ＝ON ，再分别过点M ，N ，作OA ，OB 的垂线，交点为P ，画出射线OP ．A ．SSS ；HLB ．SAS ；HLC ．SSS ；SASD ．SAS ；SSS10．（2022·河北唐山·八年级期末）用反证法证明“在ABC ∆中，AB AC =，则B ∠是锐角”，应先假设（ ） A ．在ABC ∆中，B ∠一定是直角B ．在ABC ∆中，B ∠是直角或钝角 C ．在ABC ∆中，B ∠是钝角D ．在ABC ∆中，B ∠可能是锐角二、填空题11．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，在ABC 中，AB AC ＝，点D 在AC 上，且BD BC AD ＝＝，则A ∠＝_____度．12．（2022·河北保定·八年级期末）如图：点C 在AB 上，DAC ∆、EBC ∆均是等边三角形，AE 、BD 分别与CD 、CE 交于点M 、N ，则下列结论△AE DB = △CM CN = △CMN ∆为等边三角形 △//BC MN 正确的是______（填出所有正确的序号）13．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图，在△ABC 中，△ACB =90°，D 是AB 的中点，连接CD ．若CD =8，则AB =_______．14．（2022·河北石家庄·八年级期末）如图，在Rt ABC 中，90ABC ∠=︒，斜边上的中线BE 的长为4 cm ，高BD 的长为3 cm ，则ABC 的面积是______2cm ．15．（2022·河北承德·八年级期末）如图，点A 、B 、C 分别在边长为1的正方形网格图顶点，则ABC ∠=______．16．（2022·河北张家口·八年级期末）如图，在△ABC 中，CE 平分△ACB ，CF 平分△ACD ，且EF △BC 交AC 于M ，若CM ＝3，则CE 2+CF 2＝_____．17．（2022·河北邯郸·八年级期末）如图，点D在BC上，DE△AB于点E，DF△BC交AC于点F，BD＝CF，BE＝CD．若△AFD＝145°，则△EDF＝_____．三、解答题18．（2022·河北唐山·八年级期末）如图，已知点D，E分别是ABC的边BA和BC延长线上的点，作△DAC 的平分线AF，若AF△BC．（1）求证：ABC是等腰三角形（2）作△ACE的平分线交AF于点G，若40∠=，求△AGC的度数．B19．（2022·河北石家庄·八年级期末）在等边三角形ABC中，点E在AB上，点D在CB的延长线上，且ED＝EC．（1）当点E为AB的中点时，如图1，确定线段A与DB的大小关系，请你直接写出结论：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．（2）当E不是AB的中点时，AE与DB的大小关系是：AE DB（填“＞”，“＜”或“＝”）．理由如下：如图2，过点E作EF△BC，交AC点F．请你接下来按照这种思路完成全部解答过程．（3）在等边三角形ABC中，点E在直线AB上，点D在直线BC上，且ED＝EC．若△ABC的边长为2，AE＝4，则CD的长为．20．（2022·河北保定·八年级期末）将一个三角形沿着其中一个顶点及其对边上的一点所在的直线折叠，若折叠后原三角形的一边垂直于这条对边，则称这条直线是该三角形的“对垂线”．（1）如图1，AD 是等边△ABC 的对垂线，把△ABC 沿直线AD 折叠后，点B 落在点B '处，求△BAD 的度数；（2）如图2．在△ABC 中，△BAC =90°，点D 在边BC 上，且AB =AD ，若△B =2△DAC ，判断直线AD 是否是△ABC 的对垂线，并说明理由．21．（2022·河北张家口·八年级期末）课外兴趣小组活动时，老师出示了如下问题：如图△，已知在四边形ABCD 中，AC 平分△DAB ，△DAB ＝60°，△B 与△D 互补，求证：AB ＋AD．小敏反复探索，不得其解．她想，可先将四边形ABCD 特殊化，再进一步解决该问题．(1)由特殊情况入手，添加条件：“△B ＝△D”，如图△，可证AB ＋AD．请你完成此证明．(2)受到(1)的启发，在原问题中，添加辅助线：过C 点分别作AB ，AD 的垂线，垂足分别为点E ，F ，如图△.请你补全证明过程．22．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，在ABC 中，90ACB ∠=︒，CD AB ⊥于点D ，DCB ∠的平分线CE 交AB 于点E ．（1）求证：AC AE =；（2）若60A ∠=︒，3AD =，求BD 的长．23．（2022·河北廊坊·八年级期末）如图，在ABC 中，AD BC ⊥，垂足为D ，BD CD =，延长BC 至E ，使得CE CA =，连接AE ．（1）求证：B ACB ∠=∠；（2）若5AB =，4=AD ，求ABE 的周长和面积．24．（2022·河北邢台·八年级期末）如图，在一次地震中，一棵垂直于地面且高度为16米的大树被折断，树的顶部落在离树根8米处，即8BC =，求这棵树在离地面多高处被折断（即求AC 的长度）？25．（2022·河北秦皇岛·八年级期末）如图，小明家在一条东西走向的公路MN 北侧200米的点A 处，小红家位于小明家北500米（500AC =米）、东1200米（1200BC =米）点B 处．（1）求小明家离小红家的距离AB ；（2）现要在公路MN 上的点P 处建一个快递驿站，使PA PB +最小，请确定点P 的位置，并求PA PB +的最小值．26．（2022·河北沧州·八年级期末）如图，在△ABC 中，△C=90°，AD 平分△BAC ，DE△AB 于点E ，点F 在AC 上，且BD=DF ．（1）求证：△DCF△△DEB ；（2）若DE=5，EB=4，AF=8，求AD 的长．27．（2022·河北唐山·八年级期末）已知：如图，在ABC 中，A ABC CB =∠∠，直线l 经过点A ，过B ，C 两点作直线l 的垂线，垂足分别为D ，E ，BD AE =．求证：AB AC ⊥．参考答案：1．C【解析】根据等腰三角形的三线合一的性质可直接得到AD 平分△BAC ，AD △BC ，结合图形，利用各角之间的关系及三角形内角和定理即可得．解：△△ABC 为等腰三角形，△AD 平分△BAC ，AD △BC ，△35DAC BAD ∠=∠=︒，90ADC ∠=︒，△18055C ADC DAC ∠=︒-∠-∠=︒，故选C ．题目主要考查等腰三角形三线合一的性质，三角形内角和定理，理解题意，找准各角之间的数量关系是解题关键．2．D【解析】先根据等腰三角形的性质得到△B 的度数，再根据平行线的性质得到△BCD. 解：△AB=AC ，△A=40°，△△B=△ACB=70°，△CD△AB ，△△BCD=△B=70°，故选D.本题考查了等腰三角形的性质和平行线的性质，掌握等边对等角是关键，难度不大.3．B【解析】根据三角形中位线定理求出DE ，根据直角三角形的性质求出FE ，结合图形计算，得到答案．解：△点D ，点E 分别是AB ，AC 的中点，△DE 是△ABC 的中位线，△DE =12BC =6（cm ），在Rt △AFC 中，点E 是AC 的中点，△FE =12AC =4（cm ），△DF =DE -EF =2（cm ），故选：B ．本题考查的是三角形中位线定理、直角三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．4．C【解析】根据等边三角形的性质和直角三角形两锐角互余的性质可判断A；根据30°角的直角三角形的性质可判断B；由B的结论结合D为BA的中点可求出AB的长，进而可判断C；由EF△AB可判断△CEF是等边三角形，再求出CE的长即可判断D.解：△△ABC是等边三角形，△AB=AC=BC，△A=△B=△C=60°，，△∠AED=90°，△DE AC△△ADE=90°－△A=30°，所以A正确；△AE=1，△ADE=30°，△AD=2AE=2，所以B正确；△D为BA的中点，△AB=2AD=4，△△ABC的周长为4×3=12，所以C错误；△EF△AB，△△CEF=△A=60°，△CFE=△B=60°，△△CEF是等边三角形，△AE=1，△CE=AC－AE=3，△△EFC的周长为9，所以D正确.故选C.本题考查了等边三角形的性质和30°角的直角三角形的性质，属于基础题型，熟练掌握等边三角形的性质和直角三角形的性质是解题的关键.5．D【解析】根据题意连接AD，由线段的垂直平分线的性质可得AD的长；由等腰三角形的性质及三角形的外角性质可求得△ADE＝60°，从而可求得△DAE＝30°，解直角三角形ADE，可得AE的长度；由△C＝45°，可得△AEC为等腰直角三角形，从而可得EC的长度．解：连接AD，如图：△AB的垂直平分线交BC于点D，△AD＝BD＝△在△ABC中，△B＝30°，△△BAD＝△B＝30°，△△ADE＝△B+△BAD＝60°．△AE△BC于点E，△△AED＝90°，△△DAE＝30°，AD＝，△DE＝12△AE，△△C＝45°，△△AEC为等腰直角三角形，△EC＝AE＝故选：D．本题考查含30度角的直角三角形的性质、线段的垂直平分线的性质、等腰三角形的性质及解直角三角形等知识点，熟练掌握相关性质及定理是解题的关键．6．C【解析】根据三角形内角和定理、勾股定理的逆定理对各个选项分别进行计算即可．A. 222-=,则a2+c2=b2 ,△ABC是直角三角形,故A正确，不符合题意；b c aB. 52+122=132，△ABC是直角三角形，故B正确，不符合题意；C.△A：△B：△C=3：4：5，设△A、△B、△C分别为3x、4x、5x，则3x+4x+5x=180°，解得，x=15°，则△A 、△B 、△C 分别为45°，60°，75°，△ABC 不是直角三角形；故C 选项错误，符合题意；D. △A -△B=△C ，则△A=△B+△C ，△A=90°，△ABC 是直角三角形，故D 正确，不符合题意；故选C ．本题考查的是三角形内角和定理、勾股定理的逆定理的应用，勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形就是直角三角形．7．C解：依题意得，设“数学风车”中的四个直角三角形的斜边长为x ，则x 2=122+52=169，解得：x =13．故“数学风车”的周长是：（13+6）×4=76．故选C ．8．A【解析】由图示可知BD 为公共边，若想用“HL ”判定证明Rt ABD 和Rt CDB 全等，必须添加AD =CB ．解：在Rt ABD 和Rt CDB 中BD BD AD CB =⎧⎨=⎩△()Rt ABD Rt CDB HL ≌△△故选A此题主要考查学生对全等三角形判定定理（HL ）的理解和掌握，此题难度不大，属于基础题．9．A【解析】根据作图过程可得MO = NO ，MP = NP ，再利用SSS 可判定△MPO △△PNO ，可得OP 是△AOB 的平分线；根据题意得出Rt △MOP △Rt △NOP (HL )，进而得出射线OP 为△AOB 的角平分线．解：如图△：在△MPO 和△NPO 中OM ON OP OP MP NP =⎧⎪=⎨⎪=⎩，△△MPO △△PNO (SSS )△△AOP =△BOP ，即射线OP 为△AOB 的角平分线；如图△，在Rt △MOP 和Rt △NOP 中，OP OP MO NO=⎧⎨=⎩， △Rt△MOP △Rt△NOP (HL )△△MOP =△NOP ，即射线OP 为△AOB 的角平分线；故选：A ．此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定，关键是掌握判定三角形全等的方法．10．B【解析】假设命题的结论不成立或假设命题的结论的反面成立，然后推出矛盾，说明假设错误，结论成立．解：用反证法证明命题“在ABC ∆中，AB AC =，则B ∠是锐角”时，应先假设在ABC ∆中，B ∠是直角或钝角．故选B ．本题考查反证法，记住反证法的一般步骤是：△假设命题的结论不成立；△从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；△由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 11．36【解析】设△A=x ，利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求得答案．设△A=x ．△AD=BD ，△△ABD=△A=x ；△BD=BC ，△△BCD=△BDC=△ABD+△A=2x ；△AB=AC ，△△ABC=△BCD=2x ，△△DBC=x ；△x+2x+2x=180°，△x=36°，△△A=36°，故答案为36.本题考查了等腰三角形的性质，涉及了等边对等角、三角形外角的性质，三角形的内角和定理，通过三角形内角和定理列方程求解是正确解答本题的关键．12．△△△△【解析】利用等边三角形的性质得CA＝CD，△ACD＝60°，CE＝CB，△BCE＝60°，所以△DCE ＝60°，△ACE＝△BCD＝120°，则利用“SAS”可判定△ACE△△DCB，所以AE＝DB，△CAE ＝△CDB，则可对△进行判定；再证明△ACM△△DCN得到CM＝CN，则可对△进行判定；然后证明△CMN为等边三角形得到△CMN＝60°，则可对△△进行判定．解：△△DAC、△EBC均是等边三角形，△CA＝CD，△ACD＝60°，CE＝CB，△BCE＝60°，△△DCE＝60°，△ACE＝△BCD＝120°，在△ACE和△DCB中AC CDACE DCB EC BC⎪∠⎪⎩∠⎧⎨＝＝＝，△△ACE△△DCB（SAS），△AE＝DB，所以△正确；△△ACE△△DCB，△△MAC=△NDC，△△ACD=△BCE=60°，△△MCA=△DCN=60°，在△ACM和△DCN中MAC NDC CA CDACM DCN∠∠∠⎧⎪⎪⎩∠⎨＝＝＝，△△ACM△△DCN（ASA），△CM＝CN，所以△正确；△CM＝CN，△MCN＝60°，△△CMN为等边三角形，故△正确，△△CMN＝60°，△△CMN＝△MCA，△MN△BC，所以△正确，故答案为：△△△△．本题考查了全等三角形的判定与性质：全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具，在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件，也考查了等边三角形的判定与性质．13．16【解析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半解答即可．解：△△ACB=90°，D是AB中点，CD=8，△AB=2CD=16，故答案为：16．本题考查的是直角三角形的性质，掌握直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解题的关键．14．12【解析】根据直角三角形的性质求出AC，根据三角形的面积公式计算，得到答案．解：在Rt△ABC中，BE为斜边上的中线，BE＝4cm，则AC＝2BE＝2×4＝8（cm），△S△ABC＝12AC•BD＝12×8×3＝12（cm2），故答案为：12．本题考查的是直角三角形的性质，在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半．15．45°【解析】利用勾股定理可求出AB2，AC2，BC2的长，进而可得出AB2=AC2+BC2，AC=BC，利用勾股定理的逆定理可得出△ABC为等腰直角三角形，再利用等腰直角三角形的性质，可得出△ABC=45°．解：连接AC，根据题意，可知：BC2=12+22=5，AC2=12+22=5，AB2=12+32=10．△AB2=AC2+BC2，AC=BC，△△ABC为等腰直角三角形，△△ABC=45°．故答案为：45°．本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及等腰直角三角形的性质，利用勾股定理的逆定理及AC=BC，找出△ABC为等腰直角三角形是解题的关键．16．36【解析】根据角平分线的定义、外角定理推知△ECF＝90°，然后在直角三角形ECF中利用勾股定理求CE2+CF2的值即可．△CE平分△ACB，CF平分△ACD，△△ACE＝12△ACB，△ACF＝12△ACD，△△ECF＝12(△ACB+△ACD)＝90°，又△EF△BC，CE平分△ACB，CF平分△ACD，△△ECB＝△MEC＝△ECM，△DCF＝△CFM＝△MCF，△CM＝EM＝MF＝3，△EF＝6，由勾股定理可知CE2+CF2＝EF2＝36，故答案为36．本题考查了直角三角形的性质-勾股定理，等腰三角形的判定，平行线的性质，以及角平分线的定义，证明出△ECF是直角三角形是解决本题的关键．17．55°##55度【解析】由图示知：△DFC+△AFD=180°，则△DFC=35°．通过全等三角形Rt△BDE△△Rt△CFD （HL）的对应角相等推知△BDE=△CFD．解：△△DFC +△AFD =180°，△AFD =145°，△△CFD =35°．又△DE △AB ，DF △BC ，△△BED =△CDF =90°，在Rt △BDE 与△Rt △CFD 中，BE CD BD CF =⎧⎨=⎩， △Rt △BDE △△Rt △CFD （HL ），△△BDE =△CFD =35°，△△EDF +△BDE =△EDF +△CFD =90°，△△EDF =55°．故答案是：55°．本题考查了全等三角形的判定与性质．全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．18．（1）证明见解析；（2）70AGC ∠=【解析】（1）根据角平分线的定义，得到△DAF =△CAF ，又根据//BC AF ，得到△DAF =△ABC ，△CAG =△ACB ，进一步得到△ABC =△ACB ，即可证明ABC 是等腰三角形；（2）在ACG 中，分别求得ACG ∠和CAG ∠的度数，利用三角形内角和求解即可．（1）证明：△AF 是△DAC 的角平分线△△DAF =△CAF又△//BC AF△△DAF =△ABC ，△CAG =△ACB△△ABC =△ACB∠AB=AC△ABC 是等腰三角形（2）△CG 是△ACE 的角平分线△△ACG =△ECG又△40B ∠=，△ACB =△B△40ACB ∠=△△ACG =△ECG =()118040702⨯-= 又△△CAG =△ACB△△AGC =180407070--=本题考查等腰三角形的判定，平行线的性质，角平分线的定义等相关知识点，牢记知识点是解题关键．19．（1）=，（2）=，理由见解析，（3）2或6．【解析】（1）根据等边三角形的性质得出∠D ＝∠BED ＝30°，证BD ＝BE 即可．（2）结论：AE ＝BD ．如图2中，作EF ∥BC 交AC 于F ．只要证明△DBE ≌△EFC ，推出BD ＝EF ＝AE ，推出BD ＝AE ．（3）分两种情形讨论，类似（2）得出BD ＝AE ，根据线段和差即可解决问题． 解：（1）如图1中，∵△ABC 是等边三角形，AE ＝EB ，∴∠BCE ＝∠ACE ＝30°，∠ABC ＝60°，∵ED ＝EC ，∴∠D ＝∠ECD ＝30°，∵∠EBC ＝∠D +∠BED ，∴∠D ＝∠BED ＝30°，∴BD ＝BE ＝AE ．故答案为：＝．（2）结论：AE ＝BD ．理由如下：如图2中，作EF ∥BC 交AC 于F ．∴∠AEF ＝∠B ＝60°，∠ECB ＝∠CEF ，∵∠A ＝60°，∴△AEF 是等边三角形，∴AE ＝EF ＝AF ，∠AFE ＝60°，∴∠EFC ＝∠DBE ＝120°，∵AB ＝AC ，AE ＝AF ，∴BE ＝CF ，∵ED ＝EC ．∴∠D ＝∠ECD ＝∠CEF ，在△DBE 和△FEC 中，DBE EFC D CEF BE CF ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴△DBE ≌△EFC ，∴BD ＝EF ＝AE ，∴BD ＝AE ，故答案为：＝．（3）如图，当E 在BA 的延长线上时，作EF ∥BC 交CA 延长线于F ．同理可证△DBE ≌△EFC ，可得BD ＝EF =AE ＝4，CD ＝BD ﹣BC ＝4﹣2＝2．如图，当E在AB的延长线上时，作EF∥BC交AC的延长线于F，同理可证△EBD≌△CFE，可得BD＝EF=AE＝4，CD＝BD+BC＝4+2＝6．综上所述，CD的长为2或6．本题考查了全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、等腰三角形的判定和性质，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．20．（1）15°；（2）是，理由见解析．【解析】（1）由“对垂线”的定义可得AB'△BC，△ABD△△AB'D，则可得出△BAD=△B'AD，由等边三角形的性质得出△BAB'12=△BAC=30°，则由折叠的性质可得出答案；（2）由等腰三角形的性质得出△B=△BDA，可得出△DAC=△C12=△B，求出△B=60°，证得△AFD=90°，则可得出答案．解：（1）△AD是等边△ABC的对垂线，把△ABC沿直线AD折叠后，点B落在点B'处，△AB'△BC，△ABD△△AB'D，△△BAD =△B 'AD ．△△ABC 是等边三角形，△AB =AC ，△BAC =60°．又△AB '△BC ，△△BAB '12=△BAC =30°， △△BAD 12=△BAB '1302=⨯°=15°； （2）直线AD 是△ABC 的对垂线．理由如下：△AB =AD ，△△B =△BDA ．△△B =2△DAC ，△BDA =△DAC +△C ，△△DAC =△C 12=△B ． △△ABC 中，△BAC =90°，△△B +△C =90°，△△B 12+△B =90°， △△B =60°=△BDA ，△DAC =△C =30°．把△ADC 沿直线AD 折叠，设点C 落在C '处，直线AC '交BC 于点F ，则△ACD △△AC 'D ， △△DAC '=△DAC =30°，△△AFD 中，△AFD =180°﹣30°﹣60°=90°，即AC '△BC ，△AD 是△ABC 的对垂线．本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，三角形“对垂线”的概念，折叠的性质，全等三角形的性质，直角三角形的性质，熟练掌握折叠的性质是解答本题的关键．21．(1)见解析;(2)见解析.【解析】（1）如果：“△B=△D”，根据△B 与△D 互补，那么△B=△D=90°，又因为△DAC=△BAC=30°，因此我们可在直角三角形ADC 和ABC 中得出，那么．（2）按（1）的思路，作好辅助线后，我们只要证明三角形CFD 和BCD 全等即可得到（1）的条件．根据AAS 可证两三角形全等，DF=BE ．然后按照（1）的解法进行计算即可．(1)证明：△△B ＝△D ＝90°，AC 平分△DAB ，△DAB ＝60°，△CD ＝CB ，△CAB ＝△CAD ＝30°.设CD ＝CB ＝x ，则AC ＝2x.由勾股定理，得AD，AB△AD ＋AB＝，即AB ＋AD(2)解：由(1)知，AE ＋AF△AC 为角平分线，CF△AD ，CE△AB ，△CF ＝CE ，△CFD ＝△CEB ＝90°.△△ABC 与△D 互补，△ABC 与△CBE 也互补，△△D ＝△CBE ，△△CDF△△CBE(AAS )．△DF ＝BE.△AB ＋AD ＝AB ＋(AF ＋FD)＝(AB ＋BE)＋AF ＝AE ＋AF本题考查了直角三角形全等的判定及性质；通过辅助线来构建全等三角形是解题的常用方法，也是解决本题的关键．22．（1）证明见解析；（2）9【解析】（1）根据已知条件得到ACD B ∠=∠，再根据角平分线的定义得到BCE DCE ∠=∠，即可得解；（2）根据含30度角的直角三角形的性质计算即可；解：（1）△90ACB ∠=︒，CD AB ⊥，△90ACD A B A ∠+∠=∠+∠=︒，△ACD B ∠=∠，△CE 平分BCD ∠，△BCE DCE ∠=∠，△B BCE ACD DCE ∠+∠=∠+∠，即AEC ACE ∠=∠，△AC AE =．（2）△90ACB ∠=︒，60A ∠=︒，△30ACD ∠=︒，30B ∠=︒，△Rt ACD △中，26AC AD ==，△Rt ABC △中，212AB AC ==，△1239BD AB AD =-=-=．本题主要考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定和含30度角的直角三角形，准确计算是解题的关键．23．（1）证明见解析；（2）周长为16+22．【解析】（1）先根据垂直的定义可得90ADB ADC ∠=∠=︒，再根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）先根据全等三角形的性质可得5AB AC ==，从而可得5CE =，再利用勾股定理可得3CD BD ==，从而可得11,8BE DE ==，然后利用勾股定理可得AE =形的周长公式和面积公式即可得．（1）证明：AD BC ⊥，90ADB ADC ∴∠=∠=︒，在ABD △和ACD 中，AD AD ADB ADC BD CD =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，()ABD ACD SAS ∴≅，B ACB ∴∠=∠；（2）ABD ACD ≅，5AB =，5AB AC ∴==，CE CA =，5CE ∴=，5,4,AB AD AD BC ==⊥，3BD ∴=，BD CD =，3CD ∴=，11,8BE BD CD CE DE CD CE ∴=++==+=，AE ∴则ABE 的周长为51116AB BE AE ++=++=+ ABE 的面积为111142222BE AD ⋅=⨯⨯=． 本题考查了三角形全等的判定定理与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握三角形全等的判定定理与性质是解题关键．24．这棵树在离地面6米处被折断【解析】设AC x =，利用勾股定理列方程求解即可.解：设AC x =，△在Rt ABC △中，222AC BC AB +=，△()222816x x +=-，△6x =．答：这棵树在离地面6米处被折断本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方． 当题目中出现直角三角形，且该直角三角形的一边为待求量时，常使用勾股定理进行求解．有时也可以利用勾股定理列方程求解．25．（1）1300AB =米；（2）见解析，1500米【解析】（1）如图，连接AB ，根据勾股定理即可得到结论；（2）如图，作点A 关于直线MN 的对称点A '，连接A 'B 交MN 于点P ．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A 'B ，根据勾股定理即可得到结论．解：（1）如图，连接AB ，由题意知AC=500，BC=1200，△ACB=90°，在Rt△ABC中，△△ACB=90°，△AB2=AC2+BC2=5002+12002=1690000，△AB＞0△AB=1300米；（2）如图，作点A关于直线MN的对称点A'，连接A'B交MN于点P．驿站到小明家和到小红家距离和的最小值即为A'B，由题意知AD=200米，A'C△MN，△A'C=AC+AD+A'D=500+200+200=900米，在Rt△A'BC中，△△ACB=90°，△A'B2=A'C2+BC2=9002+12002=2250000，△A'B＞0，△A'B=1500米，即从驿站到小明家和到小红家距离和的最小值为1500米．本题考查轴对称-最短问题，勾股定理，题的关键是学会利用轴对称解决最短问题．26．（1）见解析；（2）AD=13．【解析】（1）先利用角平分线的性质定理得到DC=DE，再利用HL定理即可证得结论．（2）由△DCF△△DEB得CD=DE=5，CF=BE=4，进而有AC=12，在Rt△ACD中，利用勾股定理即可解得AD 的长．（1）△AD 平分△BAC ，DE△AB ，△C=90°，△DC=DE ，在Rt△DCF 和Rt△DEB 中，DC DE DF DB=⎧⎨=⎩， △Rt△DCF△Rt△DEB(HL)；（2）△△DCF△△DEB ，△CF=EB=4，△AC=AF+CF=8+4=12，又知DC=DE=5，在Rt△ACD 中，13=．本题考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握角平分线的性质定理和HL 定理证明三角形全等是解答的关键．27．见解析【解析】由ABC =△ACB ，得AB =AC ，再利用HL 证明R t △ABD △Rt △CAE ，得△DAB =△ECA ，由△ECA +△EAC =90°，等量代换即可证．证明：△BD △l ，CE △l△△ABD 和△CAE 为直角三角形△△ABC =△ACB△AB =AC又△BD =AE△Rt △ABD △Rt △CAE （HL ），△△DAB =△ECA△△ECA +△EAC =90°△△DAB +△EAC =90°△△BAC =90°△AB △AC本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是证Rt△ABD△Rt△CAE。
河北省2024八年级数学上册第十七章特殊三角形17.2直角三角形课件新版冀教版
(1)求证：∠ AEC ＝∠ C ；
证明：(1)∵ AD ⊥ AB ，
∴△ ABD 为直角三角形.
又∵点 E 是 BD 的中点，
∴ AE ＝ BE ＝ BD ，
∴∠ B ＝∠ BAE .
∵∠ AEC ＝∠ B ＋∠ BAE ，
∴∠ AEC ＝∠ B ＋∠ B ＝2∠ B .
∴ AE ＝ AC .
又∵ AE ＝ BD ，∴ AC ＝ BD ，∴ BD ＝2 AC .
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16. 【学科素养·推理能力】[2023邢台任泽区月考]如图，在
Rt△ ABC 中，∠ ACB ＝90°，∠ A ＝30°， BC ＝2.三
角尺中30°角的顶点 D 在边 AB 上，两边分别与△ ABC
A. 6
B. 7
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C. 8
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D )
D. 9
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10. [2024张家口万全区期末]如图，在△ ABC 中，∠ C ＝
90°，∠ ABC ＝60°， BD 平分∠ ABC ，若 AD ＝6，则
CD ＝
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第17章特殊三角形
第1题
等腰三角形的两边长分别为4 cm和8 cm,则它的周长为( )
A.16 cm
B.17 cm
C.20 cm
D.16 cm或20 cm
第2题
用反证法证明“已知在△ABC中,∠C=90°,求证:∠A,∠B中至少有一个角不大于45°”时,应先假设( )
A.∠A>45°,∠B>45°
B.∠A≥45°,∠B≥45°
C.∠A<45°,∠B<45°
D.∠A≤45°,∠B≤45°
第3题
如图17-6-1,Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=55°,将其折叠,使点A落在边CB上A'处,折痕为CD,则∠A'DB=( )
图17-6-1
A.40°
B.30°
C.20°
D.10°
第4题
如图17-6-2,数轴上点A,B分别对应1,2,过点B作PQ⊥AB,以点B为圆心,AB长为半径画弧,交PQ于点C,以原点O为圆心,OC长为半径画弧,交数轴于点M,则点M对应的数是( )
图17-6-2
A. B. C. D.
第5题
在等腰△ABC中,AB=AC,其周长为20 cm,则AB边的取值范围是( )
A.1 cm<AB<4 cm
B.5 cm<AB<10 cm
C.4 cm<AB<8 cm
D.4 cm<AB<10 cm
第6题
由四个全等的直角三角形拼成如图17-6-3所示的“赵爽弦图”,若直角三角形的斜边长为2,较短的直角边长为1,则图中阴影部分的面积为( )
图17-6-3
A.1
B.3
C.4-2
D.4+2
第7题
如图17-6-4,在△PAB中,PA=PB,M,N,K分别是PA,PB,AB上的点,且AM=BK,BN=AK,若∠MKN=44°,则∠P的度数为( )
图17-6-4
A.44°
B.66°
C.88°
D.92°
第8题
已知直角三角形纸片的两条直角边长分别为m和n(m<n),过锐角顶点把该纸片剪成两个三角形.若这两个三角形都为等腰三角形,则( )
A.m2+2mn+n2=0
B.m2-2mn+n2=0
C.m2+2mn-n2=0
D.m2-2mn-n2=0
第9题
如图17-6-5,把一张矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠,BC交AD于O.给出下列结论:①BC平分∠ABD;②△ABO≌△CDO;③∠AOC=120°;④△BOD是等腰三角形.其中正确的结论有( )
图17-6-5
A.①③
B.②④
C.①②
D.③④
第10题
已知a,b,c是三角形的三边长,如果(a-5)2+|b-12|+c2-26c+169=0,那么△ABC是( )
A.以a为斜边的直角三角形
B.以b为斜边的直角三角形
C.以c为斜边的直角三角形
D.锐角三角形
第11题
用反证法证明“三角形的内角中最多有一个角是直角”时,应假设: .
第12题
若等腰三角形的顶角为120°,腰长为2 cm,则它的底边长为________cm.
第13题
如图17-6-6,BD⊥AC,CE⊥AB,垂足分别为D,E,BE=CD,则△________≌△
________,理由是________.
图17-6-6
第14题
所谓的勾股数就是指使等式a2+b2=c2成立的任何三个正整数.我国清代数学家罗士林钻研出一种求勾股数的方法,对于任意正整数m、n(m>n),取
a=m2-n2,b=2mn,c=m2+n2,则a、b、c就是一组勾股数.请你结合这种方法,写出85(三个数中最大)、84和________组成一组勾股数.
第15题
如图17-6-7,在△ABC中,D为BC边上任意一点,DE、DF分别是△ADB和△ADC的角平分线,连接EF,则△DEF的形状为____________.
图17-6-7
第16题
如图17-6-8,已知△ABC是等边三角形,点B、C、D、E在同一直线上,且
CG=CD,DF=DE,则∠E=________度.
图17-6-8
第17题
如图17-6-9,在△ABC中,∠ABC=90°,分别以BC、AB、AC为边向外作正方形,面
积分别记为S
1、S
2
、S
3
,若S
2
=4,S
3
=6,则S
1
=________.
图17-6-9
第18题
图17-6-10是一个三级台阶模型,它的每一级的长、宽、高分别等于5 cm、3 cm、1 cm,A和B是这个台阶的两个相对的端点,A点有一只蚂蚁,想到B点去吃可口的食物.请你想一想,这只蚂蚁从A点出发,沿着台阶面爬到B点,最短路程是
________cm.
图17-6-10
第19题
(6分)如图17-6-11,在直角三角形ABC中,∠C=90°,∠CAB的平分线AD交BC于D,若DE垂直平分AB,求∠B的度数.
图17-6-11
第20题
(8分)如图17-6-12,△ABC是等边三角形,BD⊥AC,AE⊥BC,垂足分别为D、E,AE、BD相交于点O,连接DE.判断△CDE的形状,并说明理由.
图17-6-12
(10分)如图17-6-13,滑竿在机械槽内运动,∠ACB为直角,已知滑竿AB长2.5米,顶端A在AC上运动,量得滑竿下端B到C点的距离为1.5米,当端点B向右移动0.5米到D点时,滑竿顶端A下滑到E点,求AE的长.
图17-6-13
第22题
(10分)如图17-6-14,△ACB和△DCE均为等腰三角形,点A,D,E在同一直线上,连接BE.∠CAB=∠CBA=∠CDE=∠CED=50°.
(1)求证:AD=BE;
(2)求∠AEB的度数.
图17-6-14
(12分)如图17-6-15,已知△ABC中,∠B=90°,AB=8 cm,BC=6 cm,P、Q分别为AB、BC边上的动点,点P从点A开始沿A→B方向运动,且速度为1 cm/s,点Q从点B 开始沿B→C方向运动,且速度为2 cm/s,它们同时出发,设出发的时间为t秒.
(1)出发2秒后,求PQ的长;
(2)出发几秒后,△PQB能成为等腰三角形?
(3)在运动过程中,直线PQ能否把原三角形周长分成相等的两部分?若能,求出运动时间;若不能,请说明理由.
图17-6-15。