《三年高考两年模拟》数学(文科)汇编专题：3.2导数的应用(含答案解析)

第二节 导数的应用

A 组 三年高考真题（2016～2014年）

1.(2016·四川，6)已知a 是函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a ＝( ) A.－4 B.－2 C.4

D.2

2.(2015·陕西，9)设f(x)＝x －sin x ，则f(x)( ) A ．既是奇函数又是减函数

B ．既是奇函数又是增函数

C ．是有零点的减函数

D ．是没有零点的奇函数

3.(2015·安徽，10)函数f(x)＝ax 3＋bx 2＋cx ＋d 的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A ．a>0，b<0，c>0，d>0 B ．a>0，b<0，c<0，d>0 C ．a<0，b<0，c>0，d>0 D ．a>0，b>0，c>0，d<0

4.(2014·新课标全国Ⅱ，11)若函数f(x)＝kx －ln x 在区间(1，＋∞)单调递增，则k 的取值范围是( ) A ．(－∞，－2] B ．(－∞，－1] C ．[2，＋∞)

D ．[1，＋∞)

5.(2014·湖南，9)若0＜x 1＜x 2＜1，则( ) A ．e

2

x －e 1x

＞ln x 2－ln x 1

B ．e

2

x －e 1x

＜ln x 2－ln x 1

C ．x 2e 1x

＞x 1e 2

x D ．x 2e 1x

＜x 1e 2

x

6.(2014·新课标全国Ⅰ，12)已知函数f(x)＝ax 3－3x 2＋1，若f(x)存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取值范围是( ) A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2)

D ．(－∞，－1)

7.(2016·新课标全国卷Ⅱ，20)已知函数f(x)＝(x ＋1)ln x －a(x －1). (1)当a ＝4时，求曲线y ＝f(x)在(1，f(1))处的切线方程； (2)若当x ∈(1，＋∞)时，f(x)>0，求a 的取值范围. 8.(2016·新课标全国Ⅲ，21)设函数f(x)＝ln x －x ＋1. (1)讨论f(x)的单调性；

(2)证明：当x ∈(1，＋∞)时，1

(3)设c>1，证明：当x ∈(0，1)时，1＋(c －1)x>c x . 9.(2016·山东，20)设f(x)＝xln x －ax 2＋(2a －1)x ，a ∈R. (1)令g(x)＝f′(x)，求g(x)的单调区间；

(2)已知f(x)在x ＝1处取得极大值.求实数a 的取值范围.

10.(2016·四川，21)设函数f(x)＝ax 2－a －ln x ，g(x)＝1x －e e x ，其中a ∈R ，e ＝2.718…为自然对

数的底数.

(1)讨论f(x)的单调性； (2)证明：当x>1时，g(x)>0；

(3)确定a 的所有可能取值，使得f(x)>g(x)在区间(1，＋∞)内恒成立. 11.(2016·北京，20)设函数f(x)＝x 3＋ax 2＋bx ＋c. (1)求曲线y ＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程；

(2)设a ＝b ＝4，若函数f(x)有三个不同零点，求c 的取值范围； (3)求证：a 2－3b ＞0是f(x)有三个不同零点的必要而不充分条件. 12.(2015·新课标全国Ⅱ，21)已知f(x)＝ln x ＋a(1－x)． (1)讨论f(x)的单调性；

(2)当f(x)有最大值，且最大值大于2a －2时，求a 的取值范围． 13.(2015·新课标全国Ⅰ，21)设函数f(x)＝e 2x －aln x. (1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数； (2)证明：当a>0时，f(x)≥2a ＋aln 2a

.

14.(2015·福建，22)已知函数f(x)＝ln x －(x －1)2

2.

(1)求函数f(x)的单调递增区间； (2)证明：当x ＞1时，f(x)＜x －1；

(3)确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0＞1，当x ∈(1，x 0)时，恒有

f(x)＞k(x －1)．

15.(2015·浙江，17)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l 1，l 2，山区边界曲线为C ，计划修建的公路为l ，如图所示，M ，N 为C 的两个端点，测得点M 到l 1，l 2的距离分别为5千米和40千米，点N 到l 1，l 2的距离分别为20千米和2.5

千米，以l 2，l 1所在的直线分别为x ，y 轴，建立平面直角坐标系xOy ，假设曲线C 符合函数

y ＝

a

x 2

＋b

(其中a ，b 为常数)模型． (1)求a ，b 的值；

(2)设公路l 与曲线C 相切于P 点，P 的横坐标为t. ①请写出公路l 长度的函数解析式f(t)，并写出其定义域； ②当t 为何值时，公路l 的长度最短？求出最短长度．

16.(2015·湖南，21)已知a>0，函数f(x)＝ae x cos x(x ∈[0，＋∞))．记x n 为f(x)的从小到大的第n(n ∈N *)个极值点．

(1)证明：数列{f(x n )}是等比数列；

(2)若对一切n ∈N *，x n ≤|f(x n )|恒成立，求a 的取值范围．

17.(2015·山东，20)设函数f(x)＝(x ＋a)ln x ，g(x)＝x 2e x . 已知曲线y ＝f(x) 在点(1，f(1))处的切

线与直线2x －y ＝0平行． (1)求a 的值；

(2)是否存在自然数k ，使得方程f(x)＝g(x)在(k ，k ＋1)内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；

(3)设函数m(x)＝min{f(x)，g(x)}(min{p ，q}表示p ，q 中的较小值)，求m(x)的最大值． 18.(2015·浙江，20)设函数f(x)＝x 2＋ax ＋b(a ，b ∈R)．

(1)当b ＝a 2

4＋1时，求函数f(x)在[－1,1]上的最小值g(a)的表达式；

(2)已知函数f(x)在[－1,1]上存在零点，0≤b －2a≤1，求b 的取值范围． 19.(2015·天津，20)已知函数f(x)＝4x －x 4，x ∈R. (1)求f(x)的单调区间；

(2)设曲线y ＝f(x)与x 轴正半轴的交点为P ，曲线在点P 处的切线方程为y ＝g(x)， 求证：对于任意的实数x ，都有f(x)≤g(x)；

(3)若方程f(x)＝a(a 为实数)有两个实数根x 1，x 2，且x 1＜x 2，求证：x 2－x 1≤－a

3＋1

34.

20.(2015·广东，21)设a 为实数，函数f(x)＝(x －a)2＋|x －a|－a(a －1)． (1)若f(0)≤1，求a 的取值范围； (2)讨论f(x)的单调性；

(3)当a≥2时，讨论f(x)＋4

x 在区间(0，＋∞)内的零点个数．

21.(2014·安徽，20)设函数f(x)＝1＋(1＋a)x －x 2－x 3，其中a ＞0. (1)讨论f(x)在其定义域上的单调性；

(2)当x ∈[0,1]时，求f(x)取得最大值和最小值时的x 的值．